第三单元三重积分一、本单元的内容要点三重积分的计算方法是将三重积分化为三次积分的计算。主要内容有一、利用直角坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分二、本单元的教学要求掌握三重积分的各种计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标的三重积分的计算方法。
利用直角坐标计算三重积分
1.坐标面投影法设空间闭区域?为一个有界闭区域，
函数f(x,y,z)为?上的连续函数。区域
在xoy 平面上的投影区域D为xy 型区域，投影柱面将?的边界分成上下曲面Σ
1
和Σ
2
11 22
:(,),:(,),(,).z zxy z zxy xy DΣ =Σ= ∈
x
y
z
o
a
b
y=?
1
(x)
z=z
2
(x,y)
y=?
2
(x)
z=z
1
(x,y)
对，作积分
(,)x y D∈
()
( )
2
1
,
,
(,) (,,)
zxy
zxy
xy fxyzdzΦ=
∫
则
()
( )
2
1
,
,
(,,) (,,),
xy
zxy
zxy
D
f x y zdv dxdyfx y zdz
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
进一步地，将二重积分化为二次积分，则得
()
( )
12
11
(),
(),
(,,) (,,),
bxzxy
axzxy
f x y zdv dx dyfx y zdz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
例1 写出下面积分的三次积分：
(,,)fxyzdv
∫∫∫
其中?由围成的在第一卦限的部分
,1,0zxyxy z= += =
解当x>0,y>0时，有z=xy >0，投影区域如图所示，则
x
y
o
x+y=
1
1
1
11
00 0
(,,) (,,),
xxy
f x y zdv dx dyfx y zdz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
例2 化下面三重积分为三次积分
(,,),fxyzdv
∫∫∫
其中?由围成。
22 2
3,1x y zz x+ ==?
解曲面为抛物面，为平行与y轴的柱面，两曲面的交线在xoy 平面上的投影为
22
3z xy= +
2
1z x=?
22
22
2
3
41
,.
0
1
zxy
xy
z
zx
=+?
+ =
=
=?
所以，相应的三次积分为
22
22
1
14 1
2
1
14 3
2
(,,) (,,),
xx
xxy
f x y z dv dx dy f x y z dz
+
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
x
y
z
o
例3 计算其中?由y=0,x=1,y=x,z=0,
z=x围成。
,
xyz
edv
++
∫∫∫
()
1
00 0
1
2
00
xx
xyz xyz
x
xy xy
e dv dxdye dz
dx e e dy
++ ++
++
=
=?
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
z
o
zx=
yx=
解积分区域如图所示，
()
1
1
32 3 2
0
0
32
11
32
11 5
.
32 6
xxx x xx
eeedx e ee
eee
=?+=?+
=?++
∫
例4 求其中?由x=0,y=0,z=0,x+y+z=1围成。xydv
∫∫∫
x
y
z
o
x+ y +z =
1
x+y=1
解积分区域如图所示，
()
11 1
00 0
11
00
11
2
00
(1 )
1
xxy
x
x
xydv dx dy xydz
dx xy x y dy
dx x x y xy dy
=
=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫
() ()
1
33
0
1
3
0
1
3
0
11
23
1
(1 )
6
1111
(1 ),
6 6 4 5 120
xx xxdx
xxdx
xxdx
=
=?
=?=?=
∫
∫
∫
2.坐标轴投影法将空间区域?向z轴作投影，得区间[p,q]，且?能表示为
()()
{}
,,,,[,],
z
xyz xy D z pq?= ∈ ∈
D
z
p
q
z
x
y
z
o
其中D
z
是经过(0,0,z)且平行于xoy
面的平面截?所得的平面区域。
() (,,),
z
D
z f x y z dxdyΨ=
∫∫
作积分则三重积分为
(,,) ( (,,) )
z
q
p
D
f x y z dv f x y z dxdy dz
=
∫∫∫ ∫ ∫∫
例5 求三重积分
()
222
2
222
,,,1,
xyz
zdv xyz
abc
= + + ≤
∫∫∫
解任取z∈[-c,c]，
()
22 2
22 2
,1,
z
x y z
Dxy
ab c
=+≤?
