第三单元格林公式一、本单元的内容要点本单元要点：
1.格林公式；
2.曲线积分与路径无关性；
3.全微分求积；
二、本单元的教学要求掌握格林公式的意义，计算方法及一些相关问题。
三、本单元教学的重点与难点本单元的重点是格林公式的使用。难点是如何对非封闭的曲线如何正确的使用格林公式，以及区域中有奇点时的积分。
教学时数：2课时格林公式格林公式建立了曲线积分与二重积分的关系。通过格林公式，将一个比较复杂的曲线积分转化为一个相对简单的二重积分。在使用格林公式时尤为要注意使用格林公式的条件。
1.单(复)连通区域及正向边界设D为一平面区域，如果任一条闭曲线所包围的有界区域都属于D，则称D是单连通区域。
由定义可以看到，所谓单连通区域是一个没有“洞”的区域。
例区域为单连通区域，而是复连通区域。
()
{ }
22
,1Dxyxy= +≤
()
{ }
22
,1 4Dxyxy=≤+≤
x
y
o
x
y
o
()
{ }
22
,1Dxyxy= +≤
D
单连通复连通设平面区域D，规定D的边界曲线?D的正向如下：
当人站立于xoy 平面上，并沿?D的这一方向朝前行进时，区域D的边界总位于D的左侧。并以?D
+
表示
D的正向边界，而以?D
-
表示反向边界。
x
y
o
正向边界?D
+
D
x
y
o
D
反向边界?D
-
2.格林公式定理1 设D是xoy平面上的有界闭区域，其边界曲线?D
由有限条光滑或分段光滑的曲线组成，如果函数P(x,y),
Q(x,y)在D上有一阶连续偏导，则
(,) (,)
D
D
QP
dxdy P x y dx Q x y dy
xy
+
= +
∫∫ ∫null
( 1 )
注：公式(1)即称为格林公式。
证(1)首先假设D是X和Y型区域，D可以表示为
( ){ }
12
,() (),,D x yyx yyxa x b=≤≤≤
如图所示，设D的边界由L
1
,L
2
,L
3
,L
4
组成，其中L
1
,L
2
为曲线弧，L
3
,L
4
为直线段，L
1
:y=y(x)(x:a→b)，则
x
y
o
D
y=y
2
(x)
y=y
1
(x)
ab
[][]{}
2
1
()
()
21
,(),(),
byx
ayx
D
b
a
PP
ddx dy
yy
P xy x Pxy x dx
σ
=
=?
∫∫ ∫ ∫
∫
又，由曲线积分公式，
[] []
[][]{}
13
4
1
12
12
,(),()
,(),(),
i
DLLL
i
ba
ab
b
a
D
Pdx Pdx Pdx Pdx
P x y x dx P x y x dx
P
P xy x Pxy x dx d
y
σ
+
=
==+
=+
=? =?
∑
∫∫∫∫
即
,
D
D
P
Pdx d
y
σ
+
=?
∫∫∫
平行地，当D是Y型区域时，有
.
D
D
Q
Qdy d
x
σ
+
=?
∫∫∫
(2)若D是单连通区域，并且为有限个X型、Y型区域之和，则可用若干线段将区域D分割成有限个X型、Y型区域之和。如图所示，
D
1
D
2
D
3
123
DD D D= ∪∪
并且在每个D
i
上，均有
(,) (,)
i
i
D
D
QP
dxdy P x y dx Q x y dy
xy
+
= +
∫∫ ∫null
又，
3
1
i
i
DD
QP QP
dxdy dxdy
xy xy
=
=?
∑
∫∫ ∫∫
又注意到，在添加的辅助线段上，经过一个来回后，积分相互抵消，故
3
1
(,) (,) (,) (,),
i
i
DD
P xydx Qxydy Pxydx Qxydy
++
=
+= +
∑
∫∫nullnull
相加后即得
(,) (,),
D
D
QP
dxdy P x y dx Q x y dy
xy
+
= +
∫∫ ∫null
(3)若D是复连通的，则可用辅助线将D割开，使之成为单连通的，如图所示：则
D
L
1
L
2
A B
12
12
.
