第二单元曲面与曲线一、本单元的内容要点
1.曲面及方程；
2.柱面及旋转曲面；
3.二次曲面；
4.曲线及方程；
5.曲线在坐标平面上的投影．
二、本单元的教学要求
1.掌握曲面方程的建立方法；
2.掌握柱面及旋转曲面的建立方法及特征；
3.掌握二次曲面的形状及方程；
4.掌握曲线一般方程的建立；
5.建立曲线在坐标平面上的投影方程的建立方法．
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.柱面方程及旋转曲面方程的建立；
2.二次曲面；
3.曲线方程的建立；
4.曲线在坐标平面上的投影．
难点：
1.二次曲面的探讨——截痕法；
2.曲线在坐标平面上的投影．
本单元教学时数：4课时．
一、柱面与旋转曲面
1.柱面平行于定直线L并沿定曲线C
移动的直线所形成的曲面叫做柱面．定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线．
设Σ是空间中平行与z的一柱面，准线C是xoy的一条曲线，方程为F (x,y )=0，则曲面Σ的方程为
F (x,y )=0
因为若点M(x,y,z)在曲面上，则该点在xoy平面上的投影点N(x,y,0)必满足方程
F (x,y )=0.
y
x
o
(,,)M xyz
(,,0)Nxy
z
反之，不在曲面上的点一定不满足方程．
一般，空间曲面Σ的方程为F (x,y,z)=0．若在F 中某一个变元没有出现，则该曲面代表的是平行于该坐标轴的柱面．
y
z
x
例1方程x+y=1代表的是平行于z轴的平面．
o
1xy+ =
例2 方程
22
22
1,
xy
ab
+ =
表示的是母线平行于z 的椭圆柱面．
x
y
z
22
22
1,
xy
ab
+ =
o
例3 曲面
2
2,xpz=
是平行于y 轴的柱面．
y
x
z
o
2
2,xpz=
2.旋转曲面平面上的一条定曲线绕平面上的一条定直线叫做旋转曲面，曲线叫做母线，定直线叫做旋转曲面的旋转轴．
y
x
z
o
(,) 0fyz=
曲面的方程设定曲线在yoz 平面上，方程为f (y,z)=0,定直线为z
轴，经旋转后得曲面Σ．
y
x
z
o
P
1
(0,y
1
,z
0
)
f (y,z)=0
P
0
设P
0
是曲面上的任意一点，
r是点P
0
到z轴的距离，则
22
001
,rxyyr=+ =±
22
000
(,)0fxyz∴ ±+ =
反之，若点M (x,y,z)不在曲面上，则相应的点的坐标不满足方程．所以曲面Σ的方程为
22
(,)0.fxyz±+ =
y
x
z
o
P
1
(0,y
1
,z
0
)
f (y,z)=0
P
0
同理，xoz平面的曲线f(x,z)=0绕x 轴旋转所得到的曲面方程为
22
(,) 0.fx y z± +=
同理，xoy平面的曲线f(x,y)=0绕y 轴旋转所得到的曲面方程为
22
(,)0.fxzy± +=
例1 yoz平面上的曲线y
2
=2pz 绕z 轴旋转所得到的曲面方程为
22
2.xy pz+=
y
x
z
o
22
2xy pz+=
此曲面称为旋转抛物面．
例2 yoz平面上的曲线绕y 轴旋转所得到的曲面方程为
22
22
1
yz
ab
+ =
222
22
1.
yxz
ab
+
+ =
此曲面称为旋转椭球面．
y
z
x
o
例3 xoz平面上的曲线绕z 和x 轴旋转所得到的曲面方程为
22
22
1
xz
ab
=
222
22
1,
xyz
ab
+
=
222
22
1.
