第二单元曲面积分一、本单元的内容要点本节要点:
1.第一类曲面积分的定义;
2.积分性质;
3.第一类曲面积分的方法;
4.第二类曲面积分的定义;
5.第二类曲面积分的计算方法;
6.两类曲面积分的联系。
二、本单元的教学要求掌握两类曲面积分的定义，性质和计算方法，尤其是第二类曲面积分的计算方法。
三、本单元教学的重点与难点本单元的重点和难点是第二类曲面积分的计算，尤其是掌握合片投影法。
第一类曲面积分的定义在上节中对于第一类曲线积分的引出中，把相关的问题转变成空间的曲面问题，即为第一类曲面积分的问题。即：设Σ为空间的一分片光滑的曲面块，密度函数为
ρ (x,y,z)，则曲面块的质量为
()
0
1
lim,,
n
iii i
i
M s
λ
ρξηζ
→
=
=?
∑
抽去其中的具体意义，即得到第一类曲线积分的定义。
定义设Σ是一片光滑曲面，函数f (x,y,z)在曲面上有界，将Σ划分成有限多个小块△Σ
1
,△Σ
2
,
…
,
△Σ
n
。记第I个小块△Σ
i
的面积为△S
i
，又在△Σ
i
上任取一点
(ξ
i
,η
i
,ζ
i
)，作和
1
(,,)
n
iii i
i
fsξηζ
=
∑
若各小块曲面的直径λ→0时，和式的极限总存在，则称此极限为函数f (x,y,z)在曲面Σ上的曲面积分，记为
(,,)fxyzds
Σ
∫∫
即
0
1
(,,) lim (,,),
n
iii i
i
fxyzds f s
λ
ξηζ
→
=
Σ
=?
∑
∫∫
数量值函数的曲面积分又称为第一类曲面积分，或称为对面积的曲面积分。
积分性质第一类曲面积分的积分性质与前面讨论的积分性质完全平行。
性质1 若函数f (x,y,z)在曲面Σ上连续，则积分
(,,)fxyzds
Σ
∫∫
存在。
性质2 若曲面Σ为若干个光滑曲面Σ
i
的和，则
1
(,,) (,,),
i
n
i
f x y z ds f x y z ds
=
ΣΣ
=
∑
∫∫ ∫∫
注若函数f (x,y,z)为曲面Σ上的密度函数ρ(x,y,z)，则相应的积分为曲面的质量
(,,),M xyzdsρ
Σ
=
∫∫
第一类曲面积分的计算方法计算公式设光滑曲面Σ由方程给出，D为
Σ在xoy上的投影，函数f (x,y,z)在Σ上连续，则
( )
(,),,,z zxy xy D=∈
[]
22
(,,),,(,) 1,
xy
D
fxyzds fxyzxy z zdσ
Σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
( 1 )
由第一类曲面积分的定义
0
1
(,,) lim (,,),
n
iii i
i
fxyzds f s
λ
ξηζ
→
=
Σ
=?
∑
∫∫
( )
,,
iii
ξ η ζ
x
y
z
o
将曲面分割成n个小曲面块，在第i个曲面块?Σ
i
上取点(ξ
i
,η
i
,ζ
i
)，在xoy平面上的投影为?D
i
，则
i
Σ
22
1(,)(,)
i
ixy
D
Szxyzxydσ
= + +
∫∫
( )
,
ii
ξ η
由积分中值定理，
i
D?
22
1(,)(,),
ixiy ii
Sz zξ ηξησ
′′ ′′
= + +?
注意到均为小闭区域?D
i
中的点，因而
( ) ( )
,,,
ii ii
ξ ηξη
′ ′
1
22
1
(,,)
[,,(,)]1 (,) (,)
n
iii i
i
n
ii ii xii yi i
i
fs
fz z z
ξηζ
ξ ηξη ξη ξησ
=
=
′′ ′′
= ++?
∑
∑
由条件，函数
22
[,,(,)],1 (,) (,)
xiy
f x y zxy zxy zxy++
在闭区域上连续，则当λ→0时，上式右端的极限与
22
1
[,,(,)]1 (,) (,)
n
ii ii xii yi i
i
fz z zξ ηξη ξη ξησ
=
+ +?