D
LBALAB
LL
QP
dxdy Pdx Qdy
xy
Pdx Qdy
+++
+
= +
=+
∫∫ ∫
∫
因L
1
+L
2
正好构成的D的整个边界，由此即得
(,) (,),
D
D
QP
dxdy Pxy dx Q x y dy
xy
+
= +
∫∫ ∫null
特殊地，当Q=x,P=-y时，则上式为
(,) (,)
22.
D
D
D
QP
P x y dx Q x y dy dxdy
xy
dSσ
+
+=?
==
∫∫∫
∫∫
null
其中S为区域D的面积，由此得，
1
.
2
D
S ydx xdy
+
=?+
∫null
例1 求，其中，L为正向椭圆周
( ) ( )
L
x y dx x y dy+
∫
22
22
1.
xy
ab
+=
解令P= x+y,Q=-x+y,则由格林公式得
()()
()
11 2 2,
L
D
D
QP
x y dx x y dy dxdy
xy
dxdy S abπ
+=?
= =?=?
∫∫∫
∫∫
例2 求其中L为
()
232
1
2
3
L
xy ydx x x xdy
+
∫
由x=1,y=x,y=2x 所围区域的正向边界。
解由格林公式，
()
232
22
12 1
2
00
1
2
3
41 1
3
44,
4
L
D
x
x
x yydx x x x dy
xx xd
dx xdy x dx
σ
+
=+
=? =? =?
∫
∫∫
∫∫ ∫
例3 求其中L为从抛物线2x=πy
2
从点(0,0)到(π/2,1)的弧段。
( ) ( )
32 22
2cos12sin3
L
xy y x dx y x x y dy?+?+
∫
解因曲线是非封闭的，故添加辅助线段
L
1
:x= π/2,y,1→0; L
2
:y=0,x,π/2→0,则
()( )
()
1
1
32 22
2
0
22 2
1
2
2cos12sin3
3
12sin 3 12
4
1
,
4
L
L
xy y x dx y x x y dy
y x x y dy y y dy
π
π
+?+
=? + =?+
=?
∫
∫∫
()( )
2
32 22
2cos12sin3 0,
L
xy y x dx y x x y dy? +? + =
∫
()( )
()( )
12
32 22
32 22
22
2cos12sin3
2cos12sin3
62cos62cos 0,
LL L
L
D
xy y x dx y x x y dy
xy y x dx y x x y dy
xy y x xy y x dσ
++
+?+
=? +?+
=+ =
∫
∫
∫∫
null
()( )
()( )
12
12
32 22
32 22
32 22
2
2cos12sin3
2cos12sin3
2cos12sin3
.
4
L
LL L
LL
xy y x dx y x x y dy
xy y x dx y x x y dy
xy y x dx y x x y dy
π
++
+
∴?+?+
=?+?+
+?+
=
∫
∫
∫
例4 求其中L为曲线从A(0,0)到B(2,2)的一段弧。
222
()( )
yy
L
xe y dx x e y dy++?
∫
2
4yxx=?
解令，则，
222
,
yy
Pxe yQxe y= +=?
1
xy
QP? =
令L
1
,y=0,x:0→2，L
2
,x=2,y:0→2，
x
y
o
D
L
1
L
2
1
1
22
2
2
0
()( )
() 2,
yy
L
y
L
xe y dx x e y dy
xe y dx xdx
++?
=+==
∫
∫∫
()
22
2 2
2
2
22 4
0
0
()()()
1
42,
2
yy y
LL
yy
xe y dx x e y dy x e y dy
eydye y e
++?=?
=?=?=?
∫∫
∫
- -
12
12
222 2
22 2 22
44
()( ) ()
() ()()
2 2 4 2 2.
yy y
LLL
LL
D
xe y dx x e y dy xe y dx
xe ydy xe ydx xe ydy
de eσπ
++
+
∴ ++?= +
+?+ ++?
