习题课本章要点一、数项级数及审敛法二、幂级数三、傅立叶级数一、数项级数及审敛法
1.数项级数及收敛性敛，即极限存在，则称级数收敛，并记设数项级数，部分和，若部分和收
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
nk
k
sa
=
=
∑
1
lim
n
nk
n
k
sas
→∞
=
= =
∑
1
.
n
n
as
∞
=
=
∑
2.正项级数及审敛法
1)比较判别法及极限形式
收敛；若发散，则发散。
设正项级数及且，则若收敛
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑ nn
uv≤
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
设正项级数及，若，则级数
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
lim 0
n
n
n
u
l
v
→∞
= ≠
有相同的收敛性。
设正项级数及，若，且级数
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
lim 0
n
n
n
u
v
→∞
=
收敛，则级数收敛；若且级数
1
n
n
v
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
lim,
n
n
n
u
v
→∞
=+∞
发散，则级数发散。
1
n
n
v
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
2)比值判别法正项级数，若，则ρ<1，级数收敛；
1
n
n
u
∞
=
∑
1
lim
n
n
n
u
u
ρ
+
→∞
=
ρ>1，级数发散。
3)根值法正项级数，若，则ρ <1，级数收敛;
1
n
n
u
∞
=
∑
lim
n
n
n
u ρ
→∞
=
ρ >1，级数发散。
3.交错级数及收敛性交错级数满足：(1) a
n
单调下降，
1
1
(1)
n
n
n
a
∞
=
∑
lim 0
n
n
a
→∞
=
(2),则级数收敛。
4.绝对收敛及条件收敛对级数，若级数收敛，则称级数是绝对
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
收敛的；若级数收敛，而级数发散，则
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
称级数是条件收敛的。
若绝对收敛，则
1
n
n
u
∞
=
∑
(1) 收敛，且；
1
n
n
u
∞
=
∑
111
nnn
nnn
uuu
∞∞∞
+?
===
=?
∑ ∑∑
(2)级数的更序级数也收敛，且和不变。
1
n
n
u
∞
=
∑
二、幂级数
1.幂级数的收敛半径设幂级数，收敛半径为R，
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
1)比值法：若则R= 。
1
lim,
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
1
ρ
2)根值法：若，则R= 。
lim
n
n
n
a ρ
→∞
=
1
ρ
2.幂级数的运算设幂级数及，收敛半径分别为R
1
和
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
0
n
n
n
bx
∞
=
∑
R2，令R=min{R
1
,R
2
}，则当|x|<R时，两级数均为绝对收敛，且有：
()
000
nn n
nn
nnn
ax bx a b x
∞∞∞
===
±=±
∑∑∑
000
nn n
ij
nnnijn
ax bx ab x
∞∞∞
===+=
=
∑∑∑∑
1
00
00 0
1
.
1
xx
nn n
nn n
ax dx axdx ax
n
∞∞ ∞
+
== =
==
+
∑∑ ∑
∫∫
()
1
00 1
.
nnn
nn n
ax ax nax
∞∞ ∞
== =
′
′
==
∑∑∑
3.泰勒级数函数f (x)在x
0
的邻域U(x
0
,r )中有任意阶导数，幂级数
()
()
0
0
0
()
!
n
n
n
fx
xx
n
∞
=
∑
为函数f (x)在x
0
的泰勒级数。若幂级数的收敛半径为
R>0，且，则当|x|<R时，有
lim ( ) 0
n
n
Rx
→∞
=
()
()
0
0
0
()
(),
!
n
n
n
fx
fx x x
n
∞
=
=?
∑
当x=0时，相应的幂级数称为麦克劳林级数。
常用的麦克劳林展开式。
()
0
1
,.
xn
n
exx
n
∞
=
= ∈?∞∞
∑
！
()
()
21
1
1
sin,.
21
n
n
xxx
n
∞
=
= ∈?∞∞
∑
！
()
()
2
0
1
cos,.
2
n
n
xxx
n
∞
=
= ∈?∞∞
∑
！
()
0
1
1,1,
1
n
n
xx
x
∞
=
=∈?
∑
1
1
(1)
ln(1 ) ( 1,1].
n
n
n
xxx
n
∞
=
+= ∈?
∑
()
2
(1)
(1 ) 1
2!
(1) 1
,( 1,1)
!
xx x
n
xx
n
α
α
αα
α
αα α
+=++ +
+
++∈?
null
null
null
23
1
1
11 13
11
224 246
1 ( 1) (2 1)!!
1 [ 1,1).
2()!
n
n
n
xxx x
n
xxx
n
∞
=
×
+=+? +?
×××
=+ + ∈?
∑
null
23
1
1 1 13 135
1
224 246
1
(1)(2 1)!
1 ( 1,1].
(2 )!!
n
n
n
xx x
x
n
xx
n
∞
=
× ××
=? + +?
×××
+
=+ ∈?
∑
null
三、傅立叶级数
1.周期为2π的可积函数的傅立叶级数设f ∈R
2π
，记
0
12
(),
2
a f xdx
π
π
π
=
∫
1
()cos,
n
a f xkxdx
π
π
π
=
∫
1
()sin,
n
b f xkxdx
π
π
π
=
∫
1,2,n = null
系数a
0
,a
1
,b
1
,a
2
,b
2
,
…
,a
n
,b
n
,
…
称为f 的傅立叶系数。
()
0
1
01 1
2
() cos sin
2
2
cos sin cos sin,
2
n
nkk
k
nn
Fx a a kxb kx
aaxbxanxbnx
=
=+ +
=+ +++ +
∑
null
F
n
(x)称为f (x) 的n 阶三角多项式。
均方收敛定理设f ∈R
2π
，则
()
()
2222
0
0
2222
0
0
lim lim
,
n
nkk
nn
k
nn
n
Faab
aabf
→∞ →∞
=
∞
=
=++
=+ + =
∑
∑
nullnull
nullnull
逐点收敛定理设f ∈R
2π
，且满足收敛条件，则f (x)的傅立叶级数
()
0
1
2
cos sin,
2
nn
n
f aanxbx
∞
=
++
∑
～
当x为连续点时，级数收敛到f (x)；当x为第一类间断点时，级数收敛到左右极限的平均值。
2.周期为2l 的可积函数的傅立叶级数设f ∈R
2l
，记
0
12
(),
2
l
l
a f xdx
l
=
∫
1
()cos,
l
n
l
n
a f xxdx
li
π
=
∫
1
()sin,
l
n
l
n
b f xxdx
ll
π
=
∫
1,2,n = null
相应的傅立叶级数为
0
1
2
cos sin,
2
nn
n
nn
f aaxbx
ll
ππ
∞
=
++
∑
～
其均方收敛性与逐点收敛性与周期为2π的可积函数完全平行。
3.周期为2π的可积函数的正弦级数与余弦级数设f ∈R
2π
，且f 为奇函数，则相应的傅立叶级数为
1
sin,
n
n
fbnx
∞
=
∑
～
若f 为偶函数，则相应的傅立叶级数为
0
1
2
cos,
2
n
n
f aanx
∞
=
+
∑
～
前者称为正弦级数，而后者称为余弦级数。
例题选讲例1 讨论下列级数的收敛性
1,2.
