第一单元曲线积分一、本单元的内容要点
1.第一类曲线积分的概念，性质；
2.第一类曲线积分的计算方法 ;
3.第二类曲线积分的概念，性质；
4.第二类曲线积分的计算方法；
5.两类积分的联系。
二、本单元的教学要求掌握两类曲线积分的概念，性质，积分方法，尤其是第二类曲线积分的性质、物理意义及计算方法。
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.第一类曲线积分的计算；
2.第二类曲线积分的定义和物理意义；
3.第二类曲线积分的计算方法
4.两类曲线积分的联系难点：本单元的难点是第二类曲线积分的定义和相应的物理意义。
教学时数,4课时第一类曲线积分的概念
1.柱面的面积设 Σ是一张母线平行于 z轴，准线为 xoy平面上曲线 L的柱面的一部分，高度为 h(x,y)((x,y)∈L)，
求曲面的面积。
x
y
z
o
( )
,
ii
ξ η
L
A
B
M
i-1
M
i
分析 若 h(x,y)是常量，则曲面面积为曲线的长度与 h之积。即：
.A Sh=
其中,S为曲线的弧长。若 h(x,y)不是常量，则考虑用分割的方法求之。
在曲线 L上插入 n个分点,M
0
,M
1
,…,M
n-1
,M
n
。在小弧段 上取点 (ξ
i
,η
i
)，并用 h(ξ
i
,η
i
)作为相应小柱面的高度，从而得到小柱面的面积的近似值
q
1ii
M M
(,),
iiii
A hsξ η?≈?
x
y
z
o
( )
,
ii
ξ η
L
A
B
M
i-1
M
i
由此得到曲面面积的近似值
1
(,),
n
ii i
i
A hsξη
=
≈?
∑
0
1
lim (,),
n
ii i
i
A hs
λ
ξη
→
=
=?
∑
以 λ表示 n个小弧段的最大长度，在上式取 λ→0时的极限，则有
x
y
z
o
即，曲面的面积可以表达为一个和式的极限。
( )
,
ii
ξ η
L
A
B
M
i-1
M
i
2.曲线型构件的质量设一曲线型构件，在 xoy 平面上为曲线 L，密度函数为
ρ (x,y)，求此曲线构件的质量。
分析 如果 ρ (x,y)为常数，则质量为密度与弧长之积，即：
若 ρ (x,y)为变量，仍然考虑分割：在曲线上插入 n个分点 M
0
,M
1
,…,M
n-1
,
M
n
。在小弧段 上取点 (ξ
i
,η
i
)，
x
y
o
A
B
M
i-1
M
i
q
1ii
M M
.M Sρ=
由此得到小弧段质量的近似值：
(,),
iiii
M sρ ξη? ≈?
由此得到小弧段质量的近似值：
1
(,),
n
ii i
i
M sρξη
=
≈?
∑
以 λ表示 n个小弧段的最大长度，在上式取 λ→0时的极限，则有
0
1
lim (,),
n
ii i
i
M s
λ
ρξη
→
=
=?
∑
3.曲线积分的定义定义 设 L是 xoy平面内以 A,B为端点的光滑曲线，函数 f (x,y)L上有界。在 L上任意插入一个点列
01
,,,
n
A MM M B= = "
把 L分成 n个小段，设第 i个小段 的弧长为?s,
在 上任取一点 (ξ
i
,η
i
),(i=1,2,
…
,),
q
1ii
M M
q
1ii
M M
1
(,)
n
ii i
i
fsξη
=
∑
记,如果当 λ→0时，和式的极限存在，则称此极限为数量值函数 f(x,y)在曲线 L上的积分，记作
1
max{}
i
in
sλ
≤≤
=?
(,)
L
fxyds
∫
即：
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
L
i
fxyds f s
λ
ξη
→
=
=?
∑
∫
注,1.此类曲线积分又称为第一类曲线积分或对弧长的曲线积分；
2.如果 f (x,y)是 L上的连续函数，则曲线积分一定存在；
(,),
L
fxyds
∫ v
3.若 L是闭曲线，则曲线积分一般表示为
4.由前面的讨论，可以看到柱面的面积可以由下面的计算公式得到
(,),
L
A hxy ds=
∫
而曲线型构件的质量为
(,),
L
M x y dsρ=
∫
5.由曲线积分的定义，不难得到如下的两个性质：
(1)?α,β∈R，有
[ ]
(,) (,)
(,) (,),
L
LL
fxy gxyds
fxyds gxyds
αβ+
=+
∫
∫∫
(2)若曲线弧 L由曲线弧 L
1
和 L
2
连接而成的，则
1
(,) (,) (,),
LL L
fxyds fxyds fxyds=+
∫∫∫
由此得到，若 L是分段光滑曲线,f (x,y)在 L上连续，
则曲线积分存在。
第一类曲线积分的计算方法设平面光滑曲线弧 L由参数方程
()
( )
()
xxt
t
yyt
α β
=
≤≤
=
给出，函数 f (x,y)在 L上连续，则
22
(,)
[(),()] () (),
L
fxyds
fxt yt x t y tdt
β
α
′′
=+
∫
∫
( 1 )
下面给出公式 (1)推导过程。
设参数 t由 α 变至 β 时,L上的点 M(x,y)依点 A到点 B。
在 L上从 A到 B取点列
01
,,,
n
A MM M B= = "
该点列对应于一列单调递增的参数值
01
.
n
tt tα β= << <= "
由第一类曲线积分的定义
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
L
i
fxyds f s
λ
ξη
→
=
=?
∑
∫
设点 (ξ
i
,η
i
)对应于参数 τ，即 ξ
i
=x(τ
i
),η
i
=y(τ
i
)，因
1
22
() (),
i
i
t
i
t
sxty tdt
′′
= +
∫
由积分中值定理，得
22
() (),
iiii
sx y sττ
′′ ′′
=+?
