习题课本章要点一、二重积分
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
i
D
fxydxdy f
λ
ξ ησ
→
=
=?
∑
∫∫
二重积分的计算
1.直角坐标
2
1
2
1
()
()
()
()
(,) (,)
(,),
bx
ax
D
dy
cy
fxydxdy dx fxydy
dy f x y dx
φ
φ
∫∫ ∫ ∫
∫∫
先y 后x
先x 后y
x=φ
2
(y)
x
y
aob
y=?
2
(x)
y=?
1
(x)
x
y
o
c
d
x=φ
1
(y)
2.极坐标
2
1
()
()
(,) ( cos,sin ),
r
r
D
f x y dxdy d f rrrd
βθ
αθ
θθθ
∫∫ ∫ ∫
cos
sin
xr
yr
θ
θ
=
=
r=r
2
(θ)
x
y
o
α
β
r=r
1
(θ)
二、三重积分
0
1
(,,) lim (,,),
n
iii i
i
f x y zdxdydz f v
λ
ξηζ
→
=
=?
∑
∫∫∫
三重积分的计算
1.直角坐标
22
11
() (,)
() (,)
(,,)
(,,),
bxzxy
axzxy
f x y z dxdydz
dx dy f x y z dz
=
∫∫∫
∫∫ ∫
y=?
2
(x)
x
y
z
o
a
b
y=?
1
(x)
z=z
2
(x,y)
z=z
1
(x,y)
2.柱面坐标变换公式
cos,sin,,xr y rzzθ θ= ==
(,,) (cos,sin,),f x y zdxdydz f rrzrddrzθθθ
=
∫∫∫ ∫∫∫
3.球面坐标变换公式
cos sin,sin sin,cos,xr yr zr? θ?θθ===
2
(,,)
( sin cos,sin sin,cos ) sin,
f x y z dxdydz
fr r r r dddrθ?θ? θ θ?θ
=
∫∫∫
∫∫∫
三、应用
1.曲面的面积设空间曲面块Σ，在xoy上的投影D为有界闭区域，曲面方程z=f (x,y)有连续偏导，则曲面面积S
22
1.
xy
D
Szzdxy
′′
=++
∫∫
2.重心坐标
(1)平面薄片设平面薄片所占区域D为有界闭区域，密度ρ(x,y)为连续函数，则重心坐标为
(,)xy
11
(,),(,),
DD
xxxydyyxyd
MM
ρ σρσ==
∫∫ ∫∫
其中M为曲面块的质量。当ρ为常数，相应的坐标称为形心坐标。
(2)空间立体设平面薄片所占区域?为有界闭区域，密度ρ(x,y,z)
为连续函数，则重心坐标为。
(,,)xyz
11
(,,),(,,)xxxyzdvyyxyzdv
MM
ρρ
==
∫∫∫ ∫∫∫
1
(,,),z zxyzdv
M
ρ
=
∫∫∫
3.转动惯量
(1)平面薄片设平面薄片所占区域D为有界闭区域，密度ρ(x,y)为连续函数，则转动惯量为
2
(,)
x
D
Iyx y dρ σ=
∫∫
2
(,),
y
D
I xxy dρ σ=
∫∫
(2)空间立体设平面薄片所占区域?为有界闭区域，密度ρ(x,y,z)
为连续函数，则转动惯量为。
22
()(,)
x
Iyzxy zdvρ
=+
∫∫∫
22
()(,)
y
I xz xy zdvρ
=+
∫∫∫
22
()(,).
z
I x y x y zdvρ
=+
∫∫∫
4.引力空间物体对具有单位质量的质点的引力。
( )
,,
x yz
FFFF=
G
000
3/2 3/2 3/2
() () ()
,,.
xyz
kxx kyy kzz
F dv F dv F dv
rrr
ρ ρρ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
例题选讲例1 交换下列积分次序
12 33
00 1 0
(1),
yy
dy fdx dy fdx
+
∫∫ ∫∫
x
y
o
(2,1)
x+y
=3
x
-
2
y
=
0
解由图可以看出
12 33
00 1 0
23
0
2
.
yy
x
y
dy fdx dy fdx
dx fdy
+
=
∫∫ ∫∫
∫∫
2
111
0
(2),
x
x
dx fdy
+?
∫∫
解由图得
2
2
2
111
0
1
00
22
10
.
x
x
y
yy
dx fdy
dy fdx
dy fdx
+?
