第一单元 映射与函数一、本单元的基本要点
1.集合的一般概念：集合的表示法；集合的基本运算；
常见的几类实数集合；区间、邻域、去心邻域、平面上矩形区域的乘积表示法．
2.映射的概念及满射、单射、一一映射、逆映射和复合映射．
3.函数的概念；函数的几种特性、反函数和复合函数、
反函数存在的一个充分条件．
4.函数的四则运算；初等函数；双曲函数．
二、本单元的教学要求
1.理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、
奇偶性、周期性．
2.理解复合函数的概念，了解反函数的概念．
3.掌握基本初等函数的性质及图形，理解初等函数的概念．
4.会建立简单实际问题中的函数关系式．
三、本单元教学的重点与难点
1.重点：函数的几种特性、复合函数、初等函数；
2.难点：几类映射的概念；
3.课时安排,2~4课时 (若讲微积分简介作为本课程的引言，则需 4课时 )．
引言 何谓微积分微积分：以变量为研究对象，以极限方法为基本研究对象的教学学科．
初等数学向微积分的发展：自然界中有很多量仅靠有限次的基本算术运算是无法计算出来 (或确定下来 )的，而必须分析一个变化过程的变化趋势才能求出来 (或确定下来 )．
典型问题一 曲 边图形的面积计算极限概念的起源可追溯到 2500年前的古希腊．那时的希腊人为计算由曲线围成的平面图形而引用了极限的思想．而阿基米德是杰出代表．
我们以阿基米德曾经计算过的一个问题来说明这种方法．
y=x
2
y
x
1
o
如图，曲线 y=x
2
,与 x轴、直线 x=1围成平面图形，求此曲边三角形的面积．
12 1
n
nn n
在区间 [0,1]中插入 n-1个分点 小区间的高度为,从而小矩形的面积之和为
12 1
,,,,
n
nn n
null
2
i
n
()
()( )
22 2
2
22
3
3
11 21 11
1
1 2 1
121
1
6
11 1
1 2,
6
n
n
S
nn nn n n
n
n
nnn
n
nn
=+++
=++?
=
=
null
null
y=x
2
y
x
1
o
12 1
n
nn n
当 n→∞时，从几何上 看，矩形将填满 (“穷竭,)曲边三角形，从代数上看，,因此认为曲边三角形的面积
1
6
n
S →
1
lim,
6
n
n
SS
→∞
==
,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣”
割圆术：
——刘徽我国魏晋时代的数学家刘徽用圆的内接正多边形来逼近圆的方法 ——割圆术，来计算圆周率 π的值．
若以 S
n
表示正圆内正 6× n边形的面积，则有
12 n
SS S≤ ≤≤≤nullnull
且，当 n→∞时，正多边形的面积与圆的面积,充分,接近，即有
lim,
n
n
SS
→∞
=
注 用极限方法于曲边图形面积的计算 (微小量的无穷累计问题 )
产生了积分学．
典型问题二 自 由落体瞬时速度的计算速度 用于刻画运动质点在各时刻运动,快慢,的程度．
设质点沿直线 OS运动，位移函数 s=s(t)．
情形Ⅰ 匀速直线运动,
路程时间
=常数匀速运动即，若在时刻 t
1
及 t
2
时，质点的位置分别为 s(t
1
),s(t
2
),则质点的运动速度为
( ) ( )
21
21
.
st st
vC
tt
= =
情形Ⅱ 变速直线运动：
在时刻区间 [t
1
,t
2
]中，质点从 s(t
1
)运动到 s(t
2
)，平均速度为
ss(t
1
) s(t
2
)
() ( )
21
21
.
s tst
v
tt
=
则，在时刻 t
1
的瞬时速度为
() ( )
21 21
21
21
lim lim,
tt tt
s tst
vv
tt
→→
==
例如，对自由落体运动，位移函数为,求时刻 t=2时的速度．在 [2,t]内的平均速度为
()
2
1
2
s tgt=
( ) ( )
()
22
2
2
2,
2222
st s
gt g
vt
tt
===+
v
当 t→2时,→,()
22 2
2
g
g+=
注 用极限方法用于计算瞬时速度等变化率问题产生了数学上的一个重要分支 ——微分学．
微分学与积分学的内在联系
17世纪，牛顿，莱布尼茨分别建立了微分与积分之间的联系 ——微积分基本公式．从而微分学与积分学形成了一个整体 ——微积分学．它是解决科学技术问题的重要数学工具，也是工科学生最重要的数学基础课；大学生素质培养 (思维素质 )的重要载体．
集合
1.集合的概念、记号、表示法集合 所谓集合 是指具有某种特定性质的事物的全体，组成该集合的事物的全体称为集合的元素,
通常用大写的拉丁字母 A,B,C,
…
,表示集合，用小写的拉丁字母 a,b,c,
…
,表示集合中的元素．如果 a是集合 A中的元素，则记为 a∈A,否则记为 a?A．含有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集．
集合的表示法
⑴列举法 将集合中的元素按一定的次序罗列出来．
{ }
12
,,,
n
A aa a= null
有限集
{ }
12
,,,,
n
Aaa a= nullnull
无限集
⑵性质法 用集合中的元素所满足的某种性质来表示．
A={ x | x 具有性质 P }
例 1
{ }
1
2,4,6,8,10A =
有限集
{ }
2
0,Axxx=>为实数无限集常用数集
{ }
0,1,2,3,N = null
{ }
0,1,2,Z =±±null
自然数集整数集
,,0,,
p
QpqZqpq
q
=∈≠
互质有理数集
R
实数集
C
复数集对数集 A，以 A
*
表示由该集合中的正数所构成的集合．
{ }
*
1,2,3,N = null
2.集合的运算设 A,B是两个集合，按如下法则定义下列集合：
{ }
A BxxAxB=∈∧∈∩
交集
{ }
A BxxAxB=∈∨∈∪ 并集
{ }
\A BxxAxB=∈∧?
