第一节 柯西 （ Cauchy） 中值定理与洛必达 （ L’Hospital） 法则第二节 拉格朗日 （ Lagrange） 中值定理及函数的单调性
*第四节 曲 率第三节 函数的极值与最值第五节 函数图形的描绘第四章 一元函数微分学的应用第六节 一元函数微分学在经济上的应用一,柯西中值定理二,洛必达法则第一节 柯西（ Cauchy）中值定理与洛必达（ L’Hospital）法则定理 1 （柯西中值定理）如果函数 )( xf 与 )( xF 满足下列条件,
(1) 闭区间 ],[ ba 上连续；
(2) 在开区间 ),( ba 内可导 ； (3) )(' xF 在 ),( ba 内的每一点均不为零，那么，在
),( ba 内至少有一点 ξ,
.f( b ) f( a ) f ( )F ( b ) F ( a ) F ( )使得一,柯西 中值定理二,洛必达 法则把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为
0
0
型或
型不定式 ( 也称为
0
0
型或
型未定型 )
的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限方法,
(1) 0)(li m
0
xfxx,0)(lim
0
xgxx ； (2) )( xf 与 )( xg 在 0x 的某邻域内（点 0x 可除外）
可导，且 0)('?xg ；
定理 2 ( 洛必达法则 ) 若
(3) A
xg
xf
xx
)(
)(lim
0
( A 为有限数，也可为 或 ),则证 由于我们要讨论的是函数在点
0
x 的极限，
而极限与函数在点
0
x 的值无关，所以我们可补充 )( xf
与 )( xg 在 0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响．令 0)()( 00 xgxf,则 )( xf 与 )( xg 在 点 0x 就连续了．在 0x 附近任取一点 x,并应用柯西中值定理，
得
Axg
xf
xg
xf
xxxx
)(
)(lim
)(
)(lim
00
,
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
0
0
g
f
xgxg
xfxf
xg
xf
( ξ 在 x 与
0x 之间 ),
由于 0xx? 时,0xξ?,所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕,
注,上述定理对x 时的
0
0
未定型同样适用，对于
0xx? 或x 时的未定型
，也有相应的法则,
例 1 求 123lim 23
3
1
xxx
xx
x,
解
1
23
lim
23
3
1
xxx
xx
x
=
123
33
li m
2
2
1
xx
x
x
=
26
6
l im
1 x
x
x
=
4
6
=
2
3
,
例 2 求 x xx ta nc o s1lim π,
解 x x
x ta n
c o s1lim
π
=
x
x
x
2
π
c o s
1
s inlim?
= 0,
例 3 求
π
a r c ta n
2l im
1x
x
x
,
解
π
a r c ta n
2
l im
1x
x
x
=
2
2
1
1
1
li m
x
x
x
=
2
2
1
lim
x
x
x
= 1,
例 4 求 )0(lnlim nx xnx,
解 0
1
lim
1
lim
ln
lim 1
nxnxnx nxnx
x
x
x
,
例 5 求 xx xx ln 11lim 1,解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0
0
未定型,
xx
xxx
xx
x
xx ln)1(
)1(ln
lim
ln
1
1
lim
11?
x
x
x
x
x
x
x 1
ln
1ln
1
li m
1?
除未定型
0
0
与
之外，还有
00
,1,0,,0
等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就 未定型再举一例,
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
(1) 每次使用法则前，必须检验是否属于
0
0
或
未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； (2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，
则可先约去或提出，以简化演算步骤；
( 3 ) 当
( x )g
( x )f
lim 不存在 ( 不包括? 的情况 ) 时，并不能断定
g( x )
f ( x )
lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限,
x
x
x
x
ln
1
1
ln
li m
1
2
1
11
1
li m
2
1
xx
x
x
,
2,把柯西中值定理中的,)( xf 与 )( xF 在闭区间
],[ ba 上连续”换成,f( x ) 与 )( xF 在开区间 ),( ba 内连续”
后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明,
思考题
1,用洛必达法则求极限时应注意什么？
第二节 拉格朗日（ Lagrange）中值定理及函数的单调性一,拉格朗日中值定理二,两个重要推论三,函数的单调性定理 1 如果函数 )( xf 满足下列条件,
（ 1 ） 在 区间 ],[ ba 上连续；
（ 2 ） 在开区间 ),( ba 内可导，那么，在 ),( ba 内至少有一点 ξ,使得
))(()()( abfafbf,如果令 abxax Δ,，则上式为
xξfxfxxf Δ)(')()Δ(,
其中 ξ 介于 x 与 xx Δ? 之 间,如 果 将 ξ 表 是 成
)10(Δ xxξ,上式也可写成
( ) ( ) '( ) ( 0 1 )f x x f x f x x x,
一,拉格朗日 中值定理拉格朗日中值定理几何演示推论 1 如果函数 )( xf 在区间 ),( ba 内满足
0)('?xf,则在 ),( ba 内 Cxf?)( （ C 为常数）,证 设 21,xx 是区间 ),( ba 内的任意两点，且
21 xx?,于是在区间 ],[ 21 xx 上函数 )( xf 满足拉格朗日中值定理的条件，故得由于 0)( ξf,所以 0)()( 12 xfxf,即 )()( 21 xfxf?,
2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),f x f x f ξ x x x ξ x
.
二、两个重要推论因为 21,xx 是 ),( ba 内的任意两点，于是上式表明
)( xf 在 ),( ba 内任意两点的值总是相等的，即 )( xf 在
),( ba 内是一个常数，证毕,
推论 2 如果 对 ),( ba 内 任意 x,均有
)()( xgxf,则在 ),( ba 内 )( xf 与 )( xg 之间只差一个常数，即 Cxgxf )()( （ C 为常数）,证 令 )()()( xgxfxF,则 0)( xF,由推论 1
知,)( xF 在 ),( ba 内 为 一 常 数 C,即
),(,)()( baxCxgxf,证毕,
如图观察区间 ],[ ba 上的单调递增函数 )( xf 的图像，当 x 增大时，
曲线上任一点处的切线与 x 轴正向夹角为锐角，即 0)( xf （个别点处 ( ) 0fx ），反过来是否也成立呢？我们有如下定理,
定理 2 设函数 )( xf 在 ],[ ba 上连续，在 ),( ba 内可导，则有
（ 1 ）如果在 ),( ba 内 0)( xf,则函数 )( xf 在
],[ ba 上单调增加；
x
y
0 a b
三、函数的单调性证 设 21,xx 是 ],[ ba 上任意两点,且 21 xx?,由拉格朗日中值定理有
))()(()()( 211212 xxxxfxfxf,如果 0)( xf,必有 0)(f,又 0
12 xx,
于是有 0)()( 12 xfxf,
即 )()( 12 xfxf?,由于 21,xx )( 21 xx? 是 ],[ ba 上任意两点，所以函数 )( xf 在 ],[ ba 上单调增加,
同理可证，如果 0)( xf,则函数 )( xf 在 ],[ ba 上单调减少，证毕,
（ 2 ）如果在 ),( ba 内 0)( xf,则函数 )( xf 在 ],[ ba
上单调减少,
函数单调区间的确定,
（ 1 ）求出使 0)( xf 的点（称这样的点为驻点）,（ 2 ）用这些驻点将 )( xf 的定义域分成若干个子区间，再在每个子区间上判断函数的单调性,
例 讨论函数 323)( xxxf 的单调性,
解 因为 323)( xxxf,
所以 )2(336)(' 2 xxxxxf,
令 0)( xf 得驻点,01?x,22?x,用它们将 )( xf 的定义区间 ),( 分成三个部分区间,)0,(,)2,0(,
),2(,
当 )0,(x 时，有 0)( xf ；当 )2,0(?x 时 0)( xf ;
当 ),2(x 时,0)( xf,因此，由定理 2 知，函数 )( xf
在区间 )0,( 与 ),2( 上单调减少，在区间 )2,0( 单调增加,
1,将拉格朗日中值定理中的条件 )( xf,在闭区间 ],[ ba 上连续”换为“在开区 ),( ba 内连续”
后,定理是否还成立? 试举例 ( 只需画图 ) 说明,
罗尔 (Rolle) 中值定理 若 )( xf 满足如下 3 条,
( 1 ) 在闭区间 ],[ ba 上连续 ;
(2) 在开区间 ),( ba 内可导 ;
(3) 在区间 ],[ ba 端点出的函数值相等,即
)()( bfaf?,则在开区间 ),( ba 内至少存在一点?,使得 0)(f,
思考题
2,罗尔 (Rolle)中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论,并回答所列问题．
需回答的问题,
( 1 ) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别?
(2) 若将罗尔中值定理中条件 (1) 换成“在开区间
),( ba 内连续”,定理的结论还成立吗? 画图说明,
(3) 不求 )4)(3)(2)(1()( xxxxxf 的导数,
说明方程 )( xf? 有几个实根,并指出它们所在的区间,
第三节 函数的极值与最值一,函数的极值二,函数的最值定义 设函数 )( xf 在
0
x 的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点 )(
0
xxx?,均有 )()(
0
xfxf?,则称
)(
0
xf 是函数 )( xf 的一个极大值 ; 同样,如果对此邻域内任一点 )(
0
xxx?,均有 )()(
0
xfxf?,则称 )(
0
xf 是函数 )( xf 的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点
0
x,称为极值点,
一、函数的极值定理 1 ( 极值的必要条件 )
设 )( 0xf 在点 0x 处具有导数,
且在点 0x 取得极值,那么 0)( 0 xf,
观察可导函数在取得极值处切线特征,
可以看出,可导函数在取得极值处的切线是水平的,即极值点 0x 处,必有
0)( 0 xf,于是有下面的定理,
证 只证 )( 0xf 是极大值的情形．由假设,)( 0xf?
