第七章 定积分的应用第一节 定积分的几何应用第二节 定积分的物理应用与经济应用举例一,定积分应用的微元法二,用定积分求平面图形的面积三,用定积分求体积四,平面曲线的弧长第一节 定积分的几何应用第一节 定积分的几何应用用定积分计算的量的特点：
( 1 ) 所求量（设为 F ）与一个给定区间ba,有关，
且在该区间上具有可加性,就是说,F 是确定于ba,上的整体量，当把ba,分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即?
n
i
i
FF
1
,
( 2 ) 所求量 F 在区间ba,上的分布是不均匀的，
也就是说,F 的值与区间ba,的长不成正比,（否则的话,F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）,
一,定积分应用的微元法用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即,?
n
i
iFF
1
Δ ;
第二步：求出每个部分量的近似值,
iFΔ ≈ );,,2,1(Δ)( nixf ii
第三步：写出整体量 F 的近似值,?
n
i
iFF
1
Δ ≈ i
n
i
i xf Δ)(
1
；
第四步：取 0}Δm a x { ix? 时的 i
n
i
i
xf Δ)(
1
极限，则得
n
i
b
a
ii
xxfxfF
1
0
d)(Δ)(l im?
,
而第三、第四两步可以合并成一步：在区间ba,上无限累加，
即在ba,上积分,至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，
这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化 后形成实用的微元法,
定积分应用的微元法,
( 一 ) 在区间ba,上任取一个微小区间xxx d,?,然后写出在这个小区间上的部分量 FΔ 的近似值，记为 xxfF d)(d? ( 称为 F
的微元 ) ;
（ 二 ） 将微元 Fd 在ba,上积分（无限累加），即得
.d)( ba xxfF
观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式 ii xf Δ)(? 中的变量记号改变一下即可（ i? 换为 x ； ix? 换为 xd ）,
微元法中微元的两点说明：
( 1 ) xxf d)( 作为 FΔ 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关 于 xΔ 的高阶无穷小,即
)Δ(d)(Δ xoxxfF,这样我们 就知道了，称作 微元的量
xxf d)(,实际上是所求量的微分 Fd ;
( 2 ) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这 要 分析问题的 实际 意义 及数量关系，一般按 着 在局部xxx d,? 上，
以,常代变,,,匀代不匀,,,直代曲,的思路（局部线性 化 ）,写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值,即 为 微 元
xxfF d)(d?,
1,直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分,（ 2 ） 由上、下两条曲线 ))()()((),( xgxfxgyxfy 及
bxax,所围成的图形,如下页右图,面积微元
,d)]()([d xxgxfA,面积
b
a
xxgxfA d)]()([,
（ 1 ） 曲线 ),0)()(( xfxfy bxax,及 Ox 轴所围图形,如下页左图,面积微元 xxfA d)(d?,面积
b
a
xxfA d)(,
二、用定积分求平面图形的面积
（ 3 ） 由左右两条曲线 )(),( yxyx 及 dycy,所围成图形（图 见下页 ）面积微 元（ 注意，这时就应取横条矩形 Ad,即取 y 为 积分变量 ） yyyA d)]()([d,面积
d
c
yyyA d)]()([,
O
y
x x x d? x a b
) ( x f y?
x
O
y
x x d? x
a
) ( x f y?
) ( x g y?
b
例 1 求两条抛物线 22,xyxy 所 围成的图形的面积,
解 （ 1 ）画出图形简图（ 如右上图 ）并求出曲线交点以确定积分区间,
O
y
x x x d? x
1
(1,1 )
O
y
x
y
c
d
()xy
ψ ( )xy?
dyy?
解方程组
,
,
2
2
xy
xy 得交点 （ 0,0 ） 及 （ 1,1 ）,( 2 ) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作
Ad 均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量,x 变化范围为 [0,
1],于是,d)(d
2 xxxA
(3) 将 A 表示成定积分，并计算
10
1
0
32
3
2
.3
1
3
1
3
2d)( xxxxxA
例 2 求 xy 22? 及 4 xy 所围成 图形 面积,
解 作图（ 如下图 ）
求出交点坐标为 )4,8(),2,2( BA?,观察图得知，宜取
y 为积分变量,y 变化范围为 [ – 2,4] （考虑一下，若取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
于是得,d]21)4[(d 2 yyyA
.1861421d]21)4[(4
2
4
2
322?
yyyyyyA
O
y
B
A
4
- 2
y
x
y +d y
2,极坐标下的面积计算 曲边扇形,是指由曲线 )(?rr? 及两条射线,所围成的图形（ 如 右下 图 ）,
取? 为积分变量，其变化范围为 ],[,在微小区间 ]d,[
上,以常代变,,即以小扇形面积 Ad 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为
,d)(21d 2rA?将 Ad 在 ],[ 上积分,便得曲 边扇形面积为
.d)(21 2rA O x
( θ)rr?
d?
