第五章定积分第一单元定积分本单元内容要点定积分的概念，性质；积分上限函数；微积分基本公式．
本单元教学要求理解定积分的定义和实质；熟悉定积分的性质；理解积分上限函数的实质；掌握牛顿、莱拨尼茨公式．
本单元教学重点和难点重点：
定积分的概念；积分中值定理；积分上限函数；微积分基本公式．
难点：
定积分的概念；积分上限函数及性质；微积分基本定理．
本单元课时数：4课时．
一、定积分的概念与性质定积分问题举例
1.曲边梯形面积
()yfx=
x
i-1
x
i
a=x
0
x
n
=b
ξ
i
x
o
y
设在区间上非负、连续，由直线及曲线
()yfx=
,,0,(),xayby y fx= ===
所围成的图形称为曲边梯形．
为计算该图形的面积，在区间[a,b]中插入n-1个分点
01 1
,
nn
ax x x x b
= <<< <="
从而把区间[a,b]分成n个小区间
()yfx=
x
i-1
x
i
a=x
0
x
n
=b
ξ
i
x
o
y
[ ] [ ][ ]
01 12 1
,,,,,,
nn
xx xx x x
"
相应的长度依次为
( )
1
1,2,,,
iii
xxxi n
=? ="
在由及围成的小曲边梯形的面积的近似值为
1
,,0,
ii
xxxxy
===
( )
yfx=
( )
,
iii
A fxξ? ≈?
其中为区间中的任意点．由此，以n个小矩形的面积作为曲边梯形面积的近似值，则有
i
ξ [ ]
1
,
ii
xx
()
1
,
n
ii
i
A fxξ
=
≈?
∑
记则得面积为
{ }
12
max,,,
n
xx xλ ="
()
0
1
lim,
n
ii
i
A fx
λ
ξ
→
=
=?
∑
2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔
[T
1
,T
2
]上的连续函数，且计算在这段时间内物体所走过的路程．
( )
vvt=
t
( )
0,vt≥
我们知道，在匀速直线运动中，路程为路程=速度×时间．
而对于非匀速直线运动中，我们将时间区间分割成若干个小区间，即在区间[T
1
,T
2
]中插入分点
101 1 2
,
nn
Ttt t tT
= << < <="
从而把[T
1
,T
2
]分成n个小段
[ ] [ ][ ]
01 12 1
,,,,,,
nn
tt tt t t
"
各小段的长度依次为
( )
1
1,2,,,
iii
ttti n
=? ="
在各小段上物体走完的路程分别为
12
,,,
n
s ss"
在每一个小区间[t
i-1
,t
t
]上，物体走过的路程近似为
( ) ( )
,1,2,,,
iii
s vti nτ?≈? ="
故，物体在时间区间[T
1
,T
2
]走完的路程近似为
()
1
,
n
ii
i
svtt
=
≈?
∑
记则
{ }
12
max,,,
n
tt tλ ="
()
0
1
lim,
n
ii
i
svt
λ
ξ
→
=
=?
∑
2.定积分的定义在上面的两个问题中，我们发现我们所讨论的问题，
最终都归结为一个极限形式
()
0
1
lim,
n
ii
i
fx
λ
ξ
→
=
∑
抽去问题的实际背景，则得到定积分的定义：
定义设函数在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入分点
( )
f x
01 1
,
nn
ax x x x b
= <<< <="
从而把区间[a,b]分成n个小区间
[ ] [ ][ ]
01 12 1
,,,,,,
nn
xx xx x x
"
各小区间的长度依次为
( )
1
1,2,,,
iii
xxxi n
=? ="
在每个小区间[x
i-1
,x
i
]上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作和
( )
1ii i i
xxξξ
<<
( )
i
f ξ
i
x?
()
1
,
n
ii
i
Sfxξ
=
=?
∑
记如果无论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x
i-1
,x
i
]上点怎样取法，只要当时，和总趋向于确定的极限，此时即称此极限为函数在[a,b]上的定积分，记作即：
{ }
12
max,,,
n
xx xλ ="
i
ξ
0λ →
S
I
()fx
(),
b
a
f xdx
∫
()
0
1
() lim,
n
b
ii
a
i
f xdx f x
λ
ξ
→
=
=?
∑
∫
其中称为被积函数，称为被积表达式，
()
f x
( )
f xdx x
叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限．a b
注1 若积分存在时，该积分与积分变量的名称无关．
即
() () (),
bbb
aaa
f xdx ftdt fudu==
∫∫∫
注2 和称为的积分和．如果在[a,b]上的定积分存在，则称在[a,b]上可积．记为
()
1
n
ii
i
fxξ
=
∑
()fx
()fx
()fx
[ ]
,.fRab∈
定理1 若
[ ][]
,,.f Cab f Rab∈?∈
定理2 若且只有有限个间断点，则
[ ]
,f Bab∈
()f x
[]
,.f Rab∈
注3 若则由及所围成的曲边梯形面积为
[ ] ( )
,,0,fCabfx∈ ≥,,0,xaxby= ==
()
yfx=
(),
b
a
Afxdx=
∫
更一般地，若，则积分表示
[ ]
,f Cab∈
()
b
a
Afxdx=
∫
的是由及所围成的在的上方部分的面积与在下方部分的面积之差．在下图中，曲边梯形面积为
,,0,xaxby= == ( )
yfx= x
x
()
123
.
b
a
Afxdxsss= =+?
∫
而变速直线运动中的路程为
1
s
2
s
3
s
x
y
o
()
2
.
T
T
s vtdt=
∫
例1 利用定积分的定义计算积分
1
2
0
.xdx
∫
解因由定理1知积分存在．又由于积分与区间的分法、点的取法无关，为了便于计算，将区间[0,1]n等分，分点为点小区间长度为
( ) [ ]
2
0,1,fx x C=∈
1
2
0
xdx
∫
()
1,2,,1
i
i
xi n
n
,= =?"
()
1,2,,,
i
i
in
n
ξ =="
1
,
i
x
n
=
相应的积分和为
()
()( )
2
2
111
2
33
1
1
111 111
12 1 1 2,
66
nnn
ii ii
ii
n
i
i
fx x
nn
innn
nn nn
ξξ
===
=

