习题课本章主要讨论各种形式的曲线积分和曲面积分，以及各类积分的计算方法及相互的关系。
一、第一类曲线积分
1.积分形式
(1)平面曲线积分
(,),
L
f x y ds
∫
(2)空间曲线积分
(,,),f x y zds
Γ
∫
2.积分方法
(1)平面曲线积分直角坐标下：设曲线
(1)
,( ),[,],( ) [,],L yyx xabyxCab=∈∈
则
2
(,) [,()]1,
b
x
La
f x y ds f x y x y dx
′
=+
∫∫
则
22
(,) [(),()],
tt
L
f x y ds f xt y tx y dt
β
α
′ ′
=+
∫∫
(1)
()
,[,](),()[,]
()
xxt
LtxtytC
yyt
α βαβ
=
∈∈
=
参数方程 设曲线极坐标 设曲线
(1)
,( ),[,],( ) [,],Lr r r Cθ θαβθ αβ=∈ ∈
则
22
(,) [()cos,()sin] () (),
L
f x y ds f rr rrd
β
α
θ θθ θ θ θ θ
′
=+
∫∫
(2)空间曲线积分设曲 线
(1)
()
,[,],( ),( ),( ) [,],()
()
xxt
txtytztCyyt
zzt
α βαβ
=
Γ∈ ∈=
=
则
222
(,,) [(),(),()],
ttt
f x y zds f xt y tzt x y zdt
β
αΓ
′ ′′
=++
∫∫
二、第一类曲面积分
1.积分形式，
(,,),fxyzds
Σ
∫∫
积分方法 设曲面 Σ，方程 z=z(x,y),投影区域为 D，则
22
(,,) [,,(,)]1,
xy
D
f x y zds f x y zxy zzdσ
Σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
三、第二类曲线积分
1.积分形式
(1)平面曲线 设有向曲线 L，函数 P(x,y),Q(x,y)，连续，
曲线积分为
(,) (,),
L
Pxydx Qxydy+
∫
(2)空间曲线 设有向曲线 Γ，函数 P(x,y,z),Q(x,y,z)，
R(x,y,z)连续，曲线积分为
(,,) (,,) (,,),Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Γ
++
∫
2.积分方法则
[]{}
(),() [ (),()],
tt
L
Pdx Qdy Pxt y tx Qxty t y dt
β
α
′ ′
+= +
∫∫
()
(1)
()
:,,(),(),
()
xxt
L txtytCI
yyt
αβ
=
→∈
=
(1)平面曲线
(2)空间曲线
(1)
()
:,,(),(),()(,()
()
xxt
txtytztCIyyt
zzt
αβ
=
Γ→∈=
=
则，
(,,) (,,) (,,)
{ [ (),(),()] [ (),(),()]
[ ( ),( ),( )] },
tt
t
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Pxtytztx Qxtytzty
Rxt yt zt z dt
β
α
Γ
++
′′
=+
′
+
∫
∫
四、第二类曲面积分
1.积分形式
.Pdydz Qdzdx Rdxdy
Σ
++
∫∫
2.积分方法 设 Σ,z=z(x,y)，投影区域为 D，则
{ }
() (),
xy
D
Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dσ
Σ
′′
++=±?+?+
∫∫ ∫∫
五、基本公式
1.格林公式设 D是平面上的有界闭区域，函数 P (x,y),Q (x,y)在 D
上有连续偏导，则
(,) (,),
D
D
QP
P x y dx Q x y dy d
xy
σ
+
+=?
∫∫∫null
曲线积分与路径无关条件：曲线积分
(,) (,)
L
QP
Pxydx Qxydy
xy
+?=
∫
与路径无关 。
此时，
()
( )
11 1 1
00 0 0
,
01
,
(,) (,) (,) (,),
xy x y
xy x y
Pxydx Qxydy Pxy dx Qx ydy+= +
∫∫∫
全微分求积表达式 为全微分?Q
x
=P
y
。此时
(,) (,)Pxydx Qxydy+
00
(,)
(,)
(.) (,) (,)
xy
xy
uxy Pxy dx Q x y dy=+
∫
满足
(,) (,),du P x y dx Q x y dy= +
2.高斯公式设?是空间的有界闭区域，函数 P,Q,R在?上有连续偏导，则
( )
.
xyz
Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dv
+
′ ′′
++=++
∫∫ ∫∫∫
3.斯托克斯公式设 Σ 为分片光滑曲面，函数 P,Q,R在 Σ上有连续偏导，
则
()
()
()
.
yz zx xy
Pdx Qdy Rdz
R Q dydz P R dzdx Q P dxdy
+
Σ
Σ
++
=? +? +?
∫
∫∫
null
空间曲线积分与路径的无关性设 G是一维单连通区域，函数 P,Q,R在 G内有连续偏导,Γ 为 G 内之曲线，则曲线积分
(,,) (,,) (,,),Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Γ
++
∫
与路径无关? 。其中 。
0rotF=
nullnullnullnull null
null
( )
,,FPQR=
null
例题选讲例 1 求。
22 22
,:,0
L
xyds Lxyaxy+ += ≥
∫
解 由极坐标下的曲线积分公式，
22 2 2
22
00
cos,
L
xyds rrrd a ad a
ππ
θθθ
′
+= + = =
∫∫ ∫
例 2 求
0
,,cos,sin,,0,zds x t t y t t z t t t
Γ
Γ ===≤
∫
解 由积分公式
() ()
00
222 2
3/2 3/2
22
0
2
11
2.
33
tt
ttt
zds t x y z dt t t dt
tt
Γ
′′′
=++=+
=+ = +?
∫∫ ∫
例 3 求
( )
2,:(sin),(1cos),:02.
L
aydxxdyLxat tya tt π? + =? =? →
∫
解 由积分公式
()
()()(){}
2
0
2
22 2
0
2
0
2
1cos 1cos sin sin
1cos sin sin
sin 2,
L
aydxxdy
atatattatdt
atttd
attdt a
π
π
π
π
+
=+?+?
=?+?
==?
∫
∫
∫
∫
例 4 求
( ) ( )
()
2
22
sin 2 1 cos 2,:,
xx
L
eyydxeydyLxaya?+ ++=
∫
取上半圆周，取逆时针。
解作 L
1
,y=0,x,0→2a，由此构成封闭曲线，
sin 2,cos 2,2,
xx
xy
Pe y yQe y Q P=?==
( ) ( )
1
sin 2 1 cos 2 2,
L
e yydx e y dy a?+ +? =
∫
∵
( ) ( )
()()
1
2
sin 2 cos 2
sin 2 cos 2 2
2 2,
xx
L
LL
D
eyydxeydy
eyydxeydya
daaσπ
+
∴?+?
=?+?
==?
∫
∫
∫∫
null
例 5 求摆线的重心 (ρ=c)，摆线方程
(sin)
,0,
(1 cos )
xat t
t
ya t
π
=?
≤≤
=?
解 曲线质量
()
2
0
0
21cos
2sin 4.
2
L
M ds a t dt
t
ada
π
π
ρρ==?
==
∫∫
∫
对 y轴和对 x轴的静矩分别为
()
2
0
2
0
2
0
2
(1 cos ) 2 1 cos
2sinsincos
22
131
24 sinsin
222
16
.
3
x
L
Myds a t a t dt
tt
atd
a t tdtdt
a
π
π
π
ρρ
ρ
ρ
ρ
==
=?
=? +
=
∫∫
∫
∫
()
2
0
2
0
(sin)2 1cos
2 sin sin sin
22
y
L
M xds a t t a t dt
tt
at t dt
π
π
ρρ
ρ
==
=?
∫∫
∫
2
00
2
00
0
2
0
0
2
2 sin sin sin
2
131
2 2 cos 2 cos cos cos
22222
12 3
2 4sin sin 2sin
2232 2
16
.
