第一单元导数一、本单元的内容要点
1.理解导数是增量比值的极限及导数的几何意义；
2.掌握各类导数的求法．
二、本单元的教学要求
1.掌握导数的基本概念：所谓导数是增量比值的极限；
2.理解导数的几何意义是曲线切线的斜率；
3.掌握对各类函数的求导方法．
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.导数的定义，利用定义求函数在某一点的导数；
2.各类函数的导数；
3.复合函数的求导法则．
难点：
复合函数的求导；高阶导数．
本单元教学时数：6课时．
一、导数概念引例1 速度问题在第一章中，我们看到，匀速直线运动中质点在某一时刻的速度为平均速度的极限．即若位移函数为
0
0
() ( )st st
tt
则质点在时刻t
0
时的瞬时速度为
0
0
0
0
() ( )
() lim,
tt
st st
vt
tt
→
=
引例2 曲线的切线问题
x
y
o
M
N
T
y=f(x)
设曲线C，方程y=f(x)，曲线上点M，在C上另取一点
N，作割线MN，当MN沿曲线C曲线趋向于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋向某一极限位置MT，则直线MT
称为曲线C在点M处的切线．
设M的坐标为(x
9
,y
0
)，N的坐标为(x,y)，则割线MN的斜率
00
() ( )
,
MN
yy fx fx
k
xx xx
==
当x→x
0
时，如果上式的极限存在，记其为k，即
0
0
0
() ( )
lim,
xx
fx fx
k
xx
→
=
即，k为曲线C在点M处的切线斜率．
在上面的两个例中，我们看到两个不同的问题，最终均归结为一个极限
0
0
0
() ( )
lim,
xx
fx fx
xx
→
若记Dy= f(x)?f(x
0
)，Dx=x?x
0
，则上式为函数的增量与自变量的增量的比值的极限，即
00
0
0
() ( )
lim lim,
xx xx
yfxfx
xx
→→
=
1.函数在一点的导数与导函数定义设函数y=f(x)在点x
0
的某个领域内有定义，当自变量在x处取得增量Dx(点x
0
+ Dx)时，相应地，函数y取得增量Dy= f(x)?f(x
0
)，若Dy与Dx之比当Dx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点处的导数，记为，即
0
()fx
′
00
0
00
()()
() lim lim,
xx
yfxxf x
fx
→?→
+
′
==
⑴
注1.函数y=f(x)在点x
0
处的导数的记号：
0
00
()
,,.
xx
xx xx
dy df x
y
dx dx
=
==
′
2.如果⑴式中的极限不存在，则称函数y=f(x)在点x
0
处不可导；
3.若平面曲线C所对应的函数方程为y= f (x),点M
0
(x
0
,y
0
)
在曲线C上，且函数y=f(x)在x
0
处可导，则曲线C在点M
0
处的切线切线斜率为，切线方程为
0
()kfx
′
=
000
()( ).yy fxxx
′
=?⑵
4.如果函数y=f(x)在区间I内的每一点可导，则称函数
y=f(x)在区间I内可导；区间I内的可导函数的全体所构成的集合记为D(I)．
5.如果函数y=f(x)在区间I内可导，即y=f(x)∈D(I),由此定义了区间I上的一个新的函数，称其为函数y=f(x)在区间
I内的导函数，仍记为．
y
′
2.求导举例例1 求函数f (x)=C(C为常数)的导数．
解
00
0
()()
() lim lim
lim 0.
xx
x
yfxxf x
fx
CC
x
→?→
→
+
′
==
==
例2 求幂函数的导数．()fx x
μ
=
解⑴当μ为正整数时，由二项展开式，得
() ()
00
2
11 2 2
1
0
()() ()
() lim lim
lim,
xx
nn
x
fx x fx x x x
fx
xx
Cx x Cx x x
x
x
μμ
μ
μμ
μ
μ
→?→
→
+ +
′
==
+? + +?
null
当μ为负正整数时，公式仍然成立；
当μ为任意实数时，
00
0
()() ()
() lim lim
11
lim,
xx
x
f xxf xxxx
fx
x
x
x
x
μ μ
μ
μ
→?→
→
+ +
′
==
+?
