第二单元洛必达法则与泰勒公式一、本单元的内容要点
1.用洛必达法则求 与 型的极限；
0
0
∞
∞
2.泰勒中值定理
3.泰勒公式与麦克劳林公式、拉格朗日型余项及佩亚诺型余项,
二、本单元的教学要求
1.会用洛必达法则求未定式极限，其中
⑴对 0·∞,∞±∞型未定式，可通过变换化为 型或 型；
0
0
∞
∞
⑵对 0
0
,1
∞
等幂指型未定式，可取对数化为 或型．
0
0
∞
∞
2.理解泰勒中值定理，并会用泰勒定理证明一些相关的命题,
三、本单元教学的重点与难点
1.用洛必达法则式求型 与 型未定式极限，是求极限的一种特殊方法，并非一般方法,．尤其注意，只有满足条件 —— 存在或为 ∞ (这时称 有确定意义 )，用洛必达法则求得的极限才是正确的,
0
0
∞
∞
()
lim
()
xa
fx
F x
→
′
′
()
lim
()
xa
fx
F x
→
′
′
2.要正确理解：洛必达法则的条件是未定式存在极限的充分而非必要条件，换言之，当 不存在或也不为 ∞时,仍然可能是确定的．
()
lim
()
xa
fx
F x
→
′
′
()
lim
()
xa
fx
F x
→
3.应注意，洛必达法则不是求 型与 型未定式的唯一方法,读者在计算时应该结合等价无穷小的替换、带有佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法，以使计算简便、准确．
0
0
∞
∞
4.要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的进一步的推广，即拉格朗日中值定理是泰勒中值定理当 n=0时的特例；并懂得函数在一点 x
0
的泰勒多项式是该函数在 x
0
附近的近似表达式，比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更好的近似精度．
5.要学生记住以下初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：
2
11
1();
2! !
xnn
exx xox
n
=++ + + +null
1
3 5 21 21
11 (1)
sin ( );
3! 5! (2 1)!
m
mm
xx x x x ox
m
=? +? + +
null
24 2 2
11 (1)
cos 1 ( );
2! 4! (2 )!
m
mm
xxx xox
m
=? +? + +null
1
23
11 (1)
ln(1 ) ( );
23
n
nn
xx x x xox
n
+=? +?+ +null
2
(1) (1)( 1)
(1 ) 1
2! !
( );
n
n
n
xx x x
n
ox
α
α αααα
α
+
+=++ ++
+
null
null
2
1
1().
1
nn
xx x ox
x
=++ + + +
null
特别本单元课时数,4课时．
洛必达法则如果当 x→a(或 x→∞)时，函数 f (x)与 F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 可能存在，也可能不存在,通常称这种类型的极限为未定式，为了叙述方便，
习惯上用记号 或 来表示这两种类型的未定式.在本节中，我们将利用柯西中值定理得出求这些类型极限的一种简便而重要的方法，并着重讨论 x→a 时的未定式的情形．
()
()
lim
()
xa
x
f x
Fx
→
→∞
0
0
∞
∞
0
0
定理 1 设 f (x),F (x)在点 a的某去心领域内可导，
并且满足条件：
() 0Fx
′
≠
⑴ lim ( ) lim ( ) 0;
xa xa
fx Fx
→→
= =
⑵极限 或为 ∞,
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
′
′
那么,极限 存在，并且
() ()
lim lim,
() ()
xa xa
f x f x
Fx Fx
→→
′
=
′
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
证 因极限存在与否与函数在该点的函数值无关，故可设 f (a)=F(a)=0，则由条件知 f (x),F(x)在区间 [a,x]([x,a])
满足柯西中值定理的条件，即有
() () () ()
() () () ()
fx fx fa f
Fx Fx Fa F
ξ
ξ
′
==
′
(ξ在 x与 a之间 ),
令 x→a，则 ξ→a，又因极限 存在，即得
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
′
′
() ()
lim lim,
() ()
xa xa
f x f x
Fx Fx
→→
′
=
′
g
例 1 求．
3
32
1
32
lim
1
x
xx
xxx
→
+
+
解当 x→1时，分子和分母的极限均为零，故由洛必达法则，得
32
32 2
111
32 3 3 6 3
lim lim lim,
1321622
xxx
xx x x
xxx x x x
→→→
+?
= ==
+
注 在用洛必达法则求极限的过程中，可能要多次使用洛必达法则，才能最终求出极限．
例 2 求．
0
2
lim,
sin
xx
x
ee x
xx
→
解
000
0
22
lim lim lim
sin 1 cos sin
lim 2.
cos
x xxxxx
xx
xx
x
ee x ee ee
xx x x
ee
x
→→→
→
+
==
+
==
注 我们指出，如果把极限过程换成 x→a+或 x→a-或
x→+∞或 x→+∞或 x→∞，只要 是 型的，并且极限 存在 (或为无穷大 )，则仍然有
()
lim
()
fx
F x
0
0
()
lim
()
fx
F x
′
′
() ()
lim lim
() ()
fx f x
F xFx
′
=
′
这里不再一一证明．
11
arctan arctan
1
lim,
11
1
x
xx
xx
→∞
+
+
例 3 求解
()
()
()
()
22
22
2
2
2
2
11
11
arctan arctan
1
11
1
lim lim
11 1 1
1
1
[1 1 ] 1
lim 2.
