第二单元隐函数和参数方程的导数本单元内容要点了解隐函数的概念，掌握隐函数的求导方法；掌握参数方程所确定的函数的导数本单元教学要求掌握隐函数的求导方法；参数方程所确定的函数的导数．
本单元的重点与难点重点：两类非显函数的求导方法．
难点：由参数方程所确定的函数的高阶导数．
教学时数：2课时．
隐函数的导数隐函数的概念所谓函数表示的是两个变量和之间的关系．这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为明确的关系式来表示．例如都反映了这种对应关系．这类关系的特点是：对自变量的每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量的取值．用这种方式表达的函数称为显函数．
xy
,sin
n
yxy x==
x
y
()yfx=
但某种情况下，这种对应关系是通过一个方程来确定的．通过方程可以确定和的对应关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显蚀方程来表示．例如方程
(,) 0Fxy= x
y
3
10xy+?=
就在区间上确定了一个隐函数又如方程
( )
,?∞+∞
();yyx=
22
1xy+ =
当限定，则在区间(-1,1)内确定了一个隐函数．0y >
在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如在例1
中，相应的函数关系可转化成
3
1.yx=?
但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例如由
5224
3512,yxyx++=
所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式．
对给定的方程，在什么条件可以确定隐函数，并且关于可导，这个问题在下册中将会详细讨论．在这里通过具体的例子来说明如何求出隐函数的导数．
(,) 0Fxy=
()yyx=
y
x
例1 求由方程所确定的隐函数的导数
0
y
exye+?=
y
.
dy
dx
解方程两边对求导，并注意到是的函数，利用复合函数的求导法则，有
x
y
x
()
()
0,
yy
dd
exe
dx dx
+?=
0,
y
xx
ey y xy
′′
+ +=
即有：
()
0,
y
x
y
y
yxe
xe
′
=? + ≠
+
从而得：
例2 求由方程所确定的隐函数的导数．
( )
sin 0 1yx yεε= +<<
y
解方程两边对求导，并注意到是的函数，利用复合函数的求导法则，有
x y
x
1cosyyyε
′ ′
= +?
即有：
1
1cos
y
yε
′
=
．
例3 求由方程确定的曲线在(0,0)
点的切线方程．
( )
2
sin cosxy y x+=
解根据隐函数求导法则，方程两边对x求导，得
2
cos( )(1 ) 2 cos sinxy y y xy x
′′
++=?
，
代入x=0，y=0即得，故10y
′
+ =
0
1
x
y
=
′
=?
，
因此所求切线方程为
yx=?
．
对数求导法所谓对数求导法，是通过其对数的方法，求出一些较为复杂的函数的导数．它所针对的对象主要是：
1.幂指函数[]
()
(),
vx
yux=
2.多个函数乘积形式．
( ) ( ) ( )
12 m
yfxfx fx="
例4 求函数的导数．
x
yx=
解两边取对数，得
ln ln,yxx=
再求导，利用隐函数的求导方法，得
1
ln 1,yx
y
′
= +
( ) ( )
ln 1 ln 1,
x
yyx x
′
=+=+
从而例5 求的导数．
sin xx
yx x= +
解令
sin
12
,
xx
yx x y y=+=+
sin
11
,ln sin ln,
x
yx y xx==
sin
1
1si sin
cos ln,cos ln,
x
yxx yx xx

′′
=+?= +


( ) ( )
22
ln 1 ln 1,
x
yy x x
′
=+=+
()
sin
sin
cos ln 1 ln,
xx
x
yx xx x x
x

′
=+++


例6 求函数的导数．
()
()
2
3
2
11
2
xx
y
x
+?
=
+
解对这一类函数尽管也可以用导数的四则运算来求得但是相当烦琐的．用对数求导法可大大简化计算．
因
2
1
2 ln( 1) ln(1 ) 3 ln( 2)
2
,
xxx
ye
++?+ +
=
()
()
2
3 2
2
11
216
,
12(1 ) 2
2
xx
x
y
xx
x
+?

′
∴ =?+

+?+

+
由参数方程确定的函数的导数在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示曲线，
例如，参数方程
()
cos
0 2,
sin
xr
yr
θ
θ π
θ
=
≤≤
=
表示的中心在原点、半径为的圆．通过参数可以建立与的对应关系：
r
θ
y
x
22
yrx=?
如果( )
0 ;θ π≤≤
或
22
yrx=
( )
2,π θπ≤≤如果一般，若参数方程
()
,
()
xt
y t
φ
=
=
确定变量与之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数．
y
x
在上式中，若函数在某个定义区间上具有单调、连续的反函数，并且此函数能与函
()xt?=
1
()tx?
=
数构成复合函数，由此得函数()ytφ=
( )
1
(),yfx xφ?

==

再由复合函数的求导法则，得
()
()
.
dy
t
dy dy dt
dt
dx
dx dt dx t
dt
φ
′
===
′
注意得是：这里的导数一般情况下，仍然可能用参数来表示．
如果函数与有二阶导数，则有函数的二阶导数公式：
( )
xt?=
( )
ytφ=
()yfx=
( ) ( ) ( ) ( )
()
2
22
.
tt tt
dy
dx
t
φ? φ?
′′′ ′′′
=
′


但更多的情况下，我们宁可采取直接求导的方法来求出高阶导数，而不是死记这个烦琐的公式．
例7 求曲线在处所对应的切线和法线方程．
2
xt
ytt
=
= +
1t =
解当时，曲线上相应的点的坐标为(1,2)，曲线在相应的点的切线斜率为
1t =
11
2
3,
tt
dy t t
k
dx t
==
+
=
23( 1),yx? =?
31.yx
故切线方程为：
=?即：
()
1
21,
3
yx? =
法线方程为
17
.
33
yx=?+
即：
例8 计算由摆线的参数方程
( )
()
sin
1cos
xat t
y at
=
=?
所确定的函数的二阶导数．
()
()
()
1cos
sin
cot,
1cos 2
sin
at
dy a t t
dx a t
at t
′


===
′


解
()
()
()
2
2
22
1
cot
csc
1
2
22
,
1cos
1cos
sin
t
t
dy
dx a t
t
at t
′




===?
′


( )
2,.tkkZπ≠∈