第二单元重积分的应用一、本单元的内容要点本单元讨论重积分在几何、物理中应用。
主要内容有：
1.曲面的面积
2.重心坐标
3.转动惯量
4.引力二、本单元的教学要求掌握重积分的各种应用。
曲面的面积例设一底面为矩形的柱体被一平面所截，如果截面的法向量为，底面位于xoy平面，则截面的面积A与底面面积σ有如下的关系：
(cos,cos,cos )e α βγ=
G
x
o
z
1
.
cos
A σ
γ
=
y
N
P
Q
R
L
M(x
0
,y
0
,0)
证不妨设截面MPRQ与底面
MNOL的关系如图所示，点M
在xoy平面上，坐标为M(x
0
,y
0
,0)，则平面方程为
00
cos ( ) cos ( ) cos ( 0) 0.xx yy zα βγ? +?+?=
将点P 的x,y坐标0,y
0
代入上式，得
0
cos
.
cos
z x
α
γ
=
即点P的坐标为，同样
x
o
z
y
N
P
Q
R
L
M(x
0
,y
0
,0)
00
cos
0,,
cos
y x
α
γ



点R的坐标为，所以
00
cos
,0,
cos
x y
β
γ



00
cos cos
1,0,,0,1,
cos cos
MP x MR y
α β
γ γ

=? =?


JJJG JJJG
00 00
cos cos cos
10,,1
cos cos cos
cos
01
cos
ij k
MP MR x y x y
ααβ
γγγ
β
γ

×=? =


G
GG
JJJG JJJG
所以，截面面积为
00
cos cos 1
,,1,
cos cos cos
AMPMR xy
αβ
σ
γ γγ

=×= =


JJJG JJJG
设空间有界曲面块Σ，显式方程为z=z(x,y)，D为Σ在
xoy平面上的投影，在xoy平面上用曲线网将D分成若干个小区域?D
1
，?D
2
，…?D
n
。在曲面上有相应的小曲面块?Σ
i
，，在曲面Σ
上有相应的点，在该点作切平面T，所对应的小块切平面记作?T
i
，对应的面积分别记为?S
i
，
及?T
i
，则当分割很小时，可用?T
i
近似代替?S
i
，
(,)
ii i
Dξ η? ∈?
( )( )
,,,
ii ii
zξ ηξη
x
o
z
y
因而，曲面块的面积为
,
i
i
A T≈?
∑
设S在点P处的法向量为，则由上例的结果，得
( )
cos,cos,cos
iiii
e α βγ=
G
1
,
cos
ii
i
T σ
γ
=?
而
[]
2
2
1
cos,
1(,) (,)
i
xii yii
zz
γ
ξη ξη
=
′′
++

由此得
[]
2
2
1(,) (,)
x ii y ii i
i
Az zξ ηξησ
′′
≈+ +?

∑
当分割越来越细，曲面的面积即为右式的极限，即
[]
2
2
0
lim 1 (,) (,),
x ii y ii i
i
Azz
λ
ξ ηξησ
→
′′
=+ +?

∑
由二重积分的定义
[]
2
2
1(,) (,),
xy
D
A zxy zxy dσ
′′
=+ +
∫∫
由此得到曲面面积的计算公式：
设空间有界曲面块Σ，方程，D为Σ
在xoy平面上的投影，z=z(x,y)在D上有连续偏导，则曲面面积A
( )
(,),,z zxy xy D=∈
[]
2
2
1(,) (,),
xy
D
Azxyzxyσ
′′
= ++?
∫∫
例1 求由所围立体的表面积。
22 222
,2z xyazaxy= +=
解两曲面的交线在xoy 平面上的投影为
22222
222
,.
0
2
xyazxy
z
az a x y
+==+

=
=
设Σ
1
为曲面介于之间的部分，Σ
2
为曲面介于之间的部分，
22
z xy=+
222
2az a x y=
0 z a≤≤
2az a≤≤
z
y
x
o
D
则由曲面面积的计算公式，得
[]
[]
2
2
11
2
2
22
22
2
2
1(,) (,)
1(,) (,)
4( )
21 2.
xy
D
xy
D
DD
Azxyzxy
zxy zxy
xy
ddaI
a
σ
σ
σσπ
′′
=+ +?

′′
++ +?

