第一节 定积分的概念第二节 微积分基本公式第三节 定积分的积分方法第四节 广义积分第六章 定积分一,定积分的实际背景二,定积分的概念三,定积分的几何意义四,定积分的性质第一节 定积分的概念第一节 定积分的概念
1,曲边梯形的面积曲边梯形,若图形的三条边是直线段,其中有两条垂直于第三条底边,而其第四条边是曲线,这样的图形称为曲边梯形,如左下图所示,
y
O
M P
Q
N
B xC
AA推广为一、定积分的实际背景曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y
轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了,如下图所示：
0x 1x 2x xnO x
y
y = f (x)
0x = a xn =b
曲边梯形面积的确定步骤,
( 1 ) 分割 任取分点 bxxxxxa
nn
1210
,
把底边 [ a,b ] 分成 n 个小区间 [
1
x,
2
x ]( ),,2,1 ni,
小区间长度记为 );,,2,1(
1
nixxx
iii
(2) 取近似 在每个小区间 [
ii
xx,
1?
] 上任取一点
i
竖起高线
)(
i
f?
,则得小长条面积
i
A?
的近似值为
iii
xfA )(?
(
ni,,2,1
) ;
(3) 求和 把 n 个小矩形面积相加 ( 即阶梯形面积 )
就得到曲边梯形面积 A 的近似值
i
n
i
inn
xfxfxfxf
)()()()(
1
2211
;
(4) 取极限 令小区间长度的最大值
i
ni
x
1
m ax?
趋于零,则和式
i
n
i
i
xf?
)(
1
的极限就是曲边梯形面积 A
的精确值，即
0
1
l i m ( ),
n
ii
i
A f x
2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 [ 21,TT ] 上的连续函数，且 )( tv ≥ 0,要计算这段时间内所走的路程,解决这个问题的思路和步骤 与 上例类似,
( 1 ) 分割 任取分点
212101
TtttttT
nn
,把
[
21
,TT ] 分成 n 个小段，每小段长为
1?
iii
ttt （ ni,,2,1 ） ;
( 2 ) 取近似 把每小段 [
ii
tt,
1?
] 上的运动视为匀速，
任取时刻
iii
tt,
1?
，作乘积
ii
tv?)(?
，显然这小段时间所走路程
i
s?
可近似表示为
ii
tv?)(?
（
ni,,2,1
） ;
( 3 ) 求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总路程 s 的近似值，即
i
n
i
i
tvs
)(
1;
(4 ) 取极限 当 0m ax
1
ini
t? 时，上述总和的极限就是 s 的精确值，即 i
n
i
i tvs
)(li m
1
0
,
321
xxxa
nn
xx
1
b?,分 ],[ ba 为 n 个小区间
],[
1 ii
xx
),,2,1( ni,记
i
ni
iii
xnixxx
1
1
m a x),,,2,1(,
再在每个小区间 ],[ 1 ii xx? 上任取一点 i?,作乘积 ii xf?)(?
的和式,
定义 设函数 )( xfy? 在 [ ba,] 上有定义，任取分点
,)(
1
i
n
i i
xf
二、定积分的概念如果 0 时,上述极限存在（即，这个极限值与 ],[ ba
的分割及点 i? 的取法均无关），则称此极限值为函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分，记为,)(limd)(
10
i
n
i
i
b
a
xfxxf
其中称 )( xf 为被积函数,xxf d)( 为被积式,x 为积分变量，
],[ ba 为积分区间,ba,分别称为积分下限和上限,
定积分定义的说明,
( 1 ) 定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上,
下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
1
0
2
1
0
2
dd ttxx,一般地，
b
a
b
a
ttfxxf d)(d)(,
( 2 ) 定义中要求积分限 ba?,我们补充如下规定,
当 ba? 时，
b
a
xxf 0d)(,
当
ba?
时，
b
a
a
b
xxfxxf d)(d)(
,
( 3 ) 定积分的存在性：当 )( xf 在
],[ ba
上连续或只有有限个第一类间断点时,)( xf 在
],[ ba
上的定积分存在（也称可积）,
如果 0)(?xf,则 ( ) d 0
b
a
f x x,此时 ( ) d
b
a
f x x?
表示由曲线 ()y f x?,,x a x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A,即
b
a
Axxf d)(,
x O
y
a b
A
y= f ( x
)
三、定积分的几何意义如果 )( xf ≤ 0,则 ( ) d 0
b
a
f x x,此时 ( ) d
b
a
f x x?
表示由曲线 ()y f x?,,x a x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A 的 负值,即 ( ) d
b
a
f x x A,
x O
y
a b
- A
y= f ( x
)
1 2 3( ) d,
b
a f x x A A A
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有正有负时，则 ( ) d
b
a
f x x
表示由曲线 )( xfy?,直线,x a x b
及 x 轴所围成的平面图形的面积位于 x 轴上方的面积减去位于 x 轴下方的面积，如右图所示，即
3
A
) ( x f y?
O a b
x
y
2
A
1
A
性质 1 函数的代数和可逐项积分，即
b
a
b
a
b
a
xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([,
性质 2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面，
即
b
a
b
a
xxfkxxkf d)(d)( （ k 为常数）,
性质 3 （积分区间的分割性质） 若 bca,则
b
a
c
a
b
c
xxfxxfxxf d)(d)(d)(,注：对于 cba,,三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，譬如,cba,则
c
a
b
a
c
b
b
a
b
c
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )()()()()(,
四、定积分的性质
.d)(d)(d)(ba ca bc xxfxxfxxf仍有性质 4 （积分的比较性质） 在,ab 上若 )( xf ≥
g ( x ),则?
b
a
xxf d)( ≥?
b
a
xxg d)(,
性质 5 （积分估值性质） 设 M 与 m 分别是 )( xf 在
,ab 上的最大值与最小值，则
()m b a? ≤?
b
a
xxf d)( ≤ )( abM?,
证 因为 m ≤ )( xf ≤ M （题设）,由性质 4 得
b
a
xm d ≤?
b
a
xxf d)( ≤?
b
a
xM d,再将常数因子提出，并利用 abx
b
a
d,即可得证,
性质 6 （积分中值定理） 如果 )( xf 在ba,上连续，
则至少存在一点ba,,使得
b
a
abfxxf ))((d)(?,
证 将性质 5 中不等式除以 ab?,得
m ≤?
b
a
xxf
ab
d)(
1
≤ M,
设
b
a
xxf
ab
d)(
1
,即 mM,由于 )( xf 为ba,
区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值（这就是连续函数的介值定理）,
因 此在ba,上至少有一点?,使得)(f,即
,)(d)(1 ba fxxfab?
