习题课本章主要内容：
一、向量及运算
1.向量的定义及向量的坐标表示；
2,向量的基本运算：+、—和数乘；
3.向量的重要运算：数量积，向量积，混合积。
数量积设，
null
( )
(,,),(,,),,
xyz xyz
bbaaaa bbb aθ===
null null
null null
cos,
xx yy zz
bbaa abababθ?= = + +
null
null
nullnull
向量的投影，
null
( )
(,,),(,,),,
xyz xyz
bbaaaa bbb aθ===
null null
null null
Prj,
x xyyzz
a
b
ab ab ab
a
b
aa
++
==
null
null
null
null
nullnull
θ
a
null
b
null
向量积设，
null
( )
(,,),(,,),,
xyz xyz
bbaaaa bbb aθ===
null null
null null
.
xyz
xyz
b
ijk
aaaa
bbb
×=
null
null
null null
null
sinbbaaθ×=
null null
nullnull
a
null
b
null
ba×
null
null
θ
混合积设，(,,),(,,),(,,)
xyz xyz xyz
baaaa bbbcccc===
null
null null
[ ] ( ),
xyz
xyz
xyz
b b
aaa
ac a cb b b
ccc
=×?=
null
null
nullnull null null
a
null
c
null
b
null
ba×
null
null
θ
以为邻边平行六面体的体积为
[ ].bvac=
null
null null
,,bac
null
nullnull
而以为邻边的四面体的体积为
1
[ ].
6
bvac=
null
null null
,,,bac
null
nullnull
a
null
b
null
c
null
12
.
M Ms
d
s
×
=
null
nullnullnullnullnullnull
null
M
1
M
2
s
null
4.点到直线的距离重要关系：
1.两向量垂直?两向量的数量积为0；
2.两向量平行?两向量的向量积为；
对应的分量成比例；
3.三向量共面?三向量的混合积为0；
4,。bbs as sa⊥⊥∧?×
null null
nullnullnull nullnull
null
0
null
(,,)nABC=
null
二、平面与直线
1.平面的三种方程；
(1).点法式方程点M
0
( x
0
,y
0
,z
o
)，法向，
000
()( )()0.Ax x By y Cz z?+?+?=
M
0
M
0.Ax By Cz D+++=
(2),一般方程
(3).平面的截距式方程：
1.
xyz
abc
++=
y
x
z
o
a
b
c
2.点到平面的距离平面点M
0
( x
0
,y
0
,z
o
)，距离d
0.Ax By Cz D+++=
00 0
222
.
AxbyCzD
d
ABC
+++
=
++
M
0
θ
n
null
3.两平面的夹角平面平面，夹角为θ，则
11 1 1 1
,0Ax By Cz Dπ + ++=
22 2 2 2
,0Ax By Cz Dπ + ++=
12 12 12
222222
111222
cos,
AA BB CC
A BCABC
θ
++
=
++ ++
π
1
π
2
1
n
null
2
n
null
θ
4.直线的三种方程：
(1).对称式方程：设M
0
( x
0
,y
0
,z
o
)，，方程为(,,)smnp=
null
000
.
xx yy zz
mnp
==
M
0
M
s
null
(2).直线的参数方程：
0
0
0
xxmt
yynt
z zpt
=+
= +
=+
(3).直线的一般方程：直线L可视为两平面的交线。
11 1 1
22 2 2
0
0
Ax By Cz D
Ax By Cz D
+++=
+++=
θ
n
null
L
π
5.直线与平面的夹角:
设直线与平面的夹角为?，与平面的法向的夹角为
θ，
L：
000
.
xx yy zz
mnp
==
π：0.Ax By Cz D+++=
222 222
cos,
Am Bn Cp
A BC mnp
θ
++
=
++? ++
6.平面束方程：
设直线L的一般方程为
11 1 1
22 2 2
0
0
Ax By Cz D
Ax By Cz D
+ ++=
+ ++=
L
：
则相应的平面束方程为
11 1 1 2 2 2 2
()0Ax By Cz D Ax B y C z Dλ++++ +++=
法向为
( )
121212
,,.nAABBCCλλλ
′
=+ + +
7.柱面平行于z轴的柱面方程的一般形式为
(,) 0.Fxy=
反之，空间的曲面方程代表的是平行于z轴的柱面。
(,) 0Fxy=
8.旋转曲面平面曲线绕z轴旋转的曲面方程为
(,) 0
0
fyz
x
=
=
( )
22
,0.fxyz± +=
9.二次曲面椭球面：
()
2
22
0
00
222
()()
1.
xx
yy zz
abc
+ +=
双曲面：
()
2
22
0
00
222
()()
1.
xx
yy zz
abc
+?=±
“+”为单叶双曲面，“-”为双叶双曲面。
椭圆、双曲抛物面(p,q 同号)。
22
00
()( )
22
xx yy
z
pq
± =
锥面
()
2
0
00
222
()()
0.
xx
yy zz
abc
+?=
10.空间曲线方程一般方程
(,,) 0
.