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
x
y
o
yx=
22
2xy y+=
1
2
3
1
1
(3),
x
x
dx fdy
∫∫
解由图得
y x=
3
yx=
x
y
o 1-1
333
3
3
1
3
1
3
101
110
01
10
01
10
xxx
xx
yy
dx fdy dx fdy dx fdy
dx fdy dx fdy
dy fdx dy fdy
=+
=? +
=? +
∫ ∫∫∫∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
11
33
1
3
01
10
1
1
.
yy
y
y
dyfdx dyfdx
dy fdx
=+
=
∫∫ ∫∫
∫∫
例2 求，其中D由y=0,y=x,x=1围成。
sin
D
y
xdxdy
x
∫∫
解积分化为先y 后x 的积分。
x
y
o
x=1
y = x
()
()
11
2
00 00
11
22
00
0
sin sin sin
1cos1
1
1cos1.
3
xx
D
x
yyy
x dxdy dx x dy dx x d
xx x
y
dx x cox x dx
x
==
=? =?
=?
∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
例3 求，其中。
( )
D
x y dxdy+
∫∫ ()
{ }
,1Dxyxy=+≤
解由区域的对称性，。0
D
ydxdy?=
∫∫
设D为区域在第一象限中的部分，则
x
1xy+ ≤
y
o
D
1
()
()
1
11 1
2
00 0
4
44
2
.
3
DDD
x
x y dxdy xdxdy xdxdy
dx xdy x x dx
+= =
==?
=
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
例4 求，其中
( )
22322
D
xy x x y y x y dσ+++ +
∫∫
()
{ }
22
,2Dxy x y x=+≤。
解由对称性得
( )
22322
22
2cos
3
2
0
2
cos
D
D
xy x x y y x y d
xx yd
drd
π
θ
π
σ
σ
θθθ
+++ +
=+
=
∫∫
∫∫
∫∫
x
y
o
22
2x yx+ =
55
22
0
2
4 cos 8 cos
42 64
8.
53 15
dd
ππ
π
θ θθθ
==
==
∫∫
例5 求，其中
22
22
1
1
D
xy
d
xy
σ
++
∫∫
()
{ }
22
,1,D x y x yyx=+≤≥
解由极坐标计算公式，得
x
y
o
3
22 2
1
4
22 2
0
4
11
2
22
00
11
200
21 41
41 4
1
D
xy r
dd dr
xy r
rr
rdr dr
tt
dt dt
t
t
π
σθ
ππ
ππ
=
++ +
==
++
==
+
∫∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫
()
111
222000
11
2
2200
1
2
0
44
111
1
42
arcsin 1 1,
442
tt
dt dt dt
t
dt d t
tt
tt
ππ
π
πππ
=?
=+
=+?=?
∫∫∫
∫∫
例6 求，其中。
( )
32
4
D
x y dσ
∫∫
()
{ }
22
,2D xy x y y=+≤
解由对称性，得
3
0,4 4,
DD
xd dσ σπ==
∫∫ ∫∫
()
2sin
232
2
00
6
2
0
2sin
531 5
8sin 8,
6422 4
D
y ddrdr
d
π
θ
π
σ θθ
π
θ θπ
=?
=? =? =?
∫∫ ∫ ∫
∫
x
y
o
22
2xy y+=
()
32
511
44.
44
D
xydσ ππ π∴ =? =
∫∫
例7 求，其中
(1)
D
x y dσ+
∫∫
()
{ }
22 22
,1,2.D xy x y x y x=+≥+≤
解同样由对称性，得
0.
D
xydσ =
∫∫
x
y
o
22
1xy+ =
22
2x y x+ =
3
π
θ =
为确定交角，先求两曲线的交点，联立方程
22
22
1
13
,,.
22 3
2
xy
xy
xy x
π
θ
+=
= =?=
+=
()
()
1
2cos
2
3
01
3
3
0
2
3
0
(1) 2
2cos
2
8cos cos
3
2
81 sin 1 sin
3
53 2
43
DDD
xy d xd xd
dd
d
d
π
θ
π
π
σ σσ
θρθρ
θθθ
θθ
π
∴ += =
=
=?
=
=+
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
∫
∫
例8 求，其中由围成。
( )
22
D
x y dσ+
∫∫
D
22 22
2,4xy yxy y+= +=
30,30xyyx?=?=
解积分区域入图所示，故
()
()
4sin
22 3
3
2sin
6
42
33
66
60 sin 15 1 2cos 2 cos 2
3
15 2 15 3,
63 2 2
D
xyd d d
dd
π
θ
π
θ
ππ
σθρρ
θ θθθ
ππ π
+=
==?+
=+?=?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
o
D
例9 设D是以(1,1),(-1,1),(-1,-1)为顶点的三角形区域，
D
1
是区域在第一象限部分，则
1
( cos sin ) 2 cos sin,
DD
xy x y dxdy x ydxdy+=
∫∫ ∫∫
12 34
0
DDDD
xydxdy xydxdy xydxdy
++
= +=
∫∫ ∫∫ ∫∫
解积分区域如图所示，将区域划分成四个小区域，
由区域关于y轴对称，区域关于x轴对称，故
12
DD+
34
DD+
1
D
2
D
3
D
4
D
x
y
o
而
34
cos sin 0.