其中,则
11
,,
iiii ii
tttt tτ
=? ≤ ≤
x
y
o
A
B
M
i-1
M
i
0
1
22
0
1
22
0
1
(,) lim (,)
lim [(),()] () ()
lim [(),()] () ()
n
ii i
L
i
n
ii i ii
i
n
ii i ii
i
fxyds f s
fx y x y t
fx y x y t
λ
λ
λ
ξη
ττ τ τ
ττ τ τ
→
=
→
=
→
=
=?
′′ ′′
=+?
′′
∑
∫
∑
∑
而等式中的最后一式为函数
22
[(),()] () ()f xt y txty t
′ ′
+
在区间 [α,β]上的定积分。而由于被积函数连续，故积分存在，故
22
(,)
[(),()] () (),
L
fxyds
fxt yt x t y tdt
β
α
′′
=+
∫
∫
特殊地，若曲线由方程
( )
() yyxaxb= ≤≤
给出，则相应的曲线积分为
2
(,) [,()]1,
b
La
fxyds fxyx yds
′
=+
∫∫
( )
2
若曲线由极坐标形式 给出，则相应的曲线积分为
( )( )
rrθ αθβ=≤≤
22
(,) [()cos,()sin ],
L
fxyds fr r r rdθ θθ θ θ
′
=+
∫∫
( )
3
因，此时
222 2
()cos,()sin,
()cos ()sin,
()sin ()cos,
() (),
xr yr
xr r
yr r
xyr r
θ
θ
θθ
θ θθθ
θ θθθ
θ θθθ
θθ
= =
′′
=?
′′
=+
′′ ′
+= +
代入积分公式 (1)，即有
22
(,) [()cos,()sin ],
L
fxyds fr r r rdθ θθ θ θ
′
=+
∫∫
例 1 求其中
( )
22
L
xyds+
∫
(cos sin )
,02.
(sin cos )
xa tt t
Lt
ya tt t
π
=+
≤≤
=?
解
( sin sin cos ) cos,
(cos cos sin ) cos,
t
t
xa t tt tat t
ya t tttatt
′
=? + + =
′
=?+=
22 2 2 3 2
() (1)x y x y att
′′
∴ ++=+
故，有积分公式，得
() ( )
2
22 3 3 23 2
0
2(12).
L
xyds attdt a
π
π π+= += +
∫∫
例 2 求其中
44
33
L
xyds
+
∫
3
3
cos
,0.
2
sin
xa t
Lt
ya t
π
=
≤≤
=
22
3cos sin,3sin cos,
tt
xattyatt
′′
=? =解
22
3sincosx y att
′′
+=
()
44 7
44
33 32
0
77
564
332
2
0
0
3cossinsincos
6sincos sin,
L
x y ds a t t t tdt
attdata
π
π
π
+= +
===
∫∫
∫
例 3 求圆柱面 界于平面 z=0和锥面
22
xyay+ =
22
h
z xy
a
=+之间的侧面积 (a>0,h>0)。
x
y
z
o
解 由曲线积分的几何意义，得,其中 L为平面曲线,z 为锥面方程函数。取 y为积分变量，则有
L
A zds=
∫
22
xyay+ =
2
2
1.
2
y
a
ds x dy dy
ay y
′
=+ =
将 z代入积分表达式，再由对称性，得
20
0
2
2
2.
a
L
a
ha
A zds ay dy
a
ay y
a
hdyah
ay
==
==
∫∫
∫
例 4 求曲线段 绕 y 轴旋转所得曲面的面积。
()
2
01
2
x
yx= ≤≤
解 由微元素法，得,故2dA xdsπ=
()
()
1
2
0
1
3
2
2
0
22
22
1221.
33
L
A xds x x dx
x
ππ
ππ
==+
=+ =?
∫∫
x
y
z
o
2
2
x
y =
1
例 5 设空间曲线，方程为
cos,sin,(0 2 )xa tya tzbt t π===≤
质量密度为,求曲线的质量。
222
xyzρ = ++
解 由曲线型构件的质量计算公式：
()
2
222 22
0
22222
(,,) ( )
2
3 4,
3
M x y zds a bt a bdt
abab
π
ρ
π
π
Γ
==++
=+ +
∫∫
例 6 求心形线 的形心。
(1 cos ) (0 2 )aρ θθπ=?≤≤
解 由对称性，得,
0y =
()
()
0
22 2 2
0
23 5
0
23 5 2 2
2
0
21coscos2sin
2
8 sin cos sin sin
22 22
8 sin 2sin
22
282 32
16 sin 2sin 16,
353 5
y
L
Mxdsa ad
ad
ad
attda a
π
π
π
π
θ
θθ θ
θθθθ
θ
θθ
θ
==?
=?
=?
=?=?=?
∫∫
∫
∫
∫
弧长
22sin 8,
2
L
sds a da
θ
θ== =
∫∫
故,由此得到重心坐标,。
4
,
5
xa=?
4
,0
5
a
第二类曲线积分的概念在第一节中，讨论的是对弧长的曲线积分，这是一种无方向的曲线积分。例如曲线的弧长、转动惯量等等，
均与方向无关。在这一节中，我们讨论与,方向,有关的曲线积分。
1.定向曲线及其切向量给定一条曲线，并规定了走向，如此曲线称为定向曲线。当起点为 A，终点为 B，一般用 表示 该曲线弧。
p
ABΓ=
若曲线 由参数方程给出：
p
ABΓ=
()
( ),,
()
xxt
yyt ta b
zzt
=
=→
=
( )
1
注意到 a 对应曲线的起点,b 对应曲线的终点。
定向曲线 的参数方程又可用向量方程的方式来表示：
p
ABΓ=
() () () (),,.rrt xtiytjztk ta b== + + →
G
G G
G G
设曲线 是光滑的，在每一点切线有两个方向，规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方向与曲线的走向一致。
p
ABΓ=
x
y
o
p
ABΓ=
A
B
设光滑曲线 由参数方程 (1)给出，若参数 t从小变大确定了曲线的走向。则对任意增量?t,当?t >0时，点
N(x(t+?t ),y(t+?t ),z(t+?t ))在点 M(x(t),y(t),z(t))的前方，从而向量
Γ
MN
t?