2
0
11
1
3
n
n
n
n
∞
=
+
∑
()
3
0
1
2
n
n
n
n
∞
=
∑
3,4.
()
ln
2
1
ln
n
n n
∞
=
∑
()
1
1
1ln
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
解1.因
11
lim lim 1 1,
33
n
n
n
nn
e
a
n
→∞ →∞
= +=<
故，级数收敛。
2.同理，因
3
11
lim lim 1,
22
n
n
n
nn
an
→∞ →∞
= =<
故，级数收敛。
3.因
()
ln
ln lnln lnln 2 2
ln (ln ),
n
nn n
ne nnne==> >
即当n 充分大时，有
()
ln 2
11
ln
n
n
n
<
由比较判别法，得级数收敛。
4.因级数为交错级数，
lim ln ln1 0,
1
n
n
n
→∞
= =
+
又因
11
ln ln 1 ln 1 0,
11 2
n
nn n
=?<?<
++ +
0
1
1
n
n
∞
=
+
∑
所以级数收敛；又发散，故级数
()
1
11
1
1ln ln1
11
n
nn
n
nn
∞∞
==
=
+ +
∑∑
发散，故级数条件收敛。
例2 设，证明级数
0,lim 0
nn
n
uul
→∞
≠ =≠
1
1
nn
n
uu
∞
+
=
∑
与级数有相同的收敛性。
0
1
11
n
nn
uu
∞
=
+
∑
证因
2
11
1
11
lim / lim 0,
nn nn
nx
nn
uu uul
uu
++
→∞ →∞
+
= =>
故两级数有相同的收敛性。
g
例3 若数列(nu
n
)有界，则级数收敛。
2
1
n
n
u
∞
=
∑
证因数列有界，不妨设
22
2
11
nn n
nuMu Mu M
nn
≤?≤?≤
因级数收敛，故由级数的比较判别法，得原级数收敛。
2
1
1
n
M
n
∞
=
∑
g
例4 设f (x)为[1,+∞)上的非负单调下降函数,u
n
=f (n)，
证明级数与广义积分同时收敛。
1
n
n
u
∞
=
∑
1
()fxdx
+∞
∫
证有条件所设，得
11 1
11
(1) (),
nn n
nn
u u dx f n dx f x dx
++ +
++
==+≤
∫∫ ∫
故，
1
1
2
(),
n
n
nk
k
ss u fxdx
=
= ≤
∑
∫
又有
11 1
() (),
nn n
nn
u u dx f n dx f x dx
++ +
== ≥
∫∫ ∫
故
1
1
1
(),
n
n
nk
k
su fxdx
+
=
=≥
∑
∫
即
1
1
11
2
() (),
n
nn
nk n
k
ss u fxdx fxdxs
+
=
= ≤ ≤ ≤
∑
∫∫
故级数与积分同时收敛。
由此讨论级数的收敛性。
()
ln
1
1
1
n
n
a
a
∞
=
>
∑
g
解由前面讨论，知级数与积分同时收敛。
ln
1
1
x
dx
a
+∞
∫
因积分
ln
1
1
x
dx
a
∞
∫
x
y e=
00
y
y
y
ee
dy dy
aa
+∞ +∞
=
∫∫
()
0
1
,
1ln
y
e
ae
aa
=≠
而积分在a>e时收敛，在a<e时发散，故原级数在a>e
时收敛，在a<e时发散。当a=e 时，级数为
ln
11
11
n
nn
an
∞∞
==
=
∑ ∑
级数发散。
例5 设u
n
>0，(n=1,2,…,)，且
ln
lim
ln
n
n
u
n
λ
→∞
=
证当λ>1，可取ε>0，使得λ-ε>1，因
ln
lim,
ln
n
n
u
n
λ
→∞
=
则当λ>1级数收敛；λ<1时级数发散。
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
故，存在N，当n>N时，有
ln
11,
ln
n
u
n
λε α
>?=+>
即
1
11
1
ln 1
1,,,
ln
n
nn
u
un u
nn
α
α
α
+
+
>+? >? <
故，级数收敛。
1
n
n
u
∞
=
∑
若λ<1，可取ε >0，使得λ+ε <1，因
ln
lim,
ln
n
n
u
n
λ
→∞
=
故，存在N，当n>N时，有
ln
1,
ln
n
u
n
λε
< +<
故
11
ln ln,
n
n
nu
un
<?>
因发散，故级数发散。
1
1
n
n
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
g
例6 求下列幂级数的收敛区间：
1,2.
1
23
nn
n
n
x
n
∞
=
+
∑
( )
()
1
ln 1
1
1
n
n
n
x
n
∞
=
+
+
∑
3.
2
2
1
1
1
n
n
n
x
n
∞
=
+
∑
解1.考虑级数及,容易得到，收敛区间分别为I
1
=(-1/2,1/2),I
2
=(-1/3,1/3)，故原级数的收敛区间为I= (-1/3,1/3) 。
1
2
n
n
n
x
n
∞
=
∑
1
3
n
n
n
x
n
∞
=
∑
2.令y=x-1,显然有
ln(1 )
lim 1
1
n
n
n
n
→∞
+
=
+
即级数的收敛半径为1。y=1时，级数显
( )
1
ln 1
1
n
n
n
y
n
∞
=
+
+
∑
然发散；y=-1时，级数为交错级数，
( )
1
(1)ln 1
1
n
n
n
n
∞
=
+
+
∑
且通项趋于零。注意到
2
ln 1 ln
0 ( ),
xx
xe
xx
′
= <>
故数列当n>e时单调下降，故级数
1
ln
n
n
n
∞
=
( )
1
(1)ln 1
1
n
n
n
n
∞
=
+
+
∑
收敛。即原幂级数的收敛区间为[-1,1)。
3.因
2
11
lim 1 lim 1,
nn
n
nn
e
nn
→∞ →∞
+ =+=
故幂级数的收敛半径为R=1/e。
2
1
1
1
n
n
n
y
n
∞
=
+
∑
取y=1/e，计算极限
22
11
lim 1 / lim 1 /,
nx
nx
ee
→∞ →+∞
+=+
()
()
2
1/
1/
1
1/
00
1
lim 1 / lim
t
t
t
t
tt
t
te
e
→+ →+
+
+=
1/tx=
令
1/
(1 )
t
t
y
e
+
=
2
00 0
11
1ln(1) 1
1
lim ln lim lim,
22
tt t
tt
tt
y
t
→+ →+ →+
+?
