第三单元 微分本单元内容要点微分的概念；可微的条件；微分的计算；应用．
本单元教学要求理解微分的概念；微分的几何意义：从几何上理解微分是函数增量的主要部分；掌握利用微分去近似计算．
一、微分的定义
1.引例
x
Dx
2
A x=
()
2
x?
Dxx
首先我们来看一个具体的例子：一块正方形的金属薄片受温度变化的影响，其边长从变化到,问此薄片的面积改变了多少？
x
xx+?
分析：当边长为 时，相应的面积为
x
2
()Sx x=
而当边长增加到 时，薄片面积的改变量为xx+?
() ()
22
2
2,Sxx x xx x?= + =
从中可以看出 由两部分构成：第一部分 是的线性函数；第二部分 当 是 的高阶无穷小．由此可见：如果边长的改变很微小，则面积的改变量可以近似地用第一部分来代替．由于第一部分是 的线性函数，而且当 | | 越小时，近似程度也越好．这给近似计算带来了很大的方便．
S? 2xx? x?
()
2
x?
0x?→ x?
x? x?
还有其它几多具体问题中的出现的函数 都具有这样的特征：与自变量的增量 相对应的函数的增量 可以表达为 的线性函数 与 的高阶无穷小 的两部分和．由此，我们引入以下概念：
()yfx=
x?
( )
()yfxxf x?= +
x?
A x? x?
( )
ox?
2.微分的定义定义 设函数 在 的某个领域内有定义，当自变量在 处取得增量 (点 仍在该领域 ) 时，
如果相应的函数增量 可以表示为
()yfx=
0
x
0
x x?
0
xx+?
00
()()yfx x fx? =+
( )
,y Ax o x? =?+?
其中 A是与 有关的而与 无关的常数,是 的高阶无穷小 (当 )，那么称函数 在点是可微的,称为函数 在点 相应于自变量
0
x
x?
( )
ox?
x?
0x? →
()yfx=
0
x
A x?
()yfx=
0
x
的增量 微分，记为,即dyx?
.dy A x=?
3.可微的条件定理 函数 在点 处可微的充要条件是函数在点 处可导且有
0
x
()yfx=
0
x
()yfx=
0
(),dy f x x
′
=?
证 必要性,设函数 在点 处可微分，则由定义，对给定的自变量的增量 相应函数的增量为
()yfx=
0
x
x?
( )
00
()(),yfxxf xAxox?= + =?+?
( )
即：
,
ox
y
A
xx
=+
注意到：
( )
0
00
() lim lim,
xx
ox
y
fx A A
→?→
′
= =+=
即有：
0
(),dy f x x
′
=?
充分性：设函数 在 处可导，即有()yfx=
0
x
0
0
lim ( ),
x
y
fx
x
→
′
=
由极限与无穷小的关系：得
0
()
y
fx
x
α
′
= +
其中 为无穷小．从而
α
( ) ( )
00
() (),yfxx x fxxoxα
′′
=?+ =?+?
即：函数 在 处可微分，且有()yfx=
0
x
0
(),dy f x x
′
=?
如果函数 在区间 内每一点可微，则称为区间内的可微函数；函数 在 内的任意一点微分就称为函数的微分，也记为,由前公式得：
()yfx=
I ()fx
()fx I
dy
(),dy f x x
′
=?
通常把自变量 的的增量称为自变量的微分，记为于是函数的微分可记为
x dx
(),dy f x dx
′
=
上式两端除以自变量的微分，得：
().
dy
fx
dx
′
=
因此，导数又称为微商．
二、微分公式与运算法则由前面的可微的充分必要条件，可得下面的基本公式：
1.基本公式
1
d( ) dxxx
αα
α
=
d(e ) e d
xx
x=
d( ) ln d
xx
aaax=
1
d(ln ) dxx
x
=
1
d(log )d
ln
a
xx
xa
=
d(sin ) cos dxxx= d(cos ) sin dxxx=?
2
d(cot ) csc dxxx=?
2
d(tan ) sec dxxx=
d(csc ) csc cot dxxx=?d(sec ) sec tan dxxxx=
2
1
d(arcsin ) d
1
xx
x
=
2
1
d(arccos ) d
1
xx
x
=?
2
1
d(arctan ) d
1
xx
x
=
+
2
1
d(arccot ) d
1
xx
x
=?