例 4 计算双纽线 )0(2c os22 aar? 所围成的 图形的 面积（ 如下图所示 ）,
解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，
再 4 倍即可，在第一象限? 的变化范围 为 ]4π,0[,于是
π π
2 2 24 4
00
14 c o s 2 d sin 2,
2A a a a
O
a
y
x
π
4
θ?
解 先求两线交点，以确定? 的变化范围，解方程组 1 c o s,
3 c o s,
r
r
由 cos1cos3 得
2
1
c os,故
3
π
,考虑到图形的对称性，得所求 的面积为
O x
2 3
3 co s θr?
1 c o sr
3π
0
2
π
3
π
22 d)c o s3(
2
1d)c o s1(
2
12A
例 5 求心形线 1 c osr 及圆?c os3?r 所围成的阴影部分面积（ 如 右 下图 ）,
3
π
0
2
π
3
π d)2c o s1(2
9d)
2
2c o s1c o s21(
2
π
3
π
3
π
0
2s in21292s in41s in223?
π.45?
1,平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直 于某直 线的平面所截 的 面积 可求，则该物体可用定积分求其体积,
三、用定积分求体积为求体积微 元,在微小区间 ]d,[ xxx? 上视 )( xA 不变，即把 ]d,[ xxx? 上的立体薄片近似看作 )( xA 为底,
xd 为高的柱片，于是得
,d)(d xxAV?再在 x 的变化区间 ],[ ba 上积分,
则得公式
.d)( ba xxAV
不妨设上述直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积
)( xA 是 x 的已知连续函数，求该物体介于 ax? 和
)( babx 之间的体积（ 如右下 图）,
O
x
y
b
x a
()Ax
dxx?
例 6 设有底圆半径为 R 的圆柱，被一与圆柱面交成
角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如 右下 图）,
O
y
x
R
R?
a
2 2 2
x y R
a 解 取坐标系如图，则底圆方程为
2 2 2,x y R
在 x 处垂直于 x 轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为 y 及?t any,即
22
xR? 及
t a n
22
xR?,其 面 积 为
t an)(
2
1
)(
22
xRxA,从而得楔形体积为
R R R xxRxxRV 0 2222 d)(ta ndta n)(21
ta n32)3(ta n 3022 RxxR R,
2,旋转体体积设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 )( xfy? 和 直 线
)(,babxax,及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积 V,在区间 ],[ ba 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为在 x 的变化区间 ],[ ba 内积分，得旋转体体积为
O
y
x b a
A ( x )
).(π)( 2 xfxA?
.d)(π 2 ba xxfV
类似地，由曲线 )( yx,直线
dycy,及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下页左图）为
.d)(π 2 dc yyV?
例 7 求由星形线
2 2 2
3 3 3 ( 0 )x y a a 绕 x 轴旋转所成旋转体体积（如上右图）,
解 由方程 3
2
3
2
3
2
ayx
O
y
x
c
d
()xy
y
O x a - a
解出?2y 33232 )( xa?,于是所求体积为
a a a xxaxyV 0 332322 d)(π2dπ
.π10532d)33(π2 320 3
4
3
2
3
2
3
4
2 axxxaxaaa
设有曲线 )( xfy? （假定其导数 )( xf? 连续），我们来计算从 ax? 到 bx? 的一段弧长的长度 s （如下页左图）,
我们仍用微元法，取 x 为积分变量,],[ bax?,在微小区间 ],[ dxxx? 内，用切线段 MT 来近似代替小弧段 MN
（“常代变”）得弧长微元为
.d'1)d()d(d 222 xyyxQTMQMTs 22
这里 xys d'1d 2 也称为弧微分公式,
在 x 的变化区间 ],[ ba 内积分，就得所求弧长
,d)('1d'1 22 ba ba xxfxys
四、平面曲线的弧长若曲线由参数方程
( ),
()
xt
yt
)( t 给出，这时弧长微元为
2222d ( d ) ( d ) '( ) '( ) d,s x y x x t于是所求弧长为
.d)(')(' 22 ttts注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的,因此，为使弧长为正，定积分定限时要求下限小于上限,
O x a
y
x b
A
M
N
B
x d
s d
Q y d
y
dxy?
