第一单元数项级数级数的基本概念表达式
12 n
aa a+ +++nullnull
称为一个无穷级数，记为,即
1
n
n
a
∞
=
∑
12
1
.
in
n
aaa a
=
∞
= ++++
∑
nullnull
1
111 1
1.
23
n
nn
∞
=
= +++++
∑
nullnull
例 1
对级数,得部分和数列
1
n
n
a
∞
=
∑
12
1
.
ni n
i
saaa a
=
n
= =+ ++
∑
null
例 2 设级数,则部分和数列为
1n
n
∞
=
∑
1
(1)
12,
2
n
n
i
nn
sn n
=
+
==+++=
∑
null
例 3 设级数,则部分和数列为
1
n
n
q
∞
=
∑
1
1
.
1
n
n
n
n
i
q
sqq
q
=
==
∑
设级数,部分和数列,若部分和数列收敛，则称级数 是收敛的，并把极限叫做级数的和，
即：若,则记
1
n
n
a
∞
=
∑
()
1
n
n
s
∞
=
1
n
n
a
∞
=
∑
lim
n
n
s s
→∞
=
1
.
n
n
as
∞
=
=
∑
若数列 的极限不存在，则成级数是发散的。
()
1
n
n
s
∞
=
例 4 等比级数 收敛?|q|<1，且
1
n
n
q
∞
=
∑
1
1
lim,
11
n
n
n
n
qq
qq
qq
∞
→∞
=
==
∑
例 5 证明级数 是收敛的，
()
2
2
1
21
1n
n
nn
∞
=
+
+
∑
证因
() () ()
2222
2
11
21 1 1 1
1
11
n
n
in
i
s
i
ii i n
∞
==
+
=
+++
∑∑
()
2
1
lim lim 1 1
1
n
nn
s
n
→∞ →∞
∴ =? =
+
()
2
2
1
21
1.
1n
n
nn
∞
=
+
=
+
∑
即例 6 证明级数 是收敛的，并求和。
1
1
(1)( 2)
n
nn n
∞
=
+ +
∑
解
()()
111 1
(1)(2)2(1) 1 2nn n nn n n
=?
++ + ++
∵
()()()
()()
1
1
(1)(2)
11 1 1 1 1 1
212 23 23 34 1 1 2
11 1 1
.
22 1 2 4
n
i
ii i
nn n n
nn
=
++
=?+?++?
+ ++
=+ →
++
∴
∑
null
1
11
,
(1)( 2)4
n
nn n
∞
=
=
++
∴
∑
例 6 证明调和级数
1
111 1
1
23
n
nn
∞
=
= +++++
∑
nullnull
是发散的。
证 该级数的前 2
m+1
项的部分和为
()
1
2
1
1111111
1
2345678
11 1
,
21222 2
m
mm m
s
m
m
+
+
=+++++++
+
++ + + > →∞ →∞
++
null
所以级数
1
111 1
1
23
n
nn
∞
=
= +++++
∑
nullnull
是发散的。
无穷级数的基本性质设级数,称级数 为原级数的余项级数，并注意到，若原级数的部分和为 s
n
，余项级数的部分和为
s′
m
(m>n)，则有
1
n
n
a
∞
=
∑
1
k
kn
a
∞
=+
∑
.
mmnn
s ss
+
′
=?
性质 1 级数 收敛?其余项级数 收敛。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
k
kn
a
∞
=+
∑
证 设级数 收敛，记部分和为 s
n
，级数 的部分和为 s′
m
，则
1
n
n
a
∞
=
∑
1
k
kn
a
∞
=+
∑
mmnn
s ss
+
′
=?
( )
lim lim,
mmnnn
mm
s ssss
+
→∞ →∞
′
=?=?
故即
1
.
kn
kn
ass
∞
=+
=?
∑
反之,若级数 收敛，若记
1
k
kn
a
∞
=+
∑
1
,
kn
kn
ar
∞
=+
=
∑
则有，原级数的部分和为
mn n m
s ss
+
′
= +
故
lim lim,
nm n m n n
mm
s sssr
+
→∞ →∞
′
= +=+
所以，原级数收敛。
g
性质 1说明级数的收敛与否与前有限项的取值无关。
性质 2 若,收敛，则对任意实数 k,l，级数
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
()
1
nn
n
ka lb
∞
=
+
∑
收敛，且
()
111
.
nn
nn n n
nn
ka lb ka lb
∞
===
+= +
∑ ∑∑
证 设级数 的部分和为 s
n
，级数 的部分和为
s′
n
，级数 的部分和为 s′′
n
，则
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
()
nn
ka lb
∞
+
∑
1n=
()
111
,
nnn
nii n nn
iii
s ka lb k a l b ks ls
===
′′ ′
=+=+=+
∑∑∑
( )
lim lim lim lim,
nnnnn
nn n
n
s ks ls s s
→∞ →∞ →∞
→∞
′′′ ′
= +=+
所以
()
111
.
nn
nn n n
nn
ka lb ka lb
∞
===
+= +
∑ ∑∑
g
性质 2说明收敛级数保持线性运算。
设级数,对级数进行,加括号,运算，则得到一个新的级数。例如对级数
1
n
n
a
∞
=
∑
()
1
1
1
n
n
∞
=
∑
作两项两项的括号运算，新级数为
()( ) ( ) ( )
11 11 11 11,?+?+?+?+null
该级数收敛，其和为零。
性质 3 若级数收敛，则,加括号,后得到的级数也收敛，
反之不然。
证 设级数 是收敛的，加括号后得的级数为,
相应的部分和分别为 s
n
和 s′
n
，注意到后者是前者的子列，故
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
lim lim,
nn
nn
ss
→∞ →∞
′
=
g
性质 4 若级数 收敛，则
lim 0.
n
n
a
→∞
=
1
n
n
a
∞
=
∑
证令
1
n
nk
k
sa
=
=
∑
则,a
n
=s
n
-s
n-1
，故
( )
1
lim lim 0.