+
= ++ = +
∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫
()
22 2
2
00
222
0
0
2
4( )
114
2
214 14
43
55 1.
6
a
D
a
a
xy
Iddd
aa
a
d
aa
a
π
ρ
σ θρρ
ρπ ρ
πρρ
π
+
=+ +

=+ = +


=?
∫∫ ∫ ∫
∫
()
2
22
51.
6
a
AaIa
π
ππ=+=+?
例2 求柱面被z=0和z+x=2所截下部分的面积
22
4xy+ =
解由对称性，只需计算被xoz平面割下的前面一半即可。将曲面投影到xoz平面上，曲面方程为故面积为
2
4yx=?
x
y
z
o
z
+
x
=
2
2-2
4
[]
2
2
22
220
21 (,) (,)
2
2.
4
xy
D
x
A zxy zxy d
dx dz
x
σ
′′
=+ +

=
∫∫
∫∫
例3 求球面位于球面
22 22
() (0 2)xy za t ta++? = <<
222
xyza++=
2
内部的面积，问当t 取何值时，面积最大，最大值是多少？
x
解设含在的球面方程为
2222
xyza+ +=
222
z atxy=
y
z
o
在xoy 平面上的投影为
t
b
()
{ }
222
,Dxy x y b=+≤
( )
4
2
22 22 22
2
,,
4
t
atb ab bt
a
==?
22
222
2
22 2200 0
1
2
xy
DD
bb
t
A zzd d
txy
tt
dd d
π
σ σ
ρρ
θ ρπ ρ
=++ =

==

∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
( )
()
22 22
0
2
2
22
22.
2
b
tt tt t b
t
tt t at
aa
πρπ
π
π
= =

=?=?


()
2
4
43 0,,
3
t
A at t t a
a
π
′
=?=?=
即当时，面积取得最大值，
4
3
ta=
2
max
32
.
27
A aπ=
重心坐标设xoy平面上的一个质点所占的位置为(x,y)，质量为
m，则该质点对x轴和y轴的静矩分别为
,.
xy
M my M mx= =
若n个质点构成的质点系，第i个质点的坐标为(x
i
,y
i
)，
质量为m
i
，则质点系对x轴和y轴的静矩分别为
,.
xiiyi
ii
M my M mx==
∑ ∑
重心坐标为
,.
ii ii
yy
ii
my mx
MM
xy
Mm Mm
== ==
∑ ∑
∑∑
将此问题延伸到平面物体及空间物体，即得到重心坐标的计算公式。
设平面薄片，在xoy平面上占有有界闭区域D，密度函数在D上连续，则平面薄片对x轴和y轴的静矩分别为
(,)x yρ
(,),(,),
xy
DD
Myx y dM xxy dρ σρσ==
∫∫ ∫∫
相应的重心坐标为( )
,xy
11
(,),(,),
y
x
DD
M
M
xxxydyyxyd
MM MM
ρ σρσ== ==
∫∫ ∫∫
其中，M为平面薄片的质量。
当平面薄片的密度函数为常数，即物体是均匀物体，
相应的重心坐标称为形心坐标，计算公式为
11
,.
y
x
DD
M
M
xxdyyd
MS MS
σ σ== ==
∫∫∫∫
其中的S为平面薄片的面积。
同样得到空间物体的重心坐标的计算公式：
1
(,,),
1
(,,),
1
(,,),
xxxyzdv
M
yyxyzdv
M
z zxyzdv
M
ρ
ρ
ρ
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
其中M=为空间物体的质量。(,,)xyzdvρ
∫∫∫
例求由y
2
=2-x,2y
2
=x+1 所围区域的形心。
解由对称性得为求区域的面积，先求两曲线的交点
0y =
()()
11
22 2
10
221233 4.Syydy ydy
=+=? =
∫∫
2
2
2
,1,1.
21
yx
xy
yx
=?
= =±
=+
()( )
2
2
2
2
12
021
2
1 22
222
0
21
2
221
y
y
y
D
y
y
Mxd dyxd
xdy y y dy
σ
==

==


∫∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
o
2
2y x=?
2
21yx= +
()
1
4
0
312
33 3,
55
ydy=? =?=
∫
3
5
x∴ =
即，形心坐标为。
3
,0
5



例5 设平面薄片所占区域由直线x=0,y=0,x+y =1确定，
密度函数为,求重心坐标。
22
xyρ= +
解由对称性，知，xy=
x
y
o
x + y
=1
( )
22 2
11 1
22
00 0
2
22()
11 1
2
34 6
DD
x
Mxyd xd
dx x dy xxdx
σ σ
=+ =
==?

