第一单元 微分中值定理一、本单元的内容要点函数的驻点，费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及应用．
二、本单元的教学要求
1.理解费马引理与罗尔定理；
2.理解拉格朗日中值定理；
3.了解柯西中值定理；
4.会用中值定理证明简单的不等式与证明方程解的存在性．
三、本单元教学的重点与难点
1.重点：注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件与结论中的共同点与不同点，并且知道它们之间的关系：
罗尔定理是拉格朗日定理的特例；柯西定理是拉格朗日定理的推广．
2.难点：
⑴注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的中值点 ξ是开区间 (a,b)内的某一点，而非区间内的任意点或指定的一点，换言之，这三个中值定理都仅,定性,地指出了中值点 ξ的存在性，而非,定值,地指明 ξ的具体数值．
⑵注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件 ——函数
“在 [a,b]上连续,,“在 (a,b)内可导,的重要性，两者缺一不可．
⑶要结合这三个中值定理在本节中的应用以及各节中的应用，反复体会这些定理在微积分学中的意义与应用．
教学时数 2课时．
问题的引出首先，让我们来观察这样一个几何事实：如图所示：
() 0.f ξ
′
=
连续曲线弧 AB是函数 y=f (x)(x∈[a,b])的图形，如果
f (a)=f (b)，我们看到在曲线弧的最高点 C或最低点处，
曲线有水平切线．若记 C点的横坐标为 ξ，则有
x
y
o ab
C
ξ
y=f(x)
A
B
进一步观察,当 f (a)≠ f (b)时，又看到在曲线弧 AB上，
至少有一点 C，弧 AB在该点处的切线 CT平行与弦 AB，
又切线 CT的斜率是 如果仍以 ξ记 C的横坐标，则有
() ()
,
f b f a
ba
() ()
(),
f b f a
f
ba
ξ
′
=
x
y
o abξ
B
A
y=f(x)
C
f(b)
f(a)
T
由此启发我们考虑这样一个理论上的问题：设 f ∈C[a,b]，
f ∈D(a,b)，是否存在 ξ∈(a,b)，
使等式
() ()
()
f b f a
f
ba
ξ
′
=
成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论．为讨论方便，先引入费马引理，该引理本身在微分学中也很重要．
引理 (费马引理 ) 设函数 f (x)在点 x的某领域 U(x
0
)内有定义并在 x
0
处可导，若对任意的 x∈U(x
0
)，有
f (x
0
)≤f (x
0
) (或 f (x
0
) ≥ f (x
0
))
则：
0
() 0.fx
′
=
证：不妨设 x∈U(x
0
)时,有
f (x
0
)≤f (x
0
),故当 x
0
+Dx∈U(x
0
)，
有
x
y
o
00
()()0,fx x fx+ ≤ x
0
U(x
0
)
故当 Dx>0时，
00
()()
0;
fx x fx
x
+
≤
故当 Dx<0时，
00
()()
0;
fx x fx
x
+
≥
由函数 f (x)在点 x
0
处的可导性及极限的保号性，得
00
00
0
00
00
0
()()
() () lim 0,
()()
() () lim 0,
x
x
fx x fx
fx fx
x
fx x fx
fx fx
x
+
→+
→+
+
′′
== ≤
+
′′
== ≥
由此得到,．
0
() 0fx
′
=
g
注 通常称导数为零的点为函数的驻点．
微分中值定理及应用
1.罗尔定理 如果函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，并且满足条件 f (a)=f (b)那么至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得,
() 0f ξ
′
=
证因 f ∈C[a,b]，故 f (x)必在 [a,b]上取到最大值 M与最小值 m．若 M=m,? f ≡C,ξ∈(a,b)，有
() 0.f ξ
′
=
若 M≠m，那么 M与 m中至少有一个不等于 f (a)，不妨设
M≠ f (a)，因 f (a)=f (b)，故 M≠ f (b)，由此存在 ξ∈(a,b)
使得 f (ξ)=M，因 f (x)在 ξ 可导，由费马引理得
() 0f ξ
′
=
g
注 罗尔定理的简单表达式
( )
[,] (,) ( () ())
(,) ( ) 0.
fCab Dab fa fb
ab fξξ
∈∧=
′
∈ ∧ =
∩
拉格朗日中值定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续，
在开区间 (a,b)内可导，那么至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得
() () ()( ).f b f a f baξ
′
=?
