第一单元不定积分的概念与性质 基本积分法本单元内容要点原函数的概念,不定积分的概念与基本性质,基本积分公式,第一类换元积分法,第二类换元积分法,分部积分法,
本单元教学要求
1.理解原函数的概念,理解不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质,
2.掌握不定积分的基本公式,掌握换元积分法与分部积分法,
本单元教学的重点与难点重点,不定积分的基本公式,换元积分法与分部积分法,
难点,第一类换元积分法 (凑微分法 )
课时数,8学时,
一、不定积分的概念与性质
1.原函数在第二章中曾提出已知 求 的求导问题，而现在的问题是 已知,求满足 的
．这类问题就是求原函数．
()F x () ()F xfx
′
=
()fx () ()F xfx
′
=
()F x
定义 1 如果在区间 上的可导函数 的导函数为
，即对任一,都有
()F x
()fx
xI∈
I
( ) ( )()( )( )
,Fx f xdFxf xdx
′
==
或则称函数 为 在区间 上的一个原函数．
()F x ()fx I
例 1 函数 的一个原函数为,这是因为sin x cos x?
()
cos sin,xx
′
=
( )
2
2
1
ln 1,
1
xx
x
′
++ =
+
又如，
故,的原函数为
( )
2
ln 1,xx++
2
1
1 x+
我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此，
先引入：
() (),F xfx
′
=
原函数存在定理 如果函数 在区间 上连续,则在区间 上存在可导函数,使得对任一,都有
()fx
I
I
()F x
xI∈
即连续函数一定有原函数存在．
唯一性定理 如果 是 的原函数,则也是 的原函数,其中 为任意常数；并且 的原函数一定可写成 的形式．
()F x ()fx ()F xC+
()fx
C
()fx
()F xC+
2.不定积分由上面的讨论，可得到如下定义：
定义 2 在区间 上，函数 的带有任意常数的原函数称为 在区间 上的原函数，记作
I
()fx
()fx I
(),fxdx
∫
( ) ( )
dfxx Fx C= +
∫
即,其中 是 的原函数()F x ()fx
例 2 由定义，不难得到下面的：
()
322 3
1
3,,
3
xxxdxxC
′
=? =+
∫
()
11
ln,ln,xdxxdC
xx
′
=? = +
∫
()
sin cos,cos sin,xx xdxC
′
=? =+
∫
()
22
11
arctan,arctan,xdxC
xx
′
=?=+
+ +
∫
注 1 在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉，否则意义将完全改变；
2 定义在区间 上的连续函数一定存在原函数，但其原函数比一定能用初等函数来表示；例如函数
I
()( )
2
(),
x
fx e x= ∈?∞+∞
为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示；
3 在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数，
例如函数：
I
()
11
2 sin - cos 0
,
0 0
xx
fx
xx
x
≠
=
=
存在间断点,但 在 存在原函数0x =
()fx
( )
,?∞ +∞
()
2
1
sin 0
.
0 0
xx
Fx
x
x
≠
=
=
例 3 设曲线通过点 (1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．
解 设此曲线的方程为 由题设得关系
(),yfx=
2,
dy
x
dx
=
即,是 的一个原函数，因 且曲线过 (1,2),代入曲线方程得 故所求曲线的方程为
()fx 2x
2
2,xdx x C= +
∫
1,C =
2
1.yx= +
对例 3的说明：函数 的原函数的图形称为 积分曲线．当常数 取不同值时，曲线为平行曲线．因而通过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线．
()fx ()fx
C
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
5
3.基本积分公式
( )
10d,xC=
∫
() ()
1
2d 1.
1
x
xx C
μ
μ
μ
μ
+
= +≠?
+
∫
()
d
3ln
x
xC
x
=+
∫
()
2
d
4arctan.
1
x
xC
x
= +
+
∫
()
2
d
5arcsin.
1
x
xC
x
= +
∫
( )
6cosd sin,xx x C= +
∫
( )
7sind cos,xx x C=?+
∫
( )
2
8 sec d tan,xx x C= +
∫
( )
2
9cscd cot,xx x C=?+
∫
( )
10 sec tan d sec,xxx xC= +
∫
( )
12 csc cot d csc,xxx xC=?+
∫
( )
11 e d e,
xx
xC= +
∫
()
13 d,
ln
x
x
a
ax C
a
= +
∫
( )
14 sinh d cosh,xx x C= +
∫
( )
15 cosh d sinh,xx x C= +
∫
4.不定积分的性质性质 1
() () () ()
,.
d
f xdx f x f xdx f xdx
dx
′
==
∫∫
性质 2 设函数 及 的原函数存在，则
()fx ()gx
( ) ( ) ( ) ( )
,f x g xdx f xdx g xdxαβ α β+= +
∫∫∫
其中 为任意常数．
,α β
5.积分举例：
例 1 求积分
()
3
2
1
d.
x
x
x
∫
解 先 将 展开，然后再利用积分公式及运算法则
()
3
1x?
()
3
32
22 2
2
1
331 31
ddd
1
33ln,
2
x
xxx
xx
xx x
x
xxC
x
+?
==?+
=?+ ++
∫∫ ∫
例 2 求积分
23
d.
5
xx
x
x
∫
解
23 2 3
dd
555
12 13
.
ln2 ln5 5 ln3 ln5 5
xx
xx
x
xx
C
=?
=?+
∫∫
例 3 求积分
()
2
2
1
d.
1
xx
x
xx
++
+
∫
解 将积分拆成两项的和，可得
() ()
22
2
1(1)1
dd d
1
11
arctan ln,
xx x x
xx x
xx
xx xx
xxC
++ ++
==+
+
=++
∫∫ ∫
例 4 求积分
4
2
d.