xyz
ab
+
=和分别称为单叶旋转双曲面和双叶旋转双曲面．
y
x
z
o
单叶旋转双曲面
22 2
22
1
xyy
ab
+
=
x
y
o
双叶旋转双曲面
z
222
22
1
xyz
ab
+
=
例4 两相交直线，其中的一条绕另一条旋转所得到的曲面称为锥面．设一直线为z 轴，另一条直线为z=ky,
交点为原点，则曲面方程为
2222
().z kx y=+
1
arctan
k
α =
称为半顶角．
y
x
z
o
z ky=
α
二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫作二次曲面．对这类曲面形状的探讨，我们采用截痕法——即用平行于坐标轴的平面与曲面相截来考察相应交线的形态，从而得到曲面的全貌．
1.椭球面方程
222
222
1,( 0,0,0).
xyz
abc
abc
+ += >>>
x
y
z
222
222
1
xyz
abc
+ +=
曲面形状的探讨：由方程，得各变量的取值范围：
,,.xaybzc≤≤≤
222
222
1,
xyz
abc
++=
由方程当z=z
0
为常数，则截面为
22 222
00
22 2 2
0
1
,
xy zcz
ab c c
zz
+=?=
=
x
y
z
z=z
0
为z=z
0
平面上一椭圆．
注意到，当z=c时，则曲线退化成一个点．
同理，用y=y
0
与曲面相截，截痕为y=y
0
平面上的椭圆．
22 22
0
22 2
0
,
xz by
ac b
yy
+==
=
x
y
z
y=y
0
相仿，用x=x
0
与曲面相截，
截痕为x=x
0
平面上的椭圆．
2.抛物面椭圆抛物面．
22
22
xy
z
ab
+ =±
y
x
z
o
22
22
xy
z
ab
+ =
曲面形状的探讨：对曲面方程
22
22
.
xy
z
ab
+ =
以z= z
0
>0与曲面相截，则截面曲线为在z= z
0
平面上的椭圆．
x
y
z
o
22
22
1
xy
za zb
+ =
以y= y
0
与曲面相截，则截面曲线为一开口向上、平行于yoz平面的抛物线．
同样x= x
0
与曲面相截，则截面曲线为一开口向上、平行于yoz平面的抛物线．
y
x
z
o
22
0
22
xy
z
ab
+ =
以y= y
0
与曲面相截，则截面曲线为一开口向上、平行于yoz平面的抛物线．
同样x= x
0
与曲面相截，则截面曲线为一开口向上、平行于xoz平面的抛物线．
y
x
z
o
22
0
22
xy
z
ab
+ =
双曲抛物面．
22
22
xy
z
ab
=±
y
x
z
o
曲面形状的探讨：
双曲抛物面
22
22
.
xy
z
ab
=?
(1) 以z=z
0
>0与曲面相截，曲线
22
0
22
0
.
xy
z
ab
zz
=
=
这是一条在z=z
0
平面上，实轴平行于y轴、虚轴平行与x轴的双曲线．
y
x
z
o
22
22
1
xy
za zb
+=
若z<0则截痕为实轴平行于x轴、虚轴平行与y轴的双曲线．
(2)若以y=y
0
与曲面相截，
曲线为
y
x
z
o
L
22
0
22
0
.
xy
z
ab
yy
=?
=
这是一条平行与xoz平面，顶点在、开口向
2
0
0
2
0,,
y
y
b
下的抛物线．并且整个曲面可以视为曲线沿准线L平行移动所得到的．
y
x
z
o
L
(3)若以x=x
0
与曲面相截，
曲线为
22
0
22
0
.
xy
z
ab
xx
+=
=
该曲线为一条平行与yoz平面，顶点在、开口向上的抛物线．
2
0
0
2
,0,
x
x
a
y
x
z
o
L
3.双曲面
(1)单叶双曲面
222
222
1.
xyz
abc
+?=
222
222
1
xyz
abc
+?=
z
x
y
o
曲面形状的探讨
(1)以z=z
0
平面与曲面相截，曲线为
2222
0
22 2
0
x y cz
ab c
zz
+
+=
=
截痕为平面上的椭圆．长半轴与短半轴随z的增大而增大．
z
x
y
o
(2)以平面y=y
0
相截，交线
222
0
22 2
0
1
.
yxz
ac b
yy
=?