T
O x a
y
- a
例 9 两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，
这一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为 )ee(
2
a
x
a
xa
y
)0(?a 求从 ax 到 ax? 这一段的弧长（如上 页 右 图 ）
解 由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要将 sd 部分充分化简，然后再求积分,这里,)ee(
2
1 axax
y
,于是
22 1d 1 ' d 1 ( e e ) d,
4
xx
aas y x x
故悬链线这段长为?
a
a
xys d'1
2
a
a
x
a
x
x
0
d)ee(
)ee()ee(
1
0
aa
a
a
x
a
x
1 ( ) dee
2
xx
aa x
例 10 求摆线
( sin ),
( 1 c o s )
x a t t
y a t
在 π20 t 的一段长 )0(?a,
解 )c os1()( tatx,
taty s i n)(,
于是 ttattytxs d)c os1(2d)(')('d
22
t
t
a d
2
s in2?,
由于在 ]π2,0[ 上,02s i n?t,故 这一拱摆线长为
.82c o s4d2s in2
π2
0
π2
0
atattas
思考题
1,什么叫微元法? 用微元法解决实际问题的思路及步骤如何?
2,求平面图形的面积一般分为几步?
一,定积分的物理应用二,经济应用问题举例第二节 定积分的物理应用与经济应用举例第二节 定积分的物理应用与经济应用举例
1,功
(1) 变力做功 设物体在变力 )( xF 作用下沿 x 轴由 a 处移动到 b 处，
求变力 )( xF 所做的功,由于力 )( xF 是变力,所求功是区间 ],[ ba 上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决,利用微元法，由于变力 )( xF 是连续变化的，故可以设想在微小区间 ]d,[ xxx? 上作用力 )( xF 保持不变（“常代变”求微元的思想），按常力做功公式得这一段上变力做功近似值,
一、定积分的物理应用
,d)(d xxFW?将微元 Wd 从 a 到 b 求定积分，得 )( xF 在整个区间上所做的功为
.d)( ba xxFW
O x x x d?
x
a
b
()Fx
如图所示建立坐标系，变力 )( xF 使物体从微小区间
]d,[ xxx? 的左端点 x 处移动到右端点 xx d? 处，所做功的近似值，即功微元为例 1 在原点 O 有一个带电量为 + q 的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力,现有一单位正电荷从距原点 a
处沿射线方向移至距 O 点为 )( bab? 的地方，求电场力做功,
又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？
解 取电荷移动的射线方向为 x 轴正方向，那么电场力为
2x
qkF? （ k 为常数），这是一个变力,
在 ]d,[ xxx? 上，以“常代变”得功的微元为 xxkqW dd 2?
于是功为,)
11(1d
2
b
a
b
a ba
kqxkqxxkqW
若移至无穷远处，则做功为
.1d2 akqxkqxxkq
aa
物理学中，把上述移至无穷远处所做的功叫做电场在 a 处的电位，于是知电场在 a 处的电位为 akqV?,
例 2 设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由 1V 变至 2V,求气体压力所做的功（如下图）,解 气体膨胀为等温过程，所以气体压强为 VCP?
( V — 气体体积,C — 常数），而活塞上的总压力为
,S
C
V
CPF QQ
O S 1 S 2 S
（ Q — 活塞的截面积,S 为活塞移动的距离,QSV? ）
以 1S 与 2S 表示活塞的初始与终止位置，于是得功为
21 21 d1dSS SS SSCSFW
21 d1VV VVC
.lnln
1
2
1
2
V
VCVC
V
V
(2) 抽水做功 例 3 一个底半径为 4 m,高为 8 m 的倒立圆锥形容器，内装 6 m 深的水，现要把容器内的水全部抽完，需做功多少？ 解 我们设想水是一层一层被抽出来的，由于水位不断下降，使得水层的提升高度连续增加，这是一个“变距离”做功问题，亦可用定积分来解决,选择坐标系（见下页图），于是直线 AB 方程为
421 xy,
在 x 的变化区间 ]8,2[ 内取微小区间 ]d,[ xxx?,则抽出这厚为 xd 的一薄层水所需做功的近似值为
VxW dd （? — 水的比重）
2π d,x y x
于是功为
82 2 dπ xxyW?
82 2 d)24(π xxx?
82 32 d)4416(π xxxx?