1
x
x
x+
∫
解 分子部分减1加1项后,分解被积表达式，得
( )( )
22
44
22 2
3
2
2
111
11
dd d
11 1
1
1 d arctan,
13
xx
xx
x
x
x
xx C
x
++
+
==
++ +
=?+ =?+ +
+
∫∫ ∫
∫
例 5 求积分
2
tan d,xx
∫
解 利用三角公式
22
sec tan 1,xx= +
( )
22
tan d sec 1 d tan,xx x x x x C=?=?+
∫∫
例 6 求积分
2
sin d,
2
x
x
∫
解 利用半角公式
2
1cos
sin,
22
xx?
=
()()
2
11
sin d 1 cos d sin,
22 2
x
xxxxxC=?=++
∫∫
例 7 求积分
22
1
d.
sin cos
22
x
xx
∫
解 由三角公式 则
cos 2 2sin cos,xxx=
2
22
2
14
dd
sin
sin cos
22
4csc d 4cot,
xx
xx
x
xx x C
=
==?+
∫∫
∫
例 8 求积分
22
cos 2
d.
cos sin
x
x
xx
∫
解 由倍角公式 则
22
cos2 cos sin,xxx=?
()
22
22 22
22
cos 2 cos sin
dd
cos sin cos sin
csc sec d,
xx
xx xx
xxx
=
=?
∫∫
∫
二、换元积分法在这一目中，我们将主要考虑复合函数的积分问题．
我们知道 故，
( )
2
2
1
ln 1,
1
xx
x
′
++ =
+
( )
2
2
1
dln 1,
1
xx xC
x
= ++ +
+
∫
那么，一般地 或
( )( ) ( )
df xxx
′
∫
( )
( )
dfxx?
∫
又如何解决？解决这个问题的主要方法是 ——中间变量代换．
1.第一类换元法基本思想：若 有原函数,则()fx ()F x
() () ()
()
()
()
()
dd
.
ux
ux
fx xxfuu
F uCFxC
=
=
′
=
=+=+
∫∫
定理 1 设函数 有原函数,且 可导，
则有换元公式
()fx ()F x
()ux?=
() () ()
()
dd.
ux
fx xxfuu
=
′
=
∫∫
例 1 求积分
()
1
d0.xa
ax b
≠
+
∫
解
()
()
111
dd
11 1
dln.
xaxbx
ax b a ax b
ax b ax b C
aaxb a
′
=+
++
=+=+
+
∫∫
∫
一般地,当被积函数形式为 时,总可作变换,即若 有原函数,则
()fax b+
uaxb=+ ()fx
()F x
() ()
1
d.f ax b x F ax b C
a
+ =++
∫
类似地有
( ) ( )
eed e,
xx x
fxFC= +
∫
( ) ( )
sin cos d sin,f xxxFxC=+
∫
( ) ( )
22
2d,fx xx Fx C= +
∫
.nullnullnull
例 2 求积分
1
d.
ln ln ln
x
xx x
∫
11 1
ddlndln
ln ln ln ln ln ln ln ln
ln ln ln,
xxx
xx x x x x
xC
==
= +
∫∫ ∫
解因 得
()
1
ln,x
x
′
=
例 3 求积分⑴ ⑵
tan d,xx
∫
cot d,xx
∫
解
sin 1
tan d d dcos ln cos,
cos cos
x
xx x x x C
xx
= =? =? +
∫∫ ∫
⑴
⑵同理可得 cot d ln sin,xx x C= +
∫
例 4 求积分⑴ ⑵
()
22
1
d0,xa
ax
>
+
∫
()
22
1
d0.xa
ax
>
∫
解⑴
2222 2
11111
ddd
11
1
arctan
x
xx
ax a a a
xx
aa
x
C
aa
==
+
++
=+
∫∫∫
⑵同理可得
22
1
darcsin,
x
xC
a
ax
=+
∫
例 5 求积分
()
22
1
d0.xa
xa
>
∫
解因,故
22
1111
2xa axaxa
=?
+
() ()
()
22
1111
dd
2
11 1
dd
2
ln ln ln,
22
xx
xa axaxa
xa xa
axa xa
xa
xa xa C
aa
=?
+
=+
+
=+= +
+
∫∫
∫∫
值得注意的是，上面的例 3，例 4，例 5均可以作为基本的积分公式．
例 6 求积分
()
arctan
d.
1
x
x
xx+
∫
解 注意到 则有
1
dd,
2
xx
x
=
()
()
()
2
2
arctan 2arctan
dd
1
1
2arctan d arctan arctan,
xx
xx
x
xx xC
=
+
+
==+
∫∫
∫
注意 在三角函数的积分中，利用三角恒等式对三角函数做某些变换是积分中经常使用的方法．常用的三角公式是：
() ()
()()
22 22
sin cos 1,1 tan sec,
11
cos 1 cos 2,sin 1 cos 2,
22
sin 2 2sin cos,
1
cos cos cos cos,.
2
xx xx
xxxx
xxx
αβ αβ αβ
+=+=
=+ =?
=
=?++
nullnull
例 7 ⑴⑵
3
sin d,xx
∫
25
sin cos d,xxx
∫
⑶⑷
4
cos d,xx
∫
6
sec d,xx
∫
解⑴
( )
32
3
sin d 1 cos dcos
1
cos cos,
3
xx x x
xxC
=
=? + +
∫∫
⑵
( )
()
2
25 2 2
246
357
sin cos d sin 1 sin dsin
sin 2sin sin dsin
121
sin sin sin,
357
xxx x x x
xxxx
xxxC
=?