.))((d)(ba abfxxf?
中值定理的几何意义：曲边 )( xfy? 在ba,底上所围成的曲边梯形面积，等于同一底边而高为 )(?f 的一个矩形面积，如下图所示,
O a b x
y
) (? f
) ( x f y?
从几何角度容易看出，数值?
b
a
xxf
ab
d)(
1
表示连续曲线 )( xfy? 在ba,上的平均高度，也就是函数
)( xf 在ba,上的平均值，这是有限个数的平均值概念的拓广,
例 估计定积分 xx de1 1 2 的值,
解 先求
2
e)(
x
xf
在 [ - 1,1 ] 上的最大值和最小值,
因为
2
e2)(
x
xxf
,令 0)( xf,得驻点 x = 0,比较
)( xf 在驻点及区间端点处的函数值
,1e)0(
0
f
e
1
e)1()1(
1
ff,
故最大值 1M?,最小值 m =
e
1
,
由估值性质得，
e
2
≤ x
x
de
1
1
2
≤ 2,
思考题 1,如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推证下列积分的值,(1)
1
1
d xx ; ( 2 ) xxR
R
R
d22?
;
(3)?
π2
0
dc os xx ; ( 4 )?
1
1
d xx,
2,若当 a ≤ x ≤ b,有 )( xf ≤ )( xg,问下面两个式子是否均成立，为什么？
（ 1 ）?
b
a
xxf )( ≤?
b
a
xxg d)( ;
（ 2 ）? xxf d)( ≤?
b
a
xxg d)(,
一,变上限的定积分二,牛顿 -莱布尼茨
（ Newton-Leibniz）公式第二节 微积分基本公式引例 设物体以速度 )( tvv? 作直线运动，要求计算
],[ 21 TT 时间内的路程 s,从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道 [ 21,TT ]
所经过的路程为 2
1
( ) dT
T
v t t?,
若从不定积分概念出 发,则知道函数为
,)(d)( Ctsttv 其中 )()( tvts,于是 [ 21,TT ] 时间内所走路程就是 )()( 12 TsTs?,
综合上述两个方面，得到2
1
)()(d)( 12TT TsTsttv,这个等式表明速度函数 )( tv 在 [ 21
,TT ] 上的定积分,等于其原函数 )( ts 在区间 [ 21,TT ] 上的改变量,那么，这一结论有没有普遍的意义呢？
第二节 微积分基本公式设函数 )( xf 在 [ ba,] 上连续,?x [ ba,],于是积分
x
a
xxf d)( 是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是
x 既表示积分上限，又表示积分变量,为避免混淆，我们把积分变量改写成 t,于是这个积分就写成了?
x
a
ttf d)(,
当 x 在 [ ba,] 上变动时，对应于每一个 x 值,积分
x
a
ttf d)( 就有一个确定的值，因此?
x
a
ttf d)( 是变上限 x 的一个函数，记作 )( xΦ =?
x
a
ttf d)( （ a ≤ x ≤ b ）通常称函数 )( xΦ 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示 ( 见下页 ),
一、变上限的定积分
y
)
(
x
f
y
x O x a b
) ( x Φ 定理 1 如果函数 )( xf 在区间 [ ba,] 上连续，则变上限积分 )( xΦ =?
x
a
ttf d)( 在 [ ba,] 上可导，且其导数是
x
a
xfttf
x
xΦ )(d)(
d
d
)( （ a ≤ x ≤ b ）,
证 当上限 x 获改变量 x?
时，函数 )( xΦ 获得改变量为
.d)( xxx ttfΦ
由积分中值定理得 xfΦ )(? （? 在 x 及 xx 之间）,
)(?f
x
Φ
,再令 0 x,从而 x,由 )( xf 的连续性，
得
0
lim
x
x
Φ
)()(lim xff
x
,即 )()( xfxΦ,证毕,如右图所示,
y
O x a b? x x x
) ( x Φ
φ ( x )
推论 连续函数的原函数一定存在,且函数
)( xΦ =? x
a
ttf d)( 即为其原函数,
例 1 计算 )( xΦ =? x tt0 2 ds in 在 x = 0,2 π 处的导数,
解 因为?
x
tt
x 0
2 ds in
d
d
= 2s in x,故
00s i n)0( 2Φ ；
2
2
4
π
s i n)
2
π
(Φ,
例 2 求下列函数的导数：
(1) xa att txΦ e )0(dln)( ；
解 这里 )( xΦ 是 x 的复合函数，其中中间变量
xu e?,所以按复合函数求导法则,
有 x
x
t
t
t
ux
Φ x
x
xxu
a
e
e
eln
d
)e(d
)d
ln
(
d
d
d
d
,
(2) )0(ds in)( 1 2 xxΦ x,
解
2
1
d
s i n
d
d
d
d x
xx
Φ
)(
s i n 2
2
x
x?
x
x
x
x
x s i n2
2
s i n
2
,
定理 2 设函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，又 )( xF
是 )( xf 的任一个原函数，则有 )()(d)( aFbFxxf
b
a
,
证 由定理 1 知，变上限积分
x
a
ttfxΦ d)()( 也是
)( xf 的一个原函数，于是知
0
)()( CxFxΦ,
0
C 为一常数,即
x
a
CxFttf
0
)(d)(,我们来确定常数 0C 的值，为此，令 ax?,有
a
a
CaFttf 0)(d)(,得 )(0 aFC,
因此有
x
a
aFxFttf )()(d)(,
二,牛顿 -莱布尼茨 （ Newton-Leibniz）公式再令 bx?,得所求积分为
b
a
aFbFttf )()(d)(,
因此积分值与积分变量的记号无关，仍用 x 表示积分变量，即得
b
a
aFbFxxf )()(d)(,其中 )()( xfxF,
上式称为牛顿 - 莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式,为计算方便，该公式常采用下面的格式,
b
a
b
a aFbFxFxxf )()()(d)(,
例 1 求定积分：
( 1)2
1
2
d1 )( xxx ； （ 2 ）3
2
2
1 )1(
d
xx
x ；（ 3 ）?