+
= ==?
故，原式的极限为
2
1/2
1
lim 1 /,
n
n
n
ee
n
→∞
+=
即，对y=±1/e，级数的一般项不趋于零,
2
1
1
1
n
n
n
y
n
∞
=
+
∑
因而级数发散。故该级数的收敛区间为(-1/e,1/e)，从而原级数的收敛区间为
11
,.
ee
例7 求级数的收敛域。
0
11
211
n
n
x
nx
∞
=
++
∑
解令,则级数的收敛域为[-1,1)，
1
1
x
y
x
=
+ 0
1
21
n
n
y
n
∞
=
+
∑
即
1
11,
1
x
x
≤<
+
等价于0.x< <+∞
故，原级数的收敛域为(0,+∞)。
例8 求下列函数的和函数：
1,2.
22
1
21
2
n
n
n
n
x
∞
=
∑
()
1
1
1
n
n
x
nn
∞
=
+
∑
解1.
211
lim,2.
22
n
n
n
n
R
→∞
=?=∵
∴
22 21
00
11
21 1
()
22
xx
nn
nn
n
sxdx x dx x
∞∞
==
∑∑
∫∫
故，当时，幂级数收敛，设其和函数为s(x)，即
2x <
22
1
21
(),
2
n
n
n
n
sx x
∞
=
=
∑
()
1
2
1
2
1
11
22
1
22 2 2
2
,
22 2
n
n
n
nn
xxx
x
xx
xx
∞∞
==
==
∑∑
()
2
22
2
2
( ) 2 2.
2
2
xx
sx x
x
x
′
+
==?<
∴
2.
()
1
1
1
n
n
x
nn
∞
=
+
∑
显然收敛区间为[-1,1]，当|x|<1时，令
()
1
1
(),
1
n
n
sx x
nn
∞
=
=
+
∑
()
1
1
1
1
() (),
1
n
n
sx xsx x
nn
∞
+
=
==
+
∑
()
1
1
11
(),
1
nn
nn
sx x x
nn n
∞∞
+
==
′
′
+
∑∑
1
11
11
(),(0) 0
1
nn
nn
sx x x s
nx
∞∞
==
′
′′ ′
= ==∧=
∑∑
1
0
1
() ln(1 ) 1 1,
1
x
sx dx x x
x
′
∴ ==<
∫
又s
1
(0)=0，所以
()()
1
0
0
() ln(1 ) ln(1 )
ln(1 ) ln(1 )
1
1ln1
x
x
sx xdx x x
x
dx x x x x
x
xx x
= =
= + +?
=+
∫
∫
因xs(x)=s
1
(x)，且s(0)=1，故
()
1
1 1 ln 1 [ 1,0) (0,1]
(),
1 0
x
sx x
x
+
=
=
∪
例9 求和。
2
2
(1)
2
n
n
nn
∞
=
+?
∑
解显然收敛区域为[-1,1]，令
22
2
22
(1) (1)
(),
2(21)
nn
nn
sx x x
nn n n
∞∞
++
==
+? +?
∑∑
12 12
1
22
(1) (1)
() (),
(1) (1)
nn
nn
sx x x x xsx
∞∞
+?
==
′
=
∑∑
2
1
20
1
() (1) (1),
1
nn nn
nn
sx x x
x
∞∞
==
′
=? =? =
+
∑∑
因s(0)=0，s
1
(0)=0
1
0
1
() ln(1 ),
1
x
s xdxx
x
= =+
+
∫
()
()
23
0
3
32
00
332
0
1
() ln(1 ) ln(1 )
3
11 1
ln(1 ) 1
31 3 3
11 1 11 1
1ln(1),
31 3 33 2
x
xx
x
sx x xdx x x
x
dx x x x x
x
dx x x x x x
x
=+=+
=++
+
+=+++
+
∫
∫∫
∫
2
2
(1) 2 5
(1) ln 2,
2318
n
n
s
nn
∞
=
==?
+?
∴
∑
例10 求下列函数的麦克劳林级数：
1,2.
5,
2
2
4
x
x?
2
ln(1 2 )xx+?
3,4.
2
0
x
t
edt
∫
234
ln(1 )xx x x?+? +
arcsinxx
解1.∵
22
2222
00
111 11 1
,
44 42
1
2
nn
nn
xx
x
x
∞∞
+
==
== =
∑∑
21
221
0
21
,
42
n
n
n
x
x
x
∞
+
+
=
=
∴
∑
2.
()
2
2
14
ln(1 2 )
12
x
xx
xx
′
+? =
+?
∵
2
14 2 1
12121
x
xx x x
=?
+? +?
()
1
00
21
12,,
12 1
n
nn n
nn
xx
∞∞
+
==
=? =
∑ ∑
()
( )
1
2
0
14
12 1,
12
n
nn
n
x
x
xx
∞
+
=
=
+?
∑
()
()
21
0
0
1
1
0
ln(1 2 ) 1 2 1
12 1
.
1
x
n
nn
n
n
n
n
n
xx xdx
x
n
∞
+
=
+
∞
+
=
+? =
=
+
∑
∫
∑
3,∵
()
2
2
0
1
,
!
n
tn
n
et
n
∞
=
=
∑
() ()
()
2
221
00
00
11
.
!21!
nn
xx
tn n
nn
edt tdt t
∞∞
+
==
∴
+
∑∑
∫∫
4,∵
234 5
ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ),xx x x x x? +?+ = +? +
11
55
(1) (1)
ln(1 ),ln(1 )
nn
xxxx
∞∞
==
+= +=
∑∑
()
()
1
234 5
1
1
ln(1 )
( 1,1].
n
nn
n
xx x x x x
n
x
∞
=
∴?+? + =?
∈?
∑
5,∵
()
()
2
2
2
1
21
1
1
arcsin,
1
1(1)!
1,(1,)
(2 )!!
1
(2 1)!!
arcsin
21(2)!
n
n
n
n
x
x
n
xx
n
x
n
xx x
nn
∞
=
∞
+
=
′
=
=+ ∈?
=+
+
∑
∑
()
222
1
(2 1)!!
arcsin ( 1,1).
21(2)!
n
n
n
xxx xx
nn
∞
+
=
∴ =+ ∈?
