第一单元重积分的概念和性质一、本单元的内容要点重积分概念的引入，基本性质二、本单元的教学要求掌握重积分的概念和基本性质。
教学时数,2课时。
重积分的概念在《微积分》上册中，我们知道：区间 [a,b]上函数
f (x,y)的定积分为：
01
() lim ( ),
b
ii
a
i
f xdx f x
λ
ξ
∞
→=
= Σ?
∫
ab
ox
y
其几何意义为曲边梯形的面积。
y=f (x)
D
(),
b
a
Sfxdx=
∫
引例 1 曲顶柱体的体积曲顶柱体 底面为平面的有界闭区域，侧面垂直于该底面，顶面为一曲面。
设曲顶柱体在 xoy平面上所占区域为 D，顶面方程为 z=f (x,y)。
(1)分割 用曲线网将 D分割成若干小区域?D
i
，其面积记为?σ
i； i=1,2,
…
,n。
z=f (x,y)
y
z
o
x
(2)取点 在区域?D
i
中任取一点 (ξ
i
,η
i
)，当?D
i
很小时，
用柱体体积近似曲顶柱体的体积：
(,)
iii
vfξ η? ≈
所以，总体积为
z=f (x,y)
y
z
o
x
11
(,)
nn
iiii
ii
vv fξ ησ
==
=Σ≈Σ?
(3)取极限 记
()max{,},
i j k j ki
dD MMMM D?= ∈
d (?D
i
)表示区域?D
i
的直径。
记，则
( )
max{ }
i
dDλ =?
0
1
lim (,),
n
ii i
i
vf
λ
ξ ησ
→
=
=?
∑
引例 2 平面薄片的质量
x
y
o
△ D
i
(,)
ii
ξ η
(2)取点 在区域?D
i
中任取一点 (ξ
i
,η
i
)，
当?D
i
很小时，平面薄片视为是均匀的，
因而小片质量为
(,),
iiii
M
设一平面薄片占有 xoy平面区域 D，密度函数为 ρ
(x,y)，
(1)分割 用曲线网将 D分割成若干小区域?D
i
，其面积记为?σ
i； i=1,2,
…
,n。
ρ ξη σ? ≈?
故薄片质量为
11
(,),
nn
iiii
ii
MMρ ξη σ
==
=?≈?
∑∑
()max{,},
i j k j ki
dD MMMM D?= ∈
(3)取极限 记
d (?D
i
)表示区域?D
i
的直径。
记，则
( )
max{ }
i
dDλ =?
0
1
lim (,),
n
ii i
i
M
λ
ρ ξη σ
→
=
=?
∑
二重积分的定义在上面的两个例中，我们看到问题最终归结为极限
0
1
lim (,),
n
ii i
i
f
λ
ξ ησ
→
=
∑
抽去例中具体的几何和物理意义，我们得到二重积分的定义。
定义 设 f(x,y)是有界闭区域 D上的有界函数。将闭区域 D
任意划分成 n个小区域
12
,,,,
n
D DD"
并用?σ
i
表示小区域?D
i
的面积。任取 (ξ
i
,η
i
)∈?D
i
，作和
1
(,)
n
ii i
i
f ξ ησ
=
Σ?
记 表示小区域直径的最大者，若极限( )
max{ }
i
dDλ =?
0
1
lim (,)
n
ii i
i
f
λ
ξ ησ
→
=
∑
存在，并与区域的分法和点的取法无关，则称此极限为函数 f (x,y)在区域 D上的二重积分，记为
(,),
D
f x y dσ
∫∫
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
i
D
fxyd f
λ
σ ξη σ
→
=
=?
∑
∫∫
即其中 f (x,y)称为被积函数,f (x,y)dσ称为被积表达式，
dσ 称为面积元素。
由此可以看到：二重积分是定积分在二元函数情形下的推广。
注 1 闭区域上的函数一定可积。
注 2 由此得到曲顶柱体的体积计算公式
(,),
D
V f x y dσ=
∫∫
以及平面薄片的质量计算公式
(,),
D
M x y dρ σ=
∫∫
注 3 当以直线方式对区域进行分割时，得△ σ=dxdy,即
(,),
D
f x y dxdy
∫∫
三重积分的定义定义 设 f(x,y,z)是有界闭区域?上的有界函数。将闭区域?任意划分成 n个小区域
12
,,,
n
"
并以△V表示第i个小区域的体积。任取 (ξ
i
,η
I，
ζ
i
)
∈
i
，作和
1
(,,)
n
iii i
i
f ξ η ζ σ
=
Σ?
记 ( )
max{ }
i
dλ =
若极限
0
1
lim (,,)
n
iii i
i
f V
λ
ξηζ
→
=
∑
存在，则称此极限为函数 f (x,y,z)在闭区域上的三重积分，记作
(,,),f x y zdV
∫∫∫
即
0
1
(,,) lim (,),
n
ii i
i
fxyzdV f
λ
ξ ησ
→
=
=?
∑
∫∫∫
注 1 若 f (x,y,z)是有界闭区域上的连续函数，则 f 可积。
注 2 若 f (x,y,z)是有界闭区域?上的密度函数，则其质量积为
(,,),Mfx y zdV
=
∫∫∫
重积分的性质二重积分与三重积分的性质与定积分的性质相似，这里仅列出二重积分的积分性质。
性质 1 若函数 f(x,y),g(x,y)在 G上可积，则对任意的常数 α,β,函数 α f (x,y)+ β g (x,y)可积，且
[ (,) (,)] (,) (,),
DDD
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdyαβ α β+= +
∫∫ ∫∫ ∫∫
性质 2 若函数 f (x,y)在 D上可积，用曲线将 D分割成两个小区域 D
1
,D
2
，则
12
(,) (,) (,),
DDD
fxydxdy fxydxdy fxydxdy=+
∫∫ ∫∫ ∫∫
性质 3 若函数 f (x,y)在 D上可积，且在 D上有则
(,) 0fxy≥
(,) 0.
D
fxydxdy≥
∫∫
性质 4 若函数 f (x,y)在 D上可积，则函数 | f (x,y)|在 D上可积，且
(,) (,),
DD
f x y dxdy f x y dxdy≤
∫∫ ∫∫
性质 5 若函数 f (x,y)在 D上连续，则在 D上至少存在一点 (ξ,η)，使得
(,) (,) ( ),
D
fxydxdy f Dξημ=
∫∫
其中 μ(D)表示区域 D的面积。
例 试比较下面两个积分的大小,
22 22
()
DD
xyd xydσ σ
∫∫ ∫∫
与其中 D是以 (0,0)(1,-1),(1,1)为顶点的三角形闭区域。
x
y
o
D
解在 D中有，
22
01xy≤?≤
22 22
x y x y≤?
22 22
(),
DD
xyd xydσ σ≤?
∫∫ ∫∫
例 估计积分值 其中 D为
22
D
xydσ+
∫∫
22
(2)(1)4xy? +?≤
解 用条件极值求出函数的最大值和最小值。
()()
22
22
(,) 2 1 4,Fxy x y x yλ