J J J J G
x
y
o
p
ABΓ=
A
B
M
N
τ
与曲线的方向一致；若?t <0，向量仍与曲线的方向一致。因而切向量为
( )
() 2 (),(),(),xt yt ztτ
′′′
=
G
同理，若参数 t从大到小确定了曲线的走向，则切向量为
( )
(),(),().xt yt ztτ
′′′
=
G
例 1 设曲线 L,y=x
2
,(x,0→1)，求任意一点处的单位切向量。
解由 (2)式，得切向量为
( )
1,2,xτ =
G
故，单位切向量为
()
2
1
1,2,
14
ex
x
τ
=
+
G
2.变力沿曲线所作的功设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B，在移动过程中，指点受到力
(,) (,) (,)F xy Pxyi Qxyj=+
G
G G
的作用，求在移动过程中，力 所作的功。
F
G
分析 若力 是场力，曲线为直线，则功 W为
cos,WFABFAB θ=? =?
J J J G J J J G
G G
F
G
若 是变力，运动轨迹为曲线弧 L，则用 L上的点，将
F
G
曲线弧分成 n个小弧段，对小弧段,由条件，曲线是光滑的，故可近似地将弧段视为长度为?s
i
的直线段,在弧段上任取一点,又假设力 是连续的，故力在小弧段上作的功近似为
q
1ii
M M
( )
,
ii
ξ η
F
G
ox
y
( ) ( )
,,
ii ii i
WF e s
τ
ξη ξη
≈
G
G
0
A M=
n
B M=
1
M
1i
M
i
M
( ),
ii
ξ η
L
于是，
1
n
i
i
WW
=
=?
∑
()()
1
,,
n
ii ii i
i
Fe s
τ
ξη ξη
=
≈
∑
G
G
其中,表示定向曲线在点 处的单位切向量。令 λ=max{?s
i
}，则当 λ→0时，上式的极限即为变力沿定向曲线弧 所作的功，即
( )
,
ii
e
τ
ξ η
G
( )
,
ii
ξ η
p
LAB=
()()
0
1
lim,,.
n
ii ii i
i
WFes
τ
λ
ξη ξη
→
=
=
∑
G
G
又注意到，上式右端的极限为数量值函数在曲线 L上的第一类曲线积分。即
( ) ( )
,,.
L
WFxyexyds
τ
=?
∫
G
G
抽去具体的物理意义，即得到下述概念：
3.第二类曲线积分的定义定义 设 L是 xoy平面上一条光滑的定向曲线弧，向量值函数
(,) (,) (,)Fxy Pxy iQxyj=+
G
G G
在 L上有界,是定向曲线 L在点 (x,y)处的单位切向量，如果积分
( )
,exy
τ
G
( )()
,,.
L
F xy e xy ds
τ
∫
G
G
( )
3
存在，则称此积分为向量值函数 在定向曲线
L上的积分，记为
(,)F xy
G
(,)
L
Fxy dr
∫
G
G
即：
( ) ( )
(,),,.
LL
Fxy dr F x y exy ds
τ
=?
∫∫
G G
G G
注 向量值函数在定向曲线上的积分又称为第二类曲线积分。
4.第二类曲线积分的积分表达式设向量值函数
(,) (,) (,)F xy Pxyi Qxyj=+
G
G G
曲线 L在点 (x,y)处的单位切向量为,且
( )
,exy
τ
G
( )
,cos cos,exy i j
τ
α β=+
G G
G
则由 (3)式，得
[ ]
(,) (,)cos (,)cos
(,)cos (,)cos,
LL
LL
F xydr Pxy Qxy ds
P xy ds Qxy ds
αβ
α β
=+
∫∫
∫∫
G
G
( )
4
若记
(,) (,)cos,
LL
P xydx Pxy dsα=
∫∫
( )
5
(,) (,)cos,
LL
Qxydy Qxy dsβ=
∫∫
由此得到第二类曲线积分的另一种表达式
(,) (,) (,),
LLL
F xydr Pxydx Qxydy=+
∫∫∫
G
G
上式又经常表达为
(,) (,) (,),
LL
F xydr Pxydx Qxydy=+
∫∫
G
G
在积分表达式中,称为定向弧元素；由于
dr
G
cos,cos,dx ds dy dsα β= =
故记号 dx,dy分别称为定向弧 L的投影元素；又称为定向弧元素 的坐标，因此，第二类曲线积分又称为对坐标的曲线积分。若 L是封闭曲线，则积分经常表达为
dr
G
(,) (,),
L
P xydx Qxydy+
∫ >
5.积分性质
(1)若 在分段光滑曲线 L
i
上连续，则曲线积分
(,)F xy
G
(,)
L
Fxy dr
∫
G
G
一定存在，且
1
(,) (,),
i
n
LL
i
Fxy dr F x y dr
=
=
∑
∫∫
G G
G G
(2)若是 L的反向曲线，则
L
(,) (,) (,) (,),
LL
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
+= +
∫∫
平行地可以定义三元向量值函数在空间定向曲线 Γ上的第二类曲线积分。
设向量函数,空间定向曲线,
为曲线在点 (x,y,z)处的单位且向量，则积分
(,,)Fxy z
G
p
ABΓ =
( )
,,exyz
τ
G
( ) ( )
(,,),,,,Fxy zdr F xy zexy zds
τ
ΓΓ
=?
∫∫
G G
G G
称为向量值函数在空间曲线 Γ上的第二类曲线积分 (又称为对坐标的曲线积分 )。
若，
(,,) (,,) (,,) (,,),F xyz Pxyzi Qxyzj Qxyzk=++
G G
G G
( )
,,cos cos cos,exyz i j k
τ
α βλ=++
G
G G
G
则，
( ) ( )
(,,),,,,
[(,,)cos (,,)cos
(,,)cos ]
(,,) (,,) (,,),
Fxy zdr F xy zexy zds
Pxyz Qxyz
Rxyz ds
P x y zdx Qxy zdy Rxy zdz
τ
αβ
γ
ΓΓ
Γ
Γ
=?