1
xx
x
x
x
xx
xx x
x
xx
xx
→∞ →∞
→∞
+
+
++
+
=
+
+
+ + ++
==
+ +
定理 2 设 f (x),F (x)在点 a的某去心领域内可导，
并且满足条件：
() 0Fx
′
≠
⑴ lim ( ) lim ( ) ;
xa xa
fx Fx
→→
= =∞
⑵极限 或为 ∞,
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
′
′
那么,极限 存在，并且
() ()
lim lim,
() ()
xa xa
f x f x
Fx Fx
→→
′
=
′
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
注 此定理的证明比较繁琐，所以略去证明,同样要说明的是定理中的可以换成 →a+，或 x→a-，或 x→+∞，或
x→+∞，或 x→∞，只要把条件作相应的修改，定理 2仍然成立．
例 4 求极限
()
ln
lim 0,
n
x
x
n
x
→+∞
>
解
ln 1
lim lim 0.
nn
xx
x
xnx
→+∞ →+∞
= =
例 5 求极限
()
*
lim N,0,
n
x
x
x
n
e
λ
λ
→+∞
∈>
解
( )
2
1
2
1
lim lim lim
!
lim 0
n
nn
xx x
xx x
nx
x
nn x
xnx
ee e
n
e
λλ λ
λ
λλ
λ
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
==
== =null
注 以上两个例虽然简单，但要务必熟记．
例 6 求极限
10
ln tan
2
lim,
ln(1 )
x
x
x
π
→?
解
2
10 10 10
1
sec
22
ln tan tan
(1)
22
lim lim lim
1
ln(1 ) sin
1
xx x
x
xx
x
x
π π
ππ
π
π
→? →? →?
==
10
lim 1.
cos
x
x
π
π π
→?
= =?
除了上面两种基本类型的未定式外，还有其他几种形式的未定式，它们是,0·∞,∞±∞,0
0
,1
∞
,∞
0
．对于这几种未定型，常用的方法是通过适当的变换，将其转换成上面两种基本类型．
例 7 求
( )
0
lim ln 0,
n
x
xx n
→+
>
解
1
1
000
0
ln
lim ln lim lim
1
lim 0.
n
nn
xxx
n
x
xx
xx
xnx
x
n
→+ →+ →+
→+
==
==
例 8 求极限
()
0
11
lim,
ln 1
x
xx
→
+
解 此类型为 ∞±∞型．
()
00
2
00
0
11 ln(1)
lim lim
ln 1 ln(1 )
1
1
ln(1 )
1
lim lim
2
1
lim,
2(1 ) 2
xx
xx
x
xx
xx x x
xx
x
x
xx
→→
→→
→
+
=
++
+
+
==
==
+
对 0
0
,1
∞
,∞
0
未定式，则可通过取对数的方式,转化为 0·∞型未定式，再化为 或 型未定式,即若极限
0
0
∞
∞
()
( )
lim
gx
x
fx
形式为,作变换,即[ ]
()
()
gx
yfx=
，原极限转变为
[ ]
ln ()ln ()ygx fx=
[ ]
limln lim ( )ln ( )
xx
ygxfx=,
例 9 求极限,
1
lim
x
x
x
→+∞
解 此极限为 ∞
0
型，令,
1
1
,ln ln
x
yx y x
x
==
11
lim ln lim ln lim 0,
xx x
yx
xx
→+∞ →+∞ →+∞
= ==
∴
1
0
lim 1
x
x
xe
→+∞
= =
例 10 求极限
1
2
1
1
lim,
2
x
x
xx
→
+
解令
1
22
1
1
,lnln,
212
x
xx xx
yy
x
++
==
2
2
11
113
limln ln lim
12 2
xx
xx x
y
xx
→→
++
= ==
+
1
3
2
1
2
1
lim,
2
x
x
xx
e
→
+
=
∴
最后我们指出两点,第一，洛必达法则是求未定式的值的一种有效方法,但是最好能与其他求极限的方法结合使用（比如利用重要极限和等价无穷小的替代等方法），这样可以使运算简捷；
例 11 求极限
2
0
sin
lim,
sin
x
xx
xx
→
解 此题也可直接使用洛必达法则，但分母的求导过于复杂，故可考虑等价无穷小代换，注意到当 x→0时，
Sinx x,因此
～
232
000
0
sin sin 1 cos
lim lim lim
sin 3
1
lim,
66
xxx
x
xx xx x
xx x x
x
x
→→→
→
==
==
第二，定理 1或 2的条件仅是其结论的充分条件，当分子分母的导数之商 的极限不存在也不是∞时,的极限仍可能存在．
( )
()
fx
F x
′
′
( )
()
f x
F x
例 12 验证极限 存在，但不能用洛必达法则求之．
sin
lim
x
xx
x
→∞
+
解 因 故 但原式上下求导
sin
lim 0,
x
x
x
→∞
=
sin
lim 1,
x
xx
x
→∞
+
=
cos
lim
1
x
x
→∞
之后为：,此式的极限不存在．故原题不能用洛必达法则求出．
泰勒公式不论是进行近似计算还是理论分析，人们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数,多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于计算机计算,因此，常用多项式来近似表达函数.
我们已经知道当,并且 |Dx|很小时，有如下的近似等式，
0
() 0fx
′
≠
0
(),ydy fx x
′
≈=?
000
() ( ) ( )( ),fx fx fx x x
′
≈ +?
或上式就是用一次多项式 来近似表达一个函数 f(x)．显然，在 x=x
0
处，这个一次多项式满足 P
1
(x
0
)=f (x
0
)以及,但是，这种近似表达式存在不足之处,首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于 (x-x
0
)的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估计出误差的大小,因此，我们设想用高次多项式来近似表达函数，同时设法给出误差公式于是提出如下的问题：
1000
() () ()( )P xfx fxxx
′
=+?