=++? +

()
()
()()
22
(,) 2 2 2
(,) 2 2 1,2
214
x
y
Fxy x x
Fxy y y x y
xy
λ
λ
′
=+?
′
=+=
+?=
52 52
2,
55

± ±


代入边界方程，得驻点故，最小值与最大值分别为
( ) ( )
22
52,52.mM=? =+
区域面积为,,由此得
() 4Dμ π=
( ) ( )
22
452 452.
D
xydπ σπ?≤ + +
∫∫
例 3 设函数 f (x,y)在闭区域 D上连续，按定义证明：
(1)若区域 D关于 y轴对称,则
(,) (,),
DD
fxyd f xydσ σ=?
∫∫ ∫∫
从而，若 f (x,y)关于 x为奇函数，则 。(,) 0
D
fxydσ=
∫∫
(3)若区域 D关于 y轴对称,则
(,) (,),
DD
fxyd fx ydσ σ=?
∫∫ ∫∫
从而，若 f (x,y)关于 y为奇函数，则 。(,) 0
D
fxydσ=
∫∫
证 由于区域关于 y轴对称，故分割时用 x=0作为其中的分割曲线，并且分割时作左右对称的分割，取点也左右对称。因
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
i
D
fxyd f
λ
σ ξη σ
→
=
=?
∑
∫∫
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
i
D
fxyd f
λ
σ ξη σ
→
=
′
′ ′
=
∑
∫∫
(,) (,),
ii ii i
ξ ηξησσ
′ ′′
==?
在表达式中，取
00
11
lim(,) lim(,)
nn
ii i ii i
ff
λλ
ξ ησ ξησ
→→
==
′
′′
=?
∑∑
则即
(,) (,),
DD
fxyd f xydσ σ=?
∫∫ ∫∫
同理可得其它情况。由此可得设函数 f (x,y)在闭区域 D上连续，区域 D关于 y轴对称，
函数 f (x,y)关于变量 x为奇函数，即,
则
(,) (,)f x yfx y? =?
(,) 0.
D
fxydσ=
∫∫
例 5 求。
22
3
22
(),,1
D
xy
x y dxdy D
ab
+ +≤
∫∫
解 因为区域关于 x,y 轴对称，
33 2 33
(,) ( ) 3 3f x y x y xxy xyy= +=+ + +
f (x,y)中的每一项关于某个变量为奇函数，故
3
() 0.
D
x y dxdy+ =
∫∫