第二单元幂级数一、本单元的内容要点本单元要点:
1.幂级数及收敛性;
2.收敛半径的求法;
3.幂级数的运算;
4.函数展开成幂级数
5.展开式的应用幂级数及收敛性设u
i
(x)(i=1,2,
…
)均为区间I上的函数，表达式
12
1
() () () ()
nn
n
ux ux ux ux
∞
=
= ++++
∑
" "
称为函数无穷项级数。若x
0
∈I，且
01020 0
1
() () () ()
nn
n
ux ux ux ux
∞
=
= ++++
∑
" "
收敛，则称x
0
为收敛点；由收敛点构成的集合称为收敛域。在收敛域上得到收敛函数，称为和函数。
特殊地，把形如的函数项级数叫做(x-x
0
)的幂级数。当x
0
=0时，上式为
2
001020
0
0
() ()()
( )
n
n
n
n
n
axx a axx axx
axx
∞
=
=+?+? +
+?+
∑
"
"
( 1 )
2
01 2
0
.
nn
n
ax a ax ax ax
∞
=
=+ + ++ +
∑
" "
( 2 )
对(1)式，作变换t= x-x
0
，即得(2)式，故本节主要讨论
(2)的收敛性。
例1 幂级数
2
1
1
nn
n
xxx x
∞
=
= ++ + + +
∑
" "
由等比级数的收敛性，易知当|x|<1时，级数收敛，故收敛域为区间(-1,1)。和函数为
1
.
1 x?
即
2
1
1
1.
1
nn
n
xxx x
x
∞
=
= =++ + + +
∑
" "
幂级数收敛域的结构设幂级数
2
01 2
0
.
nn
n
ax a ax ax ax
∞
=
=+ + ++ +
∑
" "
则幂级数在z=0处收敛，即收敛域非空。当x≠0时，有如下的定理。
定理(阿贝尔) 如果幂级数在x=x
0
处收敛，则当
|x|<|x
0
|时，级数绝对收敛；若幂级数在x=x
0
处发散，则当|x|<|x
0
|时，级数发散。
( 2 )
证设x
0
是幂级数的一个收敛点，即
001020 0
0
nnn
n
ax a ax ax ax
∞
=
= +++++
∑
" "
收敛，?，即数列有界，即存在M>0，满足
0
lim 0
n
n
n
ax
→∞
=
( )
0
0
n
n
n
ax
∞
=
( )
0
,0,1,2,
n
n
ax M n<= "
由此得到，当|x|<|x
0
|时，有
00
0
nnn
nn n
xxx
ax ax ax M== ≤
而等比级数收敛，?级数
0
0
n
n
n
x
M
x
∞
=
∑
2
01 2
0
.
nn
n
ax a ax ax ax
∞
=
=+ + ++ +
∑
" "
绝对收敛。
反之，若级数发散，则当|x|<|x
0
|时，若
0
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
则由前面所证，?收敛，这和已知的矛盾。
故发散。
0
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
g
由此定理，得幂级数的收敛域有如下特征：收敛域从原点开始向两端扩张，初始时遇到的均为收敛点，在某一时刻，遇到发散点，以后的所有点均发散。
收敛发散由定理得到如下的推论：
推论当幂级数(2)的收敛域K不是单点集时，
(1)如果K是有界集，则必定有一个确定的正数R，当
|x|<R时，幂级数绝对收敛；当|x|>R时，幂级数发散；
(2)如果K是无界集，则K=(-∞,∞)。
注这样的R称为幂级数的收敛半径。
例幂级数的收敛半径为1。
1
n
n
x
∞
=
∑
收敛半径的求法
1.比值法定理设幂级数，如果极限
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
1
lim
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
有确定意义，则幂级数的收敛半径为
1
0< <
=0
0
R
ρ
ρ
ρ
ρ
∞
=+∞
= +∞
证考虑幂级数,由正项级数的比值法，
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
1
1
1
n
n
n
n
n
n
ax
a
x
a
ax
+
+
+
=
1
lim
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
并设极限有意义，则
(1)若ρπ0且ρπ∞，则由比值判别法，当ρ|x|<1时，级数绝对收敛；当ρ|x|>1时，级数发散。即收敛半径为
1
.R
ρ
=
(2)若ρ=0时，则由比值判别法，
1
1
1
lim lim 0,
n
n
n
n
nn
n
n
ax
a
x
a
ax
+
+
+
→∞ →∞
= =
即，幂级数对任何x均收敛。
(2)若ρ=∞时，则由比值判别法，当xπ0时，有
1
1
1
lim lim 1,
n
n
n
n
nn
n
n
ax
a
x
a
ax
+
+
+
→∞ →∞
= =+∞>
故级数发散。
g
例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间：
1,; 2.
1
1
(1)
2
n
n
n
n
x
n
∞
=
∑
()
0
1
1
n
n
x
n
∞
=
∑
3,4.
2
0
1
4
n
n
n
x
n
∞
=
∑
0
1
!
n
n
x
n
∞
=
∑
0
!
n
n
nx
∞
=
∑
解1.
5.
1
1
111
lim lim /,
(1)2 2 2
n
nn
nn
n
a
ann
+
+
→∞ →∞
= =
+
1
1
(1)
2
n
n
n
n
x
n
∞
=
∑
R=2。当x=2时，级数为
11
11
(1) (1)
2,
2
nn
n
n
nn
∞∞
==
=
∑∑
级数收敛；当x=-2时，级数为
()
1
11
(1) 1
2,
2
n
n
n
nn
∞∞
==
=
∑ ∑
级数发散。收敛区间为R=(-1,1].
2,()
0
1
1
n
n
x
n
∞
=
∑
令y=x-1，则原级数转变为，
0
1
n
n
y
n
∞
=
∑
1
11
lim lim / 1,
(1)
n
nn
n
a
ann
+
→∞ →∞
= =
+
收敛半径R=1，x=0，级数为级数收敛；x=2，
级数为级数发散，故收敛区间为(0,2)。
()
0
1
1
n
n
n
∞
=
∑
0n
1
n
∞
=
∑
3.
2
0
1
4
n
n
n
x
n
∞
=
∑
令y=x
2
，级数为，收敛半径为
0
1
4
n
n
n
y
n
∞
=
∑
1
1
111
lim lim /,
(1)4 4 4
n
nn
nn
n
a
ann
+
+
→∞ →∞
= =
+
即幂级数的收敛半径为R=4，故原级数的收敛半径为R=2。当x=±2时，级数为
0
1
4
n
n
n
y
n
∞
=
∑
2
01
11
2
4
n
n
nn
∞∞
==
=
∑ ∑
级数发散，故原级数的收敛区间为(-2,2)。
4.
0
1
!
n
n
x
n
∞
=
∑
1
11 1
lim lim / lim 0,
(1)!! 1
n
nn n
n
a
annn
+
→∞ →∞ →∞
= ==
++
故，收敛半径R=+∞。
5.