集合的差集合的运算满足如下运算率：
交换率：
,ABBAABBA= =∩∩∪∪
结合率：
( ) ( )
,AB CA BC=∩∩ ∩∩
( ) ( )
A BCABC=∪∪ ∪∪
分配率,( ) ( ) ( )
,A BC AC BC=∩∪ ∪∩∪
( ) ( ) ( )
.A BC AC BC=∪∩ ∩∩∩
集合的直积 设 A,B是两个集合，在 A中任取元 a，在
B中任取元 b，由 a,b构成有序对 (x,y)，由所有的这种有序对构成的集合，称为集合 A与 B的直积，记为 A× B．
即
( ){ }
,,.A Bxy xAy B×= ∈∧∈
例 2 A={1,2,3},B={4,5,6}，则
{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),
(2,5)(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}.
AB×=
例 3 若 A是 x 轴,B是 y 轴，则 A× B为 xoy 平面．
3.区间和邻域设 a,b 是实数，且 a < b,
( ) { }
,;ab xa x b=<<
开区间：
[ ] { }
ab xa x b=≤≤
闭区间：
[ ) { }
,;ab xa x b=≤<
半开半闭区间：
{ }
(,] ;ab xa x b=<≤
{ }
(,),xx?∞ +∞ =?∞< <+∞
无穷区间：
区间的数轴表示：
ab
x
开区间：
ab
x
闭区间：
邻域：设 a,d是实数，且 d>0，则定义点 a 的 d邻域，记作 U(a,d)为集合：
{ }
(,),Ua xx aδ δ=?<
a δ?
a δ+
a
x
如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点 a 的空心邻域，记作：
{}
(,) 0,
o
Ua x x aδ δ=<?<
设 A=[a,b],B=[c,d ],则 A× B={ (x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d }，
x
y
o ab
c
d
A× B
映射
1.映射概念定义 设 X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f,
使得对 X中每个元素 x，按此法则 f，在 Y 中有唯一的元素 y与之对应，则称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作
:,fX Y→
其中 y 称为元素 x(在映射 f 下 )的像，并记作 f (x)，即
(),yfx=
而元素 x称为元素 y(在映射 f )下的一个原像；集合 X称为影射 f 的定义域，记作 D
f
，即 D
f
=X； X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作 R
f
，或 f (X)，
即
{ }
() (),
f
R f X f xx X== ∈
注 ⑴映射的三要素：定义域 X，值域所在的集合 Y，对应法则 f ；
⑵对应规则 f 成为,映射,的要求是：对每个 x∈X，
像 y= f (x)存在而且唯一；
⑶ Y 中的每一个元素 y，在 X中不一定存在原像．
例 4 设 X ={1,2,3},Y ={2,4,6,8},
2
XY
f
xx
→
=
→
则 f 是 X 到 Y 的映射．
例 5 X=(-1,1),Y=(-∞,+∞ ).
tan
2
XY
f
xx
π
→
=
→
则 f 是 X 到 Y 的映射．
例 6
非映射
f
()a
f
( )
b
非映射
f
( )
c
映射
2.几类重要的映射设 f 是 X 到 Y 的映射，
满射：若 Y= f (X),即? x∈X,? y∈Y,使得 y = f (x);
单射：若? x
1
≠ x
2
∈X,则必有 f (x
1
)≠ f (x
2
)．
一一对应：既单又满的映射称为一一对应．
例 4中的映射是单射，而例 5中的映射是一一对应．
3.逆映射与复合映射逆映射：设 f 是 X 到 Y 的单射，则对 R
f
中任一元素 y,可以确定 X中的唯一元素 x，满足 f (x)=y，称此对应关系为映射 f 的逆映射，记为 f
-1
．
在例 4中,f 的逆映射为
1
.
2
f
RX
f
y
y
→
=
→
这里,R
f
={2,4,6}.
在例 5中,f 的逆映射为
1
2
arctan,
2
arctan
YX
fy
yyπ
π
→
==
→
注映 射 f 存在逆映射的条件是 f 为单射；而此时逆映射的定义域是原映射的像集 R
f
，而并不是集合 Y．
复合映射：设有映射 f
1
:X→Y
1
,f
2
:Y
2
→Z，其中 Y
1
Y
2
,
由此可以确定一个从 X 到 Z 的映射 f，
21
,
[()]
XZ
f
xffx
→
=
→
称此映射为由 f
1、
f
2
构成的复合映射，记为 f
2
è f
1
．
X
Y
1
Y
2
Z
f
1
f
2
f
例 7 设 g,R→[-1,1],g(x)=sinx,f,[-1,1]→[0,1],
，则
2
() 1f uu=?