+
∑
例11 求x
2
(x∈[-π,π])的傅立叶级数。
解因f (x)=x
2
为偶函数，故b
n
=0,(n=1,2,…,)，
222
0
0
122 1
2,
23
axdxxd
ππ
π
π
π π
===
∫∫
()
22
0
2
0
0
22 2
0
0
12
cos cos
24
sin sin
44 4
cos cos 1,
n
n
a x nxdx x nxdx
xnx xxdx
nn
xnx nxdx
nn n
ππ
π
π
π
π
π
ππ
π π
==
=?
=? =?
∫∫
∫
∫
故，f (x)=x
2
的傅立叶级数为：
()
()
0
1
2
1
2
() cos sin
2
1
1
4cos.
3
nn
n
n
n
fx a a nx b nx
nx
n
π
∞
=
∞
=
++
=+
∑
∑
～
例12 求函数f (x)= x
2
(x∈(0,2π])的傅立叶级数，并求和.
()
1
22
11
1
1
,
n
nn
∞∞
==
∑∑
解
2
0
0
2
22
0
1212
() ()
121
4 2,
23
a fxdx fxdx
xdx
ππ
π
π
π
π
==
∫∫
∫
2
0
2
2
22
0
0
11
()cos ()cos
11
cos sin
n
a fxnxdx fxnxdx
xnxdx xnx
n
ππ
π
π
π
ππ
==
∫∫
∫
2
2
2
0
0
2
22
0
22
sin cos
24
cos,
xnxdx xnx
nn
nxdx
nn
π
π
π
ππ
π
π
=
=
∫
∫
2
0
2
2
22
0
0
11
()sin ()sin
11
sin cos
n
b f xnxdx f xnxdx
xnxdx xnx
n
ππ
π
π
π
ππ
==
==?
∫∫
∫
2
2
2
0
0
2
2
0
24
cos sin
sin,
xnxdx x x
nnn
nxdx
π
π
π
π
ππ
π
π
+=?+
=?
∫
∫
故，相应的傅立叶级数为
2
2
1
444
() cos sin,
3
n
f xnxx
nn
π
π
∞
=
+?
∑
～
注意到当x=0及x=2π时，级数收敛到2π
2
。取x=0代入到上式，有
22 2
22
11
44 4
2,,
33
nn
ππ π
∞∞
==
=+?=
∑ ∑
即：
2
2
1
11
.
6
n
n
π
∞
=
=
∑
取x=π，则有
()
22
2
1
14
4
,
3
n
n
n
ππ
∞
=
=+
∑
即：
()
1
2
2
1
1
1
.
12
n
n
n
π
∞
=
=
∑
例13 将展开成傅立叶级数，() ( )
x
fx e xπ π=?<≤
并求和。
2
1
1
1
n
n
∞
=
+
∑
解
()
0
122
,
22
x
aedxee
π
ππ
π
π π
==
∫
()
()
11
cos cos
1
sin
xx
n
n
x
a e nxdx e nx
n
enxdx ee
π
π
π
π
π
π π
π
ππ
ππ
==
+=
∫
∫
()
()
()
()
2
2
11
cos cos
1
sin
sin cos
1
cos,
xx
n
n
x
xx
n
x
a e nxdx e nx
n
enxdx ee
nn
e nx e nxdx
n
ee e nxdx
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
ππ
π
ππ
ππ
ππ
ππ
==
+=
+?
=?
∫
∫
∫
∫
即
()
()
2
1
1
.
1
n
n
aee
n
ππ
π
=?
+
2
1
2
11
sin sin
cos cos
sin ( 1) ( )
sin
xx
n
xx
xn
x
b e nxdx e nx
nn
enxdx enx
enxdx ee
n
enxdx
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
ππ
ππ
π
==
=?
∫
∫
∫
∫
即
1
2
1
(1) ( ).
1
n
n
n
bee
n
ππ
π
=
+
即
()
()
2
1
1
1
() cos sin
21
n
x
n
ee
fx e nx n nx
n
ππ
π
∞
=
=+
+
∑
～
并注意到，当x=±π时，级数收敛到,令x=π，
则有
()
1
2
ee
π π?
+
()
2
1
11
22
n
ee
ee
n
ππ
ππ
π
∞
=
+= +
+
∑
即
( )
2
1
11 1
.
12 2
n
ee
nee
ππ
ππ
π
∞
=
+
=?
+?
∑
例14 将f (x)=2x+3 (x∈(0,π])分别展开成正弦级数及余弦级数。
解1.正弦级数：a
n
=0，n=0,1,2,…
()
()
0
0
1
2
0
0
1
22
(2 3)sin (2 3)cos
12
44
cos (2 3) sin
12
(2 3).
n
n
n
b x nxdx x nx
n
nxdx nx
nnn
n
π
π
π
π
ππ
π
πππ
π
π
=+ =?+
+=+
=+
∫
∫
故，正弦级数为
()
1
1
12
23 (23)sin.
n
n
xnx
n
π
π
∞
=
++
∑
～
2.余弦级数：b
n
=0，n=0,1,2,…
0
0
22
(2 3) 2( 3),
2
axdx
π
π
π
=+=+
∫
()
0
0
22
0
0
(2 3)cos (2 3)sin
444
sin cos 1 1
n
n
axnxdxx
n
nxdx nx
nnn
π
π
π
π
ππ
πππ
=+ =+
==?
∫
∫
2
8
( 1,3,5,).n
n π
=? = null
故，余弦级数为
2
1
81
23 3 cos(21).
(2 1)
n
xnx
n
π
π
∞
=
++? +
+
∑
～
例15 将f (x)=x
2
-x (x∈(-2,2])展开成傅立叶级数。
解这是周期l=2的周期函数展开成傅立叶级数的问题。
由计算公式得：
22
0
20
12242
(),
3
axxdxxd
=?= =
∫∫
()
2
2
2
0
0
1
cos cos
22 2
24
sin sin
22
n
nn
axxxdxdx
nn
xx xdx
nn
π π
ππ
ππ
=? =
=?
∫
()
2
2
22 22
0
0
22
84
cos cos
16
1.
n
nn
xx xd
nn
n
ππ
ππ
π
=?
=?
∫
()
()
2
20
2
2
0
0
1
1
sin sin
222
22
cos cos
22
4
1,
n
n
nn
b x x xdx x xdx
nn
xx xd
nn
n
π π
ππ
ππ
π
=? =
=? +
=?
∫∫
∫
故，相应的傅立叶级数为
()
2
22
1
4164
1cos sin.