10 0
() ()P x f x
′ ′
=
设函数在含 x
0
的开区间内具有直到 (n+1)阶的导数，试找出一个关于 (x-x
0
)的 n次多项式
2
01 0 2 0 0
() ()() ()
n
nn
Px a ax x ax x ax x=+?+? ++?null
⑴
用它来近似表达 f (x)，要求它与 f (x)之差是比 (x-x
0
)
n
高阶的无穷小，并且给出误差 的具体表达式() ()
n
fx Px?
为了使求得的近似多项式与 f (x)在数值与性质方面吻合得更好，我们进一步要求 P
n
(x)在 x
0
处满足
( )
() ()
00
() () 0,1,,
kk
n
P x f xk n==null
按此要求，可以很容易地求得 (1)式中多项式的各个系数为
()
001 02 0 0
11
(),(),(),,()
2! !
n
n
afxafxa fx a fx
n
′′′
== = =null
于是
⑵
()
()
2
000 00
00
1
() () ()( ) ()( )
2!
1
+ ( )
!
n
n
n
Px fx fxxx fxxx
fxxx
n
′′′
=+?+?+
null
(2)式称为 f(x)在 x
0
处关于 (x-x
0
)的 n阶泰勒多项式,
定理 1(泰勒中值定理 ) 如果函数 f(x)在含 x
0
的某个开区间内 (a,b)具有直到 (n+1)阶导数，即,那么对于 x∈ (a,b),有
1
(,)
n
fDab
+
∈
2
000 00
()
00
1
() () ()( ) ()( )
2!
1
( )( ) ( )
!
nn
n
fx fx f x x x f x x x
fxxx Rx
n
′′′
=+?+?+
+?+null
⑶
(1)
1
0
()
() ( ),
(1)!
n
n
n
f
Rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
其中
⑷
而 ξ是介于 x与 x
0
之间的某一个值．
公式⑷称为 f (x)在 x
0
处关于 (x-x
0
)的 n阶泰勒公式，公式右端的最后一项
(1)
1
0
()
() ( ),
(1)!
n
n
n
f
Rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
称为拉格朗日型余项．
当 n=0时，泰勒公式就是拉格朗日中值公式：
00
() ( ) ()( )fx fx f x xξ
′
= +?
(ξ在 x与 x
0
之间 )．
所以，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
由定理可知，用泰勒多项式 P
n
(x)近似表达函数 f (x)时其误差为 |R
n
(x)|,如果对于某个固定的 n，当 x∈(a,b)时，
|f
(n+1)
(x)≤M|，那么有估计式：
(1)
11
00
()
| ()| () ||.
( 1)! ( 1)!
n
nn
n
fM
Rx xx xx
nn
ξ
+
++
=?≤?
++
⑸
在公式 (2)中取 x=0的特殊情况在应用中尤为重要．此时 ξ在 0与 x之间，因此可记 ξ=θx，从而使泰勒公式变成较简单的形式，称为麦克劳林公式：
()
2
() ( 1)
1
(0)
() (0) (0)
2!
(0) ( )
0 1
!!
nn
nn
f
fx f f x x
ffx
xx
nn
θ
θ
+
+
′′
′
=+ + +
++ <
null
⑹
与泰勒多项式相应，上式右端的多项式称为的 n阶麦克劳林多项式,此时的误差估计式 (5)相应变成：
1
(),
(1)!
n
n
M
Rx x
n
+
≤
+
例 13 求出函数 的 n阶麦克劳林公式．()
x
fx e=
解因
()
() () () ()
nx
fx f x f x f x e
′′′
= === =null
()
(0) (0) (0) (0) 1
n
ff f f
′′′
= === =null
∴
故相应的 n阶麦克劳林展开式为
()
21
11
1,
2! ! ( 1)!
x
xnn
e
exx x x
nn
θ
θ
+
=++ + + + < <
+
null
由这个公式可知，对给定的 x∈R，如果用它的阶麦克劳林多项式近似表达为
2
11
1
2! !
xn
exx x
n
≈++ + +null
注意到，相应的误差为
()
||
11
() | | 0 1.
(1)! (1)!
xx
nn
n
ee
Rx x x
nn
θ
θ
++
= <<<
++
若取 x=1，则可得 e的近似值为
11
11
2! !
e
n
≈ ++ + +null
其误差为
3
.
(1)!(1)!
n
e
R
nn
<<
++
当 n=10时，可算出,其误差不超过 10
-6
2.718282e≈
例 14 求出函数 的 n阶麦克劳林公式．
() sinf xx=
解因
()
()
() sin 0,1,2,.
2
n
n
fx x nπ
=+ =
null
()
0,
2,
(0) 0,1,2,
21,
(1),
n
m
nm
fm
nm
=?
==
=+
∴
null
代入公式⑸，得
1
35 21
2
11 (1)
sin ( ),
3! 5! (2 1)!
m
m
m
xx x x x Rx
m
=? +? + +
null
其中
()
21
2
sin[ (2 1) ]
2
() 0 1.