( )() () ( ) ()
2
sin 1 sin cos,fgx fgx f xxxR===?=∈
null
函数
1.函数概念定义 设数集 D?R，则称映射 f,D→R为定义在 D上的函数，记作
(),yfxxD= ∈
其中 x为自变量,y为因变量,D称为定义域，记作 D
f
，
即 D=D
f
．
注 在函数的定义中，函数是用记号 f 来表示，而不是用,函数值 f (x)”来表示．
构成函数的两个基本要素是函数的定义域 D
f
及对应法则 f,因而函数的相等应为定义域的相等和对应法则的相同．
x
o
y
y= f
D
f
R
f
设函数 y= f,定义域 D
f
，则集合
()
{ }
,()
f
x f xxD∈
称为函数 f 的图象．
常见的几类函数
x
o
y
C
y=C常数函数 y=C
绝对值函数 y=|x|
xo
y
y=|x|
符号函数
1 0
sgn 0 0,
1 0
x
yx x
x
>
== =
<
x
o
y
y=sgnx
取整函数 y=[x]：
对任意的 x∈X,用记号 [x] 表示不超过 x的最大整数，
由此得到的函数称为取整函数，记为 y =[x]．
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-3
x
y
o
分段函数 所谓分段函数是用多个解析式表示一个函数，
其实际含义是在几个区间中有不同的解析式．
例 8 函数
2
1
() 1 1 1,
1
xx
yfx x
xx
>
==?≤≤
<?
x
o
y
()yfx=
2.函数的几种特性
⑴有界性 设函数 y=f (x)，若存在 M>0，使得对任意的 x∈D
f
,总有 |f (x)|≤M，则称函数 y= f 在定义域 D
f
上有界．
注 1 函数的有界与函数的定义域相关．
例函 数
( )
1,2yxx=∈
有界函数．
例函 数
( )
0,yxx= ∈+∞
无界函数．
注 2 函数 y=f (x)有界M
1
,M
2
,?x∈D
f
,有
M
1
≤ f (x)≤ M
2
．
在上式中,M
1
称为上界,M
2
称为下界，由此可知：函数有界?函数既有上界，又有下界,对函数
()
1
0,1yx
x
=∈
易知函数有下界 M
1
=1，但函数无上界，因而函数无界．
由定义，可知如何说明函数在定义域上无界．
例 9 证明函数
11
() sinfx
xx
=
在点 x = 0处无界．
证,?M>0,令 x=1/(2nπ+ π/2),其中 n是一个比 M 大的自然数，则
() 2 sin 2
22 2
fx n n M
ππ π
= +=+>
所以 f (x) 在点 x = 0 处无界．
g
下图从几何上说明了该函数在 x = 0处的无界性,当 x
趋近于 0 时，曲线在±1/ x之间震荡，因而函数无界．
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
-150
-100
-50
50
100
150 11
() sinfx
xx
=
⑵单调性 设函数 f (x)的定义域为 D，区间 I?D，如果对区间中任意两点 x
1
及 x
2
，当 x
1
<x
2
时，总有
12
() ()fx fx<
则称函数 f (x)在区间 I中是单调增加的；如果对区间中任意两点 x
1
及 x
2
，当 x
1
<x
2
时，总有
12
() ()fx fx>
则称函数 f (x)在区间 I中是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．
单调函数的几何特征
x
o
y
f (x
1
)
f (x
2
)
x
1
x
2
f (x)
单调下降函数
x
o
y
f (x
1
)
f (x
2
)
x
1
x
2
f (x)
单调上升函数需要指出的是，函数的单调性既与函数的解析式有关，又与函数的定义域和讨论的区间有关．
例如函数 y=x
2
,x∈(-1,1)，函数在区间 (0,1),(-1,0)分别为单调上升函数和单调下降函数，但函数在整个定义域上并非单调．
x
o
y
y=x
2
1
-1
⑶奇偶性 设函数 f (x)的定义域 D关于原点对称，如果对任意的 x∈D,都有
() ( )f x f x=?