⑴
证 为引用罗尔定理，构造函数
()
() ()
() (),
fb fa
xfx xa
ba
=
则，函数?(x)满足罗尔定理的条件，由此存在 ξ∈(a,b)，
使得
()
() ()
() 0,
fb fa
f
ba
ξ ξ
′′
=?=
即，
() ()
(),
fb fa
f
ba
ξ
′
=
或
() () ()( ).f b f a f baξ
′
=?
g
注 1 拉格朗日中值定理的几何描述注 2 当 b<a时，上式仍然成立，即
() () ()( ).f b f a f baξ
′
=?
y=? (x)
x
y
o
y=f (x)
abξ
公式⑴称为微分中值公式．
注 3 若 x,x+Dx为 区间 [a,b]中的任意两个不同点，应用拉格朗日中值定理，得
( )
()()( ) 01,fx x fx fx x xθθ
′
+ = + < <
⑵
注意 微分中值定理给出的是,ξ”的存在性，而并没有指出它究竟取哪一个值．对不同的函数，对不同的区间,“ξ”的取值可能是完全不同的．这一点，在讨论问题时特别要注意．
我们知道，若函数为常数，则其导数为零；作为该定理的应用，我们导出如下事实：若函数的导数恒为零，则该函数必为常数．
定理 如果函数 f (x)在区间 I 内的导数恒为零，那么
f (x)在 I 内是一个常数．
证 在区间 I内任取两点 x
1
,x
2
,(不妨设 x
1
<x
2
)，则由公式：
( )( ) ( )
21 211 2
() (),fx fx f x x x xξξ
′
=? <<
由条件知,? f (x
1
)= f (x
2
)，由 x
1
,x
2
的任意性得 f (x)为常数．
( )
0f ξ
′
=
g
注定 理2可简单地表示为：
()
() ()
[,] (,) (,),
fb fa
fCabDab ab f
ba
ξ ξ
′
∈∈∧=
∩
例 1 证明：当 x>0时，有,
ln(1 )
1
x
xx
x
<+<
+
证 取,则在区间 [0,x]中,f (x)满足定理的条件，因而有
() ln(1 )fx x= +
( )
() (0) ()fx f fx f xξ
′
==
因,因而上式为
()
1
1
fx
x
′
=
+
()
ln(1 ) 0,
1
x
xxξ
ξ
+= <<
+
因此
()
0,
11
xx
xx
x ξ
<< >
++
即有
()
ln(1 ) 0,
1
x
xxx
x
<+< >
+
g
例 2 证明：当 0<x<π时,．
sin
cos
x
x
x
>
证 因,故在区间 [0,x](0<x<π)上对函数 sinx使用拉格朗日中值定理ξ∈(0,x)，使得
sin sin 0
0
xx
xx
=
()
sin sin 0
sin cos cos,
0
x
xx
xx
xx
ξ
ξ
=
′
== >
g
例 3 设函数 f (x)的导函数 (-∞,+∞)内恒为常数，则 f (x)
为线性函数．
证 设在区间 (-∞,+∞)内，令F(x)=f(x)-kx，
则
()fx k
′
≡
() () 0,Fx fx k k k
′ ′
=?=?≡
由此得到,F(x)≡C，令其为 b，即有 F(x)=kx+b．
g
柯西中值定理 如果函数 f (x),g(x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，并且在开区间 (a,b)内
，那么至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得() 0gx
′
≠
() () ()
.