(,,) 0
Fxyz
Gxyz
=
=
参数方程
()
().
()
x xt
yyt
zzt
=
=
=
11.空间曲线在坐标平面上的投影设l：
(,,) 0
(,,) 0
Fxyz
Gxyz
=
=
(消去z)
(,) 0Hxy=
则曲线在xoy 平面上的投影为：
(,) 0
0
Hxy
z
=
=
例题选讲例1在xoy平面上求一向量使之：1.,其中；2,。
a
null
ba ⊥
null
null
53 4bijk=?+
null null
nullnull
ba =
null
null
解设，则由条件得(,,0)axy=
null
22
53 0,( )50,xy xy?=∧+ =
22
525
,50,
39
15 25
,.
17 17
yxx x
xx
= ∧+ =
=± =±
例2设，求
32,2,ij kbi jka=+?=
null nullnull
null nullnullnull
null
,.bbaa? ×
null null
null null
null
( )
,.ba
null
null
解
3112 2(1) 3ba = ×?×?×? =
null
null
3125 7,
12 1
ijk
ab i j k×== ++
null
null null
nullnull
nullnull
null
null
( )
3
,arccos arccos,
8
b
b
b
a
a
a
==
null
null
null
null
null
null
例3设，求同时垂直于，且在上的投影是14的向量。
( ) ( ) ( )
2,3,1,1,2,3,2,1,2bac=?=? =
null
null null
ba
null
null
和
c
null
23 177 7,
123
b
ijk
aijk×=?=
null
null
null null
null
∵
解设为所求向量，则，
d
null
令，(1,1,1)d λ=
null
Prj 14,42,
3
c
cd
d
c
λ
λ
= ==?=?
null
null
null
null
∵
null
( 42,42,42).d∴ =?
null
解
(1 3,1 4,1 5 ),bcaλ λλλ=+ =+ +
null
nullnull
例4设，问λ取何值时最小。并证明此时。
( ) ( )
1,1,1,3,4,5,bbacaλ=? =? =+
null null
null nullnull
c
null
bc ⊥
null
null
2
222
(1 3 ) ( 1 4 ) (1 5 ),c λ λλ=+ + ++
null
()
2
6(1 3 ) 8( 1 4 ) 10(1 5 )
24 100 0,
6
,
25
c λ λλ
λ
λ
′
=++ +
=+ =
=?
null
666
13,14,15
25 25 25
715
,,,
25 25 25
bcaλ
=+ =+?
=
null
nullnull
()
715 21425
3,4,5,,0.
25 25 25 25
bc
+?
∴?= = =
null
null
,bc∴ ⊥
null
null
例5证明：在过四面体同一顶点的三条边中，若有二条分别与各自的对边垂直，则第三边也与其对边垂直。
证如图所示：设
,,,bOA a OB OC c= ==
null
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
null null
O
A
B
C
a
null
b
null
c
null
,bBC c∴ =?
null
nullnullnullnull
null
,ACcaABba=?=?
nullnullnullnull nullnullnullnull null
null nullnull
由条件，假设
,,OA BC OB AC⊥⊥
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
( ) 0,( ) 0,bbac ca∴==
null null
null null
nullnull nullnull
O
A
B
C
a
null
b
null
c
null
所以
,bbac c a==
null null
nullnull null null
() 0,bbAB OC a c c ac∴?=?=?=
null null
nullnullnullnull nullnullnullnull
null nullnullnullnull
所以
.ABOC⊥
nullnullnullnull nullnullnullnull
g
例6已知三向量满足，且求
,,bac
null
null null
0bac++=
null null
nullnull
3,6,7,bac===
null
null null
.bbacca? ++?
null null
null nullnullnull
解0,( )( ) 0bbbac acac∴+ += ++?++ =
null nullnullnull
nullnull nullnullnullnull
∵
2222
( )22,bbaca caacc++ = + + + + +
null nullnullnull
nullnullnull nullnullnullnullnull
∵
()
222
1
47,
2
bb bacca a c∴? + +? =? + + =?
null nullnull
nullnullnullnull null null
例7已知xoy 平面上的三点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)，
试用向量方法证明?ABC 的面积
11
22
33
1
1
,1.
2
1
xy
sxy
xy
==
证把平面中的点看成空间的点，则相应的坐标为
A(x
1
,y
1
,0),B(x
2
,y
2
,0),C(x
3
,y
3
,0)，故
2121 3131
(,,0),(,,0),AB x x y y AC x x y y= =
nullnullnull null
21 21
21 21
31 31
31 31
0
0
ijk
xxyy
ABAC x x y y k
xxyy
xxyy
×= =
null
null null
nullnullnullnull nullnullnullnull null
而
11 11
21 21
21 21 2 2
31 31
31 31 3 3
11
01
xy xy
xxyy
xxyy xy
xxyy
xxyy xy
== =?
