第二单元有理函数等一些特殊类型函数的积分本单元要点利用部分分式，求出有理函数的积分；将一些复杂的三角函数的积分，经过适当的转换化为有理函数的积分；简单无理根式的积分．
本单元教学要求
1.掌握有理函数的部分分式分解方法，会将三角函数的有理式、简单无理根式化为有理函数；
2.会求一些有理函数、三角函数的有理式，简单无理根式的不定积分．
本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法．
2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有理函数的方法．
教学时数3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：
()
()
12
01 2 1
12
01 2 1
,
nn n
nn
mm m
mm
Px
ax ax ax a x a
Qx bx bx bx b x b
+++++
=
+++++
"
"
其中为非零整数，都是实数，且,mn,
ij
ab
00
0,0.ab≠ ≠
有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式只和，
有理函数的原函数都是初等函数，它们一定可以通过有理函数、对数函数、反正切函数表出．
假设多项式之间没有公因式，且的次数小于的次数，此时称该有理函数为真分式；
而的次数大于或等于的次数，此时称该有理函数为假分式．利用多项式的除法，可将一个假分式化为一个多项式之和的形式．
( ) ( )
,,P xQx
( )
Qx
( )
P x
()
P x ( )
Qx
由代数学知道，多项式总可以在实数范围内分解成一次因式与二次因式的乘积，即：
( )
Qx
() ( ) ( )
( ) ( )
22
0
,Qx b x a x b x px q x rx s
λ μ
αβ
= ++ ++ " "
其中因此有理函数中的真分式可以分解成若干个部分分式之和：
22
40,40,pq rs? <?< "
( )
()
()()
()()
()
()
()
()()
12
1
12 11
1
2
22
1 2
2
11 2 2
1 2
22
.
Px
AA A
Qx x a
xa xa
B
BB MxN
xb
xb xb
xpxq
Mx N Mx N
xpxq
xpxq
Rx S
Rx S Rx S
xrxs
x rxs x rxs
α
αα
β
β βλ
λλ
λ
μμ
μμ
=+ +++
+
++ +++
++
++
++++
++
++
+
++ +
++
++ ++
" " "
"
" " "
"
其中等都是需要确定的常数，
它们可以通过下面方法确定：
,,,,,
ijijij
A BMN RS " "
方法一：将部分分式通分后，再比较分子系数，通过解方程组确定系数：例如
()()
()()
()()
()
()()
2
33
56 2 3 2 3
32 32
,
23 23
xxAB
xx x x x x
A xBx ABxAB
xx xx
++
==+
+
+? +
==
比较分子系数，得方程组：
()
1
,5,6.
32 3
AB
AB
AB
+=
=? =
+=
即：
2
356
.
56 2 3
x
xx x x
+
=? +
+
方法二：部分分式通分后，在分子恒等式中代入特殊的值从而确定常数：例如
() ()
() ()
()
2
22 2
11
1
,
1
11 1
Ax Bx Cxx
AB C
xx
xx x xx
++?
=+ + =
令得;令得；将及代入上式得因此
0,1 1,1xAxB====
1,1AB= =
2x = 1.C =?
() ()
22
111 1
.
1xx
xx x
=+?
2.部分分式的不定积分当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后，
只出现多项式与下列形式的部分分式．故只需考虑下列形式的部分分式的不定积分．
⑴⑵⑶
d,
A
x
xa?
∫
()
d,
n
A
x
xa?
∫
2
d,
Mx N
x
xpxq
+
++
∫
⑷
()
2
d.
n
Mx N
x
xpxq
+
++
∫
具体解法如下：
⑴
dln,
A
xAxaC
xa
=?+
∫
⑵
() ()()
1
d.
1
nn
AA
xC
xa nxa
= +
∫
⑶
22
2
2
2
2
22
2
2
dd
2
2d
d
24
2
2
ln arctan,
2
44
N
xp p
Mx N M
M
xx
x pxq x pxq
Mxp Mp x
xN
xpxq
p p
xq
Mp
p
N
x
M
xpxq C
pp
qq
++?