() () ()
fb fa f
gb ga g
ξ
ξ
′
=
′
⑷
证由 于,?g(b)-g(a)≠0,因而上式左边的分式有意义．为使用拉格朗日中值定理，构造辅助函数
( )
( )
() 0,gx x ab
′
≠∈
() ()
() () [() ()]
() ()
fb fa
x f x g x g a
gb ga
=
则，易证函数? 满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得,即
( )
0?ξ
′
=
() ()
() () 0
() ()
fb fa
fg
gb ga
ξξ
′′
=
由此得到公式 (4)．
g
注 1 柯西中值定理可简单地表示为
()
()
,[,][,]()0
() () ()
,.
() () ()
fg Cab Dab gx
fb fa f
xab
gb ga g
ξ
ξ
′
∈ ∧≠
′
∈ ∧ =
′
∩
注 2 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理当
g(x)=x的特殊情况．
课外练习
1.试证明对函数 应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间．
2
ypx qxr= ++
2.不用求出函数 的导数说明方程 有几个实根，并指出它们所在的区间．
( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)fx x x x x=
() 0fx
′
=
3.证明方程 只有一个正根．
5
10xx+?=
4.若方程 有一个正根
x
0
，证明方程
1
01 1
0
nn
n
ax ax a x
+ ++ =null
12
01 1
(1) 0
nn
n
anx a n x a
+?++=null
必有一个小于 x
0
的正根．
5.若函数 f (x)在 (a,b)内具有二阶导数，且
，其中,证明：
在 (x
1
,x
3
)内至少有一点 ξ，使得,
123
() () ()fx fx fx==
123
ax x x b< <<<
() 0f ξ
′′
=
6.证明不等式：
()
ln,0,
ab a ab
ab
abb
<< >>
7.设函数 f (x),g(x)在 [a,b]上连续，在 (a,b)内可导，证明：在 (a,b)内有一点 ξ，使得
() () () ()
(),
() () () ()
fa fb fa f
ba
ga gb ga g
ξ
ξ
′
=?
′
二、本单元的教学要求
1.理解费马引理与罗尔定理；
2.理解拉格朗日中值定理；
3.了解柯西中值定理；
4.会用中值定理证明简单的不等式与证明方程解的存在性．
三、本单元教学的重点与难点
1.重点：注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件与结论中的共同点与不同点，并且知道它们之间的关系：
罗尔定理是拉格朗日定理的特例；柯西定理是拉格朗日定理的推广．
2.难点：
⑴注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的中值点 ξ是开区间 (a,b)内的某一点，而非区间内的任意点或指定的一点，换言之，这三个中值定理都仅,定性,地指出了中值点 ξ的存在性，而非,定值,地指明 ξ的具体数值．
⑵注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件 ——函数
“在 [a,b]上连续,,“在 (a,b)内可导,的重要性，两者缺一不可．
⑶要结合这三个中值定理在本节中的应用以及各节中的应用，反复体会这些定理在微积分学中的意义与应用．
教学时数 2课时．
问题的引出首先，让我们来观察这样一个几何事实：如图所示：
() 0.f ξ
′
=
连续曲线弧 AB是函数 y=f (x)(x∈[a,b])的图形，如果
f (a)=f (b)，我们看到在曲线弧的最高点 C或最低点处，