1
1
2 d xx,
解 （ 1 ）
2
1
2
1
2
2
d)
1
2(d
1
2)(
x
x
xx
x
x
6
5
4)
1
2
3
(
2
1
3
x
xx,
（ 2 ）
3
2
2
1
3
2
2
1
1
1
)1(
d
xxx
x
.
x
1
xd
)(d
)(1
1
2
3
2
2
1
2?
x
x
3
2
2
1
a r c s i n2 x?,3 3 9 8.0)
2
1
ar cs i n
3
2
( ar cs i n2
（ 3 ） xx?
2
在 ]1,1[? 上写成分段函数的形式
,10,
,01,
)(
xx
xx
xf
于是
1
1
0
1
1
0
2
dd)(d xxxxxx
1
0
1
21
0
2
22
xx
,
例 2 计算 2
c o s
1
0
de
lim
2
x
tx t
x
,
解 因为 0?x 时,1co s?x,故本题属
0
0
型未定式,可以用洛必达法则来求,这里
x
t
t
c o s
1
de
2
是 x 的复合函数,其中
xu c o s?
,所以
x
xxt
xxt
x
c o s
1
c o sc o s
222
es in)'( c osede
d
d
,
于是有
x
x
x
x
x
t
x
x
x
x
x
x
t
2
2
2
cos
0
cos
0
2
cos
1
0
e
2
s i n
l i m
2
es i n
l i m
de
l i m
e2
1
e
2
1
1
,
思考题
1,若 2 ds in)( 2xx ttxf,?)( xf
2,在牛顿 - 莱布尼茨公式中，要求被积函数 )( xf 在积分区间 ],[ ba 上连续,问当 )( xf 在 ],[ ba 区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分？
并计算?
2
2
,d)( xxf 其中
.20,12
,01,
,1,10
,12,
)(
2
2
xx
xx
x
xx
xf
一,定积分的换元积分法二,定积分的分部积分法第三节 定积分的积分方法例 1 求40 1 d xx,
解一?
x
x
1
d
tx?令
t
tt
1
d2
t
t
d)
1
1
1(2 Ctt )1ln(2
回代
Cxx ]1ln[2
于是
4
0
4
0
)]1l n ([2
1
d
xx
x
x
=
3ln24?,
第三节 定积分的积分方法一、定积分的换元积分法解二 设 tx?,即 )0(
2
ttx,
当 0?x 时,0?t ; 当 4?x 时,2?t,
于是
)3ln2(2)1ln(2d)
1
1
1(2
1
d2
1
d4
0
2
0
2
0
2
0
ttt
tt
tt
x
x
,
上述方法，要求求得的不定积分、变量必须还原，但是，在计算定积分时，这一步实际上可以省去，这只要将原来变量 x 的上、下限按照所用的代换式 )( tx 换成新变量 t 的相应上、下限即可,本题可用下面方法来解,
解二要比解一来得简单一些，因为它省掉了变量回代的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的,
以后在定积分使用换元法时，就按照这种换元同时变换上下限的方法来作,
一般地，定积分换元法可叙述如下,
设 )( xf 在 ],[ ba 上连续,而 )( xx 满足下列条件,
（ 1 ） )( tx 在 ],[ 上有连续导数；
（ 2 ） ba )(,)(,且当 t 在 ],[ 上变化时,)( tx 的值在 ],[ ba 上变化，则有换元公式,
tttfxxf
b
a
d)()]([d)(,
上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积,应用中，我们强调指出：换元必须换限,（原）上限对（新）上限，（原）下限对
（新）下限,
例 2 求2ln0 d1e xx,
解 设 t
x
1e,即 t
t
t
xtx d
1
2
d),1l n (
2
2
,
换积分限：当 0?x 时,0?t,
当 2ln?x 时,1?t,于是
1
0
2
2ln
0
1
0
2
d)
1
1
1(2d
1
2
d1e t
t
t
t
t
tx
x
2
π
2)ar ct an(2
1
0
tt,
例 3 求 xx axaa d2 4
22
,
解 设 tax s ec?,则 tttax dt ans ecd?,
换积分限,当 ax? 时,0?t ; ax 2? 时，
3
π
t,于是
3
π
0
44
2
4
22
dt a ns e c
s e c
t a n
d ttta
ta
ta
x
x
axa
a
= ttt
a
dc o ss i n
1
2
3
π
0
2?
π
2
3
2
0
1
s i n d (si n )tt
a
2
1
a
,
0
3
π3
3
s i n t
2
8
3
a
,
例 4 求 2
π
0 s in1
d
x
xI,
解一 （换元法）令
22
1
d2
d,
1
2
s in,
2
ta n
t
t
x
t
t
x
x
t
,
所以，当 0?x 时,0?t ；当
2
π
x 时,1?t,于是
1
1
2
)1(
d
2d
21
2
0
11
0
2
1
0
2
tt
t
t
tt
I,
解二 （凑微分法）
2
π
0
2
π
0
222
2
c o s)1
2
( t a n
d
)
2
c o s
2
( s i n
d
xx
x
xx
x
I
ππ
22
0
2 0
d ta n
12
2 2 1
( ta n 1 ) ta n 1
22
x
xx
,
注意,求定积分一定要注意定积分的存在性,
例 5 设 )( xf 在对称区间 [ aa,? ] 上连续，试证明
a
a
a
xxf
xxf
,0
,d)(2
d)( 0
.)(
,)(
为奇函数时当为偶函数时当
xf
xf
证 因为
a
a
a
a
xxfxxfxxf
0
0
d)(d)(d)( 对积分?