=?+
=?++
∫∫
∫
⑶
2
4
1cos2
cos d d
2
11cos4
12cos2 d
42
x
xx x
x
xx
+
=
+
=+ +
∫∫
∫
()
1
3 4cos 2 cos 4 d
8
11
2sin 2 sin 4,
84
xxx
xxxC
=+ +
=+ + +
∫
⑷
( )
()
2
62
24
35
sec d 1 tan d tan
12tan tan dtan
21
tan tan tan,
35
xx x x
xxx
xxxC
=+
=+ +
=+ + +
∫∫
∫
例 8 求积分⑴ ⑵
csc d,xx
∫
sec d,xx
∫
解⑴
2
sec
111
2
csc d d d d
sin 2
2sin cos tan
22 2
1
dtan ln tan,
22
tan
2
x
xx x x x
xx x
x
xx
C
x
== =
==+
∫∫∫ ∫
∫
又，
2
sin 2sin
1cos
22
tan csc cot,
2sinin
cos
2
xx
xx
x
xx
== = =?
csc d ln csc cot,xx x x C=?+
∫
即
⑵
d
1
2
sec d d
cos
sin
2
ln csc cot
22
ln sec tan,
x
xx x
x
x
xxC
xxC
π
π
ππ
+
==
+
=+?++
=++
∫∫∫
注 此题中的两个也可作为两个基本的积分公式．
例 9 求积分
cos3 cos 2 d,xxx
∫
()
1
cos3 cos 2 d cos cos5 d
2
11
sin sin5,
25
xxx x xx
xxC
=+
=+ +
∫∫
解例 10 求积分⑴ ⑵
2
4
1
d,
1
x
x
x
+
+
∫
4
1
d.
1
x
x +
∫
解 ⑴分子分母同除以,并注意到
2
x
2
11
d1d,xx
xx
±=
2
2
24
2
2
1
1
d
1
1
dd
1
1
1
2
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
+
+
==
+
+
+
∫∫ ∫
则有
1
1
arctan,
22
x
x
C
=+
⑵
22 2
444
2
22
4
22
1111 11
ddd
12 1 2 1
11
111 1
ddd
11
212 2
xx x
xx
xx
x
xx
xxx
x
xx
++? +
==
++
+?
=?
+
++
∫∫ ∫
∫∫ ∫
22
11
dd
11
dd
22
11
11
2
11
arctan ln,
1
22 2 42
2
xx
xx
xx
xx
C
x
x
+
=?
+ +?
+?
=? +
++
∫∫
例 11 求积分
1sin
ed.
1cos
x
x
x
x
+
+
∫
解 由三角公式
2
sin 2sin cos,1 cos 2cos,
22 2
xx x
xx=+=
得积分，
()
2
2
12sincos
1sin
22
ed ed
1cos
2cos
2
1
sec tan e d tan e tan e d
22 2 2 2
xx
xxx
xx
x
x
x
xx x x
+
+
=
+
′
′
=+= +
∫∫
∫∫
tan e d tan e,
22
xx
xC
′
=?=?+
∫
请读者自己完成
sin
d.
1cos
xx
x
x
+
+
∫
2.第二类换元法定理 设 是单调的、可导函数，且又 有原函数，则有换元公式
( )
xt?=
( )
0,t?
′
≠
( ) ( )
ft t
′
() ()( ) ()
()
1
dd.
tx
fxx f t t t
=
′
=
∫∫
证 设 的原函数为,记
( ) ( )
ft t
′
( )
tΦ
( ) ( )
1
,xFx?
Φ=
由
() ()
()
()
()
()
()
()
dd 1
,
dd
t
F xfttftfx
tx t
Φ
′′
==?= =
′
知 是 的原函数，所以有() ( )
F xfx
() () ()
() ()
()
1
1
d
d.
tx
fxx Fx C x C
ft tt
=
= +=Φ +
′
=
∫
∫
一般，当被积函数中含有 等因子时可通过适当的三角代换来求出相应的积分．常用代换有作代换 ； 作代换作代换 某些情况下，倒数代换也是经常考虑的方法．
22 22
,xaax±?
22
,xa+
tanxt=
22
,ax?
sinxt=
22
,xa?
sec,xt=
例 12 求积分
()
22
d0.axxa?>
∫
解令,则
sin,,
22
xa tt
π π
=∈?
()
22 2 2
d cos cos d cos d
1
1cos2d sin2
22
axxatatta tt
aa
tt t t C
=? =
=+ =+ +
∫∫ ∫
∫
x
t
a
22
ax?
由故
22
sin,cos,
xax
xt
aa
==
原积分为
2
22 22
1
darcsin,
22
ax
axx xaxC
a
=+?+
∫
例 13 求积分
()
22
d
0.
x
a
xa
>
+
∫
解令 则tan,,,
22
xa tt
π π
=∈?
2
22
dsecd
sec d ln sec tan,
sec
xat
tt t t C
at
xa
= ==++
+
∫∫∫
x
t
a
22
ax+
由知 故
22
tan,sec
x
tt
aa
+
=
22
22
22
d
ln ln,
xxax
CxxaC
aa
xa
+
= ++= + + +
+
∫
同理可证
22
22
22
d
ln ln,
xxax
CxxaC
aa
xa
= ++= +? +
∫
注 本题中的两个积分结果也常用的积分基本公式．
例 14 求积分 其中 为非零常数．
d
n
x
ax bx+
∫
,ab
解令 则
1
,x
t
=
() ()
21
2
11
1
1
1
d
1d
d
11
1
ln ln,
11
nn
n
n
n
t
tt
t
t
abt nabt
ab
tt
abt C ab C
bn bn x
=? =
+?+
+
= ++= + +
∫∫ ∫
本节又建立了如下的一些积分公式：
⒃
tan d ln cos,xx x C=?+
∫
⒄
cot d ln sin,xx x C= +
∫
⒅
sec d ln sec tan,xx x x C= ++
∫
⒆ csc d ln csc cot,xx x x C=?+
∫
⒇
22
11
d arctan,
x
xC
ax a a
= +
+
∫
(21)
22
1
darcsin,
x
xC
a
ax
= +
∫
(22)
22
11
dln,
2
xa
xC
xa axa
= +
+
∫
(23)
22
22
d
ln,
x
xxaC
xa
= +±+
±
∫
利用上述积分公式，我们可以计算下面积分：
例 15 求积分
⑴⑵
2
d
,
24
x
xx++
∫
2
d
,
49
x
x +
∫
⑶⑷
2
d
,
1
x
xx+?
