第三单元平面与直线一、本单元的内容要点要点：
1.平面及方程
2.直线与方程
3.直线与平面二、本单元的教学要求
1.掌握平面方程的各种表现形式几意义；
2.掌握平面方程的各种表现形式几意义；
3.掌握平面与直线的相互关系的判定：平行、垂直、相交；
4.平面束方程。
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.平面方程的建立；
2.直线方程的建立及方程的相互转化；
3.直线与平面的位置关系的判定；
4.平面束方程的意义及应用。
难点：
1.平面各类方程的意义；
2.直线各类方程的意义及相互转化；
3.直线与平面的相互关系的讨论方法；
4.平面束方程的应用本单元教学时数：4课时。
一、平面与方程
1.平面的点法式方程设平面π、法向为垂直于平面π的向量，点M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)在平面上，则该平面的方程为：
( )
,,A BCn =
null
000
( 1 )()( )()0 Ax x By y Cz z?+?+?=
M
0
M
n
null
事实上，动点M(x,y,z)在平面π上?
0
.M Mn⊥
nullnullnullnullnullnullnull
null
而，又，
00
0MM n MM n⊥=
nullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnull
null null
0000
()()()0.MM n Ax x By y Cz z? =?+?+?=
nullnullnullnullnullnullnull
null
故得平面π的方程为：
000
()( )()0.Ax x By y Cz z? +?+?=
例1 求过点A(1,1,2),B(2,-1,1),C(3,2,5)的平面方程。
解取平面的法向，
ABACn ×
nullnullnull nullnullnullnull
null
null
1216 243
21 3
( 5,5,5)
AB AC
ijk
ik j k ji× ==?+?+?+
=
null
null null
nullnullnull nullnullnullnull
∵
(1,1,1)n∴ =?
null
，所以相应的平面方程为
11(1)0.xy z? +=
由此得到，过三点A(a
1
,b
1
,c
1
),B(a
2
,b
2
,c
2
),C(a
3
,b
3
,c
3
)
的平面方程为
123
112 233
112 233
0.
xa ya za
bababa
cacaca
=
此式又称为平面的三点式方程。
2.平面的一般方程在平面方程(1)中，将常数合并，得到方程
( 2 )0,Ax By Cz D+ ++=
其中，为平面的法向。关系(2)即称为平面的一般方程。
(,,)nABC=
null
利用平面的一般方程，可得到一些特殊的平面所具有的特征。
⑴平面π：过原点? D=0。0Ax By Cz D+ ++=
⑵平面π：平行于z 轴? C=0。0Ax By Cz D+ ++=
⑶平面π：过z 轴? C=D=0。0Ax By Cz D+ ++=
例2 求过y 轴及点M(2,1,3)的平面方程。
解因平面过y 轴，故可设平面方程为
0,Ax Cz+ =
又因平面过点M，故有
3
230,,
2
C
AC A+=?=?
将A，C代入原方程，即得平面方程为
320.xz? =
3.平面的截距式方程设平面与x、y、z轴分别交于P
1
(a,0,0),P
2
(0,b,0),
P
3
(0,0,c),(数a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距)
试建立平面的方程。
设所求平面的方程为
0,Ax By Cz D+ ++=
将P
1
的坐标代入平面方程，得到,a A+D=0,即
D
A
a
=?
同理得：，代入平面方程，并消去D，
,
D D
BC
bc
=?=?
则得到平面方程：
( 3 )1,
xyz
abc
++=
方程(3)称为平面的截距式方程。
(,0,0)a
(0,,0)b
(0,0,)c
x
y
z
4.两平面的夹角以两平面的法向的夹角定义为两平面的夹角。
设平面Π
1
的方程为
11 1 1
0,Ax By Cz D+ ++=
θ
θ
1
n
null
2
n
null
1
Π
2
Π
设平面Π
2
的方程为
22 2 2
0,Ax By Cz D+ ++=
两平面的夹角为θ，则
12 12 12 12
222222
12
111222
cos,
nn AA BB CC
nn
ABCABC
θ
++
==
++ ++
null null
nullnull
0
2
π
θ
≤≤
由此得到，两平面垂直?