+
2.运算法则 (表中,)(),(),Ruuxvvxα β= =∈
函数的和、积、商的求导法则 函数和、积、商的微分法则
()
uv uvα βαβ
′
′ ′
+=+
()
du v du dvα βαβ+=+
()
uv uv uv
′
′ ′
=+
()
duv vdu udv=+
2
uuvuv
vv
′
′ ′
=
2
u vdu udv
d
vv
=
3.复合函数的微分法则设,则复合函数 的导数为
(),()yfuu x?==
[ ]
()yf x?=
( ) ( )
,
x
yf x x
′′ ′
=
所以复合函数的微分为
( ) ( )
.dy f x x dx
′′
=
由于 故上式又可写成：
( ) ( ) ( )
,,fxfuxdxdu
′′′
==
( )
.dy f u du=
比较两式，可以看到无论 u是中间变量或是直接变量，
表达式
( )
dyfudu
′
=
总是正确的，这一性质称为微分形式不变性．
例 1 求函数 在 处的微分．
( )
ln 1yx= + 1x =
解 因函数为初等函数，故为可微函数．由计算公式得：
()
1
1
1
ln 1,
2
x
x
dy xxx
=
=
′
= +?=?
例 2 求函数 在 时的微分．
sin,0.1yxx xπ= =?=
解
cos 0.1.
xx
dy x x
ππ==
=?=?
例 3 求函数 的微分．
2
x
y e=
解 由微分公式
2
2.
x
dy ydx xe dx
′
==
三、微分的几何意义由微分的定义，当函数 在 处可微时，有
()fx
0
x
( ) ( )
0
,yfx xox
′
=?+?
当时，
()
0
0fx
′
≠
( ) ( )
0
,yfx xoxdy
′
=?+? ≈
并且误差仅是 的高阶无穷小．注意到当时，
x? 0x? →
( ) ( ) ( )
()
000
0
1,
fx x fx fx
dy
y
yy fx
x
′ ′′
= =→=
′
故
.y dy? ～
此即说明 是 的主要部分，故称微分 是 的 线性主部．
dy y?
dy y?
()yfx=
0
x
M
N
T
dy
y?
()ox?
）
α
x?
0
xx+?
P
x
y
o
0
()f x
0
()f xx+?
Q
从图中可以看到，对取定的 值，当自变量 有微小的增量 时，得到曲线上的相应点 N,MT是曲线在 M处的切线，由此得：
()fx
0
x
x
x?
()yfx=
0
x
M
N
T
dy
y?
()ox?
）
α
x?
0
xx+?
P
x
y
o
0
()f x
0
()f xx+?
Q
0
,,
(),
MQxQNy
QP f x x dy
=? =?
′
=?=
当 很小时，x?
( )
,ydy ox=?
因此，曲线
()yfx=
在点 M附近的局部范围可由它在这点处的切线近似代替．
四、近似计算由微分公式⑷得到如下的近似计算公式：
( ) ( ) ( )
00
,yfxxoxf xx
′′
=?+? ≈?
⑸
或
( ) ( ) ( )
000
.f xxf x f xx+?≈ +?
注意到，若记 则有
0
xx x
(5′)
= +?
( ) ( )( )
000
(),f x f x f xxx
′
≈+?
因此 (5′)式的右端就是曲线 在点
()yfx=
( )( )
00
,xfx
处的切线表达式
( ) ( )( )
000
.yfx f xxx
′
=+?
因此 (5)或 (5′)通常称为函数 的一次近似或线性近似，其近似误差 是 的高阶无穷小,越小，则近似程度就越高．
()yfx=
( ) ( )
0
()f x f xxox
′
+
x?
x?
例 4 在 的邻近，求 的一次近似式．
0x = ( )
() ln1fx x=+
解在 (5′)中，取,即有
0
0x =
( ) ( )
() 0 0,fx f f x
′
=+
因 由此得
( )
(0) 0,0 1,ff
′
==
( )
ln 1 0,xxx+ ≈+=
当 很小时，还可得到其它函数的一次近似式．我们把常用的几个函数的一次近似式列于下表：
x?
()
()
,
sin,
tan,
11,
ln 1,
x
ex
xx
xx
xx
xx
α
α
≠
≈
≈
+≈+
+≈
例 5 近似计算,
1.01
解 由上面的一次近似式，此时 因而有
1
,
2
α=
()
1
2
1
1.01 1 0.01 1 0.01 1.005.
2
=+ ≈+? =
例 6 在半径为 1cm的金属球表面上镀一层厚度为 0.01cm
的铜，估计要用铜多少克 (铜的密度为 8.9g/cm
3
)?
解 镀层的体积等于两个同心球体的体积之差．故
( )
()
0
22 3
0
4 4 3.14 1 0.01 0.13 cm,
vdvVR R
RRπ
′
≈ =?
