第四单元连续函数本单元教学内容连续函数的定义；间断点及分类；连续函数的运算及初等函数的连续性；闭区间连续函数的性质．
本单元教学要求理解连续函数的意义及判定方法；理解间断点的意义及间断点分类方法——求左右极限；熟练运用闭区间上连续函数的性质去证明某些问题．
本单元教学重点与难点重点：连续函数的定义及几何意义；函数连续的探讨方法；间断点的定义及间断点的分类方法；闭区间上连续函数的性质．
难点：间断点的分类；闭区间上连续函数的性质．
教学时数：6课时．
一、连续函数在讨论函数极限中，我们看到函数在某一点是否存在极限与函数在该点是否有定义无关；与该点的函数值无关．但很多情况下，函数在一点的极限值与函数在这一点的函数值是密切相关的．本节将讨论具有这种特性的函数——连续函数．
1.函数在一点的连续性自然界中的很多现象都是连续变化的．例如气温的变化就是一个很明显的例子．所谓的连续变化指的是：当时间变化很小时，气温的变化也很小．具体地说，若以表示时刻时的温度，当时间变化很小时，即很小时，温度的变化也很小．这就是连续函数的本质特征．
()Tt
t t?
()()Tt t Tt+
定义设函数在点的某一领域内有定义，
若存在，且等于，即
()yfx=
0
x
lim ( )fx
→
0
()fx
0
xx
0
0
lim ( ) ( ),
xx
fx fx
→
=
则称函数在点是连续的，此时又称点是函数的连续点．
()fx
0
x
0
x
()yfx=
分析：由极限的定义，对任意给定的正数，总存在正数，对于适合不等式
ε
δ
0
xx δ? <
的一切，所对应的函数值都有x ()fx
0
() ( ),fx fx ε? <
函数在点连续的几何意义：记则
()f x
0
x
0
,xxx? =?
0
,xx x=+?
0
00
() ( )
()(),
yfx fx
fx x fx
=?
=+
x
y
o
x?
y?
y=f(x)
即则连续性的含义为
0
,xx→
0,x? →
0,0.xy?→→
2.单侧连续函数
0
0
0
lim ( ) ( ),
xx
fx fx
→?
=
若函数在点处的单侧极限存在且等于该点的函数值，则称函数在该点是单侧连续的．即若
0
x
()f x
0
()fx
则称函数在点是左连续的；相仿，若
0
x
0
0
0
lim ( ) ( ),
xx
fx fx
→+
=
则称函数在点是右连续的．
0
x
例1 设函数则函数在处
1 1
(),
1 1
xx
fx
xx
+ >
=
≤
1x =
是左连续而非右连续的．的图形如图所示．()fx
定理：函数在点处连续的充分必要条件是函数在该点既是左连续又是右连续．
()fx
0
x
()fx
x
y
o
()fx
3.区间上的连续函数在区间上每一点都连续的函数称为区间上的连续函数．
当点是区间的端点时，相应的连续为单侧连续．即若是区间[a,b]上的函数，在(a,b)上连续，且在x=a处是右连续、在x=b处是左连续的．
()fx ()fx
()fx
例2 证明是连续函数．
( )( )
sin,yxx= ∈?∞+∞
证设是区间内的任意一点，给以增量
，相应函数的增量为
x
( )
,?∞+∞
x
x?
()
sin sin 2sin cos,
22
xx
yxxx x


= + = +


因，故
cos 1x ≤
2sin cos 2 sin 2,
22 2
xx xx
yx x


=+≤≤=?


故当有
0,x?→
0,y? →
由此证明了函数在区间上的连续性．
sinyx= ( )
,?∞+∞
注若是区间I上的连续函数，则记为即：
()fx ().fCI∈
{ }
( ),CI f f=
为I上的连续函数
3.函数的间断点
()fx设函数在的某去心领域中有定义，若不是的连续点，则称是的间断点．
0
x
()fx
0
x
0
x
()fx
间断点的类型：
⑴在处无定义；
⑵在处有定义，但不存在；
⑶在处有定义且存在，但
0
x
()fx
()fx
0
x
0
lim ( )
xx
fx
→
0
lim ( )
xx
fx
→
0
x
()fx
0
0
lim ( ) ( ).
xx
fx fx
→
≠
例3 设函数，则函数在x=0处不连续，但若重新定义
1
()
x
e
fx
x
=
1
0
(),
1 0
x
e
x
fx
x
x
≠
=
=
则函数为整个定义域上的连续函数．()fx
例4 设函数，则函数在x =1处不
2
1
1
1
()
1
0
2
x
x
x
fx
x
≠
=
=
连续，但若重新定义
2
1
1
(),
1
2 0
x
x
fx
x
x
≠
=