=++?=+?
∫∫
∫
∫∫
例5 求其中L为椭圆形区域D,x
2
+2y
2
b1,
的正向边界。
22
L
xdy ydx
xy
+
∫
ox
y
解令，则当(x,y)≠(0,0)，
22 22
,
xy
PQ
xy xy
==
++
()
22
2
22
,
QPyx
xy
xy
==
+
由于被积函数在区域D中不连续，
故作小圆L
1
,x
2
+y
2
=r
2
，取顺时针方向，D
1
为L与L
1
所包围的区域，
()
1
1
11
11
22 22 22
22
22 22 22
22 2
2
22 22
2
0
0
1
1
cos sin 2,
LLL
L
LL L L
LL
xdyydx xdyydx xdyydx
xy xy xy
xdy ydx
xy
xdy ydx xdy ydx xdy ydx
xy xy xy
xdy ydx
xdy ydx
xy r
rrd
r
π
θθθπ
+
=+
+++
+
=?=?
++ +
==?
+
=+=
∫∫∫
∫
∫∫ ∫
∫∫
∫
null
平面曲线积分与路径无关的条件设G为平面开区域，M
0
、M是G内任意两点，L是G
内从M
0
到M的分段光滑曲线，若曲线积分
(,) (,)
L
Pxydx Qxydy+
∫
仅与曲线的端点有关而与积分的路径无关，则称该曲线积分在G内与路径无关，否则即说与路径有关。
定理设G是平面上的单连通
(1)
(,) ( (,),(,)) ( )Fxy PxyQxy C G=∈
则以下四个条件等价：
1.对G内任意一条分段光滑曲线L，
(,) (,) ;
L
Pxydx Qxydy+
∫null
2.曲线积分在G内与路径无关；
(,) (,)
L
Pxy dx Q x y dy+
∫
3.表达式在G内是某个函数(,) (,)Pxydx Qxydy+
的全微分，即存在u(x,y)，使得
(,) (,)du P x y dx Q x y dy= +
4,在G内处处成立。
QP
x y
=
证1?2。在G内任取两点M
0
和M，设L和L
1
(L≠L
1
)是连接M
0
和M的任意两条曲线，则是G内的一条闭曲线，则
1
L L
+
xo
y
M
0
M
L
1
L
- -
11
1
0
LL L L
LL
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
Pdx Qdy Pdx Qdy
+
=+=+++
=+?+
∫∫∫
∫∫
即，
1
.
LL
Pdx Qdy Pdx Qdy+= +
∫∫
2?3。设M
0
(x
0
,y
0
)、M(x,y)是G内任意两点，则由条件，曲线积分
null
0
(,) (,)
MM
P x y dx Q x y dy+
∫
仅依赖曲线的端点，故记曲线积分为
00
(,)
(,)
(,) (,)
xy
xy
P xydx Qxydy+
∫
固定(x
0
,y
0
)，则上述积分仅为(x,y)的函数，记为
u(x,y)，即
00
(,)
(,)
(,) (,) (,),
xy
xy
uxy Pxydx Qxydy=+
∫
因P(x,y),Q(x,y)为连续函数，故仅需证明
(,),(,),
uu
P xy Qxy
xy
==
从而证明了函数是可微的，并且有
(,) (,),du P x y dx Q x y dy= +
令N(x+?x,y)为区域中的另外一点，由于积分与路径无关，故从M
0
到N的积分可先到M再沿直线到N，因而
xo
y
M
0
M
N
( )
00 00
(,)(,)
(,) (,)
(,)
(,)
(,)(,)
(,) (,)
(,) (,)
xxy xy
xy xy
xxy
xy
ux xy uxy
Pxydx Qxydy
Pxydx Qxydy
+?
+?
+
=? +
=+
∫∫
∫
(,)
(,)
(,) (,)
xxy
xy
Pxydx Px xyθ
+?