+
=
++ ++
+
=+?
++
++
+
=+++ +
∫∫
⑷
()
()
()
()
2
2
22
2
2
1
2
2
2
dd
2( )
2d
d
22
24
2
21
n n
nn
n
n
N
xp p
Mx N M
M
xx
xpxq
xpxq
Mxp Mp x
xN
xpxq
pp
xq
MMp
NI
nx pxq
++?
+
==
++
++
+
=+?
++
++
=+
++
∫∫
其中
()
2
2 22
2
2
dd
,
24
24
n
nn
xppt
Itxaq
ta
pp
xq
==+=?
+
++?
∫∫
而
()()
()
()
()
()
()()
2
1
11
22 22 22
2
11
22 22 22
d
21 d
1
21 d.
n
nn n
nnn
tt t
I nt
ta ta ta
nt
ta ta ta
==+?
++ +
=+
+++
∫∫
∫
即：
()
()
()
2
11
1
22
21,
nnn
n
t
InIaI
ta
=+
+
于是
()
()
()
1
12
22
1
23,2,3,
21
n
t
InIn
an
ta
=+=
+
"
1
1
arctan,
t
I C
aa
=+
总之，有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和以后，各部分的不定积分都可以得到．
例1 求积分
2
3
d.
56
x
x
xx
+
+
∫
解因(见前面的分解)
2
356
,
56 2 3
x
xx x x
+
=? +
+
故
2
2dd
d5 6
23 2 3
5ln 2 6ln 3,
x
x
xx x x
xxC
=? +
+ +
= +? +
∫∫∫
例2 求积分
2
2
d.
23
x
x
xx
+ +
∫
解因
( )
()
()
222
2
22
21 1
3.
222 23
12
x
x
xx xx
x
+
=
++ ++
++
故
()
()
()
()
()
()
222
2
2
22
2
2
2122 d
dd
23 2 23
12
d23
d1
1
3
2x23
12
131
ln 2 2 arctan,
2
22
x
xx
xx xx
x
xx
x
x
x
x
xx C
+
=?
++ ++
++
++
+
=?
++
++
+
=++? +
∫∫∫
∫∫
例3 求积分
()
2
d
.
1
x
xx?
∫
解因
() ()
22
111 1
,
1xx
xx x
=+?
故
()
2
d1
.ln,
11
1
xx
C
xx
xx
=?+
∫
例4 求积分
()
()
2
1
d.
12 1
x
xx++
∫
解设
()
()
()
()()
()
()
()()
()
()
2
2
2
2
22
1
12 1
12 1
112
22
12 1 12 1
abxc
xx
xx
ax xbxc
abx bcxac
xx xx
+
=+
++
++
+++ +
+++++
==
++ ++
即有
20
421
20,,,,
555
1
ab
bc a b c
ac
+=
+ =?= =? =
+=
因此有
()
()
2
2
141211
,
51 2 5 5 1
12 1
x
xx
xx
=? +? +?
++
++
因而相应的积分为
()
()
()
22
2
2
1221211
dddd
51 2 51 51
12 1
21 1
ln 1 2 ln 1 arctan,
55 5
x
xx x
xx
xx
xx xC
=?+
+++
++
=+?++ +
∫∫∫∫
二、可化为有理函数的三角函数的积分考虑下列形式的不定积分：
其中为有理函数．由于()
sin,cos dfxxx
∫
f
22
2tan 2tan
sin 2sin cos,
22
sec 1 tan
xx
xx
x
xx
===
+
2
22
2
1tan
2
cos cos sin,
22
1tan
2
x
xx
x
x
=?=
+
令则，
()
tan,
2
x
uxπ π=?<<
2
22
21
sin,cos,
11
uu
xx
==
+ +
而即
2
1
dsecd,
22
x
ux=
2
22
2d 2d 2d
d,
1
sec 1 tan
uuu
x
xx
u
== =
+
+
故
()
2
22 2
21 2d
sin,cos d,.