322
n
n
nn
xx x x
nn
ππ
ππ
∞
=
+? +
∑
～
1.数项级数及收敛性敛，即极限存在，则称级数收敛，并记设数项级数，部分和，若部分和收
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
nk
k
sa
=
=
∑
1
lim
n
nk
n
k
sas
→∞
=
= =
∑
1
.
n
n
as
∞
=
=
∑
2.正项级数及审敛法
1)比较判别法及极限形式
收敛；若发散，则发散。
设正项级数及且，则若收敛
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑ nn
uv≤
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
设正项级数及，若，则级数
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
lim 0
n
n
n
u
l
v
→∞
= ≠
有相同的收敛性。
设正项级数及，若，且级数
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
lim 0
n
n
n
u
v
→∞
=
收敛，则级数收敛；若且级数
1
n
n
v
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
lim,
n
n
n
u
v
→∞
=+∞
发散，则级数发散。
1
n
n
v
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
2)比值判别法正项级数，若，则ρ<1，级数收敛；
1
n
n
u
∞
=
∑
1
lim
n
n
n
u
u
ρ
+
→∞
=
ρ>1，级数发散。
3)根值法正项级数，若，则ρ <1，级数收敛;
1
n
n
u
∞
=
∑
lim
n
n
n
u ρ
→∞
=
ρ >1，级数发散。
3.交错级数及收敛性交错级数满足：(1) a
n
单调下降，
1
1
(1)
n
n
n
a
∞
=
∑
lim 0
n
n
a
→∞
=
(2),则级数收敛。
4.绝对收敛及条件收敛对级数，若级数收敛，则称级数是绝对
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
收敛的；若级数收敛，而级数发散，则
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
称级数是条件收敛的。
若绝对收敛，则
1
n
n
u
∞
=
∑
(1) 收敛，且；
1
n
n
u
∞
=
∑
111
nnn
nnn
uuu
∞∞∞
+?
===
=?
∑ ∑∑
(2)级数的更序级数也收敛，且和不变。
1
n
n
u
∞
=
∑
二、幂级数
1.幂级数的收敛半径设幂级数，收敛半径为R，
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
1)比值法：若则R= 。
1
lim,
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
1
ρ
2)根值法：若，则R= 。
lim
n
n
n
a ρ
→∞
=
1
ρ
2.幂级数的运算设幂级数及，收敛半径分别为R
1
和
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
0
n
n
n
bx
∞
=
∑
R2，令R=min{R
1
,R
2
}，则当|x|<R时，两级数均为绝对收敛，且有：
()
000
nn n
nn
nnn
ax bx a b x
∞∞∞
===
±=±
∑∑∑
000
nn n
ij
nnnijn
ax bx ab x
∞∞∞
===+=
=
∑∑∑∑
1
00
00 0
1
.
1
xx
nn n
nn n
ax dx axdx ax
n
∞∞ ∞
+
== =
==
+
∑∑ ∑
∫∫
()
1
00 1
.
nnn
nn n
ax ax nax
∞∞ ∞
== =
′
′
==
∑∑∑
3.泰勒级数函数f (x)在x
0
的邻域U(x
0
,r )中有任意阶导数，幂级数
()
()
0
0
0
()
!
n
n
n
fx
xx
n
∞
=
∑
为函数f (x)在x
0
的泰勒级数。若幂级数的收敛半径为
R>0，且，则当|x|<R时，有
lim ( ) 0
n
n
Rx
→∞
=
()
()
0
0
0
()
(),
!
n
n
n
fx
fx x x
n
∞
=
=?
∑
当x=0时，相应的幂级数称为麦克劳林级数。
常用的麦克劳林展开式。
()
0
1
,.
xn
n
exx
n
∞
=
= ∈?∞∞
∑
！
()
()
21
1
1
sin,.
21
n
n
xxx
n
∞
=
= ∈?∞∞
∑
！
()
()
2
0
1
cos,.
2
n
n
xxx
n
∞
=
= ∈?∞∞
∑
！
()
0
1
1,1,
1
n
n
xx
x
∞
=
=∈?
∑
1
1
(1)
ln(1 ) ( 1,1].
n
n
n
xxx
n
∞
=
+= ∈?
∑
()
2
(1)
(1 ) 1
2!
(1) 1
,( 1,1)
!
xx x
n
xx
n
α
α
αα
α
αα α
+=++ +
+
++∈?
null
null
null
23
1
1
11 13
11
224 246
1 ( 1) (2 1)!!
1 [ 1,1).
2()!
n
n
n
xxx x
n
xxx
n
∞
=
×
+=+? +?
×××
=+ + ∈?
∑
null
23
1
1 1 13 135
1
224 246
1
(1)(2 1)!
1 ( 1,1].
(2 )!!
n
n
n
xx x
x
n
xx
n
∞
=
× ××
=? + +?
×××
+
=+ ∈?
∑
null
三、傅立叶级数
1.周期为2π的可积函数的傅立叶级数设f ∈R
2π
，记
0
12
(),
2
a f xdx
π
π
π
=
∫
1
()cos,
n
a f xkxdx
π
π
π
=
∫
1
()sin,
n
b f xkxdx
π
π
π
=
∫
1,2,n = null
系数a
0
,a
1
,b
1
,a
2
,b
2
,
…
,a
n
,b
n
,
…
称为f 的傅立叶系数。
()
0
1
01 1
2
() cos sin
2
2
cos sin cos sin,
2
n
nkk
k
nn
Fx a a kxb kx
aaxbxanxbnx
=
=+ +
=+ +++ +
∑
null
F
n
(x)称为f (x) 的n 阶三角多项式。
均方收敛定理设f ∈R
2π
，则
()
()
2222
0
0
2222
0
0
lim lim
,
n
nkk
nn
k
nn
n
Faab
aabf
→∞ →∞
=
∞
=
=++
=+ + =
∑
∑
nullnull
nullnull
逐点收敛定理设f ∈R
2π
，且满足收敛条件，则f (x)的傅立叶级数
()
0
1
2
cos sin,
2
nn
n
f aanxbx
∞
=
++
∑
～
当x为连续点时，级数收敛到f (x)；当x为第一类间断点时，级数收敛到左右极限的平均值。
2.周期为2l 的可积函数的傅立叶级数设f ∈R
2l
，记
0
12
(),
2
l
l
a f xdx
l
=
∫
1
()cos,
l
n
l
n
a f xxdx
li
π
=
∫
1
()sin,
l
n
l
n
b f xxdx
ll
π
=
∫
1,2,n = null
相应的傅立叶级数为
0
1
2
cos sin,
2
nn
n
nn
f aaxbx
ll
ππ
∞
=
++
∑
～
其均方收敛性与逐点收敛性与周期为2π的可积函数完全平行。
3.周期为2π的可积函数的正弦级数与余弦级数设f ∈R
2π
，且f 为奇函数，则相应的傅立叶级数为
1
sin,
n
n
fbnx
∞
=
∑
～
若f 为偶函数，则相应的傅立叶级数为
0
1
2
cos,
2
n
n
f aanx
∞
=
+
∑
～
前者称为正弦级数，而后者称为余弦级数。
例题选讲例1 讨论下列级数的收敛性
1,2.