则，
()
222
,
z
cc
z
D
z dv dz z d z D dzσμ
==
∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫
而等式右边积分式中的表示截面面积，由椭圆面积的计算公式得
( )
z
Dμ
()
22 2
22 2
11 1,
z
z zz
Da b ab
cc c
μπ π
==
则
2
22 3
2
4
1.
15
c
c
z
z dv z ab dz abc
c
ππ
=?=
∫∫∫ ∫
例6 求其中?由x=0,y=0,z=0,x+y+z=1
围成。
(),x y zdv
++
∫∫∫
解由对称性
()3,x y zdv zdv
++ =
∫∫∫ ∫∫∫
再利用坐标轴投影法，得
x
y
z
o
D
z
1
1
1
()
2
11
00
1
2
0
()3
1
3()3
2
31
(1 ),
28
z
xyzdv zdv
z
z Ddz z dz
zzdz
μ
++ =
==
=?=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫
∫
例7 求其中?为。
x
edv
∫∫∫
222
1xyz+ +≤
解由对称性，设?
1
为前半球体，则
() ( )
1
1
0
1
1
22
0
0
22
21 2 2
2.
x
x
xx
D
xxx
edv edv edx d
exdx exee
σ
ππ
π
==
=?=+
=
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫
∫
利用柱面坐标计算三重积分
1.柱面坐标设M(x,y,z)为空间一点，点M 在xoy 平面上的投影P 的极坐标为(ρ,?),由此构成了点M
的柱面坐标(ρ,?,z)。变化范围是
x
y
z
o
(,,)M x y z
ρ
( )
,P ρ?
0,
02,
.z
ρ
π
≤ <+∞
≤≤
∞< <+∞
直角坐标与柱面坐标的关系为
cos,
sin,
.
x
y
zz
ρ?
ρ?
=
=
=
在不计高阶无穷小的情况下，相应体积元的关系为
.dv d d dzρ ρ?=
由此得到三重积分的柱面坐标形式
(,,) ( cos,sin,),fxyzdv f z dddzρ θρ θ ρρ?
=
∫∫∫ ∫∫∫
例求，?由及z=1围成。
( )
x y dv
+
∫∫∫
22
z xy= +
解设?在第一卦限部分的区域为?
1
，则
()
2
1
11
2
2
00
1
22
2
00
88 cos
16
8cos(1).
15
xydv xdv dd dz
dd
π
ρ
π
θ ρρ θ
θρ θ ρ ρ
+= =
=?=
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
22
zx y= +
x
yo
z
例8 求，?由围成。
sin zdv
∫∫∫
22
,zxyzπ= +=
解
() ()
( )
2
00
2
00 0
2
0
0
2
sin sin
cos 1 2 cos 1
2sin sin 2
42.
zdv d d zdz
dd d
d
πππ
ρ
ππ π
π
π
ρ
ρρ ρπρρ ρ
πρ ρ ρρ π
π π
=
=?=?
=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫ ∫
∫
例9 求，?由围成。
2
()xyzdv
++
∫∫∫
22222
,2zx yx y z= +++=
解两曲面交于z=1的平面上，曲线为x
2
+y
2
=1。由对称性
x
y
z
o
22
zx y= +
222
2xyz+ +=
2220xydv xzdv yzdv
= ==
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
()
( )
2
2
21 2
22 3
00
1
322
0
22
x y dv d d dz
d
πρ
ρ
θρ ρ
πρ ρ ρ ρ
+=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
( )
( )
()
11
2222
00
111
2
000
12
22
01
1
,
3
16 14
222 2,
15 15
dttdt
ttdt tdt ttdt
ttdt u udu
πρ ρ ρ ρ π
ππππ
==?
==
=? =?
∫∫
∫∫∫
∫∫
()
22
16 19
2.
15 15
xydv π
+=?
∫∫∫
()
2
2
21 2
00
3
1
27
2
0
2
2
3
z dv d d z dz
d
πρ
ρ
θρ ρ
π
ρρ ρρ
=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
() ()
()
1
35
1
22
0
0
11
421
55
dρρρ ρ? = =?
∫
()
2
21 1 8 13
42 1 2
35 8 15 60
zdv
π
π π
==?
∫∫∫
2222
() ( )
16 19 8 13 8 32
22 2.
15 15 15 60 5 60
xyzdv x y zdv
π ππ π π
∴ ++ = + +
=?+?=?