=
为双曲线，但虚轴会随|y|的增大而改变．当|y|<b时，虚轴平行于z轴；当|y|>b时，虚轴平行于x轴；当|y|=b时，
曲线退化为两直线．
z
x
y
o
(3)以平面x=x
0
相截，曲线的形态与以平面y=y
0
相截所得的交线相似．
(2)双叶双曲面
222
222
1.
xyz
abc
+?=?
x
y
o
z
222
222
1
xyz
abc
++=
曲面形状的探讨：
222
222
1.
xyz
abc
+?=?
(1)z=z
0
,截痕为椭圆，(|z
0
|>c)
222
0
22 2
0
1
zxy
ab c
zz
+=?+
=
x
y
o
z
(2)y=y
0
,截痕为双曲线
222
0
22 2
0
1
yxz
ac b
yy
=
=
x
yo
z
空间曲线及其方程
1.曲线的一般方程在直线这一节的讨论中，直线的一般方程是将直线视为两平面的交线．而空间的曲线可视为直线的推广，
即空间的曲线可视为空间曲面的交线．
设曲线Γ由曲面Σ
1
和Σ
2
相交而成，Σ
1
和Σ
2
的方程分别为
(,,) 0,Fxyz= (,,) 0.Gxyz=
和则：Γ的方程为：
(,,) 0
.
(,,) 0
Fxyz
Gxyz
=
=
x
y
z
o
Σ
1
Σ
2
Γ
例1 由柱面与平面的交线为曲线Γ．曲线如图所示．
22
1xy+ = 2336xyz++=
x
y
z
o
22
1xy+ =
2336xyz+ +=
Γ
2.曲线的参数方程和直线的参数方程一样，曲线的参数方程也是表达曲线形式的一种重要方式．参数t 的不同取值确定了曲线上的不同的点．
设曲线Γ，方程为
()
().
()
xxt
yyt
z t
=
=
=
上式即称为曲线的参数方程．
1.曲面及方程；
2.柱面及旋转曲面；
3.二次曲面；
4.曲线及方程；
5.曲线在坐标平面上的投影．
二、本单元的教学要求
1.掌握曲面方程的建立方法；
2.掌握柱面及旋转曲面的建立方法及特征；
3.掌握二次曲面的形状及方程；
4.掌握曲线一般方程的建立；
5.建立曲线在坐标平面上的投影方程的建立方法．
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.柱面方程及旋转曲面方程的建立；
2.二次曲面；
3.曲线方程的建立；
4.曲线在坐标平面上的投影．
难点：
1.二次曲面的探讨——截痕法；
2.曲线在坐标平面上的投影．
本单元教学时数：4课时．
一、柱面与旋转曲面
1.柱面平行于定直线L并沿定曲线C
移动的直线所形成的曲面叫做柱面．定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线．
设Σ是空间中平行与z的一柱面，准线C是xoy的一条曲线，方程为F (x,y )=0，则曲面Σ的方程为
F (x,y )=0
因为若点M(x,y,z)在曲面上，则该点在xoy平面上的投影点N(x,y,0)必满足方程
F (x,y )=0.