=
注意到Dx→0时，0，此时有
x
x
→
11
xx
μ
μ
+?
～
故：
1
00
11
() lim lim,
xx
x
x
x
x
f xx x x
xx
μ
μμμ
μ
μ
→?→
+?
′
===
例3 求的导数．
cos x
2
cos( ) cos 2sin sin,
22
xx x
xx x
+
+ =?∵
解
0
0
cos( ) cos
() lim
2
2sin sin
22
lim sin,
x
x
xx x
fx
x
xx x
x
x
→
→
+
′
=
+
==?
∴
()
cos sin,xx
′
=?
即例4 求指数函数的导数．
( )
() 0,1
x
fx a a a= >≠
00
00
()()
() lim lim
1ln
lim lim ln,
x xx
xx
x
x
xx
fx x fx a a
fx
xx
axa
aa a
xx
+?
→?→
→?→
+
′
==
===
()
ln,
xx
aaa
′
=
解即特殊地，当a=e时，有
()
.
xx
ee
′
=
例5 求曲线y=x
2
上的平行于2x+y-1=0的切线方程．
解设切点为(x
0
,y
0
)，则斜率为又切线与已知直线平行，得k=-1，即得x
0
=-1,?y
0
=1,从而切线方程为
0
2,ky x
′
= =
12(1),yx? =? +
210.xy+ +=
即
3.单侧导数在第一目中，我们看到，函数y=f(x)在处是否可导，依赖于极限
00
00
()()
lim lim
xx
yfxxfx
→?→
+
=
是否存在，而在上一章的极限存在性的讨论中，我们知道极限存在的充分必要条件是左右极限存在并相等．
由此得到左右导数的概念：
设函数y=f(x)在x
0
的某个右领域[x
0
,x
0
+δ)中有定义，且极限
00
00
()()
lim lim
xx
yfxxfx
→+?→+
+
=
存在，则称这个极限为函数y=f(x)在x
0
处的右导数，记为，即：
0
()f x
+
′
00
0
00
()()
()lim lim,
xx
yfxxfx
fx
+
→+?→+
+
′
=
类似可定义函数y=f(x)在x
0
处的左导数：
0
()f x
′
00
0
00
()()
()lim lim,
xx
yfxxfx
fx
→→?
+
′
=
定理函数y=f(x)在x
0
处可导?函数y=f(x)在x
0
处的左右导数存在并相等．
例6 求函数在x=0处的导数．
2
1 0
()
0
x
ex
fx
xx
>
=
≤
解注意到f (0)=0
2
00
(0 ) (0) 1
(0) lim lim 2;
x
xx
fxf e
f
xx
+
→+?→+
+
′
===
(0 ) (0)
(0) lim lim 1,
fxf x
f
xx
→→?
+
′
= ==
因，故不存在．(0) (0)ff
+?
′′
≠
(0)f
′
3.函数的可导性与连续性的关系性质若函数y=f(x)在x
0
处可导，则函数在x
0
处连续．
证因函数y=f(x)在x
0
处可导，故极限
00
00
()()
lim lim
xx
yfxxfx
→?→
+
=
存在，由极限与无穷小的关系，得
0
()
y
fx
x
α
′
= +
其中α为Dx →0时的无穷小，
即有
0
()yfxx xα
′
=?+?
故，
( )
0
00
lim lim ( ) 0,
xx
yfxxxα
→?→
′
=?+?=
故f (x)在x
0
处连续．
由上目的例7，知函数连续，未必可导．
x
y
o
y=|x|
y
y=|x|
o x
二、求导法则
㈠函数的和、积、商的求导法则设函数u=u(x)，v=v(x)在点x处可导，考虑这两个函数的线性组合、积、商在点处的导数．
1.设f(x)=αu(x)+ β v(x)，则f (x)可导，且有
() () ().f xuxvxα β
′ ′′
= +
2.设函数f(x)= u(x)·v(x)，则f(x)可导，且有
() ()() () ().fx uxvx uxvx
′ ′′
= +
事实上，
00
0
00
()() ()()()()
() lim lim
( )( ) ()( ) ()( ) ()()
lim
()() ()()
lim ( ) ( ) lim
()() () ().