3
t
attd tdt
tt
a t dt t t dt
tt
at
a
ππ
π
ππ
π
π
ρ
ρ
ρ
ρ
=?
=? + +?
=+?
=
∫∫
∫∫
4
,
3
xy a∴ ==
即，重心坐标 。
44
,
33
aa
例 6 求 正向圆周。
22
22
,,1
4
L
xdy ydx
Lx y
xy
+ =
+
∫null
则
()()
()
22 2 2 2
22
22 22
22 2 2 2
222
22
48 4
44
42 4
,
4
4
x
yx
xy x y x
Q
xy xy
xy y y x
P Q
xy
xy
+
==
++
+?
===
+
+
解令
22 22
,,
44
yx
PQ
x y x y
==
++
作圆周 取顺时针方向，则
22
1
:4 1Lxy+ =
()
1
22
0.
4
xy
LL
D
xdy ydx
QPd
xy
σ
+
=?=
+
∫∫∫null
11
1
22 22
2
44
1
22,
2
LL L
D
xdy ydx xdy ydx
xdyydx d
xy xy
S
σ
ππ
==?=
++
== =
∫∫∫ ∫nullnullnull
例 7 求,其中 L为任一不过原点的曲线，
取逆时针。
22
323
L
ydx xdy
x xy y
+
∫null
解令 则
2222
,,
323 323
yx
PQ
xxyy xxyy
==
+?+
( )
()()
()
()()
22
22
22
22 22
22
22
22
22 22
323 26
33
,
323 323
323 62
33
,
323 323
y
x
xxyyyxy
xy
P
x xyy x xyy
xxyyxxy
xy
Q
xxyy xxyy
++
+?+
+
=? =
+?+
即,Q
x
=P
y
。
故，若曲线不包含原点时，则由格林公式，积分为零；
若曲线包含原点时，作曲线,并使得 L+L
1
构成所包围区域的正向边界。再一次使用格林公式，得
22
1
:3 2 3 1Lx xyy? +=
1
22
0.
323
LL
ydx xdy
xxyy
+
=
+
∫null
不妨设 L在 L
1
的内部，则
1
2222
.
323 323
LL
ydx xdy ydx xdy
xxyy xxyy
=
+?+
∫∫nullnull
又因
11
22
2,
323
LL
ydx xdy
ydx xdy S
xxyy
=?=?
+
∫∫nullnull
其中 S为椭圆 的面积，为求 a,b,
22
1
:3 2 3 1Lx xyy? +=
令则
( )
22 2 2
(,) 3 2 3 1,Fxy x y x xy yλ= ++? +?
( )
()
22
2620
2620.
3231
x
y
Fx xy
Fy yx
xxyy
λ
λ
= +?=?
= +?=
+=
12 1 2
11 21
,,,,,
22
22
yxx x d d?=±?= =?= =
22
2
2.
323 2
L
ydx xdy
ab
xxyy
π π
∴ =? =?
+
∫null
例 8 设 L是从点 (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)的直线段，证明
11
22
.
L
x y
xdy ydx
x y
=
∫
证 L的方程
()
21
12112
21
,,.
yy
yy x x xxx
xx
=
则
()
()
() ()
2
1
21 21
11
21 21
2
22
21 21
21 121 21
21 21
11
22
x
Lx
yy yy
xdyydx x y xxdx
xx xx
yy yy
xx y xx xx
xx xx
=
=
∫∫
()()()()()
()()
2121 121 2121
12 1 12 1 12 21
11
22
.
yyxx yxx yyxx
xy y yx x xy xy
=? +
==?
即
11
22
.
L
x y
xdy ydx
x y
=
∫
g
由此得到，对一多边形区域的正向边界，顶点依次为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),…,(x
n
,y
n
)，则相应的面积为
2211
3322 11
1
.
2
nn
xyxy xy
S
xyxy xy
=++
null
事实上，若区域的边界由线段 L
1
,L
2
,…,L
n
组成，则
1
2211
3322 11
11
22
1
.
2
i
n
LL
i
nn
S xdy ydx xdy ydx
xyxy xy
xyxy xy
=
=?=Σ?
=++
∫∫
null
nullnull
例 9 已知在右半平面存在函数 u(x,y),使得
22
()()
,
()
x y dx x y dy
du
xy
λ
++
=
+
试求常数 λ及函数 u(x,y)。
22 22
,,
()()
xy xy
PQ
xy xy
λ λ
+
==
++
解令
()
22 221
222
22 221
222
()2()()
,
()
()2 ()
,
()
x
y
xy xxyxy
Q
xy
xy yxyxy
P
xy
λλ
λ
λ
λ
λ
+? + +
=
+
+ +
=
+
( )
( )
22
,2 2( )2,
xy
QP xy xxy yxyλλ=? += +
1.λ?=
令
(,)
22
(1,0)
()()
(,)
()
xy
xydx xydy
uxy
xy
++
=
+
∫
()
()
22
10
22
22
1
(,)
1
ln arctan ln ln
2
1
arctan ln,
2
xy
xy
uxy dx dy
xxy
y
xxy x
x
y
xy
x
+
=+
+
=+ + +?
=++
∫∫
则
n
null
例 10 设 u=x
2
-xy+y
2
,L,y=x
2
,x,0→1,为 L的切向量顺时针旋转 π/2所得到的法量，求 。
L
u
ds
n
∫
解 y=x
2
在任意点处的切向量为 (1,2x),
()
22
11
(1,2 ),2,1,
14 14
s
exnx
xx
==?
++
nullnull
y=x
2
s
null
n
null
x
y
o
()( )
22
1
22
0
21
14 14
2
22 2,
3
xy
LL
ux
ds u u ds
n
xx
xx x x x dx
=?
++
=+ =
∫∫
∫
例 11 设 为闭曲线 L的外法向量,D为 C 围成的闭区域，函数 u(x,y)在 D上有连续二阶偏导，则
n
null
22
22
.
L
D
uuu
ds dxdy
nxy
=+
∫∫∫null
证 设曲线 L上点 (x,y)处的切向量的方向余弦为
(cos,cos )α β
x
y
o
s
null
n
null
则，法向量的方向余弦为
(cos,-cos )β α
()
22
22
cos cos
.
xy
LL
yx
D
u
ds u u ds
n
uu
u dx u dy dxdy
xy
βα
=?
=? + = +
∫∫
∫∫∫
nullnull
L
u
ds
n
∫
例 12 如果函数 u(x,y)在区域 G内有二阶连续偏导，且满足,称 u(x,y)是 G内的调和函数。设 u(x,y)
在单连通区域 G内是调和函数，有向曲线弧 L?G，为
L的切向量顺时针旋转 π/2所得到的法向量，
(1)证明曲线积分 在 G内与路径无关。
(2)记
22
22
0
uu
xy
+=
n
null
00
(,)
(,)
(,)
xy
xy
u
vxy ds
n
=
∫
证明,v(x,y)也是 G内的调和函数。
证 1.由条件所设,L为在 G内从 A到 B的任一条曲线,L
1
为从 B到 A的曲线，由于 G是单连通区域，再设 L+ L
1
所包含的区域为 D，则
11
11 1
11
22
22
.
LLLL
LL L L
D
LL
uuuu
ds ds ds ds
nnnn
uu uu u
ds ds dxdy ds
nn xy n
uu
ds ds
nn
+
=+?
=?=+?
=? =
∫∫∫∫
∫∫∫ ∫
∫∫
所以曲线积分与路径无关。
00
(,)
(,)
(,)
xy
xy
u
vxy ds
n
=
∫
2.记切向量与法向量分别为
( ) ( )
cos,cos,cos,cosα ββα?
故
00 00
(,) (,)
(,) (,)
(,)
xy xy
yx
xy xy
u
vxy ds u dx u dy
n
==?+
∫∫
(,)(,)
x
y
x
vx xy vxy udx
+ =?