nnn
nn
assss
→∞ →∞
=?=?=
g
性质 4′ 如果一般项不趋向于零，则级数发散。
例 7 设级数,因
1
1
n
n
n
∞
=
+
∑
lim 1,
1
n
n
n
→∞
=
+
故级数发散。
比较判别法及极限形式若级数 中的每一项,则称级数为正项级数。
1
n
n
a
∞
=
∑
()
0,1,2,
n
an≥=null
设正项级数 的部分和为 s
n
，则
1
n
n
a
∞
=
∑
11 1
,ss s≤ ≤≤≤nullnull
即数列 是单调上升的。由此得到：
()
1
n
n
s
∞
=
基本定理 正项级数 收敛?部分和数列有界。
1
n
n
a
∞
=
∑
则,(1)若级数 收敛，则级数 也收敛；
(2)若级数 发散，则级数 也发散。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
比较审敛法 设 与 是两个正项级数，且
1
n
n
b
∞
=
∑
( )
,1,2,
nn
abn≤=null
1
n
n
a
∞
=
∑
证 (1)设级数 收敛，其和为 σ，级数 的部分和为 s
n
，则
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
,
n
s σ≤
即，部分和数列有界，故极限存在。即级数 收敛。
1
n
n
a
∞
=
∑
(2)若 发散，部分和为 s
n
，设级数,部分和为
s′
n
，则有,又因级数 发散，故部分和无界，故 s′
n
无界，即级数 发散。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
,
nn
ss
′
≥
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
g
例 由此判别法，得级数
11 1
11 1
,,
ln ln
1
nn n
n
n
∞∞ ∞
== =
+
∑∑ ∑
均为发散级数。
例 2 设级数,,满足
(1),收敛； (2),则 收敛。
1
n
n
c
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
c
∞
=
∑
nnn
abc≤ ≤
1
n
n
b
∞
=
∑
证 作级数,级数为正项级数，且()()
11
,
nn nn
nn
ca cb
==
∑∑
,
nnnn
cbca
∞∞
≤?
因,是收敛的,? 是收敛的，所以
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
c
∞
=
∑
1
()
nn
n
ca
∞
=
∑
()
1
nn
n
cb
∞
=
∑
是收敛,? 是收敛的。
1
n
n
b
∞
=
∑
g
例 3 讨论级数 的收敛性。
1
1
p
n
n
∞
=
∑
解 当 时，因级数 收敛,? 是收敛的。先设 p>1，令
1p ≤
1
1
n
n
∞
=
∑
1
1
p
n
n
∞
=
∑
1
,
n
p
a
n
=
则，
()
1
1
11
,
1
n
n
p p
n
adx
x
n
+
+
=≤
+
∫
11 1
11
22 2
1
111
111
1
nn n
nn
k
ppp
n
kk k
p
adxdx
nxx
pnp
++ +
== =
∴ =≤ =
=?<
∑∑∑
∫∫
即，部分和数列有界，因而级数收敛。
比较审敛法′ 设 与 是两个正项级数，且
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
lim
n
n
n
a
k
b
→∞
=
则：
(1)若 0<k<∞，则级数 与级数 同时收敛；
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
(2)若 k=0且级数 收敛，则级数 收敛；
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
(3)若 k=∞且级数 发散，则级数 发散。
证 (1)设 收敛，且
1
n
n
b
∞
=
∑
lim 0
n
n
n
a
k
b
→∞
= ≠
由定义，存在 N，当 n>N时，有
1,( 1),
n
nn
n
a
kakb
b
<+? < +
因，? 收敛,? 收敛。反之也然。
1
n
n
b
∞
=
∑
1
(1)
n
n
kb
∞
=
+
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
(2)仿 (1)同证。
(3)设级数 发散，且
1
n
n
b
∞
=
∑
lim
n
n
n
a
b
→∞
=∞
则存在 N，当 n>N时，有
2,2,
n
nn
n
a
ab
b
>? >
因级数 发散,? 发散。
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
g
例 4 判别级数 的收敛性。
2
2
1
ln
n
nn n
∞
=
∑
解因
22
11
lim / 1,
ln
n
nn nn
→∞
=
又 收敛，故级数 收敛。
2
2
1
n
n
∞
=
∑
2
2
1
ln
n
nn n
∞
=
∑
例 5 判定级数 的收敛性。()
1
1cos,0
n
n
α
α π
∞
=
<<
∑
解因
22
11
lim 1 cos / lim 1 cos /
nx
nn xx
αα
→∞ →+∞
=?
1
t
x
=
2
2
00
1cos sin
lim lim,
22
tt
ttα ααα
→+ →+
==
故级数 收敛。
1
1cos
n
n
α
∞
=
∑
比值判别法比值判别法 (达朗贝尔 ) 设 是正项级数，若极限
1
n
n
a
∞
=
∑
1
lim,
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
则当 ρ <1时，级数收敛； ρ >1级数发散。
证设 ρ <1，则存在 N，当 n>N时，有
1
1,
n
n
a
r
a
ρε
+
< +=<
即
23
121 3
,,,
NNNN NN N
araararaara
+++ +
<<< <null
因 r<1且 a是定数，故级数 收敛,? 收敛,?级数 收敛。
1
k
N
k
ar
∞
=
∑
1
Nk
k
a
∞
+
=
∑
1
n
k
a
∞
=
∑
若 ρ>1，则存在 N，当 n>N时，有
1
1,
n
n
a
a
ρε
+
>?>
即，当 n充分大时，级数的一般项在递增，即
lim 0,
n
n
a
→∞
≠
故，级数 发散。
1
n
n
a
∞
=
∑
g
注：此判别法则适用于 ρ不等于 1的情况，当 ρ=1时则无法判定级数是否收敛。
例,前者发散，而后者收敛，但
2
11
11
,
nn
nn
∞∞
==
∑∑
1
lim 1.
n
n
n
a
a
+
→∞
=
例 6 证明级数 是收敛的。
1
2
3
n
n
n
n
∞
=
∑
证设,则
2
,
3
n
n
n
n
a =
1
1
1
(1)2 2 122
lim lim / lim,
33 33
nn
n
nn
nn n
n
a n
an
+
+
+
→∞ →∞ →∞
++
= ==
故，级数收敛。
g
例 7 判定级数 的收敛性。
1
!
n
n
n
n
∞
=
∑
解令,则
!