(2 1)!
m
m
xm
Rx x
m
π
θ
θ
+
++
= <<
+
由此,sinx的 n阶 (n=2m)麦克劳林多项式为
1
35 21
11 (1)
sin,
3! 5! (2 1)!
m
m
xx x x x
m
≈? +? +
null
相应的误差为
21
21
2
sin[ (2 1) ]
||
2
|()|
(2 1)! (2 1)!
m
m
m
xm
x
Rx x
mm
π
θ
+
+
++
=≤
+ +
正弦函数 sinx及其近似多项式 P
n
(x) (n=1,2,
…
,19)通过计算机作出的图象都画在下图中，可以看到 sinx及其近似多项式 P
n
(x) 的图形随着 n的增大而变得贴近起来，也就是说误差 R
n
(x)随着 n的增大而变小．特别当 x偏离原点较远时选取阶数较高的麦克劳林多项式 P
n
(x)来近似表达时，其精度就较高．
)(xP
n
2,1=nsin 19,,nullPx
n
()Rx
n
类似地，可以得到
24 2
21
11 (1)
cos 1 ( ),
2! 4! (2 )!
m
m
m
xxx xRx
m
+
=? +? + +null
其中
()
22
21
cos[ ( 1) ]
() 0 1.
(2 2)!
m
m
xm
Rx x
m
θ π
θ
+
+
+ +
= <<
+
1
23
11 (1)
ln(1 ) ( ),
23
n
n
n
xx x x xRx
n
+=? +?+ +null
其中，
()
22
21
cos[ ( 1) ]
( ) 0 1,
(2 2)!
m
m
xm
Rx x
m
θ π
θ
+
+
+ +
= <<
+
2
(1) (1)( 1)
(1 ) 1 ( )
2! !
n
n
n
xx x xRx
n
α
α αααα
α
+
+=++ ++ +
null
null
其中，
()
11
(1)( 1)( )
() (1 ) 0 1.
(1)!
nn
n
nn
Rx x x
n
α
ααα α
θθ
+
+?
=+<
+
null
上面讨论的是带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，其优点之一是在近似计算中可以用它来作误差估计．然而
Rn(x)的另一种表达式，在处理极限时会带来很大方便．
当 x→x
0
时，泰勒公式中的余项 R
n
(x)是比 (x-x
0
)
n
高阶的无穷小，即
( )
() ( ),
n
n
Rx ox x=?
⑺
表达式⑺称为佩亚诺型余项．
定理 2 如果函数 f (x)在含有 x
0
的开区间 (a,b)内直到有 n
阶的导数,且 f (x)在 (a,b)内连续，则 f (x)在 (a,b)内有
n阶带有佩亚诺余项的泰勒公式
()
2
000 00
()
00 0
1
() () ()( ) ()( )
2!
1
( )( ) ( ),
!
nn n
fx fx f x x x f x x x
fxxx oxx
n
′′′
=+?+?+
+?+?null
⑻
下面是常见的基本初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：
2
11
1();
2! !
xnn
exx xox
n
=++ + + +null
1
3 5 21 21
11 (1)
sin ( );
3! 5! (2 1)!
m
mm
xx x x x ox
m
=? +? + +
null
24 2 2
11 (1)
cos 1 ( );
2! 4! (2 )!
m
mm
xxx xox
m
=? +? + +null
1
23
11 (1)
ln(1 ) ( )
23
n
nn
xx x x xox
n
+=? +?+ +null
2
(1) (1)( 1)
(1 ) 1 ( ).
2! !
nn
n
xx x xox
n
α
ααααα
α
+
+=++ ++ +
null
null
例 15 求极限
3
0
sin cos
lim,
sin
x
xx x
x
→
解 将分子中的 sinx与 cosx分别用三阶的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式表示：
33
1
sin ( ),
3!
xx x ox=? +
22 33
11
cos 1 ( ) ( ),
2! 2
xxx xox xxox
=? + =?+
于是，
33
1
sin cos ( ),
3
xx x x ox?=+
故
33
33
00
1
()
sin cos 1
3
lim lim,
sin 3
xx
xox
xx x
→→
+
= =
小结本单元我们重点讨论了两个问题：
一、利用洛必达法则求极限．在这一目中，要求大家掌握此法则所适用的对象的类型：两种基本类型和五种变形；并且注意在使用洛必达法则求极限过程中的两个要点：及时简化和反复使用．
二、正确理解泰勒展开式是拉格朗日中值公式的推广，
以及泰勒公式在近似计算、函数逼近中所起的重要作用．熟记几个常用函数的麦克劳林展开式，以及使用带有佩亚诺余项的泰勒展开式去求较为复杂的极限．
习题
1.用洛必达法则求下列极限：
sin sin
lim,
xa
xa
xa
→
⑴⑵
sin 2
lim ;
x
x
x
π
π
→
⑶
1
ln 1
lim ;
cot
x
x
arc x
→+∞
+
⑷
0
11
lim ;
sin
x
xx
→
⑸
()
1
0
1
lim ;
x
x
xe
x
→
+?
⑹
tan
0
1
lim,
x
x
x
+
→
2.设函数 f (x)在点 x
0
处有连续的二阶导数，证明
00 0
0
2
0
()()2()
lim ( ).
h
fx h fx h fx
fx
h
→
+ +
′′
=
3.按 (x-4)的幂展开将多项式
( )
432
534.px x x x x=? +?+
4.写出下列函数在指定点 x
0
处的带佩亚诺型余项的三阶泰勒公式：
⑴
()
0
1
,1;fx x
x
==?
⑵
( )
0
,4;fx xx= =
⑶
()
0
tan,0.fx xx= =
5.利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求下列极限：
[]
2
2
2
0
cos
lim ;
ln(1 )
x
x
xe
xx x
→
+?