==+?
∫
再由偏导的定义
00
0
(,)(,) (,)
lim lim
lim (,) (,),
xx
x
uuxxy uxy Px xy x
Px xy Pxy
θ
θ
→?→
→
+ +
==
=+?=
同理可得，
(,).
u
Qxy
y
=
3?4。由3，知函数u(x,y)为某一函数的全微分，即
(,),(,),
uu
Pxy Qxy
xy
==
由函数P，Q有连续偏导，即有
22
(,) (,)
,
uPxy uQxy
xy y yx x
===
.
QP
x y
=
4?1。设L是G内的任意一条光滑闭曲线，则由格林公式，得
(,) (,) 0.
L
D
QP
Pxydx Qxydy d
xy
σ
+ =? =
∫∫∫null
g
例6 证明曲线积分与路径无关，并求
( ) ( )
43 2 4
465
L
xxy dx x yydy++?
∫
( )
()
( )
(3,0)
43 2 4
2,1
465.xxy dx x yydy
++?
∫
证令，则
43 2 4
4,6 5Px xy Qxyy=+ =?
22
12,12,
xy x
QxyPxyQ===
故，曲线积分与路径无关。
( ) ( )
()( )
43 2 4
30
42
21
465
4545
L
xxydxxyydy
xxdx yydy
++?
=?+? =
∫
∫∫
例7 设O(0,0),A(1,1)，且曲线积分
( ) ( )
null
22
cos sin cos sin
OA
Iaxyyxdxbyxxydy=?+?
∫
与路径无关，求a,b的值，并求I。
解令
22
cos sin,cos sinP ax y y x Q by x x y=? =?
则，
sin 2 sin,sin 2 sin
yx
P ax y y x Q by x x y= =
由条件得，a=b=2。此时
( ) ( )
null
()
22
11
00
cos sin cos sin
22cos1sin2cos1.
OA
Iaxyyxdxbyxxydy
xdx y y dy
=?+?
=+? =
∫
∫∫
1.格林公式；
2.曲线积分与路径无关性；
3.全微分求积；
二、本单元的教学要求掌握格林公式的意义，计算方法及一些相关问题。
三、本单元教学的重点与难点本单元的重点是格林公式的使用。难点是如何对非封闭的曲线如何正确的使用格林公式，以及区域中有奇点时的积分。
教学时数：2课时格林公式格林公式建立了曲线积分与二重积分的关系。通过格林公式，将一个比较复杂的曲线积分转化为一个相对简单的二重积分。在使用格林公式时尤为要注意使用格林公式的条件。
1.单(复)连通区域及正向边界设D为一平面区域，如果任一条闭曲线所包围的有界区域都属于D，则称D是单连通区域。
由定义可以看到，所谓单连通区域是一个没有“洞”的区域。
例区域为单连通区域，而是复连通区域。
()
{ }
22
,1Dxyxy= +≤
()
{ }
22
,1 4Dxyxy=≤+≤
x
y
o
x
y
o
()
{ }
22
,1Dxyxy= +≤
D
单连通复连通设平面区域D，规定D的边界曲线?D的正向如下：
当人站立于xoy 平面上，并沿?D的这一方向朝前行进时，区域D的边界总位于D的左侧。并以?D
+
表示
D的正向边界，而以?D
-
表示反向边界。
x
y
o
正向边界?D
+
D
x
y
o
D
反向边界?D
-
2.格林公式定理1 设D是xoy平面上的有界闭区域，其边界曲线?D
由有限条光滑或分段光滑的曲线组成，如果函数P(x,y),
Q(x,y)在D上有一阶连续偏导，则
(,) (,)
D
D
QP
dxdy P x y dx Q x y dy
xy
+
= +
∫∫ ∫null
( 1 )
注：公式(1)即称为格林公式。
证(1)首先假设D是X和Y型区域，D可以表示为
( ){ }
12
,() (),,D x yyx yyxa x b=≤≤≤
如图所示，设D的边界由L
1
,L
2
,L
3
,L
4
组成，其中L
1
,L
2
为曲线弧，L
3
,L
4
为直线段，L
1
:y=y(x)(x:a→b)，则
x
y
o
D
y=y
2
(x)
y=y
1
(x)
ab
[][]{}
2
1
()
()
21
,(),(),
byx
ayx
D
b
a
PP
ddx dy
yy
P xy x Pxy x dx
σ
=
=?