2
0
11
1
3
n
n
n
n
∞
=
+
∑
()
3
0
1
2
n
n
n
n
∞
=
∑
3,4.
()
ln
2
1
ln
n
n n
∞
=
∑
()
1
1
1ln
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
解1.因
11
lim lim 1 1,
33
n
n
n
nn
e
a
n
→∞ →∞
= +=<
故，级数收敛。
2.同理，因
3
11
lim lim 1,
22
n
n
n
nn
an
→∞ →∞
= =<
故，级数收敛。
3.因
()
ln
ln lnln lnln 2 2
ln (ln ),
n
nn n
ne nnne==> >
即当n 充分大时，有
()
ln 2
11
ln
n
n
n
<
由比较判别法，得级数收敛。
4.因级数为交错级数，
lim ln ln1 0,
1
n
n
n
→∞
= =
+
又因
11
ln ln 1 ln 1 0,
11 2
n
nn n
=?<?<
++ +
0
1
1
n
n
∞
=
+
∑
所以级数收敛；又发散，故级数
()
1
11
1
1ln ln1
11
n
nn
n
nn
∞∞
==
=
+ +
∑∑
发散，故级数条件收敛。
例2 设，证明级数
0,lim 0
nn
n
uul
→∞
≠ =≠
1
1
nn
n
uu
∞
+
=
∑
与级数有相同的收敛性。
0
1
11
n
nn
uu
∞
=
+
∑
证因
2
11
1
11
lim / lim 0,
nn nn
nx
nn
uu uul
uu
++
→∞ →∞
+
= =>
故两级数有相同的收敛性。
g
例3 若数列(nu
n
)有界，则级数收敛。
2
1
n
n
u
∞
=
∑
证因数列有界，不妨设
22
2
11
nn n
nuMu Mu M
nn
≤?≤?≤
因级数收敛，故由级数的比较判别法，得原级数收敛。
2
1
1
n
M
n
∞
=
∑
g
例4 设f (x)为[1,+∞)上的非负单调下降函数,u
n
=f (n)，
证明级数与广义积分同时收敛。
1
n
n
u
∞
=
∑
1
()fxdx
+∞
∫
证有条件所设，得
11 1
11
(1) (),
nn n
nn
u u dx f n dx f x dx
++ +
++
==+≤
∫∫ ∫
故，
1
1
2
(),
n
n
nk
k
ss u fxdx
=
= ≤
∑
∫
又有
11 1
() (),
nn n
nn
u u dx f n dx f x dx
++ +
== ≥
∫∫ ∫
故
1
1
1
(),
n
n
nk
k
su fxdx
+
=
=≥
∑
∫
即
1
1
11
2
() (),
n
nn
nk n
k
ss u fxdx fxdxs
+
=
= ≤ ≤ ≤
∑
∫∫
故级数与积分同时收敛。
由此讨论级数的收敛性。
()
ln
1
1
1
n
n
a
a
∞
=
>
∑
g
解由前面讨论，知级数与积分同时收敛。
ln
1
1
x
dx
a
+∞
∫
因积分
ln
1
1
x
dx
a
∞
∫
x
y e=
00
y
y
y
ee
dy dy
aa
+∞ +∞
=
∫∫
()
0
1
,
1ln
y
e
ae
aa
=≠
而积分在a>e时收敛，在a<e时发散，故原级数在a>e
时收敛，在a<e时发散。当a=e 时，级数为
ln
11
11
n
nn
an
∞∞
==
=
∑ ∑
级数发散。
例5 设u
n
>0，(n=1,2,…,)，且
ln
lim
ln
n
n
u
n
λ
→∞
=
证当λ>1，可取ε>0，使得λ-ε>1，因
ln
lim,
ln
n
n
u
n
λ
→∞
=
则当λ>1级数收敛；λ<1时级数发散。
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
故，存在N，当n>N时，有
ln
11,
ln
n
u
n
λε α
>?=+>
即
1
11
1
ln 1
1,,,
ln
n
nn
u
un u
nn
α
α
α
+
+
>+? >? <
故，级数收敛。
1
n
n
u
∞
=
∑
若λ<1，可取ε >0，使得λ+ε <1，因
ln
lim,
ln
n
n
u
n
λ
→∞
=
故，存在N，当n>N时，有
ln
1,
ln
n
u
n
λε
< +<
故
11
ln ln,
n
n
nu
un
<?>
因发散，故级数发散。
1
1
n
n
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
g
例6 求下列幂级数的收敛区间：
1,2.
1
23
nn
n
n
x
n
∞
=
+
∑
( )
()
1
ln 1
1
1
n
n
n
x
n
∞
=
+
+
∑
3.
2
2
1
1
1
n
n
n
x
n
∞
=
+
∑
解1.考虑级数及,容易得到，收敛区间分别为I
1
=(-1/2,1/2),I
2
=(-1/3,1/3)，故原级数的收敛区间为I= (-1/3,1/3) 。
1
2
n
n
n
x
n
∞
=
∑
1
3
n
n
n
x
n
∞
=
∑
2.令y=x-1,显然有
ln(1 )
lim 1
1
n
n
n
n
→∞
+
=
+
即级数的收敛半径为1。y=1时，级数显
( )
1
ln 1
1
n
n
n
y
n
∞
=
+
+
∑
然发散；y=-1时，级数为交错级数，
( )
1
(1)ln 1
1
n
n
n
n
∞
=
+
+
∑
且通项趋于零。注意到
2
ln 1 ln
0 ( ),
xx
xe
xx
′
= <>
故数列当n>e时单调下降，故级数
1
ln
n
n
n
∞
=
( )
1
(1)ln 1
1
n
n
n
n
∞
=
+
+
∑
收敛。即原幂级数的收敛区间为[-1,1)。
3.因
2
11
lim 1 lim 1,
nn
n
nn
e
nn
→∞ →∞
+ =+=
故幂级数的收敛半径为R=1/e。
2
1
1
1
n
n
n
y
n
∞
=
+
∑
取y=1/e，计算极限
22
11
lim 1 / lim 1 /,
nx
nx
ee
→∞ →+∞
+=+
()
()
2
1/
1/
1
1/
00
1
lim 1 / lim
t
t
t
t
tt
t
te
e
→+ →+
+
+=
1/tx=
令
1/
(1 )
t
t
y
e
+
=
2
00 0
11
1ln(1) 1
1
lim ln lim lim,
22
tt t
tt
tt
y
t
→+ →+ →+
+?