,
n
n
n
a
n
=
( )
() ()
1
1
1
1!
!
lim lim / lim
11
1
lim 1 1,
n
n
nnn
nn n
n
n
n
n
a nn
an
e
n
+
+
→∞ →∞ →∞
→∞
+
==
++
=?=<
故，级数收敛。
例 8 判定级数 的收敛性。
1
!
(2 1)!!
n
n
n
∞
=
∑
解令,则
!
(2 1)!!
n
n
a
n
=
( )
1
1!
!
lim lim /
(2 1)!! (2 1)!!
11
lim,
212
n
nn
n
n
n
a n
an
n
n
+
→∞ →∞
→∞
+
=
+?
+
=
+
故，级数收敛。
根值判别法根值判别法 (Cauchy)设正项级数 满足
1
n
n
a
∞
=
∑
lim,
n
n
n
a ρ
→∞
=
则当 ρ <1时，级数收敛； ρ >1级数发散。
证设 ρ <1，则存在 N，当 n>N时，有
1,
n
n
arρε< +=<
(),
n
n
arnN<>即因级数 收敛，故级数 收敛,? 收敛。
n
nN
r
∞
=
∑
n
nN
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
若 ρ>1，则存在 N，当 n>N时，有
1,
n
n
arρε>?=>
即
,lim,
n
nn
n
ar a
→∞
>? =∞
因而级数 发散。
1
n
n
a
∞
=
∑
g
当 ρ>1时，取级数,前者发散而后者收敛，但极限
2
11
11
,
nn
nn
∞∞
==
∑ ∑
lim 1.
n
n
n
a
→∞
=
例 9 判定级数 是否收敛。
1
3
5
n
n
n
n
∞
=
∑
解由 Cauchy判别法，
5
33
lim lim 1,
55
n
n n
n
nn
n
a
→∞ →∞
= =<
故级数收敛。
例 9 判定级数下面是否收敛
2
1
2
.
1
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
解因
2
222
lim lim lim 1,
1
1
1
1
n
n
n
n
n
nn n
n
a
e
n
n
→∞ →∞ →∞
= ==<
+
+
故级数收敛。
交错级数与收敛性
1.交错级数形如
1
1
( 1),( 0)
n
nn
n
aa
∞
=
>
∑
的级数称为交错级数。
例 1 级数 均为交错级数。
11
11
(1),(1),
1ln
nn
nn
∞∞
==
+?
∑∑
交错级数审敛法 如果交错级数
1
1
( 1),( 0)
n
nn
n
aa
∞
=
>
∑
的一般项满足下列两个条件
(1)a
n
单调下降；
(2)
lim 0,
n
n
a
→∞
=
则级数收敛且
1
.
nn
ra
+
≤
证设 s
n
为级数的部分和数列，由于
( ) ( ) ( )
21234 212
,
nnn
saaaa aa
=?+?++?null
注意到括号中的每一项都大于零，故 s
2n
为递增数列。又
( ) ( ) ( )
2 1 23 45 2 21 2 1
,s aaa aa aa aa
= <null
即,s
2n
为单调递增有上界数列，所以
2
lim,
n
n
s s
→∞
=
存在；又
21 2 21
,
nnn
ssa
+ +
= +
即有
( )
21 2 21 2
lim lim lim,
nnnn
nn n
ssass
++
→∞ →∞ →∞
= += =
lim,
n
n
s s
→∞
=
即，级数是收敛的。当级数收敛时，其余项级数也收敛，且
1234 1
1
,
nknnnn n
kn
raaaaa a
∞
+ +++ +
=+
= =?+?+<
∑
null
g
例 2 讨论级数 的收敛性。
()
1
1
1
1
n
n
n
∞
=
+
∑
解令
1
,
1
n
a
n
=
+
则，,且
12 n
aa a<<<nullnull
1
lim lim 0,
1
n
nn
a
n
→∞ →∞
= =
+
由判别定理?级数是收敛的。
绝对收敛与条件收敛设级数,若级数 收敛，则称级数 是绝对收敛的；若级数 收敛，但级数 是发散的，则称级数是条件收敛的。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
例 1 级数 是绝对收敛的，而级数是条件收敛的。
()
1
2
1
1
n
n
n
∞
=
∑
()
1
1
1
n
n
n
∞
=
∑
定理 绝对收敛的级数一定收敛，反之不然。
证 设级数 是绝对收敛的，引入
1
n
n
a
∞
=
∑
0
,
0 0
nn
n
n
aa
a
a
+
>
=
≤
即，
()
,1,2,
2
nn
n
aa
an
+
+
==null
0
,
0 0
nn
n
n
aa
a
a
≤
=
>
()
,1,2,
2
nn
n
aa
an
+
==null
因级数 绝对收敛，且
1
n
n
a
∞
=
∑
,,
nnnn
aaaa
+?
≤≤
故正项级数 及 是收敛的。因
1
n
n
a
∞
+
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
,
nnn
aaa
+?
=?
故级数 是收敛的。
1
n
n
a
∞
=
∑
g
例 2 讨论下列级数的收敛性：
(1),(2)
()
1
1
1
ln
n
n
nn
∞
=
∑
()
1
2
1
1
,
2
n
n
n
n
∞
=
∑
(3) (4) 。
()
1
2
1
1
1
,
n
n
nn
∞
=
∑
()
1
1
1
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
解 (1),
()
1
1
1
ln
n
n
nn
∞
=
∑
1
lim 0,
ln
n
nn
→∞
=
∵
1
lnnn?