⑴
2
0
sin (1 )
lim,
sin
x
x
exxx
xx
→
+
⑵
1.用洛必达法则求 与 型的极限；
0
0
∞
∞
2.泰勒中值定理
3.泰勒公式与麦克劳林公式、拉格朗日型余项及佩亚诺型余项,
二、本单元的教学要求
1.会用洛必达法则求未定式极限，其中
⑴对 0·∞,∞±∞型未定式，可通过变换化为 型或 型；
0
0
∞
∞
⑵对 0
0
,1
∞
等幂指型未定式，可取对数化为 或型．
0
0
∞
∞
2.理解泰勒中值定理，并会用泰勒定理证明一些相关的命题,
三、本单元教学的重点与难点
1.用洛必达法则式求型 与 型未定式极限，是求极限的一种特殊方法，并非一般方法,．尤其注意，只有满足条件 —— 存在或为 ∞ (这时称 有确定意义 )，用洛必达法则求得的极限才是正确的,
0
0
∞
∞
()
lim
()
xa
fx
F x
→
′
′
()
lim
()
xa
fx
F x
→
′
′
2.要正确理解：洛必达法则的条件是未定式存在极限的充分而非必要条件，换言之，当 不存在或也不为 ∞时,仍然可能是确定的．
()
lim
()
xa
fx
F x
→
′
′
()
lim
()
xa
fx
F x
→
3.应注意，洛必达法则不是求 型与 型未定式的唯一方法,读者在计算时应该结合等价无穷小的替换、带有佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法，以使计算简便、准确．
0
0
∞
∞
4.要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的进一步的推广，即拉格朗日中值定理是泰勒中值定理当 n=0时的特例；并懂得函数在一点 x
0
的泰勒多项式是该函数在 x
0
附近的近似表达式，比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更好的近似精度．
5.要学生记住以下初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：
2
11
1();
2! !
xnn
exx xox
n
=++ + + +null
1
3 5 21 21
11 (1)
sin ( );
3! 5! (2 1)!
m
mm
xx x x x ox
m
=? +? + +
null
24 2 2
11 (1)
cos 1 ( );
2! 4! (2 )!
m
mm
xxx xox
m
=? +? + +null
1
23
11 (1)
ln(1 ) ( );
23
n
nn
xx x x xox
n
+=? +?+ +null
2
(1) (1)( 1)
(1 ) 1
2! !
( );
n
n
n
xx x x
n
ox
α
α αααα
α
+
+=++ ++
+
null
null
2
1
1().
1
nn
xx x ox
x
=++ + + +
null
特别本单元课时数,4课时．
洛必达法则如果当 x→a(或 x→∞)时，函数 f (x)与 F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 可能存在，也可能不存在,通常称这种类型的极限为未定式，为了叙述方便，
习惯上用记号 或 来表示这两种类型的未定式.在本节中，我们将利用柯西中值定理得出求这些类型极限的一种简便而重要的方法，并着重讨论 x→a 时的未定式的情形．
()
()
lim
()
xa
x
f x
Fx
→
→∞
0
0
∞
∞
0
0
定理 1 设 f (x),F (x)在点 a的某去心领域内可导，
并且满足条件：
() 0Fx
′
≠
⑴ lim ( ) lim ( ) 0;
xa xa
fx Fx
→→
= =
⑵极限 或为 ∞,
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
′
′
那么,极限 存在，并且
() ()
lim lim,
() ()
xa xa
f x f x
Fx Fx
→→
′
=
′
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
证 因极限存在与否与函数在该点的函数值无关，故可设 f (a)=F(a)=0，则由条件知 f (x),F(x)在区间 [a,x]([x,a])
满足柯西中值定理的条件，即有
() () () ()
() () () ()
fx fx fa f
Fx Fx Fa F
ξ
ξ
′
==
′
(ξ在 x与 a之间 ),
令 x→a，则 ξ→a，又因极限 存在，即得
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
′
′
() ()
lim lim,
() ()
xa xa
f x f x
Fx Fx
→→
′
=
′
g
例 1 求．
3
32
1
32
lim
1
x
xx
xxx
→
+
+
解当 x→1时，分子和分母的极限均为零，故由洛必达法则，得
32
32 2
111
32 3 3 6 3
lim lim lim,
1321622
xxx
xx x x
xxx x x x
→→→
+?
= ==
+
注 在用洛必达法则求极限的过程中，可能要多次使用洛必达法则，才能最终求出极限．
例 2 求．
0
2
lim,
sin
xx
x
ee x
xx
→
解
000
0
22
lim lim lim
sin 1 cos sin
lim 2.
cos
x xxxxx
xx
xx
x
ee x ee ee
xx x x
ee
x
→→→
→
+
==
+
==
注 我们指出，如果把极限过程换成 x→a+或 x→a-或
x→+∞或 x→+∞或 x→∞，只要 是 型的，并且极限 存在 (或为无穷大 )，则仍然有
()
lim
()
fx
F x
0
0
()
lim
()
fx
F x
′
′
() ()
lim lim
() ()
fx f x
F xFx
′
=
′
这里不再一一证明．
11
arctan arctan
1
lim,
11
1
x
xx
xx
→∞
+
+
例 3 求解
()
()
()
()
22
22
2
2
2
2
11
11
arctan arctan
1
11
1
lim lim
11 1 1
1
1
[1 1 ] 1
lim 2.