11 1
uuu
fxxxf
uuu
=
+++
∫∫
这里所用的变量代换对三角函数的有理式都适用，故此代换又称为万能代换．
tan
2
x
u =
例5 求积分
()
1sin
d.
sin 1 cos
x
x
xx
+
+
∫
解令，则
tan
2
x
u =
()
22
2
22
2
22d
1
1sin
11
d
sin 1 cos
21
1
11
111
2d 2ln
22
uu
x
uu
x
xx
uu
u
uu uuC
u
+
+
++
=
+
+
++
= ++ = + + +
∫∫
∫
2
11
tan tan ln tan,
42 22 2
xx x
C=++ +
注除上述方法外，还有以下一些方法．
例6 求积分其中不同
sin cos
d,
sin cos
axbx
x
cxd x
+
+
∫
,,,abcd
时为零，且0.ad bc? ≠
解设( )
()
sin cos sin cos
sin cos,
axbxAcxd x
Bc x d x
+= +
′
++
比较等式两边的系数，得到
()
sin cos
sin cos
,
sin cos sin cos
cxd x
axbx
AB
cxd x cxd x
′
+
+
=+
+ +
()
sin cos
sin cos
d
sin cos sin cos
ln sin cos,
cxd x
axbx
xAB
cxd x cxd x
Ax B c x d x C
′
+
+
=+
++
=+ + +
∫∫
例7 求积分其中
d
sin cos
x
axbx+
∫
0.ab ≠
解因
()
()
22
22 22
22
22
sin cos sin cos
sin sin cos cos
cos
ab
axbx ab x x
ab ab
ab x x
ab x
+=+ +
++
=+ +
=+?
其中则
arctan,
a
b
=
()
()()
22
22
d11
d
sin cos cos
1
ln sec tan
x
x
axbx x
ab
xxC
ab
=
+?
+
=+
+
∫∫
例8 求积分其中
()()
1
d
sin sin
x
xa xb++
∫
( )
sin 0.ab?≠
解因
() ( ) ( ) ( ) ( )
()()
sin sin sin cos
cos sin,
ab xa xb xa xb
xa xb
= +?+ = + +
+ +
()() ()
( )
()
( )
()
cos cos
11
,
sin sin sin sin sin
xb xa
xa xb ab xb xa
++
=?
++? + +
()() ()
( )
()
( )
()
()
()
()
cos cos
11
dd
sin sin sin sin sin
sin
1
ln,
sin sin
xb xa
xx
xa xb ab xb xa
xa
C
ab xb
++
=?
++? + +
+
=+
+
∫∫
三、可化为有理函数的简单无理根式考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：
,,d,
nm
ax b ax b
f xx
cx d cx d
++
++
∫
"
令其中为的最小公倍数．这样上
,
N
ax b
t
cx d
+
=
+
,Nnm
述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分．
例8 求积分
1
d.
x
x
x
∫
解令即故，积分为
2
1,1,2,tx xtdxtdt=? =+ =
()
2
22
2
1
d2d2d
11
1
2 1 d 2 arctan,
1
xt t
xttt
xt t
tt tC
t
=?=
++
=? =? +
+
∫∫ ∫
∫
例11 求积分
3
d
.
12
x
x+ +
∫
解令即
332
2,2,3,t x x t ds t dt=+ =? =
()
22
3
2
2
33
3
d3d 1
3d
11
12
1
31 d3 ln1
12
3
23 23ln1 2.
2
xttt
t
tt
x
t
tt tC
t
xx xC
+
==
++
++
=?+ =?+ + +
+
= +?++ +++
∫∫∫
∫
例12 求积分
11
d.
x
x
xx
+
∫
解令即故
()
2
22
2
11d
,,d,
1
1
xtt
txx
t
+
===?
()
()
2
2
2
2
22
11 2
d1 d
1
1
2d21 d.
11
xt
xt t t
xx
t
t
tt
tt
+?