∫
()
d0.
2
x
xxa
ax
>
∫
解
()
()
22
2
dd11
arctan,
24
33
13
xx x
C
xx
x
+
= =+
++
++
∫∫
⑴
⑵
()
2
22
2
d1d(2)1
ln 2 4 9,
22
49
23
xx
xx C
x
x
= =+++
+
+
∫∫
⑶
22
2
1
d
d
2
1
51
22
1
21
2
arcsin arcsin,
55
2
x
x
xx
x
x
x
CC
=
+?
=+=+
∫∫
⑷令 则
2
2sin,0,,
2
xa tt
π
=∈
()
()
() ()
2
2
2
2
24 2
22
2
2
2
2sin
d2sin 4sincosd
22s
1cos2
8sind8 d
2
3 4cos2 cos4 d 3 arcsin
2
2
1
22 2
4
.
t
xxat att
ax a a t
t
atta t
x
atta
a
ax
a
axax xaxC
aa
=
=
=? + =
++
∫∫
∫∫
∫
()
2
3
3arcsin 2,
22
xax
axaxC
a
+
=+
三、分部积分法设函数 具有连续的导函数，则由乘积的导数公式，有
( ) ( )
,uuxvvx==
()
,uv u v uv
′
′ ′
=+
移项后，两边积分得：
()
ddd,uv x uv x u v x
′
′ ′
=?
∫ ∫∫
⑴
公式⑴称为分部积分公式．
注 1 分部积分法的关键是如何选择好 使得比 容易求得．
,,uv
vdu
∫
udv
∫
2 一般地，可按反 (三角函数 )，对 (数函数 )，三 (角函数 )，指 (数函数 )的顺序来选择
.u
例 1 求积分 cos d,xxx
∫
解取 则
,d cos d,uxv xx= =
cos d dsin sin sin d
sin cos,
xxxx xxx xx
xx xC
==?
=++
∫∫ ∫
例 2 求积分
2
ed.
x
xx
∫
()
222 2
e d de e e 2 d e 2 de
e2e ed e2e2e,
xxxx x
xxx xxx
xxx x xxx x
xx x C
===?
= =?++
∫∫ ∫ ∫
∫
解注 一般还可用下面方法求 其中 (
为多项式 )形式的不定积分：
()
ed,
x
n
P xx
α
∫
()
n
Px
设 其 中 为待定系数的与 同次多项式，在
() ( )
ed e,
xx
nn
P xxQx C
αα
= +
∫
()
n
Qx
()
n
Px
( ) ( )
ed e,
xx
nn
P xxQx C
αα
= +
∫
两边求导，得即
( )() ( )
ee e,
xx x
nn n
Px Qx Qx
αα α
α
′
=+
( ) ( ) ( )
,
nn n
Px Qx Qxα
′
=+
比较系数即得 ().
n
Qx
例 3 求积分
4
ln d,xxx
∫
解
4555
54
11 1
ln d ln d ln d
55
11
ln d,
55
xxx xx xxx x
x
xx xxC
==
=?+
∫∫ ∫
∫
例 4 求积分
arcsin d,xx
∫
解
()
2
2
2
2
1
arcsin d arcsin d
1
1
arcsin d 1
21
arcsin 1,
xx x x x x
x
xx x
x
xx xC
=
=+?
=+?+
∫∫
∫
例 5 求积分
arctan d,xxx
∫
解
()()
() ()
22
22
2
11
arctan d arctan d 1 1 arctan
22
111 1
1d 1arctan,
212 2
xxx xx x x
xxxxxC
x
=+=+
+ =+?+
+
∫∫
∫
例 6 求积分
esin d.
x
xx
∫
解
e sin d sin de e sin e cos d
e sin cos de e sin e cos e sin d,
xxxx
xxxxx
xx x x xx
xx x x x
==?
=? =
∫∫ ∫
∫ ∫
将等式右端的积分式移到等式的左边，即得
()
1
esin d e sin cos,
2
xx
xx x x C=?+
∫
用此方法，还可求出形如的积分．
esin d,ecos d
ax ax
bx x bx x
∫ ∫
()
()
22
1
esin
esin d,
esin
ax
ax
ax
bx
bx x C
ab
bx
′
′
= +
+
∫
()
()
22
1
ecos
ecos d,
ecos
ax
ax
ax
bx
bx x C
ab
bx
′
′
= +
+
∫
例 7 求积分
3
sec d,xx
∫
解
()
3
2
3
3
sec d sec d tan sec tan tan sec tan d
sec tan sec sec 1 d
sec tan sec d sec d sec tan
ln sec tan sec d,
xx x x x x x x xx
xx x x x
xx xx xx xx
xx x
==
=
=?+=
++?