12 12 12
0;AA BB CC+ +=
两平面平行?
111
222
.
A BC
A BC
==
例3 求通过z轴，且与平面的夹角为的平面方程。
2570xy z+=
3
π
解因平面过z轴，故可设平面方程为,则由条件，得
0Ax By+ =
12
22
12
2
1
cos,
2
10
nn AB
nn
AB
θ
+
= ==
+
两边平方后得，
( ) ( )
2222
44 4 10,A AB B A B++= +
即，
()()
22
616 6 0,
38 3 0,
33
AABB
AABB
ABA B
+?=
+?=
+=
故，A=-3B，3A=B，故得平面方程为
30,xy? =
及
30.xy+ =
5.点到平面的距离在平面解析几何中，我们知道，直线外的点M(x
0
,y
0
,z
0
)到直线的距离为：
0Ax By C+ +=
00
22
.
AxByC
d
AB
++
=
+
对于空间中的平面，有相似的结论。
设P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 是平面Π：外一点，则P
0
到平面Π的距离为
0Ax By Cz D+++=
000
222
.
AxByCzD
d
ABC
+++
=
++
n
null
P
0
P
1
θ
Π
d
事实上，在平面取点P
1
，作向量，则
10
PP
nullnullnullnullnull
10
10
Pr,
n
PPn
djP
n
==
null
nullnullnullnullnull
null
nullnullnullnullnull
null
因
( ) ( ) ( )
10 1 0 1 0 1 0
,PPn Ax x By y Cz z?=? +? +?
nullnullnullnullnull
null
因点P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)在平面上，故
111
0,Ax By Cz+ +=
10
000
222
.
PP n
AxByCzD
d
n
ABC
+++
==
++
nullnullnullnullnull
null
null
例4 试推导两平行平面与之间的距离公式；并计算平行平面与之间的距离。
1
0Ax By Cz D+ ++=
2
0Ax By Cz D+++=
19 4 8 21 0xyz?++= 19 4 8 42 0xyz?++=
解设Π
1
为平面一，Π
2
为平面二，点P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)在平面一上，两平面的距离即为点P
1
到平面二的距离，则由距离公式，得
10
1112
222
.
PP n
AxByCzD
d
n
ABC
+++
==
++
nullnullnullnullnull
null
null
因P在平面上，故
111 1
,AxByCz D+ +=?
即有
1112 12
222 222
.
Ax By Cz D D D
d
A BC ABC
+++?
==
++ ++
由此得到两平行平面的距离为
12
222 222
21 42
1.
19 4 8
DD
d
ABC
= =
++ ++
二、直线
1.直线的对称式方程在平面解析几何中，我们知道：确定一条直线的基本要素是直线上的点和直线的斜率。若点P
0
(x
0
,y
0
)在直线上，直线的斜率为k，则直线的方程为
( )
00
.yy kxx?=?
在空间中，设直线上的点为P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)，方向为
，则点P(x,y,z)在直线上?，由两向量平行的条件，即得：
( )
,,smnp=
null
0
PPs
nullnullnullnull
null
null
000
.
xx yy zz
mnp
==
上式即称为直线的对称式方程。
例5 求过点(1,3,-2)且与平面3x-2y+4z=2垂直的直线方程。
解因直线与平面垂直，故平面的法向即可视为平面的方向。由此得到直线的方程：
132
.
324
xyz+
==
注在直线的对称式方程中，容许分母出现为零的情况。
例如方程
123
,
201
xyz? +?
==
表示这样的直线：直线上的每一点在y 轴上的投影均为
-2。即直线y 轴和是垂直的。
2.直线的参数方程由直线的对称式方程，令相应的比值为t，则有
0
0
0
,
xxt
yyt
z zt
= +
= +
= +
此式即称为直线的参数方程。其几何意义是：当t 取不同值，对应的是曲线上不同的点。
例6 求直线与平面的交点。
122
112
xyz? +?