∫∫∫ ∫∫∫
利用球面坐标计算三重积分
1.球面坐标设M(x,y,z)为空间的一点，点M确定三维数组(r,θ,?),
称为点M的球面坐标。其中r为点M的相径的模，θ为相径与z轴正向的夹角，?为M点在xoy平面的投影点与x轴正向的夹角。相应的取值范围为
y
z
o
x
θ
0,
0,
02.
r
θ π
π
≤ <+∞
≤≤
≤≤
直角坐标与球面坐标的变换关系为
sin cos,
sin sin,
cos,
xr
yr
zr
θ?
θ?
θ
=
=
=
在不计高阶无穷小的情况下，体积元的变化关系为
2
sin,dv r drd dθ θ?=
由此得到三重积分的球面坐标积分形式为
(,,)fxyzdv
∫∫∫
2
( sin cos,sin sin,cos ) sinf rrrrddrθ?θ?θ θθ?
=
∫∫∫
例10 求半径为a 的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的体积。
解设球面过原点，球心在z 轴上，内接锥面的顶点在原点，对称轴为z轴，由球面坐标得
y
x
z
o
α
M
()
2
22cos
2
000
2cos
2
00
33 3 3
0
sin
sin
2sin
16 16
cos sin 1 cos,
a
a
Vrdrdd
dd r dr
drdr
ada
πα θ
αθ
α
θθ?
θ θ
πθ θ
π θθθ π α
=
=
=
==?
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∫
例11求其中?由围成。
zdv
∫∫∫
2222
,z axy zxy= = +
解两曲面的交线在xoy 平面上的投影，
2
222
22
22
.
2
0
a
zaxy
xy
zxy
z
=
+=
=+
=
故，积分为
x
y
z
o
2
32
4
2
000
sin cos
a
zdv d d r dr
π
π
θθθ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
234
4
2
00
2
2sincos,
96
a
drdr a
π
π θθθ π==
∫∫
例12 求其中?由
( )
22
z x y dv
+
∫∫∫
222 22
14,,x y zzxy≤++≤ ≥ +
确定。
解引入球面坐标，得
()
22
22 53
4
001
2
35
4
01
sin cos
21
2sincos,
16
z xydv d d r dr
drdr
π
π
π
θθθ
πθθ π
+=
==
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
利用直角坐标计算三重积分
1.坐标面投影法设空间闭区域?为一个有界闭区域，
函数f(x,y,z)为?上的连续函数。区域
在xoy 平面上的投影区域D为xy 型区域，投影柱面将?的边界分成上下曲面Σ
1
和Σ
2
11 22
:(,),:(,),(,).z zxy z zxy xy DΣ =Σ= ∈
x
y
z
o
a
b
y=?
1
(x)
z=z
2
(x,y)
y=?
2
(x)
z=z
1
(x,y)
对，作积分
(,)x y D∈
()
( )
2
1
,
,
(,) (,,)
zxy
zxy
xy fxyzdzΦ=
∫
则
()
( )
2
1
,
,
(,,) (,,),
xy
zxy
zxy
D
f x y zdv dxdyfx y zdz
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
进一步地，将二重积分化为二次积分，则得
()
( )
12
11
(),
(),
(,,) (,,),
bxzxy
axzxy
f x y zdv dx dyfx y zdz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
例1 写出下面积分的三次积分：
(,,)fxyzdv
∫∫∫
其中?由围成的在第一卦限的部分
,1,0zxyxy z= += =
解当x>0,y>0时，有z=xy >0，投影区域如图所示，则
x
y
o
x+y=
1
1
1
11
00 0
(,,) (,,),
xxy
f x y zdv dx dyfx y zdz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
例2 化下面三重积分为三次积分
(,,),fxyzdv
∫∫∫
其中?由围成。
22 2
3,1x y zz x+ ==?
解曲面为抛物面，为平行与y轴的柱面，两曲面的交线在xoy 平面上的投影为
22
3z xy= +
2
1z x=?
22
22
2
3
41
,.
0
1
zxy
xy
z
zx
=+?
+ =
=
=?
所以，相应的三次积分为
22
22
1
14 1
2
1
14 3
2
(,,) (,,),
xx
xxy
f x y z dv dx dy f x y z dz
+
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
x
y
z
o
例3 计算其中?由y=0,x=1,y=x,z=0,
z=x围成。
,
xyz
edv
++
∫∫∫
()
1
00 0
1
2
00
xx
xyz xyz
x
xy xy
e dv dxdye dz
dx e e dy
++ ++
++
=
=?
