第六章 定积分
第一节 定积分的概念
思考题：
1,如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：
（1）,（2）,（3）,（4）.
解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积,若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.
（1）由下图（1）所示，.
（2）由上图（2）所示，.
（3）由上图（3）所示，.
（4）由上图（4）所示，.
2,若当，有，下面两个式子是否均成立，为什么？
（1）,（2）.
答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，与不能比较大小，故（2）式不成立.
3,个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？
答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是,后者计算公式是.
习作题：
1,用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.
解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：
,
记,则.
2,利用定积分的估值公式，估计定积分的值.
解：先求在上的最值，由
,得或.
比较 的大小，知
，
由定积分的估值公式，得,
即 .
3,求函数在闭区间[-1，1]上的平均值.
解：平均值.
4,利用定积分的定义证明.
证明：令,则，任取分点…,把分成个小区间，并记小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式,记,则 .
微积分基本公式
思考题：
1,?
答：因为是以为自变量的函数，故=0.
2,
答：因为是常数，故.
3,？
答：因为的结果中不含，故0.
4,？
答：由变上限定积分求导公式，知.
5,？
答：.
6,若，则=？
答：=.
7,当为积分区间上的分段函数时，问如何计算定积分？试举例说明.
答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若 则
=+==.
8,对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？
答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.
习作题：
1,计算下列定积分
（1）,（2）,（3）.
解：（1）=+
===1.
（2）=+
==4+.
（3）=+
==2+2=4.
2,求极限.
解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得
==
3,计算下列各题：
（1）,（2）,（3）,（4）,
（5）,（6）,（7）,
（8）,（9）,（10）,
（11）,（12）,（13）.
解：（1）=.
（2）=.
（3）.
（4）=.
（5）.
（6）.
（7）===.
（8）== =.
(9) ==.
(10) ===.
（11）===.
（12）==.
（13）===.
定积分的积分方法
思考题：
1,下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：
（1）=
=
=.
（2）
=
==2
=2.
答：（1）不正确，应该为：
=.
（2）不正确，应该为：
=2.
2,定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？
答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代,联系在于：二者均要求置换的变元单调可导，且选择变元的规律相同.
3,利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律.
答：如图,设在上满足≥0，则表示由曲线，直线，及轴所围图形的面积，不妨记为，则当为偶函数时，(如下图(1)所示)，当为奇函数时，(如下图(2)所示).
（2）
习作题:
1,计算下列定积分:
(1),(2).
解：（1）令=,则,
当= 0 时，= 0 ; 当= 4 时，,于是
=.
（2）==.
2,计算下列定积分：
（1）,（2）,
（3）,（4）.
解：（1）==
=.
(2) =
.
(3) =
=0=
=
移项合并得.
（4）
=.
第四节 广义积分
思考题:
1,下列解法是否正确？为什么？
.
答：不正确.因为在[，]上存在无穷间断点,不能直接应用公式计算，事实上，
=+=+
=+
=+不存在,
故发散.
2,指出下面广义积分的计算错误:
.
答：本题计算错误在于，因为，而，故不存在，从而发散.
习作题：
1,研究广义积分的敛散性.
解：=,
发散.
2,计算广义积分.
解： =+
=.
3,计算广义积分.
解,=.
4,计算广义积分.
解,=.
第一节 定积分的概念
思考题：
1,如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：
（1）,（2）,（3）,（4）.
解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积,若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.
（1）由下图（1）所示，.
（2）由上图（2）所示，.
（3）由上图（3）所示，.
（4）由上图（4）所示，.
2,若当，有，下面两个式子是否均成立，为什么？
（1）,（2）.
答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，与不能比较大小，故（2）式不成立.
3,个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？
答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是,后者计算公式是.
习作题：
1,用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.
解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：
,
记,则.
2,利用定积分的估值公式，估计定积分的值.
解：先求在上的最值，由
,得或.
比较 的大小，知
，
由定积分的估值公式，得,
即 .
3,求函数在闭区间[-1，1]上的平均值.
解：平均值.
4,利用定积分的定义证明.
证明：令,则，任取分点…,把分成个小区间，并记小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式,记,则 .
微积分基本公式
思考题：
1,?
答：因为是以为自变量的函数，故=0.
2,
答：因为是常数，故.
3,？
答：因为的结果中不含，故0.
4,？
答：由变上限定积分求导公式，知.
5,？
答：.
6,若，则=？
答：=.
7,当为积分区间上的分段函数时，问如何计算定积分？试举例说明.
答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若 则
=+==.
8,对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？
答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.
习作题：
1,计算下列定积分
（1）,（2）,（3）.
解：（1）=+
===1.
（2）=+
==4+.
（3）=+
==2+2=4.
2,求极限.
解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得
==
3,计算下列各题：
（1）,（2）,（3）,（4）,
（5）,（6）,（7）,
（8）,（9）,（10）,
（11）,（12）,（13）.
解：（1）=.
（2）=.
（3）.
（4）=.
（5）.
（6）.
（7）===.
（8）== =.
(9) ==.
(10) ===.
（11）===.
（12）==.
（13）===.
定积分的积分方法
思考题：
1,下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：
（1）=
=
=.
（2）
=
==2
=2.
答：（1）不正确，应该为：
=.
（2）不正确，应该为：
=2.
2,定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？
答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代,联系在于：二者均要求置换的变元单调可导，且选择变元的规律相同.
3,利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律.
答：如图,设在上满足≥0，则表示由曲线，直线，及轴所围图形的面积，不妨记为，则当为偶函数时，(如下图(1)所示)，当为奇函数时，(如下图(2)所示).
（2）
习作题:
1,计算下列定积分:
(1),(2).
解：（1）令=,则,
当= 0 时，= 0 ; 当= 4 时，,于是
=.
（2）==.
2,计算下列定积分：
（1）,（2）,
（3）,（4）.
解：（1）==
=.
(2) =
.
(3) =
=0=
=
移项合并得.
（4）
=.
第四节 广义积分
思考题:
1,下列解法是否正确？为什么？
.
答：不正确.因为在[，]上存在无穷间断点,不能直接应用公式计算，事实上，
=+=+
=+
=+不存在,
故发散.
2,指出下面广义积分的计算错误:
.
答：本题计算错误在于，因为，而，故不存在，从而发散.
习作题：
1,研究广义积分的敛散性.
解：=,
发散.
2,计算广义积分.
解： =+
=.
3,计算广义积分.
解,=.
4,计算广义积分.
解,=.