11
,
22
sABAC∴ =×=?
nullnullnullnull nullnullnullnull
例8设向量求。
375,472,ab abab ab+⊥⊥?
null nullnull null
null nullnull null
null
(,)ba
null
null
解由条件得
( 3)(7 5)0,( 4)(7 2)0,ab ab abab+==
null nullnullnull
nullnull nullnull
即
222
8716150,730 0,bb bbaa aa++?=? =
null nullnullnull
null nullnullnull
ba
null
null
得消去，
22
16 16 0,,bbaa?=?=
null null
null null
null
null null
22 2
716cos(,)150,
1
cos(,),(,),
23
b
bb
aaaa
aa
π
∴ +?
==
null
nullnull
null
null nullnull
nullnull
例9用向量方法证明四边形ABCD的对角线AC、BD相互垂直的充分必要条件是
22 22
.ABCDBCDA+=+
证如图所示，取O为坐标原点，
设A、B、C、D的向径分别是r
1
、r
2
、r
3
、r
4
，则
2
2
2
21
(),ABABrr==?
nullnullnullnull
null null
A
B
CD
O
r
1
r
2
r
3
r
4
2
2
2
32
(),BCBCrr==?
nullnullnullnull
null null
2
2
2
43
(),CDCD r r==?
nullnullnullnull
null null
2
2
2
14
(),DADArr==?
nullnullnullnull
null null
所以
22 22
2222
21 43 32 12
22
13 42
()
()()()()
2( ) ( ) 2,
AB CD BC DA
rr rr rr rr
rr rr CABD
+? +
=?+
==?
null nullnullnullnullnullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnull
nullnull nullnull
由此得
22 22
()
0.
ABCD BCDA
CA BD CA BD
+= +
=?⊥
nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull
g
例10试推导两平行平面
1
0Ax By Cz D+++=
与
2
0Ax By Cz D+++=
的距离公式，并由此计算两平面
19 4 8 21 0 xyz?++=与19 4 8 42 0 xyz? ++=
之间的距离。
解在第一平面上取一点(x
1
,y
1
,z
1
)，代入第二平面，由距离公式,得
1112 21
222 222
.
Ax By Cz D D D
d
A BC ABC
+++?
==
++ ++
现A=19，B=-4，C=8，D
1
=21，D
2
=42，代入上式，
得
21
222 2 22
42 21
1.
19 ( 4) 8
DD
d
ABC
== = =
++ +?+
例11一平面与xoy的交线为x+3y-2=0，且与三坐标面围成一体积为8/3的四面体，求这平面的方程。
解设平面的截距式方程为
1.
xyz
abc
++=
x
+
3
y
-
2
=
0
x
y
z
o
则平面与x 轴、y 轴的截距为
2，2/3，故四面体体积为
1128
2,12.
6633
vabc z c==?=?=±
所以，平面方程为
3
1.
2212
xyz
+ ±=
例12设平面x+y=1，yoz平面，zox平面构成一个三棱柱面的三个侧面，过原点作一平面与三棱柱面的交线为一个等边三角形，求此平面方程。
x
y
z
o
P
Q
M
N
解设平面方程为
0,Ax By Cz++=
由条件得P(1,0,0),Q(0,1,)
N(0,1,z),M(1,z,0)，因为
OMN为等边三角形，
所以，
,1OM ON MN Z= =?=±
因M，N 均在平面上，得A=B=±C，所以方程为：
0.xyz+ ±=
例13已知过点M
0
(1,1,1)的直线L与直线L
1
相交，又与直线L
2
垂直，求L的方程。
23
y z
x = =
123
214
xyz
==
解一设M(t,2t,3t )为直线L与直线L
1
的交点,则向量
02
,(1,21,31)(2,1,4)0,MM L t t t⊥ =
nullnullnullnullnullnullnull
7
22122140,.
16
tt t t?++= =
(9,2,5)s∴ =?
所以，直线方程为
111
.
92 5
xyz
==
解二因L和L
1
相交，所以L和L
1
共面，设L的方向为
(m,n,p),因原点在L
1
上，(1,1,1)在L上，故三向量共面，
即：
10
[ ] 1 2 3 0 2 0.
111
mnp
ssOM m n p= = +=
nullnullnullnullnullnull
nullnull
又因，L和L
2
垂直，得
(,,)(2,1,4) 2 4 0.mnp m n p? =++=
92
,.
55
mpnp?=? =?
代入直线方程，得直线方程为：
111
.
92 5
xyz
==
解三过M
0
作与L
2
平行的平面，得平面方程为：
2( 1) 1 4( 1) 0,xy z? +?+?=
该平面与L
1
的交点
2( 1) 2 1 4(3 1) 16 7 0,tt t t? +?+?=?=
7
,
16
t?=
所以直线方程为：
111
.