∑
的极限相等，而由条件，上式的极限是存在的，并且为上面函数的二重积分，即
0
1
22
0
1
22
(,,) lim (,,)
lim [,,(,)]1 (,) (,)
[,,(,)]1 (,) (,),
n
iii i
i
n
ii ii xii yii i
i
ii ii xii yii
D
fxyzds f s
fz z z
fz z z d
λ
λ
ξηζ
ξ ηξη ξη ξησ
ξη ξη ξη ξη σ
→
=
Σ
→
=
=?
= ++?
=++
∑
∫∫
∑
∫∫
例1 求其中。
22
xyds
Σ
∫∫
222
,z RxyΣ =
解
22 22
,,
xy
xy
zz
Rx y Rx y
′′
==
22
22
1,
yy
R
zz
Rx y
′′
++=
22 22
22
D
R
xyds xy d
Rx y
σ
Σ
=
∫∫ ∫∫
()
52 2
2
2200
24 65
22
00
66
4cossin
4sin sin sin
11 42 2
4.
24253 15
R
R
dr dr
Rr
dR tdt
RR
π
ππ
θθθ
θθθ
π
π
=
=?
==
∫∫
∫∫
例2 求，其中。
()xyzds
Σ
++
∫∫
()
22
:01zxy zΣ= + ≤≤
解由于积分区域关于xoz,yoz平面对称，故
0,xds yds
ΣΣ
= =
∫∫ ∫∫
22
1
2
2
00
() 2
22
42,
3
D
x y zds zds x y d
dx d
π
σ
ρρ π
ΣΣ
++ = = +
==
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
例3 求其中Σ为圆柱面x
2
+y
2
=R
2
介
222
z
ds
xyz
Σ
++
∫∫
于z=0和z=H之间的部分。
解由对称性，设Σ为曲面在第一卦限部分，则
x
y
z
o
Σ
1
222 222
4.
zz
ds ds
xyz xyz
ΣΣ
=
++ ++
∫∫ ∫∫
()
设D为Σ
1
在yoz平面上的投影，则
{ }
,0,0,D y z y RzH=≤≤≤≤
()
1
222 222
22
22
22
2200
22
0
0
22
2
4
4
4
2ln arcsin
ln,
D
HR
R
H
zz
ds ds
xyz xyz
zR
dxdz
Rz
Rx
zR
dz dx
Rz
Rx
x
RRz
R
RH
R
R
π
ΣΣ
=
++ ++
=
+
=
+
=+
+
=
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
例4 求,其中Σ为球面x
2
+y
2
+z
2
=a
2
，而
(,,)f x y zds
Σ
∫∫
22 22
22
(,,),
0
xy z xy
fxyz
z xy
+≥+
=
<+?
解曲面的交线：
2222
222
2
,,
2
xyza
z a
xyz
++=
=
+=
设球面被锥面截下的上面部分为Σ
1
，则由f(x,y,z)的表达式，得积分
( )
()
()
11
22
22
222
2
343
4
2
2200 0
4
434
0
(,,) (,,)
2sin
11
2coscos 852.
36
D
a
f x y zds f x y zds x y ds
a
xy d
axy
a
ddatd
a
at t a
π
π
π
σ
θρ ρπ
ρ
ππ
ΣΣΣ
==+
=+
==
= =?
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫ ∫
第二类曲面积分的概念
1.定向曲面及法向在本节中所讨论的曲面均指双侧曲面。并指定了曲面的侧向。对有向曲面而言，曲面的法向与曲面制定的侧向一致。
对有向曲面，相对于xoy平面有上下侧之分；对xoz
平面，有左右侧之分；对yoz平面，有前后侧之分；
对封闭曲面，有内外侧之分。
设曲面Σ，方程为z=z(x,y)，则曲面任意点处的法向为
( )
,,1,
xy
nzz
′ ′
=±
G
相应的单位向量为
()
22
1
,,1,
1
nxy
xy
ezz
zz
′ ′
=±
′′
++
G
因而，若曲面取上侧，则法向为
()
22
1
,,1.