0
!
n
n
nx
∞
=
∑
1
(1)!
lim lim lim( 1),
!
n
nn n
n
a
n
n
an
+
→∞ →∞ →∞
+
= =+=∞
故，收敛半径R=+∞。
2.根值法定理设幂级数，若极限
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
lim
n
n
n
a ρ
→∞
=
有意义，则，
1
0< <
=0,
0
R
ρ
ρ
ρ
ρ
∞
=+∞
= +∞
g
例4 求幂级数的收敛区间。
()
1
1
11
n
n
n
x
n
∞
=
+?
∑
解令y=x-1，由根值法，得
11
lim lim 1 lim 1 1.
n
n
n
n
nn n
a
nn
→∞ →∞ →∞
= += +=
幂级数的收敛半径为R
1
=1，?原幂级数的收敛半径R=1。因
1
1
1
n
n
n
y
n
∞
=
+
∑
1
lim 1,
n
n
e
n
→∞
+ =
故当x=0或x=2时，级数的通项不趋于零，即级数发散。
因而收敛区间为(0,2)。
幂级数的运算设幂级数与幂级数分别在区间(-R,R)与
(-R,R)内收敛，则按下列方法定义级数的四则运算：
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
加减法
()
000
.
nn n
nn
nnn
ax bx a b x
∞∞∞
===
±=±
∑∑∑
乘法
()( )
00 0
2
00 01 10 02 11 20
nn n
ij
nn nijn
ax bx ab x
ab ab ab x ab ab ab x
∞∞ ∞
== =+=
=
= ++ +++ +
∑∑ ∑∑
"
除法设b≠0，
0
0
0
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ax
cx
bx
∞
∞
=
∞
=
=
=
∑
∑
∑
其中的系数由如下递推关系确定：
0
n
n
n
cx
∞
=
∑
0000
nnn n
ij
nnnnijn
ax bx cx bc x
∞∞∞∞
====+=
=?
∑∑∑∑∑
比较系数，得关系
000
11001
2201102
,
,
,
abc
abcbc
abcbcbc
=
=+
=++
" " "
从中解出c
i
。
连续性设幂级数的收敛半径为R，则其和函数
s(x)在区间(-R,R)内连续；若幂级数在端点收敛，则和函数在端点连续。
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
可积性设幂级数的收敛半径为R，则其和函数
s(x)在区间(-R,R)内可积，并有逐项积分公式：
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
()
00 0
00
1
0
()
,
1
xx x
nn
nn
n
n
n
sxdx ax dx axdx
a
xxR
n
∞∞
==
∞
+
=
==
=<
+
∑∑
∫∫ ∫
∑
可微性设幂级数的收敛半径为R，则其和函数
s(x)在区间(-R,R)内可微，并有逐项求导公式：
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
()
() ()
1
00 1
,
nnn
nn n
s xax ax axxR
∞∞ ∞
== =
′
′
′
<
∑∑∑
值得注意的是，经过逐项求导和求积所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径，但区间端点的收敛性会有所不同。
例5 求幂级数的和函数。
1
n
n
nx
∞
=
∑
解显然该幂级数的收敛半径R=1，收敛区间(-1,1)。
当|x|<1时，令
1
(),
n
n
sx nx
∞
=
=
∑
1
1
11
() ()
nn
nn
sx nx x nx xs x
∞∞
==
== =
∑∑
则
1
1
00
11
(),
1
xx
nn
nn
x
s x dx nx dx x
x
∞∞
==
=
∑∑
∫∫
()
1
2
1
(),
1
1
x
sx
x
x
′
==
()
1
2
() (),
1
x
sx xs x
x
==
∴
例6 求幂级数的和函数。()
1
21
nn
n
x
∞
=
∑
解先求收敛半径：
1
21
lim 2,
21
n
n
n
+
→∞
=
R=1/2。当|x|<1/2时，令
()
()( )
111
() 2 1 2
2
.
12 1 1 12
nn nn n
s xxxx
xx x
xx x x
∞∞∞
===
=?=?
=?=
∑ ∑∑
例7 求幂级数的和函数。
2
0
n
n
nx
∞
=
∑
解同理，该幂级数的收敛半径R=1，收敛区间
(-1,1)。当|x|<1时，令和函数为s(x)，则
21 1 1
12
00 0
() ( 1) () ().
nnn
nn n
sx nx nn x nx s x s x
∞∞ ∞
== =
+?=?
∑∑ ∑
1
1
00
11
() ( 1) ( 1),
xx
nn
nn
sxdx nn x dx n x
∞∞
==
=+=+
∑∑
∫∫
2
1
0
11
1
(1) (1),
11
x
nn
nn
x
nxdx x x
xx
∞∞
+
==
+===?++
∑∑
∫
()
1
2
0
11
() (1 ) 1,
1
1
x
sxdx x
x
x
′
=?+ + =?+
∫
()
1
3
1
()
1
sx
x
=
11
22
00
1
(),(),
1
xx
nnn
x
sx nx sxdx nxdx x
x
∞∞∞
===
∑∑∑
∫∫
( )
()
22
2
0
1
() (),
1
1
x
x
sx sxdx
x
x
′
′
===
∫
()()
12
32
11
() () ()
11
sx s x s x
xx
=? =?
()
3
.
1
x
x
=
泰勒级数的概念在第二章第六节中知道，若函数f (x)在x
0
的某个领域
U(x
0
,r)内有n阶导数，那么函数在该领域内有泰勒公式
()
0
000 0
()
()()()() ()(),
!
n
n
n
fx
f x f x f xxx xx Rx
n
′
=+?++?+ "
其中
()
()
(1)
1
0
()
(),
1!
n
n
n
f
Rx xx
n
ξ
+
+
=?
+
为拉格朗日型余项。
在该领域中，f (x)可用泰勒多项式
()
0
000 0
()
() () ()( ) ( ),
!
n
n
n
fx
Px f x f xxx xx
n
′
=+?++? "
近似表示，误差为
()
()
(1)
1
0
()
() () (),
1!
n
n
nn
f
fx Px Rx x x
n
ξ
+
+
= =?
+
进一步地，若f
(n+1)
(x)为有界量，则余项
()
()
()
1
1
11
0
(),
1! 1!
n
n
nn
n
MM
R xxx r
+
+
++
≤?≤
上式为f (x)在该领域中的一致误差。
设f (x)在x
0
的领域内有任意阶导数，由此得到幂级数
()
0
0
0
()
0
000 0
()
()
!
()
()()() ()
!
n
n
n
n
n
fx
xx
n
fx
fx fxxx xx
n
∞
=
′
=+?++?+
∑
" "
称此幂级数为函数f (x)在x
0
处的泰勒级数。由此产生的两个问题是：
(1)幂级数是否收敛？
(2)若幂级数收敛，其和函数是否为f (x)?