92 5
xyz
==
解四过M
0
及直线L
1
的平面记为Π
1
，P(x,y,z)为Π
1
上任意一点，则三向量共面。即有
1
[ ]1230
111
xyz
OP OA s = =
nullnullnullnullnullnullnullnull
null
即:
20.xyz? +=
过点M
0
垂直于L2的平面为Π
2,
方程为
2( 1) ( 1) 4( 1) 0,xy z? +?+?=
所以，所求直线为两平面的交线，即
20
2240
xyz
xy z
+=
+ =+=
例14求过点(-1,0-4)且与直线
20
2240
xyz
xyz
+?=
+ ++=
垂直，又与平面3x-4y+z-10=0平行的直线方程。
解由已知条件，直线的方向为
1
(1,2,1) (1,2,2) 3(2,1,0),s? ×=?
null
null
故，所求直线的方向为
1
(3,4,1) (2,1,0) (1,2,5),ssn=×=? ×? =
nullnullnull
所以，所求直线方程为
14
.
125
xyz+?
==
例15求直线L：在平面Π
2x+3y+3z-8=0上的投影方程。
321
312
x yz+?+
==
解一过L作平面Π
1
垂直于平面Π，所以Π的法向与
Π
1
平行，故Π
1
的方程为
Π
L
L’
n
null
Π
1
321
3120.
233
xyz+?+
=
即
951 30.xy z+=
所以，所求的投影方程为：
951 30
.
23380
xy z
xyz
+=
++?=
解二直线L的方程可转化为直线的一般方程
330
230
xy
yz
+?=
+?=
因而过该直线的平面束方程为
33(2 3)0xy yzλ+?+ +? =
平面的法向为
( )
1
1,3 2,n λ λ=+
null
33(2 3)0xy yzλ+?+ +? =
取λ，使该平面垂直于已知平面，故λ满足
1 2
11
23(32)3 0,.
9
nn λλ λ?=++ +=?=?
nullnull
()
1 1
511
1,,,,9,5,11,
99
nnn
∴ =? =?
null nullnullnull
null
所以，平面方程为
951 30.xy z+=
所以，所求的投影方程为：
951 30
.
23380
xy z
xyz
+=
++?=
例16设l
1,
,l
2
:,求：
1.两直线的距离；2.两直线的公垂线方程。
92
431
xyz? +
= =
72
29 2
xy z+?
==
解1.
()( )
121 2
(9,2,0),(0,7,2),4,3,1,2,9,2,PPs s=?=?
null null
112
2
12
7.
PP s s
d
ss
==
×
nullnullnullnull
null null
nullnull
则：为两直线的公垂线方向，所以
12
ss×
nullnull
1
s
null
2
s
null
12
s s×
null null
2.过l
1
作平行于共垂线方向的平面Π
1
：Π
1
的法向为
( )( )
112
16,27,17,nss= ××
null nullnull null
null
因而平面方程为
16( 9) 27( 2) 17 0.xyz? +++=
同理，过l
2
作平行于共垂线方向的平面Π
2
：Π
2
的法向为
( ) ( )
212
58,6,31,nss= ××
null nullnull null
null
因而平面方程为
58 6( 7) 31( 7) 0.xy z+ ++?=
所以，共垂线方程为：
16 27 17 90 0
.
58 6 31 20 0
xyz
xy z
+ +?=
++?=
例17已知两球面
222
222
6 8 10 41 0
626100
xyz xy z
xyz xyz
+ +?+? +=
+ +++=
求以连接它们的球心的线段为直径的球面方程。
解两球的标准方程为
222
22
6 8 10 41 0
(3)(4)(5)9.
xyz xy z
xyz
+ +?+? +=
++ +?=
222
222
626100
(3)(1)(3)9.
xyz xyz
xyz
+ +++=
+ +++? =
两球心连线段的中点为
33 4153 5
,,0,,4,
222 2
+
=?
球的半径为7/2，所以球面方程为
222
5 8 10 0.xyz yz+ ++?+=
例18分别写出曲面
222
1
9254
xyz
+=
在下列各平面上的截痕，并指出它们是什么曲线。
1,x=2; 2,y=5; 3,z=1；z=2。
解1.
22
5
.
25 4 9
2
yz
x
+=
=
为实轴平行于z 轴、虚轴平行于y 轴的双曲线。
z
y
x
o
222
1
9254
xyz
+=
2.
22
2
.
94
5
xz
y
+ =
=
222
1
9254
xyz
+=
z
y
x
o
曲线为一平行于xoz平面的椭圆。
3.
22
3
,
9254
1
xy
z
=
=
为实轴平行于x 轴、虚轴平行于y 轴的双曲线。
222
1
9254
xyz
+=
z
y
x
o
4.