1
nxy
xy
ezz
zz
′′
=
′′
++
G
其它情况有相应的表达式。
2.流体流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由
(,,) (,,) (,,) (,,)vxyz Pxyzi Qxyzj Rxyzk=++
G
G G
G
给出，Σ是速度场中一片光滑的定向曲面，求在单位时间内通过Σ指定一侧的流量Φ。
分析若Σ是一面积为S的平面块，而速度场为常量，则
cos
n
S v Sv eθΦ==?
G G
其中为平面的单位法向量，θ为平面与法向量之间的夹角。
n
e
G
若Σ是曲面块，而Σ上各点处的流速各不相同，仍然用分割，取点，作和再取极限的方法求出相应的流量。
将曲面分割成n个小曲面?Σ
1
,?Σ
2
,…,?Σ
n
。在?Σ
i
上取点(ξ
i
,η
i
,ζ
i
)，当?Σ
I
的直径很小时，相应的流量为
n
e
G
x
y
z
o
i
v
G
( )
,,
iii
ξ ηζ
Σ
i
( ) ( )
,,,,,,,
iiiiniiii
ve sξηζ ξηζ?Φ ≈
G G
故，通过Σ流向指定一侧的流量为
()()
1
1
,,,,,,,
n
i
i
n
iii niii i
i
ve sξηζ ξηζ
=
=
Φ=Σ?Φ
≈Σ
G G
令λ=max{d(?Σ
i
)}→0，则
()()
01
lim,,,,,,.
n
iii niii i
i
ve s
λ
ξηζ ξηζ
→=
Φ= Σ
G G
而上式右端为数量值函数的第一类曲面积分，即
( )( )
,,,,,,.
iii niii
ve dsξηζ ξηζ
Σ
Φ=
∫∫
G G
抽去该问题的具体背景，得到下面积分的定义。
3.向量值函数在定向曲面上的积分定义设Σ是一片光滑的定向曲面，向量值函数
(,,) (,,) (,,) (,,)F xyz Pxyzi Qxyzj Rxyzk=++
G G
G G
在Σ上有界，是Σ上点(x,y,z)处的单位法向量，
如果积分
(,,)
n
exyz
G
( ) ( )
,,,,,,.
iii niii
Fe dsξηζ ξηζ
Σ
∫∫
G
G
存在，则称此积分为向量值函数在定向曲面
Σ上的积分，记为
(,,)F x y z
G
(,,),Fxyzds
Σ
∫∫
G
G
即
( ) ( )
(,,),,,,,,.
iii niii
F x y z ds F e dsξηζ ξηζ
ΣΣ
=?
∫∫ ∫∫
G G
G G
该积分又称为第二类曲面积分。
第二类曲面积分的表达式记则
cos cos cos,
n
eijkα βγ=++
G
G G
G
(,,) [ (,,)cos (,,)cos
(,,)cos ] (,,)cos (,,)cos
(,,)cos (,,) (,,)
(,,),
Fxyzds Pxyz Qxyz ds
R x y zdsPxy zdsQxy zds
R x y z ds P x y z dydz Q x y z dzdx
Rxyzdxdy
αβ
γ αβ
γ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣΣ
Σ
+= +
=+
+
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
G
G
第二类曲面积分的计算方法
1.分面投影法设曲面Σ，方程z=z(x,y)，曲面在xoy平面上的投影为
D，函数R(z,y,z)在Σ上连续，若曲面取上侧，则单位法向量为
()
22
1
,,1,
1
nxy
xy
ezz
zz
′′
=
′′
++
G
故，曲面积分为
22
22
(,,) (,,)cos
1
[,,(,)] 1
1
[,,(,)],
xy
D
xy
D
R x y z dxdy R x y z ds
R x y z x y z z dxdy
zz
R x y z x y dxdy
γ
ΣΣ
=
′′
=++
′′
++
=
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
若Σ取下侧，则有
(,,) [,,(,)],
D
R x y z dxdy R x y z x y dxdy
Σ
=?