∫∫ ∫ ∫
∫
又，由曲线积分公式，
[] []
[][]{}
13
4
1
12
12
,(),()
,(),(),
i
DLLL
i
ba
ab
b
a
D
Pdx Pdx Pdx Pdx
P x y x dx P x y x dx
P
P xy x Pxy x dx d
y
σ
+
=
==+
=+
=? =?
∑
∫∫∫∫
即
,
D
D
P
Pdx d
y
σ
+
=?
∫∫∫
平行地，当D是Y型区域时，有
.
D
D
Q
Qdy d
x
σ
+
=?
∫∫∫
(2)若D是单连通区域，并且为有限个X型、Y型区域之和，则可用若干线段将区域D分割成有限个X型、Y型区域之和。如图所示，
D
1
D
2
D
3
123
DD D D= ∪∪
并且在每个D
i
上，均有
(,) (,)
i
i
D
D
QP
dxdy P x y dx Q x y dy
xy
+
= +
∫∫ ∫null
又，
3
1
i
i
DD
QP QP
dxdy dxdy
xy xy
=
=?
∑
∫∫ ∫∫
又注意到，在添加的辅助线段上，经过一个来回后，积分相互抵消，故
3
1
(,) (,) (,) (,),
i
i
DD
P xydx Qxydy Pxydx Qxydy
++
=
+= +
∑
∫∫nullnull
相加后即得
(,) (,),
D
D
QP
dxdy P x y dx Q x y dy
xy
+
= +
∫∫ ∫null
(3)若D是复连通的，则可用辅助线将D割开，使之成为单连通的，如图所示：则
D
L
1
L
2
A B
12
12
.
D
LBALAB
LL
QP
dxdy Pdx Qdy
xy
Pdx Qdy
+++
+
= +
=+
∫∫ ∫
∫
因L
1
+L
2
正好构成的D的整个边界，由此即得
(,) (,),
D
D
QP
dxdy Pxy dx Q x y dy
xy
+
= +
∫∫ ∫null
特殊地，当Q=x,P=-y时，则上式为
(,) (,)
22.
D
D
D
QP
P x y dx Q x y dy dxdy
xy
dSσ
+
+=?
==
∫∫∫
∫∫
null
其中S为区域D的面积，由此得，
1
.
2
D
S ydx xdy
+
=?+
∫null
例1 求，其中，L为正向椭圆周
( ) ( )
L
x y dx x y dy+
∫
22
22
1.
xy
ab
+=
解令P= x+y,Q=-x+y,则由格林公式得
()()
()
11 2 2,
L
D
D
QP
x y dx x y dy dxdy
xy
dxdy S abπ
+=?
= =?=?
∫∫∫
∫∫
例2 求其中L为
()
232
1
2
3
L
xy ydx x x xdy
+
∫
由x=1,y=x,y=2x 所围区域的正向边界。
解由格林公式，
()
232
22
12 1
2
00
1
2
3
41 1
3
44,
4
L
D
x
x
x yydx x x x dy
xx xd
dx xdy x dx
σ
+
=+
=? =? =?
∫
∫∫
∫∫ ∫
例3 求其中L为从抛物线2x=πy
2
从点(0,0)到(π/2,1)的弧段。
( ) ( )
32 22
2cos12sin3
L
xy y x dx y x x y dy?+?+
∫
解因曲线是非封闭的，故添加辅助线段
L
1
:x= π/2,y,1→0; L
2
:y=0,x,π/2→0,则
()( )
()
1
1
32 22
2
0
22 2
1
2
2cos12sin3
3
12sin 3 12
4
1
,
4
L
L
xy y x dx y x x y dy
y x x y dy y y dy
π
π
+?+
=? + =?+
=?