=
=? =? +
∫∫
∫∫
()
2
1
2ln 22ln1ln1
1
11
22ln 1ln.
t
tCtttC
t
xx
xC
= +=?+ ++
+
++
=? + + + +
本单元教学要求
1.掌握有理函数的部分分式分解方法，会将三角函数的有理式、简单无理根式化为有理函数；
2.会求一些有理函数、三角函数的有理式，简单无理根式的不定积分．
本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法．
2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有理函数的方法．
教学时数3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：
()
()
12
01 2 1
12
01 2 1
,
nn n
nn
mm m
mm
Px
ax ax ax a x a
Qx bx bx bx b x b
+++++
=
+++++
"
"
其中为非零整数，都是实数，且,mn,
ij
ab
00
0,0.ab≠ ≠
有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式只和，
有理函数的原函数都是初等函数，它们一定可以通过有理函数、对数函数、反正切函数表出．
假设多项式之间没有公因式，且的次数小于的次数，此时称该有理函数为真分式；
而的次数大于或等于的次数，此时称该有理函数为假分式．利用多项式的除法，可将一个假分式化为一个多项式之和的形式．
( ) ( )
,,P xQx
( )
Qx
( )
P x
()
P x ( )
Qx
由代数学知道，多项式总可以在实数范围内分解成一次因式与二次因式的乘积，即：
( )
Qx
() ( ) ( )
( ) ( )
22
0
,Qx b x a x b x px q x rx s
λ μ
αβ
= ++ ++ " "
其中因此有理函数中的真分式可以分解成若干个部分分式之和：
22
40,40,pq rs? <?< "
( )
()
()()
()()
()
()
()
()()
12
1
12 11
1
2
22
1 2
2
11 2 2
1 2
22
.
Px
AA A
Qx x a
xa xa
B
BB MxN
xb
xb xb
xpxq
Mx N Mx N
xpxq
xpxq
Rx S
Rx S Rx S
xrxs
x rxs x rxs
α
αα
β
β βλ
λλ
λ
μμ
μμ
=+ +++
+
++ +++
++
++
++++
++
++
+
++ +
++
++ ++
" " "
"
" " "
"
其中等都是需要确定的常数，
它们可以通过下面方法确定：
,,,,,
ijijij
A BMN RS " "
方法一：将部分分式通分后，再比较分子系数，通过解方程组确定系数：例如
()()
()()
()()
()
()()
2
33
56 2 3 2 3
32 32
,
23 23
xxAB
xx x x x x
A xBx ABxAB
xx xx
++
==+
+
+? +
==
比较分子系数，得方程组：
()
1
,5,6.
32 3
AB
AB
AB
+=
=? =
+=
即：
2
356
.
56 2 3
x
xx x x
+
=? +
+
方法二：部分分式通分后，在分子恒等式中代入特殊的值从而确定常数：例如
() ()
() ()
()
2
22 2
11
1
,
1
11 1
Ax Bx Cxx
AB C
xx
xx x xx
++?
=+ + =
令得;令得；将及代入上式得因此
0,1 1,1xAxB====
1,1AB= =
2x = 1.C =?
() ()
22
111 1
.
1xx
xx x
=+?
2.部分分式的不定积分当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后，
只出现多项式与下列形式的部分分式．故只需考虑下列形式的部分分式的不定积分．
⑴⑵⑶
d,
A
x
xa?
∫
()
d,
n
A
x
xa?
∫
2
d,
Mx N
x
xpxq
+
++
∫
⑷
()
2
d.
n
Mx N
x
xpxq
+
++
∫
具体解法如下：
⑴
dln,
A
xAxaC
xa
=?+
∫
⑵
() ()()
1
d.
1
nn
AA
xC
xa nxa
= +
∫
⑶
22
2
2
2
2
22
2
2
dd
2
2d
d
24
2
2
ln arctan,
2
44
N
xp p
Mx N M
M
xx
x pxq x pxq
Mxp Mp x
xN
xpxq
p p
xq
Mp
p
N
x
M
xpxq C
pp
++?
+
=
++ ++
+
=+?