就称 f (x)为偶函数；如果对任意的 x∈D,都有
() ( )f x f x=
就称 f (x)为奇函数．
注：偶函数的图形关于 y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．
偶函数的图形特征：
y
x
()yfx=
o
x-x
奇函数的图形特征：
-x
o
y
xx
()yfx=
例 y=x
3
,y=sinx,为奇函数； y=x
2
,y=cosx 为偶函数．
而 y=cosx +sinx 为非奇非偶函数．
⑷周期函数 设函数 f (x)的定义域为 D,如果存在数
T≠ 0，使得对任意的 x ∈ D,当 x± T ∈D,总有
()()f xT f x+ =
就称 f (x)为周期函数,T 称为 f (x)的周期．通常我们说的周期指的是最小正周期．
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
例：狄利克雷函数
1
()
0
xQ
Dx
xQ
∈
=
则任何正有理数都是其周期，但没有最小正周期．
3.反函数和复合函数反函数 设函数 f,D → f (D) 是一一对应,则其逆映射
f
-1
,f (D)→D为 f 的反函数．
注：习惯上用 x 表示为自变量，所以函数 y=f (x)的反函数 x = f
-1
(y)，仍表示为 y=f
-1
(x)．
注：函数 y=f (x) 与它的反函数 y=f
-1
(x)的图形关于 y=x
对称．
函数与其反函数的图形特征：
()yfx=
(,)Qba
(,)P ab
()yx?=
x
y
o
直接函数反函数复合函数 复合函数本质上是复合映射在函数上的推广．当定义中的几个集合均为数集时，即得到复合函数的定义．
习惯上，复合函数更多多的是用 f [g(x)]而不是用
( f èg)(x)来表示．并且注意到，函数 f 和 g能构成复合函数的条件是 R
g
D
f
中,
例 10,则相应的复合函数为
2
,sin,yuu vvx== =
2
sinyx= 定义域为,
()
{ }
2
221Dxk x kπ π=≤≤+
4.函数的运算设函数 f (x),g(x)的定义域分别为 D
1
,D
2
,D=D
1
∩D
2
,
则按如下法则定义函数的运算：
≠?
()( ) ( )();fgx fxgx xD±=± ∈
( )( ) ( ) ( );fgx f x g xxD?=? ∈
() {}
()
\ | ( ) 0,
()
ffx
xxDxg
ggx
=∈=
5.初等函数
⑴幂函数
yx
μ
=
(1,1)
yx=
x
y
o
5.初等函数
⑴幂函数
yx
μ
=
2
yx=
(1,1)
yx=
x
y
o
5.初等函数
yx
μ
=
⑴幂函数
3
y x=
2
yx=
(1,1)
yx=
x
y
o
5.初等函数
yx
μ
=
⑴幂函数
xy =
(1,1)
2
yx=
yx=
3
y x=
x
y
o
5.初等函数
yx
μ
=
⑴幂函数
(1,1)
2
yx=
yx=
xy =
1
y
x
=
3
y x=
y
o
x
(2)指数函数 (a >0,a ≠1)
x
y a=
x
y
o
1
( 1)
x
ya a= >
(2)指数函数 (a >0,a ≠1)
x
y a=
x
y
o
1
( 1)
x
ya a= >
(0< 1)
x
ya a= <
(3)对数函数 (a >0,a ≠1)
log
a
y x=
ox
y
log ( 1)
a
yxa= >
1
(3)对数函数 (a >0,a ≠1)
log
a
y x=
o
x
y
log ( 1)
a
yxa= >
log (0 1)
a
yxa= <<
1
⑷三角函数正弦函数
sinyx=
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
sinyx=
余弦函数
cosyx=
cosyx=
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
正切函数 tanyx=
-6 -4 -2 2 4 6
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
tanyx=
正切函数 cotyx=
-6 -4 -2 2 4 6
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
cotyx=
三角函数的图象性质函 数 名 称 记 号 有 界 性 单 调 性 奇 偶 性 周 期 性正 弦 函 数
Sinx
有 界 非 奇
T=2π
余 弦 函 数
Cosx
有 界 非 偶
T=2π
正 切 函 数
Tanx
无 界 非 奇
T=π
余 切 函 数
Cotx
无 界 非 偶
T=π
注 三角函数在整个定义域中非单调的，但在部分区间中是单调的．例如：正弦函数 y=sinx在区间 中是单调上升的．
,
22
π π
⑸反三角函数反正弦函数
arcsinyx=
arcsiny x=
-1 -0.5 0.5 1
-6
-4
-2
2
4
6
反余弦函数
arccosyx=
arccosy x=
-1 -0.5 0.5 1
-6
-4
-2
2
4
6
反正弦函数
arctanyx=
arctany x=
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而得到的一个式子表示的函数称为初等函数,
6.双曲函数双曲正弦,
2
x x
ee
shx
=
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
shyx=
几何性质,shx为奇函数；当 x→∞
时,shx→e
x
/2，当
x→-∞时,shx→e
-
x
/2．
双曲余弦,
2
x x
ee
chx
+
=
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
y=ch
x
几何性质,chx为偶函数；当 x→∞
时,chx→e
x
/2．
双曲正切,
.
x x
x x
shx e e
thx
chx e e
==
+
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
.
x x
x x
ee
thx
ee
=
+
双曲函数常用公式
sinh( ) sinh cosh cosh sinh ;xy x y x y± =±
cosh( ) cosh cosh sinh sinh ;xy x y x y±
22
cosh sinh 1 ;xx? =
sinh 2 2sinh cosh ;xxx=
22
cosh 2 cosh sinh,xxx=+
反双曲函数反双曲正弦
( )
2
arsh ln 1 ;yxx x==++
-10 -5 5 10
-3
-2
-1
1
2
3
( )
2
arch ln 1 ;yxxx==+?