∫
∫∫
()( )
2
32 22
2cos12sin3 0,
L
xy y x dx y x x y dy? +? + =
∫
()( )
()( )
12
32 22
32 22
22
2cos12sin3
2cos12sin3
62cos62cos 0,
LL L
L
D
xy y x dx y x x y dy
xy y x dx y x x y dy
xy y x xy y x dσ
++
+?+
=? +?+
=+ =
∫
∫
∫∫
null
()( )
()( )
12
12
32 22
32 22
32 22
2
2cos12sin3
2cos12sin3
2cos12sin3
.
4
L
LL L
LL
xy y x dx y x x y dy
xy y x dx y x x y dy
xy y x dx y x x y dy
π
++
+
∴?+?+
=?+?+
+?+
=
∫
∫
∫
例4 求其中L为曲线从A(0,0)到B(2,2)的一段弧。
222
()( )
yy
L
xe y dx x e y dy++?
∫
2
4yxx=?
解令，则，
222
,
yy
Pxe yQxe y= +=?
1
xy
QP? =
令L
1
,y=0,x:0→2，L
2
,x=2,y:0→2，
x
y
o
D
L
1
L
2
1
1
22
2
2
0
()( )
() 2,
yy
L
y
L
xe y dx x e y dy
xe y dx xdx
++?
=+==
∫
∫∫
()
22
2 2
2
2
22 4
0
0
()()()
1
42,
2
yy y
LL
yy
xe y dx x e y dy x e y dy
eydye y e
++?=?
=?=?=?
∫∫
∫
- -
12
12
222 2
22 2 22
44
()( ) ()
() ()()
2 2 4 2 2.
yy y
LLL
LL
D
xe y dx x e y dy xe y dx
xe ydy xe ydx xe ydy
de eσπ
++
+
∴ ++?= +
+?+ ++?
=++?=+?
∫∫
∫
∫∫
例5 求其中L为椭圆形区域D,x
2
+2y
2
b1,
的正向边界。
22
L
xdy ydx
xy
+
∫
ox
y
解令，则当(x,y)≠(0,0)，
22 22
,
xy
PQ
xy xy
==
++
()
22
2
22
,
QPyx
xy
xy
==
+
由于被积函数在区域D中不连续，
故作小圆L
1
,x
2
+y
2
=r
2
，取顺时针方向，D
1
为L与L
1
所包围的区域，
()
1
1
11
11
22 22 22
22
22 22 22
22 2
2
22 22
2
0
0
1
1
cos sin 2,
LLL
L
LL L L
LL
xdyydx xdyydx xdyydx
xy xy xy
xdy ydx
xy
xdy ydx xdy ydx xdy ydx
xy xy xy
xdy ydx
xdy ydx
xy r
rrd
r
π
θθθπ
+
=+
+++
+
=?=?
++ +
==?
+
=+=
∫∫∫
∫
∫∫ ∫
∫∫
∫
null
平面曲线积分与路径无关的条件设G为平面开区域，M
0
、M是G内任意两点，L是G
内从M
0
到M的分段光滑曲线，若曲线积分
(,) (,)
L
Pxydx Qxydy+
∫
仅与曲线的端点有关而与积分的路径无关，则称该曲线积分在G内与路径无关，否则即说与路径有关。
定理设G是平面上的单连通
(1)
(,) ( (,),(,)) ( )Fxy PxyQxy C G=∈
则以下四个条件等价：
1.对G内任意一条分段光滑曲线L，
(,) (,) ;
L
Pxydx Qxydy+
∫null
2.曲线积分在G内与路径无关；
(,) (,)
L
Pxy dx Q x y dy+
∫
3.表达式在G内是某个函数(,) (,)Pxydx Qxydy+
的全微分，即存在u(x,y)，使得
(,) (,)du P x y dx Q x y dy= +
4,在G内处处成立。
QP
x y
=
证1?2。在G内任取两点M
0
和M，设L和L
1
(L≠L
1
)是连接M
0
和M的任意两条曲线，则是G内的一条闭曲线，则
1
L L
+
xo
y
M
0
M
L
1
L
- -
11
1
0
LL L L
LL
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
Pdx Qdy Pdx Qdy
+
=+=+++
=+?+
∫∫∫
∫∫
即，
1
.
