多元微分学（第六章）
复习指导
—兼谈数学概念与技能的复习方法数学知识的组成数学知识的组成基本概念基本概念基本理论基本理论基本技能基本技能
z 证明证明
z 运算运算
z 应用应用一、关于基本概念的复习一、关于基本概念的复习本章主要概念本章主要概念
z二元函数二元函数
z二重极限二重极限
z连续连续
z偏导数偏导数
z全微分全微分
z方向导数方向导数
z梯度梯度
z场场复习注意点之一复习注意点之一如偏导数如偏导数
定义？
定义？
记号？
记号？
几何解释？
几何解释？
物理意义？
物理意义？
切实弄清每个概念：
切实弄清每个概念：
它的定义、记号及实际意义它的定义、记号及实际意义复习注意点之二复习注意点之二从概念的相互联系和比较加深理解从概念的相互联系和比较加深理解发展脉络发展脉络二元函数二元函数相互联系相互联系存在连续偏导数存在连续偏导数连续性连续性可微连续可偏导存在各方向的方向导数与一元函数相关概念的比较（特别注意与一元函数相关概念的比较（特别注意
“异异
”）
）
二重极限二重极限
VS 一元极限一元极限偏偏导导数数
VS 一元导数一元导数全全微微分分
VS 一元微分一元微分
→
二重极限二重极限偏导数偏导数全微分全微分
→
方向导数方向导数梯度梯度
→
复习注意点之三复习注意点之三注意发掘并多角度掌握概念的内涵注意发掘并多角度掌握概念的内涵
Ex．梯度
．梯度
grad f (x,y)：一个内涵丰富的数学
：一个内涵丰富的数学和物理概念，有着广泛的实际应用：
和物理概念，有着广泛的实际应用：
梯度与方向导数；
梯度与方向导数；
梯度与等量面、等量线；
梯度与等量面、等量线；
梯度与曲面（曲线）的法向量；
梯度与曲面（曲线）的法向量；
梯度与极值；
梯度与极值；
梯度与梯度与
Lagrange乘子法．
乘子法．
gradf(x,y)
f=c
1
f=c
2
f=c
3
c
1
< c
2
< c
3
F(x,y,z)=0
grad F(x,y,z)
f
f =-λ
P
D
f = c
3
f = c
2
f = c
1
(x,y)=0
二、基本理论二、基本理论本章主要定理、重要结论本章主要定理、重要结论
1.有界闭区域上连续函数的性质；
有界闭区域上连续函数的性质；
2.混合偏导与求导次序无关的充分条件；
混合偏导与求导次序无关的充分条件；
3.全微分存在的必要条件和充分条件；
全微分存在的必要条件和充分条件；
4.隐函数存在定理和求导公式；
隐函数存在定理和求导公式；
5.极值点的条件以及条件极值的极值点的条件以及条件极值的
Lagrange
乘子法．
乘子法．
复习注意点复习注意点弄清弄清
z 解决什么问题（问题的提法）？
解决什么问题（问题的提法）？
z 条件是什么？
条件是什么？
z 结论是什么？
结论是什么？
Ex,隐函数存在定理隐函数存在定理
提法提法给定给定
F(x,y)=0，不经显化，判断方程
，不经显化，判断方程是否能确定隐函数？
是否能确定隐函数？
隐函数有何性隐函数有何性质？
质？
出发点出发点从二元函数从二元函数
F(x,y)的性质出发，回答的性质出发，回答上述问题；又由上述问题；又由
F(x,y)的表达式给出的表达式给出隐函数导数的表达式隐函数导数的表达式
.
三、基本运算三、基本运算
1,求二重极限求二重极限
2,求偏导数求偏导数
3,复合函数求导复合函数求导
4,隐函数求导隐函数求导
5,求全微分求全微分
6,求方向导数与梯度求方向导数与梯度复习注意点之一复习注意点之一抓住重点与难点，多做习题，反复练习。
抓住重点与难点，多做习题，反复练习。
1.求二重极限求二重极限
2.求偏导数求偏导数
3.复合函数求导复合函数求导
4.隐函数求导隐函数求导
5.求全微分求全微分
6.求方向导数与梯度求方向导数与梯度以上运算中，
以上运算中，
2、
、
3两项是重点和难点。
两项是重点和难点。
复习注意点之二复习注意点之二牢记基本公式，熟悉基本题型，掌握必要工具牢记基本公式，熟悉基本题型，掌握必要工具
Ex,复合函数求偏导
1.基本格式：
( )
,z fuv=
，
( )
,uxy?=
，
( )
,vxyψ=
，
zf f
xuxvx
ψ
=+
．
2.用树图表示函数复合关系；
x
u
y
x
v
y
z
3.重点注意的题型
①抽象函数与具体函数混合型：
如
,
x
fxyx
y
++
etc.