存在,所以
0
0
0
0
0
)()(
lim
)()(
lim)(
00 xx
xfxf
xx
xfxf
xf
xxxx?
,
x
y
O
因为 )(
0
xf 是 )( xf 的一个极大值,所以对于
0
x 的某邻域内的一切 x,只要
0
xx?,恒有 )()(
0
xfxf?,因此,
当
0
xx? 时,有 0
)()(
0
0
xx
xfxf
于是,有
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx?
≤ 0,
当
0
xx? 时,0
)()(
0
0
xx
xfxf
,所以
0
0
)()(
lim
0 xx
xfxf
xx?
≥ 0,从而得到 0)(
0
xf,
类似可证 )(
0
xf 为极小值情形,证毕,
函数极值点特征：对于可导函数由定理 1 知，可导函数
)( xf 的极值点必是 )( xf 的驻点．反过来,驻点却不一定是 )( xf 的极值点．如 0?x 是函数
3
)( xxf? 的驻点，但不是其极值点．对于连续函数,它的极值点还可能是使导数不存在的点,称这种点为尖点．例如,xxf?)(,
但 0?x 处导数不存在,但是,0?x 是它的极小值点,
定理２ （极值的第一充分条件）设 )( xf 在点
0
x 连续，在点
0
x 的某一空心邻域内可导．当 x 由小增大经过
0
x 时，如果 (1) )( xf? 由正变负，那么
0
x
是极大值点； (2) )( xf? 由负变正，那么
0
x 是极小值点； (3) )( xf? 不变号，那么
0
x 不是极值点证 （１）由假设知,)( xf 在
0
x 的左侧邻近单调增加,即当 0xx? 时,)()( 0xfxf? ; 在 0x 的右侧邻近单调减少，即当 0xx? 时,)()( 0xfxf?,因此 0x 是
)( xf 的 极大值点,)(
0
xf 是 )( xf 的极大值,
类似可以证明（ 2 ）,
(3) 由假设，当 x 在 0x 的某个邻域 )( 0xx? 内取值时,)0(0)( xf,所以，在这个邻域内是单调增加
（减少）的，因此 0x 不是极值点，证毕,
定理３ （极值的第二充分条件） 设 )( xf 在点
0x 处具有二阶导数,且 0)( 0 xf,0)( xf,
(1) 如果 0)( 0 xf,则 )( xf 在点 0x 取得极大值；
(2) 如果 0)( 0 xf,则 )( xf 在点 0x 取得极小值,证 （１）由于 0)( 0 xf,所以
0
)(')('
lim)(
0
0
0
0
xx
xfxf
xf
xx
,
所以，在
0
x 的某邻域内必有
0
)()(
0
0
xx
xfxf
,)(
0
xx?,
因为 0)( xf,所以有 0
)(
0
xx
xf
,)(
0
xx?,
从而知道，当 0xx? 时,0)( xf ；当 0xx? 时,0)( xf,
由定理２知 )( 0xf 为 )( xf 的极大值．类似地可证明
（２），证毕,
例１ 求函数 xxxxf 96)( 23 的极值,
解 一 因为 96)( 23 xxxf 的定义域为
(,),且
)3)(1(39123)( 2 xxxxxf,
令 0)( xf,得驻点 11?x,32?x,
在 )1,( 内,0)( xf,在 )3,1( 内,0)( xf,故由定理
2 知,4)1(?f 为函数 )( xf 的极大值,
解二 因为 xxxxf 96)( 23 的定义域为
),(,且
9123)( 2 xxxf,126)( xxf,令 0)( xf,得驻点 11?x,32?x,又因为 06)1(f,
所以,4)1(?f 为极大值,
06)3(f,所以 0)3(?f 为极小值,例 2 求函数 3
2
)1(2)( xxf 的极值,
解 因为 3
2
)1(2)( xxf 的定义域为
),(,且 )( xf 在 ),( 上连续，所以
1
3
1
3
22
( ) ( 1 ) ( 1 )
3
3 ( 1 )
f x x x
x
,1?x 时,)( xf? 不存在,所以 1?x 为 )( xf 的 可 能 极 值 点,在 )1,(
内,0)( xf ; 在 ),1( 内,0)( xf,由定理２知 )( xf 在
1?x 处取得极大值 2)1(?f,
对于闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xf 由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值．显然，函数在闭区间 ],[ ba 上的最大值和最小值只能在区间 ),( ba 内的极值点和区间端点处达到．因此可得求闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xf 的最值步骤为：（ 1 ）求出一切可能的极值点 ( 包括驻点和尖点 ) 和端点处的函 数值，（ 2 ）比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值,
二、函数的最值例 3 求函数 xxxxf 1232)( 23 在 ]4,3[? 上的最大值和最小值,解 因为 在 xxxxf 1232)(
23 在 ]4,3[? 上连续，
所以在该区间上存在着最大值和最小值,
又因为 )1)(2(61266)(
2
xxxxxf,
令 0)( xf,得驻点 2
1
x,1
2
x,由于
20)2(f,7)1(f,9)3(f,128)4(?f,
比较各值可得函数 )( xf 的最大值为 128)4(?f,最小值为 7)1(f,
对于实际问题的最值，往往根据问题的性质就可断定函数 )( xf 在定义区间的内部确有最大值或 最小值,
理论上可以证明：若实际问题断定 )( xf 在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值），且 0)( xf
在定义区间内只有一个根 0x,那么，可断定 )( xf 在点 0x
取得相应的最大值（最小值）,
例 4 有一块宽为 a2 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为 x,问高 x 取何值时水槽的流量最大 ( 下图所示为水槽的横截面）？
解 设两边各折起 x,则横截面积为
)(2)( xaxxS )0( ax
x
2a-2x
x
这样，问题归结为：当 x 为何值时,)( xS 取得最大值,由于 xaxS 42)(,所以令 0)( xS,得 )( xS 的 惟一驻点 2ax?,
又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积,
所以,)( xS 的最大值在
2
a
x? 处取得，即当
2
a
x?
时，水槽的流量最大,
例 5 铁路线上 AB 的距离为 100 km,工厂 C 距 A 处为 20 km,AC 垂直于 AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每 km 货运费之比为
3,5,问 D 选在何处，才能使从 B 到 C 的运费最少?
解 设 xAD? (km),则
xDB 100,2220 xCD,
由于铁路每 km 货物运费与公路每 km 货物运费之比为
3,5,因此，不妨设铁路上每
km 运费为 k3,则公路上每 km
运费为 k5,并设从 B 到 C 点需要的总运费为 y,则
)100(3205 22 xkxky 0( ≤ x ≤ )100,
由此可见,x 过大或过小，总运费 y 均不会变小，
故有一个合适的 x 使总运费 y 达到最小值,
C
BA
D
又因为?
3
400
5
2x
xky
令 0y,即
2
5
30
400
x
x
,得 15?x 为函数 y 在其定义域内的惟一驻点，故知 y 在 15?x 处取得最小值，即 D 点应选在距 A 为 15 km 处，运费 最少,
1,画图说明闭区间上连续函数 )( xf 的极值与最值之间的关系,
2,可能极值点有哪几种？ 如何判断可能极值点是否为极值点,
思考题一,曲率的概念二,曲率的计算
*第四节 曲 率设 Α 和 Β,是曲线 )( xfy? 上两个点，假如曲线在 Α
点和 Β 点的切线与 x 轴的夹角分别为? 和,那么，当点从 Α 沿曲线 )( xfy? 变到 Β 时,角度改变了,
而改变这个角度所经过的路程则是弧长 s AB,我们自然就用比值
s?
来刻画曲线段 AB 上的弯曲程度，称为平均曲率．为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如下定义,
定义 称
ss
k
x d
dlim
0
为曲线在点 A 的曲率,
一、曲率的概念例 1 求半径为 R 的圆的平均曲率及曲率,
解 在图中，由于 BOA
等于,
又等于
R
s?
，所以
Rs
R
s
s
1
为弧 AB 段的平均曲率,
当 ΑΒ? 时，有 0 s,
所以圆上任意一点 A 的曲率
RRs
ak
ss
11limlim
00
,
O x
y
O'
A
B
a+Δa
Δa
Δa
可见,圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数,
因而圆的半径愈大,曲率愈小 ; 半径愈小,曲率愈大,这表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度,
由于圆的半径等于圆的曲率的倒数,所以对于一般的曲线,我们把它在各点的曲率的倒数称为它在该点的曲率半径,记为 R,因此,
k
R
1
( 如果 0?k,则说明曲率半径为 ),
以 s 表示这条曲线由基点
0
M 到点 M 的一段弧
0
MM 的长度（当 M 在
0
M 右边时规定
0?s,当 M 在
0
M 左边时规定
0?s ）,弧长 s 是 x 的函数,
设函数 )( xfy? 在 ),( ba 内具有连续导数,0x 为
),( ba 内一个定点； x,xx 为 ),( ba 内两个邻近的点；
0M,
M,M? 分别为曲线 )( xfy? 上与
0x,x,xx
对应的点,
O x
y
a
b
M?