=+
+
=++
∫∫
∫
∫
G G
G G
第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分可通过下面的转换方法转换成定积分以加以计算。
若平面定向曲线 L的方程为
()
:,
()
xxt
Ltab
yyt
=
→
=
函数 P(x,y),Q(x,y)在 L上连续，则
[][]{}
(,) (,)
(),() () (),() (),
L
b
a
Pxydx Qxydy
Pxt yt xt Qxt yt yt dt
+
′′
=+
∫
∫
设 是定向曲线弧在点 (x,y)处的单位切向量，则
()
cos,cosα β
(,) (,)cos,
LL
Pxydx Pxy dsα=
∫∫
当 a<b时，
()
22 22
() ()
cos,cos,,
() () () ()
xt yt
e
xt yt xt yt
τ
αβ
′′
==
′′ ′′
++
G
22
() ()ds x t y tdt
′′
=+
故，
[]
[]
22
22
(,) (,)cos
()
(),() () ()
() ()
(),() (),
LL
b
a
b
a
Pxydx Pxy ds
xt
Pxt yt x t y tdt
xt yt
Pxt yt xtdt
α=
′
′′
=+
′′
+
′
=
∫∫
∫
∫
而当 a>b时，
22
()
cos,
() ()
xt
xt y t
α
′
=?
′′
+
故
[]
[] []
22
22
(,) (,)cos
()
(),() () ()
() ()
(),() () (),() (),
LL
a
b
ab
ba
Pxydx Pxy ds
xt
Pxt yt x t y tdt
xt yt
Pxt yt xtdt Pxt yt xtdt
α=
′
′′
=+
′′
+
=? =
∫∫
∫
∫∫
由此得到，无论 a,b的大小关系如何，总有
[]
(,) (),() (),
b
La
Pxydx Pxt yt xtdt
′
=
∫∫
同样有
[]
(,) (),() (),
b
La
Qxydy Qxt yt ytdt
′
=
∫∫
由此得到：
[][]{}
(,) (,)
(),() () (),() (),
L
b
a
Pxydx Qxydy
Pxt yt xt Qxt yt yt dt
+
′′
=+
∫
∫
特殊地，若平面曲线由方程 y=y(x)(x:a→b)确定，则
[][]{}
(,) (,)
,(),() (),
L
b
a
Pxydx Qxydy
Pxy xQxy x y xdx
+
′
=+
∫
∫
对空间曲线，若曲线方程为
()
,( ),
()
xxt
Lyyt tab
zzt
=
= →
=
则相应的积分公式为
[][]
(,,) (,,) (,,)
{ (),(),() () (),( ),() ( )
[ ( ),( ),( )] ( )},
b
a
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
Pxt y tztxt Qxty xzty x
Rxt yt zt z t dt
Γ
++
′ ′
=+
′
+
∫
∫
例 1 求,其中 L,y=1-|1-x|
自 (0,0)到 (2,0)的折线段。
( ) ( )
22 22
L
x y dx x y dy++?
∫
解将 L分成两段 L
1
和 L
2
。 L
1
,y=x(x:0→1),
L
2
,y=2-x(x:1→2)。则
x
y
o
y =x
y =
2
-x
()( )
()()
()()
1
2
22 22
22 22
22 22
L
L
L
x y dx x y dy
x y dx x y dy
x y dx x y dy
++?
=++?
+++?
∫
∫
∫
()()
1
1
22 22 2
0
2
2,
3
L
x y dx x y dy x dx+ +? = =
∫∫
()( )
()
()()
()
2
22 22
2
2
1
2
2
1
244 441
26
288,
3
L
x y dx x y dy
xxx dx
xxdx
++?
=+?+
=+?=
∫
∫
∫
()()
22 22
28
.
3
L
x y dx x y dy++?=
∫
例 2 求 L为从 (1,0)到（ 2,1)的直线段。
1
1ln
yy
L
edxe xdy
x
++
∫
解 L的方程,y=x-1 (x:1→2)，则
2
11
1
22
11
11
2
11 1
1
1ln ln
1
1ln
1ln
1ln2.
yy xx
L
xx
xx x
edxe xdy eexdx
edx e xdx
x
edxe x edx
e
++=++
=+ +
=+ +?
=+
∫∫
∫∫
例 3 求其中L为从 (π,0)到 (0,π)
的直线段。
sin sin
L
x ydx y xdy?
∫
解 积分曲线方程为 y= π-x(x,π→0)，故
[]
0
0
sin sin
sin( ) ( )sin ( 1)
sin sin sin 2,
L
x ydx y xdy
xxxxdx
xx xxxdx
π
π
ππ
π π
=
=+?=?
∫
∫
∫
例 4 由 确定一力场，质点沿柱面
(a>0)与平面 y-z=0的交线从 A(a,0,0)移动到点 B(-a,0,0)，求场力作的功。
( )
,3,2F yz xz xy=?
G
22
y ax=?
x
y
z
o
22
yax=?
y-z=0
解 由第二类曲线积分的物理意义，得场力所作的功
W 为
32,W Fdr yzdx xzdy xydz
ΓΓ
==?+
∫∫
G
G
而在曲线 Γ上，有
22
,
x
dy dz dx
ax
==
22 22
22
23
32
2.
a
a
a
a
W Fdr yzdx xzdy xydz
x
yzdx xzdy a x x a x dx
ax
adx a
ΓΓ
Γ
==?+
=?=?+?
==?