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
z
o
zx=
yx=
解积分区域如图所示，
()
1
1
32 3 2
0
0
32
11
32
11 5
.
32 6
xxx x xx
eeedx e ee
eee
=?+=?+
=?++
∫
例4 求其中?由x=0,y=0,z=0,x+y+z=1围成。xydv
∫∫∫
x
y
z
o
x+ y +z =
1
x+y=1
解积分区域如图所示，
()
11 1
00 0
11
00
11
2
00
(1 )
1
xxy
x
x
xydv dx dy xydz
dx xy x y dy
dx x x y xy dy
=
=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫
() ()
1
33
0
1
3
0
1
3
0
11
23
1
(1 )
6
1111
(1 ),
6 6 4 5 120
xx xxdx
xxdx
xxdx
=
=?
=?=?=
∫
∫
∫
2.坐标轴投影法将空间区域?向z轴作投影，得区间[p,q]，且?能表示为
()()
{}
,,,,[,],
z
xyz xy D z pq?= ∈ ∈
D
z
p
q
z
x
y
z
o
其中D
z
是经过(0,0,z)且平行于xoy
面的平面截?所得的平面区域。
() (,,),
z
D
z f x y z dxdyΨ=
∫∫
作积分则三重积分为
(,,) ( (,,) )
z
q
p
D
f x y z dv f x y z dxdy dz
=
∫∫∫ ∫ ∫∫
例5 求三重积分
()
222
2
222
,,,1,
xyz
zdv xyz
abc
= + + ≤
∫∫∫
解任取z∈[-c,c]，
()
22 2
22 2
,1,
z
x y z
Dxy
ab c
=+≤?
则，
()
222
,
z
cc
z
D
z dv dz z d z D dzσμ
==
∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫
而等式右边积分式中的表示截面面积，由椭圆面积的计算公式得
( )
z
Dμ
()
22 2
22 2
11 1,
z
z zz
Da b ab
cc c
μπ π
==
则
2
22 3
2
4
1.
15
c
c
z
z dv z ab dz abc
c
ππ
=?=
∫∫∫ ∫
例6 求其中?由x=0,y=0,z=0,x+y+z=1
围成。
(),x y zdv
++
∫∫∫
解由对称性
()3,x y zdv zdv
++ =
∫∫∫ ∫∫∫
再利用坐标轴投影法，得
x
y
z
o
D
z
1
1
1
()
2
11
00
1
2
0
()3
1
3()3
2
31
(1 ),
28
z
xyzdv zdv
z
z Ddz z dz
zzdz
μ
++ =
==
=?=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫
∫
例7 求其中?为。
x
edv
∫∫∫
222
1xyz+ +≤
解由对称性，设?
1
为前半球体，则
() ( )
1
1
0
1
1
22
0
0
22
21 2 2
2.
x
x
xx
D
xxx
edv edv edx d
exdx exee
σ
ππ
π
==
=?=+
=
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫
∫
利用柱面坐标计算三重积分
1.柱面坐标设M(x,y,z)为空间一点，点M 在xoy 平面上的投影P 的极坐标为(ρ,?),由此构成了点M
的柱面坐标(ρ,?,z)。变化范围是
x
y
z
o
(,,)M x y z
ρ
( )
,P ρ?
0,
02,
.z
ρ
π
≤ <+∞
≤≤
∞< <+∞
直角坐标与柱面坐标的关系为
cos,
sin,
.
x
y
zz
ρ?
ρ?
=
=
=
在不计高阶无穷小的情况下，相应体积元的关系为
.dv d d dzρ ρ?=
由此得到三重积分的柱面坐标形式
(,,) ( cos,sin,),fxyzdv f z dddzρ θρ θ ρρ?
=
∫∫∫ ∫∫∫
例求，?由及z=1围成。
( )
x y dv
+
∫∫∫
22
z xy= +
解设?在第一卦限部分的区域为?
1
，则
()
2
1
11
2
2
00
1
22
2
00
88 cos
16
8cos(1).