==
3xyz+ +=
解由直线的参数方程
1
2,
22
xt
yt
z t
=+
=
=+
代入平面方程，得
12223,1,tt t t+++ =?=
即得交点为(2,-3,4)。
例7 求点(2,2,-1)在平面x+y+z=0上的投影点。
解点P 在平面上的投影点即为过点P 的垂线与平面的交点。因平面的法向与平面垂直，故可取平面的法向为直线的方向，由此得直线的方程为
221
,
111
xyz+
==
n
null
P
P
0
化为参数方程，并代入平面方程，
得t=-1，即：交点坐标为(1,1,-2)。
3.直线的一般方程我们知道空间的直线可以视为空间中两不平行的平面的交线。若设两平面分别为：
11 1 1 1
22 2 2 2
:0,Ax By Cz D
Ax By Cz D
Π +++=
Π +++=
则交线方程为
11 1 1
22 2 2
0
:.
0
Ax By Cz D
L
Ax By Cz D
+++=
+ ++=
1
Π
2
Π
L
上式称为直线的一般方程。
注意到，若直线由一般方程给出：
11 1 1
22 2 2
0
:.
0
Ax By Cz D
L
Ax By Cz D
+++=
+ ++=
则直线的方向，且，故。
1
s n⊥
null null
2
s n⊥
null null
12
s nn×
null nullnull
null
1
Π
2
Π
L
2
n
null
1
n
null
s
null
例8 将直线化为直线的对称式方程。
2320
23210
xyz
xyz
+?+=
+=
解因
12
1 2 3 ( 4,6,7)
232
ijk
nn× =?=
null
null null
nullnull
故取，为求交点，令z=0，则有(4,6,7)s =
null
83
,,
77
xy=? =?
即交点为则直线方程为
83
,,0,
77
7873
.
28 24 7
x y z+ +
= =
3.两直线的交角两直线的交角定义为两直线方向的夹角。若两直线的方程分别为
111
1
11 1
:,
xx yy zz
L
mnp
==
则夹角θ满足
222
2
22 2
xx yy zz
L
mnp
==
12 12 12 12
22 222 2
12
11 1 22 2
cos,0
2
ss mm nn pp
ss
mnpmnp
π
θθ
++
== ≤≤
++ ++
nullnull
nullnull
例9 求直线与的夹角。
21
23
xyz
xyz
+ +=
+=
1
21
xyz
xy z
=
+ =
解因
1214 4,
121
ijk
ik=?
null
null null
null
null
111 33,
112
ijk
ij=
null
null null
null null
故可取，则
( )
12
(1,0,1),1,1,0ss=?=
nullnull
11
cos,
2
22
θ = =
即
.
2
π
θ =
三、直线与平面
1.直线与平面的交角直线与它在平面上的投影直线的交角即为直线与平面的夹角。
L
n
null
θ
Π
设平面Π的方程为Ax+By+Cz+D=0，
直线的方向为，直线与平面的夹角为?，直线与平面的法向的夹角为θ，则
( )
,,smnp=
null
222222
sin cos cos cos
22
,
Am Bn Cp
ABCmnp
ππ
θ
=?=+=
++
=
++ ++
由此得到，直线与平面平行? Am+Bn+Cp=0；直线与平面垂直?。
A BC
mnp
= =
2.平面束方程设直线L由一般方程
11 1 1
22 2 2
0
:,
0
Ax By Cz D
L
Ax By Cz D
+++=
+ ++=
确定。对任意λ，方程
( )
11 1 1 2 2 2 2
0,Ax By Cz D Ax B y C z Dλ++++ +++=
代表一个过该直线的平面。并且过该直线的任意平面
(除第二个平面外)均可由该方程表示。故称此方程为过该直线的平面束方程。
例10 试确定λ的值，使直线与直线相交。
111
12
xyz
λ
+?