=?=



== ++=++


∑∑∑
∑
当即取上式由端的极限，由定积分的定义，即得到所要的定积分为：
0,λ →
,n→∞
1
22
0
1
11 11
lim lim 1 2,
63
n
ii
nn
i
xdx x
nn
ξ
→∞ →∞
=

=?= + + =


∑
∫
3.定积分的性质为以后讨论的方便，约定：
⑴当时
()
,0.
b
a
ab fxdx==
∫
⑵当时
() ()
,.
ba
ab
ab f xdx f xdx>=?
∫∫
在以下的讨论中，所有的函数均为可积函数．
性质1
() () () ()
.
bbb
aaa
f x g xdx f xdx g xdx±= ±
∫∫∫
证
() () () ()
() ()
0
1
00
11
lim
lim lim
() (),
n
b
iii
a
i
nn
ii
ii
bb
aa
f x g xdx fgx
fx gx
f x dx g x dx
λ
λλ
ξξ
ξξ
→
=
→→
==
± =±

=?±?
=±
∑
∫
∑∑
∫∫
性质2
()
(),
bb
aa
kf x dx k f x dx=
∫∫
性质3 设则
,acb< <
() () ()
.
bcb
aac
fxdx fxdx fxdx=+
∫∫∫
证因在区间[a,b]上可积，所以无论把[a,b]怎样划分，积分和总是不变的，因而在分区间时，可以使成为一个分点，那么[a,b]上的积分和等于[a,c]上的积分和加[c,b]上的积分和，记为
()f x
c
( )
[]
( )
[]
( )
[]
,,,
,
ii ii ii
ab ac cb
fxfxfxξξξ? =?+?
∑∑∑
0,λ →
令两边取极限，得
() ()
(),
bc b
aa c
fxdx fxdx fxdx=+
∫∫∫
此性质表明定积分对于区间有可加性．
值得注意的是，此性质对任意的都是成立的．即,,abc
() ()
(),
bc b
aa c
fxdx fxdx fxdx=+
∫∫∫
上式中只要在最大的一个区间上积分存在即可．
性质4 如果在区间[a,b]上，则
( )
1,fx≡
1.
b
a
dx b a=?
∫
注此性质的几何意义是相当明显的．
性质5 如果在[a,b]上则
( )
0,fx≥
()
0.
b
a
fxdx≥
∫
证因又因因此
( ) ( ) ( )
001,2,.
i
f xf i nξ≥? ≥ ="
0
i
x? ≥
( )
1,2,,,in="
()
1
0,
n
ii
i
fxξ
=
≥
∑
令由极限的保号性，
即得
{ }
12
max,,0,
n
xx xλ =→"
() ()
0
1
lim 0.
n
b
ii
a
i
fxdx f x
λ
ξ
→
=
=?≥
∑
∫
推论1 如果在区间[a,b]上，恒有则
( ) ( )
,fx gx≤
() ()
.
bb
aa
f x dx g x dx≥
∫∫
() ()
.
bb
aa
fxdx fxdx≤
∫∫
推论2
性质6 设及分别是在[a,b]上的最大值和最小值，则
M m
( )
f x
() () ()
.
b
a
mb a f xdx Mb a?≤ ≤?
∫
由性质6可以估计积分的大致范围．例如，积分
1
4
1
2
,xdx
∫
( )
4
fx x=被积函数在积分区间上单调增加，最小值及最大值分别为
4
11
,1,
216
mM