2
8432 )
163
48(π xxx
)(10π638.9 3 J ( 339,8 1 0 N / m ),
O
x
y
x x d?
x
2
) 4,0 ( B
) 0,8 ( A
2,液体对平面薄板的压力设有一薄板，垂直放在 比重 为? 的液体中，求液体对薄板的压力,
由物理学知道，在液体下面深度为 h 处，由液体重量所产生的压强为 h,若有面积为 A 的薄板水平放置在液深为
h 处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为 P A h A,如今薄板是垂直于液体中，薄板上在不同的深度处压强是不同的，
因此整个薄板所受的压力是非均匀分布的整体量,下面结合具体例子来说明如何用定积分来计算,
例 4 一个横放的半径为 R 的圆柱形水桶，里面盛有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油 的 比重为? ）,解 桶的一端面是圆板，现在要计算当油面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力,
选取坐标系（如下 页 图）,圆方程为 222 Ryx,取
x 为积分变量，在 x 的变化区间 ],0[ R 内取微小区间
]d,[ xxx?,视这细条上压强不变，所受的压力的近似值，
即压力微元为
22d d 2 d,P x S x R x x
于是，端面所受的压力为
22
0 2d
RP x R x x
1
2 2 2 22
0 ( ) d ( )
R R x R x
3
2 2 32
0
22( ),
33
R
R x R
O
y
x x d?
x
x
R
3,转动惯量 在刚体力学中转动惯量是一个重要的物理量，若质点质量为 m,到一轴距离为 r,则该质点绕轴的转动惯量为
2,I mr?
现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体形状对称，并且质量为均匀分布时，则可以用定积分来解决,
解 选择坐标系（如下页图）,
先求转动惯量微元 Id,为此考虑细杆上 ]d,[ xxx? 一段，它的质量为 x
l
m
d,把这一小段杆设想为位于 x 处的一个质点，它到转动轴距离为 x,于是得微元为例 5 一均匀细杆长为 l,质量为 m,试计算细杆绕过它的中点且垂直于杆的轴的转动惯量,
.dd 2 xxlmI?沿细杆从
2
l? 到
2
l 积分，得整个细杆转动惯量为
O
y
x x d? x
x
2
l
2
l
3
222 2
2 2
1d.
3 12
l l
l l
m m xI x x m l
ll
例 6 计算质量为 m,半径为 R 的均匀薄板，绕过圆心与圆板垂直的轴的转动惯量,
解 选择坐标系（如下页图）,在区间 ],0[ R 上的 x 处取一宽为 xd 的小窄圆环，因圆板的密度为 2π Rm,圆环面积近似于 xx dπ2,故其质量近似于
,d2dπ2π 22 xxRmxxRm?
圆环 对轴转动惯量近似值，即转动惯量微元为
,d2)d2(d 3222 xxR mxxxR mI
.242d2
0
2
0
4
2
3
2
R
R
RmxR mxxR mI
y
x
R
x
O
dxx?
沿 x 方向，从 0 积到 R,就得到圆板的转动惯量
1．已知总产量的变化率求总产量,
例 7 设某产品在时刻 t 总产量的变化率为
26.012100)( tttf （单位∕ h ）
求从 2?t 到 4?t 的总产量（ t 的单位为 h ）,解 设总产量为 )( tQ,由已知条件 )()(' tft?Q,则知总产量 )( tQ 是 )( tf 的一个原函数，所以有
42 42 2 d)6.012100(d)( tttttf
8.2 6 0)2.061 0 0( 4232 ttt
即所求的总产量为 260,8 单位,
二、经济应用问题举例
2、已知边际函数求总量函数,
边际变量（成本、收入、利润）是指对应经济变量的变化率，
如果已知边际成本求总成本，已知边际收入求总收入，已知边际利润求总利润，就要用到定积分方法,
例 8 已知生产某产品 x 单位（百台）的边际成本和边际收入分别为 xxC
3
13)( （万元 / 百台）
xxR 7)( （ 万元 / 百台 ）,（其中 )( xC 和 )( xR 分别是总成本函数、总收入函数）
(1 ) 若固定成本 1)0(?C 万元，求总成本函数、总收入函数和总利润函数； ( 2) 产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？
解 （ 1 ）总成本为固定成本与可变成本之和，即
x xxCxC 0 d)33()0()(
这里,x 既是积分限，又是积分变量，容易混淆，故改写为
ttCxC x d)33()0()( 0
2
6
131 xx
总收入函数为
x xxttRxR 0 2217d)7()0()(
( 因为产量为零时，没有收入，所以 0)0(?R ）
总利润为总收入与总成本之差，故总利润 L 为
)6131()217()()()( 22 xxxxxCxRxL
.3241 2xx(2) 由于 xxL
3
44)(,令 0
3
44 x,得惟一驻点 3?x,
根据该题实际意义知，当 3?x 百台时,)( xL 有最大值，即最大利润为
5332341)3( 2L （万元）,
思考题
1,设一物体受连续的变力 ()Fx 作用沿力的方向作直线运动，则物体从 xa? 运动到 xb?,变力所做的功为
w?,其中 为变力 ()Fx 使物体由 [,]ab 内的任一闭区间 [,d ]x x x? 的左端点 x 到右端点 dxx? 所做功的近似值，也称其为,
2,如何计算铅直放置在液体中的曲边梯形薄板的侧压力?