=?=×××=
故要用的铜大约为
0.13 8.9 1.16( ).g× =
本单元教学要求理解微分的概念；微分的几何意义：从几何上理解微分是函数增量的主要部分；掌握利用微分去近似计算．
一、微分的定义
1.引例
x
Dx
2
A x=
()
2
x?
Dxx
首先我们来看一个具体的例子：一块正方形的金属薄片受温度变化的影响，其边长从变化到,问此薄片的面积改变了多少？
x
xx+?
分析：当边长为 时，相应的面积为
x
2
()Sx x=
而当边长增加到 时，薄片面积的改变量为xx+?
() ()
22
2
2,Sxx x xx x?= + =
从中可以看出 由两部分构成：第一部分 是的线性函数；第二部分 当 是 的高阶无穷小．由此可见：如果边长的改变很微小，则面积的改变量可以近似地用第一部分来代替．由于第一部分是 的线性函数，而且当 | | 越小时，近似程度也越好．这给近似计算带来了很大的方便．
S? 2xx? x?
()
2
x?
0x?→ x?
x? x?
还有其它几多具体问题中的出现的函数 都具有这样的特征：与自变量的增量 相对应的函数的增量 可以表达为 的线性函数 与 的高阶无穷小 的两部分和．由此，我们引入以下概念：
()yfx=
x?
( )
()yfxxf x?= +
x?
A x? x?
( )
ox?
2.微分的定义定义 设函数 在 的某个领域内有定义，当自变量在 处取得增量 (点 仍在该领域 ) 时，
如果相应的函数增量 可以表示为
()yfx=
0
x
0
x x?
0
xx+?
00
()()yfx x fx? =+
( )
,y Ax o x? =?+?
其中 A是与 有关的而与 无关的常数,是 的高阶无穷小 (当 )，那么称函数 在点是可微的,称为函数 在点 相应于自变量
0
x
x?
( )
ox?
x?
0x? →
()yfx=
0
x
A x?
()yfx=
0
x
的增量 微分，记为,即dyx?
.dy A x=?
3.可微的条件定理 函数 在点 处可微的充要条件是函数在点 处可导且有
0
x
()yfx=
0
x
()yfx=
0
(),dy f x x
′
=?
证 必要性,设函数 在点 处可微分，则由定义，对给定的自变量的增量 相应函数的增量为
()yfx=
0
x
x?
( )
00
()(),yfxxf xAxox?= + =?+?
( )
即：
,
ox
y
A
xx
=+
注意到：
( )
0
00
() lim lim,
xx
ox
y
fx A A
→?→
′
= =+=
即有：
0
(),dy f x x
′
=?
充分性：设函数 在 处可导，即有()yfx=
0
x
0
0
lim ( ),
x
y
fx
x
→
′
=
由极限与无穷小的关系：得
0
()
y
fx
x
α
′
= +
其中 为无穷小．从而
α
( ) ( )
00
() (),yfxx x fxxoxα
′′
=?+ =?+?
即：函数 在 处可微分，且有()yfx=
0
x
0
(),dy f x x
′
=?
如果函数 在区间 内每一点可微，则称为区间内的可微函数；函数 在 内的任意一点微分就称为函数的微分，也记为,由前公式得：
()yfx=
I ()fx
()fx I
dy
(),dy f x x
′
=?
通常把自变量 的的增量称为自变量的微分，记为于是函数的微分可记为
x dx
(),dy f x dx
′
=
上式两端除以自变量的微分，得：
().
dy
fx
dx
′
=
因此，导数又称为微商．
二、微分公式与运算法则由前面的可微的充分必要条件，可得下面的基本公式：
1.基本公式
1
d( ) dxxx
αα
α
=
d(e ) e d
xx
x=
d( ) ln d
xx
aaax=
1
d(ln ) dxx
x
=
1
d(log )d
ln
a
xx
xa
=
d(sin ) cos dxxx= d(cos ) sin dxxx=?
2
d(cot ) csc dxxx=?
2
d(tan ) sec dxxx=
d(csc ) csc cot dxxx=?d(sec ) sec tan dxxxx=
2
1
d(arcsin ) d
1
xx
x
=
2
1
d(arccos ) d
1
xx
x
=?
2
1
d(arctan ) d
1
xx
x
=
+
2
1
d(arccot ) d
1
xx
x
=?