∫∫ ∫∫
同理，若Σ可表达成x=x(y,z)，Σ在yoz平面上的投影为D
yz
，曲面积分
(,,) [(,),,],
yz
D
P xyzdydz Pxyz yzdydz
Σ
=±
∫∫ ∫∫
同理，若Σ可表达成y=y(x,z)，Σ在xoz平面上的投影为D
xz
，曲面积分
(,,) [,(,),],
xz
D
Qxy zdxdz Qxy xz zdxdz
Σ
=±
∫∫ ∫∫
例1 求积分，其中Σ为半球面取上侧。
zdxdy
Σ
∫∫
22
z ax y=
解曲面在xoy 平面上的投影为
()
{ }
222
,.D xy x y a=+≤
故，由积分公式，得
2
222 2 2
00
32 3
2
0
2
2sincos,
3
a
D
zdxdy axy ddad
at tdt a
π
π
σ θρ ρρ
ππ
Σ
==?
==
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
例2 求积分其中Σ为球面
x
2
+y
2
+z
2
=1在第一卦限部分，取上侧。
222
x dydz y dzdx z dxdy
Σ
++
∫∫
解由对称性，得
222 2
3,x dydz y dzdx z dxdy z dxdy
ΣΣ
++=
∫∫ ∫∫
再由第二类曲面积分方法，得
() ()
222 2
2
00
44
0
331 31
31 1 3
.
42 4 8
a
D
a
z dxdy x y d d d
a
π
σ θρ ρ ρ
πρρ π
Σ
= =?
=?=
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
例3 求积分，含在
222
,:xz dxdy zRxy
Σ
Σ =
∫∫
22
+≤xyRx中的部分，取上侧。
解
( )
()
222
cos
22 2 5 3 5
00 0
55
11
cos
35
12 142 26
2.
33 553 225
D
R
xz dxdy x R x y dxdy
dRdR d
RR
ππ
θ
θ ρρρ θ θθ
Σ
=
=?=?
=?=
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
2.合一投影法设曲面Σ的方程为z=z(x,y)，Σ在xoy 平面上的投影为D，函数P,Q,R在Σ上连续，则
[]()[]
()
[]
(,,) (,,) (,,)
{,,(,),,(,)
,,(,)},
x y
D
Pxy zdydz Q x y zdzdx Rxy zdzdx
Pxy zxy zQxy zxy z
Rxyzxy dσ
Σ
++
′ ′
=?+?
+
∫∫
∫∫
例4 求积分
22
,:,0,0,0 1,zdxdy xydzdx z x y x y z
Σ
+Σ=+≥≥≤≤
∫∫
取上侧。
解由合一投影法，得
( )
()
222
1
322
2
00
2
2
0
2
2 cos sin
12
cos sin,
85 815
D
zdxdy xydzdx xy x y d
dd
d
π
π
σ
θρθθρρρ
ππ
θθθ
Σ
+=?++
=? +
=? =?
∫∫ ∫∫
∫∫
∫
例5 计算
32 2 2 2 2
,:y zdydz z x y dxdy zaxy
Σ
+ +Σ=
∫∫
取上侧。
解曲面在xoy平面上的投影为
()
{ }
222
,,Dxyxya=+≤
()
32 2 2
32 2 2
222
(
D
yzdydz z x ydxdy
x
ya x y
axy
Σ
++
=
∫∫
∫∫
()
()
22222
22222
22 2
2
00
42 2 42 2
2
424 4
2
0
sin cos sin 1 sin
22
sin sin,
28
D
a
axyxydxdy
axyxydxdy
dad
attd at tdt
attda
π
ππ
π
θρ ρρ
ππ
+
= +
=?
=? =
= =?