( 1 )
定理设函数f (x)在x
0
的某个领域U(x
0
,r)内有任意阶导数，则f (x)在该领域内可展开泰勒级数的充要条件是f (x)的泰勒公式中的余项R
n
(x)满足
()
0
lim ( ) 0,(,),
n
n
R xxUxr
→∞
=∈
证?：若f (x)在x
0
的某个领域U(x
0
,r)内可展开成泰勒级数，即有
( )
0
() lim (),,
n
n
f xPxxUxr
→∞
=∈
又由泰勒公式，
() () (),
nn
fx Px Rx= +
故
( )
0
lim ( ) lim[ ( ) ( )] 0 (,),
nn
nn
R x f xPx xUxr
→∞ →∞
=?=∈
：设，由泰勒公式
( )
0
lim ( ) 0,(,)
n
n
R xxUxr
→∞
=∈
() () (),
nn
Px fx Rx=?
故，
( )
0
lim ( ) lim[ ( ) ( )] ( ) (,),
nn
nn
Px f xRx f xxUxr
→∞ →∞
=?=∈
即f (x)的泰勒级数在U(x
0
,r)内收敛，并且和函数为f (x)。
g
注1.若f (x)在U(x
0
,r)内能展开成(x-x
0
)的幂级数，则该级数必定是f (x)的泰勒级数。
事实上，若f (x)在U(x
0
,r)内能展开成幂级数
2
01 0 2 0 0
() ()() (),
n
n
fx a axx axx axx=+?+? ++? + " "
利用幂级数的逐项求导性质，得
21
12 02 0 0
() 2 ( ) ( ) ( ),
n
n
fx a axx axx naxx
′
=+? +? ++? + " "
2
230 0
() 2 23 ( ) ( 1) ( ),
n
n
fx a axx nn axx
′′
=+++ + " "
()
10
() 23 23 ( 1) ( ),
n
nn
fx na nnaxx
+
= + +? + " " "
以x=x
0
代入各式，即得
()
00
001 02
() ()
(),(),,,,
2! !
n
n
fx f x
afxafxa a
n
′
== = = " "
故，级数
2
01 0 2 0 0
() ()() (),
n
n
fx a axx axx axx=+?+? ++? + " "
为f (x)在x=x
0
的泰勒级数。
2.若f (x)在U(x
0
,r)内有各阶导数，则可以构造相应的幂级数
()
0
0
0
()
0
000 0
()
()
!
()
()()() ()
!
n
n
n
n
n
fx
xx
n
fx
fx fxxx xx
n
∞
=
′
=+?++?+
∑
" "
即使幂级数收敛，幂级数不一定收敛到f (x)。
3.若f (x)在U(x
0
,r)内可展开成泰勒级数，则有
( )
0
() lim (),,
n
n
f xPxxUxr
→∞
=∈
注意到在U(x
0
,r)内，
()
0
000 0
()
() () ()( ) ( ),
!
n
n
n
fx
Px f x f xxx xx
n
′
=+?++? "
是f (x)的泰勒多项式，且P
n
(x
0
)=f (x
0
)，且当x∈U(x
0
,r)
时，f (x)≈ P
n
(x)，并且这个近似当x越接近x越有效；
而x距x较远时，误差较大。即泰勒多项式是函数的局部逼近。
函数展开成幂级数的方法
1.直接展开法不失一般性，我们讨论在x=0处的泰勒级数——又称为麦克劳林级数。
1.求处f(x)在x=0处的各阶导数值f
(n)
(0)：
2.作形式幂级数
() ()
0
(0) (0)
(0) (0)
!!
nn
n
ff
xf fx x
∞
=
′
= +++ +
∑
" "
3.求出该幂级数的收敛半径，从而确定收敛范围；
4.验证在区间(-R,R)内，极限
()
(1)
()
lim ( ) lim 0,.
(1)!
n
n
nn
f
R xx
n
ξ
ξ
+
→∞ →∞
==<
+
若上式成立，则在区间(-R,R)内，有
()
0
(0)
( ) (,).
!
n
n
n
f
f xxxR
n
∞
=
=∈?
∑
例1 将f (x)=e
x
展开成幂级数。
解因为f
(n)
(x)=e
x
，故f
(n)
(0)=1，所以幂级数为
2
0
111
1
!2!!
nn
n
xxx x
∞
=
= ++ + + +
∑
" "
收敛半径为R=∞，当x∈(- ∞,+ ∞)，
() ()
()
1
1
(),
1! 1!
x
n
n
ee
R xx x
nn
ξ
ξ
+
+
=< <
++
注意到，x为有限值，故有
()
1
lim ( ) lim =0.
1!
x
n
nn
e
Rx x
n
+
→∞ →∞
≤
+
lim ( ) =0.
n
Rx
→∞
故，函数f (x)=e
x
的麦克劳林级数为
2
0
111
1.
!2!!
xn n
n
exxx x
nn
∞
=
==+++++
∑
" "
例2 将函数f (x)=sinx 展开成x的幂级数。
解因
()
() sin,( 0,1,2,)
2
n
n
fx x n
π
=+ =
"
故，相应的泰勒级数为
()
1
35 21
11 (1)
,
3! 5! 2 1 !
n
n
xx x x
n
+++ +
" "
显然，该级数的收敛半径为R=∞，相应的余项为
() ()
11
(1)
sin
2 1
() 0,
1! 1!
nn
n
Rx x x
nn
π
ξ
++
+
+
=≤→
++
由此得到，函数sinx的在x=0泰勒级数为
()
1
35 21
11 (1)
sin (,).
3! 5! 2 1 !
n
n
xx x x x x
n
=? + ++ + ∈?∞+∞
" "
例3 将二项式f (x)=(1+x)
α
展开成x 的幂级数。
解当α为自然数n时，f (0)=1，k>0时，
()
(0) ( 1) ( 1),1,2,,,
k
fnnnkk n=+ = " "
而当k>n时，有f
(k)
(0)=0。故
21
122 11
(1) (1)2
(1 ) 1
2! ( 1)!
1.
nn
nn n
nn n
nn nn
xnx x xx
n
Cx Cx C x x
α?
+=++ ++ +
=+ + + ++ +
"
"
"
再设α为非零常数，且α不是自然数，则有
()( )
()
(0) 1,(0),(0) ( 1),
(0) 1 1,
n
ff f
fn
α αα
αα α
′ ′′
= ==?
=+
"
"
" " " " " " " " " " " " " "
故，得到幂级数
( )
2
(1) 1
(1)
1,
2! !
n
xx x
n
α
αα α
αα
α
+
++ ++ +
"
" "
收敛半径
()( )
()()
1
(1)! 1 1
lim lim
!1
1
lim 1,
n
nn
n
n
nn
a
R
a
n
n
αα α
αα α
α
→∞ →∞
+
→∞
++
==
+
==
"
"
令f (x)=(1+x)
α
，则
1
() (1 ) (),
1
f xx f x
x
α
α
α
′
=+ =
+
即f (x)为一阶齐次线性微分方程
0
1
yy
x
α
′
=
+
的解，今证幂级数的和函数
( )
2
(1) 1
(1)
() 1,
2! !
n
sx x x x
n
α
αα α
αα
α
+
=+ + + + +
"
" "
也是方程的解。事实上，对s(x)逐项求导后，得到
()
2
1
(1)(2)
() [1 ( 1)
2!