反双曲余弦
2 4 6 8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
( )
2
arsh ln 1 ;yxx x==++
反双曲正弦
-1 -0.5 0.5 1
-2
-1
1
2
1.集合的一般概念：集合的表示法；集合的基本运算；
常见的几类实数集合；区间、邻域、去心邻域、平面上矩形区域的乘积表示法．
2.映射的概念及满射、单射、一一映射、逆映射和复合映射．
3.函数的概念；函数的几种特性、反函数和复合函数、
反函数存在的一个充分条件．
4.函数的四则运算；初等函数；双曲函数．
二、本单元的教学要求
1.理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、
奇偶性、周期性．
2.理解复合函数的概念，了解反函数的概念．
3.掌握基本初等函数的性质及图形，理解初等函数的概念．
4.会建立简单实际问题中的函数关系式．
三、本单元教学的重点与难点
1.重点：函数的几种特性、复合函数、初等函数；
2.难点：几类映射的概念；
3.课时安排,2~4课时 (若讲微积分简介作为本课程的引言，则需 4课时 )．
引言 何谓微积分微积分：以变量为研究对象，以极限方法为基本研究对象的教学学科．
初等数学向微积分的发展：自然界中有很多量仅靠有限次的基本算术运算是无法计算出来 (或确定下来 )的，而必须分析一个变化过程的变化趋势才能求出来 (或确定下来 )．
典型问题一 曲 边图形的面积计算极限概念的起源可追溯到 2500年前的古希腊．那时的希腊人为计算由曲线围成的平面图形而引用了极限的思想．而阿基米德是杰出代表．
我们以阿基米德曾经计算过的一个问题来说明这种方法．
y=x
2
y
x
1
o
如图，曲线 y=x
2
,与 x轴、直线 x=1围成平面图形，求此曲边三角形的面积．
12 1
n
nn n
在区间 [0,1]中插入 n-1个分点 小区间的高度为,从而小矩形的面积之和为
12 1
,,,,
n
nn n
null
2
i
n
()
()( )
22 2
2
22
3
3
11 21 11
1
1 2 1
121
1
6
11 1
1 2,
6
n
n
S
nn nn n n
n
n
nnn
n
nn
=+++
=++?
=
=
null
null
y=x
2
y
x
1
o
12 1
n
nn n
当 n→∞时，从几何上 看，矩形将填满 (“穷竭,)曲边三角形，从代数上看，,因此认为曲边三角形的面积
1
6
n
S →
1
lim,
6
n
n
SS
→∞
==
,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣”
割圆术：
——刘徽我国魏晋时代的数学家刘徽用圆的内接正多边形来逼近圆的方法 ——割圆术，来计算圆周率 π的值．
若以 S
n
表示正圆内正 6× n边形的面积，则有
12 n
SS S≤ ≤≤≤nullnull
且，当 n→∞时，正多边形的面积与圆的面积,充分,接近，即有
lim,
n
n
SS
→∞
=
注 用极限方法于曲边图形面积的计算 (微小量的无穷累计问题 )
产生了积分学．
典型问题二 自 由落体瞬时速度的计算速度 用于刻画运动质点在各时刻运动,快慢,的程度．
设质点沿直线 OS运动，位移函数 s=s(t)．
情形Ⅰ 匀速直线运动,
路程时间
=常数匀速运动即，若在时刻 t
1
及 t
2
时，质点的位置分别为 s(t
1
),s(t
2
),则质点的运动速度为
( ) ( )
21
21
.
st st
vC
tt
= =
情形Ⅱ 变速直线运动：
在时刻区间 [t
1
,t
2
]中，质点从 s(t
1
)运动到 s(t
2
)，平均速度为
ss(t
1
) s(t
2
)
() ( )
21
21
.
s tst
v
tt
=
则，在时刻 t
1
的瞬时速度为
() ( )
21 21
21
21
lim lim,
tt tt
s tst
vv
tt
→→
==
例如，对自由落体运动，位移函数为,求时刻 t=2时的速度．在 [2,t]内的平均速度为
()
2
1
2
s tgt=
( ) ( )
()
22
2
2
2,
2222
st s
gt g
vt
tt
===+
v
当 t→2时,→,()
22 2
2
g
g+=
注 用极限方法用于计算瞬时速度等变化率问题产生了数学上的一个重要分支 ——微分学．
微分学与积分学的内在联系
17世纪，牛顿，莱布尼茨分别建立了微分与积分之间的联系 ——微积分基本公式．从而微分学与积分学形成了一个整体 ——微积分学．它是解决科学技术问题的重要数学工具，也是工科学生最重要的数学基础课；大学生素质培养 (思维素质 )的重要载体．
集合
1.集合的概念、记号、表示法集合 所谓集合 是指具有某种特定性质的事物的全体，组成该集合的事物的全体称为集合的元素,
通常用大写的拉丁字母 A,B,C,
…
,表示集合，用小写的拉丁字母 a,b,c,
…
,表示集合中的元素．如果 a是集合 A中的元素，则记为 a∈A,否则记为 a?A．含有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集．
集合的表示法
⑴列举法 将集合中的元素按一定的次序罗列出来．
{ }
12
,,,
n
A aa a= null
有限集
{ }
12
,,,,
n
Aaa a= nullnull
无限集
⑵性质法 用集合中的元素所满足的某种性质来表示．
A={ x | x 具有性质 P }
例 1
{ }
1
2,4,6,8,10A =
有限集
{ }
2
0,Axxx=>为实数无限集常用数集
{ }
0,1,2,3,N = null
{ }
0,1,2,Z =±±null
自然数集整数集
,,0,,
p
QpqZqpq
q
=∈≠
互质有理数集
R
实数集
C
复数集对数集 A，以 A
*
表示由该集合中的正数所构成的集合．
{ }
*
1,2,3,N = null
2.集合的运算设 A,B是两个集合，按如下法则定义下列集合：
{ }
A BxxAxB=∈∧∈∩
交集
{ }
A BxxAxB=∈∨∈∪ 并集
{ }
\A BxxAxB=∈∧?