∫∫
∫∫
∫
例6 计算
222 2
,:,xdydz ydzdx zdxdy x y zR
Σ
++ Σ++=
∫∫
取外侧。
解由对称性
3.xdydz ydzdx zdxdy zdxdy
ΣΣ
++=
∫∫ ∫∫
设Σ
1
为上半曲面，取上侧，Σ
2
为下半曲面，取下侧。D
为曲面在xoy平面上的投影，则
()
12
222
222 222
3/2
22 22 3
0
0
(1)(1) 2
24
42
33
D
DD
R
R
zdxdy zdxdy zdxdy R x y dxdy
Rxydxdy Rxydxdy
Rd R Rπ ρρρπ ρ π
ΣΣΣ
=+=
+ =
=?==
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫
故原积分为
3
4.xdydz ydzdx zdxdy Rπ
Σ
++=
∫∫
1.第一类曲面积分的定义;
2.积分性质;
3.第一类曲面积分的方法;
4.第二类曲面积分的定义;
5.第二类曲面积分的计算方法;
6.两类曲面积分的联系。
二、本单元的教学要求掌握两类曲面积分的定义，性质和计算方法，尤其是第二类曲面积分的计算方法。
三、本单元教学的重点与难点本单元的重点和难点是第二类曲面积分的计算，尤其是掌握合片投影法。
第一类曲面积分的定义在上节中对于第一类曲线积分的引出中，把相关的问题转变成空间的曲面问题，即为第一类曲面积分的问题。即：设Σ为空间的一分片光滑的曲面块，密度函数为
ρ (x,y,z)，则曲面块的质量为
()
0
1
lim,,
n
iii i
i
M s
λ
ρξηζ
→
=
=?
∑
抽去其中的具体意义，即得到第一类曲线积分的定义。
定义设Σ是一片光滑曲面，函数f (x,y,z)在曲面上有界，将Σ划分成有限多个小块△Σ
1
,△Σ
2
,
…
,
△Σ
n
。记第I个小块△Σ
i
的面积为△S
i
，又在△Σ
i
上任取一点
(ξ
i
,η
i
,ζ
i
)，作和
1
(,,)
n
iii i
i
fsξηζ
=
∑
若各小块曲面的直径λ→0时，和式的极限总存在，则称此极限为函数f (x,y,z)在曲面Σ上的曲面积分，记为
(,,)fxyzds
Σ
∫∫
即
0
1
(,,) lim (,,),
n
iii i
i
fxyzds f s
λ
ξηζ
→
=
Σ
=?
∑
∫∫
数量值函数的曲面积分又称为第一类曲面积分，或称为对面积的曲面积分。
积分性质第一类曲面积分的积分性质与前面讨论的积分性质完全平行。
性质1 若函数f (x,y,z)在曲面Σ上连续，则积分
(,,)fxyzds
Σ
∫∫
存在。
性质2 若曲面Σ为若干个光滑曲面Σ
i
的和，则
1
(,,) (,,),
i
n
i
f x y z ds f x y z ds
=
ΣΣ
=
∑
∫∫ ∫∫
注若函数f (x,y,z)为曲面Σ上的密度函数ρ(x,y,z)，则相应的积分为曲面的质量
(,,),M xyzdsρ
Σ
=
∫∫
第一类曲面积分的计算方法计算公式设光滑曲面Σ由方程给出，D为
Σ在xoy上的投影，函数f (x,y,z)在Σ上连续，则
( )
(,),,,z zxy xy D=∈
[]
22
(,,),,(,) 1,
xy
D
fxyzds fxyzxy z zdσ
Σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
( 1 )
由第一类曲面积分的定义
0
1
(,,) lim (,,),
n
iii i
i
fxyzds f s
λ
ξηζ
→
=
Σ
=?
∑
∫∫
( )
,,
iii
ξ η ζ
x
y
z
o
将曲面分割成n个小曲面块，在第i个曲面块?Σ
i
上取点(ξ
i
,η
i
,ζ
i
)，在xoy平面上的投影为?D
i
，则
i
Σ
22
1(,)(,)
i
ixy
D
Szxyzxydσ
= + +
∫∫
( )
,
ii
ξ η
由积分中值定理，
i
D?
22
1(,)(,),
ixiy ii
Sz zξ ηξησ
′′ ′′
= + +?
注意到均为小闭区域?D
i
中的点，因而
( ) ( )
,,,
ii ii
ξ ηξη
′ ′
1
22
1
(,,)
[,,(,)]1 (,) (,)
n
iii i
i
n
ii ii xii yi i
i
fs
fz z z
ξηζ
ξ ηξη ξη ξησ
=
=
′′ ′′
= ++?
∑
∑
由条件，函数
22
[,,(,)],1 (,) (,)
xiy
f x y zxy zxy zxy++
在闭区域上连续，则当λ→0时，上式右端的极限与
22
1
[,,(,)]1 (,) (,)
n
ii ii xii yi i
i
fz z zξ ηξη ξη ξησ
=
+ +?