且 单调下降，故级数 收敛。
()
1
1
1
ln
n
n
nn
∞
=
∑
又
11
,
lnnnn
>
故，级数 发散，即级数 条件收敛。
1
1
,
ln
n
nn
∞
=
∑
()
1
1
1
,
ln
n
n
nn
∞
=
∑
(2)
()
1
2
1
1
,
2
n
n
n
n
∞
=
∑
因，
2
1
lim,
22
n
n
n
n
→∞
=
故，级数 绝对收敛。
()
1
2
1
1
,
2
n
n
n
n
∞
=
∑
()
1
2
1
1
1
,
n
n
nn
∞
=
∑
因级数 绝对收敛，而级数 条件收敛，
原级数条件收敛。
(3)
2
1
1
n
n
∞
=
∑
()
1
1
1
n
n
n
∞
=
∑
()
1
1
1
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
()
1
lim 1 1,
1
n
n
n
n
→∞
=
+
∵
(4)
即：级数的一般项不趋于零，故级数发散。
绝对收敛的级数有如下重要的性质定理 绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
′
∑
证 首先证明正项级数的情形。设正项级数,
为其更序级数。并设,为更序级数的部分和，则有
1
n
n
as
∞
=
=
∑ ()
n
s
′
lim,
nn
n
s ssss
→∞
′ ′′
≤?=≤
同时，又可将 视为 的更序级数，则有
。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
′
∑
ss
′
≤
ss
′
=
再设一般情况。仍然设 为 的更序级数，相应的正项与负项级数为
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
′
∑
11
,
nn
nn
aa
∞∞
+?
==
′ ′
∑ ∑
因级数 绝对收敛，即有
1
n
n
a
∞
=
∑
11 11
,,
nn nn
nn nn
ua auva a
∞∞ ∞∞
+ +
== ==
′′ ′′
=====
∑ ∑∑∑
又
11 1
,
nn n
nn n
aaauvs
∞∞∞
+?
===
′′′
=?=?=
∑∑∑
即，级数收敛，且和不变。
g
注：此结论对条件收敛的级数则不成立例 3 考虑交错级数,两端乘以 1/2，即
()
1
1
1
n
n
s
n
∞
=
=
∑
1111 1 1
,
2 4 6 8 10 12 2
s
+?+? + =null
即
1111 1
00000,
2468102
s
++?+++?++ =null
两式对应相加，得
111 111 3
10 0 0,
325 749 2
s
++?+++?++ =null
即
111111 1 1 3
1,
3257491 6 2
s
+?++?++? =null
注意到此级数为原级数的一个更序级数。
级数的乘积设收敛级数,,作各项可能的乘积 a
i
b
j
，排成方阵
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
11 21 31 1
12 22 32 2
123
i
i
jjj ij
ab ab ab ab
ab ab ab ab
ab ab ab ab
nullnull
nullnull
nullnull null nullnullnull
nullnull
nullnull null null null null
对此方阵，考虑各种形式的和。例如按,对角线法,
11 21 31 41 51
12 22 32 42 52
13 23 33 43 53
15 25 35 44 54
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
null
null
null
null
null nullnullnullnull null
按,斜线,把对应项相加，得
( ) ( )
()
11 21 12 31 22 13
111 1
nn n
ab ab ab ab ab ab
ab a b ab
+ +++++
+++++nullnullnull
这样的乘积称为 Cauchy乘积。
( 1 )
11 21 31 41 51
12 22 32 42 52
13 23 33 43 53
15 25 35 44 54
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
null
null
null
null
null nullnullnullnull null
按正方形作乘积之和，得
( )
11 21 2 2 12 1 2
11 1
(
)
nn n
nnn n
ab ab ab ab ab ab ab
ab a b ab
+++++++
++ ++ +
null
nullnull
( 2 )
定理 (Cauchy) 若级数 与 绝对收敛，和分别为
s和 t，那么其 Cauchy乘积也收敛，且其和为 s·t 。,
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
证 考虑级数 Cauchy乘积的去括号后的形式
11 21 12 31 22 13
111 1
nn n
ab ab ab ab ab ab
ab a b ab
+ +++++
++ +++nullnullnull
( 1 )
由条件，级数 和 绝对收敛，故设
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
12
11
,,
nn
nn
aS bS
∞∞
==
==
∑∑
再设级数 (1)的各项取绝对值之后的级数为,部分为和 w
n
，则
1
n
n
c
∞
=
∑
12
11
,
mm
mnn
nn
wabS
==
≤?=
∑∑
注意到,w
m
为单调上升数列，从而 收敛，即级数 (1)绝对收敛。由于绝对收敛的级数的更序级数也收敛，且和不变，故级数 (2)收敛，和为 w，但级数 (2)的前
n项和为
1
n
n
c
∞
=
∑
()( )
12 12
,
nn
aa a bb b+++?+++nullnull
( )( )
12 12
lim,
nn
n
waaabbbst
→∞
= +++?+++ =?nullnull
g
例 4 利用 Cauchy乘积证明
000
()
.
!! !
nn n
nnn
aa ab
nn n
∞∞∞
===
+
=
∑∑∑
证 由比值法，易知等式左右两边的三个级数均为绝对收敛的。由 Cauchy乘积，通项为
() ()
122
!1!1 2!2! !
nn n n
n
aabab b
c
nn n n
=+ + ++
null
() ()
122
0
1! !
!1!12!
11
(),
!!
nn
n
knkk n
n
k
na b na b
ab
nn n
Ca b a b
nn
=
=+ + ++
==+
∑
null
即
000
()
.