==
11x y z+=?=
解两直线相交，即三向量,,
共面。由条件得：
( )
01
2,2,1PP=?
nullnullnullnullnull
( )
1
1,2,s λ=
null
()
2
1,1,1s =
null
111
221 450,
12
λ
λ
=? + =
即，λ= 。
5
4
例11 求过点(1,-2,1)且与两直线
10
11
,
21001
xyz
xy
z
xyz
+?=
+
= =?
+?+=?
都平行的平面方程。
解设两直线的方向分别为和，平面的法向为
，则由条件得：，由此得：
1
s
null
2
s
null
()
,,nABC=
null
12
nsns⊥ ∧⊥
null nullnullnull
2
0;ns BC B C⊥?+=?=?
null null
[ ]
112
0ns nnn⊥?=
null nullnullnullnull
即
111550 ;
12 1
ACC
CA AC
=?=?=
故，平面的法向可取，所以所求平面方程为：
( )
1,1,1n =?
null
0.xyz? +=
例12 求直线在平面上
10
10
xyz
xyz
+=
++=
0xyz+ +=
的投影直线的方程。
解过直线作平面束方程：
( )
()()( )
11
11 110.
xyz xyz
xy z
λ
λλ λλ
++?++
=+ +? +?+?+=
两平面垂直，得
1111 0,1λ λλλ λ+++=+=?=?
即：
10,yz=
故，投影直线为
10
.
0
yz
xyz
=
+ +=
例13 在平面上求一直线，使它与直线1xyz+ +=
1
1
y
z
=
=?
垂直相交。
解平面与直线的交点为(1,1,-1)，过点作平面，使之平行于以知的直线和平面。因直线的方向为，
且
(1,0,0)s =
null
1
111,
100
ijk
ns jk× ==?
null
null null
null
null
nullnull
故所求平面方程为，因而所求直线为：
20yz=
1
.
2
xyz
yz
+ +=
=
1.平面及方程
2.直线与方程
3.直线与平面二、本单元的教学要求
1.掌握平面方程的各种表现形式几意义；
2.掌握平面方程的各种表现形式几意义；
3.掌握平面与直线的相互关系的判定：平行、垂直、相交；
4.平面束方程。
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.平面方程的建立；
2.直线方程的建立及方程的相互转化；
3.直线与平面的位置关系的判定；
4.平面束方程的意义及应用。
难点：
1.平面各类方程的意义；
2.直线各类方程的意义及相互转化；
3.直线与平面的相互关系的讨论方法；
4.平面束方程的应用本单元教学时数：4课时。
一、平面与方程
1.平面的点法式方程设平面π、法向为垂直于平面π的向量，点M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)在平面上，则该平面的方程为：
( )
,,A BCn =
null
000
( 1 )()( )()0 Ax x By y Cz z?+?+?=
M
0
M
n
null
事实上，动点M(x,y,z)在平面π上?
0
.M Mn⊥
nullnullnullnullnullnullnull
null
而，又，
00
0MM n MM n⊥=
nullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnull
null null
0000
()()()0.MM n Ax x By y Cz z? =?+?+?=
nullnullnullnullnullnullnull
null
故得平面π的方程为：
000
()( )()0.Ax x By y Cz z? +?+?=
例1 求过点A(1,1,2),B(2,-1,1),C(3,2,5)的平面方程。
解取平面的法向，
ABACn ×
nullnullnull nullnullnullnull
null
null
1216 243
21 3
( 5,5,5)
AB AC
ijk
ik j k ji× ==?+?+?+
=
null
null null
nullnullnull nullnullnullnull
∵
(1,1,1)n∴ =?
null
，所以相应的平面方程为
11(1)0.xy z? +=
由此得到，过三点A(a
1
,b
1
,c
1
),B(a
2
,b
2
,c
2
),C(a
3
,b
3
,c
3
)
的平面方程为
123
112 233
112 233
0.