(1)(2)( 1)
],
1!
n
sx x x
n
x
n
α α
αα
αα α α
′
=+?+ +
+
++
"
"
"
两端同乘以(1+x)，并按x
n
进行整理，得x
n
的系数
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
()
()()( )
12 12 1
!1!
12 1
!
nn
nn
n
n
αα α αα α
α
αα α α
α
+
+
+
=
" "
"
即有
2
(1)
(1 ) ( ) [1
2!
(1)( 1)
] ( ),
!
n
xs x x x
n
xsx
n
α α
αα
αα α
α
′
+=++ +
+
++=
"
"
"
() () 0.
1
sx sx
x
α
′
=
+
由此可见，s(x)与(1+x)
α
均为一阶线性微分方程
0
1
yy
x
α
′
=
+
的解，从而
() (1 ),s xC x
α
=+
又因，s(0)=1，?
() (1 ).s xx
α
=+
由此得到二项展开式
()
2
(1)
(1 ) 1
2!
(1) 1
,( 1,1)
!
xx x
n
xx
n
α
α
α α
α
αα α
+=++ +
+
++∈?
"
"
"
取α =1/2及α =-1/2时，得到相应的展开式：
23
1
1
11 13
11
224 246
1 ( 1) (2 1)!!
1 [ 1,1).
2()!
n
n
n
xxx x
n
xx
n
∞
=
×
+=+? +?
×××
=+ + ∈?
∑
"
23
1
1 1 13 135
1
224 246
1
(1)(2 1)!
1 ( 1,1].
(2 )!!
n
n
n
xx x
x
n
xx
n
∞
=
× ××
=? + +?
×××
+
=+ ∈?
∑
"
2.间接展开法利用已有的展开式，通过适当的变换，求出未知的展开式，这种方法，即称为“间接展开法”。由于泰勒级数的唯一性，新得到的级数一定是所求函数的泰勒级数。
例4 求cosx的麦克劳林级数：
解由例2知
()
1
35 21
11 (1)
sin (,).
3! 5! 2 1 !
n
n
xx x x x x
n
=? + ++ + ∈?∞+∞
" "
利用逐项求导，可得cosx麦克劳林级数：
24 2
cos 1 (,).
2! 4! (2 )!
n
xx x
n
=? + + + + ∈?∞+∞ " "
例5 求arctanx的麦克劳林级数：
解因，再由的展开式
()
2
1
arctan
1
x
x
′
=
+
1
1 x+
()
0
1
1
1
n
n
n
x
x
∞
=
=?
+
∑
故
()
2
2
0
1
1,
1
n
n
n
x
x
∞
=
=?
+
∑
两边积分，得
() ()
22
2
00
00
11
arctan 1 1,
12
xx
nn
nn
xdx xdx x
xn
∞∞
==
==?=?
++
∑∑
∫∫
例6 将函数展开成(x-1)的幂级数。
2
1
()
43
fx
xx
=
+ +
解因
()()
2
1111
(),
43 1 321 3
fx
xx x x x x
== =?
++ + + + +
()
1
0
11 ()
1,
1
12(1)2 2
1
2
n
n
n
n
x
x
xx
∞
+
=
==?
++?
+
∑
而
()
()
1
0
1
1111
1,
1
34(1)4 4
1
4
n
n
n
n
x
x
xx
∞
+
=
==?
++?
+
∑
及由此得到
()
211
0
1
11
(1,3).
43 2 2 4
n
n
nn
n
xx
xx
∞
++
=
=?∈?
++
∑
例7 求级数的和。
1
1
(2 1)
n
nn
∞
=
+
∑
解作幂级数
21
1
1
(),
(2 1)
n
n
sx x
nn
∞
+
=
=
+
∑
易见，收敛区间为[-1,1]。则，原式为：
1
1
(1)
(2 1)
n
ss
nn
∞
=
==
+
∑
2
1
1
()
n
n
sx x
n
∞
=
′
=
∑
2
yx=
1
1
1
()
n
n
y s y
n
∞
=
=
∑
1
11
1
1
(),() ln(1 ).
1
n
n
sy y sy y
y
∞
=
′
==?=
∑
22
1
() ( ) ln(1 )s xsx x
′
=? =
即所以
2
22
2
00
2
() ln(1 ) ln(1 )
1
xx
x
s x x dx x x dx
x
= =
∫∫
2
22
2
1
ln(1 ) 2 ln
1
ln(1 ) 2 2ln(1 ) ln(1 )
(1 ) ln(1 ) 2 2 ln(1 )
x
xxx
x
xxx x x
xxx x
+
= +?
= +? + +?
= +? +
注意到
2
1
10
(1 ) ln(1 ) lim (1 ) ln(1 )(1 ) 0,
x
x
xx xxx
=
→?
+=
所以，原式
()
1
1
(1) 2 1 ln 2,
(2 1)
n
s
nn
∞
=
==?
+
∑
欧拉公式设z
n
=u
n
+iv
n
(n=1,2,
…
)是复数列，则级数
12
1
nn
n
zzz z
∞
=
= ++++
∑
" "
称为复数项级数；若实部及虚部构成的级数
( 1 )
12
1
,
nn
n
uuu u
∞
=
=++++
∑
" "
12
1
,
nn
n
vvv v
∞
=
=++++
∑
" "
( 2 )
均收敛，且分别收敛到u和v，则称复级数收敛，且收敛到u+iv。
如果由级数(1)中各项模组成的正项级数
12
1
nn
n
zzz z
∞
=
= ++++
∑
" "
收敛，则称复级数(1)绝对收敛。由于
,
iiii
uzvz≤ ≤
若复级数绝对收敛，则由实部及虚部构成的级数(2)均绝对收敛。
考虑复级数
2
0
1
!2!
nn
n
zzz
z
∞
=
= ++ + + +
∑
" "
对任意的正数R，当时，因
z R≤
,
!!
n
n
z
R
nn
≤
( 3 )
故，复级数(3)绝对收敛，记(3)为
()
2
1
2!
n
z
zz
ez z
n
= ++ + + + <+∞ " "
( 4 )
取z=iy，由绝对收敛级数的更序不变性，得
() () () ()
2345
2345
24 35
1111
1
2! 3! 4! 5!
1111
1
2! 3! 4! 5!
11 11
1
2! 4! 3! 5!
cos sin
iy
eiyiy iy iy iy
iy y i y y i y
yy iyyy
yi y
=++++++
=+ + + +
=? + + +? + +
=+
"
"
" "
即有公式
cos sin,
ix
exx=+
将x换成-x，则有
cos sin,
ix
exx
=?