0
d)(
a
xxf 作变量代换 tx,由定积分换元法，得
00
00
( ) d ( ) d ( ) d ( ) d
aa
aa
f x x f t t f t t f x x
,于是
a
a
a a a
xxfxfxxfxxfxxf
0 0 0
d)]()([d)(d)(d)(,
（ 1 ）若 )( xf 为偶函数,即 )()( xfxf,由上式得
a
a
a
xxfxxf
0
d)(2d)( ;
（ 2 ）若 )( xf 为奇函数,即 )()( xfxf,有
0)()( xfxf,则 0d)(
a
a
xxf,
该题几何意义是很明显的，如图所示,
O a x
y
- a
O
a?
a x
y
例 6 证明2
π
0
2
π
0 d)( c o sd)( s in xxfxxf,
证 令 tx
2
π
,换积分限,
当 0?x 时,t =
2
π； x =
2
π
时,0?t,于是
2
π
0
0
2
π
d)]
2
π
[ s i n (d)( s i n ttfxxf
2
π
0
2
π
0
d)( cosd)( cos xxfttf,
设 )( xu,)( xv 在 [ a,b ] 上有连续导数，则有
b
a
b
a
a
b
uvuvvu dd,
该 公式 称为 定积分 分部 积分 公式,使用 该 公式 时 要注意,把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分,这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些,
二、定积分的分部积分法例 7 求 xxx dc o s2π0 2?,
解
2
π
0
2
π
0
22
)( s i nddcos xxxxx
2
π
0
0
2
π
2
ds i n2s i n xxxxx
2
0
2
π
0
0
2
π22
dc os2c os2
4
π
)( c osd2
4
π
xxxxxx
2
4
π
s i n2
4
π
2
0
2
π2
x,
例 8 求? e
e
1 dln xx,
解
e
e
1
e
1
1
e
1
dlndlndln xxxxxx,因为 1
e
1
x 时,
0ln?x,这时 xx lnln ; x ≥ 1 时,xln ≥ 0,这时 xx lnln?,
于是
e
e
1
1
e
1
e
1
dlndlndln xxxxxx,分别用分部积分求右端两个积分得
1
e
1
1
e
1
e
1
1
e
1
1
e
2
1
e
1
ln
e
1
d
1
lndln xx
x
xxxxx,
e
1
1
e
1
e
1lndln xxxxx,
最后得?
e
e
1
e
2
2dln xx
,
例 9 计算2 2 32 d)4()2( xxx,
解 因为积分区间 [ - 2,2] 为对称区间，考查被积函数有否奇偶性，于是有
2
2
32
d)4()2( xxxI
2
2
32
2
2
32
d)4(2d)4( xxxxx
2
0
32
d)4(40 xx,
用换元法，令
ttxtx dco s2d,s i n2
,则
tttttI dc os64dc os2)c os2(4
2
π
0
2
π
0
43
π12
2
π
2
1
4
3
64
,
思考题
2,下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果,
（ 1 ） xxxxxx ds i n)( cosdcoscos
2
π
2
π
2
1
2
π
2
π
3
2
π
2
π
2
1
)c o sd()( c o s xx
0c os
3
2
2
π
2
π
2
3
x,
1,定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？
( 2)
1
1
2
1
1
2
)s i nd()( s i n1d1 ttxx
1
1
dc osc os ttt
1
1
1
0
22
d)( cos2d)( cos tttt
1
0
d
2
2c os1
2 t
t
0
1
)2s i n
2
1
( tt
2s i n
2
1
1,
一,无穷区间上的广义积分二,无界函数的广义积分第四节 广 义 积 分定义 1 设函数 )( xf 在 [,a ] 上连续，取 ab?,我们把极限?
b
ab
xxf d)(lim 称为 )( xf 在 [,a ] 上的广义积分，记为
b
aba
xxfxxf d)(l i md)(,
若极限存在，称广义积分?
a
xxf d)( 收敛；若极限不存在，则称?
a
xxf d)( 发散,
第四节 广 义 积 分一、无穷区间上的广义积分类似地，可定义 )( xf 在 ( ],b 上的广义积分为
b
a
b
a
xxfxxf d)(l i md)(,
)( xf 在 (,) 上的广义积分 为
c
c
xxfxxfxxf d)(d)(d)(,
其中 c 为任意实数（譬如取 0?c ），当右端两个广义积分都收敛时，广义积分?
xxf d)( 才是收敛的，否则是发散的,
例 1 求 xx de0,解 )e(limdelimde 000
bxb
b
x
b
x xx?
l i m ( e 1 ) 1b
b
,
为了书写简便，实际运算过程中常常省去极限记号，
而形式地把? 当成一个“数”,直接利用牛顿 - 莱布尼茨公式的 格式 进行 计算,
)()()(d)( aFFxFxxf
a
a
,
)()()(d)(
FFxFxxf,
其中 )( xF 为 )( xf 的原函数，记号 )(F 应理解为极限运算,)(lim)( xFF
x
,
例 2 讨论2 lnd xx x 的敛散性,解
22 2
lnln
ln
)( lnd
ln
d x
x
x
xx
x,所以
2 ln
d
xx
x
发散,例 3 计算下列积分,
（ 1 ）?
21
d
x
x ; （ 2 ）
0
ed ttt
,
解 （ 1 ）
π)2
π(
2
πa r c ta n
1
d
2 xx
x,
解 (2)
0 0
)e(dde
tt
ttt
0
0
dee tt
tt
1ede
0
0
tt
t,
注意,在
0
e
t
t 中 t 用 代替，实际是计算极限
0
e
1
lim
e
limelim
t
t
t
t
t
t
t
t,
例 4 讨论a p xx d1 的敛散性（ a >0 ）,
解
（ 1 ）当 1?p 时，
1
1
d1
1 ( 1 )
p
ppa
a
xx
x p p a
( 收敛 );
（ 2 ）当 1?p 时,?
a
p
x
xd
=?
a a
x
x
x
ln
d
( 发散 );
（ 3 ）当 1?p 时,?
a a
p
p
x
px
x 1
1
1d
（发散）,
综上,?
a
p
p
p
p
apx
x,)(1,
),(1,
)1(
1
d1 1
发散收敛定义 2 设 )( xf 在（ ],ba 上连续,且
)(l i m xf
ax
,取
0,称极限?
b
a
xxf
d)(l i m
0
为 )( xf 在 ( ],ba 上的广义积分，
记为
b
a
b
a
xxfxxf
d)(l i md)(
0
,
若该极限存在，则称广义积分?
b
a
xxf d)( 收 敛；若极限不存在，则称?
b
a
xxf d)( 发散,
二、被积函数有无穷间断点的广义积分类似地，当 bx? 为 )( xf 的无穷间断点时，即
)(lim xf
bx
,)( xf 在 [ ),ba 上的广义积分定义为,取
,0
b
a
b
a
xxfxxf d)(limd)(
0
,
当无穷间断点 cx? 位于区间 [,]ab 内部时,则定义广义积分?
b
a
xxf d)( 为,
b
c
c
a
b
a
xxfxxfxxf d)(d)(d)(,
注意,上式右端两个积分均为广义积分，仅当这两个广义积分都收敛时，才称?
b
a
xxf d)( 是收敛的，否则，称
b
a
xxf d)( 是发散的,
上述无界函数的广义积分也称为瑕积分,
例 5 求积分（ 1 ）a axa x0 22 )0(d ; （ 2 ） xx dln10?,
解 （ 1 ） ax? 为被积函数的无穷间断点（又叫瑕点），
于是
2 2 2 200 00 0
dd
l i m l i m a rc s i n
aa ax x x
aa x a x
0
π
l i m a r c si n
2
a
a?