=?=


∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
对y轴的静矩
( ) ( )
11
22 22
00
1
11
33 3 3
00
0
33 3
1
3
0
11
(1 ) (1 )
14
(1 ) (1 ) (1 )
41
(1 ),
315
x
y
D
x
M xxyd dxxxydy
dx x y xy dx x x x x dx
xx xxdx xxdx
xxdx
σ
=+= +

=+ =?+?



=?+? =?



=?=

∫∫ ∫ ∫
∫∫
∫
故重心坐标为。
()
22
,,
55
xy

=


例求由抛物面与z=0所围成立体的形心。
22
1z x y=
解由区域的对称性，知重心坐标在z轴上，即
。形体的体积及对xy 平面的静矩分别为：
0xy= =
() ()
21
22 2
00
11
2
D
Vxydd d
π
π
σθρρρ= =? =
∫∫ ∫ ∫
()
2
211 1
2
2
000 0
1
1
.
6
xy
M zdv d d z dz d
πρ
θ ρρπρρρ
π
== =?
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
所以，形体的形心坐标为。
1
0,0,
3



转动惯量平面上n个质点系对x轴和y轴的转动惯量为
22
,
x ii y ii
ImyImx==
∑ ∑
由此得到平面薄片的转动惯量：
22
(,),(,),
xy
DD
I yxydI xxydρ σρσ==
∫∫ ∫∫
同样，空间物体对三坐标轴的转动惯量为
( )
()
()
22
22
22
(,,),
(,,),
(,,),
x
y
z
I yz xyzdv
I xz xyzdv
I xy xyzdv
ρ
ρ
ρ
=+
=+
=+
∫∫
∫∫
∫∫
例1 设平面薄片所占区域为
()
{ }
2
,0 1,,D xy x x y x=≤≤≤≤
密度函数为ρ=x，求对x 轴，y 轴及y=-1的转动惯量。
解由计算公式
()
2
1
22
0
1
47
0
11
.
340
x
x
x
D
Ixy ddy dy
xxdx
σ==
=?=
∫∫ ∫ ∫
∫
()
2
11
3345
00
1
.
30
x
y
x
D
Ixdddyxxdxσ== =?=
∫∫ ∫ ∫ ∫
() ()
()
()
( )
()
2
1
22
1
0
113
3
22345
00
11
1
11
3
111113
.
3456 60
x
y
x
D
I x y d dx x y dy
x x x x dx x x x x dx
σ
=?
=+= +
=+?+=+
=+=
∫∫ ∫ ∫
例2 平面薄片的形状由摆线
(sin)
,0 2,
(1 cos )
xat t
t
ya t
π
=?
≤≤
=?
与x 轴围成，ρ=c为常数，求它对x 轴的转动惯量。
解设曲线方程为y=y(x)，则
2()
22
00
34 4
00
11
() (1 cos)
33
ayx
x
D
a
Icyd dxcydy
cyxdxca tdt
π
ππ
σ==
==?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
2
4234
0
2
424
0
424
2
0
44
1
(1 4cos 6cos 4cos cos )
3
1
(1 6 cos cos )
3
4
(1 6 cos cos )
3
413135
6.
32242 12
ca t t t t dt
ca t t dt
ca t t dt
ca ca
π
π
π
πππ
π
=?+?+
=++
=++

=++=


∫
∫
∫
例3 设平面薄片所占区域为
()
{ }
22
,2,0,0,Dxyxy xy=+≤≥≥
密度函数为ρ=1，求对x +y=2转动惯量。
解平面上的点(x,y)到直线x +y=2的距离为
2
,
2
xy
d
+?
=
故转动惯量为
()
()
2
2
2
2
42
2
xy
DD
xy
I dxxyxdσ σ
+=
+?
==+?+
∫∫ ∫∫
()
2
22 2
2
00
cos cos sin 4 cos 2
518
2.
423
dd
π
θ ρρ θ ρ θ θ ρ θ σ
π
+?+
=+?
∫∫
例4 求半径为a的球对过球心的直线及与球体相切的直线的转动惯量(密度函数为ρ=1)。
解1.设过球心的直线为z轴，球面方程为
。则所求的转动惯量为
2222
xyza++=
( )
2
22 43
000
34 5
2
00
sin
8
4sin,
15
a
z
a
I x y dv d d d
dd a
ππ
π
θρ θρ
πθθρρπ
=+=
==
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
2.仍然设球面方程为，直线为
2222
xyza+ +=
:,
0
xa
L
y
=
=
( )( )
()
22 222
222 5 5 5
() 2
8428
15 3 15
L
I xa y dv x y aaxdv
xyadv a a aππ π