++
++
+
=+++ +
∫∫
⑷
()
()
()
()
2
2
22
2
2
1
2
2
2
dd
2( )
2d
d
22
24
2
21
n n
nn
n
n
N
xp p
Mx N M
M
xx
xpxq
xpxq
Mxp Mp x
xN
xpxq
pp
xq
MMp
NI
nx pxq
++?
+
==
++
++
+
=+?
++
++
=+
++
∫∫
其中
()
2
2 22
2
2
dd
,
24
24
n
nn
xppt
Itxaq
ta
pp
xq
==+=?
+
++?
∫∫
而
()()
()
()
()
()
()()
2
1
11
22 22 22
2
11
22 22 22
d
21 d
1
21 d.
n
nn n
nnn
tt t
I nt
ta ta ta
nt
ta ta ta
==+?
++ +
=+
+++
∫∫
∫
即：
()
()
()
2
11
1
22
21,
nnn
n
t
InIaI
ta
=+
+
于是
()
()
()
1
12
22
1
23,2,3,
21
n
t
InIn
an
ta
=+=
+
"
1
1
arctan,
t
I C
aa
=+
总之，有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和以后，各部分的不定积分都可以得到．
例1 求积分
2
3
d.
56
x
x
xx
+
+
∫
解因(见前面的分解)
2
356
,
56 2 3
x
xx x x
+
=? +
+
故
2
2dd
d5 6
23 2 3
5ln 2 6ln 3,
x
x
xx x x
xxC
=? +
+ +
= +? +
∫∫∫
例2 求积分
2
2
d.
23
x
x
xx
+ +
∫
解因
( )
()
()
222
2
22
21 1
3.
222 23
12
x
x
xx xx
x
+
=
++ ++
++
故
()
()
()
()
()
()
222
2
2
22
2
2
2122 d
dd
23 2 23
12
d23
d1
1
3
2x23
12
131
ln 2 2 arctan,
2
22
x
xx
xx xx
x
xx
x
x
x
x
xx C
+
=?
++ ++
++
++
+
=?
++
++
+
=++? +
∫∫∫
∫∫
例3 求积分
()
2
d
.
1
x
xx?
∫
解因
() ()
22
111 1
,
1xx
xx x
=+?
故
()
2
d1
.ln,
11
1
xx
C
xx
xx
=?+
∫
例4 求积分
()
()
2
1
d.
12 1
x
xx++
∫
解设
()
()
()
()()
()
()
()()
()
()
2
2
2
2
22
1
12 1
12 1
112
22
12 1 12 1
abxc
xx
xx
ax xbxc
abx bcxac
xx xx
+
=+
++
++
+++ +
+++++
==
++ ++
即有
20
421
20,,,,
555
1
ab
bc a b c
ac
+=
+ =?= =? =
+=
因此有
()
()
2
2
141211
,
51 2 5 5 1
12 1
x
xx
xx
=? +? +?
++
++
因而相应的积分为
()
()
()
22
2
2
1221211
dddd
51 2 51 51
12 1
21 1
ln 1 2 ln 1 arctan,
55 5
x
xx x
xx
xx
xx xC
=?+
+++
++
=+?++ +
∫∫∫∫
二、可化为有理函数的三角函数的积分考虑下列形式的不定积分：
其中为有理函数．由于()
sin,cos dfxxx
∫
f
22
2tan 2tan
sin 2sin cos,
22
sec 1 tan
xx
xx
x
xx
===
+
2
22
2
1tan
2
cos cos sin,
22
1tan
2
x
xx
x
x
=?=
+
令则，
()
tan,
2
x
uxπ π=?<<
2
22
21
sin,cos,
11
uu
xx
==
+ +
而即
2
1
dsecd,
22
x
ux=
2
22
2d 2d 2d
d,
1
sec 1 tan
uuu
x
xx
u
== =
+
+
故
()
2
22 2
21 2d
sin,cos d,.