DD
xydxdy
+
=
∫∫
12 1
(cossin) cossin
cos sin 2 cos sin,
DD D
xy xydxdy xydxdy
xydxdy xydxdy
+
+=
==
∴
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
例10 计算，其中?由
( )
cosyxzdv
+
∫∫∫
,0,0,
2
yxyzxz
π
= ==+=
围成的。
解积分区域如图所示
( )
22
00 0
cos
cos( )
xx
yxzdv
dx dz y xzdy
ππ
+
=+
∫∫∫
∫∫ ∫
x
y
z
o
22
00
2
2
0
0
22
00
2
1
cos( )
2
1
sin( )
2
11
sin
11
16 2
x
x
dx x x z dz
xxzdx
xdx x xdx
ππ
π
π
ππ
π
=+
=+
=?
=?
∫∫
∫
∫∫
例11 求,其中?由z=0,x+y-z=0,x-y-z=0,x=1
围成。
2
xy dv
∫∫∫
解区域及在xoy 平面上的投影如图所示
( ){ }
,0 1,Dxy x xyx= ≤≤?≤≤
x
y
o
y
z
z
x-y-z=0
x+y-z=0
x
10 10
2223
00
0
11
23 4 5
2()2()
1 1
2.
34 6 36
xx
x
dx xy x ydy dx x y xy dy
xy xy dx xdx
=+=+
=+==
∫∫ ∫∫
12
11
22 2
00
22
0
22()
xy xy
DD
xy
DD
xy dv xy d dz xy d dz
xy d dz xy x y d
σσ
+?
+
=+
==+
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫ ∫∫
例12 求，其中?由确定。
( )
22
y zdv
+
∫∫∫
22
2,2 8yz x x+ ≤≤≤
解设?
1
为抛物面之间部分，?
2
为抛物面之间部分，则
08x≤ ≤
02x≤ ≤
()
()()
12
22
22 22
.
yzdv
y zdv y zdv
+
=+?+
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
x
y
z
o
() ( ) ( )
12
22 22 22
.y zdv y zdv y zdv
+= +? +
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
()
2
1
2
248 4
22 3 3
00 0
2
4
6
445
0
28
2
81
22 24 4.
12 12 3
r
r
yzdv d drrdx r dr
r
r
π
θπ
πππ
+= =?
=?==
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
()
2
2
22
22 3
00
2
2
246
2
32
0
0
1
22 2 4
22123
r
yzdv d drrdx
rrr
rdr
π
θ
π ππ
+=
=?=?=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
() ()
22 23
1
44 1 336.
3
yzdv π π
∴ +=?=
∫∫∫
例13 求?由x
2
-y
2
+z
2
=1,y=0,y=2 围成的。
y
edv
∫∫∫
解积分区域为中心轴为y 轴的单叶双曲面，考虑坐标轴投影法。故积分为
x
y
z
o
x
2
-y
2
+z
2
=1
() ()
()
2
0
22
2
00
2
2
0
2
1
22
31.
y
yy
D
yy
y
yyyy
edv dy ed
eDd e ydy
eye ye e
e
σ
μσπ
π
π
=
==+
=+?+
=?
∫∫∫ ∫ ∫∫
∫∫
例14 求，?由x
2
+y
2
=1,z=0,z=1围成。
22
z xydv
+
∫∫∫
解积分区域的圆柱体被锥面分割为?
1
和?
2
，故
( )
( )
1
2
22 22
22
.
z xydv z xydv
xyzdv
+ =?+
++?
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
x
y
z
o
1
2
( )
()
1
22
211
00
zxydv
dd z dz
π
ρ
θρ ρ
+
=?
∫∫∫
∫∫∫
() ()
1
11
233
00
2122
1
.
3
z zd d
ρ
π ρρπ ρρρρ
π
=? =+
=
∫∫
( )
()
() ()
2
21
22
000
11
222
00
0
22
1
.
3
xyzdv dd zdz
zz d d
πρ
ρ
θρρ
πρ ρπρρρ
π
+? =?
=?=?
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
( )
( )
1
2
22 22
22
2
.