由此得到
cos,
2
ix ix
ee
x
+
=
sin,
2
ix ix
ee
x
i
=
上两公式即称为欧拉公式。
1.幂级数及收敛性;
2.收敛半径的求法;
3.幂级数的运算;
4.函数展开成幂级数
5.展开式的应用幂级数及收敛性设u
i
(x)(i=1,2,
…
)均为区间I上的函数，表达式
12
1
() () () ()
nn
n
ux ux ux ux
∞
=
= ++++
∑
" "
称为函数无穷项级数。若x
0
∈I，且
01020 0
1
() () () ()
nn
n
ux ux ux ux
∞
=
= ++++
∑
" "
收敛，则称x
0
为收敛点；由收敛点构成的集合称为收敛域。在收敛域上得到收敛函数，称为和函数。
特殊地，把形如的函数项级数叫做(x-x
0
)的幂级数。当x
0
=0时，上式为
2
001020
0
0
() ()()
( )
n
n
n
n
n
axx a axx axx
axx
∞
=
=+?+? +
+?+
∑
"
"
( 1 )
2
01 2
0
.
nn
n
ax a ax ax ax
∞
=
=+ + ++ +
∑
" "
( 2 )
对(1)式，作变换t= x-x
0
，即得(2)式，故本节主要讨论
(2)的收敛性。
例1 幂级数
2
1
1
nn
n
xxx x
∞
=
= ++ + + +
∑
" "
由等比级数的收敛性，易知当|x|<1时，级数收敛，故收敛域为区间(-1,1)。和函数为
1
.
1 x?
即
2
1
1
1.
1
nn
n
xxx x
x
∞
=
= =++ + + +
∑
" "
幂级数收敛域的结构设幂级数
2
01 2
0
.
nn
n
ax a ax ax ax
∞
=
=+ + ++ +
∑
" "
则幂级数在z=0处收敛，即收敛域非空。当x≠0时，有如下的定理。
定理(阿贝尔) 如果幂级数在x=x
0
处收敛，则当
|x|<|x
0
|时，级数绝对收敛；若幂级数在x=x
0
处发散，则当|x|<|x
0
|时，级数发散。
( 2 )
证设x
0
是幂级数的一个收敛点，即
001020 0
0
nnn
n
ax a ax ax ax
∞
=
= +++++
∑
" "
收敛，?，即数列有界，即存在M>0，满足
0
lim 0
n
n
n
ax
→∞
=
( )
0
0
n
n
n
ax
∞
=
( )
0
,0,1,2,
n
n
ax M n<= "
由此得到，当|x|<|x
0
|时，有
00
0
nnn
nn n
xxx
ax ax ax M== ≤
而等比级数收敛，?级数
0
0
n
n
n
x
M
x
∞
=
∑
2
01 2
0
.
nn
n
ax a ax ax ax
∞
=
=+ + ++ +
∑
" "
绝对收敛。
反之，若级数发散，则当|x|<|x
0
|时，若
0
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
则由前面所证，?收敛，这和已知的矛盾。
故发散。
0
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
g
由此定理，得幂级数的收敛域有如下特征：收敛域从原点开始向两端扩张，初始时遇到的均为收敛点，在某一时刻，遇到发散点，以后的所有点均发散。
收敛发散由定理得到如下的推论：
推论当幂级数(2)的收敛域K不是单点集时，
(1)如果K是有界集，则必定有一个确定的正数R，当
|x|<R时，幂级数绝对收敛；当|x|>R时，幂级数发散；
(2)如果K是无界集，则K=(-∞,∞)。
注这样的R称为幂级数的收敛半径。
例幂级数的收敛半径为1。
1
n
n
x
∞
=
∑
收敛半径的求法
1.比值法定理设幂级数，如果极限
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
1
lim
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
有确定意义，则幂级数的收敛半径为
1
0< <
=0
0
R
ρ
ρ
ρ
ρ
∞
=+∞
= +∞
证考虑幂级数,由正项级数的比值法，
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
1
1
1
n
n
n
n
n
n
ax
a
x
a
ax
+
+
+
=
1
lim
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
并设极限有意义，则
(1)若ρπ0且ρπ∞，则由比值判别法，当ρ|x|<1时，级数绝对收敛；当ρ|x|>1时，级数发散。即收敛半径为
1
.R
ρ
=
(2)若ρ=0时，则由比值判别法，
1
1
1
lim lim 0,
n
n
n
n
nn
n
n
ax
a
x
a
ax
+
+
+
→∞ →∞
= =
即，幂级数对任何x均收敛。
(2)若ρ=∞时，则由比值判别法，当xπ0时，有
1
1
1
lim lim 1,
n
n
n
n
nn
n
n
ax
a
x
a
ax
+
+
+
→∞ →∞
= =+∞>
故级数发散。
g
例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间：
1,; 2.
1
1
(1)
2
n
n
n
n
x
n
∞
=
∑
()
0
1
1
n
n
x
n
∞
=
∑
3,4.
2
0
1
4
n
n
n
x
n
∞
=
∑
0
1
!
n
n
x
n
∞
=
∑
0
!
n
n
nx
∞
=
∑
解1.
5.
1
1
111
lim lim /,
(1)2 2 2
n
nn
nn
n
a
ann
+
+
→∞ →∞
= =
+
1
1
(1)
2
n
n
n
n
x
n
∞
=
∑
R=2。当x=2时，级数为
11
11
(1) (1)
2,
2
nn
n
n
nn
∞∞
==
=
∑∑
级数收敛；当x=-2时，级数为
()
1
11
(1) 1
2,
2
n
n
n
nn
∞∞
==
=
∑ ∑
级数发散。收敛区间为R=(-1,1].
2,()
0
1
1
n
n
x
n
∞
=
∑
令y=x-1，则原级数转变为，
0
1
n
n
y
n
∞
=
∑
1
11
lim lim / 1,
(1)
n
nn
n
a
ann
+
→∞ →∞
= =
+
收敛半径R=1，x=0，级数为级数收敛；x=2，
级数为级数发散，故收敛区间为(0,2)。
()
0
1
1
n
n
n
∞
=
∑
0n
1
n
∞
=
∑
3.
2
0
1
4
n
n
n
x
n
∞
=
∑
令y=x
2
，级数为，收敛半径为
0
1
4
n
n
n
y
n
∞
=
∑
1
1
111
lim lim /,
(1)4 4 4
n
nn
nn
n
a
ann
+
+
→∞ →∞
= =
+
即幂级数的收敛半径为R=4，故原级数的收敛半径为R=2。当x=±2时，级数为
0
1
4
n
n
n
y
n
∞
=
∑
2
01
11
2
4
n
n
nn
∞∞
==
=
∑ ∑
级数发散，故原级数的收敛区间为(-2,2)。
4.
0
1
!
n
n
x
n
∞
=
∑
1
11 1
lim lim / lim 0,
(1)!! 1
n
nn n
n
a
annn
+
→∞ →∞ →∞
= ==
++
故，收敛半径R=+∞。
5.