0M
M
x?
y?
xxx0x
二、曲率的计算设对应于 x 的增量 x?,弧长 s 的增量为 s?,
则
00
s M M M M,于是有 0lim
0
MM
x
我们还可以证明,1lim
0
MM
s
x
这就是说 s? 与 MM? 是 0 s
时的两个等价无穷小量，因此
00
22
0
d'
l im l im
d
( ) ( )
l im
xx
x
s s M M
x x x
xy
x
2
1 y,
所以 xys d1d 2,
又因为曲线 )( xfy? 在点 M 处的切线斜率为
ta ny,所以,a r c t a n y
2
dd
1
y
x
y
,
因此
2
2 3 / 2
2
d
d 1
d ( 1 )1d
y
x
yy
k
sy yx
这就是曲线 )( xfy? 的曲率计算公式,
例 2 求直线 baxy 的曲率,解 因为 ay,0y,所以 0?k,即直线的弯曲程度为 0 （直线不弯曲）,
例 3 一飞机沿抛物线路径
4000
2x
y? 做俯冲飞行，在原点 O 处的速度为 4 00?v m/s 飞行员体重 70 kg,求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力,
解 在 O 点飞行员受到两个力作用，即重力 P
和座椅对飞行员的反力 Q,他们的合力 P-Q 为飞行员随飞机俯冲到 O 点时，所需的向心力 F,即 FP-Q? 或
FQ P,物体做匀速圆周运动时,向心力为
2
m
R
v
（ R 为圆半径）
O 点可看成是曲线在这点的曲率圆上的点，所以在这点向心力为
2
m
F
R
v
（ R 为 O 点的曲率半径）,
因为 0
2000
0
x
x
y,
2000
1
y
故曲线在 O 点的曲率
2000
1
k,曲率半径 R =2000 m,所以
N56 00N
20 00
)40 0(70
2
F
)560 08.970(Q N 6286? N
因为飞行员对座椅的压力和座椅对飞行员的反力大小相等，方向相反，所以，飞行员对座椅的压力为
6286 N,
y
P
O x
Q
1,对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？
为什么？
2,是否存在负曲率，为什么？ 思考题一,曲线的凹向及其判别法二,拐点及其求法三,曲线的渐近线四,函数作图的一般步骤第五节 函数图形的描绘定义 1 若在某区间 ()a,b 内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在 ()a,b 内是向上凹的
（简称上凹，也称凹的）；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段 ),( ba 内是向下凹的（简称下凹，也称凸的）,
从图可以看出曲线段 AB 是下凹的；曲线段 BC 是上凹的 定理 1 设函数 y = )( xf 在开区间 ()a,b 内具有二阶导数
(1) 若在 ()a,b 内 0)( xf,则曲线 )( xfy? 在 ),( ba 内是向上凹的；
y
O x
A
B
C
a b c
一、曲线的凹向及其判别法
(2) 若在 ),( ba 内 0)( xf,则曲线 )( xfy? 在 ),( ba
上是 向下凹的,若把定理 1 中的区间改为无穷区间，结论仍然成立,
例 1 判定曲线 xy ln? 的凹向,
解 函数 xy ln? 的定义域为 ),0(,
x
y
1
,
2
1
x
y
,当 0?x 时,0y,故曲线 xy ln? 在 ),0( 内是向下凹的,
定义 2 若连续曲线 y = )( xf 上的点 P 是曲线向上凹与向下凹的分界点，则称 P 是曲线 )( xfy? 的拐点,
由于拐点是曲线凹向的分界点，所以拐点左右两侧近旁 )( xf 必然异号．因此，曲线拐点的横坐标 0x,
只可能是使 0)( xf 的点或 )( xf 不存在的点．从而可得求 ),( ba 内连续函数 y = )( xf 拐点的步骤,
(1) 先求出 )( xf,找出在 ),( ba 内使 0)( xf 的点和 )( xf 不存在的点； ( 2 ) 用上述各点按照从小到大依次将 ),( ba 分成小区间,再在每个小区间上考察 )( xf 的符号；
二、拐点及其求法
( 3 ) 若 )( xf 在某点 ix 两侧近旁异号，则 (,( ))iix f x
是曲线 y = )( xf 的拐点，否则不是,
例 2 曲线 3xy? 的定义域为 ),(,画其草图,
解 因为
3
xy? 的定义域为
),(,且
2
3 xy,xy 6,
令 0y,得 0?x,
用 0?x 将 ),( 分成两个小区间,)0,( 和 ),0(,
当 )0,(x 时,0y,
曲线
3
xy? 下凹,
当 ),0(x 时,0?
y
,
曲线
3
xy?
上凹,
所以，点 )0,0( 为曲线
3
xy?
的拐点,
y
xO 1
1
-1
-1
定义 3 若曲线 C 上动点 P 沿着曲线无限地远离原点时，点 P 与某一固定直线 L 的距离趋于零,
则称直线 L 为曲线 C 的渐 近 线,
1,斜渐 近 线定理 2 若 )( xf 满足,
(1) k
x
xf
x
)(
lim ;
(2) bkxxf
x
])([lim,
则曲线 y = )( xf 有斜渐 近 线 bkxy
y
O
x
C
M
N
P L
a
y k x b
()y f x?
y
O
x
C
M N
P L
a
y kx b
()y f x?
三、曲线的渐近线例 3 求曲线
322
3
xx
xy 的渐 近 线,
解 令 32)( 2
3
xx
xxf,因为
132lim)(lim 2
2
xx
x
x
xfk
xx
,
2)32(lim])([lim 2
3
xxx xkxxfb
xx
,
故得曲线的渐 近 线方程为 2 xy,
2,铅直渐 近 线定义 4 若当 Cx? 时（有时仅当 Cx 或
Cx ）,)( xf 则称直线 Cx? 为曲线 )( xfy? 的铅直渐近线（也叫垂直渐近线）（其中 C 为常数）,
所以当 3x 和 1?x 时,有y,所以曲线
32
2
3
xx
x
y 有两条铅直渐近线 3x 和 1?x,
例
)1)(3(32
3
2
3
xx
x
xx
x
y,
例 当x 时，有 2e0x,所以 0?y 为曲线
2e xy 的水平渐近线,
y
O x
3,水平渐 近 线 定义 5 若当x 时,Cxf?)( 则称曲线
)( xfy? 有水平渐近线 Cy?,
(1) 确定函数的定义域及值域；
(2) 考察函数的周期性与奇偶性； (3) 确定函数的单增、单减区间、极值点、凹凸区间及其拐点；
(4) 考察渐近线；
(5) 考察与坐标轴的交点,
最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图 像,
四、函数作图的一般步骤例 4 描绘函数 xy
x
1
e 的图 像,
解 函数
x
xfy
1
e
)(
x
的定义域为 1x 的全体实数，且当 1x 时，有 0)(?xf,即 1x 时，图像 在 x 轴下方，当 1x 时，有 0)(?xf,即 1x 时，
图 像 在 x 轴上方,
由于
)(l i m
1
xf
x
，所以 1x 为曲线 )( xfy? 的铅直渐 近 线,
又因为 0
1
e
lim?
x
x
x
，所以,0?y 为该曲线的水平渐 近 线,
因为
2
)1(
e
x
x
y
x
,
3
2
)1(
)1(e
x
x
y
x
,
令 0y,得,0?x 又 1x 时,y 不存在,
用 0?x,1x 将定义区间分开，并进行讨论如下,
x (,1? ) ( 1,0? ) 0 ( 0,+ ∞ )
y’ － － +
y’ ’ － + +
y
极小值注,符号 表示曲线单减且下凹； 表示单增且上凹，其余类推,
极小值
0
e
( 0) 1
10
f
,根据如上讨论，画出图像
y
O x 1 2
1
2
- 1
例 5 描绘函数 xxxf ln)(? 的图 像
（ 2 ） 渐 近 线因为
)(lim
0
xf
x
，所以 0?x 为铅直渐 近 线,
又因为 0
ln
l i m?
x
x
x
，所以 y =0 为水平渐 近 线；
（ 3 ） 因为
2/3
2
ln2
x
x
y
,
2/5
4
8ln3
x
x
y
所以,令 0?
y
得
2
e?x
≈ 389.7,令 0?
y
得
38
e?x
≈ 39.14 ;
解 （ 1 ）定义域 ),0( ；
（ 4 ） 列表讨论,
x ( 0,e
2
) e
2
(e
2
,e
8 /3
) e
8 /3
(e
8 /3
,+ ∞ )
y’ + – –
y ’’ – – +
y
极大值
2
e
拐点
4
8 / 3
3
8
( e,e )
3
y
O x 1
e
2
e
8/3
(5) 令
ln
0
x
x
,得 x =1 为曲线与 x 轴交点的横坐标,
(6) 根据上述讨论画出曲线
1,若 ))(,(
00
xfx 为连续曲线弧 )( xfy? 的拐点，问,
(1) )(
0
xf 有无可能为 )( xf 的极值，为什么？
(2) )(
0
xf? 是否一定存在？为什么？画图说明,
2,根据下列条件，画曲线,
(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正；
(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，
但一阶导数处处为正；
(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，
但一阶导数处处为负；
(4) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为负,
思考题第六节 一元函数微分学在经济上的应用一,成本函数与收入函数二,边际分析三,弹性与弹性分析一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收入以及二者关于产量变化率等因素．本节重点研究导数应用于成本函数和收入函数,
成本函数 ()Cq 给出了生产数量为 q 的某种产品的总 成本,
)( qC 是单增函数,对一些产品来说，如汽车或电视机等，产量 q 只能是整数，所以 )( qCC?