3
z xydv z xydv
xyzdv π
+ =?+
++?=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
例15 求。
2
22
22
00 0
xx a
dx dy zx y dz
+
∫∫ ∫
x
y
z
o
2
a
解由积分限知，积分区域为半圆柱体。底面方程为
22
2,0.xy xy+ =≥
故，积分为
2
22
22
00 0
2cos
2
2
00 0
2
2cos
2
2
00
2
xx a
a
dx dy zx y dz
ddzdz
a
dd
π
θ
π
θ
θρρ
θρρ
+
=
=
∫∫ ∫
∫∫ ∫
∫∫
2
32
2
0
48
cos,
39
a
da
π
θθ==
∫
例16 求。
222
11 11
22210 1
1
xxy
dx dy dz
xyz
+
++
∫∫ ∫
解由积分限知，积分区域为x
2
+y
2
+(z-1)
2
=1的上半球体的一半。故
()
222
11 11
22210 1
2cos
2cos
2
44
00sec 0
sec
22
4
0
1
sin sin
2
sin 4cos sec
2
xxy
dx dy dz
xyz
dd r dr r d
d
θ
ππ
πθ
θ
θ
π
π
θθ θ
π
θθθθ
+
=
++
==
=?
∫∫ ∫
∫∫∫ ∫
∫
()
4
3
0
41
cos sec 7 4 2,
23 6
π
π
θ θπ
=? + =?
函数，?为，求。
例17 设其中f (u)为连续
( )
222
()Ft z f x y dv
=++
∫∫∫
222
0,z hx y t≤ ≤+≤
2
0
1
lim ( )
t
F t
t
→
解
( ) ( )
()
2
222 2 2
000
32
0
()
1
2,
3
th
t
Ft zfxydv dd zf dz
hf hd
π
θρρ ρ
πρ ρ ρ
=++= +
=+
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
()
()
32
3
2
00 0
1
2
() () 1
3
lim lim lim 0,
22
tt t
thfth
Ft F t
hf h
tt t
π
π
→→ →
+
′
∴ == =+
例18 求由曲面所围立体的表面积。
22 22
,2x y az z a x y+ ==?+
x
y
z
o
a
2a
解曲面交线在xoy平面上的投影为
222
,
0
x y a
z
+=
=
12
Sdsdsds
ΣΣΣ
==+
设Σ
1
为上曲面，Σ
2
为下曲面，则曲面面积为
∫∫∫∫∫
()
22
2
2
22 2
0
2
44
21 2,
44 4
121
55 1
6
DD
a
D
xy
ddaI
a
xy
I dd
aa
a
σσπ
ρ
σ πρ ρ
π
+
=++ =+
+
=+ = +
=?
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
故，曲面面积为
()
12
2
1
2551.
6
Sdsdsds aπ π
ΣΣΣ
==+= +?
∫∫ ∫∫ ∫∫
例19 在以半径为R的圆为底，高为H的圆柱体上拼加一个同半径的半球体，若已知整个立体是均匀的且重心位于半球的球心处，求R与H的关系。
解设半球的球心在坐标原点，球面方程为
22
,0,z Rx y zR= ≤≤
圆柱体方程为
22
,0.xyR Hz+ =?≤≤
由条件得
0.zdv
=
∫∫∫
由柱面坐标
()
22
2
222
00 0
20,
RRr R
H
dd zdv RH d
π
θρ ρ πρ ρρ
= =
∫∫∫ ∫
即
42
2
0,2,
42
RH
RRH?=?=
即：当时，整个立体的重心位于半球的球心。
:2:1RH=
例20 位于yoz 平面内的一条曲线z=y
2
绕z轴旋转得一旋转曲面，此曲面与平面z=2所围的物体在任一点处的密度为，求该物体对z轴的转动惯量。
22
x yρ=+
解由条件得，
( )
()
2
22 22
222 2
424
00 0
22
88 32
222 2.
57 35
z
Ixyxydv
dd dz d
π
ρ
θ ρρ π ρρρ
ππ
=+ +
==?
=?=
∫∫∫
∫∫∫ ∫
例21 求密度为常数ρ，半顶角为α，高为h的圆锥体对位于其顶点处的单位质量的质点的引力的大小。
x
y
z
o
h
解设锥面方程为
α
22
cot,0,z x y zhα= +≤≤
引力，由条件得：F
x
=F
y
=0。
( )
,,
xyz
FFFF=
G
()
3
222
2
3
2sec
3
000
sin cos
2(1cos).
z
h
kz
Fdv
xyz
kr
dd dr
r
kh
πα θ
ρ
ρ θθ
θ
πρ α
=
++
=
=?