+
2.运算法则 (表中,)(),(),Ruuxvvxα β= =∈
函数的和、积、商的求导法则 函数和、积、商的微分法则
()
uv uvα βαβ
′
′ ′
+=+
()
du v du dvα βαβ+=+
()
uv uv uv
′
′ ′
=+
()
duv vdu udv=+
2
uuvuv
vv
′
′ ′
=
2
u vdu udv
d
vv
=
3.复合函数的微分法则设,则复合函数 的导数为
(),()yfuu x?==
[ ]
()yf x?=
( ) ( )
,
x
yf x x
′′ ′
=
所以复合函数的微分为
( ) ( )
.dy f x x dx
′′
=
由于 故上式又可写成：
( ) ( ) ( )
,,fxfuxdxdu
′′′
==
( )
.dy f u du=
比较两式，可以看到无论 u是中间变量或是直接变量，
表达式
( )
dyfudu
′
=
总是正确的，这一性质称为微分形式不变性．
例 1 求函数 在 处的微分．
( )
ln 1yx= + 1x =
解 因函数为初等函数，故为可微函数．由计算公式得：
()
1
1
1
ln 1,
2
x
x
dy xxx
=
=
′
= +?=?
例 2 求函数 在 时的微分．
sin,0.1yxx xπ= =?=
解
cos 0.1.
xx
dy x x
ππ==
=?=?
例 3 求函数 的微分．
2
x
y e=
解 由微分公式
2
2.
x
dy ydx xe dx
′
==
三、微分的几何意义由微分的定义，当函数 在 处可微时，有
()fx
0
x
( ) ( )
0
,yfx xox
′
=?+?
当时，
()
0
0fx
′
≠
( ) ( )
0
,yfx xoxdy
′
=?+? ≈
并且误差仅是 的高阶无穷小．注意到当时，
x? 0x? →
( ) ( ) ( )
()
000
0
1,
fx x fx fx
dy
y
yy fx
x
′ ′′
= =→=
′
故
.y dy? ～
此即说明 是 的主要部分，故称微分 是 的 线性主部．
dy y?
dy y?
()yfx=
0
x
M
N
T
dy
y?
()ox?
）
α
x?
0
xx+?
P
x
y
o
0
()f x
0
()f xx+?
Q
从图中可以看到，对取定的 值，当自变量 有微小的增量 时，得到曲线上的相应点 N,MT是曲线在 M处的切线，由此得：
()fx
0
x
x
x?
()yfx=
0
x
M
N
T
dy
y?
()ox?
）
α
x?
0
xx+?
P
x
y
o
0
()f x
0
()f xx+?
Q
0
,,
(),
MQxQNy
QP f x x dy
=? =?
′
=?=
当 很小时，x?
( )
,ydy ox=?
因此，曲线
()yfx=
在点 M附近的局部范围可由它在这点处的切线近似代替．
四、近似计算由微分公式⑷得到如下的近似计算公式：
( ) ( ) ( )
00
,yfxxoxf xx
′′
=?+? ≈?
⑸
或
( ) ( ) ( )
000
.f xxf x f xx+?≈ +?
注意到，若记 则有
0
xx x
(5′)
= +?
( ) ( )( )
000
(),f x f x f xxx
′
≈+?
因此 (5′)式的右端就是曲线 在点
()yfx=
( )( )
00
,xfx
处的切线表达式
( ) ( )( )
000
.yfx f xxx
′
=+?
因此 (5)或 (5′)通常称为函数 的一次近似或线性近似，其近似误差 是 的高阶无穷小,越小，则近似程度就越高．
()yfx=
( ) ( )
0
()f x f xxox
′
+
x?
x?
例 4 在 的邻近，求 的一次近似式．
0x = ( )
() ln1fx x=+
解在 (5′)中，取,即有
0
0x =
( ) ( )
() 0 0,fx f f x
′
=+
因 由此得
( )
(0) 0,0 1,ff
′
==
( )
ln 1 0,xxx+ ≈+=
当 很小时，还可得到其它函数的一次近似式．我们把常用的几个函数的一次近似式列于下表：
x?
()
()
,
sin,
tan,
11,
ln 1,
x
ex
xx
xx
xx
xx
α
α
≠
≈
≈
+≈+
+≈
例 5 近似计算,
1.01
解 由上面的一次近似式，此时 因而有
1
,
2
α=
()
1
2
1
1.01 1 0.01 1 0.01 1.005.
2
=+ ≈+? =
例 6 在半径为 1cm的金属球表面上镀一层厚度为 0.01cm
的铜，估计要用铜多少克 (铜的密度为 8.9g/cm
3
)?
解 镀层的体积等于两个同心球体的体积之差．故
( )
()
0
22 3
0
4 4 3.14 1 0.01 0.13 cm,
vdvVR R
RRπ
′
≈ =?
=?=×××=
故要用的铜大约为
0.13 8.9 1.16( ).g× =