②显函数与隐函数混合型：
如 w= f (u,x)，
其中 u是由 f (u,x)=0确定的 x的隐函数．
③复合函数二阶偏导数．
复习注意点之三复习注意点之三抓一题多解，抓常犯错误抓一题多解，抓常犯错误
Ex.（习题6-5第7题）：几种解法的比较．
设y = f ( x,t )，而t是由方程F( x,y,t )=0所确定的x,y的函数，设f,Ｆ都是Ｃ
(1)
类函数，证明
tyt
xttx
FFf
FfFf
x
y
+
=
d
d
解一：函数代入法；
解二：求全微分法；
解三：解方程组法．
1.求二阶偏导时，忽略了 f ‘
1
,f ’
2
等仍保持中间变量与自变量之间原来的复合关系；
2.隐函数求导时，不清楚,用公式,与
“直接求,之间的区别；
3.求一点处的偏导（或全导数）时，
代入自变量和中间变量的值时发生错误；
4.记号使用方面的错误，etc.
例如：
常犯错误因人而异，要自己总结，避免反复出现．
四、基本应用四、基本应用
1,几何应用几何应用
– 空间曲线的切线和法平面空间曲线的切线和法平面参数方程情形参数方程情形一般方程情形一般方程情形
– 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线
z 隐式方程隐式方程
F(x,y,z)=0情形情形
z 显式方程显式方程
z = f (x,y)情形情形
z 参数方程情形参数方程情形
*
2,多元函数极值、最值、条件极值的求法与应多元函数极值、最值、条件极值的求法与应用．
用．
复习注意点复习注意点
1,注意数学概念的几何意义与物理背景；
注意数学概念的几何意义与物理背景；
2,注意学习如何把实际问题归结为数学问注意学习如何把实际问题归结为数学问题．
题．
Ex,某小山底部为某小山底部为
xOy面上的面上的
D={ (x,y) | x
2
+y
2
xy ≤ 75 }，
，
高度函数为高度函数为
h(x,y) = 75?x
2
y
2
+xy，试在山脚处
，试在山脚处找一上山坡度最大的点作为登山起点。
找一上山坡度最大的点作为登山起点。
复习指导
—兼谈数学概念与技能的复习方法数学知识的组成数学知识的组成基本概念基本概念基本理论基本理论基本技能基本技能
z 证明证明
z 运算运算
z 应用应用一、关于基本概念的复习一、关于基本概念的复习本章主要概念本章主要概念
z二元函数二元函数
z二重极限二重极限
z连续连续
z偏导数偏导数
z全微分全微分
z方向导数方向导数
z梯度梯度
z场场复习注意点之一复习注意点之一如偏导数如偏导数
定义？
定义？
记号？
记号？
几何解释？
几何解释？
物理意义？
物理意义？
切实弄清每个概念：
切实弄清每个概念：
它的定义、记号及实际意义它的定义、记号及实际意义复习注意点之二复习注意点之二从概念的相互联系和比较加深理解从概念的相互联系和比较加深理解发展脉络发展脉络二元函数二元函数相互联系相互联系存在连续偏导数存在连续偏导数连续性连续性可微连续可偏导存在各方向的方向导数与一元函数相关概念的比较（特别注意与一元函数相关概念的比较（特别注意
“异异
”）
）
二重极限二重极限
VS 一元极限一元极限偏偏导导数数
VS 一元导数一元导数全全微微分分
VS 一元微分一元微分
→
二重极限二重极限偏导数偏导数全微分全微分
→
方向导数方向导数梯度梯度
→
复习注意点之三复习注意点之三注意发掘并多角度掌握概念的内涵注意发掘并多角度掌握概念的内涵
Ex．梯度
．梯度
grad f (x,y)：一个内涵丰富的数学
：一个内涵丰富的数学和物理概念，有着广泛的实际应用：
和物理概念，有着广泛的实际应用：
梯度与方向导数；
梯度与方向导数；
梯度与等量面、等量线；
梯度与等量面、等量线；
梯度与曲面（曲线）的法向量；
梯度与曲面（曲线）的法向量；
梯度与极值；
梯度与极值；
梯度与梯度与
Lagrange乘子法．
乘子法．
gradf(x,y)
f=c
1
f=c
2
f=c
3
c
1
< c
2
< c
3
F(x,y,z)=0
grad F(x,y,z)
f
f =-λ
P
D
f = c
3
f = c
2
f = c
1
(x,y)=0
二、基本理论二、基本理论本章主要定理、重要结论本章主要定理、重要结论
1.有界闭区域上连续函数的性质；
有界闭区域上连续函数的性质；
2.混合偏导与求导次序无关的充分条件；
混合偏导与求导次序无关的充分条件；
3.全微分存在的必要条件和充分条件；
全微分存在的必要条件和充分条件；
4.隐函数存在定理和求导公式；
隐函数存在定理和求导公式；
5.极值点的条件以及条件极值的极值点的条件以及条件极值的
Lagrange
乘子法．
乘子法．
复习注意点复习注意点弄清弄清
z 解决什么问题（问题的提法）？
解决什么问题（问题的提法）？
z 条件是什么？
条件是什么？
z 结论是什么？
结论是什么？
Ex,隐函数存在定理隐函数存在定理
提法提法给定给定
F(x,y)=0，不经显化，判断方程
，不经显化，判断方程是否能确定隐函数？
是否能确定隐函数？
隐函数有何性隐函数有何性质？
质？
出发点出发点从二元函数从二元函数
F(x,y)的性质出发，回答的性质出发，回答上述问题；又由上述问题；又由
F(x,y)的表达式给出的表达式给出隐函数导数的表达式隐函数导数的表达式
.
