第五章 不定积分

第一节 不定积分的概念及性质
思考题：
1,在不定积分的性质中，为何要求？
答：因为时，（任意常数），而不是0.
2,思考下列问题：
(1) 若，则为何？
答：.
(2) 若的一个原函数为，问为何？
答：
(3)若的一个原函数的，则为何？
答：.
习作题：
1,已知曲线过点（0，0）且在点（）处的切线斜率为，求该曲线方程.
解：依题意，，故，又，故，从而曲线方程为.
2,计算下列不定积分：
（1）,（2）,（3）,（4）,
（5）,（6）,（7）,（8）.
解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
第二节 不定积分的积分方法
思考题：
1,第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？
答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数中的中间变量作为新的积分变量，而后者将原积分变量替换成函数，以作为新的积分变量.
2,应用分部积分公式的关键是什么？对于积分，一般应按什么样的规律设和？
答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择和，对于积分，一般应按如下的规律去设和：
（1）由易求得；（2）应比容易积出.
3,第二换元法有何规律可寻？
答,一般地，若被积函数中含有或，则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有，则可令=，将原积分化为有理函数的积分.
习作题
1,计算下列积分：
（1）,（2）,（3）,
（4）,（5）,（6）,
（7）,（8）,（9）,
（10）,（11）,（12）.
解：（1）.
（2）
=
=
=.
（3）
=.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
（9）.
（10）.
（11）.
（12）===.
2,计算下列积分：
(1),(2) ,(3) ,
(4) ,(5) ,(6) .
解：（1）
=
=.
（2）=
=
=
=
=.
（3）
=.
（4）
=
=
=
=,
移项合并，得.
（5）
=.
（6）=
=
=
=
=.
3,计算下列不定积分：
（1）,（2）.
解：（1）令，则，，
于是 
=.
由右图所示的直角三角形，得
,
故 .
（2）令，则,
于是.
由右图所示的直角三角形，得

故 .