=
则函数为整个定义域上的连续函数．()fx
在例3和例4中可以看到，这两个函数的共同特征为：
函数在该点的极限存在，但函数在该点不连续．数学上把这一类间断点称为可去间断点．
例5 设函数，
2
1 0
()
1 0
xx
fx
xx
+ <
=
≥
则当时，有0x →
( )
2
00
lim ( ) lim 1 1,
xx
fx x
→? →?
= +=
( )
00
lim ( ) lim 1 1,
xx
fx x
→+ →+
=?=?
x
y
o
即：函数在x=0处的左右极限存在但不相等．
从图形中可以看到，这类函数的几何图形在间断点上有一个跳跃现象，因而在数学上把这一类间断点称为跳跃间断点．
形中可以看到，当时，函数值在-1与+1之间无限次地变动．
0x→
例6 函数当时极限不存在，从图
1
() sinfx
x
= 0x →
一般地说，若当时，函数值无限次地在两个不同的数之间变动，则把点称为函数的振荡间断点．
0
xx→ ()fx
()fx
0
x
可去间断点与跳跃间断点的特征是，函数在这一点的左右极限均存在．通常把这一类间断点称为第一类间断点，除此之外的间断点称为第二类间断点．
例7 讨论函数
2
1 1
() 0 1 1,
1
xx
fx x
xx
<
=?≤≤
>
的连续性．
解显然，在集合上，函数是连续的；又因
( ) ( ) ( )
,1 1,1 1,?∞ +∞∪∪
()fx
10 10
lim ( ) lim 0 (0),
xx
fx f
→? →+
= ==
即函数在x=-1处是连续的；又
10 20
lim ( ) 0,lim ( ) 1,
xx
fx fx
→? →+
= =
故x=1为函数的跳跃间断点．
()fx
4.连续函数的运算
1.连续函数的和、积、商的连续性由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得：
定理1 设函数在点处连续，则
⑴函数
⑵函数
(),()fxgx
0
x
,fg±
,fg?
()
0
()0
f
gx
g
≠
⑶函数都早点处连续．
0
x
例8 设函数在点处连续，则函数
(),()fxgx
0
x
() max{ (),)},
() min{ (),()},
x f x gx
x f x g x
φ
=
=
在点处连续．
0
x
证因
() max{ (),()}
1
() () () (),
2
() min{ (),()}
1
() () () (),
2
xfxgx
fx gx fx gx
xfxgx
fx gx fx gx
φ
=
=? + +