∑
的极限相等，而由条件，上式的极限是存在的，并且为上面函数的二重积分，即
0
1
22
0
1
22
(,,) lim (,,)
lim [,,(,)]1 (,) (,)
[,,(,)]1 (,) (,),
n
iii i
i
n
ii ii xii yii i
i
ii ii xii yii
D
fxyzds f s
fz z z
fz z z d
λ
λ
ξηζ
ξ ηξη ξη ξησ
ξη ξη ξη ξη σ
→
=
Σ
→
=
=?
= ++?
=++
∑
∫∫
∑
∫∫
例1 求其中。
22
xyds
Σ
∫∫
222
,z RxyΣ =
解
22 22
,,
xy
xy
zz
Rx y Rx y
′′
==
22
22
1,
yy
R
zz
Rx y
′′
++=
22 22
22
D
R
xyds xy d
Rx y
σ
Σ
=
∫∫ ∫∫
()
52 2
2
2200
24 65
22
00
66
4cossin
4sin sin sin
11 42 2
4.
24253 15
R
R
dr dr
Rr
dR tdt
RR
π
ππ
θθθ
θθθ
π
π
=
=?
==
∫∫
∫∫
例2 求，其中。
()xyzds
Σ
++
∫∫
()
22
:01zxy zΣ= + ≤≤
解由于积分区域关于xoz,yoz平面对称，故
0,xds yds
ΣΣ
= =
∫∫ ∫∫
22
1
2
2
00
() 2
22
42,
3
D
x y zds zds x y d
dx d
π
σ
ρρ π
ΣΣ
++ = = +
==
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
例3 求其中Σ为圆柱面x
2
+y
2
=R
2
介
222
z
ds
xyz
Σ
++
∫∫
于z=0和z=H之间的部分。
解由对称性，设Σ为曲面在第一卦限部分，则
x
y
z
o
Σ
1
222 222
4.
zz
ds ds
xyz xyz
ΣΣ
=
++ ++
∫∫ ∫∫
()
设D为Σ
1
在yoz平面上的投影，则
{ }
,0,0,D y z y RzH=≤≤≤≤
()
1
222 222
22
22
22
2200
22
0
0
22
2
4
4
4
2ln arcsin
ln,
D
HR
R
H
zz
ds ds
xyz xyz
zR
dxdz
Rz
Rx
zR
dz dx
Rz
Rx
x
RRz
R
RH
R
R
π
ΣΣ
=
++ ++
=
+
=
+
=+
+
=
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
例4 求,其中Σ为球面x
2
+y
2
+z
2
=a
2
，而
(,,)f x y zds
Σ
∫∫
22 22
22
(,,),
0
xy z xy
fxyz
z xy
+≥+
=
<+?
解曲面的交线：
2222
222
2
,,
2
xyza
z a
xyz
++=
=
+=
设球面被锥面截下的上面部分为Σ
1
，则由f(x,y,z)的表达式，得积分
( )
()
()
11
22
22
222
2
343
4
2
2200 0
4
434
0
(,,) (,,)
2sin
11
2coscos 852.
36
D
a
f x y zds f x y zds x y ds
a
xy d
axy
a
ddatd
a
at t a
π
π
π
σ
θρ ρπ
ρ
ππ
ΣΣΣ
==+
=+
==
= =?
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫ ∫
第二类曲面积分的概念
1.定向曲面及法向在本节中所讨论的曲面均指双侧曲面。并指定了曲面的侧向。对有向曲面而言，曲面的法向与曲面制定的侧向一致。
对有向曲面，相对于xoy平面有上下侧之分；对xoz
平面，有左右侧之分；对yoz平面，有前后侧之分；
对封闭曲面，有内外侧之分。
设曲面Σ，方程为z=z(x,y)，则曲面任意点处的法向为
( )
,,1,
xy
nzz
′ ′
=±
G
相应的单位向量为
()
22
1
,,1,
1
nxy
xy
ezz
zz
′ ′
=±
′′
++
G
因而，若曲面取上侧，则法向为
()
22
1
,,1.