xx
x
xx
f xxf xuxxvxxuxvx
fx
ux xvx x uxvx x uxvx x uxvx
x
ux x ux vx x vx
vx x ux
uxvx uxvx
→?→
→
→?→
+ +? +
′
==
+? + +? + +
=
+ +
=++
′′
=+
3.设，则f (x)可导，且
()
()
() () 0
()
ux
fx vx
vx
= ≠
2
()() () ()
(),
()
uxvx uxvx
fx
vx
′ ′
′
=
()
2
2
2
cos cos sin sin
sin
cos cos
1
sec,
cos
xx x x
x
y
xx
x
x
′
′
==
==
㈡反函数的导数给x以增量Dx ( Dx≠0,x+Dx∈I
x
)，由的单调性，知函数设函数x=?(y)在区间I
y
内单调、连续，则其反函数在对应的区间I={x| x=?(y),y∈I
y
}内单调，连续；若设在区间I
y
内可导，且，
今来讨论y=f(x)的可导性．
() 0y?
′
≠
()yfx=
()xy?=
()yfx=
()()0,yfx x fx? =+ ≠
故，
1
,
y
x
x
y
=
又由函数的连续性，当时必有从而有
0x? →
0,y? →
0
11
lim lim,
()
xx
y
x
xy
y
→ →∞
== =
′
由此说明了函数在处可导，且有()yfx=
x
1
(),
()
fx
y?
′
=
′
简单地说，反函数的导数等于直接函数的导数的倒数．
arcsinyx=
例1 求反正弦函数的导数．
解是的反函数而在区间内单调、可导，并且
( )
arcsin 1 1yxx=?≤≤
sinxy=
sinxy=,
22
y
I
π π
=?
()
sin cos 0,yy
′
= >
arcsinyx=
()
1
arcsin,
cos
yx
x
′
′
==
注意到在区间内，从而有
,
22
y
I
π π
=?
2
cos 1,yx=?
所以，在区间(-1,1)内点点可导，且有
()
2
1
arcsin,
1
x
x
′
=
例2 求反正切函数的导数．arctanyx=
解函数是在
( )
arctanyxx=?∞< <+∞ tanxy=
,
22
y
I
π π
=?
区间内的反函数，在区间内单调、可导，且有
()
2
tan sec 0,yy
′
= >
所以在内每一点可导，且有：
arctan (,)yx=?∞+
()
()
2
arctan,
sec
tan
yx
11
y
y
′
===
′
′
注意到：从而有
222
sec 1 tan 1,yyx=+ =+
()
2
1
arctan,
1
x
x
′
=
+
同理可得其它几个反三角函数的导数公式：
() ()
2
2
11
arccos,arccot,
1
1
xx
x
x
′′
=? =?
+
例3 求对数函数的导数．( )
log 0,1
a
yxaa= >≠
解是的反函数，且直接函数在定义域内单调、可导，且
( )
log 0
a
yxx=<<+∞
( )
y
xa y=?∞<<+∞
()
ln 0,
xx
aaa
′
= ≠
注意到，从而有
,
y
ax=
()
1
log,
ln
a
x
xa
′
=
特别地，当时，有ae=
()
1
ln,x
x
′
=
㈢复合函数的求导法则前面我们讨论了基本初等函数的导数．但实际上我们所遇见函数的绝大部分是初等函数．因而掌握复合函数的求导法则实际上就是函数求导的一个最重要的环节．
复合函数求导法则如果函数在点可导，
而函数在处可导，则复合函数在处可导，并且有关系
()ux?=
()yfx=
00
()ux?=
0
x
[]
()yf x?=
0
x
()
0
00
(),
xx
dy
fu x
dx
=
′′
=
证设自变量在处有增量，则函数有增量
0
x
0
x
x?
()ux?=
( )
00
(),uxx x= +
函数有增量()yfx=
( ) ( )
00
,yfu u fu?= +
当时，有
0u?≠
,
yyu
xux
=?