( 1 ) 所求量（设为 F ）与一个给定区间ba,有关，
且在该区间上具有可加性,就是说,F 是确定于ba,上的整体量，当把ba,分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即?
n
i
i
FF
1
,
( 2 ) 所求量 F 在区间ba,上的分布是不均匀的，
也就是说,F 的值与区间ba,的长不成正比,（否则的话,F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）,
一,定积分应用的微元法用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即,?
n
i
iFF
1
Δ ;
第二步：求出每个部分量的近似值,
iFΔ ≈ );,,2,1(Δ)( nixf ii
第三步：写出整体量 F 的近似值,?
n
i
iFF
1
Δ ≈ i
n
i
i xf Δ)(
1
；
第四步：取 0}Δm a x { ix? 时的 i
n
i
i
xf Δ)(
1
极限，则得
n
i
b
a
ii
xxfxfF
1
0
d)(Δ)(l im?
,
而第三、第四两步可以合并成一步：在区间ba,上无限累加，
即在ba,上积分,至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，
这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化 后形成实用的微元法,
定积分应用的微元法,
( 一 ) 在区间ba,上任取一个微小区间xxx d,?,然后写出在这个小区间上的部分量 FΔ 的近似值，记为 xxfF d)(d? ( 称为 F
的微元 ) ;
（ 二 ） 将微元 Fd 在ba,上积分（无限累加），即得
.d)( ba xxfF
观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式 ii xf Δ)(? 中的变量记号改变一下即可（ i? 换为 x ； ix? 换为 xd ）,
微元法中微元的两点说明：
( 1 ) xxf d)( 作为 FΔ 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关 于 xΔ 的高阶无穷小,即
)Δ(d)(Δ xoxxfF,这样我们 就知道了，称作 微元的量
xxf d)(,实际上是所求量的微分 Fd ;
( 2 ) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这 要 分析问题的 实际 意义 及数量关系，一般按 着 在局部xxx d,? 上，
以,常代变,,,匀代不匀,,,直代曲,的思路（局部线性 化 ）,写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值,即 为 微 元
xxfF d)(d?,
1,直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分,（ 2 ） 由上、下两条曲线 ))()()((),( xgxfxgyxfy 及
bxax,所围成的图形,如下页右图,面积微元
,d)]()([d xxgxfA,面积
b
a
xxgxfA d)]()([,
（ 1 ） 曲线 ),0)()(( xfxfy bxax,及 Ox 轴所围图形,如下页左图,面积微元 xxfA d)(d?,面积
b
a
xxfA d)(,
二、用定积分求平面图形的面积
（ 3 ） 由左右两条曲线 )(),( yxyx 及 dycy,所围成图形（图 见下页 ）面积微 元（ 注意，这时就应取横条矩形 Ad,即取 y 为 积分变量 ） yyyA d)]()([d,面积
d
c
yyyA d)]()([,
O
y
x x x d? x a b
) ( x f y?
x
O
y
x x d? x
a
) ( x f y?
) ( x g y?
b
例 1 求两条抛物线 22,xyxy 所 围成的图形的面积,
解 （ 1 ）画出图形简图（ 如右上图 ）并求出曲线交点以确定积分区间,
O
y
x x x d? x
1
(1,1 )
O
y
x
y
c
d
()xy
ψ ( )xy?
dyy?
解方程组
,
,
2
2
xy
xy 得交点 （ 0,0 ） 及 （ 1,1 ）,( 2 ) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作
Ad 均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量,x 变化范围为 [0,
1],于是,d)(d
2 xxxA
(3) 将 A 表示成定积分，并计算
10
1
0
32
3
2
.3
1
3
1
3
2d)( xxxxxA
例 2 求 xy 22? 及 4 xy 所围成 图形 面积,
解 作图（ 如下图 ）
求出交点坐标为 )4,8(),2,2( BA?,观察图得知，宜取
y 为积分变量,y 变化范围为 [ – 2,4] （考虑一下，若取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
于是得,d]21)4[(d 2 yyyA
.1861421d]21)4[(4
2
4
2
322?
yyyyyyA
O
y
B
A
4
- 2
y
x
y +d y
2,极坐标下的面积计算 曲边扇形,是指由曲线 )(?rr? 及两条射线,所围成的图形（ 如 右下 图 ）,
取? 为积分变量，其变化范围为 ],[,在微小区间 ]d,[
上,以常代变,,即以小扇形面积 Ad 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为
,d)(21d 2rA?将 Ad 在 ],[ 上积分,便得曲 边扇形面积为
.d)(21 2rA O x
( θ)rr?
d?