曲线有水平切线．若记 C点的横坐标为 ξ，则有
x
y
o ab
C
ξ
y=f(x)
A
B
进一步观察,当 f (a)≠ f (b)时，又看到在曲线弧 AB上，
至少有一点 C，弧 AB在该点处的切线 CT平行与弦 AB，
又切线 CT的斜率是 如果仍以 ξ记 C的横坐标，则有
() ()
,
f b f a
ba
() ()
(),
f b f a
f
ba
ξ
′
=
x
y
o abξ
B
A
y=f(x)
C
f(b)
f(a)
T
由此启发我们考虑这样一个理论上的问题：设 f ∈C[a,b]，
f ∈D(a,b)，是否存在 ξ∈(a,b)，
使等式
() ()
()
f b f a
f
ba
ξ
′
=
成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论．为讨论方便，先引入费马引理，该引理本身在微分学中也很重要．
引理 (费马引理 ) 设函数 f (x)在点 x的某领域 U(x
0
)内有定义并在 x
0
处可导，若对任意的 x∈U(x
0
)，有
f (x
0
)≤f (x
0
) (或 f (x
0
) ≥ f (x
0
))
则：
0
() 0.fx
′
=
证：不妨设 x∈U(x
0
)时,有
f (x
0
)≤f (x
0
),故当 x
0
+Dx∈U(x
0
)，
有
x
y
o
00
()()0,fx x fx+ ≤ x
0
U(x
0
)
故当 Dx>0时，
00
()()
0;
fx x fx
x
+
≤
故当 Dx<0时，
00
()()
0;
fx x fx
x
+
≥
由函数 f (x)在点 x
0
处的可导性及极限的保号性，得
00
00
0
00
00
0
()()
() () lim 0,
()()
() () lim 0,
x
x
fx x fx
fx fx
x
fx x fx
fx fx
x
+
→+
→+
+
′′
== ≤
+
′′
== ≥
由此得到,．
0
() 0fx
′
=
g
注 通常称导数为零的点为函数的驻点．
微分中值定理及应用
1.罗尔定理 如果函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，并且满足条件 f (a)=f (b)那么至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得,
() 0f ξ
′
=
证因 f ∈C[a,b]，故 f (x)必在 [a,b]上取到最大值 M与最小值 m．若 M=m,? f ≡C,ξ∈(a,b)，有
() 0.f ξ
′
=
若 M≠m，那么 M与 m中至少有一个不等于 f (a)，不妨设
M≠ f (a)，因 f (a)=f (b)，故 M≠ f (b)，由此存在 ξ∈(a,b)
使得 f (ξ)=M，因 f (x)在 ξ 可导，由费马引理得
() 0f ξ
′
=
g
注 罗尔定理的简单表达式
( )
[,] (,) ( () ())
(,) ( ) 0.
fCab Dab fa fb
ab fξξ
∈∧=
′
∈ ∧ =
∩
拉格朗日中值定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续，
在开区间 (a,b)内可导，那么至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得
() () ()( ).f b f a f baξ
′
=?
⑴
证 为引用罗尔定理，构造函数
()
() ()
() (),
fb fa
xfx xa
ba
=
则，函数?(x)满足罗尔定理的条件，由此存在 ξ∈(a,b)，
使得
()
() ()
() 0,
fb fa
f
ba
ξ ξ
′′
=?=
即，
() ()
(),
fb fa
f
ba
ξ
′
=
或
() () ()( ).f b f a f baξ
′
=?
g
注 1 拉格朗日中值定理的几何描述注 2 当 b<a时，上式仍然成立，即
() () ()( ).f b f a f baξ
′
=?