∫∫ ∫
∫
∫∫
∫
()
3
1
sec d sec tan ln sec tan,
2
xx x x x x C= +++
∫
在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分法．
例 8 求积分
ed.
x
x
∫
解 作代换 则，,tx=
2
,d 2 d,xt x tt==
()
( )
ed 2ed 2e 1 2e 1,
xtt x
xtt C x C==?+=?+
∫∫
本单元教学要求
1.理解原函数的概念,理解不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质,
2.掌握不定积分的基本公式,掌握换元积分法与分部积分法,
本单元教学的重点与难点重点,不定积分的基本公式,换元积分法与分部积分法,
难点,第一类换元积分法 (凑微分法 )
课时数,8学时,
一、不定积分的概念与性质
1.原函数在第二章中曾提出已知 求 的求导问题，而现在的问题是 已知,求满足 的
．这类问题就是求原函数．
()F x () ()F xfx
′
=
()fx () ()F xfx
′
=
()F x
定义 1 如果在区间 上的可导函数 的导函数为
，即对任一,都有
()F x
()fx
xI∈
I
( ) ( )()( )( )
,Fx f xdFxf xdx
′
==
或则称函数 为 在区间 上的一个原函数．
()F x ()fx I
例 1 函数 的一个原函数为,这是因为sin x cos x?
()
cos sin,xx
′
=
( )
2
2
1
ln 1,
1
xx
x
′
++ =
+
又如，
故,的原函数为
( )
2
ln 1,xx++
2
1
1 x+
我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此，
先引入：
() (),F xfx
′
=
原函数存在定理 如果函数 在区间 上连续,则在区间 上存在可导函数,使得对任一,都有
()fx
I
I
()F x
xI∈
即连续函数一定有原函数存在．
唯一性定理 如果 是 的原函数,则也是 的原函数,其中 为任意常数；并且 的原函数一定可写成 的形式．
()F x ()fx ()F xC+
()fx
C
()fx
()F xC+
2.不定积分由上面的讨论，可得到如下定义：
定义 2 在区间 上，函数 的带有任意常数的原函数称为 在区间 上的原函数，记作
I
()fx
()fx I
(),fxdx
∫
( ) ( )
dfxx Fx C= +
∫
即,其中 是 的原函数()F x ()fx
例 2 由定义，不难得到下面的：
()
322 3
1
3,,
3
xxxdxxC
′
=? =+
∫
()
11
ln,ln,xdxxdC
xx
′
=? = +
∫
()
sin cos,cos sin,xx xdxC
′
=? =+
∫
()
22
11
arctan,arctan,xdxC
xx
′
=?=+
+ +
∫
注 1 在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉，否则意义将完全改变；
2 定义在区间 上的连续函数一定存在原函数，但其原函数比一定能用初等函数来表示；例如函数
I
()( )
2
(),
x
fx e x= ∈?∞+∞
为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示；
3 在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数，
例如函数：
I
()
11
2 sin - cos 0
,
0 0
xx
fx
xx
x
≠
=
=
存在间断点,但 在 存在原函数0x =
()fx
( )
,?∞ +∞
()
2
1
sin 0
.
0 0
xx
Fx
x
x
≠
=
=
例 3 设曲线通过点 (1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．
解 设此曲线的方程为 由题设得关系
(),yfx=
2,
dy
x
dx
=
即,是 的一个原函数，因 且曲线过 (1,2),代入曲线方程得 故所求曲线的方程为
()fx 2x
2
2,xdx x C= +
∫
1,C =
2
1.yx= +
对例 3的说明：函数 的原函数的图形称为 积分曲线．当常数 取不同值时，曲线为平行曲线．因而通过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线．
()fx ()fx
C
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
5
3.基本积分公式
( )
10d,xC=
∫
() ()
1
2d 1.
1
x
xx C
μ
μ
μ
μ
+
= +≠?
+
∫
()
d
3ln
x
xC
x
=+
∫
()
2
d
4arctan.
1
x
xC
x
= +
+
∫
()
2
d
5arcsin.
1
x
xC
x
= +
∫
( )
6cosd sin,xx x C= +
∫
( )
7sind cos,xx x C=?+
∫
( )
2
8 sec d tan,xx x C= +
∫
( )
2
9cscd cot,xx x C=?+
∫
( )
10 sec tan d sec,xxx xC= +
∫
( )
12 csc cot d csc,xxx xC=?+
∫
( )
11 e d e,
xx
xC= +
∫
()
13 d,
ln
x
x
a
ax C
a
= +
∫
( )
14 sinh d cosh,xx x C= +
∫
( )
15 cosh d sinh,xx x C= +
∫
4.不定积分的性质性质 1
() () () ()
,.
d
f xdx f x f xdx f xdx
dx
′
==
∫∫
性质 2 设函数 及 的原函数存在，则
()fx ()gx
( ) ( ) ( ) ( )
,f x g xdx f xdx g xdxαβ α β+= +
∫∫∫
其中 为任意常数．
,α β
5.积分举例：
例 1 求积分
()
3
2
1
d.
x
x
x
∫
解 先 将 展开，然后再利用积分公式及运算法则
()
3
1x?
()
3
32
22 2
2
1
331 31
ddd
1
33ln,
2
x
xxx
xx
xx x
x
xxC
x
+?
==?+
=?+ ++
∫∫ ∫
例 2 求积分
23
d.
5
xx
x
x
∫
解
23 2 3
dd
555
12 13
.
ln2 ln5 5 ln3 ln5 5
xx
xx
x
xx
C
=?
=?+
∫∫
例 3 求积分
()
2
2
1
d.
1
xx
x
xx
++
+
∫
解 将积分拆成两项的和，可得
() ()
22
2
1(1)1
dd d
1
11
arctan ln,
xx x x
xx x
xx
xx xx
xxC
++ ++
==+
+
=++
∫∫ ∫
例 4 求积分
4
2
d.