例 4 计算双纽线 )0(2c os22 aar? 所围成的 图形的 面积（ 如下图所示 ）,
解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，
再 4 倍即可，在第一象限? 的变化范围 为 ]4π,0[,于是
π π
2 2 24 4
00
14 c o s 2 d sin 2,
2A a a a
O
a
y
x
π
4
θ?
解 先求两线交点，以确定? 的变化范围，解方程组 1 c o s,
3 c o s,
r
r
由 cos1cos3 得
2
1
c os,故
3
π
,考虑到图形的对称性，得所求 的面积为
O x
2 3
3 co s θr?
1 c o sr
3π
0
2
π
3
π
22 d)c o s3(
2
1d)c o s1(
2
12A
例 5 求心形线 1 c osr 及圆?c os3?r 所围成的阴影部分面积（ 如 右 下图 ）,
3
π
0
2
π
3
π d)2c o s1(2
9d)
2
2c o s1c o s21(
2
π
3
π
3
π
0
2s in21292s in41s in223?
π.45?
1,平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直 于某直 线的平面所截 的 面积 可求，则该物体可用定积分求其体积,
三、用定积分求体积为求体积微 元,在微小区间 ]d,[ xxx? 上视 )( xA 不变，即把 ]d,[ xxx? 上的立体薄片近似看作 )( xA 为底,
xd 为高的柱片，于是得
,d)(d xxAV?再在 x 的变化区间 ],[ ba 上积分,
则得公式
.d)( ba xxAV
不妨设上述直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积
)( xA 是 x 的已知连续函数，求该物体介于 ax? 和
)( babx 之间的体积（ 如右下 图）,
O
x
y
b
x a
()Ax
dxx?
例 6 设有底圆半径为 R 的圆柱，被一与圆柱面交成
角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如 右下 图）,
O
y
x
R
R?
a
2 2 2
x y R
a 解 取坐标系如图，则底圆方程为
2 2 2,x y R
在 x 处垂直于 x 轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为 y 及?t any,即
22
xR? 及
t a n
22
xR?,其 面 积 为
t an)(
2
1
)(
22
xRxA,从而得楔形体积为
R R R xxRxxRV 0 2222 d)(ta ndta n)(21
ta n32)3(ta n 3022 RxxR R,
2,旋转体体积设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 )( xfy? 和 直 线
)(,babxax,及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积 V,在区间 ],[ ba 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为在 x 的变化区间 ],[ ba 内积分，得旋转体体积为
O
y
x b a
A ( x )
).(π)( 2 xfxA?
.d)(π 2 ba xxfV
类似地，由曲线 )( yx,直线
dycy,及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下页左图）为
.d)(π 2 dc yyV?
例 7 求由星形线
2 2 2
3 3 3 ( 0 )x y a a 绕 x 轴旋转所成旋转体体积（如上右图）,
解 由方程 3
2
3
2
3
2
ayx
O
y
x
c
d
()xy
y
O x a - a
解出?2y 33232 )( xa?,于是所求体积为
a a a xxaxyV 0 332322 d)(π2dπ
.π10532d)33(π2 320 3
4
3
2
3
2
3
4
2 axxxaxaaa
设有曲线 )( xfy? （假定其导数 )( xf? 连续），我们来计算从 ax? 到 bx? 的一段弧长的长度 s （如下页左图）,
我们仍用微元法，取 x 为积分变量,],[ bax?,在微小区间 ],[ dxxx? 内，用切线段 MT 来近似代替小弧段 MN
（“常代变”）得弧长微元为
.d'1)d()d(d 222 xyyxQTMQMTs 22
这里 xys d'1d 2 也称为弧微分公式,
在 x 的变化区间 ],[ ba 内积分，就得所求弧长
,d)('1d'1 22 ba ba xxfxys
四、平面曲线的弧长若曲线由参数方程
( ),
()
xt
yt
)( t 给出，这时弧长微元为
2222d ( d ) ( d ) '( ) '( ) d,s x y x x t于是所求弧长为
.d)(')(' 22 ttts注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的,因此，为使弧长为正，定积分定限时要求下限小于上限,
O x a
y
x b
A
M
N
B
x d
s d
Q y d
y
dxy?