+
= ==?
故，原式的极限为
2
1/2
1
lim 1 /,
n
n
n
ee
n
→∞
+=
即，对y=±1/e，级数的一般项不趋于零,
2
1
1
1
n
n
n
y
n
∞
=
+
∑
因而级数发散。故该级数的收敛区间为(-1/e,1/e)，从而原级数的收敛区间为
11
,.
ee
例7 求级数的收敛域。
0
11
211
n
n
x
nx
∞
=
++
∑
解令,则级数的收敛域为[-1,1)，
1
1
x
y
x
=
+ 0
1
21
n
n
y
n
∞
=
+
∑
即
1
11,
1
x
x
≤<
+
等价于0.x< <+∞
故，原级数的收敛域为(0,+∞)。
例8 求下列函数的和函数：
1,2.
22
1
21
2
n
n
n
n
x
∞
=
∑
()
1
1
1
n
n
x
nn
∞
=
+
∑
解1.
211
lim,2.
22
n
n
n
n
R
→∞
=?=∵
∴
22 21
00
11
21 1
()
22
xx
nn
nn
n
sxdx x dx x
∞∞
==
∑∑
∫∫
故，当时，幂级数收敛，设其和函数为s(x)，即
2x <
22
1
21
(),
2
n
n
n
n
sx x
∞
=
=
∑
()
1
2
1
2
1
11
22
1
22 2 2
2
,
22 2
n
n
n
nn
xxx
x
xx
xx
∞∞
==
==
∑∑
()
2
22
2
2
( ) 2 2.
2
2
xx
sx x
x
x
′
+
==?<
∴
2.
()
1
1
1
n
n
x
nn
∞
=
+
∑
显然收敛区间为[-1,1]，当|x|<1时，令
()
1
1
(),
1
n
n
sx x
nn
∞
=
=
+
∑
()
1
1
1
1
() (),
1
n
n
sx xsx x
nn
∞
+
=
==
+
∑
()
1
1
11
(),
1
nn
nn
sx x x
nn n
∞∞
+
==
′
′
+
∑∑
1
11
11
(),(0) 0
1
nn
nn
sx x x s
nx
∞∞
==
′
′′ ′
= ==∧=
∑∑
1
0
1
() ln(1 ) 1 1,
1
x
sx dx x x
x
′
∴ ==<
∫
又s
1
(0)=0，所以
()()
1
0
0
() ln(1 ) ln(1 )
ln(1 ) ln(1 )
1
1ln1
x
x
sx xdx x x
x
dx x x x x
x
xx x
= =
= + +?
=+
∫
∫
因xs(x)=s
1
(x)，且s(0)=1，故
()
1
1 1 ln 1 [ 1,0) (0,1]
(),
1 0
x
sx x
x
+
=
=
∪
例9 求和。
2
2
(1)
2
n
n
nn
∞
=
+?
∑
解显然收敛区域为[-1,1]，令
22
2
22
(1) (1)
(),
2(21)
nn
nn
sx x x
nn n n
∞∞
++
==
+? +?
∑∑
12 12
1
22
(1) (1)
() (),
(1) (1)
nn
nn
sx x x x xsx
∞∞
+?
==
′
=
∑∑
2
1
20
1
() (1) (1),
1
nn nn
nn
sx x x
x
∞∞
==
′
=? =? =
+
∑∑
因s(0)=0，s
1
(0)=0
1
0
1
() ln(1 ),
1
x
s xdxx
x
= =+
+
∫
()
()
23
0
3
32
00
332
0
1
() ln(1 ) ln(1 )
3
11 1
ln(1 ) 1
31 3 3
11 1 11 1
1ln(1),
31 3 33 2
x
xx
x
sx x xdx x x
x
dx x x x x
x
dx x x x x x
x
=+=+
=++
+
+=+++
+
∫
∫∫
∫
2
2
(1) 2 5
(1) ln 2,
2318
n
n
s
nn
∞
=
==?
+?
∴
∑
例10 求下列函数的麦克劳林级数：
1,2.
5,
2
2
4
x
x?
2
ln(1 2 )xx+?
3,4.
2
0
x
t
edt
∫
234
ln(1 )xx x x?+? +
arcsinxx
解1.∵
22
2222
00
111 11 1
,
44 42
1
2
nn
nn
xx
x
x
∞∞
+
==
== =
∑∑
21
221
0
21
,
42
n
n
n
x
x
x
∞
+
+
=
=
∴
∑
2.
()
2
2
14
ln(1 2 )
12
x
xx
xx
′
+? =
+?
∵
2
14 2 1
12121
x
xx x x
=?
+? +?
()
1
00
21
12,,
12 1
n
nn n
nn
xx
∞∞
+
==
=? =
∑ ∑
()
( )
1
2
0
14
12 1,
12
n
nn
n
x
x
xx
∞
+
=
=
+?
∑
()
()
21
0
0
1
1
0
ln(1 2 ) 1 2 1
12 1
.
1
x
n
nn
n
n
n
n
n
xx xdx
x
n
∞
+
=
+
∞
+
=
+? =
=
+
∑
∫
∑
3,∵
()
2
2
0
1
,
!
n
tn
n
et
n
∞
=
=
∑
() ()
()
2
221
00
00
11
.
!21!
nn
xx
tn n
nn
edt tdt t
∞∞
+
==
∴
+
∑∑
∫∫
4,∵
234 5
ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ),xx x x x x? +?+ = +? +
11
55
(1) (1)
ln(1 ),ln(1 )
nn
xxxx
∞∞
==
+= +=
∑∑
()
()
1
234 5
1
1
ln(1 )
( 1,1].
n
nn
n
xx x x x x
n
x
∞
=
∴?+? + =?
∈?
∑
5,∵
()
()
2
2
2
1
21
1
1
arcsin,
1
1(1)!
1,(1,)
(2 )!!
1
(2 1)!!
arcsin
21(2)!
n
n
n
n
x
x
n
xx
n
x
n
xx x
nn
∞
=
∞
+
=
′
=
=+ ∈?
=+
+
∑
∑
()
222
1
(2 1)!!
arcsin ( 1,1).
21(2)!
n
n
n
xxx xx
nn
∞
+
=
∴ =+ ∈?