∫∫∫
∫∫∫
0
1
(,) lim (,),
n
ii i
i
D
fxydxdy f
λ
ξ ησ
→
=
=?
∑
∫∫
二重积分的计算
1.直角坐标
2
1
2
1
()
()
()
()
(,) (,)
(,),
bx
ax
D
dy
cy
fxydxdy dx fxydy
dy f x y dx
φ
φ
∫∫ ∫ ∫
∫∫
先y 后x
先x 后y
x=φ
2
(y)
x
y
aob
y=?
2
(x)
y=?
1
(x)
x
y
o
c
d
x=φ
1
(y)
2.极坐标
2
1
()
()
(,) ( cos,sin ),
r
r
D
f x y dxdy d f rrrd
βθ
αθ
θθθ
∫∫ ∫ ∫
cos
sin
xr
yr
θ
θ
=
=
r=r
2
(θ)
x
y
o
α
β
r=r
1
(θ)
二、三重积分
0
1
(,,) lim (,,),
n
iii i
i
f x y zdxdydz f v
λ
ξηζ
→
=
=?
∑
∫∫∫
三重积分的计算
1.直角坐标
22
11
() (,)
() (,)
(,,)
(,,),
bxzxy
axzxy
f x y z dxdydz
dx dy f x y z dz
=
∫∫∫
∫∫ ∫
y=?
2
(x)
x
y
z
o
a
b
y=?
1
(x)
z=z
2
(x,y)
z=z
1
(x,y)
2.柱面坐标变换公式
cos,sin,,xr y rzzθ θ= ==
(,,) (cos,sin,),f x y zdxdydz f rrzrddrzθθθ
=
∫∫∫ ∫∫∫
3.球面坐标变换公式
cos sin,sin sin,cos,xr yr zr? θ?θθ===
2
(,,)
( sin cos,sin sin,cos ) sin,
f x y z dxdydz
fr r r r dddrθ?θ? θ θ?θ
=
∫∫∫
∫∫∫
三、应用
1.曲面的面积设空间曲面块Σ，在xoy上的投影D为有界闭区域，曲面方程z=f (x,y)有连续偏导，则曲面面积S
22
1.
xy
D
Szzdxy
′′
=++
∫∫
2.重心坐标
(1)平面薄片设平面薄片所占区域D为有界闭区域，密度ρ(x,y)为连续函数，则重心坐标为
(,)xy
11
(,),(,),
DD
xxxydyyxyd
MM
ρ σρσ==
∫∫ ∫∫
其中M为曲面块的质量。当ρ为常数，相应的坐标称为形心坐标。
(2)空间立体设平面薄片所占区域?为有界闭区域，密度ρ(x,y,z)
为连续函数，则重心坐标为。
(,,)xyz
11
(,,),(,,)xxxyzdvyyxyzdv
MM
ρρ
==
∫∫∫ ∫∫∫
1
(,,),z zxyzdv
M
ρ
=
∫∫∫
3.转动惯量
(1)平面薄片设平面薄片所占区域D为有界闭区域，密度ρ(x,y)为连续函数，则转动惯量为
2
(,)
x
D
Iyx y dρ σ=
∫∫
2
(,),
y
D
I xxy dρ σ=
∫∫
(2)空间立体设平面薄片所占区域?为有界闭区域，密度ρ(x,y,z)
为连续函数，则转动惯量为。
22
()(,)
x
Iyzxy zdvρ
=+
∫∫∫
22
()(,)
y
I xz xy zdvρ
=+
∫∫∫
22
()(,).
z
I x y x y zdvρ
=+
∫∫∫
4.引力空间物体对具有单位质量的质点的引力。
( )
,,
x yz
FFFF=
G
000
3/2 3/2 3/2
() () ()
,,.
xyz
kxx kyy kzz
F dv F dv F dv
rrr
ρ ρρ
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
例题选讲例1 交换下列积分次序
12 33
00 1 0
(1),
yy
dy fdx dy fdx
+
∫∫ ∫∫
x
y
o
(2,1)
x+y
=3
x
-
2
y
=
0
解由图可以看出
12 33
00 1 0
23
0
2
.
yy
x
y
dy fdx dy fdx
dx fdy
+
=
∫∫ ∫∫
∫∫
2
111
0
(2),
x
x
dx fdy
+?
∫∫
解由图得
2
2
2
111
0
1
00
22
10
.
x
x
y
yy
dx fdy
dy fdx
dy fdx
+?