∫
,,,.
xyyxxyxyxy
v uvu v uvu?=? =?=? =
∴
0.
xx yy xy xy
vv uu+ =? + =
例 13 求。
22 2
222
1
,:,0ds x y R z H
xyz
Σ
Σ += ≤≤
++
∫∫
解设 Σ
1
为曲面的前半部分，由对称性，得
1
222 222
11
2.ds ds
xyz xyz
ΣΣ
=
++ ++
∫∫ ∫∫
将曲面投影到 yoz平面上，投影区域为
(){}
,,0,D y zRy RzH=?≤≤≤≤
x
y
z
o
R
H
则
1
222 222
11
2ds ds
xyz xyz
ΣΣ
=
++ ++
∫∫ ∫∫
22
22
22
220
22
22 0
0
1
2
11
2
11
2
2 arcsin arctan 2 arctan,
D
RH
R
RH
R
RH
R
R
dydz
Rz
Ry
Rdy dz
Rz
Ry
dy dz
Rz
Ry
y zH
RR R
π
=
+
=
+
=
+
==
∫∫
∫∫
∫∫
例 14 求均匀半球面 (ρ=1)的重心和转动惯量 I
x
和 I
z
。
222
z Rxy=
解 由对称性 。曲面面积为
0xy?==
()
222 220
1/ 2
22 2
0
2
22.
R
D
R
Rr
Sds d R dr
Rxy Rr
RR r R
σπ
ππ
Σ
== =
= =
∫∫ ∫∫ ∫
静矩
222
222
3
,
xy
D
D
R
M zds R x y d
Rxy
Rd R
σ
σπ
Σ
==
==
∫∫ ∫∫
∫∫
由此得到：重心坐标 。
0,0,
2
R
转动惯量
( )
22 2 2
12
.
x
Iyzds y ds z ds I I
ΣΣΣ
=+= + =+
∫∫ ∫∫ ∫∫
()
()
222
1
22
222
3434
2
2200
1
2
1
2
12
sin,
3
D
R
I y ds y x ds
R
yx d
Rxy
R dR td R
R
π
σ
πρ ρπ π
ρ
ΣΣ
==+
=+
===
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
()
()
2222
2
222
222 2 2
0
3
22 4
2
0
2
22
.
33
D
R
D
R
R
I zds R y xd
Rxy
R Rxy dRRd
RR R
σ
σ πρ ρρ
πρ π
Σ
==
==?
= =
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
4
12
4
,
3
x
I II Rπ∴ =+=
由前面的计算，得
()
22 4
4
.
3
z
I xyd Rσπ
Σ
=+ =
∫∫
例 15 求,
( ) ( ) ( )
222
y z dydz z x dzdx x y dxdy
Σ
+?+?
∫∫
()
22
,0z xy zh= +≤≤
Σ为锥面,取外侧。
解 为使用 Gauss公式，增加平面 Σ
1
，取上侧，
( )
222
1
,.z hx y hΣ= +≤
() ( )
() ()
1
1
22
22
y z dydz z x dzdx
x y dxdy x y dxdy
Σ
Σ
+?
+? =?
∫∫
∫∫
z
x
y
z=h
22
z xy=+
( )
22
32 4
2
00
1
4cos,
4
DD
h
x y dxdy xdxdy
dd
π
θ ρθρπρ
=? =
==
∫∫ ∫∫
∫∫
( ) ( ) ( )
() () ()
() () ()
()
1
1
222
222
222
44
11
.
44
xyz
y zdydz z x dzdx x y dxdy
y zdydz z x dzdx x y dxdy
y zdydz z x dzdx x y dxdy
PQ Rdv h hππ
Σ
Σ+Σ
Σ
+?+?
=?+?+?
+? +?
=++?=?
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
∵
例 16
( )
222
,,1,0,0xyzdxdy x y z x y
Σ
Σ++= ≥≥
∫∫
，
取外侧。
12
22 22
22
11
21
DD
D
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
xy x y dxdy xy x y dxdy
xy x y dxdy
ΣΣΣ
=+
=+
=
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
解 1
()
1
32
2
00
1
32 32
2
00
35
2
0
2cosin1
1sincos
242 2
sin sin,
35315
dd
dttd
ttdt
π
π
π
θ ρθθρρ
ρρρ
=?
=?=
=?=?=
∫∫
∫∫
∫
解 2 添加平面 Σ
1
,x=0，及 Σ
2
,y=0。注意到
0,
i
xyzdxdy
Σ
=
∫∫
12
1
22
2
000
1
34
2
000
sin cos sin sin sin
2 sin cos sin
121 2
2
235 15
xyzdxdy xyzdxdy xydv
ddr r dr
ddrd
π
π
π
π
θθ?θ?θ
θθ
ΣΣ+Σ?
∴ ==
=
=
==
∫∫ ∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
例 17 Σ为平面 x+y+z=1,xydydz yzdzdx zxdxdy
Σ
++
∫∫
被三坐标平面截下部分，取上侧。
解 为使用 Gauss公式，添加三坐标平面，设 Σ
1
为 z=0上在第一象限的三角形区域，则
x
y
z
o
x+y+z=
1
1
0,xydydz yzdzdx zxdxdy
Σ
+ +=
∫∫
同理，在其它几个平面块上的积分也为零。
()
() ()
123
1
0
11
2
2
00
33
331
.
228
z
D
xydydz yzdzdx zxdxdy
xydydz yzdzdx zxdxdy
y zxdv zdv zdzd
z z dz z z dz
σ
Σ
Σ+Σ +Σ +Σ
∴ ++
=++
=++= =
=?=?=
∫∫
∫∫
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫
∫∫
例 18,其中 Σ为下半球面
22
xyzdydz z x y dxdy
Σ
++
∫∫
222
zaxy=
，取上侧。
解 作平面 Σ
1
,z=0,取下侧，且( )
222
xya+≤
1
22
0,xyzdydz z x y dxdy
Σ
+ +=
∫∫
1
22
22
xyzdydz z x y dxdy
xyzdydz z x y dxdy
Σ
Σ+Σ
++
=++
∫∫
∫∫
∴
( )
22
22
12
.
yz x y dv
yzdv x y dv I I
=? + +
= + =
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
1
0Iyzdv
==
∫∫∫
1
22 22
2
1
32 24
22
000
4
1
4sin,
16
I xydv xydv
ddr dr a
ππ
θ θ π
=+= +
==
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
22 24
1
.
16
xyzdydz z x y dxdy aπ
Σ
++ =?
∫∫
例 19 求向量 流过曲面 z
2
=x
2
+y
2
1,,
z
e
Az
z
=
null
( )
12z≤ ≤
流向下侧的流量。
解设 Σ为给定曲面,Σ
1
和 Σ
2
分别为平面 z=1,z=2被曲面截下部分,Σ
1
取下侧,Σ
2
取上侧，
1
,
z
D
e
dydz zdzdx dxdy
z
ed eσπ
Σ
++
=? =?
∫∫
∫∫
x
y
z
o
z=z
0
Σ
1
Σ
2
2
2
2
2,
2
z
D
ee
dydz zdzdx dxdy d e
z
σ π
Σ
++ = =
∫∫ ∫∫
所求流量为
12 1
2
2
2
2.
z
zz
zzz
e
dydz zdzdx dxdy
z
ee
dydz zdzdx dxdy dydz zdzdx dxdy
eze
dydz zdzdx dxdy dv e eππ
Σ
Σ+Σ +Σ Σ
Σ?
Φ= + +
=++?++
++=?+
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫∫
()( )
2
22
1
2
2
1
1
2.
z
zz zz
D
zz z z
ze e ze e
dv dz d
zeedz ze e e
σ
π ππ
=
=?=?=
∫∫∫ ∫ ∫∫
∫
故，流量为
()
22
.eee eeππππΦ=? + =?