,
（ 2 ）?
1
0
dln xx 这里下限 0?x 是被积函数的瑕点，于是
1 1 11
0 00
l n d l i m l n d l i m ( l n d )x x x x x x x
0
l i m ( l n 1 ) 1
,
注：
0 0 0
2
1
ln
l im l n l im l im 0
11
( 洛必达法则 ),
例 6 讨论20 2)1( dx x 的收敛性,
解 在 [0,2] 内部有被积函数的瑕点 1?x,所以有
2
0
1
0
2
1
222
)1(
d
)1(
d
)1(
d
x
x
x
x
x
x
（让瑕点在小区间端点处）
1
2
2
12
12
2
01
00
dd
l i m l i m
( 1 ) ( 1 )
xx
x x
1
12
2
21
00 10
11
l i m ( ) l i m ( )
11xx
12
00
12
11
l im ( 1 ) l im ( 1 )
( 不存在 ),
所以?
2
0
2
)1(
d
x
x
发散,
例 7 讨论? 10 d qx x 的敛散性,
解 0?x 是被积函数的瑕点,
(1) 当 q <1 时,
1 1
11
0
00
d 1 1 1
l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )
1 1 1
qq
q
x
x
x q q q
收敛 ;
(2) 当 q >1 时,
1
1
1
0
0
1
0
d
l i m
1
1
l i m ( 1 )
1
()
q
q
q
xx
xq
q
发散;
(3) 当 q =1 时,
11 1
0 0 0 0
dd
l i m l i m ( l n ) l i m ( l n ) ( )
xx
x
xx
发散 ;
故?
1
0
d
q
x
x
当 q <1 时收敛于
q?1
1
，当 q ≥ 1 时发散,
思考题 1,下列解法是否正确？为什么？
2
1 1
2
2ln1ln2lnlnd1 xx
x
,
2,指出下面广义积分的 错误,
0 0
0
elimdelimde
b
b
x
b
x
b
x xx
101)e1(l i m
b
b
,
1,曲边梯形的面积曲边梯形,若图形的三条边是直线段,其中有两条垂直于第三条底边,而其第四条边是曲线,这样的图形称为曲边梯形,如左下图所示,
y
O
M P
Q
N
B xC
AA推广为一、定积分的实际背景曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y
轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了,如下图所示：
0x 1x 2x xnO x
y
y = f (x)
0x = a xn =b
曲边梯形面积的确定步骤,
( 1 ) 分割 任取分点 bxxxxxa
nn
1210
,
把底边 [ a,b ] 分成 n 个小区间 [
1
x,
2
x ]( ),,2,1 ni,
小区间长度记为 );,,2,1(
1
nixxx
iii
(2) 取近似 在每个小区间 [
ii
xx,
1?
] 上任取一点
i
竖起高线
)(
i
f?
,则得小长条面积
i
A?
的近似值为
iii
xfA )(?
(
ni,,2,1
) ;
(3) 求和 把 n 个小矩形面积相加 ( 即阶梯形面积 )
就得到曲边梯形面积 A 的近似值
i
n
i
inn
xfxfxfxf
)()()()(
1
2211
;
(4) 取极限 令小区间长度的最大值
i
ni
x
1
m ax?
趋于零,则和式
i
n
i
i
xf?
)(
1
的极限就是曲边梯形面积 A
的精确值，即
0
1
l i m ( ),
n
ii
i
A f x
2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 [ 21,TT ] 上的连续函数，且 )( tv ≥ 0,要计算这段时间内所走的路程,解决这个问题的思路和步骤 与 上例类似,
( 1 ) 分割 任取分点
212101
TtttttT
nn
,把
[
21
,TT ] 分成 n 个小段，每小段长为
1?
iii
ttt （ ni,,2,1 ） ;
( 2 ) 取近似 把每小段 [
ii
tt,
1?
] 上的运动视为匀速，
任取时刻
iii
tt,
1?
，作乘积
ii
tv?)(?
，显然这小段时间所走路程
i
s?
可近似表示为
ii
tv?)(?
（
ni,,2,1
） ;
( 3 ) 求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总路程 s 的近似值，即
i
n
i
i
tvs
)(
1;
(4 ) 取极限 当 0m ax
1
ini
t? 时，上述总和的极限就是 s 的精确值，即 i
n
i
i tvs
)(li m
1
0
,
321
xxxa
nn
xx
1
b?,分 ],[ ba 为 n 个小区间
],[
1 ii
xx
),,2,1( ni,记
i
ni
iii
xnixxx
1
1
m a x),,,2,1(,
再在每个小区间 ],[ 1 ii xx? 上任取一点 i?,作乘积 ii xf?)(?
的和式,
定义 设函数 )( xfy? 在 [ ba,] 上有定义，任取分点
,)(
1
i
n
i i
xf
二、定积分的概念如果 0 时,上述极限存在（即，这个极限值与 ],[ ba
的分割及点 i? 的取法均无关），则称此极限值为函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分，记为,)(limd)(
10
i
n
i
i
b
a
xfxxf
其中称 )( xf 为被积函数,xxf d)( 为被积式,x 为积分变量，
],[ ba 为积分区间,ba,分别称为积分下限和上限,
定积分定义的说明,
( 1 ) 定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上,
下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
1
0
2
1
0
2
dd ttxx,一般地，
b
a
b
a
ttfxxf d)(d)(,
( 2 ) 定义中要求积分限 ba?,我们补充如下规定,
当 ba? 时，
b
a
xxf 0d)(,
当
ba?
时，
b
a
a
b
xxfxxf d)(d)(
,
( 3 ) 定积分的存在性：当 )( xf 在
],[ ba
上连续或只有有限个第一类间断点时,)( xf 在
],[ ba
上的定积分存在（也称可积）,
如果 0)(?xf,则 ( ) d 0
b
a
f x x,此时 ( ) d
b
a
f x x?