y
x
o
(,,)M xyz
(,,0)Nxy
z
反之，不在曲面上的点一定不满足方程．
一般，空间曲面Σ的方程为F (x,y,z)=0．若在F 中某一个变元没有出现，则该曲面代表的是平行于该坐标轴的柱面．
y
z
x
例1方程x+y=1代表的是平行于z轴的平面．
o
1xy+ =
例2 方程
22
22
1,
xy
ab
+ =
表示的是母线平行于z 的椭圆柱面．
x
y
z
22
22
1,
xy
ab
+ =
o
例3 曲面
2
2,xpz=
是平行于y 轴的柱面．
y
x
z
o
2
2,xpz=
2.旋转曲面平面上的一条定曲线绕平面上的一条定直线叫做旋转曲面，曲线叫做母线，定直线叫做旋转曲面的旋转轴．
y
x
z
o
(,) 0fyz=
曲面的方程设定曲线在yoz 平面上，方程为f (y,z)=0,定直线为z
轴，经旋转后得曲面Σ．
y
x
z
o
P
1
(0,y
1
,z
0
)
f (y,z)=0
P
0
设P
0
是曲面上的任意一点，
r是点P
0
到z轴的距离，则
22
001
,rxyyr=+ =±
22
000
(,)0fxyz∴ ±+ =
反之，若点M (x,y,z)不在曲面上，则相应的点的坐标不满足方程．所以曲面Σ的方程为
22
(,)0.fxyz±+ =
y
x
z
o
P
1
(0,y
1
,z
0
)
f (y,z)=0
P
0
同理，xoz平面的曲线f(x,z)=0绕x 轴旋转所得到的曲面方程为
22
(,) 0.fx y z± +=
同理，xoy平面的曲线f(x,y)=0绕y 轴旋转所得到的曲面方程为
22
(,)0.fxzy± +=
例1 yoz平面上的曲线y
2
=2pz 绕z 轴旋转所得到的曲面方程为
22
2.xy pz+=
y
x
z
o
22
2xy pz+=
此曲面称为旋转抛物面．
例2 yoz平面上的曲线绕y 轴旋转所得到的曲面方程为
22
22
1
yz
ab
+ =
222
22
1.
yxz
ab
+
+ =
此曲面称为旋转椭球面．
y
z
x
o
例3 xoz平面上的曲线绕z 和x 轴旋转所得到的曲面方程为
22
22
1
xz
ab
=
222
22
1,
xyz
ab
+
=
222
22
1.
xyz
ab
+
=和分别称为单叶旋转双曲面和双叶旋转双曲面．
y
x
z
o
单叶旋转双曲面
22 2
22
1
xyy
ab
+
=
x
y
o
双叶旋转双曲面
z
222
22
1
xyz
ab
+
=
例4 两相交直线，其中的一条绕另一条旋转所得到的曲面称为锥面．设一直线为z 轴，另一条直线为z=ky,
交点为原点，则曲面方程为
2222
().z kx y=+
1
arctan
k
α =
称为半顶角．
y
x
z
o
z ky=
α
二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫作二次曲面．对这类曲面形状的探讨，我们采用截痕法——即用平行于坐标轴的平面与曲面相截来考察相应交线的形态，从而得到曲面的全貌．
1.椭球面方程
222
222
1,( 0,0,0).
xyz
abc
abc
+ += >>>
x
y
z
222
222
1
xyz
abc
+ +=
曲面形状的探讨：由方程，得各变量的取值范围：
,,.xaybzc≤≤≤
222
222
1,
xyz
abc
++=
由方程当z=z
0
为常数，则截面为
22 222
00
22 2 2
0
1
,
xy zcz
ab c c
zz
+=?=
=
x
y
z
z=z
0
为z=z
0
平面上一椭圆．
注意到，当z=c时，则曲线退化成一个点．
同理，用y=y
0
与曲面相截，截痕为y=y
0
平面上的椭圆．
22 22
0
22 2
0
,
xz by
ac b
yy
+==
=
x
y
z
y=y
0
相仿，用x=x
0
与曲面相截，
截痕为x=x
0
平面上的椭圆．
2.抛物面椭圆抛物面．
22
22
xy
z
ab
+ =±
y
x
z
o
22
22
xy
z
ab
+ =
曲面形状的探讨：对曲面方程
22
22
.
xy
z
ab
+ =
以z= z
0
>0与曲面相截，则截面曲线为在z= z
0
平面上的椭圆．
x
y
z
o
22
22
1
xy
za zb
+ =
以y= y
0
与曲面相截，则截面曲线为一开口向上、平行于yoz平面的抛物线．
同样x= x
0
与曲面相截，则截面曲线为一开口向上、平行于yoz平面的抛物线．
y
x
z
o
22
0
22
xy
z
ab
+ =
以y= y
0
与曲面相截，则截面曲线为一开口向上、平行于yoz平面的抛物线．
同样x= x
0
与曲面相截，则截面曲线为一开口向上、平行于xoz平面的抛物线．
y
x
z
o
22
0
22
xy
z
ab
+ =
双曲抛物面．
22
22
xy
z
ab
=±
y
x
z
o
曲面形状的探讨：
双曲抛物面
22
22
.
xy
z
ab
=?