1
xx
x
x
x
xx
xx x
x
xx
xx
→∞ →∞
→∞
+
+
++
+
=
+
+
+ + ++
==
+ +
定理 2 设 f (x),F (x)在点 a的某去心领域内可导，
并且满足条件：
() 0Fx
′
≠
⑴ lim ( ) lim ( ) ;
xa xa
fx Fx
→→
= =∞
⑵极限 或为 ∞,
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
′
′
那么,极限 存在，并且
() ()
lim lim,
() ()
xa xa
f x f x
Fx Fx
→→
′
=
′
()
lim
()
xa
fx
Fx
→
注 此定理的证明比较繁琐，所以略去证明,同样要说明的是定理中的可以换成 →a+，或 x→a-，或 x→+∞，或
x→+∞，或 x→∞，只要把条件作相应的修改，定理 2仍然成立．
例 4 求极限
()
ln
lim 0,
n
x
x
n
x
→+∞
>
解
ln 1
lim lim 0.
nn
xx
x
xnx
→+∞ →+∞
= =
例 5 求极限
()
*
lim N,0,
n
x
x
x
n
e
λ
λ
→+∞
∈>
解
( )
2
1
2
1
lim lim lim
!
lim 0
n
nn
xx x
xx x
nx
x
nn x
xnx
ee e
n
e
λλ λ
λ
λλ
λ
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
==
== =null
注 以上两个例虽然简单，但要务必熟记．
例 6 求极限
10
ln tan
2
lim,
ln(1 )
x
x
x
π
→?
解
2
10 10 10
1
sec
22
ln tan tan
(1)
22
lim lim lim
1
ln(1 ) sin
1
xx x
x
xx
x
x
π π
ππ
π
π
→? →? →?
==
10
lim 1.
cos
x
x
π
π π
→?
= =?
除了上面两种基本类型的未定式外，还有其他几种形式的未定式，它们是,0·∞,∞±∞,0
0
,1
∞
,∞
0
．对于这几种未定型，常用的方法是通过适当的变换，将其转换成上面两种基本类型．
例 7 求
( )
0
lim ln 0,
n
x
xx n
→+
>
解
1
1
000
0
ln
lim ln lim lim
1
lim 0.
n
nn
xxx
n
x
xx
xx
xnx
x
n
→+ →+ →+
→+
==
==
例 8 求极限
()
0
11
lim,
ln 1
x
xx
→
+
解 此类型为 ∞±∞型．
()
00
2
00
0
11 ln(1)
lim lim
ln 1 ln(1 )
1
1
ln(1 )
1
lim lim
2
1
lim,
2(1 ) 2
xx
xx
x
xx
xx x x
xx
x
x
xx
→→
→→
→
+
=
++
+
+
==
==
+
对 0
0
,1
∞
,∞
0
未定式，则可通过取对数的方式,转化为 0·∞型未定式，再化为 或 型未定式,即若极限
0
0
∞
∞
()
( )
lim
gx
x
fx
形式为,作变换,即[ ]
()
()
gx
yfx=
，原极限转变为
[ ]
ln ()ln ()ygx fx=
[ ]
limln lim ( )ln ( )
xx
ygxfx=,
例 9 求极限,
1
lim
x
x
x
→+∞
解 此极限为 ∞
0
型，令,
1
1
,ln ln
x
yx y x
x
==
11
lim ln lim ln lim 0,
xx x
yx
xx
→+∞ →+∞ →+∞
= ==
∴
1
0
lim 1
x
x
xe
→+∞
= =
例 10 求极限
1
2
1
1
lim,
2
x
x
xx
→
+
解令
1
22
1
1
,lnln,
212
x
xx xx
yy
x
++
==
2
2
11
113
limln ln lim
12 2
xx
xx x
y
xx
→→
++
= ==
+
1
3
2
1
2
1
lim,
2
x
x
xx
e
→
+
=
∴
最后我们指出两点,第一，洛必达法则是求未定式的值的一种有效方法,但是最好能与其他求极限的方法结合使用（比如利用重要极限和等价无穷小的替代等方法），这样可以使运算简捷；
例 11 求极限
2
0
sin
lim,
sin
x
xx
xx
→
解 此题也可直接使用洛必达法则，但分母的求导过于复杂，故可考虑等价无穷小代换，注意到当 x→0时，
Sinx x,因此
～
232
000
0
sin sin 1 cos
lim lim lim
sin 3
1
lim,
66
xxx
x
xx xx x
xx x x
x
x
→→→
→
==
==
第二，定理 1或 2的条件仅是其结论的充分条件，当分子分母的导数之商 的极限不存在也不是∞时,的极限仍可能存在．
( )
()
fx
F x
′
′
( )
()
f x
F x
例 12 验证极限 存在，但不能用洛必达法则求之．
sin
lim
x
xx
x
→∞
+
解 因 故 但原式上下求导
sin
lim 0,
x
x
x
→∞
=
sin
lim 1,
x
xx
x
→∞
+
=
cos
lim
1
x
x
→∞
之后为：,此式的极限不存在．故原题不能用洛必达法则求出．
泰勒公式不论是进行近似计算还是理论分析，人们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数,多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于计算机计算,因此，常用多项式来近似表达函数.
我们已经知道当,并且 |Dx|很小时，有如下的近似等式，
0
() 0fx
′
≠
0
(),ydy fx x
′
≈=?
000
() ( ) ( )( ),fx fx fx x x
′
≈ +?
或上式就是用一次多项式 来近似表达一个函数 f(x)．显然，在 x=x
0
处，这个一次多项式满足 P
1
(x
0
)=f (x
0
)以及,但是，这种近似表达式存在不足之处,首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于 (x-x
0
)的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估计出误差的大小,因此，我们设想用高次多项式来近似表达函数，同时设法给出误差公式于是提出如下的问题：
1000
() () ()( )P xfx fxxx
′
=+?