22
0
,
925
2
xy
z
=
=
为两相交直线。
例19求与两平面
632350
632630
xyz
xyz
=
=
相切的球面方程，其中的一个切点为(5,-1,-1)。
解由两平行平面的距离公式
63 35
4
36 9 4
d
= =
++
所以，球半径为2。为求出另一个切点，过点作平面的法线方程：
56
13
12
xt
yt
z t
=+
=
=
代入另一个平面方程，得t=-2，从而得到另一个切点
(-7,5,3)，所以球心坐标为(-1,2,1)，故球面方程为
222
(1)( 2)(1)4,xyz+ +? +?=
即
222
24220.xyz xyz+ +++=
一、向量及运算
1.向量的定义及向量的坐标表示；
2,向量的基本运算：+、—和数乘；
3.向量的重要运算：数量积，向量积，混合积。
数量积设，
null
( )
(,,),(,,),,
xyz xyz
bbaaaa bbb aθ===
null null
null null
cos,
xx yy zz
bbaa abababθ?= = + +
null
null
nullnull
向量的投影，
null
( )
(,,),(,,),,
xyz xyz
bbaaaa bbb aθ===
null null
null null
Prj,
x xyyzz
a
b
ab ab ab
a
b
aa
++
==
null
null
null
null
nullnull
θ
a
null
b
null
向量积设，
null
( )
(,,),(,,),,
xyz xyz
bbaaaa bbb aθ===
null null
null null
.
xyz
xyz
b
ijk
aaaa
bbb
×=
null
null
null null
null
sinbbaaθ×=
null null
nullnull
a
null
b
null
ba×
null
null
θ
混合积设，(,,),(,,),(,,)
xyz xyz xyz
baaaa bbbcccc===
null
null null
[ ] ( ),
xyz
xyz
xyz
b b
aaa
ac a cb b b
ccc
=×?=
null
null
nullnull null null
a
null
c
null
b
null
ba×
null
null
θ
以为邻边平行六面体的体积为
[ ].bvac=
null
null null
,,bac
null
nullnull
而以为邻边的四面体的体积为
1
[ ].
6
bvac=
null
null null
,,,bac
null
nullnull
a
null
b
null
c
null
12
.
M Ms
d
s
×
=
null
nullnullnullnullnullnull
null
M
1
M
2
s
null
4.点到直线的距离重要关系：
1.两向量垂直?两向量的数量积为0；
2.两向量平行?两向量的向量积为；
对应的分量成比例；
3.三向量共面?三向量的混合积为0；
4,。bbs as sa⊥⊥∧?×
null null
nullnullnull nullnull
null
0
null
(,,)nABC=
null
二、平面与直线
1.平面的三种方程；
(1).点法式方程点M
0
( x
0
,y
0
,z
o
)，法向，
000
()( )()0.Ax x By y Cz z?+?+?=
M
0
M
0.Ax By Cz D+++=
(2),一般方程
(3).平面的截距式方程：
1.
xyz
abc
++=
y
x
z
o
a
b
c
2.点到平面的距离平面点M
0
( x
0
,y
0
,z
o
)，距离d
0.Ax By Cz D+++=
00 0
222
.
AxbyCzD
d
ABC
+++
=
++
M
0
θ
n
null
3.两平面的夹角平面平面，夹角为θ，则
11 1 1 1
,0Ax By Cz Dπ + ++=
22 2 2 2
,0Ax By Cz Dπ + ++=
12 12 12
222222
111222
cos,
AA BB CC
A BCABC
θ
++
=
++ ++
π
1
π
2
1
n
null
2
n
null
θ
4.直线的三种方程：
(1).对称式方程：设M
0
( x
0
,y
0
,z
o
)，，方程为(,,)smnp=
null
000
.
xx yy zz
mnp
==
M
0
M
s
null
(2).直线的参数方程：
0
0
0
xxmt
yynt
z zpt
=+
= +
=+
(3).直线的一般方程：直线L可视为两平面的交线。
11 1 1
22 2 2
0
0
Ax By Cz D
Ax By Cz D
+++=
+++=
θ
n
null
L
π
5.直线与平面的夹角:
设直线与平面的夹角为?，与平面的法向的夹角为
θ，
L：
000
.
xx yy zz
mnp
==
π：0.Ax By Cz D+++=
222 222
cos,
Am Bn Cp
A BC mnp
θ
++
=
++? ++
6.平面束方程：
设直线L的一般方程为
11 1 1
22 2 2
0
0
Ax By Cz D
Ax By Cz D
+ ++=
+ ++=
L
：
则相应的平面束方程为
11 1 1 2 2 2 2
()0Ax By Cz D Ax B y C z Dλ++++ +++=
法向为
( )
121212
,,.nAABBCCλλλ
′
=+ + +
7.柱面平行于z轴的柱面方程的一般形式为
(,) 0.Fxy=
反之，空间的曲面方程代表的是平行于z轴的柱面。
(,) 0Fxy=
8.旋转曲面平面曲线绕z轴旋转的曲面方程为
(,) 0
0
fyz
x
=
=
( )
22
,0.fxyz± +=
9.二次曲面椭球面：
()
2
22
0
00
222
()()
1.
xx
yy zz
abc
+ +=
双曲面：
()
2
22
0
00
222
()()
1.
xx
yy zz
abc
+?=±
“+”为单叶双曲面，“-”为双叶双曲面。
椭圆、双曲抛物面(p,q 同号)。
22
00
()( )
22
xx yy
z
pq
± =
锥面
()
2
0
00
222
()()
0.
xx
yy zz
abc
+?=
10.空间曲线方程一般方程
(,,) 0
.