的图像由彼此孤立的点组成（右图一）；对糖、煤等产品来说，
产量
q
可以连续变化，所以
)( qCC? 的图像可能是一条连续曲线（右图二）,
O
C
q
图二
O
C
q
图一一、成本函数与收入函数总假定成本函数 )( qCC? 对一切非负实数有意义,
由于任何企业在正式生产之前，都要先期投入，即企业的产量 0?q 时，成本
0
)0( CC? 一般不为零，通常成为固定成本，几何上，固定成本 C 0 就是成本函数曲线在 C 轴上的截距,
一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然后逐渐慢下来（即成本函数 )( qCC? 的曲线的斜率由大到小变化，曲线下凹），因为生产产品数量较大时要比数量较小时的效率高 —— 这称为经济规模．当产品保持较高水平时，随着资源的逐渐匮乏，成本函数再次开始较快增长，
当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长．因此，曲线 )( qCC? 开始时是下凹的，后来是上凹的（如上页 图 二 ）,
收入函数 )( qR 表示企业售出数量为 q 的某种产品所获得的总收入．由于售出量 q 越多，收入 )( qR 越大，所以 )( qR 是单增函数,
如果价格 p 是常数,那么
qpR,数量价格收入且 R 的图像是通过原点的直线（图一），实际上，当产量 q 的值增大时，产品可能充斥市场，从而造成价格下落,R 的图像如图二,
作出决策常考虑到利润 L,
成本收入利润,即 CRL,
O
R
q
图一
O
R
q
图二例 1 如果成本函数 )( qC 及收入函数 )( qR 由下图给出，问 q 的值多大时，企业可获得利润？
解 只有当收入大于成本时，即 R > C 时，企业才可以获得利润．由右图可知，当 200100 q 时,R 的图像位于 C 的图象之上，因此产量介于 100 和 200 之间，
可获得利润,
C
O
R
q
C R
100 200
边际概念是经济学中的重要概念，通常指经济变化的变化率．利用导数研究经济变量的边际变化方法，即边际分析法,是经济理论中的一个重要方法,
1,边际成本在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时总成本的一个增量，即总成本对产量的变化率．于是，
若 )( qC 可导，则当产量
0
qq? 时，边际成本 )(
0
qCMC 或者
0
00
0
( ) ( ) d
l i m,
d qqq
C q q C q C
MC
qq
,
产量为
0
q 时，边际成本 )(
0
qCMC,即边际成本是总成本函数关于产量的导数，其经济意义是,)(
0
qC? 近似等于产量为 q 再增加一个单位产品所需增加的成本，这是因为
)()()1( qCqCqC ≈ )( qC?,
二、边际分析
2,边际收入在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品时总收入的增量，即边际收入为总收入关于产品销售量 q 的变化率,
设某产品的销售量为 q 时，总收入 )( qRR?,于是,当
)( qR 可导时，边际收入
q
qRqqR
qRMR
q?
)()(
lim)(
0
,
其经济意义为,)( qR? 近似等于当销售量为 q 时,再多销售一个单位产品所增加的收入．这是因为
)()()()1( qRqRqRqR,
3,边际利润设某产品销售量为 q 时的总利润为 )( qLL?,称
)( qL 为总利润函数．当 )( qL 可导时，称 )( qL? 为销售量为 q 时的边际利润，它近似等于销售量为 q 时再多销售一个单位产品所增加的利润,
由于总利润为总收入与总成本之差，即有
)()()( qCqRqL,
上式两边求导，得
)()()( qCqRqL,
即边际利润等于边际收入与边际成本之差,
例 2 如果总收入函数 )( qRR? 及总成本函数
)( qCC?,分别如图 一及图 二所示,
画出边际收入 )( qRMR 及边际成本
)( qCMC 的图像,
解 因为收入函数 )( qRR?
的图像是过原点的直线，故其方程 pqR?,其中 p 为常量，所以边际收入 pqRMR )(,因此，边际收入的图像是一条与
q
轴平行的直线（下 页 图一）,O
R
q
R = R (q)
图一
O
C
q
200
C= C(q)
图二由于总成本是递增的（为单增函数），所以，边际成本总是正的 )0)(( qC,在总成本 )( qCC? 的图象中，当 200?q 时，曲线是下凹的 )0(C,故边际成本
MC 是单减的 )0)(( MCC,所以,MC 是单减的 ) ；
当 200?q 时，总成本是上凹的，于是边际成本是递增的．因此边际成本在 200?q 处具有极小值图二,
O q
MR= R’
p
MR
图一
O
MC
q
MC= C’
200
图二
4,最大利润已知总收入函数 )( qRR? 及总成本函数 )( qCC?,如何求出最大利润，这对任何产品的制造者来说，显然都是最基本的问题，然而，这一问题的解决并不困难，只需对利润函数 CRL 在给定区间上求最值即可．当然，
最大（或最小）利润有可能在区间端点处取得，但是，
若事先能断言最大（或最小）利润只能在区间内部取得，
且利润函数 L 在区间内部只有 惟 一的驻点，则可断言，
最大（或最小）利润在该点取得,
例 3 设某厂每月生产的产品固定成本为 1 0 0 0
元，生产 x 个单位产品的可变成本为 0,01 x
2
+ 1 0 x 元，
如果每单位产品的销售为 30 元，试求：总成本函数，
总收入函数，总利润函数，边际成本,边际收入及边际利润为零时的产量,
解 总成本为可变成本与固定成本之和，依题设，
总成本函数
1 0 0 01001.0)(
2
xxxC,
总收入函数
xpxxR 30)(,
总利润函数
1 0 0 01001.030)()()(
2
xxxxCxRxL
1 0 0 02001.0 2 xx,
边际成本
1002.0)( xxC,
边际收入
30)( xR,
边际利润
2002.0)( xxL,
令 0)( xL,得 02002.0 x,x = 1 0 0 0,即每月产量为
1 0 0 0 个单位时，边际利润为零．这说明，当月产量为 1 0 0 0
个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润,
弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度，或者说，一个经济变量变动的百分之一会使另一个经济变量变动百分之几,
三、弹性与弹性分析
0 0 0 0
Δ 0 Δ 000
Δ ( ) [ ( Δ ) ( ) ( )l im l im
ΔΔxx
y f x f x x f x f x
x x x x
定义 设函数 ()fx 在点 0x 的某邻域内有定义，且
0( ) 0fx?,如果极限存在，则称此极限值为函数 )( xfy? 在点 0x 处的点弹性，
记为
0xxEx
Ey；而称比值
0
000
0
0 )()]()([)(
xx
xfxfxxf
xx
xfy
为函数 )( xfy? 在点 0x 与点 xx Δ0? 之间的弧弹性,
由定义可知,
00
d
d
)(
0
0
xxxx
x
y
xf
x
Ex
Ey
,
且当 |Δ| x 很小时，有
0
xx
Ex
Ey
≈?
0
0
Δ
)(Δ
xx
xfy
弧弹性,
如果函数 )( xfy? 在区间 ),( ba 内可导，且 0)(?xf,
则称 )(
)(
xf
xf
x
Ex
Ey
为函数 )( xfy? 在区间 ),( ba 内的点弹性函数，简称为弹性函数,
需求弹性,若 Ｑ 表示某商品的市场需求量,价格为 p,
若需求函数可导,则称
pp
p
Ep
E
d
d
)(
Ｑ
Ｑ
Ｑ
为商品的需求价格弹性,简称为需求弹性,常记为
p
,
需求弹性
p
表示某商品需求量 Ｑ 对价格 p 的变动的反应程度．由于需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值,从而当 0Δ?p 时，需求弹性的极限一般也为负值，即需求价格弹性
p
一般也为负值,称商品的需求价格弹性大时,是指其绝对值大,
当 1
p
( 即 |
p
| =1) 时,称为单位弹性,此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等,
当 1
p
( 即 |
p
| >1) 时,称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格变动对需求量的影响较大,
当 01
p
( 即 |
p
|<1) 时,称为低弹性，此时商品 需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格变动对需求量的影响不大,
在商品经济中，商品经营者关心的是提价 ( 0Δ?p )
或降价 ( 0Δ?p ) 对总收益的影响,设销售收益
pR Q? ( Q 为销售量,p 为价格 ),则当价格 p 有微小改变量 pΔ 时,有
RΔ ≈
d
d d ( ) d d ( 1 ) d
d
p
R p p p p
p
Q
Q Q Q Q
Q
即 RΔ ≈ pp d)1( Q,
由 0?p? 知 pp,于是有
pR p d)1(Δ Q,
由此可知,当 |
p
|>1( 高弹性 ) 时,降价 ( 0d?p ) 可使总收益增加 ( 0Δ?R ),薄利多销多收益 ; 提价 ( 0d?p ) 将使总收益减少 ( 0Δ?R ),当 |
p
|<1( 低弹性 ) 时降价使总收益减少 ( 0Δ?R ),提价使总收益增加．当 |
p
|=1( 单位弹性 ) 时,
总收益近似为 0( 0Δ?R ),即提价或降价对总收益没有明显的影响,
例 6 设某商品的需求量为 p506 00Q,求
1,6,8p? 时需求价格弹性,并给以适当的经济解释,
解 因为 p50600Q,所以 50
d
d
p
Q
,
所以
p
p
p
p
p
50600
50
d
d
Q
Q
,
当 1?p 时,1
11
1
||
p
,为低弹性，此时降价将使总收益减小，提价使总收益增加,
当 6?p 时,1||?
p
,为单位弹性，此时降价或提价对总收益没有明显影响,
当 8?p 时,2||?