例 20 求,其中 Σ为不经过原点的任意
null
( )
2
1
cos,rnds
r
Σ
∫∫
null null
null
闭曲面,为 Σ外侧的单位法向量。n
null
null
()
()
23
11
cos,cos cos cosrnds x y zds
rr
αβγ
ΣΣ
=++
∫∫ ∫∫
null null
nullnull
设，则
333
,,
x y z
PQR
rrr
===
32 222
64
,
x
rxry zx
P
rr
+?
==
0
xyz
PQR?++=
3
1
.xdydz ydzdx zdxdy
r
Σ
=++
∫∫null
解 设法向量为,则(cos,cos,cos )n α βγ=
null
故，当曲面不包含原点时，由 Gauss公式，得
null
( )
()
()
23
11
cos,
0.
xyz
rnds xdydz ydzdx zdxdy
rr
PQ Rdv
ΣΣ
=++
=++=
∫∫ ∫∫
∫∫∫
null null
nullnull
若曲面包含原点，则作曲面 Σ
1
,x
2
+y
2
+z
2
=r
2
，取外侧，而
()
()
1
3
1
0.
xyz
xdydz ydzdx zdxdy
r
PQ Rdv
Σ+Σ
++
=++=
∫∫
∫∫∫
null
()
()
1
1
1
3
3
3
33
1
1
1
13
4.
xdydz ydzdx zdxdy
r
xdydz ydzdx zdxdy
r
xdydz ydzdx zdxdy
r
xdydz ydzdx zdxdy dv
rr
π
Σ
Σ+Σ
Σ
Σ+Σ
++
=++
+++
=++==
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫∫
null
null
null
null
故，
例 21 求,其中 Σ为椭圆抛
()
3
222
xdydz ydzdx zdxdy
xyz
Σ
+ +
++
∫∫
物面 的上侧。()
22
22
1,0
xy
zz
ab
= ≥
解 由上题，令
()()()
333
222 222 222
,,
xyz
PQR
xyz xyz xyz
===
++ ++ ++
则。0
xyz
PQ R++=
令 Σ
1
为上半球面：,Σ
2
为 z=0平面上介于 Σ和 Σ
1
中间的部分,Σ
3
为 z=0,部分,均取下侧。 (区域图形如图所示,)
( )
2222
0xyzrz+ += ≥
222
x y r+ ≤
()
2
3
222
0.
xdydz ydzdx zdxdy
xyz
Σ
+ +
=
++
∫∫
()
x
y
z
o
222
1
,xyrΣ +=
3
Σ
22
2
:1
x y
z
ab
Σ=
3
3
222
0.
xdydz ydzdx zdxdy
xyz
Σ
+ +
=
++
∫∫
2
Σ
()
()
12
3
222
0.
xyz
xdydz ydzdx zdxdy
PQ Rdv
xyz
Σ+Σ +Σ?
+ +
= ++ =
++
∫∫ ∫∫∫
而
() ()
()
12
1
33
222 222
3
222
xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy
xyz xyz
xdydz ydzdx zdxdy
xyz
ΣΣ+Σ
Σ
++ ++
=
++ ++
++
+
++
∫∫ ∫∫
∫∫
()
()
1
3
222
xyz
xdydz ydzdx zdxdy
PQ Rdv
xyz
Σ
+ +
=+++
++
∫∫∫ ∫∫
3
11
33
3
3
2.
xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy
rr
dv
r
π
ΣΣ+Σ
=++= ++
==
∫∫ ∫∫
∫∫∫
例 22 求力 沿闭曲线 Γ 作的功，其中 Γ
为平面 x+y+z=1被三坐标平面所截成的三角形的整个边界，从 z 轴正向看，取逆时针方向。
F yi zj xk= ++
nullnull
null null
解 由条件，得力所作的功为
.W ydx zdy zdx
Γ
=++
∫null
取平面 Σ为平面被三坐标平面所截成的三角形，取上侧，则
3
3
33,
2
W ydx zdy zdx dydz dzdx dxdy
dxdy dxdy
Γ
Σ
Σ
=++=
=? =? =?
∫∫∫
∫∫ ∫∫
null
例 23 验证曲线积分 与路径无关，并当 A(1,-1,1),B(3,2,-1)时，求积分值。
null
23
AB
xdx y dy zdz+?
∫
解 记,则,故曲线积分与路径无关。线段
( )
23
,,A x y z=?
null
0rotA =
nullnullnullnullnull null
12
13,0 1.
12
xt
AB y t t
zt
=+
= =? + →
=?
nullnullnullnull
故
null
()( )()
23
1
23
0
1 2 1 3 3 1 2 ( 2) 7.
AB
xdx y dy z dz
tt tdt
+?
=++?+=
∫
∫
例 24 设有向闭曲线 Γ在平面 π上,π,ax+by+cz=p,其中 a
2
+b
2
+c
2
=1,Γ 在平面上围成的面积为 σ,Γ的正向与平面的法向符合右手法则，求 。
nrdr
Γ
×
∫
null nullnull
null
解
(,,),(,,),nabcrxy z==
nullnull
()
,,,
iik
nr abc bzcycxazaybx
xyz
×= =
null
null null
nullnull
( ) ( )
2,,2,rot n r abc n×= =
nullnullnullnull
null nullnull
( )
222.n rdr rot n r ds nds n nds
πππ
σ
Γ
×= × = =?=
∫∫∫ ∫∫
nullnullnullnull
nullnullnull nullnullnull nullnull nullnull
null
例 25 设 为常向量，,Γ为有向曲面 Σ的正向边界，证明：
a
null
(,,)rxyz=
null
2.a r ds a ndsτ
ΓΣ
×? =?
∫∫∫
null nullnull nullnull
null
其中 为 Γ的单位切向量,为 Σ的单位法向量。
τ
null
n
null
证由 Stokes公式
()
.a r ds rot a r ndsτ
ΓΣ
×? = ×?
∫∫∫
nullnullnullnull
null nullnull nullnull null
null
设，则
(,,)nabc=
null
( )
,,,a r bz cy cx az ay bx×=
null null
( ) ( )
2,,2,rot a r abc a×= =
nullnullnullnull
null nullnull
故
2.a r ds a ndsτ
ΓΣ
×? =?
∫∫∫
null nullnull nullnull
null
练习
1.求,其中 L是从点 A(2,-1)
经点 B(2,2) C(0,2)的折线。
()( )
22
L
xxy dx y xy dy?+?
∫
2.求,其中 Γ是球面 x
2
+y
2
+z
2
=a
2
与平面
z=a/2的交线，从 z轴的正向看，取逆时针方向。
ydx zdy xdz
Γ
++
∫
3.求,其中 Γ为圆柱面 x
2
+y
2
=1及平面 z=x+2,z=0所围成的区域的整个边界。
xds
Σ
∫∫null
4.求,其中 Σ是锥面
22
z
e
xdydz zdzdx dxdy
xy
Σ
++
+
∫∫
22
z x y=+
被平面 z=1和 z=2截下部分的下侧。
5.求,其中为连 A(π,2)与点 B(3π,4)，且在线段 之下方的任意曲线，又知曲线与线段围成的面积为 2。
[ ] [ ]
null
()cos ()sin
AmB
I gy x y dx gy xdyππ
′
=?+?
∫
null
AmB
AB
6.求，
2
284()
2
x
x dydz yzdzdx x x z dxdy
Σ
++?