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
x
y
o
yx=
22
2xy y+=
1
2
3
1
1
(3),
x
x
dx fdy
∫∫
解由图得
y x=
3
yx=
x
y
o 1-1
333
3
3
1
3
1
3
101
110
01
10
01
10
xxx
xx
yy
dx fdy dx fdy dx fdy
dx fdy dx fdy
dy fdx dy fdy
=+
=? +
=? +
∫ ∫∫∫∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
11
33
1
3
01
10
1
1
.
yy
y
y
dyfdx dyfdx
dy fdx
=+
=
∫∫ ∫∫
∫∫
例2 求，其中D由y=0,y=x,x=1围成。
sin
D
y
xdxdy
x
∫∫
解积分化为先y 后x 的积分。
x
y
o
x=1
y = x
()
()
11
2
00 00
11
22
00
0
sin sin sin
1cos1
1
1cos1.
3
xx
D
x
yyy
x dxdy dx x dy dx x d
xx x
y
dx x cox x dx
x
==
=? =?
=?
∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
例3 求，其中。
( )
D
x y dxdy+
∫∫ ()
{ }
,1Dxyxy=+≤
解由区域的对称性，。0
D
ydxdy?=
∫∫
设D为区域在第一象限中的部分，则
x
1xy+ ≤
y
o
D
1
()
()
1
11 1
2
00 0
4
44
2
.
3
DDD
x
x y dxdy xdxdy xdxdy
dx xdy x x dx
+= =
==?
=
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
例4 求，其中
( )
22322
D
xy x x y y x y dσ+++ +
∫∫
()
{ }
22
,2Dxy x y x=+≤。
解由对称性得
( )
22322
22
2cos
3
2
0
2
cos
D
D
xy x x y y x y d
xx yd
drd
π
θ
π
σ
σ
θθθ
+++ +
=+
=
∫∫
∫∫
∫∫
x
y
o
22
2x yx+ =
55
22
0
2
4 cos 8 cos
42 64
8.
53 15
dd
ππ
π
θ θθθ
==
==
∫∫
例5 求，其中
22
22
1
1
D
xy
d
xy
σ
++
∫∫
()
{ }
22
,1,D x y x yyx=+≤≥
解由极坐标计算公式，得
x
y
o
3
22 2
1
4
22 2
0
4
11
2
22
00
11
200
21 41
41 4
1
D
xy r
dd dr
xy r
rr
rdr dr
tt
dt dt
t
t
π
σθ
ππ
ππ
=
++ +
==
++
==
+
∫∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫
()
111
222000
11
2
2200
1
2
0
44
111
1
42
arcsin 1 1,
442
tt
dt dt dt
t
dt d t
tt
tt
ππ
π
πππ
=?
=+
=+?=?
∫∫∫
∫∫
例6 求，其中。
( )
32
4
D
x y dσ
∫∫
()
{ }
22
,2D xy x y y=+≤
解由对称性，得
3
0,4 4,
DD
xd dσ σπ==
∫∫ ∫∫
()
2sin
232
2
00
6
2
0
2sin
531 5
8sin 8,
6422 4
D
y ddrdr
d
π
θ
π
σ θθ
π
θ θπ
=?
=? =? =?
∫∫ ∫ ∫
∫
x
y
o
22
2xy y+=
()
32
511
44.
44
D
xydσ ππ π∴ =? =
∫∫
例7 求，其中
(1)
D
x y dσ+
∫∫
()
{ }
22 22
,1,2.D xy x y x y x=+≥+≤
解同样由对称性，得
0.
D
xydσ =
∫∫
x
y
o
22
1xy+ =
22
2x y x+ =
3
π
θ =
为确定交角，先求两曲线的交点，联立方程
22
22
1
13
,,.
22 3
2
xy
xy
xy x
π
θ
+=
= =?=
+=
()
()
1
2cos
2
3
01
3
3
0
2
3
0
(1) 2
2cos
2
8cos cos
3
2
81 sin 1 sin
3
53 2
43
DDD
xy d xd xd
dd
d
d
π
θ
π
π
σ σσ
θρθρ
θθθ
θθ
π
∴ += =
=
=?
=
=+
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
∫
∫
例8 求，其中由围成。
( )
22
D
x y dσ+
∫∫
D
22 22
2,4xy yxy y+= +=
30,30xyyx?=?=
解积分区域入图所示，故
()
()
4sin
22 3
3
2sin
6
42
33
66
60 sin 15 1 2cos 2 cos 2
3
15 2 15 3,
63 2 2
D
xyd d d
dd
π
θ
π
θ
ππ
σθρρ
θ θθθ
ππ π
+=
==?+
=+?=?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
o
D
例9 设D是以(1,1),(-1,1),(-1,-1)为顶点的三角形区域，
D
1
是区域在第一象限部分，则
1
( cos sin ) 2 cos sin,
DD
xy x y dxdy x ydxdy+=
∫∫ ∫∫
12 34
0
DDDD
xydxdy xydxdy xydxdy
++
= +=
∫∫ ∫∫ ∫∫
解积分区域如图所示，将区域划分成四个小区域，
由区域关于y轴对称，区域关于x轴对称，故
12
DD+
34
DD+
1
D
2
D
3
D
4
D
x
y
o
而
34
cos sin 0.