p
,为高弹性，此时降价将使总收益增加，提价使总收益减少,
思考题
1,回答下列问题,
(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？
(2) 设生产 x 个单位产品时，总成本为 )( xC,问这时每单位产品的平均成本是多少？
(3) 用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”,
并画图说明,
2,一般情况下，对商品的需求量 Q 是消费者之收入 x 的函数,即 () x?QQ,试写出需求 Q 对收入
x 的弹性 —— 需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义,
*第四节 曲 率第三节 函数的极值与最值第五节 函数图形的描绘第四章 一元函数微分学的应用第六节 一元函数微分学在经济上的应用一,柯西中值定理二,洛必达法则第一节 柯西（ Cauchy）中值定理与洛必达（ L’Hospital）法则定理 1 （柯西中值定理）如果函数 )( xf 与 )( xF 满足下列条件,
(1) 闭区间 ],[ ba 上连续；
(2) 在开区间 ),( ba 内可导 ； (3) )(' xF 在 ),( ba 内的每一点均不为零，那么，在
),( ba 内至少有一点 ξ,
.f( b ) f( a ) f ( )F ( b ) F ( a ) F ( )使得一,柯西 中值定理二,洛必达 法则把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为
0
0
型或
型不定式 ( 也称为
0
0
型或
型未定型 )
的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限方法,
(1) 0)(li m
0
xfxx,0)(lim
0
xgxx ； (2) )( xf 与 )( xg 在 0x 的某邻域内（点 0x 可除外）
可导，且 0)('?xg ；
定理 2 ( 洛必达法则 ) 若
(3) A
xg
xf
xx
)(
)(lim
0
( A 为有限数，也可为 或 ),则证 由于我们要讨论的是函数在点
0
x 的极限，
而极限与函数在点
0
x 的值无关，所以我们可补充 )( xf
与 )( xg 在 0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响．令 0)()( 00 xgxf,则 )( xf 与 )( xg 在 点 0x 就连续了．在 0x 附近任取一点 x,并应用柯西中值定理，
得
Axg
xf
xg
xf
xxxx
)(
)(lim
)(
)(lim
00
,
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
0
0
g
f
xgxg
xfxf
xg
xf
( ξ 在 x 与
0x 之间 ),
由于 0xx? 时,0xξ?,所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕,
注,上述定理对x 时的
0
0
未定型同样适用，对于
0xx? 或x 时的未定型
，也有相应的法则,
例 1 求 123lim 23
3
1
xxx
xx
x,
解
1
23
lim
23
3
1
xxx
xx
x
=
123
33
li m
2
2
1
xx
x
x
=
26
6
l im
1 x
x
x
=
4
6
=
2
3
,
例 2 求 x xx ta nc o s1lim π,
解 x x
x ta n
c o s1lim
π
=
x
x
x
2
π
c o s
1
s inlim?
= 0,
例 3 求
π
a r c ta n
2l im
1x
x
x
,
解
π
a r c ta n
2
l im
1x
x
x
=
2
2
1
1
1
li m
x
x
x
=
2
2
1
lim
x
x
x
= 1,
例 4 求 )0(lnlim nx xnx,
解 0
1
lim
1
lim
ln
lim 1
nxnxnx nxnx
x
x
x
,
例 5 求 xx xx ln 11lim 1,解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0
0
未定型,
xx
xxx
xx
x
xx ln)1(
)1(ln
lim
ln
1
1
lim
11?
x
x
x
x
x
x
x 1
ln
1ln
1
li m
1?
除未定型
0
0
与
之外，还有
00
,1,0,,0
等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就 未定型再举一例,
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
(1) 每次使用法则前，必须检验是否属于
0
0
或
未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； (2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，
则可先约去或提出，以简化演算步骤；
( 3 ) 当
( x )g
( x )f
lim 不存在 ( 不包括? 的情况 ) 时，并不能断定
g( x )
f ( x )
lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限,
x
x
x
x
ln
1
1
ln
li m
1
2
1
11
1
li m
2
1
xx
x
x
,
2,把柯西中值定理中的,)( xf 与 )( xF 在闭区间
],[ ba 上连续”换成,f( x ) 与 )( xF 在开区间 ),( ba 内连续”
后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明,
思考题
1,用洛必达法则求极限时应注意什么？
第二节 拉格朗日（ Lagrange）中值定理及函数的单调性一,拉格朗日中值定理二,两个重要推论三,函数的单调性定理 1 如果函数 )( xf 满足下列条件,
（ 1 ） 在 区间 ],[ ba 上连续；
（ 2 ） 在开区间 ),( ba 内可导，那么，在 ),( ba 内至少有一点 ξ,使得
))(()()( abfafbf,如果令 abxax Δ,，则上式为
xξfxfxxf Δ)(')()Δ(,
其中 ξ 介于 x 与 xx Δ? 之 间,如 果 将 ξ 表 是 成
)10(Δ xxξ,上式也可写成
( ) ( ) '( ) ( 0 1 )f x x f x f x x x,
一,拉格朗日 中值定理拉格朗日中值定理几何演示推论 1 如果函数 )( xf 在区间 ),( ba 内满足
0)('?xf,则在 ),( ba 内 Cxf?)( （ C 为常数）,证 设 21,xx 是区间 ),( ba 内的任意两点，且
21 xx?,于是在区间 ],[ 21 xx 上函数 )( xf 满足拉格朗日中值定理的条件，故得由于 0)( ξf,所以 0)()( 12 xfxf,即 )()( 21 xfxf?,
2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),f x f x f ξ x x x ξ x
.
二、两个重要推论因为 21,xx 是 ),( ba 内的任意两点，于是上式表明
)( xf 在 ),( ba 内任意两点的值总是相等的，即 )( xf 在
),( ba 内是一个常数，证毕,
推论 2 如果 对 ),( ba 内 任意 x,均有
)()( xgxf,则在 ),( ba 内 )( xf 与 )( xg 之间只差一个常数，即 Cxgxf )()( （ C 为常数）,证 令 )()()( xgxfxF,则 0)( xF,由推论 1
知,)( xF 在 ),( ba 内 为 一 常 数 C,即
),(,)()( baxCxgxf,证毕,
如图观察区间 ],[ ba 上的单调递增函数 )( xf 的图像，当 x 增大时，
曲线上任一点处的切线与 x 轴正向夹角为锐角，即 0)( xf （个别点处 ( ) 0fx ），反过来是否也成立呢？我们有如下定理,
定理 2 设函数 )( xf 在 ],[ ba 上连续，在 ),( ba 内可导，则有
（ 1 ）如果在 ),( ba 内 0)( xf,则函数 )( xf 在
],[ ba 上单调增加；
x
y
0 a b
三、函数的单调性证 设 21,xx 是 ],[ ba 上任意两点,且 21 xx?,由拉格朗日中值定理有
))()(()()( 211212 xxxxfxfxf,如果 0)( xf,必有 0)(f,又 0
12 xx,
于是有 0)()( 12 xfxf,
即 )()( 12 xfxf?,由于 21,xx )( 21 xx? 是 ],[ ba 上任意两点，所以函数 )( xf 在 ],[ ba 上单调增加,
同理可证，如果 0)( xf,则函数 )( xf 在 ],[ ba 上单调减少，证毕,
（ 2 ）如果在 ),( ba 内 0)( xf,则函数 )( xf 在 ],[ ba
上单调减少,
函数单调区间的确定,
（ 1 ）求出使 0)( xf 的点（称这样的点为驻点）,（ 2 ）用这些驻点将 )( xf 的定义域分成若干个子区间，再在每个子区间上判断函数的单调性,
例 讨论函数 323)( xxxf 的单调性,
解 因为 323)( xxxf,
所以 )2(336)(' 2 xxxxxf,
令 0)( xf 得驻点,01?x,22?x,用它们将 )( xf 的定义区间 ),( 分成三个部分区间,)0,(,)2,0(,
),2(,
当 )0,(x 时，有 0)( xf ；当 )2,0(?x 时 0)( xf ;
当 ),2(x 时,0)( xf,因此，由定理 2 知，函数 )( xf
在区间 )0,( 与 ),2( 上单调减少，在区间 )2,0( 单调增加,
1,将拉格朗日中值定理中的条件 )( xf,在闭区间 ],[ ba 上连续”换为“在开区 ),( ba 内连续”
后,定理是否还成立? 试举例 ( 只需画图 ) 说明,
罗尔 (Rolle) 中值定理 若 )( xf 满足如下 3 条,
( 1 ) 在闭区间 ],[ ba 上连续 ;
(2) 在开区间 ),( ba 内可导 ;
(3) 在区间 ],[ ba 端点出的函数值相等,即
)()( bfaf?,则在开区间 ),( ba 内至少存在一点?,使得 0)(f,
思考题
2,罗尔 (Rolle)中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论,并回答所列问题．
需回答的问题,
( 1 ) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别?
(2) 若将罗尔中值定理中条件 (1) 换成“在开区间
),( ba 内连续”,定理的结论还成立吗? 画图说明,
(3) 不求 )4)(3)(2)(1()( xxxxxf 的导数,
说明方程 )( xf? 有几个实根,并指出它们所在的区间,
第三节 函数的极值与最值一,函数的极值二,函数的最值定义 设函数 )( xf 在
0
x 的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点 )(
0
xxx?,均有 )()(
0
xfxf?,则称
)(
0
xf 是函数 )( xf 的一个极大值 ; 同样,如果对此邻域内任一点 )(
0
xxx?,均有 )()(
0
xfxf?,则称 )(
0
xf 是函数 )( xf 的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点
0
x,称为极值点,
一、函数的极值定理 1 ( 极值的必要条件 )
设 )( 0xf 在点 0x 处具有导数,
且在点 0x 取得极值,那么 0)( 0 xf,
观察可导函数在取得极值处切线特征,
可以看出,可导函数在取得极值处的切线是水平的,即极值点 0x 处,必有
0)( 0 xf,于是有下面的定理,
证 只证 )( 0xf 是极大值的情形．由假设,)( 0xf?