∫∫
∫∫
∫
G
G
例 5 试把第二类曲线积分
(,,) (,,) (,,)Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Γ
++
∫
化为对弧长的曲线积分，其中 Γ为曲线 x=t,y=t
2
,z=t
3
相应于 t从 0到 1的弧段。
解 且向量为 单位切向量为
( )
2
1,2,3,xxτ =
G
()
2
24
1
1,2,3,
14 9
ett
xx
τ
=
++
G
故上面的积分为
()
2
24
(,,) (,,) (,,)
1
23,
14 9
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
xP xQ x R ds
xx
Γ
Γ
++
=++
++
∫
∫
1.第一类曲线积分的概念，性质；
2.第一类曲线积分的计算方法 ;
3.第二类曲线积分的概念，性质；
4.第二类曲线积分的计算方法；
5.两类积分的联系。
二、本单元的教学要求掌握两类曲线积分的概念，性质，积分方法，尤其是第二类曲线积分的性质、物理意义及计算方法。
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.第一类曲线积分的计算；
2.第二类曲线积分的定义和物理意义；
3.第二类曲线积分的计算方法
4.两类曲线积分的联系难点：本单元的难点是第二类曲线积分的定义和相应的物理意义。
教学时数,4课时第一类曲线积分的概念
1.柱面的面积设 Σ是一张母线平行于 z轴，准线为 xoy平面上曲线 L的柱面的一部分，高度为 h(x,y)((x,y)∈L)，
求曲面的面积。
x
y
z
o
( )
,
ii
ξ η
L
A
B
M
i-1
M
i
分析 若 h(x,y)是常量，则曲面面积为曲线的长度与 h之积。即：
.A Sh=
其中,S为曲线的弧长。若 h(x,y)不是常量，则考虑用分割的方法求之。
在曲线 L上插入 n个分点,M
0
,M
1
,…,M
n-1
,M
n
。在小弧段 上取点 (ξ
i
,η
i
)，并用 h(ξ
i
,η
i
)作为相应小柱面的高度，从而得到小柱面的面积的近似值
q
1ii
M M
(,),
iiii
A hsξ η?≈?
x
y
z
o
( )
,
ii
ξ η
L
A
B
M
i-1
M
i
由此得到曲面面积的近似值
1
(,),
n
ii i
i
A hsξη
=
≈?
∑
0
1
lim (,),
n
ii i
i
A hs
λ
ξη
→
=
=?
∑
以 λ表示 n个小弧段的最大长度，在上式取 λ→0时的极限，则有
x
y
z
o
即，曲面的面积可以表达为一个和式的极限。
( )
,
ii
ξ η
L
A
B
M
i-1
M
i
2.曲线型构件的质量设一曲线型构件，在 xoy 平面上为曲线 L，密度函数为
ρ (x,y)，求此曲线构件的质量。
分析 如果 ρ (x,y)为常数，则质量为密度与弧长之积，即：
若 ρ (x,y)为变量，仍然考虑分割：在曲线上插入 n个分点 M
0
,M
1
,…,M
n-1
,
M
n
。在小弧段 上取点 (ξ
i
,η
i
)，
x
y
o
A
B
M
i-1
M
i
q
1ii
M M
.M Sρ=
由此得到小弧段质量的近似值：
(,),
iiii
M sρ ξη? ≈?
由此得到小弧段质量的近似值：
1
(,),
n
ii i
i
M sρξη
=
≈?
∑
以 λ表示 n个小弧段的最大长度，在上式取 λ→0时的极限，则有
0
1
lim (,),
n
ii i
i
M s
λ
ρξη
→
=
=?
∑
3.曲线积分的定义定义 设 L是 xoy平面内以 A,B为端点的光滑曲线，函数 f (x,y)L上有界。在 L上任意插入一个点列
01
,,,
n
A MM M B= = "
把 L分成 n个小段，设第 i个小段 的弧长为?s,
在 上任取一点 (ξ
i
,η
i
),(i=1,2,
…
,),
q
1ii
M M
q
1ii
M M
1
(,)
n
ii i
i
fsξη
=
∑
记,如果当 λ→0时，和式的极限存在，则称此极限为数量值函数 f(x,y)在曲线 L上的积分，记作
1
max{}
i
in
sλ
≤≤
=?
(,)
L
fxyds
∫
即：
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
L
i
fxyds f s
λ
ξη
→
=
=?
∑
∫
注,1.此类曲线积分又称为第一类曲线积分或对弧长的曲线积分；
2.如果 f (x,y)是 L上的连续函数，则曲线积分一定存在；
(,),
L
fxyds
∫ v
3.若 L是闭曲线，则曲线积分一般表示为
4.由前面的讨论，可以看到柱面的面积可以由下面的计算公式得到
(,),
L
A hxy ds=
∫
而曲线型构件的质量为
(,),
L
M x y dsρ=
∫
5.由曲线积分的定义，不难得到如下的两个性质：
(1)?α,β∈R，有
[ ]
(,) (,)
(,) (,),
L
LL
fxy gxyds
fxyds gxyds
αβ+
=+
∫
∫∫
(2)若曲线弧 L由曲线弧 L
1
和 L
2
连接而成的，则
1
(,) (,) (,),
LL L
fxyds fxyds fxyds=+
∫∫∫
由此得到，若 L是分段光滑曲线,f (x,y)在 L上连续，
则曲线积分存在。
第一类曲线积分的计算方法设平面光滑曲线弧 L由参数方程
()
( )
()
xxt
t
yyt
α β
=
≤≤
=
给出，函数 f (x,y)在 L上连续，则
22
(,)
[(),()] () (),
L
fxyds
fxt yt x t y tdt
β
α
′′
=+
∫
∫
( 1 )
下面给出公式 (1)推导过程。
设参数 t由 α 变至 β 时,L上的点 M(x,y)依点 A到点 B。
在 L上从 A到 B取点列
01
,,,
n
A MM M B= = "
该点列对应于一列单调递增的参数值
01
.
n
tt tα β= << <= "
由第一类曲线积分的定义
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
L
i
fxyds f s
λ
ξη
→
=
=?
∑
∫
设点 (ξ
i
,η
i
)对应于参数 τ，即 ξ
i
=x(τ
i
),η
i
=y(τ
i
)，因
1
22
() (),
i
i
t
i
t
sxty tdt
′′
= +
∫
由积分中值定理，得
22
() (),
iiii
sx y sττ
′′ ′′
=+?