表示由曲线 ()y f x?,,x a x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A,即
b
a
Axxf d)(,
x O
y
a b
A
y= f ( x
)
三、定积分的几何意义如果 )( xf ≤ 0,则 ( ) d 0
b
a
f x x,此时 ( ) d
b
a
f x x?
表示由曲线 ()y f x?,,x a x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A 的 负值,即 ( ) d
b
a
f x x A,
x O
y
a b
- A
y= f ( x
)
1 2 3( ) d,
b
a f x x A A A
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有正有负时，则 ( ) d
b
a
f x x
表示由曲线 )( xfy?,直线,x a x b
及 x 轴所围成的平面图形的面积位于 x 轴上方的面积减去位于 x 轴下方的面积，如右图所示，即
3
A
) ( x f y?
O a b
x
y
2
A
1
A
性质 1 函数的代数和可逐项积分，即
b
a
b
a
b
a
xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([,
性质 2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面，
即
b
a
b
a
xxfkxxkf d)(d)( （ k 为常数）,
性质 3 （积分区间的分割性质） 若 bca,则
b
a
c
a
b
c
xxfxxfxxf d)(d)(d)(,注：对于 cba,,三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，譬如,cba,则
c
a
b
a
c
b
b
a
b
c
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )()()()()(,
四、定积分的性质
.d)(d)(d)(ba ca bc xxfxxfxxf仍有性质 4 （积分的比较性质） 在,ab 上若 )( xf ≥
g ( x ),则?
b
a
xxf d)( ≥?
b
a
xxg d)(,
性质 5 （积分估值性质） 设 M 与 m 分别是 )( xf 在
,ab 上的最大值与最小值，则
()m b a? ≤?
b
a
xxf d)( ≤ )( abM?,
证 因为 m ≤ )( xf ≤ M （题设）,由性质 4 得
b
a
xm d ≤?
b
a
xxf d)( ≤?
b
a
xM d,再将常数因子提出，并利用 abx
b
a
d,即可得证,
性质 6 （积分中值定理） 如果 )( xf 在ba,上连续，
则至少存在一点ba,,使得
b
a
abfxxf ))((d)(?,
证 将性质 5 中不等式除以 ab?,得
m ≤?
b
a
xxf
ab
d)(
1
≤ M,
设
b
a
xxf
ab
d)(
1
,即 mM,由于 )( xf 为ba,
区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值（这就是连续函数的介值定理）,
因 此在ba,上至少有一点?,使得)(f,即
,)(d)(1 ba fxxfab?
.))((d)(ba abfxxf?
中值定理的几何意义：曲边 )( xfy? 在ba,底上所围成的曲边梯形面积，等于同一底边而高为 )(?f 的一个矩形面积，如下图所示,
O a b x
y
) (? f
) ( x f y?
从几何角度容易看出，数值?
b
a
xxf
ab
d)(
1
表示连续曲线 )( xfy? 在ba,上的平均高度，也就是函数
)( xf 在ba,上的平均值，这是有限个数的平均值概念的拓广,
例 估计定积分 xx de1 1 2 的值,
解 先求
2
e)(
x
xf
在 [ - 1,1 ] 上的最大值和最小值,
因为
2
e2)(
x
xxf
,令 0)( xf,得驻点 x = 0,比较
)( xf 在驻点及区间端点处的函数值
,1e)0(
0
f
e
1
e)1()1(
1
ff,
故最大值 1M?,最小值 m =
e
1
,
由估值性质得，
e
2
≤ x
x
de
1
1
2
≤ 2,
思考题 1,如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推证下列积分的值,(1)
1
1
d xx ; ( 2 ) xxR
R
R
d22?
;
(3)?
π2
0
dc os xx ; ( 4 )?
1
1
d xx,
2,若当 a ≤ x ≤ b,有 )( xf ≤ )( xg,问下面两个式子是否均成立，为什么？
（ 1 ）?
b
a
xxf )( ≤?
b
a
xxg d)( ;
（ 2 ）? xxf d)( ≤?
b
a
xxg d)(,
一,变上限的定积分二,牛顿 -莱布尼茨
（ Newton-Leibniz）公式第二节 微积分基本公式引例 设物体以速度 )( tvv? 作直线运动，要求计算
],[ 21 TT 时间内的路程 s,从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道 [ 21,TT ]
所经过的路程为 2
1
( ) dT
T
v t t?,
若从不定积分概念出 发,则知道函数为
,)(d)( Ctsttv 其中 )()( tvts,于是 [ 21,TT ] 时间内所走路程就是 )()( 12 TsTs?,
综合上述两个方面，得到2
1
)()(d)( 12TT TsTsttv,这个等式表明速度函数 )( tv 在 [ 21
,TT ] 上的定积分,等于其原函数 )( ts 在区间 [ 21,TT ] 上的改变量,那么，这一结论有没有普遍的意义呢？
第二节 微积分基本公式设函数 )( xf 在 [ ba,] 上连续,?x [ ba,],于是积分
x
a
xxf d)( 是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是
x 既表示积分上限，又表示积分变量,为避免混淆，我们把积分变量改写成 t,于是这个积分就写成了?
x
a
ttf d)(,
当 x 在 [ ba,] 上变动时，对应于每一个 x 值,积分
x
a
ttf d)( 就有一个确定的值，因此?
x
a
ttf d)( 是变上限 x 的一个函数，记作 )( xΦ =?
x
a
ttf d)( （ a ≤ x ≤ b ）通常称函数 )( xΦ 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示 ( 见下页 ),
一、变上限的定积分
y
)
(
x
f
y
x O x a b
) ( x Φ 定理 1 如果函数 )( xf 在区间 [ ba,] 上连续，则变上限积分 )( xΦ =?
x
a
ttf d)( 在 [ ba,] 上可导，且其导数是
x
a
xfttf
x
xΦ )(d)(
d
d
)( （ a ≤ x ≤ b ）,
证 当上限 x 获改变量 x?