15
xydv xdv dd dz
dd
π
ρ
π
θ ρρ θ
θρ θ ρ ρ
+= =
=?=
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
22
zx y= +
x
yo
z
例8 求，?由围成。
sin zdv
∫∫∫
22
,zxyzπ= +=
解
() ()
( )
2
00
2
00 0
2
0
0
2
sin sin
cos 1 2 cos 1
2sin sin 2
42.
zdv d d zdz
dd d
d
πππ
ρ
ππ π
π
π
ρ
ρρ ρπρρ ρ
πρ ρ ρρ π
π π
=
=?=?
=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫ ∫
∫
例9 求，?由围成。
2
()xyzdv
++
∫∫∫
22222
,2zx yx y z= +++=
解两曲面交于z=1的平面上，曲线为x
2
+y
2
=1。由对称性
x
y
z
o
22
zx y= +
222
2xyz+ +=
2220xydv xzdv yzdv
= ==
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
()
( )
2
2
21 2
22 3
00
1
322
0
22
x y dv d d dz
d
πρ
ρ
θρ ρ
πρ ρ ρ ρ
+=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
( )
( )
()
11
2222
00
111
2
000
12
22
01
1
,
3
16 14
222 2,
15 15
dttdt
ttdt tdt ttdt
ttdt u udu
πρ ρ ρ ρ π
ππππ
==?
==
=? =?
∫∫
∫∫∫
∫∫
()
22
16 19
2.
15 15
xydv π
+=?
∫∫∫
()
2
2
21 2
00
3
1
27
2
0
2
2
3
z dv d d z dz
d
πρ
ρ
θρ ρ
π
ρρ ρρ
=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
() ()
()
1
35
1
22
0
0
11
421
55
dρρρ ρ? = =?
∫
()
2
21 1 8 13
42 1 2
35 8 15 60
zdv
π
π π
==?
∫∫∫
2222
() ( )
16 19 8 13 8 32
22 2.
15 15 15 60 5 60
xyzdv x y zdv
π ππ π π
∴ ++ = + +
=?+?=?
∫∫∫ ∫∫∫
利用球面坐标计算三重积分
1.球面坐标设M(x,y,z)为空间的一点，点M确定三维数组(r,θ,?),
称为点M的球面坐标。其中r为点M的相径的模，θ为相径与z轴正向的夹角，?为M点在xoy平面的投影点与x轴正向的夹角。相应的取值范围为
y
z
o
x
θ
0,
0,
02.
r
θ π
π
≤ <+∞
≤≤
≤≤
直角坐标与球面坐标的变换关系为
sin cos,
sin sin,
cos,
xr
yr
zr
θ?
θ?
θ
=
=
=
在不计高阶无穷小的情况下，体积元的变化关系为
2
sin,dv r drd dθ θ?=
由此得到三重积分的球面坐标积分形式为
(,,)fxyzdv
∫∫∫
2
( sin cos,sin sin,cos ) sinf rrrrddrθ?θ?θ θθ?
=
∫∫∫
例10 求半径为a 的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的体积。
解设球面过原点，球心在z 轴上，内接锥面的顶点在原点，对称轴为z轴，由球面坐标得
y
x
z
o
α
M
()
2
22cos
2
000
2cos
2
00
33 3 3
0
sin
sin
2sin
16 16
cos sin 1 cos,
a
a
Vrdrdd
dd r dr
drdr
ada
πα θ
αθ
α
θθ?
θ θ
πθ θ
π θθθ π α
=
=
=
==?
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∫
例11求其中?由围成。
zdv
∫∫∫
2222
,z axy zxy= = +
解两曲面的交线在xoy 平面上的投影，
2
222
22
22
.
2
0
a
zaxy
xy
zxy
z
=
+=
=+
=
故，积分为
x
y
z
o
2
32
4
2
000
sin cos
a
zdv d d r dr
π
π
θθθ
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
234
4
2
00
2
2sincos,
96
a
drdr a
π
π θθθ π==
∫∫
例12 求其中?由
( )
22
z x y dv
+
∫∫∫
222 22
14,,x y zzxy≤++≤ ≥ +
确定。
解引入球面坐标，得
()
22
22 53
4
001
2
35
4
01
sin cos
21
2sincos,
16
z xydv d d r dr
drdr
π
π
π
θθθ
πθθ π
+=
==
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