其中,则
11
,,
iiii ii
tttt tτ
=? ≤ ≤
x
y
o
A
B
M
i-1
M
i
0
1
22
0
1
22
0
1
(,) lim (,)
lim [(),()] () ()
lim [(),()] () ()
n
ii i
L
i
n
ii i ii
i
n
ii i ii
i
fxyds f s
fx y x y t
fx y x y t
λ
λ
λ
ξη
ττ τ τ
ττ τ τ
→
=
→
=
→
=
=?
′′ ′′
=+?
′′
∑
∫
∑
∑
而等式中的最后一式为函数
22
[(),()] () ()f xt y txty t
′ ′
+
在区间 [α,β]上的定积分。而由于被积函数连续，故积分存在，故
22
(,)
[(),()] () (),
L
fxyds
fxt yt x t y tdt
β
α
′′
=+
∫
∫
特殊地，若曲线由方程
( )
() yyxaxb= ≤≤
给出，则相应的曲线积分为
2
(,) [,()]1,
b
La
fxyds fxyx yds
′
=+
∫∫
( )
2
若曲线由极坐标形式 给出，则相应的曲线积分为
( )( )
rrθ αθβ=≤≤
22
(,) [()cos,()sin ],
L
fxyds fr r r rdθ θθ θ θ
′
=+
∫∫
( )
3
因，此时
222 2
()cos,()sin,
()cos ()sin,
()sin ()cos,
() (),
xr yr
xr r
yr r
xyr r
θ
θ
θθ
θ θθθ
θ θθθ
θ θθθ
θθ
= =
′′
=?
′′
=+
′′ ′
+= +
代入积分公式 (1)，即有
22
(,) [()cos,()sin ],
L
fxyds fr r r rdθ θθ θ θ
′
=+
∫∫
例 1 求其中
( )
22
L
xyds+
∫
(cos sin )
,02.
(sin cos )
xa tt t
Lt
ya tt t
π
=+
≤≤
=?
解
( sin sin cos ) cos,
(cos cos sin ) cos,
t
t
xa t tt tat t
ya t tttatt
′
=? + + =
′
=?+=
22 2 2 3 2
() (1)x y x y att
′′
∴ ++=+
故，有积分公式，得
() ( )
2
22 3 3 23 2
0
2(12).
L
xyds attdt a
π
π π+= += +
∫∫
例 2 求其中
44
33
L
xyds
+
∫
3
3
cos
,0.
2
sin
xa t
Lt
ya t
π
=
≤≤
=
22
3cos sin,3sin cos,
tt
xattyatt
′′
=? =解
22
3sincosx y att
′′
+=
()
44 7
44
33 32
0
77
564
332
2
0
0
3cossinsincos
6sincos sin,
L
x y ds a t t t tdt
attdata
π
π
π
+= +
===
∫∫
∫
例 3 求圆柱面 界于平面 z=0和锥面
22
xyay+ =
22
h
z xy
a
=+之间的侧面积 (a>0,h>0)。
x
y
z
o
解 由曲线积分的几何意义，得,其中 L为平面曲线,z 为锥面方程函数。取 y为积分变量，则有
L
A zds=
∫
22
xyay+ =
2
2
1.
2
y
a
ds x dy dy
ay y
′
=+ =
将 z代入积分表达式，再由对称性，得
20
0
2
2
2.
a
L
a
ha
A zds ay dy
a
ay y
a
hdyah
ay
==
==
∫∫
∫
例 4 求曲线段 绕 y 轴旋转所得曲面的面积。
()
2
01
2
x
yx= ≤≤
解 由微元素法，得,故2dA xdsπ=
()
()
1
2
0
1
3
2
2
0
22
22
1221.
33
L
A xds x x dx
x
ππ
ππ
==+
=+ =?
∫∫
x
y
z
o
2
2
x
y =
1
例 5 设空间曲线，方程为
cos,sin,(0 2 )xa tya tzbt t π===≤
质量密度为,求曲线的质量。
222
xyzρ = ++
解 由曲线型构件的质量计算公式：
()
2
222 22
0
22222
(,,) ( )
2
3 4,
3
M x y zds a bt a bdt
abab
π
ρ
π
π
Γ
==++
=+ +
∫∫
例 6 求心形线 的形心。
(1 cos ) (0 2 )aρ θθπ=?≤≤
解 由对称性，得,
0y =
()
()
0
22 2 2
0
23 5
0
23 5 2 2
2
0
21coscos2sin
2
8 sin cos sin sin
22 22
8 sin 2sin
22
282 32
16 sin 2sin 16,
353 5
y
L
Mxdsa ad
ad
ad
attda a
π
π
π
π
θ
θθ θ
θθθθ
θ
θθ
θ
==?
=?
=?
=?=?=?
∫∫
∫
∫
∫
弧长
22sin 8,
2
L
sds a da
θ
θ== =
∫∫
故,由此得到重心坐标,。
4
,
5
xa=?
4
,0
5
a
第二类曲线积分的概念在第一节中，讨论的是对弧长的曲线积分，这是一种无方向的曲线积分。例如曲线的弧长、转动惯量等等，
均与方向无关。在这一节中，我们讨论与,方向,有关的曲线积分。
1.定向曲线及其切向量给定一条曲线，并规定了走向，如此曲线称为定向曲线。当起点为 A，终点为 B，一般用 表示 该曲线弧。
p
ABΓ=
若曲线 由参数方程给出：
p
ABΓ=
()
( ),,
()
xxt
yyt ta b
zzt
=
=→
=
( )
1
注意到 a 对应曲线的起点,b 对应曲线的终点。
定向曲线 的参数方程又可用向量方程的方式来表示：
p
ABΓ=
() () () (),,.rrt xtiytjztk ta b== + + →
G
G G
G G
设曲线 是光滑的，在每一点切线有两个方向，规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方向与曲线的走向一致。
p
ABΓ=
x
y
o
p
ABΓ=
A
B
设光滑曲线 由参数方程 (1)给出，若参数 t从小变大确定了曲线的走向。则对任意增量?t,当?t >0时，点
N(x(t+?t ),y(t+?t ),z(t+?t ))在点 M(x(t),y(t),z(t))的前方，从而向量
Γ
MN
t?