1
nxy
xy
ezz
zz
′′
=
′′
++
G
其它情况有相应的表达式。
2.流体流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由
(,,) (,,) (,,) (,,)vxyz Pxyzi Qxyzj Rxyzk=++
G
G G
G
给出，Σ是速度场中一片光滑的定向曲面，求在单位时间内通过Σ指定一侧的流量Φ。
分析若Σ是一面积为S的平面块，而速度场为常量，则
cos
n
S v Sv eθΦ==?
G G
其中为平面的单位法向量，θ为平面与法向量之间的夹角。
n
e
G
若Σ是曲面块，而Σ上各点处的流速各不相同，仍然用分割，取点，作和再取极限的方法求出相应的流量。
将曲面分割成n个小曲面?Σ
1
,?Σ
2
,…,?Σ
n
。在?Σ
i
上取点(ξ
i
,η
i
,ζ
i
)，当?Σ
I
的直径很小时，相应的流量为
n
e
G
x
y
z
o
i
v
G
( )
,,
iii
ξ ηζ
Σ
i
( ) ( )
,,,,,,,
iiiiniiii
ve sξηζ ξηζ?Φ ≈
G G
故，通过Σ流向指定一侧的流量为
()()
1
1
,,,,,,,
n
i
i
n
iii niii i
i
ve sξηζ ξηζ
=
=
Φ=Σ?Φ
≈Σ
G G
令λ=max{d(?Σ
i
)}→0，则
()()
01
lim,,,,,,.
n
iii niii i
i
ve s
λ
ξηζ ξηζ
→=
Φ= Σ
G G
而上式右端为数量值函数的第一类曲面积分，即
( )( )
,,,,,,.
iii niii
ve dsξηζ ξηζ
Σ
Φ=
∫∫
G G
抽去该问题的具体背景，得到下面积分的定义。
3.向量值函数在定向曲面上的积分定义设Σ是一片光滑的定向曲面，向量值函数
(,,) (,,) (,,) (,,)F xyz Pxyzi Qxyzj Rxyzk=++
G G
G G
在Σ上有界，是Σ上点(x,y,z)处的单位法向量，
如果积分
(,,)
n
exyz
G
( ) ( )
,,,,,,.
iii niii
Fe dsξηζ ξηζ
Σ
∫∫
G
G
存在，则称此积分为向量值函数在定向曲面
Σ上的积分，记为
(,,)F x y z
G
(,,),Fxyzds
Σ
∫∫
G
G
即
( ) ( )
(,,),,,,,,.
iii niii
F x y z ds F e dsξηζ ξηζ
ΣΣ
=?
∫∫ ∫∫
G G
G G
该积分又称为第二类曲面积分。
第二类曲面积分的表达式记则
cos cos cos,
n
eijkα βγ=++
G
G G
G
(,,) [ (,,)cos (,,)cos
(,,)cos ] (,,)cos (,,)cos
(,,)cos (,,) (,,)
(,,),
Fxyzds Pxyz Qxyz ds
R x y zdsPxy zdsQxy zds
R x y z ds P x y z dydz Q x y z dzdx
Rxyzdxdy
αβ
γ αβ
γ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣΣ
Σ
+= +
=+
+
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
G
G
第二类曲面积分的计算方法
1.分面投影法设曲面Σ，方程z=z(x,y)，曲面在xoy平面上的投影为
D，函数R(z,y,z)在Σ上连续，若曲面取上侧，则单位法向量为
()
22
1
,,1,
1
nxy
xy
ezz
zz
′′
=
′′
++
G
故，曲面积分为
22
22
(,,) (,,)cos
1
[,,(,)] 1
1
[,,(,)],
xy
D
xy
D
R x y z dxdy R x y z ds
R x y z x y z z dxdy
zz
R x y z x y dxdy
γ
ΣΣ
=
′′
=++
′′
++
=
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
若Σ取下侧，则有
(,,) [,,(,)],
D
R x y z dxdy R x y z x y dxdy
Σ
=?