!! !
nn n
nnn
aa ab
nn n
∞∞∞
===
+
=
∑∑∑
12 n
aa a+ +++nullnull
称为一个无穷级数，记为,即
1
n
n
a
∞
=
∑
12
1
.
in
n
aaa a
=
∞
= ++++
∑
nullnull
1
111 1
1.
23
n
nn
∞
=
= +++++
∑
nullnull
例 1
对级数,得部分和数列
1
n
n
a
∞
=
∑
12
1
.
ni n
i
saaa a
=
n
= =+ ++
∑
null
例 2 设级数,则部分和数列为
1n
n
∞
=
∑
1
(1)
12,
2
n
n
i
nn
sn n
=
+
==+++=
∑
null
例 3 设级数,则部分和数列为
1
n
n
q
∞
=
∑
1
1
.
1
n
n
n
n
i
q
sqq
q
=
==
∑
设级数,部分和数列,若部分和数列收敛，则称级数 是收敛的，并把极限叫做级数的和，
即：若,则记
1
n
n
a
∞
=
∑
()
1
n
n
s
∞
=
1
n
n
a
∞
=
∑
lim
n
n
s s
→∞
=
1
.
n
n
as
∞
=
=
∑
若数列 的极限不存在，则成级数是发散的。
()
1
n
n
s
∞
=
例 4 等比级数 收敛?|q|<1，且
1
n
n
q
∞
=
∑
1
1
lim,
11
n
n
n
n
∞
→∞
=
==
∑
例 5 证明级数 是收敛的，
()
2
2
1
21
1n
n
nn
∞
=
+
+
∑
证因
() () ()
2222
2
11
21 1 1 1
1
11
n
n
in
i
s
i
ii i n
∞
==
+
=
+++
∑∑
()
2
1
lim lim 1 1
1
n
nn
s
n
→∞ →∞
∴ =? =
+
()
2
2
1
21
1.
1n
n
nn
∞
=
+
=
+
∑
即例 6 证明级数 是收敛的，并求和。
1
1
(1)( 2)
n
nn n
∞
=
+ +
∑
解
()()
111 1
(1)(2)2(1) 1 2nn n nn n n
=?
++ + ++
∵
()()()
()()
1
1
(1)(2)
11 1 1 1 1 1
212 23 23 34 1 1 2
11 1 1
.
22 1 2 4
n
i
ii i
nn n n
nn
=
++
=?+?++?
+ ++
=+ →
++
∴
∑
null
1
11
,
(1)( 2)4
n
nn n
∞
=
=
++
∴
∑
例 6 证明调和级数
1
111 1
1
23
n
nn
∞
=
= +++++
∑
nullnull
是发散的。
证 该级数的前 2
m+1
项的部分和为
()
1
2
1
1111111
1
2345678
11 1
,
21222 2
m
mm m
s
m
m
+
+
=+++++++
+
++ + + > →∞ →∞
++
null
所以级数
1
111 1
1
23
n
nn
∞
=
= +++++
∑
nullnull
是发散的。
无穷级数的基本性质设级数,称级数 为原级数的余项级数，并注意到，若原级数的部分和为 s
n
，余项级数的部分和为
s′
m
(m>n)，则有
1
n
n
a
∞
=
∑
1
k
kn
a
∞
=+
∑
.
mmnn
s ss
+
′
=?
性质 1 级数 收敛?其余项级数 收敛。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
k
kn
a
∞
=+
∑
证 设级数 收敛，记部分和为 s
n
，级数 的部分和为 s′
m
，则
1
n
n
a
∞
=
∑
1
k
kn
a
∞
=+
∑
mmnn
s ss
+
′
=?
( )
lim lim,
mmnnn
mm
s ssss
+
→∞ →∞
′
=?=?
故即
1
.
kn
kn
ass
∞
=+
=?
∑
反之,若级数 收敛，若记
1
k
kn
a
∞
=+
∑
1
,
kn
kn
ar
∞
=+
=
∑
则有，原级数的部分和为
mn n m
s ss
+
′
= +
故
lim lim,
nm n m n n
mm
s sssr
+
→∞ →∞
′
= +=+
所以，原级数收敛。
g
性质 1说明级数的收敛与否与前有限项的取值无关。
性质 2 若,收敛，则对任意实数 k,l，级数
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
()
1
nn
n
ka lb
∞
=
+
∑
收敛，且
()
111
.
nn
nn n n
nn
ka lb ka lb
∞
===
+= +
∑ ∑∑
证 设级数 的部分和为 s
n
，级数 的部分和为
s′
n
，级数 的部分和为 s′′
n
，则
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
()
nn
ka lb
∞
+
∑
1n=
()
111
,
nnn
nii n nn
iii
s ka lb k a l b ks ls
===
′′ ′
=+=+=+
∑∑∑
( )
lim lim lim lim,
nnnnn
nn n
n
s ks ls s s
→∞ →∞ →∞
→∞
′′′ ′
= +=+
所以
()
111
.
nn
nn n n
nn
ka lb ka lb
∞
===
+= +
∑ ∑∑
g
性质 2说明收敛级数保持线性运算。
设级数,对级数进行,加括号,运算，则得到一个新的级数。例如对级数
1
n
n
a
∞
=
∑
()
1
1
1
n
n
∞
=
∑
作两项两项的括号运算，新级数为
()( ) ( ) ( )
11 11 11 11,?+?+?+?+null
该级数收敛，其和为零。
性质 3 若级数收敛，则,加括号,后得到的级数也收敛，
反之不然。
证 设级数 是收敛的，加括号后得的级数为,
相应的部分和分别为 s
n
和 s′
n
，注意到后者是前者的子列，故
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
lim lim,
nn
nn
ss
→∞ →∞
′
=
g
性质 4 若级数 收敛，则
lim 0.
n
n
a
→∞
=
1
n
n
a
∞
=
∑
证令
1
n
nk
k
sa
=
=
∑
则,a
n
=s
n
-s
n-1
，故
( )
1
lim lim 0.