三、基本运算三、基本运算
1,求二重极限求二重极限
2,求偏导数求偏导数
3,复合函数求导复合函数求导
4,隐函数求导隐函数求导
5,求全微分求全微分
6,求方向导数与梯度求方向导数与梯度复习注意点之一复习注意点之一抓住重点与难点，多做习题，反复练习。
抓住重点与难点，多做习题，反复练习。
1.求二重极限求二重极限
2.求偏导数求偏导数
3.复合函数求导复合函数求导
4.隐函数求导隐函数求导
5.求全微分求全微分
6.求方向导数与梯度求方向导数与梯度以上运算中，
以上运算中，
2、
、
3两项是重点和难点。
两项是重点和难点。
复习注意点之二复习注意点之二牢记基本公式，熟悉基本题型，掌握必要工具牢记基本公式，熟悉基本题型，掌握必要工具
Ex,复合函数求偏导
1.基本格式：
( )
,z fuv=
，
( )
,uxy?=
，
( )
,vxyψ=
，
zf f
xuxvx
ψ
=+
．
2.用树图表示函数复合关系；
x
u
y
x
v
y
z
3.重点注意的题型
①抽象函数与具体函数混合型：
如
,
x
fxyx
y
++
etc.
②显函数与隐函数混合型：
如 w= f (u,x)，
其中 u是由 f (u,x)=0确定的 x的隐函数．
③复合函数二阶偏导数．
复习注意点之三复习注意点之三抓一题多解，抓常犯错误抓一题多解，抓常犯错误
Ex.（习题6-5第7题）：几种解法的比较．
设y = f ( x,t )，而t是由方程F( x,y,t )=0所确定的x,y的函数，设f,Ｆ都是Ｃ
(1)
类函数，证明
tyt
xttx
FFf
FfFf
x
y
+
=
d
d
解一：函数代入法；
解二：求全微分法；
解三：解方程组法．
1.求二阶偏导时，忽略了 f ‘
1
,f ’
2
等仍保持中间变量与自变量之间原来的复合关系；
2.隐函数求导时，不清楚,用公式,与
“直接求,之间的区别；
3.求一点处的偏导（或全导数）时，
代入自变量和中间变量的值时发生错误；
4.记号使用方面的错误，etc.
例如：
常犯错误因人而异，要自己总结，避免反复出现．
四、基本应用四、基本应用
1,几何应用几何应用
– 空间曲线的切线和法平面空间曲线的切线和法平面参数方程情形参数方程情形一般方程情形一般方程情形
– 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线
z 隐式方程隐式方程
F(x,y,z)=0情形情形
z 显式方程显式方程
z = f (x,y)情形情形
z 参数方程情形参数方程情形
*
2,多元函数极值、最值、条件极值的求法与应多元函数极值、最值、条件极值的求法与应用．
用．
复习注意点复习注意点
1,注意数学概念的几何意义与物理背景；
注意数学概念的几何意义与物理背景；
2,注意学习如何把实际问题归结为数学问注意学习如何把实际问题归结为数学问题．
题．
Ex,某小山底部为某小山底部为
xOy面上的面上的
D={ (x,y) | x
2
+y
2
xy ≤ 75 }，
，
高度函数为高度函数为
h(x,y) = 75?x
2
y
2
+xy，试在山脚处
，试在山脚处找一上山坡度最大的点作为登山起点。
找一上山坡度最大的点作为登山起点。