xa ya za
bababa
cacaca
=
此式又称为平面的三点式方程。
2.平面的一般方程在平面方程(1)中，将常数合并，得到方程
( 2 )0,Ax By Cz D+ ++=
其中，为平面的法向。关系(2)即称为平面的一般方程。
(,,)nABC=
null
利用平面的一般方程，可得到一些特殊的平面所具有的特征。
⑴平面π：过原点? D=0。0Ax By Cz D+ ++=
⑵平面π：平行于z 轴? C=0。0Ax By Cz D+ ++=
⑶平面π：过z 轴? C=D=0。0Ax By Cz D+ ++=
例2 求过y 轴及点M(2,1,3)的平面方程。
解因平面过y 轴，故可设平面方程为
0,Ax Cz+ =
又因平面过点M，故有
3
230,,
2
C
AC A+=?=?
将A，C代入原方程，即得平面方程为
320.xz? =
3.平面的截距式方程设平面与x、y、z轴分别交于P
1
(a,0,0),P
2
(0,b,0),
P
3
(0,0,c),(数a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距)
试建立平面的方程。
设所求平面的方程为
0,Ax By Cz D+ ++=
将P
1
的坐标代入平面方程，得到,a A+D=0,即
D
A
a
=?
同理得：，代入平面方程，并消去D，
,
D D
BC
bc
=?=?
则得到平面方程：
( 3 )1,
xyz
abc
++=
方程(3)称为平面的截距式方程。
(,0,0)a
(0,,0)b
(0,0,)c
x
y
z
4.两平面的夹角以两平面的法向的夹角定义为两平面的夹角。
设平面Π
1
的方程为
11 1 1
0,Ax By Cz D+ ++=
θ
θ
1
n
null
2
n
null
1
Π
2
Π
设平面Π
2
的方程为
22 2 2
0,Ax By Cz D+ ++=
两平面的夹角为θ，则
12 12 12 12
222222
12
111222
cos,
nn AA BB CC
nn
ABCABC
θ
++
==
++ ++
null null
nullnull
0
2
π
θ
≤≤
由此得到，两平面垂直?
12 12 12
0;AA BB CC+ +=
两平面平行?
111
222
.
A BC
A BC
==
例3 求通过z轴，且与平面的夹角为的平面方程。
2570xy z+=
3
π
解因平面过z轴，故可设平面方程为,则由条件，得
0Ax By+ =
12
22
12
2
1
cos,
2
10
nn AB
nn
AB
θ
+
= ==
+
两边平方后得，
( ) ( )
2222
44 4 10,A AB B A B++= +
即，
()()
22
616 6 0,
38 3 0,
33
AABB
AABB
ABA B
+?=
+?=
+=
故，A=-3B，3A=B，故得平面方程为
30,xy? =
及
30.xy+ =
5.点到平面的距离在平面解析几何中，我们知道，直线外的点M(x
0
,y
0
,z
0
)到直线的距离为：
0Ax By C+ +=
00
22
.
AxByC
d
AB
++
=
+
对于空间中的平面，有相似的结论。
设P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) 是平面Π：外一点，则P
0
到平面Π的距离为
0Ax By Cz D+++=
000
222
.
AxByCzD
d
ABC
+++
=
++
n
null
P
0
P
1
θ
Π
d
事实上，在平面取点P
1
，作向量，则
10
PP
nullnullnullnullnull
10
10
Pr,
n
PPn
djP
n
==
null
nullnullnullnullnull
null
nullnullnullnullnull
null
因
( ) ( ) ( )
10 1 0 1 0 1 0
,PPn Ax x By y Cz z?=? +? +?
nullnullnullnullnull
null
因点P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)在平面上，故
111
0,Ax By Cz+ +=
10
000
222
.