nnn
nn
assss
→∞ →∞
=?=?=
g
性质 4′ 如果一般项不趋向于零，则级数发散。
例 7 设级数,因
1
1
n
n
n
∞
=
+
∑
lim 1,
1
n
n
n
→∞
=
+
故级数发散。
比较判别法及极限形式若级数 中的每一项,则称级数为正项级数。
1
n
n
a
∞
=
∑
()
0,1,2,
n
an≥=null
设正项级数 的部分和为 s
n
，则
1
n
n
a
∞
=
∑
11 1
,ss s≤ ≤≤≤nullnull
即数列 是单调上升的。由此得到：
()
1
n
n
s
∞
=
基本定理 正项级数 收敛?部分和数列有界。
1
n
n
a
∞
=
∑
则,(1)若级数 收敛，则级数 也收敛；
(2)若级数 发散，则级数 也发散。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
比较审敛法 设 与 是两个正项级数，且
1
n
n
b
∞
=
∑
( )
,1,2,
nn
abn≤=null
1
n
n
a
∞
=
∑
证 (1)设级数 收敛，其和为 σ，级数 的部分和为 s
n
，则
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
,
n
s σ≤
即，部分和数列有界，故极限存在。即级数 收敛。
1
n
n
a
∞
=
∑
(2)若 发散，部分和为 s
n
，设级数,部分和为
s′
n
，则有,又因级数 发散，故部分和无界，故 s′
n
无界，即级数 发散。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
,
nn
ss
′
≥
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
g
例 由此判别法，得级数
11 1
11 1
,,
ln ln
1
nn n
n
n
∞∞ ∞
== =
+
∑∑ ∑
均为发散级数。
例 2 设级数,,满足
(1),收敛； (2),则 收敛。
1
n
n
c
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
c
∞
=
∑
nnn
abc≤ ≤
1
n
n
b
∞
=
∑
证 作级数,级数为正项级数，且()()
11
,
nn nn
nn
ca cb
==
∑∑
,
nnnn
cbca
∞∞
≤?
因,是收敛的,? 是收敛的，所以
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
c
∞
=
∑
1
()
nn
n
ca
∞
=
∑
()
1
nn
n
cb
∞
=
∑
是收敛,? 是收敛的。
1
n
n
b
∞
=
∑
g
例 3 讨论级数 的收敛性。
1
1
p
n
n
∞
=
∑
解 当 时，因级数 收敛,? 是收敛的。先设 p>1，令
1p ≤
1
1
n
n
∞
=
∑
1
1
p
n
n
∞
=
∑
1
,
n
p
a
n
=
则，
()
1
1
11
,
1
n
n
p p
n
adx
x
n
+
+
=≤
+
∫
11 1
11
22 2
1
111
111
1
nn n
nn
k
ppp
n
kk k
p
adxdx
nxx
pnp
++ +
== =
∴ =≤ =
=?<
∑∑∑
∫∫
即，部分和数列有界，因而级数收敛。
比较审敛法′ 设 与 是两个正项级数，且
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
lim
n
n
n
a
k
b
→∞
=
则：
(1)若 0<k<∞，则级数 与级数 同时收敛；
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
(2)若 k=0且级数 收敛，则级数 收敛；
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
(3)若 k=∞且级数 发散，则级数 发散。
证 (1)设 收敛，且
1
n
n
b
∞
=
∑
lim 0
n
n
n
a
k
b
→∞
= ≠
由定义，存在 N，当 n>N时，有
1,( 1),
n
nn
n
a
kakb
b
<+? < +
因，? 收敛,? 收敛。反之也然。
1
n
n
b
∞
=
∑
1
(1)
n
n
kb
∞
=
+
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
(2)仿 (1)同证。
(3)设级数 发散，且
1
n
n
b
∞
=
∑
lim
n
n
n
a
b
→∞
=∞
则存在 N，当 n>N时，有
2,2,
n
nn
n
a
ab
b
>? >
因级数 发散,? 发散。
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
g
例 4 判别级数 的收敛性。
2
2
1
ln
n
nn n
∞
=
∑
解因
22
11
lim / 1,
ln
n
nn nn
→∞
=
又 收敛，故级数 收敛。
2
2
1
n
n
∞
=
∑
2
2
1
ln
n
nn n
∞
=
∑
例 5 判定级数 的收敛性。()
1
1cos,0
n
n
α
α π
∞
=
<<
∑
解因
22
11
lim 1 cos / lim 1 cos /
nx
nn xx
αα
→∞ →+∞
=?
1
t
x
=
2
2
00
1cos sin
lim lim,
22
tt
ttα ααα
→+ →+
==
故级数 收敛。
1
1cos
n
n
α
∞
=
∑
比值判别法比值判别法 (达朗贝尔 ) 设 是正项级数，若极限
1
n
n
a
∞
=
∑
1
lim,
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
则当 ρ <1时，级数收敛； ρ >1级数发散。
证设 ρ <1，则存在 N，当 n>N时，有
1
1,
n
n
a
r
a
ρε
+
< +=<
即
23
121 3
,,,
NNNN NN N
araararaara
+++ +
<<< <null
因 r<1且 a是定数，故级数 收敛,? 收敛,?级数 收敛。
1
k
N
k
ar
∞
=
∑
1
Nk
k
a
∞
+
=
∑
1
n
k
a
∞
=
∑
若 ρ>1，则存在 N，当 n>N时，有
1
1,
n
n
a
a
ρε
+
>?>
即，当 n充分大时，级数的一般项在递增，即
lim 0,
n
n
a
→∞
≠
故，级数 发散。
1
n
n
a
∞
=
∑
g
注：此判别法则适用于 ρ不等于 1的情况，当 ρ=1时则无法判定级数是否收敛。
例,前者发散，而后者收敛，但
2
11
11
,
nn
nn
∞∞
==
∑∑
1
lim 1.
n
n
n
a
a
+
→∞
=
例 6 证明级数 是收敛的。
1
2
3
n
n
n
n
∞
=
∑
证设,则
2
,
3
n
n
n
n
a =
1
1
1
(1)2 2 122
lim lim / lim,
33 33
nn
n
nn
nn n
n
a n
an
+
+
+
→∞ →∞ →∞
++
= ==
故，级数收敛。
g
例 7 判定级数 的收敛性。
1
!
n
n
n
n
∞
=
∑
解令,则
!