(,,) 0
Fxyz
Gxyz
=
=
参数方程
()
().
()
x xt
yyt
zzt
=
=
=
11.空间曲线在坐标平面上的投影设l：
(,,) 0
(,,) 0
Fxyz
Gxyz
=
=
(消去z)
(,) 0Hxy=
则曲线在xoy 平面上的投影为：
(,) 0
0
Hxy
z
=
=
例题选讲例1在xoy平面上求一向量使之：1.,其中；2,。
a
null
ba ⊥
null
null
53 4bijk=?+
null null
nullnull
ba =
null
null
解设，则由条件得(,,0)axy=
null
22
53 0,( )50,xy xy?=∧+ =
22
525
,50,
39
15 25
,.
17 17
yxx x
xx
= ∧+ =
=± =±
例2设，求
32,2,ij kbi jka=+?=
null nullnull
null nullnullnull
null
,.bbaa? ×
null null
null null
null
( )
,.ba
null
null
解
3112 2(1) 3ba = ×?×?×? =
null
null
3125 7,
12 1
ijk
ab i j k×== ++
null
null null
nullnull
nullnull
null
null
( )
3
,arccos arccos,
8
b
b
b
a
a
a
==
null
null
null
null
null
null
例3设，求同时垂直于，且在上的投影是14的向量。
( ) ( ) ( )
2,3,1,1,2,3,2,1,2bac=?=? =
null
null null
ba
null
null
和
c
null
23 177 7,
123
b
ijk
aijk×=?=
null
null
null null
null
∵
解设为所求向量，则，
d
null
令，(1,1,1)d λ=
null
Prj 14,42,
3
c
cd
d
c
λ
λ
= ==?=?
null
null
null
null
∵
null
( 42,42,42).d∴ =?
null
解
(1 3,1 4,1 5 ),bcaλ λλλ=+ =+ +
null
nullnull
例4设，问λ取何值时最小。并证明此时。
( ) ( )
1,1,1,3,4,5,bbacaλ=? =? =+
null null
null nullnull
c
null
bc ⊥
null
null
2
222
(1 3 ) ( 1 4 ) (1 5 ),c λ λλ=+ + ++
null
()
2
6(1 3 ) 8( 1 4 ) 10(1 5 )
24 100 0,
6
,
25
c λ λλ
λ
λ
′
=++ +
=+ =
=?
null
666
13,14,15
25 25 25
715
,,,
25 25 25
bcaλ
=+ =+?
=
null
nullnull
()
715 21425
3,4,5,,0.
25 25 25 25
bc
+?
∴?= = =
null
null
,bc∴ ⊥
null
null
例5证明：在过四面体同一顶点的三条边中，若有二条分别与各自的对边垂直，则第三边也与其对边垂直。
证如图所示：设
,,,bOA a OB OC c= ==
null
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
null null
O
A
B
C
a
null
b
null
c
null
,bBC c∴ =?
null
nullnullnullnull
null
,ACcaABba=?=?
nullnullnullnull nullnullnullnull null
null nullnull
由条件，假设
,,OA BC OB AC⊥⊥
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
( ) 0,( ) 0,bbac ca∴==
null null
null null
nullnull nullnull
O
A
B
C
a
null
b
null
c
null
所以
,bbac c a==
null null
nullnull null null
() 0,bbAB OC a c c ac∴?=?=?=
null null
nullnullnullnull nullnullnullnull
null nullnullnullnull
所以
.ABOC⊥
nullnullnullnull nullnullnullnull
g
例6已知三向量满足，且求
,,bac
null
null null
0bac++=
null null
nullnull
3,6,7,bac===
null
null null
.bbacca? ++?
null null
null nullnullnull
解0,( )( ) 0bbbac acac∴+ += ++?++ =
null nullnullnull
nullnull nullnullnullnull
∵
2222
( )22,bbaca caacc++ = + + + + +
null nullnullnull
nullnullnull nullnullnullnullnull
∵
()
222
1
47,
2
bb bacca a c∴? + +? =? + + =?
null nullnull
nullnullnullnull null null
例7已知xoy 平面上的三点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)，
试用向量方法证明?ABC 的面积
11
22
33
1
1
,1.
2
1
xy
sxy
xy
==
证把平面中的点看成空间的点，则相应的坐标为
A(x
1
,y
1
,0),B(x
2
,y
2
,0),C(x
3
,y
3
,0)，故
2121 3131
(,,0),(,,0),AB x x y y AC x x y y= =
nullnullnull null
21 21
21 21
31 31
31 31
0
0
ijk
xxyy
ABAC x x y y k
xxyy
xxyy
×= =
null
null null
nullnullnullnull nullnullnullnull null
而
11 11
21 21
21 21 2 2
31 31
31 31 3 3
11
01
xy xy
xxyy
xxyy xy
xxyy
xxyy xy
== =?