集合的差集合的运算满足如下运算率：
交换率：
,ABBAABBA= =∩∩∪∪
结合率：
( ) ( )
,AB CA BC=∩∩ ∩∩
( ) ( )
A BCABC=∪∪ ∪∪
分配率,( ) ( ) ( )
,A BC AC BC=∩∪ ∪∩∪
( ) ( ) ( )
.A BC AC BC=∪∩ ∩∩∩
集合的直积 设 A,B是两个集合，在 A中任取元 a，在
B中任取元 b，由 a,b构成有序对 (x,y)，由所有的这种有序对构成的集合，称为集合 A与 B的直积，记为 A× B．
即
( ){ }
,,.A Bxy xAy B×= ∈∧∈
例 2 A={1,2,3},B={4,5,6}，则
{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),
(2,5)(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}.
AB×=
例 3 若 A是 x 轴,B是 y 轴，则 A× B为 xoy 平面．
3.区间和邻域设 a,b 是实数，且 a < b,
( ) { }
,;ab xa x b=<<
开区间：
[ ] { }
ab xa x b=≤≤
闭区间：
[ ) { }
,;ab xa x b=≤<
半开半闭区间：
{ }
(,] ;ab xa x b=<≤
{ }
(,),xx?∞ +∞ =?∞< <+∞
无穷区间：
区间的数轴表示：
ab
x
开区间：
ab
x
闭区间：
邻域：设 a,d是实数，且 d>0，则定义点 a 的 d邻域，记作 U(a,d)为集合：
{ }
(,),Ua xx aδ δ=?<
a δ?
a δ+
a
x
如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点 a 的空心邻域，记作：
{}
(,) 0,
o
Ua x x aδ δ=<?<
设 A=[a,b],B=[c,d ],则 A× B={ (x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d }，
x
y
o ab
c
d
A× B
映射
1.映射概念定义 设 X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f,
使得对 X中每个元素 x，按此法则 f，在 Y 中有唯一的元素 y与之对应，则称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作
:,fX Y→
其中 y 称为元素 x(在映射 f 下 )的像，并记作 f (x)，即
(),yfx=
而元素 x称为元素 y(在映射 f )下的一个原像；集合 X称为影射 f 的定义域，记作 D
f
，即 D
f
=X； X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作 R
f
，或 f (X)，
即
{ }
() (),
f
R f X f xx X== ∈
注 ⑴映射的三要素：定义域 X，值域所在的集合 Y，对应法则 f ；
⑵对应规则 f 成为,映射,的要求是：对每个 x∈X，
像 y= f (x)存在而且唯一；
⑶ Y 中的每一个元素 y，在 X中不一定存在原像．
例 4 设 X ={1,2,3},Y ={2,4,6,8},
2
XY
f
xx
→
=
→
则 f 是 X 到 Y 的映射．
例 5 X=(-1,1),Y=(-∞,+∞ ).
tan
2
XY
f
xx
π
→
=
→
则 f 是 X 到 Y 的映射．
例 6
非映射
f
()a
f
( )
b
非映射
f
( )
c
映射
2.几类重要的映射设 f 是 X 到 Y 的映射，
满射：若 Y= f (X),即? x∈X,? y∈Y,使得 y = f (x);
单射：若? x
1
≠ x
2
∈X,则必有 f (x
1
)≠ f (x
2
)．
一一对应：既单又满的映射称为一一对应．
例 4中的映射是单射，而例 5中的映射是一一对应．
3.逆映射与复合映射逆映射：设 f 是 X 到 Y 的单射，则对 R
f
中任一元素 y,可以确定 X中的唯一元素 x，满足 f (x)=y，称此对应关系为映射 f 的逆映射，记为 f
-1
．
在例 4中,f 的逆映射为
1
.
2
f
RX
f
y
y
→
=
→
这里,R
f
={2,4,6}.
在例 5中,f 的逆映射为
1
2
arctan,
2
arctan
YX
fy
yyπ
π
→
==
→
注映 射 f 存在逆映射的条件是 f 为单射；而此时逆映射的定义域是原映射的像集 R
f
，而并不是集合 Y．
复合映射：设有映射 f
1
:X→Y
1
,f
2
:Y
2
→Z，其中 Y
1
Y
2
,
由此可以确定一个从 X 到 Z 的映射 f，
21
,
[()]
XZ
f
xffx
→
=
→
称此映射为由 f
1、
f
2
构成的复合映射，记为 f
2
è f
1
．
X
Y
1
Y
2
Z
f
1
f
2
f
例 7 设 g,R→[-1,1],g(x)=sinx,f,[-1,1]→[0,1],
，则
2
() 1f uu=?