,
n
n
n
a
n
=
( )
() ()
1
1
1
1!
!
lim lim / lim
11
1
lim 1 1,
n
n
nnn
nn n
n
n
n
n
a nn
an
e
n
+
+
→∞ →∞ →∞
→∞
+
==
++
=?=<
故，级数收敛。
例 8 判定级数 的收敛性。
1
!
(2 1)!!
n
n
n
∞
=
∑
解令,则
!
(2 1)!!
n
n
a
n
=
( )
1
1!
!
lim lim /
(2 1)!! (2 1)!!
11
lim,
212
n
nn
n
n
n
a n
an
n
n
+
→∞ →∞
→∞
+
=
+?
+
=
+
故，级数收敛。
根值判别法根值判别法 (Cauchy)设正项级数 满足
1
n
n
a
∞
=
∑
lim,
n
n
n
a ρ
→∞
=
则当 ρ <1时，级数收敛； ρ >1级数发散。
证设 ρ <1，则存在 N，当 n>N时，有
1,
n
n
arρε< +=<
(),
n
n
arnN<>即因级数 收敛，故级数 收敛,? 收敛。
n
nN
r
∞
=
∑
n
nN
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
若 ρ>1，则存在 N，当 n>N时，有
1,
n
n
arρε>?=>
即
,lim,
n
nn
n
ar a
→∞
>? =∞
因而级数 发散。
1
n
n
a
∞
=
∑
g
当 ρ>1时，取级数,前者发散而后者收敛，但极限
2
11
11
,
nn
nn
∞∞
==
∑ ∑
lim 1.
n
n
n
a
→∞
=
例 9 判定级数 是否收敛。
1
3
5
n
n
n
n
∞
=
∑
解由 Cauchy判别法，
5
33
lim lim 1,
55
n
n n
n
nn
n
a
→∞ →∞
= =<
故级数收敛。
例 9 判定级数下面是否收敛
2
1
2
.
1
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
解因
2
222
lim lim lim 1,
1
1
1
1
n
n
n
n
n
nn n
n
a
e
n
n
→∞ →∞ →∞
= ==<
+
+
故级数收敛。
交错级数与收敛性
1.交错级数形如
1
1
( 1),( 0)
n
nn
n
aa
∞
=
>
∑
的级数称为交错级数。
例 1 级数 均为交错级数。
11
11
(1),(1),
1ln
nn
nn
∞∞
==
+?
∑∑
交错级数审敛法 如果交错级数
1
1
( 1),( 0)
n
nn
n
aa
∞
=
>
∑
的一般项满足下列两个条件
(1)a
n
单调下降；
(2)
lim 0,
n
n
a
→∞
=
则级数收敛且
1
.
nn
ra
+
≤
证设 s
n
为级数的部分和数列，由于
( ) ( ) ( )
21234 212
,
nnn
saaaa aa
=?+?++?null
注意到括号中的每一项都大于零，故 s
2n
为递增数列。又
( ) ( ) ( )
2 1 23 45 2 21 2 1
,s aaa aa aa aa
= <null
即,s
2n
为单调递增有上界数列，所以
2
lim,
n
n
s s
→∞
=
存在；又
21 2 21
,
nnn
ssa
+ +
= +
即有
( )
21 2 21 2
lim lim lim,
nnnn
nn n
ssass
++
→∞ →∞ →∞
= += =
lim,
n
n
s s
→∞
=
即，级数是收敛的。当级数收敛时，其余项级数也收敛，且
1234 1
1
,
nknnnn n
kn
raaaaa a
∞
+ +++ +
=+
= =?+?+<
∑
null
g
例 2 讨论级数 的收敛性。
()
1
1
1
1
n
n
n
∞
=
+
∑
解令
1
,
1
n
a
n
=
+
则，,且
12 n
aa a<<<nullnull
1
lim lim 0,
1
n
nn
a
n
→∞ →∞
= =
+
由判别定理?级数是收敛的。
绝对收敛与条件收敛设级数,若级数 收敛，则称级数 是绝对收敛的；若级数 收敛，但级数 是发散的，则称级数是条件收敛的。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
例 1 级数 是绝对收敛的，而级数是条件收敛的。
()
1
2
1
1
n
n
n
∞
=
∑
()
1
1
1
n
n
n
∞
=
∑
定理 绝对收敛的级数一定收敛，反之不然。
证 设级数 是绝对收敛的，引入
1
n
n
a
∞
=
∑
0
,
0 0
nn
n
n
aa
a
a
+
>
=
≤
即，
()
,1,2,
2
nn
n
aa
an
+
+
==null
0
,
0 0
nn
n
n
aa
a
a
≤
=
>
()
,1,2,
2
nn
n
aa
an
+
==null
因级数 绝对收敛，且
1
n
n
a
∞
=
∑
,,
nnnn
aaaa
+?
≤≤
故正项级数 及 是收敛的。因
1
n
n
a
∞
+
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
,
nnn
aaa
+?
=?
故级数 是收敛的。
1
n
n
a
∞
=
∑
g
例 2 讨论下列级数的收敛性：
(1),(2)
()
1
1
1
ln
n
n
nn
∞
=
∑
()
1
2
1
1
,
2
n
n
n
n
∞
=
∑
(3) (4) 。
()
1
2
1
1
1
,
n
n
nn
∞
=
∑
()
1
1
1
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
解 (1),
()
1
1
1
ln
n
n
nn
∞
=
∑
1
lim 0,
ln
n
nn
→∞
=
∵
1
lnnn?