∫∫
其中 Σ是抛物面 z=x
2
+y
2
介于 z=2和 z=4两平面间的部分取上侧。
7.在力 的作用下，一质点从原点沿直线移动到第一卦限椭球面 上的哪一点时，力所作的功最大，最大功是多少？
( )
,,Fyzzxxy=
null
222
222
1
xyz
abc
+ +=
一、第一类曲线积分
1.积分形式
(1)平面曲线积分
(,),
L
f x y ds
∫
(2)空间曲线积分
(,,),f x y zds
Γ
∫
2.积分方法
(1)平面曲线积分直角坐标下：设曲线
(1)
,( ),[,],( ) [,],L yyx xabyxCab=∈∈
则
2
(,) [,()]1,
b
x
La
f x y ds f x y x y dx
′
=+
∫∫
则
22
(,) [(),()],
tt
L
f x y ds f xt y tx y dt
β
α
′ ′
=+
∫∫
(1)
()
,[,](),()[,]
()
xxt
LtxtytC
yyt
α βαβ
=
∈∈
=
参数方程 设曲线极坐标 设曲线
(1)
,( ),[,],( ) [,],Lr r r Cθ θαβθ αβ=∈ ∈
则
22
(,) [()cos,()sin] () (),
L
f x y ds f rr rrd
β
α
θ θθ θ θ θ θ
′
=+
∫∫
(2)空间曲线积分设曲 线
(1)
()
,[,],( ),( ),( ) [,],()
()
xxt
txtytztCyyt
zzt
α βαβ
=
Γ∈ ∈=
=
则
222
(,,) [(),(),()],
ttt
f x y zds f xt y tzt x y zdt
β
αΓ
′ ′′
=++
∫∫
二、第一类曲面积分
1.积分形式，
(,,),fxyzds
Σ
∫∫
积分方法 设曲面 Σ，方程 z=z(x,y),投影区域为 D，则
22
(,,) [,,(,)]1,
xy
D
f x y zds f x y zxy zzdσ
Σ
′′
=++
∫∫ ∫∫
三、第二类曲线积分
1.积分形式
(1)平面曲线 设有向曲线 L，函数 P(x,y),Q(x,y)，连续，
曲线积分为
(,) (,),
L
Pxydx Qxydy+
∫
(2)空间曲线 设有向曲线 Γ，函数 P(x,y,z),Q(x,y,z)，
R(x,y,z)连续，曲线积分为
(,,) (,,) (,,),Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Γ
++
∫
2.积分方法则
[]{}
(),() [ (),()],
tt
L
Pdx Qdy Pxt y tx Qxty t y dt
β
α
′ ′
+= +
∫∫
()
(1)
()
:,,(),(),
()
xxt
L txtytCI
yyt
αβ
=
→∈
=
(1)平面曲线
(2)空间曲线
(1)
()
:,,(),(),()(,()
()
xxt
txtytztCIyyt
zzt
αβ
=
Γ→∈=
=
则，
(,,) (,,) (,,)
{ [ (),(),()] [ (),(),()]
[ ( ),( ),( )] },
tt
t
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Pxtytztx Qxtytzty
Rxt yt zt z dt
β
α
Γ
++
′′
=+
′
+
∫
∫
四、第二类曲面积分
1.积分形式
.Pdydz Qdzdx Rdxdy
Σ
++
∫∫
2.积分方法 设 Σ,z=z(x,y)，投影区域为 D，则
{ }
() (),
xy
D
Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dσ
Σ
′′
++=±?+?+
∫∫ ∫∫
五、基本公式
1.格林公式设 D是平面上的有界闭区域，函数 P (x,y),Q (x,y)在 D
上有连续偏导，则
(,) (,),
D
D
QP
P x y dx Q x y dy d
xy
σ
+
+=?
∫∫∫null
曲线积分与路径无关条件：曲线积分
(,) (,)
L
QP
Pxydx Qxydy
xy
+?=
∫
与路径无关 。
此时，
()
( )
11 1 1
00 0 0
,
01
,
(,) (,) (,) (,),
xy x y
xy x y
Pxydx Qxydy Pxy dx Qx ydy+= +
∫∫∫
全微分求积表达式 为全微分?Q
x
=P
y
。此时
(,) (,)Pxydx Qxydy+
00
(,)
(,)
(.) (,) (,)
xy
xy
uxy Pxy dx Q x y dy=+
∫
满足
(,) (,),du P x y dx Q x y dy= +
2.高斯公式设?是空间的有界闭区域，函数 P,Q,R在?上有连续偏导，则
( )
.
xyz
Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dv
+
′ ′′
++=++
∫∫ ∫∫∫
3.斯托克斯公式设 Σ 为分片光滑曲面，函数 P,Q,R在 Σ上有连续偏导，
则
()
()
()
.
yz zx xy
Pdx Qdy Rdz
R Q dydz P R dzdx Q P dxdy
+
Σ
Σ
++
=? +? +?
∫
∫∫
null
空间曲线积分与路径的无关性设 G是一维单连通区域，函数 P,Q,R在 G内有连续偏导,Γ 为 G 内之曲线，则曲线积分
(,,) (,,) (,,),Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Γ
++
∫
与路径无关? 。其中 。
0rotF=
nullnullnullnull null
null
( )
,,FPQR=
null
例题选讲例 1 求。
22 22
,:,0
L
xyds Lxyaxy+ += ≥
∫
解 由极坐标下的曲线积分公式，
22 2 2
22
00
cos,
L
xyds rrrd a ad a
ππ
θθθ
′
+= + = =
∫∫ ∫
例 2 求
0
,,cos,sin,,0,zds x t t y t t z t t t
Γ
Γ ===≤
∫
解 由积分公式
() ()
00
222 2
3/2 3/2
22
0
2
11
2.
33
tt
ttt
zds t x y z dt t t dt
tt
Γ
′′′
=++=+
=+ = +?
∫∫ ∫
例 3 求
( )
2,:(sin),(1cos),:02.
L
aydxxdyLxat tya tt π? + =? =? →
∫
解 由积分公式
()
()()(){}
2
0
2
22 2
0
2
0
2
1cos 1cos sin sin
1cos sin sin
sin 2,
L
aydxxdy
atatattatdt
atttd
attdt a
π
π
π
π
+
=+?+?
=?+?
==?
∫
∫
∫
∫
例 4 求
( ) ( )
()
2
22
sin 2 1 cos 2,:,
xx
L
eyydxeydyLxaya?+ ++=
∫
取上半圆周，取逆时针。
解作 L
1
,y=0,x,0→2a，由此构成封闭曲线，
sin 2,cos 2,2,
xx
xy
Pe y yQe y Q P=?==
( ) ( )
1
sin 2 1 cos 2 2,
L
e yydx e y dy a?+ +? =
∫
∵
( ) ( )
()()
1
2
sin 2 cos 2
sin 2 cos 2 2
2 2,
xx
L
LL
D
eyydxeydy
eyydxeydya
daaσπ
+
∴?+?
=?+?
==?
∫
∫
∫∫
null
例 5 求摆线的重心 (ρ=c)，摆线方程
(sin)
,0,
(1 cos )
xat t
t
ya t
π
=?
≤≤
=?
解 曲线质量
()
2
0
0
21cos
2sin 4.
2
L
M ds a t dt
t
ada
π
π
ρρ==?
==
∫∫
∫
对 y轴和对 x轴的静矩分别为
()
2
0
2
0
2
0
2
(1 cos ) 2 1 cos
2sinsincos
22
131
24 sinsin
222
16
.
3
x
L
Myds a t a t dt
tt
atd
a t tdtdt
a
π
π
π
ρρ
ρ
ρ
ρ
==
=?
=? +
=
∫∫
∫
∫
()
2
0
2
0
(sin)2 1cos
2 sin sin sin
22
y
L
M xds a t t a t dt
tt
at t dt
π
π
ρρ
ρ
==
=?
∫∫
∫
2
00
2
00
0
2
0
0
2
2 sin sin sin
2
131
2 2 cos 2 cos cos cos
22222
12 3
2 4sin sin 2sin
2232 2
16
.