0
!
n
n
nx
∞
=
∑
1
(1)!
lim lim lim( 1),
!
n
nn n
n
a
n
n
an
+
→∞ →∞ →∞
+
= =+=∞
故，收敛半径R=+∞。
2.根值法定理设幂级数，若极限
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
lim
n
n
n
a ρ
→∞
=
有意义，则，
1
0< <
=0,
0
R
ρ
ρ
ρ
ρ
∞
=+∞
= +∞
g
例4 求幂级数的收敛区间。
()
1
1
11
n
n
n
x
n
∞
=
+?
∑
解令y=x-1，由根值法，得
11
lim lim 1 lim 1 1.
n
n
n
n
nn n
a
nn
→∞ →∞ →∞
= += +=
幂级数的收敛半径为R
1
=1，?原幂级数的收敛半径R=1。因
1
1
1
n
n
n
y
n
∞
=
+
∑
1
lim 1,
n
n
e
n
→∞
+ =
故当x=0或x=2时，级数的通项不趋于零，即级数发散。
因而收敛区间为(0,2)。
幂级数的运算设幂级数与幂级数分别在区间(-R,R)与
(-R,R)内收敛，则按下列方法定义级数的四则运算：
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
加减法
()
000
.
nn n
nn
nnn
ax bx a b x
∞∞∞
===
±=±
∑∑∑
乘法
()( )
00 0
2
00 01 10 02 11 20
nn n
ij
nn nijn
ax bx ab x
ab ab ab x ab ab ab x
∞∞ ∞
== =+=
=
= ++ +++ +
∑∑ ∑∑
"
除法设b≠0，
0
0
0
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ax
cx
bx
∞
∞
=
∞
=
=
=
∑
∑
∑
其中的系数由如下递推关系确定：
0
n
n
n
cx
∞
=
∑
0000
nnn n
ij
nnnnijn
ax bx cx bc x
∞∞∞∞
====+=
=?
∑∑∑∑∑
比较系数，得关系
000
11001
2201102
,
,
,
abc
abcbc
abcbcbc
=
=+
=++
" " "
从中解出c
i
。
连续性设幂级数的收敛半径为R，则其和函数
s(x)在区间(-R,R)内连续；若幂级数在端点收敛，则和函数在端点连续。
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
可积性设幂级数的收敛半径为R，则其和函数
s(x)在区间(-R,R)内可积，并有逐项积分公式：
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
()
00 0
00
1
0
()
,
1
xx x
nn
nn
n
n
n
sxdx ax dx axdx
a
xxR
n
∞∞
==
∞
+
=
==
=<
+
∑∑
∫∫ ∫
∑
可微性设幂级数的收敛半径为R，则其和函数
s(x)在区间(-R,R)内可微，并有逐项求导公式：
0
n
n
n
ax
∞
=
∑
()
() ()
1
00 1
,
nnn
nn n
s xax ax axxR
∞∞ ∞
== =
′
′
′
<
∑∑∑
值得注意的是，经过逐项求导和求积所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径，但区间端点的收敛性会有所不同。
例5 求幂级数的和函数。
1
n
n
nx
∞
=
∑
解显然该幂级数的收敛半径R=1，收敛区间(-1,1)。
当|x|<1时，令
1
(),
n
n
sx nx
∞
=
=
∑
1
1
11
() ()
nn
nn
sx nx x nx xs x
∞∞
==
== =
∑∑
则
1
1
00
11
(),
1
xx
nn
nn
x
s x dx nx dx x
x
∞∞
==
=
∑∑
∫∫
()
1
2
1
(),
1
1
x
sx
x
x
′
==
()
1
2
() (),
1
x
sx xs x
x
==
∴
例6 求幂级数的和函数。()
1
21
nn
n
x
∞
=
∑
解先求收敛半径：
1
21
lim 2,
21
n
n
n
+
→∞
=
R=1/2。当|x|<1/2时，令
()
()( )
111
() 2 1 2
2
.
12 1 1 12
nn nn n
s xxxx
xx x
xx x x
∞∞∞
===
=?=?
=?=
∑ ∑∑
例7 求幂级数的和函数。
2
0
n
n
nx
∞
=
∑
解同理，该幂级数的收敛半径R=1，收敛区间
(-1,1)。当|x|<1时，令和函数为s(x)，则
21 1 1
12
00 0
() ( 1) () ().
nnn
nn n
sx nx nn x nx s x s x
∞∞ ∞
== =
+?=?
∑∑ ∑
1
1
00
11
() ( 1) ( 1),
xx
nn
nn
sxdx nn x dx n x
∞∞
==
=+=+
∑∑
∫∫
2
1
0
11
1
(1) (1),
11
x
nn
nn
x
nxdx x x
xx
∞∞
+
==
+===?++
∑∑
∫
()
1
2
0
11
() (1 ) 1,
1
1
x
sxdx x
x
x
′
=?+ + =?+
∫
()
1
3
1
()
1
sx
x
=
11
22
00
1
(),(),
1
xx
nnn
x
sx nx sxdx nxdx x
x
∞∞∞
===
∑∑∑
∫∫
( )
()
22
2
0
1
() (),
1
1
x
x
sx sxdx
x
x
′
′
===
∫
()()
12
32
11
() () ()
11
sx s x s x
xx
=? =?
()
3
.
1
x
x
=
泰勒级数的概念在第二章第六节中知道，若函数f (x)在x
0
的某个领域
U(x
0
,r)内有n阶导数，那么函数在该领域内有泰勒公式
()
0
000 0
()
()()()() ()(),
!
n
n
n
fx
f x f x f xxx xx Rx
n
′
=+?++?+ "
其中
()
()
(1)
1
0
()
(),
1!
n
n
n
f
Rx xx
n
ξ
+
+
=?
+
为拉格朗日型余项。
在该领域中，f (x)可用泰勒多项式
()
0
000 0
()
() () ()( ) ( ),
!
n
n
n
fx
Px f x f xxx xx
n
′
=+?++? "
近似表示，误差为
()
()
(1)
1
0
()
() () (),
1!
n
n
nn
f
fx Px Rx x x
n
ξ
+
+
= =?
+
进一步地，若f
(n+1)
(x)为有界量，则余项
()
()
()
1
1
11
0
(),
1! 1!
n
n
nn
n
MM
R xxx r
+
+
++
≤?≤
上式为f (x)在该领域中的一致误差。
设f (x)在x
0
的领域内有任意阶导数，由此得到幂级数
()
0
0
0
()
0
000 0
()
()
!
()
()()() ()
!
n
n
n
n
n
fx
xx
n
fx
fx fxxx xx
n
∞
=
′
=+?++?+
∑
" "
称此幂级数为函数f (x)在x
0
处的泰勒级数。由此产生的两个问题是：
(1)幂级数是否收敛？
(2)若幂级数收敛，其和函数是否为f (x)?