∫∫ ∫∫
同理，若Σ可表达成x=x(y,z)，Σ在yoz平面上的投影为D
yz
，曲面积分
(,,) [(,),,],
yz
D
P xyzdydz Pxyz yzdydz
Σ
=±
∫∫ ∫∫
同理，若Σ可表达成y=y(x,z)，Σ在xoz平面上的投影为D
xz
，曲面积分
(,,) [,(,),],
xz
D
Qxy zdxdz Qxy xz zdxdz
Σ
=±
∫∫ ∫∫
例1 求积分，其中Σ为半球面取上侧。
zdxdy
Σ
∫∫
22
z ax y=
解曲面在xoy 平面上的投影为
()
{ }
222
,.D xy x y a=+≤
故，由积分公式，得
2
222 2 2
00
32 3
2
0
2
2sincos,
3
a
D
zdxdy axy ddad
at tdt a
π
π
σ θρ ρρ
ππ
Σ
==?
==
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
例2 求积分其中Σ为球面
x
2
+y
2
+z
2
=1在第一卦限部分，取上侧。
222
x dydz y dzdx z dxdy
Σ
++
∫∫
解由对称性，得
222 2
3,x dydz y dzdx z dxdy z dxdy
ΣΣ
++=
∫∫ ∫∫
再由第二类曲面积分方法，得
() ()
222 2
2
00
44
0
331 31
31 1 3
.
42 4 8
a
D
a
z dxdy x y d d d
a
π
σ θρ ρ ρ
πρρ π
Σ
= =?
=?=
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
例3 求积分，含在
222
,:xz dxdy zRxy
Σ
Σ =
∫∫
22
+≤xyRx中的部分，取上侧。
解
( )
()
222
cos
22 2 5 3 5
00 0
55
11
cos
35
12 142 26
2.
33 553 225
D
R
xz dxdy x R x y dxdy
dRdR d
RR
ππ
θ
θ ρρρ θ θθ
Σ
=
=?=?
=?=
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
2.合一投影法设曲面Σ的方程为z=z(x,y)，Σ在xoy 平面上的投影为D，函数P,Q,R在Σ上连续，则
[]()[]
()
[]
(,,) (,,) (,,)
{,,(,),,(,)
,,(,)},
x y
D
Pxy zdydz Q x y zdzdx Rxy zdzdx
Pxy zxy zQxy zxy z
Rxyzxy dσ
Σ
++
′ ′
=?+?
+
∫∫
∫∫
例4 求积分
22
,:,0,0,0 1,zdxdy xydzdx z x y x y z
Σ
+Σ=+≥≥≤≤
∫∫
取上侧。
解由合一投影法，得
( )
()
222
1
322
2
00
2
2
0
2
2 cos sin
12
cos sin,
85 815
D
zdxdy xydzdx xy x y d
dd
d
π
π
σ
θρθθρρρ
ππ
θθθ
Σ
+=?++
=? +
=? =?
∫∫ ∫∫
∫∫
∫
例5 计算
32 2 2 2 2
,:y zdydz z x y dxdy zaxy
Σ
+ +Σ=
∫∫
取上侧。
解曲面在xoy平面上的投影为
()
{ }
222
,,Dxyxya=+≤
()
32 2 2
32 2 2
222
(
D
yzdydz z x ydxdy
x
ya x y
axy
Σ
++
=
∫∫
∫∫
()
()
22222
22222
22 2
2
00
42 2 42 2
2
424 4
2
0
sin cos sin 1 sin
22
sin sin,
28
D
a
axyxydxdy
axyxydxdy
dad
attd at tdt
attda
π
ππ
π
θρ ρρ
ππ
+
= +
=?
=? =
= =?
∫∫
∫∫
∫
例6 计算
222 2
,:,xdydz ydzdx zdxdy x y zR
Σ
++ Σ++=
∫∫
取外侧。
解由对称性
3.xdydz ydzdx zdxdy zdxdy
ΣΣ
++=
∫∫ ∫∫
设Σ
1
为上半曲面，取上侧，Σ
2
为下半曲面，取下侧。D
为曲面在xoy平面上的投影，则
()
12
222
222 222
3/2
22 22 3
0
0
(1)(1) 2
24
42
33
D
DD
R
R
zdxdy zdxdy zdxdy R x y dxdy
Rxydxdy Rxydxdy
Rd R Rπ ρρρπ ρ π
ΣΣΣ
=+=
+ =
=?==
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫
故原积分为
3
4.xdydz ydzdx zdxdy Rπ
Σ
++=
∫∫