11
,
22
sABAC∴ =×=?
nullnullnullnull nullnullnullnull
例8设向量求。
375,472,ab abab ab+⊥⊥?
null nullnull null
null nullnull null
null
(,)ba
null
null
解由条件得
( 3)(7 5)0,( 4)(7 2)0,ab ab abab+==
null nullnullnull
nullnull nullnull
即
222
8716150,730 0,bb bbaa aa++?=? =
null nullnullnull
null nullnullnull
ba
null
null
得消去，
22
16 16 0,,bbaa?=?=
null null
null null
null
null null
22 2
716cos(,)150,
1
cos(,),(,),
23
b
bb
aaaa
aa
π
∴ +?
==
null
nullnull
null
null nullnull
nullnull
例9用向量方法证明四边形ABCD的对角线AC、BD相互垂直的充分必要条件是
22 22
.ABCDBCDA+=+
证如图所示，取O为坐标原点，
设A、B、C、D的向径分别是r
1
、r
2
、r
3
、r
4
，则
2
2
2
21
(),ABABrr==?
nullnullnullnull
null null
A
B
CD
O
r
1
r
2
r
3
r
4
2
2
2
32
(),BCBCrr==?
nullnullnullnull
null null
2
2
2
43
(),CDCD r r==?
nullnullnullnull
null null
2
2
2
14
(),DADArr==?
nullnullnullnull
null null
所以
22 22
2222
21 43 32 12
22
13 42
()
()()()()
2( ) ( ) 2,
AB CD BC DA
rr rr rr rr
rr rr CABD
+? +
=?+
==?
null nullnullnullnullnullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnull
nullnull nullnull
由此得
22 22
()
0.
ABCD BCDA
CA BD CA BD
+= +
=?⊥
nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull
g
例10试推导两平行平面
1
0Ax By Cz D+++=
与
2
0Ax By Cz D+++=
的距离公式，并由此计算两平面
19 4 8 21 0 xyz?++=与19 4 8 42 0 xyz? ++=
之间的距离。
解在第一平面上取一点(x
1
,y
1
,z
1
)，代入第二平面，由距离公式,得
1112 21
222 222
.
Ax By Cz D D D
d
A BC ABC
+++?
==
++ ++
现A=19，B=-4，C=8，D
1
=21，D
2
=42，代入上式，
得
21
222 2 22
42 21
1.
19 ( 4) 8
DD
d
ABC
== = =
++ +?+
例11一平面与xoy的交线为x+3y-2=0，且与三坐标面围成一体积为8/3的四面体，求这平面的方程。
解设平面的截距式方程为
1.
xyz
abc
++=
x
+
3
y
-
2
=
0
x
y
z
o
则平面与x 轴、y 轴的截距为
2，2/3，故四面体体积为
1128
2,12.
6633
vabc z c==?=?=±
所以，平面方程为
3
1.
2212
xyz
+ ±=
例12设平面x+y=1，yoz平面，zox平面构成一个三棱柱面的三个侧面，过原点作一平面与三棱柱面的交线为一个等边三角形，求此平面方程。
x
y
z
o
P
Q
M
N
解设平面方程为
0,Ax By Cz++=
由条件得P(1,0,0),Q(0,1,)
N(0,1,z),M(1,z,0)，因为
OMN为等边三角形，
所以，
,1OM ON MN Z= =?=±
因M，N 均在平面上，得A=B=±C，所以方程为：
0.xyz+ ±=
例13已知过点M
0
(1,1,1)的直线L与直线L
1
相交，又与直线L
2
垂直，求L的方程。
23
y z
x = =
123
214
xyz
==
解一设M(t,2t,3t )为直线L与直线L
1
的交点,则向量
02
,(1,21,31)(2,1,4)0,MM L t t t⊥ =
nullnullnullnullnullnullnull
7
22122140,.
16
tt t t?++= =
(9,2,5)s∴ =?
所以，直线方程为
111
.
92 5
xyz
==
解二因L和L
1
相交，所以L和L
1
共面，设L的方向为
(m,n,p),因原点在L
1
上，(1,1,1)在L上，故三向量共面，
即：
10
[ ] 1 2 3 0 2 0.
111
mnp
ssOM m n p= = +=
nullnullnullnullnullnull
nullnull
又因，L和L
2
垂直，得
(,,)(2,1,4) 2 4 0.mnp m n p? =++=
92
,.
55
mpnp?=? =?
代入直线方程，得直线方程为：
111
.
92 5
xyz
==
解三过M
0
作与L
2
平行的平面，得平面方程为：
2( 1) 1 4( 1) 0,xy z? +?+?=
该平面与L
1
的交点
2( 1) 2 1 4(3 1) 16 7 0,tt t t? +?+?=?=
7
,
16
t?=
所以直线方程为：
111
.