(1) 以z=z
0
>0与曲面相截，曲线
22
0
22
0
.
xy
z
ab
zz
=
=
这是一条在z=z
0
平面上，实轴平行于y轴、虚轴平行与x轴的双曲线．
y
x
z
o
22
22
1
xy
za zb
+=
若z<0则截痕为实轴平行于x轴、虚轴平行与y轴的双曲线．
(2)若以y=y
0
与曲面相截，
曲线为
y
x
z
o
L
22
0
22
0
.
xy
z
ab
yy
=?
=
这是一条平行与xoz平面，顶点在、开口向
2
0
0
2
0,,
y
y
b
下的抛物线．并且整个曲面可以视为曲线沿准线L平行移动所得到的．
y
x
z
o
L
(3)若以x=x
0
与曲面相截，
曲线为
22
0
22
0
.
xy
z
ab
xx
+=
=
该曲线为一条平行与yoz平面，顶点在、开口向上的抛物线．
2
0
0
2
,0,
x
x
a
y
x
z
o
L
3.双曲面
(1)单叶双曲面
222
222
1.
xyz
abc
+?=
222
222
1
xyz
abc
+?=
z
x
y
o
曲面形状的探讨
(1)以z=z
0
平面与曲面相截，曲线为
2222
0
22 2
0
x y cz
ab c
zz
+
+=
=
截痕为平面上的椭圆．长半轴与短半轴随z的增大而增大．
z
x
y
o
(2)以平面y=y
0
相截，交线
222
0
22 2
0
1
.
yxz
ac b
yy
=?
=
为双曲线，但虚轴会随|y|的增大而改变．当|y|<b时，虚轴平行于z轴；当|y|>b时，虚轴平行于x轴；当|y|=b时，
曲线退化为两直线．
z
x
y
o
(3)以平面x=x
0
相截，曲线的形态与以平面y=y
0
相截所得的交线相似．
(2)双叶双曲面
222
222
1.
xyz
abc
+?=?
x
y
o
z
222
222
1
xyz
abc
++=
曲面形状的探讨：
222
222
1.
xyz
abc
+?=?
(1)z=z
0
,截痕为椭圆，(|z
0
|>c)
222
0
22 2
0
1
zxy
ab c
zz
+=?+
=
x
y
o
z
(2)y=y
0
,截痕为双曲线
222
0
22 2
0
1
yxz
ac b
yy
=
=
x
yo
z
空间曲线及其方程
1.曲线的一般方程在直线这一节的讨论中，直线的一般方程是将直线视为两平面的交线．而空间的曲线可视为直线的推广，
即空间的曲线可视为空间曲面的交线．
设曲线Γ由曲面Σ
1
和Σ
2
相交而成，Σ
1
和Σ
2
的方程分别为
(,,) 0,Fxyz= (,,) 0.Gxyz=
和则：Γ的方程为：
(,,) 0
.
(,,) 0
Fxyz
Gxyz
=
=
x
y
z
o
Σ
1
Σ
2
Γ
例1 由柱面与平面的交线为曲线Γ．曲线如图所示．
22
1xy+ = 2336xyz++=
x
y
z
o
22
1xy+ =
2336xyz+ +=
Γ
2.曲线的参数方程和直线的参数方程一样，曲线的参数方程也是表达曲线形式的一种重要方式．参数t 的不同取值确定了曲线上的不同的点．
设曲线Γ，方程为
()
().
()
xxt
yyt
z t
=
=
=
上式即称为曲线的参数方程．
