第二章 极限与连续第一节 极限的定义思考题：
1,在的定义中，为何只要求在的空心邻域内有定义？
答：因为表示无限接近而不等于，故与在点有无定义无关.
2,是否存在，为什么？
答：存在且为0.
因为，且，由无穷小的性质知.
习作题：
1,设画出的图形，求及并问是否存在.
解：的图像如下：
==1,
==0,
.
不存在.
2,函数在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？
答： 当时是无穷大量,当时是无穷小量.
,.
3.举例说明的几何意义.
解：例如：对,表示当沿轴的正向远离原点时,曲线无限靠近直线=0; 表示当沿轴的负方向远离原点时,曲线无限靠近直线; 表示当沿轴远离原点时,曲线无限靠近直线.
4,举例说明，，,的几何意义.
解：例如：对,表示当沿轴无限接近0时，曲线向上无限远离原点; 对,表示当沿轴无限接近0时,曲线向下无限远离原点，对,表示当沿轴负向无限接近0时，曲线向上无限远离原点; 表示当沿轴正方向无限接近0时，曲线 向下无限远离原点.
第二节 极限的运算
思考题：
1.下列运算错在何处?
（1）.
答： (不存在).
（2）.
答： ().
2,两个无穷大的和仍为无穷大吗？试举例说明.
答：不一定.
如：是时的无穷大量,也是时的无穷大量,但其和为1，不是时的无穷大量.
习作题：
1,求下列极限：
（1）,（2）,
解：原式= 解,原式=
= =2.
= .
（3）,（4）,
解：原式= 解：时,
= ,
=,原式===.
（5）,（6）,
解：令 =,解：原式=
则当时 ,=0 + 100
原式== ,= 100.
(7) .
解：当时,
原式===.
2.试证时，是比高阶的无穷小.
证明：当时 ~ , ~ ,
= = =0,
时,是比高阶的无穷小.
3,试证时，与是等价无穷小.
证明：令= ,则,
于是有： = = ==,
故时,与是等价无穷小.
第三节 函数的连续性
思考题：
1.如果在处连续，问||在处是否连续？
答：若在处连续，则||在处连续.
2.区间上的连续函数一定存在最大值与最小值吗？举例说明？
答：区间上的连续函数不一定存在最大值与最小值.
如： 在上连续，但不存在最小值； 在上连续，但不存在最大值.
习作题：
1,求下列极限:
（1）,（2）,
解： 解：
= = 0,= = .
（3）,（4）,
解, 解：
= =
=17,=.
（5）,（6）.
解, 解：
= =
=,=.
2,求函数的间断点，并判断其类型：
解：由初等函数在其定义区间上连续知的间断点为.
而在处无定义，故为其可去间断点.
又 为的无穷间断点.
综上得为的可去间断点,为的无穷间断点.
1,在的定义中，为何只要求在的空心邻域内有定义？
答：因为表示无限接近而不等于，故与在点有无定义无关.
2,是否存在，为什么？
答：存在且为0.
因为，且，由无穷小的性质知.
习作题：
1,设画出的图形，求及并问是否存在.
解：的图像如下：
==1,
==0,
.
不存在.
2,函数在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？
答： 当时是无穷大量,当时是无穷小量.
,.
3.举例说明的几何意义.
解：例如：对,表示当沿轴的正向远离原点时,曲线无限靠近直线=0; 表示当沿轴的负方向远离原点时,曲线无限靠近直线; 表示当沿轴远离原点时,曲线无限靠近直线.
4,举例说明，，,的几何意义.
解：例如：对,表示当沿轴无限接近0时，曲线向上无限远离原点; 对,表示当沿轴无限接近0时,曲线向下无限远离原点，对,表示当沿轴负向无限接近0时，曲线向上无限远离原点; 表示当沿轴正方向无限接近0时，曲线 向下无限远离原点.
第二节 极限的运算
思考题：
1.下列运算错在何处?
（1）.
答： (不存在).
（2）.
答： ().
2,两个无穷大的和仍为无穷大吗？试举例说明.
答：不一定.
如：是时的无穷大量,也是时的无穷大量,但其和为1，不是时的无穷大量.
习作题：
1,求下列极限：
（1）,（2）,
解：原式= 解,原式=
= =2.
= .
（3）,（4）,
解：原式= 解：时,
= ,
=,原式===.
（5）,（6）,
解：令 =,解：原式=
则当时 ,=0 + 100
原式== ,= 100.
(7) .
解：当时,
原式===.
2.试证时，是比高阶的无穷小.
证明：当时 ~ , ~ ,
= = =0,
时,是比高阶的无穷小.
3,试证时，与是等价无穷小.
证明：令= ,则,
于是有： = = ==,
故时,与是等价无穷小.
第三节 函数的连续性
思考题：
1.如果在处连续，问||在处是否连续？
答：若在处连续，则||在处连续.
2.区间上的连续函数一定存在最大值与最小值吗？举例说明？
答：区间上的连续函数不一定存在最大值与最小值.
如： 在上连续，但不存在最小值； 在上连续，但不存在最大值.
习作题：
1,求下列极限:
（1）,（2）,
解： 解：
= = 0,= = .
（3）,（4）,
解, 解：
= =
=17,=.
（5）,（6）.
解, 解：
= =
=,=.
2,求函数的间断点，并判断其类型：
解：由初等函数在其定义区间上连续知的间断点为.
而在处无定义，故为其可去间断点.
又 为的无穷间断点.
综上得为的可去间断点,为的无穷间断点.