92 5
xyz
==
解四过M
0
及直线L
1
的平面记为Π
1
，P(x,y,z)为Π
1
上任意一点，则三向量共面。即有
1
[ ]1230
111
xyz
OP OA s = =
nullnullnullnullnullnullnullnull
null
即:
20.xyz? +=
过点M
0
垂直于L2的平面为Π
2,
方程为
2( 1) ( 1) 4( 1) 0,xy z? +?+?=
所以，所求直线为两平面的交线，即
20
2240
xyz
xy z
+=
+ =+=
例14求过点(-1,0-4)且与直线
20
2240
xyz
xyz
+?=
+ ++=
垂直，又与平面3x-4y+z-10=0平行的直线方程。
解由已知条件，直线的方向为
1
(1,2,1) (1,2,2) 3(2,1,0),s? ×=?
null
null
故，所求直线的方向为
1
(3,4,1) (2,1,0) (1,2,5),ssn=×=? ×? =
nullnullnull
所以，所求直线方程为
14
.
125
xyz+?
==
例15求直线L：在平面Π
2x+3y+3z-8=0上的投影方程。
321
312
x yz+?+
==
解一过L作平面Π
1
垂直于平面Π，所以Π的法向与
Π
1
平行，故Π
1
的方程为
Π
L
L’
n
null
Π
1
321
3120.
233
xyz+?+
=
即
951 30.xy z+=
所以，所求的投影方程为：
951 30
.
23380
xy z
xyz
+=
++?=
解二直线L的方程可转化为直线的一般方程
330
230
xy
yz
+?=
+?=
因而过该直线的平面束方程为
33(2 3)0xy yzλ+?+ +? =
平面的法向为
( )
1
1,3 2,n λ λ=+
null
33(2 3)0xy yzλ+?+ +? =
取λ，使该平面垂直于已知平面，故λ满足
1 2
11
23(32)3 0,.
9
nn λλ λ?=++ +=?=?
nullnull
()
1 1
511
1,,,,9,5,11,
99
nnn
∴ =? =?
null nullnullnull
null
所以，平面方程为
951 30.xy z+=
所以，所求的投影方程为：
951 30
.
23380
xy z
xyz
+=
++?=
例16设l
1,
,l
2
:,求：
1.两直线的距离；2.两直线的公垂线方程。
92
431
xyz? +
= =
72
29 2
xy z+?
==
解1.
()( )
121 2
(9,2,0),(0,7,2),4,3,1,2,9,2,PPs s=?=?
null null
112
2
12
7.
PP s s
d
ss
==
×
nullnullnullnull
null null
nullnull
则：为两直线的公垂线方向，所以
12
ss×
nullnull
1
s
null
2
s
null
12
s s×
null null
2.过l
1
作平行于共垂线方向的平面Π
1
：Π
1
的法向为
( )( )
112
16,27,17,nss= ××
null nullnull null
null
因而平面方程为
16( 9) 27( 2) 17 0.xyz? +++=
同理，过l
2
作平行于共垂线方向的平面Π
2
：Π
2
的法向为
( ) ( )
212
58,6,31,nss= ××
null nullnull null
null
因而平面方程为
58 6( 7) 31( 7) 0.xy z+ ++?=
所以，共垂线方程为：
16 27 17 90 0
.
58 6 31 20 0
xyz
xy z
+ +?=
++?=
例17已知两球面
222
222
6 8 10 41 0
626100
xyz xy z
xyz xyz
+ +?+? +=
+ +++=
求以连接它们的球心的线段为直径的球面方程。
解两球的标准方程为
222
22
6 8 10 41 0
(3)(4)(5)9.
xyz xy z
xyz
+ +?+? +=
++ +?=
222
222
626100
(3)(1)(3)9.
xyz xyz
xyz
+ +++=
+ +++? =
两球心连线段的中点为
33 4153 5
,,0,,4,
222 2
+
=?
球的半径为7/2，所以球面方程为
222
5 8 10 0.xyz yz+ ++?+=
例18分别写出曲面
222
1
9254
xyz
+=
在下列各平面上的截痕，并指出它们是什么曲线。
1,x=2; 2,y=5; 3,z=1；z=2。
解1.
22
5
.
25 4 9
2
yz
x
+=
=
为实轴平行于z 轴、虚轴平行于y 轴的双曲线。
z
y
x
o
222
1
9254
xyz
+=
2.
22
2
.
94
5
xz
y
+ =
=
222
1
9254
xyz
+=
z
y
x
o
曲线为一平行于xoz平面的椭圆。
3.
22
3
,
9254
1
xy
z
=
=
为实轴平行于x 轴、虚轴平行于y 轴的双曲线。
222
1
9254
xyz
+=
z
y
x
o
4.
22
0
,
925
2
xy
z
=
=
为两相交直线。
例19求与两平面
632350
632630
xyz
xyz
=
=
相切的球面方程，其中的一个切点为(5,-1,-1)。
解由两平行平面的距离公式
63 35
4
36 9 4
d
= =
++
所以，球半径为2。为求出另一个切点，过点作平面的法线方程：
56
13
12
xt
yt
z t
=+
=
=
代入另一个平面方程，得t=-2，从而得到另一个切点
(-7,5,3)，所以球心坐标为(-1,2,1)，故球面方程为
222
(1)( 2)(1)4,xyz+ +? +?=
即
222
24220.xyz xyz+ +++=