10 0
() ()P x f x
′ ′
=
设函数在含 x
0
的开区间内具有直到 (n+1)阶的导数，试找出一个关于 (x-x
0
)的 n次多项式
2
01 0 2 0 0
() ()() ()
n
nn
Px a ax x ax x ax x=+?+? ++?null
⑴
用它来近似表达 f (x)，要求它与 f (x)之差是比 (x-x
0
)
n
高阶的无穷小，并且给出误差 的具体表达式() ()
n
fx Px?
为了使求得的近似多项式与 f (x)在数值与性质方面吻合得更好，我们进一步要求 P
n
(x)在 x
0
处满足
( )
() ()
00
() () 0,1,,
kk
n
P x f xk n==null
按此要求，可以很容易地求得 (1)式中多项式的各个系数为
()
001 02 0 0
11
(),(),(),,()
2! !
n
n
afxafxa fx a fx
n
′′′
== = =null
于是
⑵
()
()
2
000 00
00
1
() () ()( ) ()( )
2!
1
+ ( )
!
n
n
n
Px fx fxxx fxxx
fxxx
n
′′′
=+?+?+
null
(2)式称为 f(x)在 x
0
处关于 (x-x
0
)的 n阶泰勒多项式,
定理 1(泰勒中值定理 ) 如果函数 f(x)在含 x
0
的某个开区间内 (a,b)具有直到 (n+1)阶导数，即,那么对于 x∈ (a,b),有
1
(,)
n
fDab
+
∈
2
000 00
()
00
1
() () ()( ) ()( )
2!
1
( )( ) ( )
!
nn
n
fx fx f x x x f x x x
fxxx Rx
n
′′′
=+?+?+
+?+null
⑶
(1)
1
0
()
() ( ),
(1)!
n
n
n
f
Rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
其中
⑷
而 ξ是介于 x与 x
0
之间的某一个值．
公式⑷称为 f (x)在 x
0
处关于 (x-x
0
)的 n阶泰勒公式，公式右端的最后一项
(1)
1
0
()
() ( ),
(1)!
n
n
n
f
Rx x x
n
ξ
+
+
=?
+
称为拉格朗日型余项．
当 n=0时，泰勒公式就是拉格朗日中值公式：
00
() ( ) ()( )fx fx f x xξ
′
= +?
(ξ在 x与 x
0
之间 )．
所以，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
由定理可知，用泰勒多项式 P
n
(x)近似表达函数 f (x)时其误差为 |R
n
(x)|,如果对于某个固定的 n，当 x∈(a,b)时，
|f
(n+1)
(x)≤M|，那么有估计式：
(1)
11
00
()
| ()| () ||.
( 1)! ( 1)!
n
nn
n
fM
Rx xx xx
nn
ξ
+
++
=?≤?
++
⑸
在公式 (2)中取 x=0的特殊情况在应用中尤为重要．此时 ξ在 0与 x之间，因此可记 ξ=θx，从而使泰勒公式变成较简单的形式，称为麦克劳林公式：
()
2
() ( 1)
1
(0)
() (0) (0)
2!
(0) ( )
0 1
!!
nn
nn
f
fx f f x x
ffx
xx
nn
θ
θ
+
+
′′
′
=+ + +
++ <
null
⑹
与泰勒多项式相应，上式右端的多项式称为的 n阶麦克劳林多项式,此时的误差估计式 (5)相应变成：
1
(),
(1)!
n
n
M
Rx x
n
+
≤
+
例 13 求出函数 的 n阶麦克劳林公式．()
x
fx e=
解因
()
() () () ()
nx
fx f x f x f x e
′′′
= === =null
()
(0) (0) (0) (0) 1
n
ff f f
′′′
= === =null
∴
故相应的 n阶麦克劳林展开式为
()
21
11
1,
2! ! ( 1)!
x
xnn
e
exx x x
nn
θ
θ
+
=++ + + + < <
+
null
由这个公式可知，对给定的 x∈R，如果用它的阶麦克劳林多项式近似表达为
2
11
1
2! !
xn
exx x
n
≈++ + +null
注意到，相应的误差为
()
||
11
() | | 0 1.
(1)! (1)!
xx
nn
n
ee
Rx x x
nn
θ
θ
++
= <<<
++
若取 x=1，则可得 e的近似值为
11
11
2! !
e
n
≈ ++ + +null
其误差为
3
.
(1)!(1)!
n
e
R
nn
<<
++
当 n=10时，可算出,其误差不超过 10
-6
2.718282e≈
例 14 求出函数 的 n阶麦克劳林公式．
() sinf xx=
解因
()
()
() sin 0,1,2,.
2
n
n
fx x nπ
=+ =
null
()
0,
2,
(0) 0,1,2,
21,
(1),
n
m
nm
fm
nm
=?
==
=+
∴
null
代入公式⑸，得
1
35 21
2
11 (1)
sin ( ),
3! 5! (2 1)!
m
m
m
xx x x x Rx
m
=? +? + +
null
其中
()
21
2
sin[ (2 1) ]
2
() 0 1.