11 1
uuu
fxxxf
uuu
=
+++
∫∫
这里所用的变量代换对三角函数的有理式都适用，故此代换又称为万能代换．
tan
2
x
u =
例5 求积分
()
1sin
d.
sin 1 cos
x
x
xx
+
+
∫
解令，则
tan
2
x
u =
()
22
2
22
2
22d
1
1sin
11
d
sin 1 cos
21
1
11
111
2d 2ln
22
uu
x
uu
x
xx
uu
u
uu uuC
u
+
+
++
=
+
+
++
= ++ = + + +
∫∫
∫
2
11
tan tan ln tan,
42 22 2
xx x
C=++ +
注除上述方法外，还有以下一些方法．
例6 求积分其中不同
sin cos
d,
sin cos
axbx
x
cxd x
+
+
∫
,,,abcd
时为零，且0.ad bc? ≠
解设( )
()
sin cos sin cos
sin cos,
axbxAcxd x
Bc x d x
+= +
′
++
比较等式两边的系数，得到
()
sin cos
sin cos
,
sin cos sin cos
cxd x
axbx
AB
cxd x cxd x
′
+
+
=+
+ +
()
sin cos
sin cos
d
sin cos sin cos
ln sin cos,
cxd x
axbx
xAB
cxd x cxd x
Ax B c x d x C
′
+
+
=+
++
=+ + +
∫∫
例7 求积分其中
d
sin cos
x
axbx+
∫
0.ab ≠
解因
()
()
22
22 22
22
22
sin cos sin cos
sin sin cos cos
cos
ab
axbx ab x x
ab ab
ab x x
ab x
+=+ +
++
=+ +
=+?
其中则
arctan,
a
b
=
()
()()
22
22
d11
d
sin cos cos
1
ln sec tan
x
x
axbx x
ab
xxC
ab
=
+?
+
=+
+
∫∫
例8 求积分其中
()()
1
d
sin sin
x
xa xb++
∫
( )
sin 0.ab?≠
解因
() ( ) ( ) ( ) ( )
()()
sin sin sin cos
cos sin,
ab xa xb xa xb
xa xb
= +?+ = + +
+ +
()() ()
( )
()
( )
()
cos cos
11
,
sin sin sin sin sin
xb xa
xa xb ab xb xa
++
=?
++? + +
()() ()
( )
()
( )
()
()
()
()
cos cos
11
dd
sin sin sin sin sin
sin
1
ln,
sin sin
xb xa
xx
xa xb ab xb xa
xa
C
ab xb
++
=?
++? + +
+
=+
+
∫∫
三、可化为有理函数的简单无理根式考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：
,,d,
nm
ax b ax b
f xx
cx d cx d
++
++
∫
"
令其中为的最小公倍数．这样上
,
N
ax b
t
cx d
+
=
+
,Nnm
述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分．
例8 求积分
1
d.
x
x
x
∫
解令即故，积分为
2
1,1,2,tx xtdxtdt=? =+ =
()
2
22
2
1
d2d2d
11
1
2 1 d 2 arctan,
1
xt t
xttt
xt t
tt tC
t
=?=
++
=? =? +
+
∫∫ ∫
∫
例11 求积分
3
d
.
12
x
x+ +
∫
解令即
332
2,2,3,t x x t ds t dt=+ =? =
()
22
3
2
2
33
3
d3d 1
3d
11
12
1
31 d3 ln1
12
3
23 23ln1 2.
2
xttt
t
tt
x
t
tt tC
t
xx xC
+
==
++
++
=?+ =?+ + +
+
= +?++ +++
∫∫∫
∫
例12 求积分
11
d.
x
x
xx
+
∫
解令即故
()
2
22
2
11d
,,d,
1
1
xtt
txx
t
+
===?
()
()
2
2
2
2
22
11 2
d1 d
1
1
2d21 d.
11
xt
xt t t
xx
t
t
tt
tt
+?
=
=? =? +
∫∫
∫∫
()
2
1
2ln 22ln1ln1
1
11
22ln 1ln.
t
tCtttC
t
xx
xC
= +=?+ ++
+
++
=? + + + +