由函数的可导性，得函数在是连续的，因此当时，有由此得
()ux?=
0
x
0x?→
0,u? →
0
00
lim lim ( ),
xu
yy
fu
uu
→?→
′
==
又
0
0
lim ( ),
x
u
x
x
→
′
=
由此得到：
()
0
00
00
lim lim ( ),
xx
xx
dy y y u
fu x
dx x u x
=
→?→
′′
==?=
注此定理的证明是在条件下取得的．而当增量为零时(这是可能出现的)，上式不成立．关于该公式的进一步证明，有兴趣的读者可以查看有关资料．
0u? ≠
此公式可以作进一步的推广：若
(),(),(),yfuu vv x? φ= ==
均为可导函数，则相应的复合函数的导数为
( )
yf x?φ
=
.
dy dy du dv
dx du dv dx
=
例4 求函数的导数．
ln cosyx=
解可以看成由复合而成，故此由复合函数的求导公式，得
ln cosyx= ln,cosyuu x==
()
1
sin tan,
dy dy du
xx
dx du dx u
=?=? =?
例5 求函数的导数．
arsinhyx=
解由得
( )
2
arsinh ln 1,y xx x==++
( )
2
2
222
12
1
1
2 1
1
.
11
x
xx
x
y
xxxx x
′
+
++
+
′
===
++ ++ +
例6 求函数的导数．
2
1
cos
2
x
y=
解
2 2
11
cos cos
2
2
111
2cosln2sin2 ln2.
xx
y
xxx
′
′
==
㈣高阶导数若函数在区间I 中点点可导，即则很自然地会考虑函数的可导性．若在处可导，
则称在处的导数为在处的二阶导数，
()yfx= (),fDI∈
f
′
f
′
0
x
()fx
′
0
x
()fx
0
x
0
()fx
′′
0
0
22
()
,,.
xx
xx
dy dfx
y
dx dx
=
=
′′
若在处都可导，则由极限,()xIfx′?∈ x
0
()()
lim,
x
fx x fx
xI
x
→
′ ′
+
∈
确定了一个以I为定义域的函数，称其为的二阶导函数，简称为二阶导数．记为
()fx
22
22
()
,(),,.
dydfx
yfx
dx dx
′′ ′′
由定义，知
[]
() ().fx fx
′
′′ ′
=
同样可以定义三阶、四阶导数，及更高阶的导数．
(4) ( )
( ),( ),,( ).
n
f xf x f x
′′′
null
例7 求函数的二阶导数．
2
x
ye=
( )
22
2
2,214,
xx
y xe y xe
′′′
==+
解例10 求的阶导数．
x
ye= n
()
,,.
n
x xx
yeyey e
′′′
= ==
例8 求的阶导数．sinyx=
n
()
cos sin,
2
cos sin 2,
22
sin,
2
n
yxx
yx x
yxn
π
π π
π
′
== +
′′
=+=+?
=+
null
解例9 求的阶导数．( )
ln 1y x= + n
解
() ()
()
()( )
()
23
1
1112
,,,
1
11
11!
,.
1
n
n
n
yy y
x
xx
n
y
x
′ ′′ ′′′
==? =
+
++
=
+
null
一般，若则( )
ln,y abx=+
()
()( )
()
1
11!
.
n
n
n
n
nb
y
abx
=
+
阶导数的莱布尼茨公式：设在处有阶导数，则，
n (),()uuxvvx= =
x
n
()
()
()
( )
()
()()( )
()() ()
1
1
2
12 1
.
!
n
nn
nk k n
nn
uv u v nuv u v
nn n n k
uv uv
k
′
=++ +
+
++
null
null
null
若记则有，
()
0
,uu=
()
()
()()
0
.
n
n
nk k
k
n
k
uv C u v
=
=
∑
例10 已知求
( )
20
23
,.
x
yxe y=
解设则
22
,,
x
uevx==
()
( )
()
()
2
20,12,20,
2,2,0 3,4,,20,
k
kx
k
uek
vxv v k
==
′′′
====
null
null
代入莱布尼茨公式，得
()
()
20
20 2 2 19 2 18 2
20 2 2
20 19
2202 2
2!
2 20 95,
xx x
x
yex ex e
ex x
=++?