( 1 )
定理设函数f (x)在x
0
的某个领域U(x
0
,r)内有任意阶导数，则f (x)在该领域内可展开泰勒级数的充要条件是f (x)的泰勒公式中的余项R
n
(x)满足
()
0
lim ( ) 0,(,),
n
n
R xxUxr
→∞
=∈
证?：若f (x)在x
0
的某个领域U(x
0
,r)内可展开成泰勒级数，即有
( )
0
() lim (),,
n
n
f xPxxUxr
→∞
=∈
又由泰勒公式，
() () (),
nn
fx Px Rx= +
故
( )
0
lim ( ) lim[ ( ) ( )] 0 (,),
nn
nn
R x f xPx xUxr
→∞ →∞
=?=∈
：设，由泰勒公式
( )
0
lim ( ) 0,(,)
n
n
R xxUxr
→∞
=∈
() () (),
nn
Px fx Rx=?
故，
( )
0
lim ( ) lim[ ( ) ( )] ( ) (,),
nn
nn
Px f xRx f xxUxr
→∞ →∞
=?=∈
即f (x)的泰勒级数在U(x
0
,r)内收敛，并且和函数为f (x)。
g
注1.若f (x)在U(x
0
,r)内能展开成(x-x
0
)的幂级数，则该级数必定是f (x)的泰勒级数。
事实上，若f (x)在U(x
0
,r)内能展开成幂级数
2
01 0 2 0 0
() ()() (),
n
n
fx a axx axx axx=+?+? ++? + " "
利用幂级数的逐项求导性质，得
21
12 02 0 0
() 2 ( ) ( ) ( ),
n
n
fx a axx axx naxx
′
=+? +? ++? + " "
2
230 0
() 2 23 ( ) ( 1) ( ),
n
n
fx a axx nn axx
′′
=+++ + " "
()
10
() 23 23 ( 1) ( ),
n
nn
fx na nnaxx
+
= + +? + " " "
以x=x
0
代入各式，即得
()
00
001 02
() ()
(),(),,,,
2! !
n
n
fx f x
afxafxa a
n
′
== = = " "
故，级数
2
01 0 2 0 0
() ()() (),
n
n
fx a axx axx axx=+?+? ++? + " "
为f (x)在x=x
0
的泰勒级数。
2.若f (x)在U(x
0
,r)内有各阶导数，则可以构造相应的幂级数
()
0
0
0
()
0
000 0
()
()
!
()
()()() ()
!
n
n
n
n
n
fx
xx
n
fx
fx fxxx xx
n
∞
=
′
=+?++?+
∑
" "
即使幂级数收敛，幂级数不一定收敛到f (x)。
3.若f (x)在U(x
0
,r)内可展开成泰勒级数，则有
( )
0
() lim (),,
n
n
f xPxxUxr
→∞
=∈
注意到在U(x
0
,r)内，
()
0
000 0
()
() () ()( ) ( ),
!
n
n
n
fx
Px f x f xxx xx
n
′
=+?++? "
是f (x)的泰勒多项式，且P
n
(x
0
)=f (x
0
)，且当x∈U(x
0
,r)
时，f (x)≈ P
n
(x)，并且这个近似当x越接近x越有效；
而x距x较远时，误差较大。即泰勒多项式是函数的局部逼近。
函数展开成幂级数的方法
1.直接展开法不失一般性，我们讨论在x=0处的泰勒级数——又称为麦克劳林级数。
1.求处f(x)在x=0处的各阶导数值f
(n)
(0)：
2.作形式幂级数
() ()
0
(0) (0)
(0) (0)
!!
nn
n
ff
xf fx x
∞
=
′
= +++ +
∑
" "
3.求出该幂级数的收敛半径，从而确定收敛范围；
4.验证在区间(-R,R)内，极限
()
(1)
()
lim ( ) lim 0,.
(1)!
n
n
nn
f
R xx
n
ξ
ξ
+
→∞ →∞
==<
+
若上式成立，则在区间(-R,R)内，有
()
0
(0)
( ) (,).
!
n
n
n
f
f xxxR
n
∞
=
=∈?
∑
例1 将f (x)=e
x
展开成幂级数。
解因为f
(n)
(x)=e
x
，故f
(n)
(0)=1，所以幂级数为
2
0
111
1
!2!!
nn
n
xxx x
∞
=
= ++ + + +
∑
" "
收敛半径为R=∞，当x∈(- ∞,+ ∞)，
() ()
()
1
1
(),
1! 1!
x
n
n
ee
R xx x
nn
ξ
ξ
+
+
=< <
++
注意到，x为有限值，故有
()
1
lim ( ) lim =0.
1!
x
n
nn
e
Rx x
n
+
→∞ →∞
≤
+
lim ( ) =0.
n
Rx
→∞
故，函数f (x)=e
x
的麦克劳林级数为
2
0
111
1.
!2!!
xn n
n
exxx x
nn
∞
=
==+++++
∑
" "
例2 将函数f (x)=sinx 展开成x的幂级数。
解因
()
() sin,( 0,1,2,)
2
n
n
fx x n
π
=+ =
"
故，相应的泰勒级数为
()
1
35 21
11 (1)
,
3! 5! 2 1 !
n
n
xx x x
n
+++ +
" "
显然，该级数的收敛半径为R=∞，相应的余项为
() ()
11
(1)
sin
2 1
() 0,
1! 1!
nn
n
Rx x x
nn
π
ξ
++
+
+
=≤→
++
由此得到，函数sinx的在x=0泰勒级数为
()
1
35 21
11 (1)
sin (,).
3! 5! 2 1 !
n
n
xx x x x x
n
=? + ++ + ∈?∞+∞
" "
例3 将二项式f (x)=(1+x)
α
展开成x 的幂级数。
解当α为自然数n时，f (0)=1，k>0时，
()
(0) ( 1) ( 1),1,2,,,
k
fnnnkk n=+ = " "
而当k>n时，有f
(k)
(0)=0。故
21
122 11
(1) (1)2
(1 ) 1
2! ( 1)!
1.
nn
nn n
nn n
nn nn
xnx x xx
n
Cx Cx C x x
α?
+=++ ++ +
=+ + + ++ +
"
"
"
再设α为非零常数，且α不是自然数，则有
()( )
()
(0) 1,(0),(0) ( 1),
(0) 1 1,
n
ff f
fn
α αα
αα α
′ ′′
= ==?
=+
"
"
" " " " " " " " " " " " " "
故，得到幂级数
( )
2
(1) 1
(1)
1,
2! !
n
xx x
n
α
αα α
αα
α
+
++ ++ +
"
" "
收敛半径
()( )
()()
1
(1)! 1 1
lim lim
!1
1
lim 1,
n
nn
n
n
nn
a
R
a
n
n
αα α
αα α
α
→∞ →∞
+
→∞
++
==
+
==
"
"
令f (x)=(1+x)
α
，则
1
() (1 ) (),
1
f xx f x
x
α
α
α
′
=+ =
+
即f (x)为一阶齐次线性微分方程
0
1
yy
x
α
′
=
+
的解，今证幂级数的和函数
( )
2
(1) 1
(1)
() 1,
2! !
n
sx x x x
n
α
αα α
αα
α
+
=+ + + + +
"
" "
也是方程的解。事实上，对s(x)逐项求导后，得到
()
2
1
(1)(2)
() [1 ( 1)
2!