3
t
attd tdt
tt
a t dt t t dt
tt
at
a
ππ
π
ππ
π
π
ρ
ρ
ρ
ρ
=?
=? + +?
=+?
=
∫∫
∫∫
4
,
3
xy a∴ ==
即，重心坐标 。
44
,
33
aa
例 6 求 正向圆周。
22
22
,,1
4
L
xdy ydx
Lx y
xy
+ =
+
∫null
则
()()
()
22 2 2 2
22
22 22
22 2 2 2
222
22
48 4
44
42 4
,
4
4
x
yx
xy x y x
Q
xy xy
xy y y x
P Q
xy
xy
+
==
++
+?
===
+
+
解令
22 22
,,
44
yx
PQ
x y x y
==
++
作圆周 取顺时针方向，则
22
1
:4 1Lxy+ =
()
1
22
0.
4
xy
LL
D
xdy ydx
QPd
xy
σ
+
=?=
+
∫∫∫null
11
1
22 22
2
44
1
22,
2
LL L
D
xdy ydx xdy ydx
xdyydx d
xy xy
S
σ
ππ
==?=
++
== =
∫∫∫ ∫nullnullnull
例 7 求,其中 L为任一不过原点的曲线，
取逆时针。
22
323
L
ydx xdy
x xy y
+
∫null
解令 则
2222
,,
323 323
yx
PQ
xxyy xxyy
==
+?+
( )
()()
()
()()
22
22
22
22 22
22
22
22
22 22
323 26
33
,
323 323
323 62
33
,
323 323
y
x
xxyyyxy
xy
P
x xyy x xyy
xxyyxxy
xy
Q
xxyy xxyy
++
+?+
+
=? =
+?+
即,Q
x
=P
y
。
故，若曲线不包含原点时，则由格林公式，积分为零；
若曲线包含原点时，作曲线,并使得 L+L
1
构成所包围区域的正向边界。再一次使用格林公式，得
22
1
:3 2 3 1Lx xyy? +=
1
22
0.
323
LL
ydx xdy
xxyy
+
=
+
∫null
不妨设 L在 L
1
的内部，则
1
2222
.
323 323
LL
ydx xdy ydx xdy
xxyy xxyy
=
+?+
∫∫nullnull
又因
11
22
2,
323
LL
ydx xdy
ydx xdy S
xxyy
=?=?
+
∫∫nullnull
其中 S为椭圆 的面积，为求 a,b,
22
1
:3 2 3 1Lx xyy? +=
令则
( )
22 2 2
(,) 3 2 3 1,Fxy x y x xy yλ= ++? +?
( )
()
22
2620
2620.
3231
x
y
Fx xy
Fy yx
xxyy
λ
λ
= +?=?
= +?=
+=
12 1 2
11 21
,,,,,
22
22
yxx x d d?=±?= =?= =
22
2
2.
323 2
L
ydx xdy
ab
xxyy
π π
∴ =? =?
+
∫null
例 8 设 L是从点 (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)的直线段，证明
11
22
.
L
x y
xdy ydx
x y
=
∫
证 L的方程
()
21
12112
21
,,.
yy
yy x x xxx
xx
=
则
()
()
() ()
2
1
21 21
11
21 21
2
22
21 21
21 121 21
21 21
11
22
x
Lx
yy yy
xdyydx x y xxdx
xx xx
yy yy
xx y xx xx
xx xx
=
=
∫∫
()()()()()
()()
2121 121 2121
12 1 12 1 12 21
11
22
.
yyxx yxx yyxx
xy y yx x xy xy
=? +
==?
即
11
22
.
L
x y
xdy ydx
x y
=
∫
g
由此得到，对一多边形区域的正向边界，顶点依次为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),…,(x
n
,y
n
)，则相应的面积为
2211
3322 11
1
.
2
nn
xyxy xy
S
xyxy xy
=++
null
事实上，若区域的边界由线段 L
1
,L
2
,…,L
n
组成，则
1
2211
3322 11
11
22
1
.
2
i
n
LL
i
nn
S xdy ydx xdy ydx
xyxy xy
xyxy xy
=
=?=Σ?
=++
∫∫
null
nullnull
例 9 已知在右半平面存在函数 u(x,y),使得
22
()()
,
()
x y dx x y dy
du
xy
λ
++
=
+
试求常数 λ及函数 u(x,y)。
22 22
,,
()()
xy xy
PQ
xy xy
λ λ
+
==
++
解令
()
22 221
222
22 221
222
()2()()
,
()
()2 ()
,
()
x
y
xy xxyxy
Q
xy
xy yxyxy
P
xy
λλ
λ
λ
λ
λ
+? + +
=
+
+ +
=
+
( )
( )
22
,2 2( )2,
xy
QP xy xxy yxyλλ=? += +
1.λ?=
令
(,)
22
(1,0)
()()
(,)
()
xy
xydx xydy
uxy
xy
++
=
+
∫
()
()
22
10
22
22
1
(,)
1
ln arctan ln ln
2
1
arctan ln,
2
xy
xy
uxy dx dy
xxy
y
xxy x
x
y
xy
x
+
=+
+
=+ + +?
=++
∫∫
则
n
null
例 10 设 u=x
2
-xy+y
2
,L,y=x
2
,x,0→1,为 L的切向量顺时针旋转 π/2所得到的法量，求 。
L
u
ds
n
∫
解 y=x
2
在任意点处的切向量为 (1,2x),
()
22
11
(1,2 ),2,1,
14 14
s
exnx
xx
==?
++
nullnull
y=x
2
s
null
n
null
x
y
o
()( )
22
1
22
0
21
14 14
2
22 2,
3
xy
LL
ux
ds u u ds
n
xx
xx x x x dx
=?
++
=+ =
∫∫
∫
例 11 设 为闭曲线 L的外法向量,D为 C 围成的闭区域，函数 u(x,y)在 D上有连续二阶偏导，则
n
null
22
22
.
L
D
uuu
ds dxdy
nxy
=+
∫∫∫null
证 设曲线 L上点 (x,y)处的切向量的方向余弦为
(cos,cos )α β
x
y
o
s
null
n
null
则，法向量的方向余弦为
(cos,-cos )β α
()
22
22
cos cos
.
xy
LL
yx
D
u
ds u u ds
n
uu
u dx u dy dxdy
xy
βα
=?
=? + = +
∫∫
∫∫∫
nullnull
L
u
ds
n
∫
例 12 如果函数 u(x,y)在区域 G内有二阶连续偏导，且满足,称 u(x,y)是 G内的调和函数。设 u(x,y)
在单连通区域 G内是调和函数，有向曲线弧 L?G，为
L的切向量顺时针旋转 π/2所得到的法向量，
(1)证明曲线积分 在 G内与路径无关。
(2)记
22
22
0
uu
xy
+=
n
null
00
(,)
(,)
(,)
xy
xy
u
vxy ds
n
=
∫
证明,v(x,y)也是 G内的调和函数。
证 1.由条件所设,L为在 G内从 A到 B的任一条曲线,L
1
为从 B到 A的曲线，由于 G是单连通区域，再设 L+ L
1
所包含的区域为 D，则
11
11 1
11
22
22
.
LLLL
LL L L
D
LL
uuuu
ds ds ds ds
nnnn
uu uu u
ds ds dxdy ds
nn xy n
uu
ds ds
nn
+
=+?
=?=+?
=? =
∫∫∫∫
∫∫∫ ∫
∫∫
所以曲线积分与路径无关。
00
(,)
(,)
(,)
xy
xy
u
vxy ds
n
=
∫
2.记切向量与法向量分别为
( ) ( )
cos,cos,cos,cosα ββα?
故
00 00
(,) (,)
(,) (,)
(,)
xy xy
yx
xy xy
u
vxy ds u dx u dy
n
==?+
∫∫
(,)(,)
x
y
x
vx xy vxy udx
+ =?