=++
1.理解导数是增量比值的极限及导数的几何意义；
2.掌握各类导数的求法．
二、本单元的教学要求
1.掌握导数的基本概念：所谓导数是增量比值的极限；
2.理解导数的几何意义是曲线切线的斜率；
3.掌握对各类函数的求导方法．
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.导数的定义，利用定义求函数在某一点的导数；
2.各类函数的导数；
3.复合函数的求导法则．
难点：
复合函数的求导；高阶导数．
本单元教学时数：6课时．
一、导数概念引例1 速度问题在第一章中，我们看到，匀速直线运动中质点在某一时刻的速度为平均速度的极限．即若位移函数为
0
0
() ( )st st
tt
则质点在时刻t
0
时的瞬时速度为
0
0
0
0
() ( )
() lim,
tt
st st
vt
tt
→
=
引例2 曲线的切线问题
x
y
o
M
N
T
y=f(x)
设曲线C，方程y=f(x)，曲线上点M，在C上另取一点
N，作割线MN，当MN沿曲线C曲线趋向于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋向某一极限位置MT，则直线MT
称为曲线C在点M处的切线．
设M的坐标为(x
9
,y
0
)，N的坐标为(x,y)，则割线MN的斜率
00
() ( )
,
MN
yy fx fx
k
xx xx
==
当x→x
0
时，如果上式的极限存在，记其为k，即
0
0
0
() ( )
lim,
xx
fx fx
k
xx
→
=
即，k为曲线C在点M处的切线斜率．
在上面的两个例中，我们看到两个不同的问题，最终均归结为一个极限
0
0
0
() ( )
lim,
xx
fx fx
xx
→
若记Dy= f(x)?f(x
0
)，Dx=x?x
0
，则上式为函数的增量与自变量的增量的比值的极限，即
00
0
0
() ( )
lim lim,
xx xx
yfxfx
xx
→→
=
1.函数在一点的导数与导函数定义设函数y=f(x)在点x
0
的某个领域内有定义，当自变量在x处取得增量Dx(点x
0
+ Dx)时，相应地，函数y取得增量Dy= f(x)?f(x
0
)，若Dy与Dx之比当Dx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点处的导数，记为，即
0
()fx
′
00
0
00
()()
() lim lim,
xx
yfxxf x
fx
→?→
+
′
==
⑴
注1.函数y=f(x)在点x
0
处的导数的记号：
0
00
()
,,.
xx
xx xx
dy df x
y
dx dx
=
==
′
2.如果⑴式中的极限不存在，则称函数y=f(x)在点x
0
处不可导；
3.若平面曲线C所对应的函数方程为y= f (x),点M
0
(x
0
,y
0
)
在曲线C上，且函数y=f(x)在x
0
处可导，则曲线C在点M
0
处的切线切线斜率为，切线方程为
0
()kfx
′
=
000
()( ).yy fxxx
′
=?⑵
4.如果函数y=f(x)在区间I内的每一点可导，则称函数
y=f(x)在区间I内可导；区间I内的可导函数的全体所构成的集合记为D(I)．
5.如果函数y=f(x)在区间I内可导，即y=f(x)∈D(I),由此定义了区间I上的一个新的函数，称其为函数y=f(x)在区间
I内的导函数，仍记为．
y
′
2.求导举例例1 求函数f (x)=C(C为常数)的导数．
解
00
0
()()
() lim lim
lim 0.
xx
x
yfxxf x
fx
CC
x
→?→
→
+
′
==
==
例2 求幂函数的导数．()fx x
μ
=
解⑴当μ为正整数时，由二项展开式，得
() ()
00
2
11 2 2
1
0
()() ()
() lim lim
lim,
xx
nn
x
fx x fx x x x
fx
xx
Cx x Cx x x
x
x
μμ
μ
μμ
μ
μ
→?→
→
+ +
′
==
+? + +?
null
当μ为负正整数时，公式仍然成立；
当μ为任意实数时，
00
0
()() ()
() lim lim
11
lim,
xx
x
f xxf xxxx
fx
x
x
x
x
μ μ
μ
μ
→?→
→
+ +
′
==
+?