=
=? +

再注意到：若在点处连续，则在点处连续，由此得到函数的连续性．
()fx
0
x
()f x
0
x
( ) ( )
,xx?φ
2.复合函数的连续性定理2 若函数在点出连续，函数在点处连续，则复合函数在点处连续．
()yfu=
0
uu=
()uux=
0
xx=
[ ]
()yfux=
0
x
由复合函数的极限运算法则及连续函数的定义，不难得到该定理的证明．
3.反函数的连续性定理3 设定义在区间上的反函数在该区间上单调增加(减少)且连续，则它的反函数存在并且在对应的区间上单调增加(减少)且连续．
y
I
()yfx=
1
()xfy
=
1
()xfy
=
{ (),}
x x
Iyyfxx I== ∈
4.初等函数的连续性由前面的讨论，我们得到定理一切初等函数在定义区间内都是连续的．
此定理的重要价值是：利用函数的连续性反过来可以求出复杂函数的极限．
例9 求极限( )
0
limln 1 cos,
x
x
→
+
解因函数在x=2处连续,又
∴
( )
ln 1 cosx+
0
limcos 1,
x
x
→
=
( )
0
limln 1 cos ln2.
x
x
→
+=
二、闭区间上连续函数的性质设定义在区间上，若存在点，使得对每一个都有
()fx I
0
xI∈
xI∈
0
() ( ),fx fx≤
则称为函数在区间上的最大值；相反地，
若对于，每一个都有
0
()f x
()fx
xI∈
0
() ( ),fx fx
′
≥
则称为函数在区间上的最小值．
0
()f x
′ ()fx
最大值和最小值分别记为
{ }
{}
0
0
() max (),
() min ().
xI
xI
f xfx
f xfx
∈
∈
=
′
=
例1 函数在整个区间上的最小值为0
但无最大值．
[ ]
()fx x x=?
x
y
o
y=x-[x]
定理1 闭区间上的连续函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值．
证明从略．
xa
o
bξ η
y
y=f(x)
从右边的图中可以看出，若函数在闭区间上连续，则在点和处分别取到最大值和最小值．
()fx
()fx
ξ η
用简单的数学符号，定理1可表述为：
[,][,]
[,],[,]
() max{()},() min{()}.
xabxab
fCab ab
f fx f fx
ξ η
ξη
∈∈
∈∈
∧= =
值得注意的是，定理1中的条件在闭区间上连续，
不能改为开区间．
()fx
介值定理在初等代数中．我们熟知这一个事实：对多项式函数
，若存在使得
()
n
P x
12
,xx
12
()() 0,
nn
PxPx <
则一定存在
( )
0
12 0
,()0.
n
xxxPx∈ ∧=
x
y
o x
0
从几何上我们可以很清楚地看到该问题的实际意义．
但该问题对于一般函数而言，结论就不成立．例如，
考虑函数
1
(),
2 1
xx
fx
xx
>
=
≤
注意到：但不存在关键原因在于函数不连续．
(0) 2,(2) 2,ff=?=
00
,( ) 0.xfx=
x
y
o
定理2 (零点定理) 若函数在闭区间[a,b]上连续，
且异号，则在开区间(a,b)内至少存在一个零点．
()fx
(),()fa fb
定理2可用符号表述为：
00
[,],() () 0 (,),( ) 0.fCabfafb x abfx∈?<∈=
从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧的两个端点分别位于x 轴的两侧，则曲线弧与x 轴至少有一个交点．
()yfx=
x
y
o
例1 证明方程在区间内有唯一的根．0 ( 1,1)
x
xe+=?
证令() [1,1],
x
fx x e C=+∈?
( )
( )
11
(1) ( 1) 1 1 0,ff e e ee

=+?=?<
由零点定理，知，存在，使得
( )
0
1,1x ∈?
0
() 0.fx =
又函数是单调增加函数，故零点是唯一的．
()fx
例2 设函数在(a,b]内连续，且存在，
证明在(a,b]内有界．
()fx (0)fa+
()fx
证因存在，由局部有界性定理，存在使得函数在内有界，又函数连续，故函数在内有界．由此得函数在(a,b]内有界．
(0)fa+ 0,δ >
( )
,aa δ+
[ ]
,,abδ+
例3 任何实系数奇数次代数方程必有实根．
证设实系数奇数次代数方程为
1
01 1
0,
nn
nn
ax ax a x a
+ ++=null
记
1
01 1
(),
nn
nn
fx ax ax a x a
=+ + +null
因
1
0
00
() 1,
n
n
n
aa
fx ax
ax ax

=+++


null
可见：
lim(),lim()
xx
fx fx
→+∞ →?∞
=+∞ =?∞
故，存在使得同理存在使得因由零点定理，知存在使得
1
0,x >
1
() 0;fx>
2
0,x <
2
()0,fx <
12
() [,],f xCxx∈
( )
021
,xxx∈
0
()0.fx =
定理2 (介值定理) 若函数在闭区间[a,b]上连续，
且，则对于介于与之间的任何实数，在区间(a,b)内至少存在一点使得
()fx
() ()fa fb≠
() ()fa fb
μ
0
x
0
(),fx μ=
证作函数则且
() (),Fx fx μ=? () [,],F xCab∈
( ) ( ) [ ] ( )
() 0,Fa Fb fa fbμμ? =<

由零点定理，存在使得
0
(,)xab∈
0
()0.Fx =
注零点定理与介值定理是等价的推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值．即
{} {}
()
[,] [,]
00
[,] min (),max (),
[,],.
xab xab
fCab fx fx
xabfx
μ
μ
∈ ∈

∈∈


∈ =
推论2 闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射为闭区间．