1
x
x
x+
∫
解 分子部分减1加1项后,分解被积表达式，得
( )( )
22
44
22 2
3
2
2
111
11
dd d
11 1
1
1 d arctan,
13
xx
xx
x
x
x
xx C
x
++
+
==
++ +
=?+ =?+ +
+
∫∫ ∫
∫
例 5 求积分
2
tan d,xx
∫
解 利用三角公式
22
sec tan 1,xx= +
( )
22
tan d sec 1 d tan,xx x x x x C=?=?+
∫∫
例 6 求积分
2
sin d,
2
x
x
∫
解 利用半角公式
2
1cos
sin,
22
xx?
=
()()
2
11
sin d 1 cos d sin,
22 2
x
xxxxxC=?=++
∫∫
例 7 求积分
22
1
d.
sin cos
22
x
xx
∫
解 由三角公式 则
cos 2 2sin cos,xxx=
2
22
2
14
dd
sin
sin cos
22
4csc d 4cot,
xx
xx
x
xx x C
=
==?+
∫∫
∫
例 8 求积分
22
cos 2
d.
cos sin
x
x
xx
∫
解 由倍角公式 则
22
cos2 cos sin,xxx=?
()
22
22 22
22
cos 2 cos sin
dd
cos sin cos sin
csc sec d,
xx
xx xx
xxx
=
=?
∫∫
∫
二、换元积分法在这一目中，我们将主要考虑复合函数的积分问题．
我们知道 故，
( )
2
2
1
ln 1,
1
xx
x
′
++ =
+
( )
2
2
1
dln 1,
1
xx xC
x
= ++ +
+
∫
那么，一般地 或
( )( ) ( )
df xxx
′
∫
( )
( )
dfxx?
∫
又如何解决？解决这个问题的主要方法是 ——中间变量代换．
1.第一类换元法基本思想：若 有原函数,则()fx ()F x
() () ()
()
()
()
()
dd
.
ux
ux
fx xxfuu
F uCFxC
=
=
′
=
=+=+
∫∫
定理 1 设函数 有原函数,且 可导，
则有换元公式
()fx ()F x
()ux?=
() () ()
()
dd.
ux
fx xxfuu
=
′
=
∫∫
例 1 求积分
()
1
d0.xa
ax b
≠
+
∫
解
()
()
111
dd
11 1
dln.
xaxbx
ax b a ax b
ax b ax b C
aaxb a
′
=+
++
=+=+
+
∫∫
∫
一般地,当被积函数形式为 时,总可作变换,即若 有原函数,则
()fax b+
uaxb=+ ()fx
()F x
() ()
1
d.f ax b x F ax b C
a
+ =++
∫
类似地有
( ) ( )
eed e,
xx x
fxFC= +
∫
( ) ( )
sin cos d sin,f xxxFxC=+
∫
( ) ( )
22
2d,fx xx Fx C= +
∫
.nullnullnull
例 2 求积分
1
d.
ln ln ln
x
xx x
∫
11 1
ddlndln
ln ln ln ln ln ln ln ln
ln ln ln,
xxx
xx x x x x
xC
==
= +
∫∫ ∫
解因 得
()
1
ln,x
x
′
=
例 3 求积分⑴ ⑵
tan d,xx
∫
cot d,xx
∫
解
sin 1
tan d d dcos ln cos,
cos cos
x
xx x x x C
xx
= =? =? +
∫∫ ∫
⑴
⑵同理可得 cot d ln sin,xx x C= +
∫
例 4 求积分⑴ ⑵
()
22
1
d0,xa
ax
>
+
∫
()
22
1
d0.xa
ax
>
∫
解⑴
2222 2
11111
ddd
11
1
arctan
x
xx
ax a a a
xx
aa
x
C
aa
==
+
++
=+
∫∫∫
⑵同理可得
22
1
darcsin,
x
xC
a
ax
=+
∫
例 5 求积分
()
22
1
d0.xa
xa
>
∫
解因,故
22
1111
2xa axaxa
=?
+
() ()
()
22
1111
dd
2
11 1
dd
2
ln ln ln,
22
xx
xa axaxa
xa xa
axa xa
xa
xa xa C
aa
=?
+
=+
+
=+= +
+
∫∫
∫∫
值得注意的是，上面的例 3，例 4，例 5均可以作为基本的积分公式．
例 6 求积分
()
arctan
d.
1
x
x
xx+
∫
解 注意到 则有
1
dd,
2
xx
x
=
()
()
()
2
2
arctan 2arctan
dd
1
1
2arctan d arctan arctan,
xx
xx
x
xx xC
=
+
+
==+
∫∫
∫
注意 在三角函数的积分中，利用三角恒等式对三角函数做某些变换是积分中经常使用的方法．常用的三角公式是：
() ()
()()
22 22
sin cos 1,1 tan sec,
11
cos 1 cos 2,sin 1 cos 2,
22
sin 2 2sin cos,
1
cos cos cos cos,.
2
xx xx
xxxx
xxx
αβ αβ αβ
+=+=
=+ =?
=
=?++
nullnull
例 7 ⑴⑵
3
sin d,xx
∫
25
sin cos d,xxx
∫
⑶⑷
4
cos d,xx
∫
6
sec d,xx
∫
解⑴
( )
32
3
sin d 1 cos dcos
1
cos cos,
3
xx x x
xxC
=
=? + +
∫∫
⑵
( )
()
2
25 2 2
246
357
sin cos d sin 1 sin dsin
sin 2sin sin dsin
121
sin sin sin,
357
xxx x x x
xxxx
xxxC
=?