=
注意到Dx→0时，0，此时有
x
x
→
11
xx
μ
μ
+?
～
故：
1
00
11
() lim lim,
xx
x
x
x
x
f xx x x
xx
μ
μμμ
μ
μ
→?→
+?
′
===
例3 求的导数．
cos x
2
cos( ) cos 2sin sin,
22
xx x
xx x
+
+ =?∵
解
0
0
cos( ) cos
() lim
2
2sin sin
22
lim sin,
x
x
xx x
fx
x
xx x
x
x
→
→
+
′
=
+
==?
∴
()
cos sin,xx
′
=?
即例4 求指数函数的导数．
( )
() 0,1
x
fx a a a= >≠
00
00
()()
() lim lim
1ln
lim lim ln,
x xx
xx
x
x
xx
fx x fx a a
fx
xx
axa
aa a
xx
+?
→?→
→?→
+
′
==
===
()
ln,
xx
aaa
′
=
解即特殊地，当a=e时，有
()
.
xx
ee
′
=
例5 求曲线y=x
2
上的平行于2x+y-1=0的切线方程．
解设切点为(x
0
,y
0
)，则斜率为又切线与已知直线平行，得k=-1，即得x
0
=-1,?y
0
=1,从而切线方程为
0
2,ky x
′
= =
12(1),yx? =? +
210.xy+ +=
即
3.单侧导数在第一目中，我们看到，函数y=f(x)在处是否可导，依赖于极限
00
00
()()
lim lim
xx
yfxxfx
→?→
+
=
是否存在，而在上一章的极限存在性的讨论中，我们知道极限存在的充分必要条件是左右极限存在并相等．
由此得到左右导数的概念：
设函数y=f(x)在x
0
的某个右领域[x
0
,x
0
+δ)中有定义，且极限
00
00
()()
lim lim
xx
yfxxfx
→+?→+
+
=
存在，则称这个极限为函数y=f(x)在x
0
处的右导数，记为，即：
0
()f x
+
′
00
0
00
()()
()lim lim,
xx
yfxxfx
fx
+
→+?→+
+
′
=
类似可定义函数y=f(x)在x
0
处的左导数：
0
()f x
′
00
0
00
()()
()lim lim,
xx
yfxxfx
fx
→→?
+
′
=
定理函数y=f(x)在x
0
处可导?函数y=f(x)在x
0
处的左右导数存在并相等．
例6 求函数在x=0处的导数．
2
1 0
()
0
x
ex
fx
xx
>
=
≤
解注意到f (0)=0
2
00
(0 ) (0) 1
(0) lim lim 2;
x
xx
fxf e
f
xx
+
→+?→+
+
′
===
(0 ) (0)
(0) lim lim 1,
fxf x
f
xx
→→?
+
′
= ==
因，故不存在．(0) (0)ff
+?
′′
≠
(0)f
′
3.函数的可导性与连续性的关系性质若函数y=f(x)在x
0
处可导，则函数在x
0
处连续．
证因函数y=f(x)在x
0
处可导，故极限
00
00
()()
lim lim
xx
yfxxfx
→?→
+
=
存在，由极限与无穷小的关系，得
0
()
y
fx
x
α
′
= +
其中α为Dx →0时的无穷小，
即有
0
()yfxx xα
′
=?+?
故，
( )
0
00
lim lim ( ) 0,
xx
yfxxxα
→?→
′
=?+?=
故f (x)在x
0
处连续．
由上目的例7，知函数连续，未必可导．
x
y
o
y=|x|
y
y=|x|
o x
二、求导法则
㈠函数的和、积、商的求导法则设函数u=u(x)，v=v(x)在点x处可导，考虑这两个函数的线性组合、积、商在点处的导数．
1.设f(x)=αu(x)+ β v(x)，则f (x)可导，且有
() () ().f xuxvxα β
′ ′′
= +
2.设函数f(x)= u(x)·v(x)，则f(x)可导，且有
() ()() () ().fx uxvx uxvx
′ ′′
= +
事实上，
00
0
00
()() ()()()()
() lim lim
( )( ) ()( ) ()( ) ()()
lim
()() ()()
lim ( ) ( ) lim
()() () ().