存在,所以
0
0
0
0
0
)()(
lim
)()(
lim)(
00 xx
xfxf
xx
xfxf
xf
xxxx?
,
x
y
O
因为 )(
0
xf 是 )( xf 的一个极大值,所以对于
0
x 的某邻域内的一切 x,只要
0
xx?,恒有 )()(
0
xfxf?,因此,
当
0
xx? 时,有 0
)()(
0
0
xx
xfxf
于是,有
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx?
≤ 0,
当
0
xx? 时,0
)()(
0
0
xx
xfxf
,所以
0
0
)()(
lim
0 xx
xfxf
xx?
≥ 0,从而得到 0)(
0
xf,
类似可证 )(
0
xf 为极小值情形,证毕,
函数极值点特征：对于可导函数由定理 1 知，可导函数
)( xf 的极值点必是 )( xf 的驻点．反过来,驻点却不一定是 )( xf 的极值点．如 0?x 是函数
3
)( xxf? 的驻点，但不是其极值点．对于连续函数,它的极值点还可能是使导数不存在的点,称这种点为尖点．例如,xxf?)(,
但 0?x 处导数不存在,但是,0?x 是它的极小值点,
定理２ （极值的第一充分条件）设 )( xf 在点
0
x 连续，在点
0
x 的某一空心邻域内可导．当 x 由小增大经过
0
x 时，如果 (1) )( xf? 由正变负，那么
0
x
是极大值点； (2) )( xf? 由负变正，那么
0
x 是极小值点； (3) )( xf? 不变号，那么
0
x 不是极值点证 （１）由假设知,)( xf 在
0
x 的左侧邻近单调增加,即当 0xx? 时,)()( 0xfxf? ; 在 0x 的右侧邻近单调减少，即当 0xx? 时,)()( 0xfxf?,因此 0x 是
)( xf 的 极大值点,)(
0
xf 是 )( xf 的极大值,
类似可以证明（ 2 ）,
(3) 由假设，当 x 在 0x 的某个邻域 )( 0xx? 内取值时,)0(0)( xf,所以，在这个邻域内是单调增加
（减少）的，因此 0x 不是极值点，证毕,
定理３ （极值的第二充分条件） 设 )( xf 在点
0x 处具有二阶导数,且 0)( 0 xf,0)( xf,
(1) 如果 0)( 0 xf,则 )( xf 在点 0x 取得极大值；
(2) 如果 0)( 0 xf,则 )( xf 在点 0x 取得极小值,证 （１）由于 0)( 0 xf,所以
0
)(')('
lim)(
0
0
0
0
xx
xfxf
xf
xx
,
所以，在
0
x 的某邻域内必有
0
)()(
0
0
xx
xfxf
,)(
0
xx?,
因为 0)( xf,所以有 0
)(
0
xx
xf
,)(
0
xx?,
从而知道，当 0xx? 时,0)( xf ；当 0xx? 时,0)( xf,
由定理２知 )( 0xf 为 )( xf 的极大值．类似地可证明
（２），证毕,
例１ 求函数 xxxxf 96)( 23 的极值,
解 一 因为 96)( 23 xxxf 的定义域为
(,),且
)3)(1(39123)( 2 xxxxxf,
令 0)( xf,得驻点 11?x,32?x,
在 )1,( 内,0)( xf,在 )3,1( 内,0)( xf,故由定理
2 知,4)1(?f 为函数 )( xf 的极大值,
解二 因为 xxxxf 96)( 23 的定义域为
),(,且
9123)( 2 xxxf,126)( xxf,令 0)( xf,得驻点 11?x,32?x,又因为 06)1(f,
所以,4)1(?f 为极大值,
06)3(f,所以 0)3(?f 为极小值,例 2 求函数 3
2
)1(2)( xxf 的极值,
解 因为 3
2
)1(2)( xxf 的定义域为
),(,且 )( xf 在 ),( 上连续，所以
1
3
1
3
22
( ) ( 1 ) ( 1 )
3
3 ( 1 )
f x x x
x
,1?x 时,)( xf? 不存在,所以 1?x 为 )( xf 的 可 能 极 值 点,在 )1,(
内,0)( xf ; 在 ),1( 内,0)( xf,由定理２知 )( xf 在
1?x 处取得极大值 2)1(?f,
对于闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xf 由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值．显然，函数在闭区间 ],[ ba 上的最大值和最小值只能在区间 ),( ba 内的极值点和区间端点处达到．因此可得求闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xf 的最值步骤为：（ 1 ）求出一切可能的极值点 ( 包括驻点和尖点 ) 和端点处的函 数值，（ 2 ）比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值,
二、函数的最值例 3 求函数 xxxxf 1232)( 23 在 ]4,3[? 上的最大值和最小值,解 因为 在 xxxxf 1232)(
23 在 ]4,3[? 上连续，
所以在该区间上存在着最大值和最小值,
又因为 )1)(2(61266)(
2
xxxxxf,
令 0)( xf,得驻点 2
1
x,1
2
x,由于
20)2(f,7)1(f,9)3(f,128)4(?f,
比较各值可得函数 )( xf 的最大值为 128)4(?f,最小值为 7)1(f,
对于实际问题的最值，往往根据问题的性质就可断定函数 )( xf 在定义区间的内部确有最大值或 最小值,
理论上可以证明：若实际问题断定 )( xf 在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值），且 0)( xf
在定义区间内只有一个根 0x,那么，可断定 )( xf 在点 0x
取得相应的最大值（最小值）,
例 4 有一块宽为 a2 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为 x,问高 x 取何值时水槽的流量最大 ( 下图所示为水槽的横截面）？
解 设两边各折起 x,则横截面积为
)(2)( xaxxS )0( ax
x
2a-2x
x
这样，问题归结为：当 x 为何值时,)( xS 取得最大值,由于 xaxS 42)(,所以令 0)( xS,得 )( xS 的 惟一驻点 2ax?,
又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积,
所以,)( xS 的最大值在
2
a
x? 处取得，即当
2
a
x?
时，水槽的流量最大,
例 5 铁路线上 AB 的距离为 100 km,工厂 C 距 A 处为 20 km,AC 垂直于 AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每 km 货运费之比为
3,5,问 D 选在何处，才能使从 B 到 C 的运费最少?
解 设 xAD? (km),则
xDB 100,2220 xCD,
由于铁路每 km 货物运费与公路每 km 货物运费之比为
3,5,因此，不妨设铁路上每
km 运费为 k3,则公路上每 km
运费为 k5,并设从 B 到 C 点需要的总运费为 y,则
)100(3205 22 xkxky 0( ≤ x ≤ )100,
由此可见,x 过大或过小，总运费 y 均不会变小，
故有一个合适的 x 使总运费 y 达到最小值,
C
BA
D
又因为?
3
400
5
2x
xky
令 0y,即
2
5
30
400
x
x
,得 15?x 为函数 y 在其定义域内的惟一驻点，故知 y 在 15?x 处取得最小值，即 D 点应选在距 A 为 15 km 处，运费 最少,
1,画图说明闭区间上连续函数 )( xf 的极值与最值之间的关系,
2,可能极值点有哪几种？ 如何判断可能极值点是否为极值点,
思考题一,曲率的概念二,曲率的计算
*第四节 曲 率设 Α 和 Β,是曲线 )( xfy? 上两个点，假如曲线在 Α
点和 Β 点的切线与 x 轴的夹角分别为? 和,那么，当点从 Α 沿曲线 )( xfy? 变到 Β 时,角度改变了,
而改变这个角度所经过的路程则是弧长 s AB,我们自然就用比值
s?
来刻画曲线段 AB 上的弯曲程度，称为平均曲率．为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如下定义,
定义 称
ss
k
x d
dlim
0
为曲线在点 A 的曲率,
一、曲率的概念例 1 求半径为 R 的圆的平均曲率及曲率,
解 在图中，由于 BOA
等于,
又等于
R
s?
，所以
Rs
R
s
s
1
为弧 AB 段的平均曲率,
当 ΑΒ? 时，有 0 s,
所以圆上任意一点 A 的曲率
RRs
ak
ss
11limlim
00
,
O x
y
O'
A
B
a+Δa
Δa
Δa
可见,圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数,
因而圆的半径愈大,曲率愈小 ; 半径愈小,曲率愈大,这表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度,
由于圆的半径等于圆的曲率的倒数,所以对于一般的曲线,我们把它在各点的曲率的倒数称为它在该点的曲率半径,记为 R,因此,
k
R
1
( 如果 0?k,则说明曲率半径为 ),
以 s 表示这条曲线由基点
0
M 到点 M 的一段弧
0
MM 的长度（当 M 在
0
M 右边时规定
0?s,当 M 在
0
M 左边时规定
0?s ）,弧长 s 是 x 的函数,
设函数 )( xfy? 在 ),( ba 内具有连续导数,0x 为
),( ba 内一个定点； x,xx 为 ),( ba 内两个邻近的点；
0M,
M,M? 分别为曲线 )( xfy? 上与
0x,x,xx
对应的点,
O x
y
a
b
M?