=?+
=?++
∫∫
∫
⑶
2
4
1cos2
cos d d
2
11cos4
12cos2 d
42
x
xx x
x
xx
+
=
+
=+ +
∫∫
∫
()
1
3 4cos 2 cos 4 d
8
11
2sin 2 sin 4,
84
xxx
xxxC
=+ +
=+ + +
∫
⑷
( )
()
2
62
24
35
sec d 1 tan d tan
12tan tan dtan
21
tan tan tan,
35
xx x x
xxx
xxxC
=+
=+ +
=+ + +
∫∫
∫
例 8 求积分⑴ ⑵
csc d,xx
∫
sec d,xx
∫
解⑴
2
sec
111
2
csc d d d d
sin 2
2sin cos tan
22 2
1
dtan ln tan,
22
tan
2
x
xx x x x
xx x
x
xx
C
x
== =
==+
∫∫∫ ∫
∫
又，
2
sin 2sin
1cos
22
tan csc cot,
2sinin
cos
2
xx
xx
x
xx
== = =?
csc d ln csc cot,xx x x C=?+
∫
即
⑵
d
1
2
sec d d
cos
sin
2
ln csc cot
22
ln sec tan,
x
xx x
x
x
xxC
xxC
π
π
ππ
+
==
+
=+?++
=++
∫∫∫
注 此题中的两个也可作为两个基本的积分公式．
例 9 求积分
cos3 cos 2 d,xxx
∫
()
1
cos3 cos 2 d cos cos5 d
2
11
sin sin5,
25
xxx x xx
xxC
=+
=+ +
∫∫
解例 10 求积分⑴ ⑵
2
4
1
d,
1
x
x
x
+
+
∫
4
1
d.
1
x
x +
∫
解 ⑴分子分母同除以,并注意到
2
x
2
11
d1d,xx
xx
±=
2
2
24
2
2
1
1
d
1
1
dd
1
1
1
2
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
+
+
==
+
+
+
∫∫ ∫
则有
1
1
arctan,
22
x
x
C
=+
⑵
22 2
444
2
22
4
22
1111 11
ddd
12 1 2 1
11
111 1
ddd
11
212 2
xx x
xx
xx
x
xx
xxx
x
xx
++? +
==
++
+?
=?
+
++
∫∫ ∫
∫∫ ∫
22
11
dd
11
dd
22
11
11
2
11
arctan ln,
1
22 2 42
2
xx
xx
xx
xx
C
x
x
+
=?
+ +?
+?
=? +
++
∫∫
例 11 求积分
1sin
ed.
1cos
x
x
x
x
+
+
∫
解 由三角公式
2
sin 2sin cos,1 cos 2cos,
22 2
xx x
xx=+=
得积分，
()
2
2
12sincos
1sin
22
ed ed
1cos
2cos
2
1
sec tan e d tan e tan e d
22 2 2 2
xx
xxx
xx
x
x
x
xx x x
+
+
=
+
′
′
=+= +
∫∫
∫∫
tan e d tan e,
22
xx
xC
′
=?=?+
∫
请读者自己完成
sin
d.
1cos
xx
x
x
+
+
∫
2.第二类换元法定理 设 是单调的、可导函数，且又 有原函数，则有换元公式
( )
xt?=
( )
0,t?
′
≠
( ) ( )
ft t
′
() ()( ) ()
()
1
dd.
tx
fxx f t t t
=
′
=
∫∫
证 设 的原函数为,记
( ) ( )
ft t
′
( )
tΦ
( ) ( )
1
,xFx?
Φ=
由
() ()
()
()
()
()
()
()
dd 1
,
dd
t
F xfttftfx
tx t
Φ
′′
==?= =
′
知 是 的原函数，所以有() ( )
F xfx
() () ()
() ()
()
1
1
d
d.
tx
fxx Fx C x C
ft tt
=
= +=Φ +
′
=
∫
∫
一般，当被积函数中含有 等因子时可通过适当的三角代换来求出相应的积分．常用代换有作代换 ； 作代换作代换 某些情况下，倒数代换也是经常考虑的方法．
22 22
,xaax±?
22
,xa+
tanxt=
22
,ax?
sinxt=
22
,xa?
sec,xt=
例 12 求积分
()
22
d0.axxa?>
∫
解令,则
sin,,
22
xa tt
π π
=∈?
()
22 2 2
d cos cos d cos d
1
1cos2d sin2
22
axxatatta tt
aa
tt t t C
=? =
=+ =+ +
∫∫ ∫
∫
x
t
a
22
ax?
由故
22
sin,cos,
xax
xt
aa
==
原积分为
2
22 22
1
darcsin,
22
ax
axx xaxC
a
=+?+
∫
例 13 求积分
()
22
d
0.
x
a
xa
>
+
∫
解令 则tan,,,
22
xa tt
π π
=∈?
2
22
dsecd
sec d ln sec tan,
sec
xat
tt t t C
at
xa
= ==++
+
∫∫∫
x
t
a
22
ax+
由知 故
22
tan,sec
x
tt
aa
+
=
22
22
22
d
ln ln,
xxax
CxxaC
aa
xa
+
= ++= + + +
+
∫
同理可证
22
22
22
d
ln ln,
xxax
CxxaC
aa
xa
= ++= +? +
∫
注 本题中的两个积分结果也常用的积分基本公式．
例 14 求积分 其中 为非零常数．
d
n
x
ax bx+
∫
,ab
解令 则
1
,x
t
=
() ()
21
2
11
1
1
1
d
1d
d
11
1
ln ln,
11
nn
n
n
n
t
tt
t
t
abt nabt
ab
tt
abt C ab C
bn bn x
=? =
+?+
+
= ++= + +
∫∫ ∫
本节又建立了如下的一些积分公式：
⒃
tan d ln cos,xx x C=?+
∫
⒄
cot d ln sin,xx x C= +
∫
⒅
sec d ln sec tan,xx x x C= ++
∫
⒆ csc d ln csc cot,xx x x C=?+
∫
⒇
22
11
d arctan,
x
xC
ax a a
= +
+
∫
(21)
22
1
darcsin,
x
xC
a
ax
= +
∫
(22)
22
11
dln,
2
xa
xC
xa axa
= +
+
∫
(23)
22
22
d
ln,
x
xxaC
xa
= +±+
±
∫
利用上述积分公式，我们可以计算下面积分：
例 15 求积分
⑴⑵
2
d
,
24
x
xx++
∫
2
d
,
49
x
x +
∫
⑶⑷
2
d
,
1
x
xx+?