时，函数 )( xΦ 获得改变量为
.d)( xxx ttfΦ
由积分中值定理得 xfΦ )(? （? 在 x 及 xx 之间）,
)(?f
x
Φ
,再令 0 x,从而 x,由 )( xf 的连续性，
得
0
lim
x
x
Φ
)()(lim xff
x
,即 )()( xfxΦ,证毕,如右图所示,
y
O x a b? x x x
) ( x Φ
φ ( x )
推论 连续函数的原函数一定存在,且函数
)( xΦ =? x
a
ttf d)( 即为其原函数,
例 1 计算 )( xΦ =? x tt0 2 ds in 在 x = 0,2 π 处的导数,
解 因为?
x
tt
x 0
2 ds in
d
d
= 2s in x,故
00s i n)0( 2Φ ；
2
2
4
π
s i n)
2
π
(Φ,
例 2 求下列函数的导数：
(1) xa att txΦ e )0(dln)( ；
解 这里 )( xΦ 是 x 的复合函数，其中中间变量
xu e?,所以按复合函数求导法则,
有 x
x
t
t
t
ux
Φ x
x
xxu
a
e
e
eln
d
)e(d
)d
ln
(
d
d
d
d
,
(2) )0(ds in)( 1 2 xxΦ x,
解
2
1
d
s i n
d
d
d
d x
xx
Φ
)(
s i n 2
2
x
x?
x
x
x
x
x s i n2
2
s i n
2
,
定理 2 设函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，又 )( xF
是 )( xf 的任一个原函数，则有 )()(d)( aFbFxxf
b
a
,
证 由定理 1 知，变上限积分
x
a
ttfxΦ d)()( 也是
)( xf 的一个原函数，于是知
0
)()( CxFxΦ,
0
C 为一常数,即
x
a
CxFttf
0
)(d)(,我们来确定常数 0C 的值，为此，令 ax?,有
a
a
CaFttf 0)(d)(,得 )(0 aFC,
因此有
x
a
aFxFttf )()(d)(,
二,牛顿 -莱布尼茨 （ Newton-Leibniz）公式再令 bx?,得所求积分为
b
a
aFbFttf )()(d)(,
因此积分值与积分变量的记号无关，仍用 x 表示积分变量，即得
b
a
aFbFxxf )()(d)(,其中 )()( xfxF,
上式称为牛顿 - 莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式,为计算方便，该公式常采用下面的格式,
b
a
b
a aFbFxFxxf )()()(d)(,
例 1 求定积分：
( 1)2
1
2
d1 )( xxx ； （ 2 ）3
2
2
1 )1(
d
xx
x ；（ 3 ）?
1
1
2 d xx,
解 （ 1 ）
2
1
2
1
2
2
d)
1
2(d
1
2)(
x
x
xx
x
x
6
5
4)
1
2
3
(
2
1
3
x
xx,
（ 2 ）
3
2
2
1
3
2
2
1
1
1
)1(
d
xxx
x
.
x
1
xd
)(d
)(1
1
2
3
2
2
1
2?
x
x
3
2
2
1
a r c s i n2 x?,3 3 9 8.0)
2
1
ar cs i n
3
2
( ar cs i n2
（ 3 ） xx?
2
在 ]1,1[? 上写成分段函数的形式
,10,
,01,
)(
xx
xx
xf
于是
1
1
0
1
1
0
2
dd)(d xxxxxx
1
0
1
21
0
2
22
xx
,
例 2 计算 2
c o s
1
0
de
lim
2
x
tx t
x
,
解 因为 0?x 时,1co s?x,故本题属
0
0
型未定式,可以用洛必达法则来求,这里
x
t
t
c o s
1
de
2
是 x 的复合函数,其中
xu c o s?
,所以
x
xxt
xxt
x
c o s
1
c o sc o s
222
es in)'( c osede
d
d
,
于是有
x
x
x
x
x
t
x
x
x
x
x
x
t
2
2
2
cos
0
cos
0
2
cos
1
0
e
2
s i n
l i m
2
es i n
l i m
de
l i m
e2
1
e
2
1
1
,
思考题
1,若 2 ds in)( 2xx ttxf,?)( xf
2,在牛顿 - 莱布尼茨公式中，要求被积函数 )( xf 在积分区间 ],[ ba 上连续,问当 )( xf 在 ],[ ba 区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分？
并计算?
2
2
,d)( xxf 其中
.20,12
,01,
,1,10
,12,
)(
2
2
xx
xx
x
xx
xf
一,定积分的换元积分法二,定积分的分部积分法第三节 定积分的积分方法例 1 求40 1 d xx,
解一?
x
x
1
d
tx?令
t
tt
1
d2
t
t
d)
1
1
1(2 Ctt )1ln(2
回代
Cxx ]1ln[2
于是
4
0
4
0
)]1l n ([2
1
d
xx
x
x
=
3ln24?,
第三节 定积分的积分方法一、定积分的换元积分法解二 设 tx?,即 )0(
2
ttx,
当 0?x 时,0?t ; 当 4?x 时,2?t,
于是
)3ln2(2)1ln(2d)
1
1
1(2
1
d2
1
d4
0
2
0
2
0
2
0
ttt
tt
tt
x
x
,
上述方法，要求求得的不定积分、变量必须还原，但是，在计算定积分时，这一步实际上可以省去，这只要将原来变量 x 的上、下限按照所用的代换式 )( tx 换成新变量 t 的相应上、下限即可,本题可用下面方法来解,
解二要比解一来得简单一些，因为它省掉了变量回代的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的,
以后在定积分使用换元法时，就按照这种换元同时变换上下限的方法来作,
一般地，定积分换元法可叙述如下,
设 )( xf 在 ],[ ba 上连续,而 )( xx 满足下列条件,
（ 1 ） )( tx 在 ],[ 上有连续导数；
（ 2 ） ba )(,)(,且当 t 在 ],[ 上变化时,)( tx 的值在 ],[ ba 上变化，则有换元公式,
tttfxxf
b
a
d)()]([d)(,
上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积,应用中，我们强调指出：换元必须换限,（原）上限对（新）上限，（原）下限对
（新）下限,
例 2 求2ln0 d1e xx,
解 设 t
x
1e,即 t
t
t
xtx d
1
2
d),1l n (
2
2
,
换积分限：当 0?x 时,0?t,
当 2ln?x 时,1?t,于是
1
0
2
2ln
0
1
0
2
d)
1
1
1(2d
1
2
d1e t
t
t
t
t
tx
x
2
π
2)ar ct an(2
1
0
tt,
例 3 求 xx axaa d2 4
22
,
解 设 tax s ec?,则 tttax dt ans ecd?,
换积分限,当 ax? 时,0?t ; ax 2? 时，
3
π
t,于是
3
π
0
44
2
4
22
dt a ns e c
s e c
t a n
d ttta
ta
ta
x
x
axa
a
= ttt
a
dc o ss i n
1
2
3
π
0
2?