xx
x
xx
f xxf xuxxvxxuxvx
fx
ux xvx x uxvx x uxvx x uxvx
x
ux x ux vx x vx
vx x ux
uxvx uxvx
→?→
→
→?→
+ +? +
′
==
+? + +? + +
=
+ +
=++
′′
=+
3.设，则f (x)可导，且
()
()
() () 0
()
ux
fx vx
vx
= ≠
2
()() () ()
(),
()
uxvx uxvx
fx
vx
′ ′
′
=
()
2
2
2
cos cos sin sin
sin
cos cos
1
sec,
cos
xx x x
x
y
xx
x
x
′
′
==
==
㈡反函数的导数给x以增量Dx ( Dx≠0,x+Dx∈I
x
)，由的单调性，知函数设函数x=?(y)在区间I
y
内单调、连续，则其反函数在对应的区间I={x| x=?(y),y∈I
y
}内单调，连续；若设在区间I
y
内可导，且，
今来讨论y=f(x)的可导性．
() 0y?
′
≠
()yfx=
()xy?=
()yfx=
()()0,yfx x fx? =+ ≠
故，
1
,
y
x
x
y
=
又由函数的连续性，当时必有从而有
0x? →
0,y? →
0
11
lim lim,
()
xx
y
x
xy
y
→ →∞
== =
′
由此说明了函数在处可导，且有()yfx=
x
1
(),
()
fx
y?
′
=
′
简单地说，反函数的导数等于直接函数的导数的倒数．
arcsinyx=
例1 求反正弦函数的导数．
解是的反函数而在区间内单调、可导，并且
( )
arcsin 1 1yxx=?≤≤
sinxy=
sinxy=,
22
y
I
π π
=?
()
sin cos 0,yy
′
= >
arcsinyx=
()
1
arcsin,
cos
yx
x
′
′
==
注意到在区间内，从而有
,
22
y
I
π π
=?
2
cos 1,yx=?
所以，在区间(-1,1)内点点可导，且有
()
2
1
arcsin,
1
x
x
′
=
例2 求反正切函数的导数．arctanyx=
解函数是在
( )
arctanyxx=?∞< <+∞ tanxy=
,
22
y
I
π π
=?
区间内的反函数，在区间内单调、可导，且有
()
2
tan sec 0,yy
′
= >
所以在内每一点可导，且有：
arctan (,)yx=?∞+
()
()
2
arctan,
sec
tan
yx
11
y
y
′
===
′
′
注意到：从而有
222
sec 1 tan 1,yyx=+ =+
()
2
1
arctan,
1
x
x
′
=
+
同理可得其它几个反三角函数的导数公式：
() ()
2
2
11
arccos,arccot,
1
1
xx
x
x
′′
=? =?
+
例3 求对数函数的导数．( )
log 0,1
a
yxaa= >≠
解是的反函数，且直接函数在定义域内单调、可导，且
( )
log 0
a
yxx=<<+∞
( )
y
xa y=?∞<<+∞
()
ln 0,
xx
aaa
′
= ≠
注意到，从而有
,
y
ax=
()
1
log,
ln
a
x
xa
′
=
特别地，当时，有ae=
()
1
ln,x
x
′
=
㈢复合函数的求导法则前面我们讨论了基本初等函数的导数．但实际上我们所遇见函数的绝大部分是初等函数．因而掌握复合函数的求导法则实际上就是函数求导的一个最重要的环节．
复合函数求导法则如果函数在点可导，
而函数在处可导，则复合函数在处可导，并且有关系
()ux?=
()yfx=
00
()ux?=
0
x
[]
()yf x?=
0
x
()
0
00
(),
xx
dy
fu x
dx
=
′′
=
证设自变量在处有增量，则函数有增量
0
x
0
x
x?
()ux?=
( )
00
(),uxx x= +
函数有增量()yfx=
( ) ( )
00
,yfu u fu?= +
当时，有
0u?≠
,
yyu
xux
=?