∫
()
d0.
2
x
xxa
ax
>
∫
解
()
()
22
2
dd11
arctan,
24
33
13
xx x
C
xx
x
+
= =+
++
++
∫∫
⑴
⑵
()
2
22
2
d1d(2)1
ln 2 4 9,
22
49
23
xx
xx C
x
x
= =+++
+
+
∫∫
⑶
22
2
1
d
d
2
1
51
22
1
21
2
arcsin arcsin,
55
2
x
x
xx
x
x
x
CC
=
+?
=+=+
∫∫
⑷令 则
2
2sin,0,,
2
xa tt
π
=∈
()
()
() ()
2
2
2
2
24 2
22
2
2
2
2sin
d2sin 4sincosd
22s
1cos2
8sind8 d
2
3 4cos2 cos4 d 3 arcsin
2
2
1
22 2
4
.
t
xxat att
ax a a t
t
atta t
x
atta
a
ax
a
axax xaxC
aa
=
=
=? + =
++
∫∫
∫∫
∫
()
2
3
3arcsin 2,
22
xax
axaxC
a
+
=+
三、分部积分法设函数 具有连续的导函数，则由乘积的导数公式，有
( ) ( )
,uuxvvx==
()
,uv u v uv
′
′ ′
=+
移项后，两边积分得：
()
ddd,uv x uv x u v x
′
′ ′
=?
∫ ∫∫
⑴
公式⑴称为分部积分公式．
注 1 分部积分法的关键是如何选择好 使得比 容易求得．
,,uv
vdu
∫
udv
∫
2 一般地，可按反 (三角函数 )，对 (数函数 )，三 (角函数 )，指 (数函数 )的顺序来选择
.u
例 1 求积分 cos d,xxx
∫
解取 则
,d cos d,uxv xx= =
cos d dsin sin sin d
sin cos,
xxxx xxx xx
xx xC
==?
=++
∫∫ ∫
例 2 求积分
2
ed.
x
xx
∫
()
222 2
e d de e e 2 d e 2 de
e2e ed e2e2e,
xxxx x
xxx xxx
xxx x xxx x
xx x C
===?
= =?++
∫∫ ∫ ∫
∫
解注 一般还可用下面方法求 其中 (
为多项式 )形式的不定积分：
()
ed,
x
n
P xx
α
∫
()
n
Px
设 其 中 为待定系数的与 同次多项式，在
() ( )
ed e,
xx
nn
P xxQx C
αα
= +
∫
()
n
Qx
()
n
Px
( ) ( )
ed e,
xx
nn
P xxQx C
αα
= +
∫
两边求导，得即
( )() ( )
ee e,
xx x
nn n
Px Qx Qx
αα α
α
′
=+
( ) ( ) ( )
,
nn n
Px Qx Qxα
′
=+
比较系数即得 ().
n
Qx
例 3 求积分
4
ln d,xxx
∫
解
4555
54
11 1
ln d ln d ln d
55
11
ln d,
55
xxx xx xxx x
x
xx xxC
==
=?+
∫∫ ∫
∫
例 4 求积分
arcsin d,xx
∫
解
()
2
2
2
2
1
arcsin d arcsin d
1
1
arcsin d 1
21
arcsin 1,
xx x x x x
x
xx x
x
xx xC
=
=+?
=+?+
∫∫
∫
例 5 求积分
arctan d,xxx
∫
解
()()
() ()
22
22
2
11
arctan d arctan d 1 1 arctan
22
111 1
1d 1arctan,
212 2
xxx xx x x
xxxxxC
x
=+=+
+ =+?+
+
∫∫
∫
例 6 求积分
esin d.
x
xx
∫
解
e sin d sin de e sin e cos d
e sin cos de e sin e cos e sin d,
xxxx
xxxxx
xx x x xx
xx x x x
==?
=? =
∫∫ ∫
∫ ∫
将等式右端的积分式移到等式的左边，即得
()
1
esin d e sin cos,
2
xx
xx x x C=?+
∫
用此方法，还可求出形如的积分．
esin d,ecos d
ax ax
bx x bx x
∫ ∫
()
()
22
1
esin
esin d,
esin
ax
ax
ax
bx
bx x C
ab
bx
′
′
= +
+
∫
()
()
22
1
ecos
ecos d,
ecos
ax
ax
ax
bx
bx x C
ab
bx
′
′
= +
+
∫
例 7 求积分
3
sec d,xx
∫
解
()
3
2
3
3
sec d sec d tan sec tan tan sec tan d
sec tan sec sec 1 d
sec tan sec d sec d sec tan
ln sec tan sec d,
xx x x x x x x xx
xx x x x
xx xx xx xx
xx x
==
=
=?+=
++?
∫∫ ∫
∫
∫∫
∫
()
3
1
sec d sec tan ln sec tan,
2
xx x x x x C= +++
∫
在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分法．
例 8 求积分
ed.
x
x
∫
解 作代换 则，,tx=
2
,d 2 d,xt x tt==
()
( )
ed 2ed 2e 1 2e 1,
xtt x
xtt C x C==?+=?+
∫∫