( )() () ( ) ()
2
sin 1 sin cos,fgx fgx f xxxR===?=∈
null
函数
1.函数概念定义 设数集 D?R，则称映射 f,D→R为定义在 D上的函数，记作
(),yfxxD= ∈
其中 x为自变量,y为因变量,D称为定义域，记作 D
f
，
即 D=D
f
．
注 在函数的定义中，函数是用记号 f 来表示，而不是用,函数值 f (x)”来表示．
构成函数的两个基本要素是函数的定义域 D
f
及对应法则 f,因而函数的相等应为定义域的相等和对应法则的相同．
x
o
y
y= f
D
f
R
f
设函数 y= f,定义域 D
f
，则集合
()
{ }
,()
f
x f xxD∈
称为函数 f 的图象．
常见的几类函数
x
o
y
C
y=C常数函数 y=C
绝对值函数 y=|x|
xo
y
y=|x|
符号函数
1 0
sgn 0 0,
1 0
x
yx x
x
>
== =
<
x
o
y
y=sgnx
取整函数 y=[x]：
对任意的 x∈X,用记号 [x] 表示不超过 x的最大整数，
由此得到的函数称为取整函数，记为 y =[x]．
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-3
x
y
o
分段函数 所谓分段函数是用多个解析式表示一个函数，
其实际含义是在几个区间中有不同的解析式．
例 8 函数
2
1
() 1 1 1,
1
xx
yfx x
xx
>
==?≤≤
<?
x
o
y
()yfx=
2.函数的几种特性
⑴有界性 设函数 y=f (x)，若存在 M>0，使得对任意的 x∈D
f
,总有 |f (x)|≤M，则称函数 y= f 在定义域 D
f
上有界．
注 1 函数的有界与函数的定义域相关．
例函 数
( )
1,2yxx=∈
有界函数．
例函 数
( )
0,yxx= ∈+∞
无界函数．
注 2 函数 y=f (x)有界M
1
,M
2
,?x∈D
f
,有
M
1
≤ f (x)≤ M
2
．
在上式中,M
1
称为上界,M
2
称为下界，由此可知：函数有界?函数既有上界，又有下界,对函数
()
1
0,1yx
x
=∈
易知函数有下界 M
1
=1，但函数无上界，因而函数无界．
由定义，可知如何说明函数在定义域上无界．
例 9 证明函数
11
() sinfx
xx
=
在点 x = 0处无界．
证,?M>0,令 x=1/(2nπ+ π/2),其中 n是一个比 M 大的自然数，则
() 2 sin 2
22 2
fx n n M
ππ π
= +=+>
所以 f (x) 在点 x = 0 处无界．
g
下图从几何上说明了该函数在 x = 0处的无界性,当 x
趋近于 0 时，曲线在±1/ x之间震荡，因而函数无界．
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
-150
-100
-50
50
100
150 11
() sinfx
xx
=
⑵单调性 设函数 f (x)的定义域为 D，区间 I?D，如果对区间中任意两点 x
1
及 x
2
，当 x
1
<x
2
时，总有
12
() ()fx fx<
则称函数 f (x)在区间 I中是单调增加的；如果对区间中任意两点 x
1
及 x
2
，当 x
1
<x
2
时，总有
12
() ()fx fx>
则称函数 f (x)在区间 I中是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．
单调函数的几何特征
x
o
y
f (x
1
)
f (x
2
)
x
1
x
2
f (x)
单调下降函数
x
o
y
f (x
1
)
f (x
2
)
x
1
x
2
f (x)
单调上升函数需要指出的是，函数的单调性既与函数的解析式有关，又与函数的定义域和讨论的区间有关．
例如函数 y=x
2
,x∈(-1,1)，函数在区间 (0,1),(-1,0)分别为单调上升函数和单调下降函数，但函数在整个定义域上并非单调．
x
o
y
y=x
2
1
-1
⑶奇偶性 设函数 f (x)的定义域 D关于原点对称，如果对任意的 x∈D,都有
() ( )f x f x=?