T
O x a
y
- a
例 9 两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，
这一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为 )ee(
2
a
x
a
xa
y
)0(?a 求从 ax 到 ax? 这一段的弧长（如上 页 右 图 ）
解 由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要将 sd 部分充分化简，然后再求积分,这里,)ee(
2
1 axax
y
,于是
22 1d 1 ' d 1 ( e e ) d,
4
xx
aas y x x
故悬链线这段长为?
a
a
xys d'1
2
a
a
x
a
x
x
0
d)ee(
)ee()ee(
1
0
aa
a
a
x
a
x
1 ( ) dee
2
xx
aa x
例 10 求摆线
( sin ),
( 1 c o s )
x a t t
y a t
在 π20 t 的一段长 )0(?a,
解 )c os1()( tatx,
taty s i n)(,
于是 ttattytxs d)c os1(2d)(')('d
22
t
t
a d
2
s in2?,
由于在 ]π2,0[ 上,02s i n?t,故 这一拱摆线长为
.82c o s4d2s in2
π2
0
π2
0
atattas
思考题
1,什么叫微元法? 用微元法解决实际问题的思路及步骤如何?
2,求平面图形的面积一般分为几步?
一,定积分的物理应用二,经济应用问题举例第二节 定积分的物理应用与经济应用举例第二节 定积分的物理应用与经济应用举例
1,功
(1) 变力做功 设物体在变力 )( xF 作用下沿 x 轴由 a 处移动到 b 处，
求变力 )( xF 所做的功,由于力 )( xF 是变力,所求功是区间 ],[ ba 上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决,利用微元法，由于变力 )( xF 是连续变化的，故可以设想在微小区间 ]d,[ xxx? 上作用力 )( xF 保持不变（“常代变”求微元的思想），按常力做功公式得这一段上变力做功近似值,
一、定积分的物理应用
,d)(d xxFW?将微元 Wd 从 a 到 b 求定积分，得 )( xF 在整个区间上所做的功为
.d)( ba xxFW
O x x x d?
x
a
b
()Fx
如图所示建立坐标系，变力 )( xF 使物体从微小区间
]d,[ xxx? 的左端点 x 处移动到右端点 xx d? 处，所做功的近似值，即功微元为例 1 在原点 O 有一个带电量为 + q 的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力,现有一单位正电荷从距原点 a
处沿射线方向移至距 O 点为 )( bab? 的地方，求电场力做功,
又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？
解 取电荷移动的射线方向为 x 轴正方向，那么电场力为
2x
qkF? （ k 为常数），这是一个变力,
在 ]d,[ xxx? 上，以“常代变”得功的微元为 xxkqW dd 2?
于是功为,)
11(1d
2
b
a
b
a ba
kqxkqxxkqW
若移至无穷远处，则做功为
.1d2 akqxkqxxkq
aa
物理学中，把上述移至无穷远处所做的功叫做电场在 a 处的电位，于是知电场在 a 处的电位为 akqV?,
例 2 设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由 1V 变至 2V,求气体压力所做的功（如下图）,解 气体膨胀为等温过程，所以气体压强为 VCP?
( V — 气体体积,C — 常数），而活塞上的总压力为
,S
C
V
CPF QQ
O S 1 S 2 S
（ Q — 活塞的截面积,S 为活塞移动的距离,QSV? ）
以 1S 与 2S 表示活塞的初始与终止位置，于是得功为
21 21 d1dSS SS SSCSFW
21 d1VV VVC
.lnln
1
2
1
2
V
VCVC
V
V
(2) 抽水做功 例 3 一个底半径为 4 m,高为 8 m 的倒立圆锥形容器，内装 6 m 深的水，现要把容器内的水全部抽完，需做功多少？ 解 我们设想水是一层一层被抽出来的，由于水位不断下降，使得水层的提升高度连续增加，这是一个“变距离”做功问题，亦可用定积分来解决,选择坐标系（见下页图），于是直线 AB 方程为
421 xy,
在 x 的变化区间 ]8,2[ 内取微小区间 ]d,[ xxx?,则抽出这厚为 xd 的一薄层水所需做功的近似值为
VxW dd （? — 水的比重）
2π d,x y x
于是功为
82 2 dπ xxyW?
82 2 d)24(π xxx?
82 32 d)4416(π xxxx?
2
8432 )
163
48(π xxx
)(10π638.9 3 J ( 339,8 1 0 N / m ),
O
x
y
x x d?