由函数的可导性，得函数在是连续的，因此当时，有由此得
()ux?=
0
x
0x?→
0,u? →
0
00
lim lim ( ),
xu
yy
fu
uu
→?→
′
==
又
0
0
lim ( ),
x
u
x
x
→
′
=
由此得到：
()
0
00
00
lim lim ( ),
xx
xx
dy y y u
fu x
dx x u x
=
→?→
′′
==?=
注此定理的证明是在条件下取得的．而当增量为零时(这是可能出现的)，上式不成立．关于该公式的进一步证明，有兴趣的读者可以查看有关资料．
0u? ≠
此公式可以作进一步的推广：若
(),(),(),yfuu vv x? φ= ==
均为可导函数，则相应的复合函数的导数为
( )
yf x?φ
=
.
dy dy du dv
dx du dv dx
=
例4 求函数的导数．
ln cosyx=
解可以看成由复合而成，故此由复合函数的求导公式，得
ln cosyx= ln,cosyuu x==
()
1
sin tan,
dy dy du
xx
dx du dx u
=?=? =?
例5 求函数的导数．
arsinhyx=
解由得
( )
2
arsinh ln 1,y xx x==++
( )
2
2
222
12
1
1
2 1
1
.
11
x
xx
x
y
xxxx x
′
+
++
+
′
===
++ ++ +
例6 求函数的导数．
2
1
cos
2
x
y=
解
2 2
11
cos cos
2
2
111
2cosln2sin2 ln2.
xx
y
xxx
′
′
==
㈣高阶导数若函数在区间I 中点点可导，即则很自然地会考虑函数的可导性．若在处可导，
则称在处的导数为在处的二阶导数，
()yfx= (),fDI∈
f
′
f
′
0
x
()fx
′
0
x
()fx
0
x
0
()fx
′′
0
0
22
()
,,.
xx
xx
dy dfx
y
dx dx
=
=
′′
若在处都可导，则由极限,()xIfx′?∈ x
0
()()
lim,
x
fx x fx
xI
x
→
′ ′
+
∈
确定了一个以I为定义域的函数，称其为的二阶导函数，简称为二阶导数．记为
()fx
22
22
()
,(),,.
dydfx
yfx
dx dx
′′ ′′
由定义，知
[]
() ().fx fx
′
′′ ′
=
同样可以定义三阶、四阶导数，及更高阶的导数．
(4) ( )
( ),( ),,( ).
n
f xf x f x
′′′
null
例7 求函数的二阶导数．
2
x
ye=
( )
22
2
2,214,
xx
y xe y xe
′′′
==+
解例10 求的阶导数．
x
ye= n
()
,,.
n
x xx
yeyey e
′′′
= ==
例8 求的阶导数．sinyx=
n
()
cos sin,
2
cos sin 2,
22
sin,
2
n
yxx
yx x
yxn
π
π π
π
′
== +
′′
=+=+?
=+
null
解例9 求的阶导数．( )
ln 1y x= + n
解
() ()
()
()( )
()
23
1
1112
,,,
1
11
11!
,.
1
n
n
n
yy y
x
xx
n
y
x
′ ′′ ′′′
==? =
+
++
=
+
null
一般，若则( )
ln,y abx=+
()
()( )
()
1
11!
.
n
n
n
n
nb
y
abx
=
+
阶导数的莱布尼茨公式：设在处有阶导数，则，
n (),()uuxvvx= =
x
n
()
()
()
( )
()
()()( )
()() ()
1
1
2
12 1
.
!
n
nn
nk k n
nn
uv u v nuv u v
nn n n k
uv uv
k
′
=++ +
+
++
null
null
null
若记则有，
()
0
,uu=
()
()
()()
0
.
n
n
nk k
k
n
k
uv C u v
=
=
∑
例10 已知求
( )
20
23
,.
x
yxe y=
解设则
22
,,
x
uevx==
()
( )
()
()
2
20,12,20,
2,2,0 3,4,,20,
k
kx
k
uek
vxv v k
==
′′′
====
null
null
代入莱布尼茨公式，得
()
()
20
20 2 2 19 2 18 2
20 2 2
20 19
2202 2
2!
2 20 95,
xx x
x
yex ex e
ex x
=++?
=++