DD
xydxdy
+
=
∫∫
12 1
(cossin) cossin
cos sin 2 cos sin,
DD D
xy xydxdy xydxdy
xydxdy xydxdy
+
+=
==
∴
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
例10 计算，其中?由
( )
cosyxzdv
+
∫∫∫
,0,0,
2
yxyzxz
π
= ==+=
围成的。
解积分区域如图所示
( )
22
00 0
cos
cos( )
xx
yxzdv
dx dz y xzdy
ππ
+
=+
∫∫∫
∫∫ ∫
x
y
z
o
22
00
2
2
0
0
22
00
2
1
cos( )
2
1
sin( )
2
11
sin
11
16 2
x
x
dx x x z dz
xxzdx
xdx x xdx
ππ
π
π
ππ
π
=+
=+
=?
=?
∫∫
∫
∫∫
例11 求,其中?由z=0,x+y-z=0,x-y-z=0,x=1
围成。
2
xy dv
∫∫∫
解区域及在xoy 平面上的投影如图所示
( ){ }
,0 1,Dxy x xyx= ≤≤?≤≤
x
y
o
y
z
z
x-y-z=0
x+y-z=0
x
10 10
2223
00
0
11
23 4 5
2()2()
1 1
2.
34 6 36
xx
x
dx xy x ydy dx x y xy dy
xy xy dx xdx
=+=+
=+==
∫∫ ∫∫
12
11
22 2
00
22
0
22()
xy xy
DD
xy
DD
xy dv xy d dz xy d dz
xy d dz xy x y d
σσ
+?
+
=+
==+
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫ ∫∫
例12 求，其中?由确定。
( )
22
y zdv
+
∫∫∫
22
2,2 8yz x x+ ≤≤≤
解设?
1
为抛物面之间部分，?
2
为抛物面之间部分，则
08x≤ ≤
02x≤ ≤
()
()()
12
22
22 22
.
yzdv
y zdv y zdv
+
=+?+
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
x
y
z
o
() ( ) ( )
12
22 22 22
.y zdv y zdv y zdv
+= +? +
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
()
2
1
2
248 4
22 3 3
00 0
2
4
6
445
0
28
2
81
22 24 4.
12 12 3
r
r
yzdv d drrdx r dr
r
r
π
θπ
πππ
+= =?
=?==
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
()
2
2
22
22 3
00
2
2
246
2
32
0
0
1
22 2 4
22123
r
yzdv d drrdx
rrr
rdr
π
θ
π ππ
+=
=?=?=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
() ()
22 23
1
44 1 336.
3
yzdv π π
∴ +=?=
∫∫∫
例13 求?由x
2
-y
2
+z
2
=1,y=0,y=2 围成的。
y
edv
∫∫∫
解积分区域为中心轴为y 轴的单叶双曲面，考虑坐标轴投影法。故积分为
x
y
z
o
x
2
-y
2
+z
2
=1
() ()
()
2
0
22
2
00
2
2
0
2
1
22
31.
y
yy
D
yy
y
yyyy
edv dy ed
eDd e ydy
eye ye e
e
σ
μσπ
π
π
=
==+
=+?+
=?
∫∫∫ ∫ ∫∫
∫∫
例14 求，?由x
2
+y
2
=1,z=0,z=1围成。
22
z xydv
+
∫∫∫
解积分区域的圆柱体被锥面分割为?
1
和?
2
，故
( )
( )
1
2
22 22
22
.
z xydv z xydv
xyzdv
+ =?+
++?
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
x
y
z
o
1
2
( )
()
1
22
211
00
zxydv
dd z dz
π
ρ
θρ ρ
+
=?
∫∫∫
∫∫∫
() ()
1
11
233
00
2122
1
.
3
z zd d
ρ
π ρρπ ρρρρ
π
=? =+
=
∫∫
( )
()
() ()
2
21
22
000
11
222
00
0
22
1
.
3
xyzdv dd zdz
zz d d
πρ
ρ
θρρ
πρ ρπρρρ
π
+? =?
=?=?
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
( )
( )
1
2
22 22
22
2
.