x
2
) 4,0 ( B
) 0,8 ( A
2,液体对平面薄板的压力设有一薄板，垂直放在 比重 为? 的液体中，求液体对薄板的压力,
由物理学知道，在液体下面深度为 h 处，由液体重量所产生的压强为 h,若有面积为 A 的薄板水平放置在液深为
h 处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为 P A h A,如今薄板是垂直于液体中，薄板上在不同的深度处压强是不同的，
因此整个薄板所受的压力是非均匀分布的整体量,下面结合具体例子来说明如何用定积分来计算,
例 4 一个横放的半径为 R 的圆柱形水桶，里面盛有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油 的 比重为? ）,解 桶的一端面是圆板，现在要计算当油面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力,
选取坐标系（如下 页 图）,圆方程为 222 Ryx,取
x 为积分变量，在 x 的变化区间 ],0[ R 内取微小区间
]d,[ xxx?,视这细条上压强不变，所受的压力的近似值，
即压力微元为
22d d 2 d,P x S x R x x
于是，端面所受的压力为
22
0 2d
RP x R x x
1
2 2 2 22
0 ( ) d ( )
R R x R x
3
2 2 32
0
22( ),
33
R
R x R
O
y
x x d?
x
x
R
3,转动惯量 在刚体力学中转动惯量是一个重要的物理量，若质点质量为 m,到一轴距离为 r,则该质点绕轴的转动惯量为
2,I mr?
现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体形状对称，并且质量为均匀分布时，则可以用定积分来解决,
解 选择坐标系（如下页图）,
先求转动惯量微元 Id,为此考虑细杆上 ]d,[ xxx? 一段，它的质量为 x
l
m
d,把这一小段杆设想为位于 x 处的一个质点，它到转动轴距离为 x,于是得微元为例 5 一均匀细杆长为 l,质量为 m,试计算细杆绕过它的中点且垂直于杆的轴的转动惯量,
.dd 2 xxlmI?沿细杆从
2
l? 到
2
l 积分，得整个细杆转动惯量为
O
y
x x d? x
x
2
l
2
l
3
222 2
2 2
1d.
3 12
l l
l l
m m xI x x m l
ll
例 6 计算质量为 m,半径为 R 的均匀薄板，绕过圆心与圆板垂直的轴的转动惯量,
解 选择坐标系（如下页图）,在区间 ],0[ R 上的 x 处取一宽为 xd 的小窄圆环，因圆板的密度为 2π Rm,圆环面积近似于 xx dπ2,故其质量近似于
,d2dπ2π 22 xxRmxxRm?
圆环 对轴转动惯量近似值，即转动惯量微元为
,d2)d2(d 3222 xxR mxxxR mI
.242d2
0
2
0
4
2
3
2
R
R
RmxR mxxR mI
y
x
R
x
O
dxx?
沿 x 方向，从 0 积到 R,就得到圆板的转动惯量
1．已知总产量的变化率求总产量,
例 7 设某产品在时刻 t 总产量的变化率为
26.012100)( tttf （单位∕ h ）
求从 2?t 到 4?t 的总产量（ t 的单位为 h ）,解 设总产量为 )( tQ,由已知条件 )()(' tft?Q,则知总产量 )( tQ 是 )( tf 的一个原函数，所以有
42 42 2 d)6.012100(d)( tttttf
8.2 6 0)2.061 0 0( 4232 ttt
即所求的总产量为 260,8 单位,
二、经济应用问题举例
2、已知边际函数求总量函数,
边际变量（成本、收入、利润）是指对应经济变量的变化率，
如果已知边际成本求总成本，已知边际收入求总收入，已知边际利润求总利润，就要用到定积分方法,
例 8 已知生产某产品 x 单位（百台）的边际成本和边际收入分别为 xxC
3
13)( （万元 / 百台）
xxR 7)( （ 万元 / 百台 ）,（其中 )( xC 和 )( xR 分别是总成本函数、总收入函数）
(1 ) 若固定成本 1)0(?C 万元，求总成本函数、总收入函数和总利润函数； ( 2) 产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？
解 （ 1 ）总成本为固定成本与可变成本之和，即
x xxCxC 0 d)33()0()(
这里,x 既是积分限，又是积分变量，容易混淆，故改写为
ttCxC x d)33()0()( 0
2
6
131 xx
总收入函数为
x xxttRxR 0 2217d)7()0()(
( 因为产量为零时，没有收入，所以 0)0(?R ）
总利润为总收入与总成本之差，故总利润 L 为
)6131()217()()()( 22 xxxxxCxRxL
.3241 2xx(2) 由于 xxL
3
44)(,令 0
3
44 x,得惟一驻点 3?x,
根据该题实际意义知，当 3?x 百台时,)( xL 有最大值，即最大利润为
5332341)3( 2L （万元）,
思考题
1,设一物体受连续的变力 ()Fx 作用沿力的方向作直线运动，则物体从 xa? 运动到 xb?,变力所做的功为
w?,其中 为变力 ()Fx 使物体由 [,]ab 内的任一闭区间 [,d ]x x x? 的左端点 x 到右端点 dxx? 所做功的近似值，也称其为,
2,如何计算铅直放置在液体中的曲边梯形薄板的侧压力?