J J J J G
x
y
o
p
ABΓ=
A
B
M
N
τ
与曲线的方向一致；若?t <0，向量仍与曲线的方向一致。因而切向量为
( )
() 2 (),(),(),xt yt ztτ
′′′
=
G
同理，若参数 t从大到小确定了曲线的走向，则切向量为
( )
(),(),().xt yt ztτ
′′′
=
G
例 1 设曲线 L,y=x
2
,(x,0→1)，求任意一点处的单位切向量。
解由 (2)式，得切向量为
( )
1,2,xτ =
G
故，单位切向量为
()
2
1
1,2,
14
ex
x
τ
=
+
G
2.变力沿曲线所作的功设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B，在移动过程中，指点受到力
(,) (,) (,)F xy Pxyi Qxyj=+
G
G G
的作用，求在移动过程中，力 所作的功。
F
G
分析 若力 是场力，曲线为直线，则功 W为
cos,WFABFAB θ=? =?
J J J G J J J G
G G
F
G
若 是变力，运动轨迹为曲线弧 L，则用 L上的点，将
F
G
曲线弧分成 n个小弧段，对小弧段,由条件，曲线是光滑的，故可近似地将弧段视为长度为?s
i
的直线段,在弧段上任取一点,又假设力 是连续的，故力在小弧段上作的功近似为
q
1ii
M M
( )
,
ii
ξ η
F
G
ox
y
( ) ( )
,,
ii ii i
WF e s
τ
ξη ξη
≈
G
G
0
A M=
n
B M=
1
M
1i
M
i
M
( ),
ii
ξ η
L
于是，
1
n
i
i
WW
=
=?
∑
()()
1
,,
n
ii ii i
i
Fe s
τ
ξη ξη
=
≈
∑
G
G
其中,表示定向曲线在点 处的单位切向量。令 λ=max{?s
i
}，则当 λ→0时，上式的极限即为变力沿定向曲线弧 所作的功，即
( )
,
ii
e
τ
ξ η
G
( )
,
ii
ξ η
p
LAB=
()()
0
1
lim,,.
n
ii ii i
i
WFes
τ
λ
ξη ξη
→
=
=
∑
G
G
又注意到，上式右端的极限为数量值函数在曲线 L上的第一类曲线积分。即
( ) ( )
,,.
L
WFxyexyds
τ
=?
∫
G
G
抽去具体的物理意义，即得到下述概念：
3.第二类曲线积分的定义定义 设 L是 xoy平面上一条光滑的定向曲线弧，向量值函数
(,) (,) (,)Fxy Pxy iQxyj=+
G
G G
在 L上有界,是定向曲线 L在点 (x,y)处的单位切向量，如果积分
( )
,exy
τ
G
( )()
,,.
L
F xy e xy ds
τ
∫
G
G
( )
3
存在，则称此积分为向量值函数 在定向曲线
L上的积分，记为
(,)F xy
G
(,)
L
Fxy dr
∫
G
G
即：
( ) ( )
(,),,.
LL
Fxy dr F x y exy ds
τ
=?
∫∫
G G
G G
注 向量值函数在定向曲线上的积分又称为第二类曲线积分。
4.第二类曲线积分的积分表达式设向量值函数
(,) (,) (,)F xy Pxyi Qxyj=+
G
G G
曲线 L在点 (x,y)处的单位切向量为,且
( )
,exy
τ
G
( )
,cos cos,exy i j
τ
α β=+
G G
G
则由 (3)式，得
[ ]
(,) (,)cos (,)cos
(,)cos (,)cos,
LL
LL
F xydr Pxy Qxy ds
P xy ds Qxy ds
αβ
α β
=+
∫∫
∫∫
G
G
( )
4
若记
(,) (,)cos,
LL
P xydx Pxy dsα=
∫∫
( )
5
(,) (,)cos,
LL
Qxydy Qxy dsβ=
∫∫
由此得到第二类曲线积分的另一种表达式
(,) (,) (,),
LLL
F xydr Pxydx Qxydy=+
∫∫∫
G
G
上式又经常表达为
(,) (,) (,),
LL
F xydr Pxydx Qxydy=+
∫∫
G
G
在积分表达式中,称为定向弧元素；由于
dr
G
cos,cos,dx ds dy dsα β= =
故记号 dx,dy分别称为定向弧 L的投影元素；又称为定向弧元素 的坐标，因此，第二类曲线积分又称为对坐标的曲线积分。若 L是封闭曲线，则积分经常表达为
dr
G
(,) (,),
L
P xydx Qxydy+
∫ >
5.积分性质
(1)若 在分段光滑曲线 L
i
上连续，则曲线积分
(,)F xy
G
(,)
L
Fxy dr
∫
G
G
一定存在，且
1
(,) (,),
i
n
LL
i
Fxy dr F x y dr
=
=
∑
∫∫
G G
G G
(2)若是 L的反向曲线，则
L
(,) (,) (,) (,),
LL
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
+= +
∫∫
平行地可以定义三元向量值函数在空间定向曲线 Γ上的第二类曲线积分。
设向量函数,空间定向曲线,
为曲线在点 (x,y,z)处的单位且向量，则积分
(,,)Fxy z
G
p
ABΓ =
( )
,,exyz
τ
G
( ) ( )
(,,),,,,Fxy zdr F xy zexy zds
τ
ΓΓ
=?
∫∫
G G
G G
称为向量值函数在空间曲线 Γ上的第二类曲线积分 (又称为对坐标的曲线积分 )。
若，
(,,) (,,) (,,) (,,),F xyz Pxyzi Qxyzj Qxyzk=++
G G
G G
( )
,,cos cos cos,exyz i j k
τ
α βλ=++
G
G G
G
则，
( ) ( )
(,,),,,,
[(,,)cos (,,)cos
(,,)cos ]
(,,) (,,) (,,),
Fxy zdr F xy zexy zds
Pxyz Qxyz
Rxyz ds
P x y zdx Qxy zdy Rxy zdz
τ
αβ
γ
ΓΓ
Γ
Γ
=?