0M
M
x?
y?
xxx0x
二、曲率的计算设对应于 x 的增量 x?,弧长 s 的增量为 s?,
则
00
s M M M M,于是有 0lim
0
MM
x
我们还可以证明,1lim
0
MM
s
x
这就是说 s? 与 MM? 是 0 s
时的两个等价无穷小量，因此
00
22
0
d'
l im l im
d
( ) ( )
l im
xx
x
s s M M
x x x
xy
x
2
1 y,
所以 xys d1d 2,
又因为曲线 )( xfy? 在点 M 处的切线斜率为
ta ny,所以,a r c t a n y
2
dd
1
y
x
y
,
因此
2
2 3 / 2
2
d
d 1
d ( 1 )1d
y
x
yy
k
sy yx
这就是曲线 )( xfy? 的曲率计算公式,
例 2 求直线 baxy 的曲率,解 因为 ay,0y,所以 0?k,即直线的弯曲程度为 0 （直线不弯曲）,
例 3 一飞机沿抛物线路径
4000
2x
y? 做俯冲飞行，在原点 O 处的速度为 4 00?v m/s 飞行员体重 70 kg,求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力,
解 在 O 点飞行员受到两个力作用，即重力 P
和座椅对飞行员的反力 Q,他们的合力 P-Q 为飞行员随飞机俯冲到 O 点时，所需的向心力 F,即 FP-Q? 或
FQ P,物体做匀速圆周运动时,向心力为
2
m
R
v
（ R 为圆半径）
O 点可看成是曲线在这点的曲率圆上的点，所以在这点向心力为
2
m
F
R
v
（ R 为 O 点的曲率半径）,
因为 0
2000
0
x
x
y,
2000
1
y
故曲线在 O 点的曲率
2000
1
k,曲率半径 R =2000 m,所以
N56 00N
20 00
)40 0(70
2
F
)560 08.970(Q N 6286? N
因为飞行员对座椅的压力和座椅对飞行员的反力大小相等，方向相反，所以，飞行员对座椅的压力为
6286 N,
y
P
O x
Q
1,对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？
为什么？
2,是否存在负曲率，为什么？ 思考题一,曲线的凹向及其判别法二,拐点及其求法三,曲线的渐近线四,函数作图的一般步骤第五节 函数图形的描绘定义 1 若在某区间 ()a,b 内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在 ()a,b 内是向上凹的
（简称上凹，也称凹的）；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段 ),( ba 内是向下凹的（简称下凹，也称凸的）,
从图可以看出曲线段 AB 是下凹的；曲线段 BC 是上凹的 定理 1 设函数 y = )( xf 在开区间 ()a,b 内具有二阶导数
(1) 若在 ()a,b 内 0)( xf,则曲线 )( xfy? 在 ),( ba 内是向上凹的；
y
O x
A
B
C
a b c
一、曲线的凹向及其判别法
(2) 若在 ),( ba 内 0)( xf,则曲线 )( xfy? 在 ),( ba
上是 向下凹的,若把定理 1 中的区间改为无穷区间，结论仍然成立,
例 1 判定曲线 xy ln? 的凹向,
解 函数 xy ln? 的定义域为 ),0(,
x
y
1
,
2
1
x
y
,当 0?x 时,0y,故曲线 xy ln? 在 ),0( 内是向下凹的,
定义 2 若连续曲线 y = )( xf 上的点 P 是曲线向上凹与向下凹的分界点，则称 P 是曲线 )( xfy? 的拐点,
由于拐点是曲线凹向的分界点，所以拐点左右两侧近旁 )( xf 必然异号．因此，曲线拐点的横坐标 0x,
只可能是使 0)( xf 的点或 )( xf 不存在的点．从而可得求 ),( ba 内连续函数 y = )( xf 拐点的步骤,
(1) 先求出 )( xf,找出在 ),( ba 内使 0)( xf 的点和 )( xf 不存在的点； ( 2 ) 用上述各点按照从小到大依次将 ),( ba 分成小区间,再在每个小区间上考察 )( xf 的符号；
二、拐点及其求法
( 3 ) 若 )( xf 在某点 ix 两侧近旁异号，则 (,( ))iix f x
是曲线 y = )( xf 的拐点，否则不是,
例 2 曲线 3xy? 的定义域为 ),(,画其草图,
解 因为
3
xy? 的定义域为
),(,且
2
3 xy,xy 6,
令 0y,得 0?x,
用 0?x 将 ),( 分成两个小区间,)0,( 和 ),0(,
当 )0,(x 时,0y,
曲线
3
xy? 下凹,
当 ),0(x 时,0?
y
,
曲线
3
xy?
上凹,
所以，点 )0,0( 为曲线
3
xy?
的拐点,
y
xO 1
1
-1
-1
定义 3 若曲线 C 上动点 P 沿着曲线无限地远离原点时，点 P 与某一固定直线 L 的距离趋于零,
则称直线 L 为曲线 C 的渐 近 线,
1,斜渐 近 线定理 2 若 )( xf 满足,
(1) k
x
xf
x
)(
lim ;
(2) bkxxf
x
])([lim,
则曲线 y = )( xf 有斜渐 近 线 bkxy
y
O
x
C
M
N
P L
a
y k x b
()y f x?
y
O
x
C
M N
P L
a
y kx b
()y f x?
三、曲线的渐近线例 3 求曲线
322
3
xx
xy 的渐 近 线,
解 令 32)( 2
3
xx
xxf,因为
132lim)(lim 2
2
xx
x
x
xfk
xx
,
2)32(lim])([lim 2
3
xxx xkxxfb
xx
,
故得曲线的渐 近 线方程为 2 xy,
2,铅直渐 近 线定义 4 若当 Cx? 时（有时仅当 Cx 或
Cx ）,)( xf 则称直线 Cx? 为曲线 )( xfy? 的铅直渐近线（也叫垂直渐近线）（其中 C 为常数）,
所以当 3x 和 1?x 时,有y,所以曲线
32
2
3
xx
x
y 有两条铅直渐近线 3x 和 1?x,
例
)1)(3(32
3
2
3
xx
x
xx
x
y,
例 当x 时，有 2e0x,所以 0?y 为曲线
2e xy 的水平渐近线,
y
O x
3,水平渐 近 线 定义 5 若当x 时,Cxf?)( 则称曲线
)( xfy? 有水平渐近线 Cy?,
(1) 确定函数的定义域及值域；
(2) 考察函数的周期性与奇偶性； (3) 确定函数的单增、单减区间、极值点、凹凸区间及其拐点；
(4) 考察渐近线；
(5) 考察与坐标轴的交点,
最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图 像,
四、函数作图的一般步骤例 4 描绘函数 xy
x
1
e 的图 像,
解 函数
x
xfy
1
e
)(
x
的定义域为 1x 的全体实数，且当 1x 时，有 0)(?xf,即 1x 时，图像 在 x 轴下方，当 1x 时，有 0)(?xf,即 1x 时，
图 像 在 x 轴上方,
由于
)(l i m
1
xf
x
，所以 1x 为曲线 )( xfy? 的铅直渐 近 线,
又因为 0
1
e
lim?
x
x
x
，所以,0?y 为该曲线的水平渐 近 线,
因为
2
)1(
e
x
x
y
x
,
3
2
)1(
)1(e
x
x
y
x
,
令 0y,得,0?x 又 1x 时,y 不存在,
用 0?x,1x 将定义区间分开，并进行讨论如下,
x (,1? ) ( 1,0? ) 0 ( 0,+ ∞ )
y’ － － +
y’ ’ － + +
y
极小值注,符号 表示曲线单减且下凹； 表示单增且上凹，其余类推,
极小值
0
e
( 0) 1
10
f
,根据如上讨论，画出图像
y
O x 1 2
1
2
- 1
例 5 描绘函数 xxxf ln)(? 的图 像
（ 2 ） 渐 近 线因为
)(lim
0
xf
x
，所以 0?x 为铅直渐 近 线,
又因为 0
ln
l i m?
x
x
x
，所以 y =0 为水平渐 近 线；
（ 3 ） 因为
2/3
2
ln2
x
x
y
,
2/5
4
8ln3
x
x
y
所以,令 0?
y
得
2
e?x
≈ 389.7,令 0?
y
得
38
e?x
≈ 39.14 ;
解 （ 1 ）定义域 ),0( ；
（ 4 ） 列表讨论,
x ( 0,e
2
) e
2
(e
2
,e
8 /3
) e
8 /3
(e
8 /3
,+ ∞ )
y’ + – –
y ’’ – – +
y
极大值
2
e
拐点
4
8 / 3
3
8
( e,e )
3
y
O x 1
e
2
e
8/3
(5) 令
ln
0
x
x
,得 x =1 为曲线与 x 轴交点的横坐标,
(6) 根据上述讨论画出曲线
1,若 ))(,(
00
xfx 为连续曲线弧 )( xfy? 的拐点，问,
(1) )(
0
xf 有无可能为 )( xf 的极值，为什么？
(2) )(
0
xf? 是否一定存在？为什么？画图说明,
2,根据下列条件，画曲线,
(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正；
(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，
但一阶导数处处为正；
(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，
但一阶导数处处为负；
(4) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为负,
思考题第六节 一元函数微分学在经济上的应用一,成本函数与收入函数二,边际分析三,弹性与弹性分析一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收入以及二者关于产量变化率等因素．本节重点研究导数应用于成本函数和收入函数,
成本函数 ()Cq 给出了生产数量为 q 的某种产品的总 成本,
)( qC 是单增函数,对一些产品来说，如汽车或电视机等，产量 q 只能是整数，所以 )( qCC?