PP n
AxByCzD
d
n
ABC
+++
==
++
nullnullnullnullnull
null
null
例4 试推导两平行平面与之间的距离公式；并计算平行平面与之间的距离。
1
0Ax By Cz D+ ++=
2
0Ax By Cz D+++=
19 4 8 21 0xyz?++= 19 4 8 42 0xyz?++=
解设Π
1
为平面一，Π
2
为平面二，点P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)在平面一上，两平面的距离即为点P
1
到平面二的距离，则由距离公式，得
10
1112
222
.
PP n
AxByCzD
d
n
ABC
+++
==
++
nullnullnullnullnull
null
null
因P在平面上，故
111 1
,AxByCz D+ +=?
即有
1112 12
222 222
.
Ax By Cz D D D
d
A BC ABC
+++?
==
++ ++
由此得到两平行平面的距离为
12
222 222
21 42
1.
19 4 8
DD
d
ABC
= =
++ ++
二、直线
1.直线的对称式方程在平面解析几何中，我们知道：确定一条直线的基本要素是直线上的点和直线的斜率。若点P
0
(x
0
,y
0
)在直线上，直线的斜率为k，则直线的方程为
( )
00
.yy kxx?=?
在空间中，设直线上的点为P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)，方向为
，则点P(x,y,z)在直线上?，由两向量平行的条件，即得：
( )
,,smnp=
null
0
PPs
nullnullnullnull
null
null
000
.
xx yy zz
mnp
==
上式即称为直线的对称式方程。
例5 求过点(1,3,-2)且与平面3x-2y+4z=2垂直的直线方程。
解因直线与平面垂直，故平面的法向即可视为平面的方向。由此得到直线的方程：
132
.
324
xyz+
==
注在直线的对称式方程中，容许分母出现为零的情况。
例如方程
123
,
201
xyz? +?
==
表示这样的直线：直线上的每一点在y 轴上的投影均为
-2。即直线y 轴和是垂直的。
2.直线的参数方程由直线的对称式方程，令相应的比值为t，则有
0
0
0
,
xxt
yyt
z zt
= +
= +
= +
此式即称为直线的参数方程。其几何意义是：当t 取不同值，对应的是曲线上不同的点。
例6 求直线与平面的交点。
122
112
xyz? +?
==
3xyz+ +=
解由直线的参数方程
1
2,
22
xt
yt
z t
=+
=
=+
代入平面方程，得
12223,1,tt t t+++ =?=
即得交点为(2,-3,4)。
例7 求点(2,2,-1)在平面x+y+z=0上的投影点。
解点P 在平面上的投影点即为过点P 的垂线与平面的交点。因平面的法向与平面垂直，故可取平面的法向为直线的方向，由此得直线的方程为
221
,
111
xyz+
==
n
null
P
P
0
化为参数方程，并代入平面方程，
得t=-1，即：交点坐标为(1,1,-2)。
3.直线的一般方程我们知道空间的直线可以视为空间中两不平行的平面的交线。若设两平面分别为：
11 1 1 1
22 2 2 2
:0,Ax By Cz D
Ax By Cz D
Π +++=
Π +++=
则交线方程为
11 1 1
22 2 2
0
:.
0
Ax By Cz D
L
Ax By Cz D
+++=
+ ++=
1
Π
2
Π
L
上式称为直线的一般方程。
注意到，若直线由一般方程给出：
11 1 1
22 2 2
0
:.
0
Ax By Cz D
L
Ax By Cz D
+++=
+ ++=
则直线的方向，且，故。
1
s n⊥
null null
2
s n⊥
null null
12
s nn×
null nullnull
null
1
Π
2
Π
L
2
n
null
1
n
null
s
null
例8 将直线化为直线的对称式方程。
2320
23210
xyz
xyz
+?+=
+=
解因
12
1 2 3 ( 4,6,7)
232
ijk
nn× =?=
null
null null
nullnull
故取，为求交点，令z=0，则有(4,6,7)s =
null
83
,,
77
xy=? =?
即交点为则直线方程为
83
,,0,
77
7873
.