+
∑
例11 求x
2
(x∈[-π,π])的傅立叶级数。
解因f (x)=x
2
为偶函数，故b
n
=0,(n=1,2,…,)，
222
0
0
122 1
2,
23
axdxxd
ππ
π
π
π π
===
∫∫
()
22
0
2
0
0
22 2
0
0
12
cos cos
24
sin sin
44 4
cos cos 1,
n
n
a x nxdx x nxdx
xnx xxdx
nn
xnx nxdx
nn n
ππ
π
π
π
π
π
ππ
π π
==
=?
=? =?
∫∫
∫
∫
故，f (x)=x
2
的傅立叶级数为：
()
()
0
1
2
1
2
() cos sin
2
1
1
4cos.
3
nn
n
n
n
fx a a nx b nx
nx
n
π
∞
=
∞
=
++
=+
∑
∑
～
例12 求函数f (x)= x
2
(x∈(0,2π])的傅立叶级数，并求和.
()
1
22
11
1
1
,
n
nn
∞∞
==
∑∑
解
2
0
0
2
22
0
1212
() ()
121
4 2,
23
a fxdx fxdx
xdx
ππ
π
π
π
π
==
∫∫
∫
2
0
2
2
22
0
0
11
()cos ()cos
11
cos sin
n
a fxnxdx fxnxdx
xnxdx xnx
n
ππ
π
π
π
ππ
==
∫∫
∫
2
2
2
0
0
2
22
0
22
sin cos
24
cos,
xnxdx xnx
nn
nxdx
nn
π
π
π
ππ
π
π
=
=
∫
∫
2
0
2
2
22
0
0
11
()sin ()sin
11
sin cos
n
b f xnxdx f xnxdx
xnxdx xnx
n
ππ
π
π
π
ππ
==
==?
∫∫
∫
2
2
2
0
0
2
2
0
24
cos sin
sin,
xnxdx x x
nnn
nxdx
π
π
π
π
ππ
π
π
+=?+
=?
∫
∫
故，相应的傅立叶级数为
2
2
1
444
() cos sin,
3
n
f xnxx
nn
π
π
∞
=
+?
∑
～
注意到当x=0及x=2π时，级数收敛到2π
2
。取x=0代入到上式，有
22 2
22
11
44 4
2,,
33
nn
ππ π
∞∞
==
=+?=
∑ ∑
即：
2
2
1
11
.
6
n
n
π
∞
=
=
∑
取x=π，则有
()
22
2
1
14
4
,
3
n
n
n
ππ
∞
=
=+
∑
即：
()
1
2
2
1
1
1
.
12
n
n
n
π
∞
=
=
∑
例13 将展开成傅立叶级数，() ( )
x
fx e xπ π=?<≤
并求和。
2
1
1
1
n
n
∞
=
+
∑
解
()
0
122
,
22
x
aedxee
π
ππ
π
π π
==
∫
()
()
11
cos cos
1
sin
xx
n
n
x
a e nxdx e nx
n
enxdx ee
π
π
π
π
π
π π
π
ππ
ππ
==
+=
∫
∫
()
()
()
()
2
2
11
cos cos
1
sin
sin cos
1
cos,
xx
n
n
x
xx
n
x
a e nxdx e nx
n
enxdx ee
nn
e nx e nxdx
n
ee e nxdx
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
ππ
π
ππ
ππ
ππ
ππ
==
+=
+?
=?
∫
∫
∫
∫
即
()
()
2
1
1
.
1
n
n
aee
n
ππ
π
=?
+
2
1
2
11
sin sin
cos cos
sin ( 1) ( )
sin
xx
n
xx
xn
x
b e nxdx e nx
nn
enxdx enx
enxdx ee
n
enxdx
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
ππ
ππ
π
==
=?
∫
∫
∫
∫
即
1
2
1
(1) ( ).
1
n
n
n
bee
n
ππ
π
=
+
即
()
()
2
1
1
1
() cos sin
21
n
x
n
ee
fx e nx n nx
n
ππ
π
∞
=
=+
+
∑
～
并注意到，当x=±π时，级数收敛到,令x=π，
则有
()
1
2
ee
π π?
+
()
2
1
11
22
n
ee
ee
n
ππ
ππ
π
∞
=
+= +
+
∑
即
( )
2
1
11 1
.
12 2
n
ee
nee
ππ
ππ
π
∞
=
+
=?
+?
∑
例14 将f (x)=2x+3 (x∈(0,π])分别展开成正弦级数及余弦级数。
解1.正弦级数：a
n
=0，n=0,1,2,…
()
()
0
0
1
2
0
0
1
22
(2 3)sin (2 3)cos
12
44
cos (2 3) sin
12
(2 3).
n
n
n
b x nxdx x nx
n
nxdx nx
nnn
n
π
π
π
π
ππ
π
πππ
π
π
=+ =?+
+=+
=+
∫
∫
故，正弦级数为
()
1
1
12
23 (23)sin.
n
n
xnx
n
π
π
∞
=
++
∑
～
2.余弦级数：b
n
=0，n=0,1,2,…
0
0
22
(2 3) 2( 3),
2
axdx
π
π
π
=+=+
∫
()
0
0
22
0
0
(2 3)cos (2 3)sin
444
sin cos 1 1
n
n
axnxdxx
n
nxdx nx
nnn
π
π
π
π
ππ
πππ
=+ =+
==?
∫
∫
2
8
( 1,3,5,).n
n π
=? = null
故，余弦级数为
2
1
81
23 3 cos(21).
(2 1)
n
xnx
n
π
π
∞
=
++? +
+
∑
～
例15 将f (x)=x
2
-x (x∈(-2,2])展开成傅立叶级数。
解这是周期l=2的周期函数展开成傅立叶级数的问题。
由计算公式得：
22
0
20
12242
(),
3
axxdxxd
=?= =
∫∫
()
2
2
2
0
0
1
cos cos
22 2
24
sin sin
22
n
nn
axxxdxdx
nn
xx xdx
nn
π π
ππ
ππ
=? =
=?
∫
()
2
2
22 22
0
0
22
84
cos cos
16
1.
n
nn
xx xd
nn
n
ππ
ππ
π
=?
=?
∫
()
()
2
20
2
2
0
0
1
1
sin sin
222
22
cos cos
22
4
1,
n
n
nn
b x x xdx x xdx
nn
xx xd
nn
n
π π
ππ
ππ
π
=? =
=? +
=?
∫∫
∫
故，相应的傅立叶级数为
()
2
22
1
4164
1cos sin.
322
n
n
nn
xx x x
nn
ππ
ππ
∞
=
+? +
∑
～