y=? (x)
x
y
o
y=f (x)
abξ
公式⑴称为微分中值公式．
注 3 若 x,x+Dx为 区间 [a,b]中的任意两个不同点，应用拉格朗日中值定理，得
( )
()()( ) 01,fx x fx fx x xθθ
′
+ = + < <
⑵
注意 微分中值定理给出的是,ξ”的存在性，而并没有指出它究竟取哪一个值．对不同的函数，对不同的区间,“ξ”的取值可能是完全不同的．这一点，在讨论问题时特别要注意．
我们知道，若函数为常数，则其导数为零；作为该定理的应用，我们导出如下事实：若函数的导数恒为零，则该函数必为常数．
定理 如果函数 f (x)在区间 I 内的导数恒为零，那么
f (x)在 I 内是一个常数．
证 在区间 I内任取两点 x
1
,x
2
,(不妨设 x
1
<x
2
)，则由公式：
( )( ) ( )
21 211 2
() (),fx fx f x x x xξξ
′
=? <<
由条件知,? f (x
1
)= f (x
2
)，由 x
1
,x
2
的任意性得 f (x)为常数．
( )
0f ξ
′
=
g
注定 理2可简单地表示为：
()
() ()
[,] (,) (,),
fb fa
fCabDab ab f
ba
ξ ξ
′
∈∈∧=
∩
例 1 证明：当 x>0时，有,
ln(1 )
1
x
xx
x
<+<
+
证 取,则在区间 [0,x]中,f (x)满足定理的条件，因而有
() ln(1 )fx x= +
( )
() (0) ()fx f fx f xξ
′
==
因,因而上式为
()
1
1
fx
x
′
=
+
()
ln(1 ) 0,
1
x
xxξ
ξ
+= <<
+
因此
()
0,
11
xx
xx
x ξ
<< >
++
即有
()
ln(1 ) 0,
1
x
xxx
x
<+< >
+
g
例 2 证明：当 0<x<π时,．
sin
cos
x
x
x
>
证 因,故在区间 [0,x](0<x<π)上对函数 sinx使用拉格朗日中值定理ξ∈(0,x)，使得
sin sin 0
0
xx
xx
=
()
sin sin 0
sin cos cos,
0
x
xx
xx
xx
ξ
ξ
=
′
== >
g
例 3 设函数 f (x)的导函数 (-∞,+∞)内恒为常数，则 f (x)
为线性函数．
证 设在区间 (-∞,+∞)内，令F(x)=f(x)-kx，
则
()fx k
′
≡
() () 0,Fx fx k k k
′ ′
=?=?≡
由此得到,F(x)≡C，令其为 b，即有 F(x)=kx+b．
g
柯西中值定理 如果函数 f (x),g(x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，并且在开区间 (a,b)内
，那么至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得() 0gx
′
≠
() () ()
.
() () ()
fb fa f
gb ga g
ξ
ξ
′
=
′
⑷
证由 于,?g(b)-g(a)≠0,因而上式左边的分式有意义．为使用拉格朗日中值定理，构造辅助函数
( )
( )
() 0,gx x ab
′
≠∈
() ()
() () [() ()]
() ()
fb fa
x f x g x g a
gb ga
=
则，易证函数? 满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得,即
( )
0?ξ
′
=
() ()
() () 0
() ()
fb fa
fg
gb ga
ξξ
′′
=
由此得到公式 (4)．
g
注 1 柯西中值定理可简单地表示为
()
()
,[,][,]()0
() () ()
,.
() () ()
fg Cab Dab gx
fb fa f
xab
gb ga g
ξ
ξ
′
∈ ∧≠
′
∈ ∧ =
′
∩
注 2 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理当
g(x)=x的特殊情况．
课外练习
1.试证明对函数 应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间．
2
ypx qxr= ++
2.不用求出函数 的导数说明方程 有几个实根，并指出它们所在的区间．
( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)fx x x x x=
() 0fx
′
=
3.证明方程 只有一个正根．
5
10xx+?=
4.若方程 有一个正根
x
0
，证明方程
1
01 1
0
nn
n
ax ax a x
+ ++ =null
12
01 1
(1) 0
nn
n
anx a n x a
+?++=null
必有一个小于 x
0
的正根．
5.若函数 f (x)在 (a,b)内具有二阶导数，且
，其中,证明：
在 (x
1
,x
3
)内至少有一点 ξ，使得,
123
() () ()fx fx fx==
123
ax x x b< <<<
() 0f ξ
′′
=
6.证明不等式：
()
ln,0,
ab a ab
ab
abb
<< >>
7.设函数 f (x),g(x)在 [a,b]上连续，在 (a,b)内可导，证明：在 (a,b)内有一点 ξ，使得
() () () ()
(),
() () () ()
fa fb fa f
ba
ga gb ga g
ξ
ξ
′
=?
′