3
z xydv z xydv
xyzdv π
+ =?+
++?=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
例15 求。
2
22
22
00 0
xx a
dx dy zx y dz
+
∫∫ ∫
x
y
z
o
2
a
解由积分限知，积分区域为半圆柱体。底面方程为
22
2,0.xy xy+ =≥
故，积分为
2
22
22
00 0
2cos
2
2
00 0
2
2cos
2
2
00
2
xx a
a
dx dy zx y dz
ddzdz
a
dd
π
θ
π
θ
θρρ
θρρ
+
=
=
∫∫ ∫
∫∫ ∫
∫∫
2
32
2
0
48
cos,
39
a
da
π
θθ==
∫
例16 求。
222
11 11
22210 1
1
xxy
dx dy dz
xyz
+
++
∫∫ ∫
解由积分限知，积分区域为x
2
+y
2
+(z-1)
2
=1的上半球体的一半。故
()
222
11 11
22210 1
2cos
2cos
2
44
00sec 0
sec
22
4
0
1
sin sin
2
sin 4cos sec
2
xxy
dx dy dz
xyz
dd r dr r d
d
θ
ππ
πθ
θ
θ
π
π
θθ θ
π
θθθθ
+
=
++
==
=?
∫∫ ∫
∫∫∫ ∫
∫
()
4
3
0
41
cos sec 7 4 2,
23 6
π
π
θ θπ
=? + =?
函数，?为，求。
例17 设其中f (u)为连续
( )
222
()Ft z f x y dv
=++
∫∫∫
222
0,z hx y t≤ ≤+≤
2
0
1
lim ( )
t
F t
t
→
解
( ) ( )
()
2
222 2 2
000
32
0
()
1
2,
3
th
t
Ft zfxydv dd zf dz
hf hd
π
θρρ ρ
πρ ρ ρ
=++= +
=+
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
()
()
32
3
2
00 0
1
2
() () 1
3
lim lim lim 0,
22
tt t
thfth
Ft F t
hf h
tt t
π
π
→→ →
+
′
∴ == =+
例18 求由曲面所围立体的表面积。
22 22
,2x y az z a x y+ ==?+
x
y
z
o
a
2a
解曲面交线在xoy平面上的投影为
222
,
0
x y a
z
+=
=
12
Sdsdsds
ΣΣΣ
==+
设Σ
1
为上曲面，Σ
2
为下曲面，则曲面面积为
∫∫∫∫∫
()
22
2
2
22 2
0
2
44
21 2,
44 4
121
55 1
6
DD
a
D
xy
ddaI
a
xy
I dd
aa
a
σσπ
ρ
σ πρ ρ
π
+
=++ =+
+
=+ = +
=?
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
故，曲面面积为
()
12
2
1
2551.
6
Sdsdsds aπ π
ΣΣΣ
==+= +?
∫∫ ∫∫ ∫∫
例19 在以半径为R的圆为底，高为H的圆柱体上拼加一个同半径的半球体，若已知整个立体是均匀的且重心位于半球的球心处，求R与H的关系。
解设半球的球心在坐标原点，球面方程为
22
,0,z Rx y zR= ≤≤
圆柱体方程为
22
,0.xyR Hz+ =?≤≤
由条件得
0.zdv
=
∫∫∫
由柱面坐标
()
22
2
222
00 0
20,
RRr R
H
dd zdv RH d
π
θρ ρ πρ ρρ
= =
∫∫∫ ∫
即
42
2
0,2,
42
RH
RRH?=?=
即：当时，整个立体的重心位于半球的球心。
:2:1RH=
例20 位于yoz 平面内的一条曲线z=y
2
绕z轴旋转得一旋转曲面，此曲面与平面z=2所围的物体在任一点处的密度为，求该物体对z轴的转动惯量。
22
x yρ=+
解由条件得，
( )
()
2
22 22
222 2
424
00 0
22
88 32
222 2.
57 35
z
Ixyxydv
dd dz d
π
ρ
θ ρρ π ρρρ
ππ
=+ +
==?
=?=
∫∫∫
∫∫∫ ∫
例21 求密度为常数ρ，半顶角为α，高为h的圆锥体对位于其顶点处的单位质量的质点的引力的大小。
x
y
z
o
h
解设锥面方程为
α
22
cot,0,z x y zhα= +≤≤
引力，由条件得：F
x
=F
y
=0。
( )
,,
xyz
FFFF=
G
()
3
222
2
3
2sec
3
000
sin cos
2(1cos).
z
h
kz
Fdv
xyz
kr
dd dr
r
kh
πα θ
ρ
ρ θθ
θ
πρ α
=
++
=
=?
∫∫∫
∫∫∫