的图像由彼此孤立的点组成（右图一）；对糖、煤等产品来说，
产量
q
可以连续变化，所以
)( qCC? 的图像可能是一条连续曲线（右图二）,
O
C
q
图二
O
C
q
图一一、成本函数与收入函数总假定成本函数 )( qCC? 对一切非负实数有意义,
由于任何企业在正式生产之前，都要先期投入，即企业的产量 0?q 时，成本
0
)0( CC? 一般不为零，通常成为固定成本，几何上，固定成本 C 0 就是成本函数曲线在 C 轴上的截距,
一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然后逐渐慢下来（即成本函数 )( qCC? 的曲线的斜率由大到小变化，曲线下凹），因为生产产品数量较大时要比数量较小时的效率高 —— 这称为经济规模．当产品保持较高水平时，随着资源的逐渐匮乏，成本函数再次开始较快增长，
当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长．因此，曲线 )( qCC? 开始时是下凹的，后来是上凹的（如上页 图 二 ）,
收入函数 )( qR 表示企业售出数量为 q 的某种产品所获得的总收入．由于售出量 q 越多，收入 )( qR 越大，所以 )( qR 是单增函数,
如果价格 p 是常数,那么
qpR,数量价格收入且 R 的图像是通过原点的直线（图一），实际上，当产量 q 的值增大时，产品可能充斥市场，从而造成价格下落,R 的图像如图二,
作出决策常考虑到利润 L,
成本收入利润,即 CRL,
O
R
q
图一
O
R
q
图二例 1 如果成本函数 )( qC 及收入函数 )( qR 由下图给出，问 q 的值多大时，企业可获得利润？
解 只有当收入大于成本时，即 R > C 时，企业才可以获得利润．由右图可知，当 200100 q 时,R 的图像位于 C 的图象之上，因此产量介于 100 和 200 之间，
可获得利润,
C
O
R
q
C R
100 200
边际概念是经济学中的重要概念，通常指经济变化的变化率．利用导数研究经济变量的边际变化方法，即边际分析法,是经济理论中的一个重要方法,
1,边际成本在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时总成本的一个增量，即总成本对产量的变化率．于是，
若 )( qC 可导，则当产量
0
qq? 时，边际成本 )(
0
qCMC 或者
0
00
0
( ) ( ) d
l i m,
d qqq
C q q C q C
MC
,
产量为
0
q 时，边际成本 )(
0
qCMC,即边际成本是总成本函数关于产量的导数，其经济意义是,)(
0
qC? 近似等于产量为 q 再增加一个单位产品所需增加的成本，这是因为
)()()1( qCqCqC ≈ )( qC?,
二、边际分析
2,边际收入在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品时总收入的增量，即边际收入为总收入关于产品销售量 q 的变化率,
设某产品的销售量为 q 时，总收入 )( qRR?,于是,当
)( qR 可导时，边际收入
q
qRqqR
qRMR
q?
)()(
lim)(
0
,
其经济意义为,)( qR? 近似等于当销售量为 q 时,再多销售一个单位产品所增加的收入．这是因为
)()()()1( qRqRqRqR,
3,边际利润设某产品销售量为 q 时的总利润为 )( qLL?,称
)( qL 为总利润函数．当 )( qL 可导时，称 )( qL? 为销售量为 q 时的边际利润，它近似等于销售量为 q 时再多销售一个单位产品所增加的利润,
由于总利润为总收入与总成本之差，即有
)()()( qCqRqL,
上式两边求导，得
)()()( qCqRqL,
即边际利润等于边际收入与边际成本之差,
例 2 如果总收入函数 )( qRR? 及总成本函数
)( qCC?,分别如图 一及图 二所示,
画出边际收入 )( qRMR 及边际成本
)( qCMC 的图像,
解 因为收入函数 )( qRR?
的图像是过原点的直线，故其方程 pqR?,其中 p 为常量，所以边际收入 pqRMR )(,因此，边际收入的图像是一条与
q
轴平行的直线（下 页 图一）,O
R
q
R = R (q)
图一
O
C
q
200
C= C(q)
图二由于总成本是递增的（为单增函数），所以，边际成本总是正的 )0)(( qC,在总成本 )( qCC? 的图象中，当 200?q 时，曲线是下凹的 )0(C,故边际成本
MC 是单减的 )0)(( MCC,所以,MC 是单减的 ) ；
当 200?q 时，总成本是上凹的，于是边际成本是递增的．因此边际成本在 200?q 处具有极小值图二,
O q
MR= R’
p
MR
图一
O
MC
q
MC= C’
200
图二
4,最大利润已知总收入函数 )( qRR? 及总成本函数 )( qCC?,如何求出最大利润，这对任何产品的制造者来说，显然都是最基本的问题，然而，这一问题的解决并不困难，只需对利润函数 CRL 在给定区间上求最值即可．当然，
最大（或最小）利润有可能在区间端点处取得，但是，
若事先能断言最大（或最小）利润只能在区间内部取得，
且利润函数 L 在区间内部只有 惟 一的驻点，则可断言，
最大（或最小）利润在该点取得,
例 3 设某厂每月生产的产品固定成本为 1 0 0 0
元，生产 x 个单位产品的可变成本为 0,01 x
2
+ 1 0 x 元，
如果每单位产品的销售为 30 元，试求：总成本函数，
总收入函数，总利润函数，边际成本,边际收入及边际利润为零时的产量,
解 总成本为可变成本与固定成本之和，依题设，
总成本函数
1 0 0 01001.0)(
2
xxxC,
总收入函数
xpxxR 30)(,
总利润函数
1 0 0 01001.030)()()(
2
xxxxCxRxL
1 0 0 02001.0 2 xx,
边际成本
1002.0)( xxC,
边际收入
30)( xR,
边际利润
2002.0)( xxL,
令 0)( xL,得 02002.0 x,x = 1 0 0 0,即每月产量为
1 0 0 0 个单位时，边际利润为零．这说明，当月产量为 1 0 0 0
个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润,
弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度，或者说，一个经济变量变动的百分之一会使另一个经济变量变动百分之几,
三、弹性与弹性分析
0 0 0 0
Δ 0 Δ 000
Δ ( ) [ ( Δ ) ( ) ( )l im l im
ΔΔxx
y f x f x x f x f x
x x x x
定义 设函数 ()fx 在点 0x 的某邻域内有定义，且
0( ) 0fx?,如果极限存在，则称此极限值为函数 )( xfy? 在点 0x 处的点弹性，
记为
0xxEx
Ey；而称比值
0
000
0
0 )()]()([)(
xx
xfxfxxf
xx
xfy
为函数 )( xfy? 在点 0x 与点 xx Δ0? 之间的弧弹性,
由定义可知,
00
d
d
)(
0
0
xxxx
x
y
xf
x
Ex
Ey
,
且当 |Δ| x 很小时，有
0
xx
Ex
Ey
≈?
0
0
Δ
)(Δ
xx
xfy
弧弹性,
如果函数 )( xfy? 在区间 ),( ba 内可导，且 0)(?xf,
则称 )(
)(
xf
xf
x
Ex
Ey
为函数 )( xfy? 在区间 ),( ba 内的点弹性函数，简称为弹性函数,
需求弹性,若 Ｑ 表示某商品的市场需求量,价格为 p,
若需求函数可导,则称
pp
p
Ep
E
d
d
)(
Ｑ
Ｑ
Ｑ
为商品的需求价格弹性,简称为需求弹性,常记为
p
,
需求弹性
p
表示某商品需求量 Ｑ 对价格 p 的变动的反应程度．由于需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值,从而当 0Δ?p 时，需求弹性的极限一般也为负值，即需求价格弹性
p
一般也为负值,称商品的需求价格弹性大时,是指其绝对值大,
当 1
p
( 即 |
p
| =1) 时,称为单位弹性,此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等,
当 1
p
( 即 |
p
| >1) 时,称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格变动对需求量的影响较大,
当 01
p
( 即 |
p
|<1) 时,称为低弹性，此时商品 需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格变动对需求量的影响不大,
在商品经济中，商品经营者关心的是提价 ( 0Δ?p )
或降价 ( 0Δ?p ) 对总收益的影响,设销售收益
pR Q? ( Q 为销售量,p 为价格 ),则当价格 p 有微小改变量 pΔ 时,有
RΔ ≈
d
d d ( ) d d ( 1 ) d
d
p
R p p p p
p
Q
Q Q Q Q
Q
即 RΔ ≈ pp d)1( Q,
由 0?p? 知 pp,于是有
pR p d)1(Δ Q,
由此可知,当 |
p
|>1( 高弹性 ) 时,降价 ( 0d?p ) 可使总收益增加 ( 0Δ?R ),薄利多销多收益 ; 提价 ( 0d?p ) 将使总收益减少 ( 0Δ?R ),当 |
p
|<1( 低弹性 ) 时降价使总收益减少 ( 0Δ?R ),提价使总收益增加．当 |
p
|=1( 单位弹性 ) 时,
总收益近似为 0( 0Δ?R ),即提价或降价对总收益没有明显的影响,
例 6 设某商品的需求量为 p506 00Q,求
1,6,8p? 时需求价格弹性,并给以适当的经济解释,
解 因为 p50600Q,所以 50
d
d
p
Q
,
所以
p
p
p
p
p
50600
50
d
d
Q
Q
,
当 1?p 时,1
11
1
||
p
,为低弹性，此时降价将使总收益减小，提价使总收益增加,
当 6?p 时,1||?
p
,为单位弹性，此时降价或提价对总收益没有明显影响,
当 8?p 时,2||?
p
,为高弹性，此时降价将使总收益增加，提价使总收益减少,
思考题
1,回答下列问题,
(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？
(2) 设生产 x 个单位产品时，总成本为 )( xC,问这时每单位产品的平均成本是多少？
(3) 用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”,
并画图说明,
2,一般情况下，对商品的需求量 Q 是消费者之收入 x 的函数,即 () x?QQ,试写出需求 Q 对收入
x 的弹性 —— 需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义,