=?+=++?
=++=+=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
则例4设平面薄片所占区域由围成，
密度函数ρ=1，求对x=t 的转动惯量，并求相应的最小
ln,0,yxyxe===
值。
()
()
()
2
ln
2
10 1
233
1
1
22
1
1
() ( ) ln
11
2ln ln
39
1
ln ln 1
2
ex e
e
e
e
e
I t dx x t dy x t xdx
xtxtxdx xxx
tx x t x tx x
=?=?

=?+ =?



+?


∫∫ ∫
∫
解
()()
22 3
11
121
29
tete=? + + +
() ()
22
11
() 2 1 0 1.
24
It t e t e
′
=? +=?= +
即当时，I(t)取最小值，此时最小值为
()
2
1
1.
4
te=+
()
() ()()
()()
2
2
2
223
1
1
4
2
23
111
() 1 1 2 1
489
11
121.
16 9
te
It e e e
ee
=+

= +?++ +


=? + + +
例设一立体由z=x
2
+y
2
及z=2x围成，密度ρ=x,求I
z
。
解投影区域为。
( ) ( )
()( )
()
()
()
22
2
22 2 22 2
22 2 2 2
2cos
62
2
00
8
2810
22
2
2sin2cos
11 64
2sin 2cos cos cos,
78 7 8
x
z
xy
D
D
I yxydv d yxydz
yx y xx yd
dd
dd
π
θ
ππ
σ
σ
θρθθρρ
π
θθθθ
+
=+= +
=+
=?

=? =?=


∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
∫∫
()
{ }
22
,2Dxyxyx=+≤
引力设一单位质量的质点位于空间的点P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)处，另有一的质量为m质点位于点P(x,y,z)，则该点对单位质量质点的引力为
000
23 3 3 3
()()()
,,,
r
kx x mky y mkz z mkm km
Fe r
rr r r r


===


GG
其中，k为引力常数，
( )
0000
,,.rPP xxyyzz==
JJJG
进一步地，若空间由n个质点组成的质点系，第i个质点的质量为m
i
，则此质点系对位于P处的单位质量指点的引力为
3
000
333
() ( ) ()
,,.
ii
ii
ii ii ii
ii
km
FF r
r
kx x m kyymkzzm
rrr
==


=


∑∑
∑∑∑
GG
G
由此得到：空间一物体对物体外一点P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)的引力计算公式，其中
( )
,,
x yz
F FFF=
G
0
3
(,,)( )
,
x
kxyzxx
F dv
r
ρ
=
∫∫∫
0
3
(,,)( )
,
y
kxyzyy
F dv
r
ρ
=
∫∫∫
0
3
(,,)( )
.
z
kxyzzz
F dv
r
ρ
=
∫∫∫
其中。
()()()
222
000
rxx yy zz=?+?+?
例求半径为R的均匀球体(密度函数为常数μ)对位于(0,0,a)处单位质点的引力(a>R)。
222 2
xyzR++≤
解由对称性，得，0
xy
FF= =
y
x
o
z
F
G
()
()
3
2
22 2
0
3
2
22 2
0
()
()
z
z
R
R
D
kza
Fdv
xy zz
kza
kdz dxdx
xy zz
μ
μ
μ
=

++?

=

++?

∫∫∫
∫∫∫
其中，
()
{ }
22 22
,
z
Dxy x y Rz=+≤?
()
22
2
33
00
22
0
22
()
()
()
21
2
z
Rz
D
kza
dxdx z a d d
za
xy zz
za
Ra az
π
μρ
ρ
ρ
π
=?

+?
++?



=

+?

∫∫ ∫ ∫
22
22
2
21
2
1
22 () 2,
R
z
R
R
R
za
Fk dz
Ra az
M
kR zadRaazk
aa
πμ
πμ

=

+?


=?+? +?=?


∫
∫
其中，为均匀球体的质量。
3
4
3
R
M
π
μ=