(1)(2)( 1)
],
1!
n
sx x x
n
x
n
α α
αα
αα α α
′
=+?+ +
+
++
"
"
"
两端同乘以(1+x)，并按x
n
进行整理，得x
n
的系数
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
()
()()( )
12 12 1
!1!
12 1
!
nn
nn
n
n
αα α αα α
α
αα α α
α
+
+
+
=
" "
"
即有
2
(1)
(1 ) ( ) [1
2!
(1)( 1)
] ( ),
!
n
xs x x x
n
xsx
n
α α
αα
αα α
α
′
+=++ +
+
++=
"
"
"
() () 0.
1
sx sx
x
α
′
=
+
由此可见，s(x)与(1+x)
α
均为一阶线性微分方程
0
1
yy
x
α
′
=
+
的解，从而
() (1 ),s xC x
α
=+
又因，s(0)=1，?
() (1 ).s xx
α
=+
由此得到二项展开式
()
2
(1)
(1 ) 1
2!
(1) 1
,( 1,1)
!
xx x
n
xx
n
α
α
α α
α
αα α
+=++ +
+
++∈?
"
"
"
取α =1/2及α =-1/2时，得到相应的展开式：
23
1
1
11 13
11
224 246
1 ( 1) (2 1)!!
1 [ 1,1).
2()!
n
n
n
xxx x
n
xx
n
∞
=
×
+=+? +?
×××
=+ + ∈?
∑
"
23
1
1 1 13 135
1
224 246
1
(1)(2 1)!
1 ( 1,1].
(2 )!!
n
n
n
xx x
x
n
xx
n
∞
=
× ××
=? + +?
×××
+
=+ ∈?
∑
"
2.间接展开法利用已有的展开式，通过适当的变换，求出未知的展开式，这种方法，即称为“间接展开法”。由于泰勒级数的唯一性，新得到的级数一定是所求函数的泰勒级数。
例4 求cosx的麦克劳林级数：
解由例2知
()
1
35 21
11 (1)
sin (,).
3! 5! 2 1 !
n
n
xx x x x x
n
=? + ++ + ∈?∞+∞
" "
利用逐项求导，可得cosx麦克劳林级数：
24 2
cos 1 (,).
2! 4! (2 )!
n
xx x
n
=? + + + + ∈?∞+∞ " "
例5 求arctanx的麦克劳林级数：
解因，再由的展开式
()
2
1
arctan
1
x
x
′
=
+
1
1 x+
()
0
1
1
1
n
n
n
x
x
∞
=
=?
+
∑
故
()
2
2
0
1
1,
1
n
n
n
x
x
∞
=
=?
+
∑
两边积分，得
() ()
22
2
00
00
11
arctan 1 1,
12
xx
nn
nn
xdx xdx x
xn
∞∞
==
==?=?
++
∑∑
∫∫
例6 将函数展开成(x-1)的幂级数。
2
1
()
43
fx
xx
=
+ +
解因
()()
2
1111
(),
43 1 321 3
fx
xx x x x x
== =?
++ + + + +
()
1
0
11 ()
1,
1
12(1)2 2
1
2
n
n
n
n
x
x
xx
∞
+
=
==?
++?
+
∑
而
()
()
1
0
1
1111
1,
1
34(1)4 4
1
4
n
n
n
n
x
x
xx
∞
+
=
==?
++?
+
∑
及由此得到
()
211
0
1
11
(1,3).
43 2 2 4
n
n
nn
n
xx
xx
∞
++
=
=?∈?
++
∑
例7 求级数的和。
1
1
(2 1)
n
nn
∞
=
+
∑
解作幂级数
21
1
1
(),
(2 1)
n
n
sx x
nn
∞
+
=
=
+
∑
易见，收敛区间为[-1,1]。则，原式为：
1
1
(1)
(2 1)
n
ss
nn
∞
=
==
+
∑
2
1
1
()
n
n
sx x
n
∞
=
′
=
∑
2
yx=
1
1
1
()
n
n
y s y
n
∞
=
=
∑
1
11
1
1
(),() ln(1 ).
1
n
n
sy y sy y
y
∞
=
′
==?=
∑
22
1
() ( ) ln(1 )s xsx x
′
=? =
即所以
2
22
2
00
2
() ln(1 ) ln(1 )
1
xx
x
s x x dx x x dx
x
= =
∫∫
2
22
2
1
ln(1 ) 2 ln
1
ln(1 ) 2 2ln(1 ) ln(1 )
(1 ) ln(1 ) 2 2 ln(1 )
x
xxx
x
xxx x x
xxx x
+
= +?
= +? + +?
= +? +
注意到
2
1
10
(1 ) ln(1 ) lim (1 ) ln(1 )(1 ) 0,
x
x
xx xxx
=
→?
+=
所以，原式
()
1
1
(1) 2 1 ln 2,
(2 1)
n
s
nn
∞
=
==?
+
∑
欧拉公式设z
n
=u
n
+iv
n
(n=1,2,
…
)是复数列，则级数
12
1
nn
n
zzz z
∞
=
= ++++
∑
" "
称为复数项级数；若实部及虚部构成的级数
( 1 )
12
1
,
nn
n
uuu u
∞
=
=++++
∑
" "
12
1
,
nn
n
vvv v
∞
=
=++++
∑
" "
( 2 )
均收敛，且分别收敛到u和v，则称复级数收敛，且收敛到u+iv。
如果由级数(1)中各项模组成的正项级数
12
1
nn
n
zzz z
∞
=
= ++++
∑
" "
收敛，则称复级数(1)绝对收敛。由于
,
iiii
uzvz≤ ≤
若复级数绝对收敛，则由实部及虚部构成的级数(2)均绝对收敛。
考虑复级数
2
0
1
!2!
nn
n
zzz
z
∞
=
= ++ + + +
∑
" "
对任意的正数R，当时，因
z R≤
,
!!
n
n
z
R
nn
≤
( 3 )
故，复级数(3)绝对收敛，记(3)为
()
2
1
2!
n
z
zz
ez z
n
= ++ + + + <+∞ " "
( 4 )
取z=iy，由绝对收敛级数的更序不变性，得
() () () ()
2345
2345
24 35
1111
1
2! 3! 4! 5!
1111
1
2! 3! 4! 5!
11 11
1
2! 4! 3! 5!
cos sin
iy
eiyiy iy iy iy
iy y i y y i y
yy iyyy
yi y
=++++++
=+ + + +
=? + + +? + +
=+
"
"
" "
即有公式
cos sin,
ix
exx=+
将x换成-x，则有
cos sin,
ix
exx
=?
由此得到
cos,
2
ix ix
ee
x
+
=
sin,
2
ix ix
ee
x
i
=
上两公式即称为欧拉公式。