∫
,,,.
xyyxxyxyxy
v uvu v uvu?=? =?=? =
∴
0.
xx yy xy xy
vv uu+ =? + =
例 13 求。
22 2
222
1
,:,0ds x y R z H
xyz
Σ
Σ += ≤≤
++
∫∫
解设 Σ
1
为曲面的前半部分，由对称性，得
1
222 222
11
2.ds ds
xyz xyz
ΣΣ
=
++ ++
∫∫ ∫∫
将曲面投影到 yoz平面上，投影区域为
(){}
,,0,D y zRy RzH=?≤≤≤≤
x
y
z
o
R
H
则
1
222 222
11
2ds ds
xyz xyz
ΣΣ
=
++ ++
∫∫ ∫∫
22
22
22
220
22
22 0
0
1
2
11
2
11
2
2 arcsin arctan 2 arctan,
D
RH
R
RH
R
RH
R
R
dydz
Rz
Ry
Rdy dz
Rz
Ry
dy dz
Rz
Ry
y zH
RR R
π
=
+
=
+
=
+
==
∫∫
∫∫
∫∫
例 14 求均匀半球面 (ρ=1)的重心和转动惯量 I
x
和 I
z
。
222
z Rxy=
解 由对称性 。曲面面积为
0xy?==
()
222 220
1/ 2
22 2
0
2
22.
R
D
R
Rr
Sds d R dr
Rxy Rr
RR r R
σπ
ππ
Σ
== =
= =
∫∫ ∫∫ ∫
静矩
222
222
3
,
xy
D
D
R
M zds R x y d
Rxy
Rd R
σ
σπ
Σ
==
==
∫∫ ∫∫
∫∫
由此得到：重心坐标 。
0,0,
2
R
转动惯量
( )
22 2 2
12
.
x
Iyzds y ds z ds I I
ΣΣΣ
=+= + =+
∫∫ ∫∫ ∫∫
()
()
222
1
22
222
3434
2
2200
1
2
1
2
12
sin,
3
D
R
I y ds y x ds
R
yx d
Rxy
R dR td R
R
π
σ
πρ ρπ π
ρ
ΣΣ
==+
=+
===
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
()
()
2222
2
222
222 2 2
0
3
22 4
2
0
2
22
.
33
D
R
D
R
R
I zds R y xd
Rxy
R Rxy dRRd
RR R
σ
σ πρ ρρ
πρ π
Σ
==
==?
= =
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
4
12
4
,
3
x
I II Rπ∴ =+=
由前面的计算，得
()
22 4
4
.
3
z
I xyd Rσπ
Σ
=+ =
∫∫
例 15 求,
( ) ( ) ( )
222
y z dydz z x dzdx x y dxdy
Σ
+?+?
∫∫
()
22
,0z xy zh= +≤≤
Σ为锥面,取外侧。
解 为使用 Gauss公式，增加平面 Σ
1
，取上侧，
( )
222
1
,.z hx y hΣ= +≤
() ( )
() ()
1
1
22
22
y z dydz z x dzdx
x y dxdy x y dxdy
Σ
Σ
+?
+? =?
∫∫
∫∫
z
x
y
z=h
22
z xy=+
( )
22
32 4
2
00
1
4cos,
4
DD
h
x y dxdy xdxdy
dd
π
θ ρθρπρ
=? =
==
∫∫ ∫∫
∫∫
( ) ( ) ( )
() () ()
() () ()
()
1
1
222
222
222
44
11
.
44
xyz
y zdydz z x dzdx x y dxdy
y zdydz z x dzdx x y dxdy
y zdydz z x dzdx x y dxdy
PQ Rdv h hππ
Σ
Σ+Σ
Σ
+?+?
=?+?+?
+? +?
=++?=?
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
∵
例 16
( )
222
,,1,0,0xyzdxdy x y z x y
Σ
Σ++= ≥≥
∫∫
，
取外侧。
12
22 22
22
11
21
DD
D
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
xy x y dxdy xy x y dxdy
xy x y dxdy
ΣΣΣ
=+
=+
=
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
解 1
()
1
32
2
00
1
32 32
2
00
35
2
0
2cosin1
1sincos
242 2
sin sin,
35315
dd
dttd
ttdt
π
π
π
θ ρθθρρ
ρρρ
=?
=?=
=?=?=
∫∫
∫∫
∫
解 2 添加平面 Σ
1
,x=0，及 Σ
2
,y=0。注意到
0,
i
xyzdxdy
Σ
=
∫∫
12
1
22
2
000
1
34
2
000
sin cos sin sin sin
2 sin cos sin
121 2
2
235 15
xyzdxdy xyzdxdy xydv
ddr r dr
ddrd
π
π
π
π
θθ?θ?θ
θθ
ΣΣ+Σ?
∴ ==
=
=
==
∫∫ ∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
例 17 Σ为平面 x+y+z=1,xydydz yzdzdx zxdxdy
Σ
++
∫∫
被三坐标平面截下部分，取上侧。
解 为使用 Gauss公式，添加三坐标平面，设 Σ
1
为 z=0上在第一象限的三角形区域，则
x
y
z
o
x+y+z=
1
1
0,xydydz yzdzdx zxdxdy
Σ
+ +=
∫∫
同理，在其它几个平面块上的积分也为零。
()
() ()
123
1
0
11
2
2
00
33
331
.
228
z
D
xydydz yzdzdx zxdxdy
xydydz yzdzdx zxdxdy
y zxdv zdv zdzd
z z dz z z dz
σ
Σ
Σ+Σ +Σ +Σ
∴ ++
=++
=++= =
=?=?=
∫∫
∫∫
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫
∫∫
例 18,其中 Σ为下半球面
22
xyzdydz z x y dxdy
Σ
++
∫∫
222
zaxy=
，取上侧。
解 作平面 Σ
1
,z=0,取下侧，且( )
222
xya+≤
1
22
0,xyzdydz z x y dxdy
Σ
+ +=
∫∫
1
22
22
xyzdydz z x y dxdy
xyzdydz z x y dxdy
Σ
Σ+Σ
++
=++
∫∫
∫∫
∴
( )
22
22
12
.
yz x y dv
yzdv x y dv I I
=? + +
= + =
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
1
0Iyzdv
==
∫∫∫
1
22 22
2
1
32 24
22
000
4
1
4sin,
16
I xydv xydv
ddr dr a
ππ
θ θ π
=+= +
==
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
22 24
1
.
16
xyzdydz z x y dxdy aπ
Σ
++ =?
∫∫
例 19 求向量 流过曲面 z
2
=x
2
+y
2
1,,
z
e
Az
z
=
null
( )
12z≤ ≤
流向下侧的流量。
解设 Σ为给定曲面,Σ
1
和 Σ
2
分别为平面 z=1,z=2被曲面截下部分,Σ
1
取下侧,Σ
2
取上侧，
1
,
z
D
e
dydz zdzdx dxdy
z
ed eσπ
Σ
++
=? =?
∫∫
∫∫
x
y
z
o
z=z
0
Σ
1
Σ
2
2
2
2
2,
2
z
D
ee
dydz zdzdx dxdy d e
z
σ π
Σ
++ = =
∫∫ ∫∫
所求流量为
12 1
2
2
2
2.
z
zz
zzz
e
dydz zdzdx dxdy
z
ee
dydz zdzdx dxdy dydz zdzdx dxdy
eze
dydz zdzdx dxdy dv e eππ
Σ
Σ+Σ +Σ Σ
Σ?
Φ= + +
=++?++
++=?+
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫∫
()( )
2
22
1
2
2
1
1
2.
z
zz zz
D
zz z z
ze e ze e
dv dz d
zeedz ze e e
σ
π ππ
=
=?=?=
∫∫∫ ∫ ∫∫
∫
故，流量为
()
22
.eee eeππππΦ=? + =?