且 单调下降，故级数 收敛。
()
1
1
1
ln
n
n
nn
∞
=
∑
又
11
,
lnnnn
>
故，级数 发散，即级数 条件收敛。
1
1
,
ln
n
nn
∞
=
∑
()
1
1
1
,
ln
n
n
nn
∞
=
∑
(2)
()
1
2
1
1
,
2
n
n
n
n
∞
=
∑
因，
2
1
lim,
22
n
n
n
n
→∞
=
故，级数 绝对收敛。
()
1
2
1
1
,
2
n
n
n
n
∞
=
∑
()
1
2
1
1
1
,
n
n
nn
∞
=
∑
因级数 绝对收敛，而级数 条件收敛，
原级数条件收敛。
(3)
2
1
1
n
n
∞
=
∑
()
1
1
1
n
n
n
∞
=
∑
()
1
1
1
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
()
1
lim 1 1,
1
n
n
n
n
→∞
=
+
∵
(4)
即：级数的一般项不趋于零，故级数发散。
绝对收敛的级数有如下重要的性质定理 绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
′
∑
证 首先证明正项级数的情形。设正项级数,
为其更序级数。并设,为更序级数的部分和，则有
1
n
n
as
∞
=
=
∑ ()
n
s
′
lim,
nn
n
s ssss
→∞
′ ′′
≤?=≤
同时，又可将 视为 的更序级数，则有
。
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
′
∑
ss
′
≤
ss
′
=
再设一般情况。仍然设 为 的更序级数，相应的正项与负项级数为
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
′
∑
11
,
nn
nn
aa
∞∞
+?
==
′ ′
∑ ∑
因级数 绝对收敛，即有
1
n
n
a
∞
=
∑
11 11
,,
nn nn
nn nn
ua auva a
∞∞ ∞∞
+ +
== ==
′′ ′′
=====
∑ ∑∑∑
又
11 1
,
nn n
nn n
aaauvs
∞∞∞
+?
===
′′′
=?=?=
∑∑∑
即，级数收敛，且和不变。
g
注：此结论对条件收敛的级数则不成立例 3 考虑交错级数,两端乘以 1/2，即
()
1
1
1
n
n
s
n
∞
=
=
∑
1111 1 1
,
2 4 6 8 10 12 2
s
+?+? + =null
即
1111 1
00000,
2468102
s
++?+++?++ =null
两式对应相加，得
111 111 3
10 0 0,
325 749 2
s
++?+++?++ =null
即
111111 1 1 3
1,
3257491 6 2
s
+?++?++? =null
注意到此级数为原级数的一个更序级数。
级数的乘积设收敛级数,,作各项可能的乘积 a
i
b
j
，排成方阵
1
n
n
b
∞
=
∑
1
n
n
a
∞
=
∑
11 21 31 1
12 22 32 2
123
i
i
jjj ij
ab ab ab ab
ab ab ab ab
ab ab ab ab
nullnull
nullnull
nullnull null nullnullnull
nullnull
nullnull null null null null
对此方阵，考虑各种形式的和。例如按,对角线法,
11 21 31 41 51
12 22 32 42 52
13 23 33 43 53
15 25 35 44 54
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
null
null
null
null
null nullnullnullnull null
按,斜线,把对应项相加，得
( ) ( )
()
11 21 12 31 22 13
111 1
nn n
ab ab ab ab ab ab
ab a b ab
+ +++++
+++++nullnullnull
这样的乘积称为 Cauchy乘积。
( 1 )
11 21 31 41 51
12 22 32 42 52
13 23 33 43 53
15 25 35 44 54
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
ab ab ab ab ab
null
null
null
null
null nullnullnullnull null
按正方形作乘积之和，得
( )
11 21 2 2 12 1 2
11 1
(
)
nn n
nnn n
ab ab ab ab ab ab ab
ab a b ab
+++++++
++ ++ +
null
nullnull
( 2 )
定理 (Cauchy) 若级数 与 绝对收敛，和分别为
s和 t，那么其 Cauchy乘积也收敛，且其和为 s·t 。,
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
证 考虑级数 Cauchy乘积的去括号后的形式
11 21 12 31 22 13
111 1
nn n
ab ab ab ab ab ab
ab a b ab
+ +++++
++ +++nullnullnull
( 1 )
由条件，级数 和 绝对收敛，故设
1
n
n
a
∞
=
∑
1
n
n
b
∞
=
∑
12
11
,,
nn
nn
aS bS
∞∞
==
==
∑∑
再设级数 (1)的各项取绝对值之后的级数为,部分为和 w
n
，则
1
n
n
c
∞
=
∑
12
11
,
mm
mnn
nn
wabS
==
≤?=
∑∑
注意到,w
m
为单调上升数列，从而 收敛，即级数 (1)绝对收敛。由于绝对收敛的级数的更序级数也收敛，且和不变，故级数 (2)收敛，和为 w，但级数 (2)的前
n项和为
1
n
n
c
∞
=
∑
()( )
12 12
,
nn
aa a bb b+++?+++nullnull
( )( )
12 12
lim,
nn
n
waaabbbst
→∞
= +++?+++ =?nullnull
g
例 4 利用 Cauchy乘积证明
000
()
.
!! !
nn n
nnn
aa ab
nn n
∞∞∞
===
+
=
∑∑∑
证 由比值法，易知等式左右两边的三个级数均为绝对收敛的。由 Cauchy乘积，通项为
() ()
122
!1!1 2!2! !
nn n n
n
aabab b
c
nn n n
=+ + ++
null
() ()
122
0
1! !
!1!12!
11
(),
!!
nn
n
knkk n
n
k
na b na b
ab
nn n
Ca b a b
nn
=
=+ + ++
==+
∑
null
即
000
()
.
!! !
nn n
nnn
aa ab
nn n
∞∞∞
===
+
=
∑∑∑