=+
+
=++
∫∫
∫
∫
G G
G G
第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分可通过下面的转换方法转换成定积分以加以计算。
若平面定向曲线 L的方程为
()
:,
()
xxt
Ltab
yyt
=
→
=
函数 P(x,y),Q(x,y)在 L上连续，则
[][]{}
(,) (,)
(),() () (),() (),
L
b
a
Pxydx Qxydy
Pxt yt xt Qxt yt yt dt
+
′′
=+
∫
∫
设 是定向曲线弧在点 (x,y)处的单位切向量，则
()
cos,cosα β
(,) (,)cos,
LL
Pxydx Pxy dsα=
∫∫
当 a<b时，
()
22 22
() ()
cos,cos,,
() () () ()
xt yt
e
xt yt xt yt
τ
αβ
′′
==
′′ ′′
++
G
22
() ()ds x t y tdt
′′
=+
故，
[]
[]
22
22
(,) (,)cos
()
(),() () ()
() ()
(),() (),
LL
b
a
b
a
Pxydx Pxy ds
xt
Pxt yt x t y tdt
xt yt
Pxt yt xtdt
α=
′
′′
=+
′′
+
′
=
∫∫
∫
∫
而当 a>b时，
22
()
cos,
() ()
xt
xt y t
α
′
=?
′′
+
故
[]
[] []
22
22
(,) (,)cos
()
(),() () ()
() ()
(),() () (),() (),
LL
a
b
ab
ba
Pxydx Pxy ds
xt
Pxt yt x t y tdt
xt yt
Pxt yt xtdt Pxt yt xtdt
α=
′
′′
=+
′′
+
=? =
∫∫
∫
∫∫
由此得到，无论 a,b的大小关系如何，总有
[]
(,) (),() (),
b
La
Pxydx Pxt yt xtdt
′
=
∫∫
同样有
[]
(,) (),() (),
b
La
Qxydy Qxt yt ytdt
′
=
∫∫
由此得到：
[][]{}
(,) (,)
(),() () (),() (),
L
b
a
Pxydx Qxydy
Pxt yt xt Qxt yt yt dt
+
′′
=+
∫
∫
特殊地，若平面曲线由方程 y=y(x)(x:a→b)确定，则
[][]{}
(,) (,)
,(),() (),
L
b
a
Pxydx Qxydy
Pxy xQxy x y xdx
+
′
=+
∫
∫
对空间曲线，若曲线方程为
()
,( ),
()
xxt
Lyyt tab
zzt
=
= →
=
则相应的积分公式为
[][]
(,,) (,,) (,,)
{ (),(),() () (),( ),() ( )
[ ( ),( ),( )] ( )},
b
a
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
Pxt y tztxt Qxty xzty x
Rxt yt zt z t dt
Γ
++
′ ′
=+
′
+
∫
∫
例 1 求,其中 L,y=1-|1-x|
自 (0,0)到 (2,0)的折线段。
( ) ( )
22 22
L
x y dx x y dy++?
∫
解将 L分成两段 L
1
和 L
2
。 L
1
,y=x(x:0→1),
L
2
,y=2-x(x:1→2)。则
x
y
o
y =x
y =
2
-x
()( )
()()
()()
1
2
22 22
22 22
22 22
L
L
L
x y dx x y dy
x y dx x y dy
x y dx x y dy
++?
=++?
+++?
∫
∫
∫
()()
1
1
22 22 2
0
2
2,
3
L
x y dx x y dy x dx+ +? = =
∫∫
()( )
()
()()
()
2
22 22
2
2
1
2
2
1
244 441
26
288,
3
L
x y dx x y dy
xxx dx
xxdx
++?
=+?+
=+?=
∫
∫
∫
()()
22 22
28
.
3
L
x y dx x y dy++?=
∫
例 2 求 L为从 (1,0)到（ 2,1)的直线段。
1
1ln
yy
L
edxe xdy
x
++
∫
解 L的方程,y=x-1 (x:1→2)，则
2
11
1
22
11
11
2
11 1
1
1ln ln
1
1ln
1ln
1ln2.
yy xx
L
xx
xx x
edxe xdy eexdx
edx e xdx
x
edxe x edx
e
++=++
=+ +
=+ +?
=+
∫∫
∫∫
例 3 求其中L为从 (π,0)到 (0,π)
的直线段。
sin sin
L
x ydx y xdy?
∫
解 积分曲线方程为 y= π-x(x,π→0)，故
[]
0
0
sin sin
sin( ) ( )sin ( 1)
sin sin sin 2,
L
x ydx y xdy
xxxxdx
xx xxxdx
π
π
ππ
π π
=
=+?=?
∫
∫
∫
例 4 由 确定一力场，质点沿柱面
(a>0)与平面 y-z=0的交线从 A(a,0,0)移动到点 B(-a,0,0)，求场力作的功。
( )
,3,2F yz xz xy=?
G
22
y ax=?
x
y
z
o
22
yax=?
y-z=0
解 由第二类曲线积分的物理意义，得场力所作的功
W 为
32,W Fdr yzdx xzdy xydz
ΓΓ
==?+
∫∫
G
G
而在曲线 Γ上，有
22
,
x
dy dz dx
ax
==
22 22
22
23
32
2.
a
a
a
a
W Fdr yzdx xzdy xydz
x
yzdx xzdy a x x a x dx
ax
adx a
ΓΓ
Γ
==?+
=?=?+?
==?
∫∫
∫∫
∫
G
G
例 5 试把第二类曲线积分
(,,) (,,) (,,)Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Γ
++
∫
化为对弧长的曲线积分，其中 Γ为曲线 x=t,y=t
2
,z=t
3
相应于 t从 0到 1的弧段。
解 且向量为 单位切向量为
( )
2
1,2,3,xxτ =
G
()
2
24
1
1,2,3,
14 9
ett
xx
τ
=
++
G
故上面的积分为
()
2
24
(,,) (,,) (,,)
1
23,
14 9
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
xP xQ x R ds
xx
Γ
Γ
++
=++
++
∫
∫