= ==


故由性质6，得
1
4
1
2
11 1
,
16 2 2
xdx

≤ ≤


∫
即：
1
4
1
2
11
.
32 2
xdx≤ ≤
∫
性质7(定积分中值定理) 如果函数在[a,b]上连续，
则在区间[a,b]上至少存在点使得下式成立：
( )
f x
ξ
() ()( )
.
b
a
f xdx f b aξ=?
∫
证在性质6中的不等式各除以得
,ba?
()
1
.
b
a
m f xdx M
ba
≤≤
∫
此式说明数值介于函数的最大值和最小值之间，由闭区间连续函数的介值定理，在
()
1
b
a
fxdx
ba?
∫
( )
f x
[a,b]上存在点，使得
ξ
() ()( )
1
,
b
a
fxdx f a b
ba
ξξ=≤≤
∫
两端同乘即有
,ba?
() ()( )
.
b
a
f xdx f b aξ=?
∫
y
ξ
x
o
( )
yfx=
ab
积分中值定理的几何解释：
由积分中值公式
() ()
1
b
a
fxdx f
ba
ξ=
∫
称为函数在区间[a,b]上的平均值．( )
f x
二、微积分基本公式
1.变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系有一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点、
正向及长度单位，使它成一数轴，设时刻时物体所在位置为，速度为
t
()
st
( )
.vt
在上一目中，物体在时间间隔[T
1
,T
2
]内经过的路程可以用速度在[T
1
,T
2
]上的定积分
()
2
T
T
s vtdt=
∫
来表示；另一方面，这段路程又可用位置函数在区间[T
1
,T
2
]上的增量
( )
st
( ) ( )
21
sT sT?
来表示，由此可见位置函数与速度函数之间有如下关系：
()
st
( )
vt
() ( ) ( )
2
1
21
.
T
T
vtdt sT sT=?
∫
又因所以关系式⑴表示：速度函数在区间[T
1
,T
2
]上的定积分等于的原函数在区间
( ) ( )
,st vt
′
=
⑴
( )
vt
()
vt
( )
st
[T
1
,T
2
]上的增量
( ) ( )
21
.sT sT?
上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出来的关系，在一定条件下具有普遍性．我们将在下一段中证明这个事实．
2.积分上限函数及其导数设函数在在区间[a,b]上连续，并且设为[a,b]
上的一点，则在[a,x]上的定积分
( )
f x
x
( )
f x
()
x
a
fxdx
∫
确定了区间[a,b]上的一个新的函数．由于该积分与变量有关，故称此函数为函数在区间[a,b]上的积分上限函数，记为
x ()
f x
() () ( )
,
x
a
xftdtaxbΦ= ≤≤
∫
定理1 如果函数在区间[a,b]上连续，则积分上限函数
( )
fx
() ()
x
a
xftdtΦ=
∫
⑵
在区间[a,b]上可导，且其导数为
() () ()
.
x
a
d
xftdfx
dx
′
Φ= =
∫
作为该定理的更一般形式，我们有
()
()
()
() () () ()
.
x
x
ftdt xf x xf x
β
α
ββαα
′
′′
=
∫
3.牛顿-莱布尼茨公式定理2 如果函数是连续函数在区间[a,b]上的一个原函数，则
( )
Fx
( )
f x
() () ()
.
b
a
fxdx Fb Fa=?
∫
证已知函数是连续函数的一个原函数，
又积分上限函数
( )
Fx
( )
f x
() ()
x
a
xftdtΦ=
∫
为的一个原函数，则
()
f x
( ) ( )( )
,F xxCaxb?Φ = ≤ ≤
令又得将各表达式代入，得
( ) ( )
,,xa Fa a C=Φ =
( )
0,aΦ =
( )
Fa C,=
() () ()
.
b
a
f xdx Fb Fa=?
∫
注上式一般记为
() () () ()
.
b
b
a
a
f xdx Fx Fb Fa==?
∫
例3 求
1
2
0
.
1
x
dx
x+
∫
解因函数的原函数为
()
2
1
x
fx
x
=
+
()
2
1
ln 1,
2
x+
故有积分公式得
()
1
1
2
2
0
0
11
ln 1 ln 2.
12 2
x
dx x
x
=+=
+
∫