(2 1)!
m
m
xm
Rx x
m
π
θ
θ
+
++
= <<
+
由此,sinx的 n阶 (n=2m)麦克劳林多项式为
1
35 21
11 (1)
sin,
3! 5! (2 1)!
m
m
xx x x x
m
≈? +? +
null
相应的误差为
21
21
2
sin[ (2 1) ]
||
2
|()|
(2 1)! (2 1)!
m
m
m
xm
x
Rx x
mm
π
θ
+
+
++
=≤
+ +
正弦函数 sinx及其近似多项式 P
n
(x) (n=1,2,
…
,19)通过计算机作出的图象都画在下图中，可以看到 sinx及其近似多项式 P
n
(x) 的图形随着 n的增大而变得贴近起来，也就是说误差 R
n
(x)随着 n的增大而变小．特别当 x偏离原点较远时选取阶数较高的麦克劳林多项式 P
n
(x)来近似表达时，其精度就较高．
)(xP
n
2,1=nsin 19,,nullPx
n
()Rx
n
类似地，可以得到
24 2
21
11 (1)
cos 1 ( ),
2! 4! (2 )!
m
m
m
xxx xRx
m
+
=? +? + +null
其中
()
22
21
cos[ ( 1) ]
() 0 1.
(2 2)!
m
m
xm
Rx x
m
θ π
θ
+
+
+ +
= <<
+
1
23
11 (1)
ln(1 ) ( ),
23
n
n
n
xx x x xRx
n
+=? +?+ +null
其中，
()
22
21
cos[ ( 1) ]
( ) 0 1,
(2 2)!
m
m
xm
Rx x
m
θ π
θ
+
+
+ +
= <<
+
2
(1) (1)( 1)
(1 ) 1 ( )
2! !
n
n
n
xx x xRx
n
α
α αααα
α
+
+=++ ++ +
null
null
其中，
()
11
(1)( 1)( )
() (1 ) 0 1.
(1)!
nn
n
nn
Rx x x
n
α
ααα α
θθ
+
+?
=+<
+
null
上面讨论的是带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，其优点之一是在近似计算中可以用它来作误差估计．然而
Rn(x)的另一种表达式，在处理极限时会带来很大方便．
当 x→x
0
时，泰勒公式中的余项 R
n
(x)是比 (x-x
0
)
n
高阶的无穷小，即
( )
() ( ),
n
n
Rx ox x=?
⑺
表达式⑺称为佩亚诺型余项．
定理 2 如果函数 f (x)在含有 x
0
的开区间 (a,b)内直到有 n
阶的导数,且 f (x)在 (a,b)内连续，则 f (x)在 (a,b)内有
n阶带有佩亚诺余项的泰勒公式
()
2
000 00
()
00 0
1
() () ()( ) ()( )
2!
1
( )( ) ( ),
!
nn n
fx fx f x x x f x x x
fxxx oxx
n
′′′
=+?+?+
+?+?null
⑻
下面是常见的基本初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：
2
11
1();
2! !
xnn
exx xox
n
=++ + + +null
1
3 5 21 21
11 (1)
sin ( );
3! 5! (2 1)!
m
mm
xx x x x ox
m
=? +? + +
null
24 2 2
11 (1)
cos 1 ( );
2! 4! (2 )!
m
mm
xxx xox
m
=? +? + +null
1
23
11 (1)
ln(1 ) ( )
23
n
nn
xx x x xox
n
+=? +?+ +null
2
(1) (1)( 1)
(1 ) 1 ( ).
2! !
nn
n
xx x xox
n
α
ααααα
α
+
+=++ ++ +
null
null
例 15 求极限
3
0
sin cos
lim,
sin
x
xx x
x
→
解 将分子中的 sinx与 cosx分别用三阶的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式表示：
33
1
sin ( ),
3!
xx x ox=? +
22 33
11
cos 1 ( ) ( ),
2! 2
xxx xox xxox
=? + =?+
于是，
33
1
sin cos ( ),
3
xx x x ox?=+
故
33
33
00
1
()
sin cos 1
3
lim lim,
sin 3
xx
xox
xx x
→→
+
= =
小结本单元我们重点讨论了两个问题：
一、利用洛必达法则求极限．在这一目中，要求大家掌握此法则所适用的对象的类型：两种基本类型和五种变形；并且注意在使用洛必达法则求极限过程中的两个要点：及时简化和反复使用．
二、正确理解泰勒展开式是拉格朗日中值公式的推广，
以及泰勒公式在近似计算、函数逼近中所起的重要作用．熟记几个常用函数的麦克劳林展开式，以及使用带有佩亚诺余项的泰勒展开式去求较为复杂的极限．
习题
1.用洛必达法则求下列极限：
sin sin
lim,
xa
xa
xa
→
⑴⑵
sin 2
lim ;
x
x
x
π
π
→
⑶
1
ln 1
lim ;
cot
x
x
arc x
→+∞
+
⑷
0
11
lim ;
sin
x
xx
→
⑸
()
1
0
1
lim ;
x
x
xe
x
→
+?
⑹
tan
0
1
lim,
x
x
x
+
→
2.设函数 f (x)在点 x
0
处有连续的二阶导数，证明
00 0
0
2
0
()()2()
lim ( ).
h
fx h fx h fx
fx
h
→
+ +
′′
=
3.按 (x-4)的幂展开将多项式
( )
432
534.px x x x x=? +?+
4.写出下列函数在指定点 x
0
处的带佩亚诺型余项的三阶泰勒公式：
⑴
()
0
1
,1;fx x
x
==?
⑵
( )
0
,4;fx xx= =
⑶
()
0
tan,0.fx xx= =
5.利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求下列极限：
[]
2
2
2
0
cos
lim ;
ln(1 )
x
x
xe
xx x
→
+?
⑴
2
0
sin (1 )
lim,
sin
x
x
exxx
xx
→
+
⑵