28 24 7
x y z+ +
= =
3.两直线的交角两直线的交角定义为两直线方向的夹角。若两直线的方程分别为
111
1
11 1
:,
xx yy zz
L
mnp
==
则夹角θ满足
222
2
22 2
xx yy zz
L
mnp
==
12 12 12 12
22 222 2
12
11 1 22 2
cos,0
2
ss mm nn pp
ss
mnpmnp
π
θθ
++
== ≤≤
++ ++
nullnull
nullnull
例9 求直线与的夹角。
21
23
xyz
xyz
+ +=
+=
1
21
xyz
xy z
=
+ =
解因
1214 4,
121
ijk
ik=?
null
null null
null
null
111 33,
112
ijk
ij=
null
null null
null null
故可取，则
( )
12
(1,0,1),1,1,0ss=?=
nullnull
11
cos,
2
22
θ = =
即
.
2
π
θ =
三、直线与平面
1.直线与平面的交角直线与它在平面上的投影直线的交角即为直线与平面的夹角。
L
n
null
θ
Π
设平面Π的方程为Ax+By+Cz+D=0，
直线的方向为，直线与平面的夹角为?，直线与平面的法向的夹角为θ，则
( )
,,smnp=
null
222222
sin cos cos cos
22
,
Am Bn Cp
ABCmnp
ππ
θ
=?=+=
++
=
++ ++
由此得到，直线与平面平行? Am+Bn+Cp=0；直线与平面垂直?。
A BC
mnp
= =
2.平面束方程设直线L由一般方程
11 1 1
22 2 2
0
:,
0
Ax By Cz D
L
Ax By Cz D
+++=
+ ++=
确定。对任意λ，方程
( )
11 1 1 2 2 2 2
0,Ax By Cz D Ax B y C z Dλ++++ +++=
代表一个过该直线的平面。并且过该直线的任意平面
(除第二个平面外)均可由该方程表示。故称此方程为过该直线的平面束方程。
例10 试确定λ的值，使直线与直线相交。
111
12
xyz
λ
+?
==
11x y z+=?=
解两直线相交，即三向量,,
共面。由条件得：
( )
01
2,2,1PP=?
nullnullnullnullnull
( )
1
1,2,s λ=
null
()
2
1,1,1s =
null
111
221 450,
12
λ
λ
=? + =
即，λ= 。
5
4
例11 求过点(1,-2,1)且与两直线
10
11
,
21001
xyz
xy
z
xyz
+?=
+
= =?
+?+=?
都平行的平面方程。
解设两直线的方向分别为和，平面的法向为
，则由条件得：，由此得：
1
s
null
2
s
null
()
,,nABC=
null
12
nsns⊥ ∧⊥
null nullnullnull
2
0;ns BC B C⊥?+=?=?
null null
[ ]
112
0ns nnn⊥?=
null nullnullnullnull
即
111550 ;
12 1
ACC
CA AC
=?=?=
故，平面的法向可取，所以所求平面方程为：
( )
1,1,1n =?
null
0.xyz? +=
例12 求直线在平面上
10
10
xyz
xyz
+=
++=
0xyz+ +=
的投影直线的方程。
解过直线作平面束方程：
( )
()()( )
11
11 110.
xyz xyz
xy z
λ
λλ λλ
++?++
=+ +? +?+?+=
两平面垂直，得
1111 0,1λ λλλ λ+++=+=?=?
即：
10,yz=
故，投影直线为
10
.
0
yz
xyz
=
+ +=
例13 在平面上求一直线，使它与直线1xyz+ +=
1
1
y
z
=
=?
垂直相交。
解平面与直线的交点为(1,1,-1)，过点作平面，使之平行于以知的直线和平面。因直线的方向为，
且
(1,0,0)s =
null
1
111,
100
ijk
ns jk× ==?
null
null null
null
null
nullnull
故所求平面方程为，因而所求直线为：
20yz=
1
.
2
xyz
yz
+ +=
=