就称 f (x)为偶函数；如果对任意的 x∈D,都有
() ( )f x f x=
就称 f (x)为奇函数．
注：偶函数的图形关于 y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．
偶函数的图形特征：
y
x
()yfx=
o
x-x
奇函数的图形特征：
-x
o
y
xx
()yfx=
例 y=x
3
,y=sinx,为奇函数； y=x
2
,y=cosx 为偶函数．
而 y=cosx +sinx 为非奇非偶函数．
⑷周期函数 设函数 f (x)的定义域为 D,如果存在数
T≠ 0，使得对任意的 x ∈ D,当 x± T ∈D,总有
()()f xT f x+ =
就称 f (x)为周期函数,T 称为 f (x)的周期．通常我们说的周期指的是最小正周期．
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
例：狄利克雷函数
1
()
0
xQ
Dx
xQ
∈
=
则任何正有理数都是其周期，但没有最小正周期．
3.反函数和复合函数反函数 设函数 f,D → f (D) 是一一对应,则其逆映射
f
-1
,f (D)→D为 f 的反函数．
注：习惯上用 x 表示为自变量，所以函数 y=f (x)的反函数 x = f
-1
(y)，仍表示为 y=f
-1
(x)．
注：函数 y=f (x) 与它的反函数 y=f
-1
(x)的图形关于 y=x
对称．
函数与其反函数的图形特征：
()yfx=
(,)Qba
(,)P ab
()yx?=
x
y
o
直接函数反函数复合函数 复合函数本质上是复合映射在函数上的推广．当定义中的几个集合均为数集时，即得到复合函数的定义．
习惯上，复合函数更多多的是用 f [g(x)]而不是用
( f èg)(x)来表示．并且注意到，函数 f 和 g能构成复合函数的条件是 R
g
D
f
中,
例 10,则相应的复合函数为
2
,sin,yuu vvx== =
2
sinyx= 定义域为,
()
{ }
2
221Dxk x kπ π=≤≤+
4.函数的运算设函数 f (x),g(x)的定义域分别为 D
1
,D
2
,D=D
1
∩D
2
,
则按如下法则定义函数的运算：
≠?
()( ) ( )();fgx fxgx xD±=± ∈
( )( ) ( ) ( );fgx f x g xxD?=? ∈
() {}
()
\ | ( ) 0,
()
ffx
xxDxg
ggx
=∈=
5.初等函数
⑴幂函数
yx
μ
=
(1,1)
yx=
x
y
o
5.初等函数
⑴幂函数
yx
μ
=
2
yx=
(1,1)
yx=
x
y
o
5.初等函数
yx
μ
=
⑴幂函数
3
y x=
2
yx=
(1,1)
yx=
x
y
o
5.初等函数
yx
μ
=
⑴幂函数
xy =
(1,1)
2
yx=
yx=
3
y x=
x
y
o
5.初等函数
yx
μ
=
⑴幂函数
(1,1)
2
yx=
yx=
xy =
1
y
x
=
3
y x=
y
o
x
(2)指数函数 (a >0,a ≠1)
x
y a=
x
y
o
1
( 1)
x
ya a= >
(2)指数函数 (a >0,a ≠1)
x
y a=
x
y
o
1
( 1)
x
ya a= >
(0< 1)
x
ya a= <
(3)对数函数 (a >0,a ≠1)
log
a
y x=
ox
y
log ( 1)
a
yxa= >
1
(3)对数函数 (a >0,a ≠1)
log
a
y x=
o
x
y
log ( 1)
a
yxa= >
log (0 1)
a
yxa= <<
1
⑷三角函数正弦函数
sinyx=
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
sinyx=
余弦函数
cosyx=
cosyx=
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
正切函数 tanyx=
-6 -4 -2 2 4 6
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
tanyx=
正切函数 cotyx=
-6 -4 -2 2 4 6
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
cotyx=
三角函数的图象性质函 数 名 称 记 号 有 界 性 单 调 性 奇 偶 性 周 期 性正 弦 函 数
Sinx
有 界 非 奇
T=2π
余 弦 函 数
Cosx
有 界 非 偶
T=2π
正 切 函 数
Tanx
无 界 非 奇
T=π
余 切 函 数
Cotx
无 界 非 偶
T=π
注 三角函数在整个定义域中非单调的，但在部分区间中是单调的．例如：正弦函数 y=sinx在区间 中是单调上升的．
,
22
π π
⑸反三角函数反正弦函数
arcsinyx=
arcsiny x=
-1 -0.5 0.5 1
-6
-4
-2
2
4
6
反余弦函数
arccosyx=
arccosy x=
-1 -0.5 0.5 1
-6
-4
-2
2
4
6
反正弦函数
arctanyx=
arctany x=
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而得到的一个式子表示的函数称为初等函数,
6.双曲函数双曲正弦,
2
x x
ee
shx
=
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
shyx=
几何性质,shx为奇函数；当 x→∞
时,shx→e
x
/2，当
x→-∞时,shx→e
-
x
/2．
双曲余弦,
2
x x
ee
chx
+
=
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
y=ch
x
几何性质,chx为偶函数；当 x→∞
时,chx→e
x
/2．
双曲正切,
.
x x
x x
shx e e
thx
chx e e
==
+
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
.
x x
x x
ee
thx
ee
=
+
双曲函数常用公式
sinh( ) sinh cosh cosh sinh ;xy x y x y± =±
cosh( ) cosh cosh sinh sinh ;xy x y x y±
22
cosh sinh 1 ;xx? =
sinh 2 2sinh cosh ;xxx=
22
cosh 2 cosh sinh,xxx=+
反双曲函数反双曲正弦
( )
2
arsh ln 1 ;yxx x==++
-10 -5 5 10
-3
-2
-1
1
2
3
( )
2
arch ln 1 ;yxxx==+?
反双曲余弦
2 4 6 8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
( )
2
arsh ln 1 ;yxx x==++
反双曲正弦
-1 -0.5 0.5 1
-2
-1
1
2