LL
Pdx Qdy Pdx Qdy+= +
∫∫
2?3。设M
0
(x
0
,y
0
)、M(x,y)是G内任意两点，则由条件，曲线积分
null
0
(,) (,)
MM
P x y dx Q x y dy+
∫
仅依赖曲线的端点，故记曲线积分为
00
(,)
(,)
(,) (,)
xy
xy
P xydx Qxydy+
∫
固定(x
0
,y
0
)，则上述积分仅为(x,y)的函数，记为
u(x,y)，即
00
(,)
(,)
(,) (,) (,),
xy
xy
uxy Pxydx Qxydy=+
∫
因P(x,y),Q(x,y)为连续函数，故仅需证明
(,),(,),
uu
P xy Qxy
xy
==
从而证明了函数是可微的，并且有
(,) (,),du P x y dx Q x y dy= +
令N(x+?x,y)为区域中的另外一点，由于积分与路径无关，故从M
0
到N的积分可先到M再沿直线到N，因而
xo
y
M
0
M
N
( )
00 00
(,)(,)
(,) (,)
(,)
(,)
(,)(,)
(,) (,)
(,) (,)
xxy xy
xy xy
xxy
xy
ux xy uxy
Pxydx Qxydy
Pxydx Qxydy
+?
+?
+
=? +
=+
∫∫
∫
(,)
(,)
(,) (,)
xxy
xy
Pxydx Px xyθ
+?
==+?
∫
再由偏导的定义
00
0
(,)(,) (,)
lim lim
lim (,) (,),
xx
x
uuxxy uxy Px xy x
Px xy Pxy
θ
θ
→?→
→
+ +
==
=+?=
同理可得，
(,).
u
Qxy
y
=
3?4。由3，知函数u(x,y)为某一函数的全微分，即
(,),(,),
uu
Pxy Qxy
xy
==
由函数P，Q有连续偏导，即有
22
(,) (,)
,
uPxy uQxy
xy y yx x
===
.
QP
x y
=
4?1。设L是G内的任意一条光滑闭曲线，则由格林公式，得
(,) (,) 0.
L
D
QP
Pxydx Qxydy d
xy
σ
+ =? =
∫∫∫null
g
例6 证明曲线积分与路径无关，并求
( ) ( )
43 2 4
465
L
xxy dx x yydy++?
∫
( )
()
( )
(3,0)
43 2 4
2,1
465.xxy dx x yydy
++?
∫
证令，则
43 2 4
4,6 5Px xy Qxyy=+ =?
22
12,12,
xy x
QxyPxyQ===
故，曲线积分与路径无关。
( ) ( )
()( )
43 2 4
30
42
21
465
4545
L
xxydxxyydy
xxdx yydy
++?
=?+? =
∫
∫∫
例7 设O(0,0),A(1,1)，且曲线积分
( ) ( )
null
22
cos sin cos sin
OA
Iaxyyxdxbyxxydy=?+?
∫
与路径无关，求a,b的值，并求I。
解令
22
cos sin,cos sinP ax y y x Q by x x y=? =?
则，
sin 2 sin,sin 2 sin
yx
P ax y y x Q by x x y= =
由条件得，a=b=2。此时
( ) ( )
null
()
22
11
00
cos sin cos sin
22cos1sin2cos1.
OA
Iaxyyxdxbyxxydy
xdx y y dy
=?+?
=+? =
∫
∫∫