例 20 求,其中 Σ为不经过原点的任意
null
( )
2
1
cos,rnds
r
Σ
∫∫
null null
null
闭曲面,为 Σ外侧的单位法向量。n
null
null
()
()
23
11
cos,cos cos cosrnds x y zds
rr
αβγ
ΣΣ
=++
∫∫ ∫∫
null null
nullnull
设，则
333
,,
x y z
PQR
rrr
===
32 222
64
,
x
rxry zx
P
rr
+?
==
0
xyz
PQR?++=
3
1
.xdydz ydzdx zdxdy
r
Σ
=++
∫∫null
解 设法向量为,则(cos,cos,cos )n α βγ=
null
故，当曲面不包含原点时，由 Gauss公式，得
null
( )
()
()
23
11
cos,
0.
xyz
rnds xdydz ydzdx zdxdy
rr
PQ Rdv
ΣΣ
=++
=++=
∫∫ ∫∫
∫∫∫
null null
nullnull
若曲面包含原点，则作曲面 Σ
1
,x
2
+y
2
+z
2
=r
2
，取外侧，而
()
()
1
3
1
0.
xyz
xdydz ydzdx zdxdy
r
PQ Rdv
Σ+Σ
++
=++=
∫∫
∫∫∫
null
()
()
1
1
1
3
3
3
33
1
1
1
13
4.
xdydz ydzdx zdxdy
r
xdydz ydzdx zdxdy
r
xdydz ydzdx zdxdy
r
xdydz ydzdx zdxdy dv
rr
π
Σ
Σ+Σ
Σ
Σ+Σ
++
=++
+++
=++==
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫∫
null
null
null
null
故，
例 21 求,其中 Σ为椭圆抛
()
3
222
xdydz ydzdx zdxdy
xyz
Σ
+ +
++
∫∫
物面 的上侧。()
22
22
1,0
xy
zz
ab
= ≥
解 由上题，令
()()()
333
222 222 222
,,
xyz
PQR
xyz xyz xyz
===
++ ++ ++
则。0
xyz
PQ R++=
令 Σ
1
为上半球面：,Σ
2
为 z=0平面上介于 Σ和 Σ
1
中间的部分,Σ
3
为 z=0,部分,均取下侧。 (区域图形如图所示,)
( )
2222
0xyzrz+ += ≥
222
x y r+ ≤
()
2
3
222
0.
xdydz ydzdx zdxdy
xyz
Σ
+ +
=
++
∫∫
()
x
y
z
o
222
1
,xyrΣ +=
3
Σ
22
2
:1
x y
z
ab
Σ=
3
3
222
0.
xdydz ydzdx zdxdy
xyz
Σ
+ +
=
++
∫∫
2
Σ
()
()
12
3
222
0.
xyz
xdydz ydzdx zdxdy
PQ Rdv
xyz
Σ+Σ +Σ?
+ +
= ++ =
++
∫∫ ∫∫∫
而
() ()
()
12
1
33
222 222
3
222
xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy
xyz xyz
xdydz ydzdx zdxdy
xyz
ΣΣ+Σ
Σ
++ ++
=
++ ++
++
+
++
∫∫ ∫∫
∫∫
()
()
1
3
222
xyz
xdydz ydzdx zdxdy
PQ Rdv
xyz
Σ
+ +
=+++
++
∫∫∫ ∫∫
3
11
33
3
3
2.
xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy
rr
dv
r
π
ΣΣ+Σ
=++= ++
==
∫∫ ∫∫
∫∫∫
例 22 求力 沿闭曲线 Γ 作的功，其中 Γ
为平面 x+y+z=1被三坐标平面所截成的三角形的整个边界，从 z 轴正向看，取逆时针方向。
F yi zj xk= ++
nullnull
null null
解 由条件，得力所作的功为
.W ydx zdy zdx
Γ
=++
∫null
取平面 Σ为平面被三坐标平面所截成的三角形，取上侧，则
3
3
33,
2
W ydx zdy zdx dydz dzdx dxdy
dxdy dxdy
Γ
Σ
Σ
=++=
=? =? =?
∫∫∫
∫∫ ∫∫
null
例 23 验证曲线积分 与路径无关，并当 A(1,-1,1),B(3,2,-1)时，求积分值。
null
23
AB
xdx y dy zdz+?
∫
解 记,则,故曲线积分与路径无关。线段
( )
23
,,A x y z=?
null
0rotA =
nullnullnullnullnull null
12
13,0 1.
12
xt
AB y t t
zt
=+
= =? + →
=?
nullnullnullnull
故
null
()( )()
23
1
23
0
1 2 1 3 3 1 2 ( 2) 7.
AB
xdx y dy z dz
tt tdt
+?
=++?+=
∫
∫
例 24 设有向闭曲线 Γ在平面 π上,π,ax+by+cz=p,其中 a
2
+b
2
+c
2
=1,Γ 在平面上围成的面积为 σ,Γ的正向与平面的法向符合右手法则，求 。
nrdr
Γ
×
∫
null nullnull
null
解
(,,),(,,),nabcrxy z==
nullnull
()
,,,
iik
nr abc bzcycxazaybx
xyz
×= =
null
null null
nullnull
( ) ( )
2,,2,rot n r abc n×= =
nullnullnullnull
null nullnull
( )
222.n rdr rot n r ds nds n nds
πππ
σ
Γ
×= × = =?=
∫∫∫ ∫∫
nullnullnullnull
nullnullnull nullnullnull nullnull nullnull
null
例 25 设 为常向量，,Γ为有向曲面 Σ的正向边界，证明：
a
null
(,,)rxyz=
null
2.a r ds a ndsτ
ΓΣ
×? =?
∫∫∫
null nullnull nullnull
null
其中 为 Γ的单位切向量,为 Σ的单位法向量。
τ
null
n
null
证由 Stokes公式
()
.a r ds rot a r ndsτ
ΓΣ
×? = ×?
∫∫∫
nullnullnullnull
null nullnull nullnull null
null
设，则
(,,)nabc=
null
( )
,,,a r bz cy cx az ay bx×=
null null
( ) ( )
2,,2,rot a r abc a×= =
nullnullnullnull
null nullnull
故
2.a r ds a ndsτ
ΓΣ
×? =?
∫∫∫
null nullnull nullnull
null
练习
1.求,其中 L是从点 A(2,-1)
经点 B(2,2) C(0,2)的折线。
()( )
22
L
xxy dx y xy dy?+?
∫
2.求,其中 Γ是球面 x
2
+y
2
+z
2
=a
2
与平面
z=a/2的交线，从 z轴的正向看，取逆时针方向。
ydx zdy xdz
Γ
++
∫
3.求,其中 Γ为圆柱面 x
2
+y
2
=1及平面 z=x+2,z=0所围成的区域的整个边界。
xds
Σ
∫∫null
4.求,其中 Σ是锥面
22
z
e
xdydz zdzdx dxdy
xy
Σ
++
+
∫∫
22
z x y=+
被平面 z=1和 z=2截下部分的下侧。
5.求,其中为连 A(π,2)与点 B(3π,4)，且在线段 之下方的任意曲线，又知曲线与线段围成的面积为 2。
[ ] [ ]
null
()cos ()sin
AmB
I gy x y dx gy xdyππ
′
=?+?
∫
null
AmB
AB
6.求，
2
284()
2
x
x dydz yzdzdx x x z dxdy
Σ
++?
∫∫
其中 Σ是抛物面 z=x
2
+y
2
介于 z=2和 z=4两平面间的部分取上侧。
7.在力 的作用下，一质点从原点沿直线移动到第一卦限椭球面 上的哪一点时，力所作的功最大，最大功是多少？
( )
,,Fyzzxxy=
null
222
222
1
xyz
abc
+ +=