π
2
3
2
0
1
s i n d (si n )tt
a
2
1
a
,
0
3
π3
3
s i n t
2
8
3
a
,
例 4 求 2
π
0 s in1
d
x
xI,
解一 （换元法）令
22
1
d2
d,
1
2
s in,
2
ta n
t
t
x
t
t
x
x
t
,
所以，当 0?x 时,0?t ；当
2
π
x 时,1?t,于是
1
1
2
)1(
d
2d
21
2
0
11
0
2
1
0
2
tt
t
t
tt
I,
解二 （凑微分法）
2
π
0
2
π
0
222
2
c o s)1
2
( t a n
d
)
2
c o s
2
( s i n
d
xx
x
xx
x
I
ππ
22
0
2 0
d ta n
12
2 2 1
( ta n 1 ) ta n 1
22
x
xx
,
注意,求定积分一定要注意定积分的存在性,
例 5 设 )( xf 在对称区间 [ aa,? ] 上连续，试证明
a
a
a
xxf
xxf
,0
,d)(2
d)( 0
.)(
,)(
为奇函数时当为偶函数时当
xf
xf
证 因为
a
a
a
a
xxfxxfxxf
0
0
d)(d)(d)( 对积分?
0
d)(
a
xxf 作变量代换 tx,由定积分换元法，得
00
00
( ) d ( ) d ( ) d ( ) d
aa
aa
f x x f t t f t t f x x
,于是
a
a
a a a
xxfxfxxfxxfxxf
0 0 0
d)]()([d)(d)(d)(,
（ 1 ）若 )( xf 为偶函数,即 )()( xfxf,由上式得
a
a
a
xxfxxf
0
d)(2d)( ;
（ 2 ）若 )( xf 为奇函数,即 )()( xfxf,有
0)()( xfxf,则 0d)(
a
a
xxf,
该题几何意义是很明显的，如图所示,
O a x
y
- a
O
a?
a x
y
例 6 证明2
π
0
2
π
0 d)( c o sd)( s in xxfxxf,
证 令 tx
2
π
,换积分限,
当 0?x 时,t =
2
π； x =
2
π
时,0?t,于是
2
π
0
0
2
π
d)]
2
π
[ s i n (d)( s i n ttfxxf
2
π
0
2
π
0
d)( cosd)( cos xxfttf,
设 )( xu,)( xv 在 [ a,b ] 上有连续导数，则有
b
a
b
a
a
b
uvuvvu dd,
该 公式 称为 定积分 分部 积分 公式,使用 该 公式 时 要注意,把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分,这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些,
二、定积分的分部积分法例 7 求 xxx dc o s2π0 2?,
解
2
π
0
2
π
0
22
)( s i nddcos xxxxx
2
π
0
0
2
π
2
ds i n2s i n xxxxx
2
0
2
π
0
0
2
π22
dc os2c os2
4
π
)( c osd2
4
π
xxxxxx
2
4
π
s i n2
4
π
2
0
2
π2
x,
例 8 求? e
e
1 dln xx,
解
e
e
1
e
1
1
e
1
dlndlndln xxxxxx,因为 1
e
1
x 时,
0ln?x,这时 xx lnln ; x ≥ 1 时,xln ≥ 0,这时 xx lnln?,
于是
e
e
1
1
e
1
e
1
dlndlndln xxxxxx,分别用分部积分求右端两个积分得
1
e
1
1
e
1
e
1
1
e
1
1
e
2
1
e
1
ln
e
1
d
1
lndln xx
x
xxxxx,
e
1
1
e
1
e
1lndln xxxxx,
最后得?
e
e
1
e
2
2dln xx
,
例 9 计算2 2 32 d)4()2( xxx,
解 因为积分区间 [ - 2,2] 为对称区间，考查被积函数有否奇偶性，于是有
2
2
32
d)4()2( xxxI
2
2
32
2
2
32
d)4(2d)4( xxxxx
2
0
32
d)4(40 xx,
用换元法，令
ttxtx dco s2d,s i n2
,则
tttttI dc os64dc os2)c os2(4
2
π
0
2
π
0
43
π12
2
π
2
1
4
3
64
,
思考题
2,下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果,
（ 1 ） xxxxxx ds i n)( cosdcoscos
2
π
2
π
2
1
2
π
2
π
3
2
π
2
π
2
1
)c o sd()( c o s xx
0c os
3
2
2
π
2
π
2
3
x,
1,定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？
( 2)
1
1
2
1
1
2
)s i nd()( s i n1d1 ttxx
1
1
dc osc os ttt
1
1
1
0
22
d)( cos2d)( cos tttt
1
0
d
2
2c os1
2 t
t
0
1
)2s i n
2
1
( tt
2s i n
2
1
1,
一,无穷区间上的广义积分二,无界函数的广义积分第四节 广 义 积 分定义 1 设函数 )( xf 在 [,a ] 上连续，取 ab?,我们把极限?
b
ab
xxf d)(lim 称为 )( xf 在 [,a ] 上的广义积分，记为
b
aba
xxfxxf d)(l i md)(,
若极限存在，称广义积分?
a
xxf d)( 收敛；若极限不存在，则称?
a
xxf d)( 发散,
第四节 广 义 积 分一、无穷区间上的广义积分类似地，可定义 )( xf 在 ( ],b 上的广义积分为
b
a
b
a
xxfxxf d)(l i md)(,
)( xf 在 (,) 上的广义积分 为
c
c
xxfxxfxxf d)(d)(d)(,
其中 c 为任意实数（譬如取 0?c ），当右端两个广义积分都收敛时，广义积分?
xxf d)( 才是收敛的，否则是发散的,
例 1 求 xx de0,解 )e(limdelimde 000
bxb
b
x
b
x xx?
l i m ( e 1 ) 1b
b
,
为了书写简便，实际运算过程中常常省去极限记号，
而形式地把? 当成一个“数”,直接利用牛顿 - 莱布尼茨公式的 格式 进行 计算,
)()()(d)( aFFxFxxf
a
a
,
)()()(d)(
FFxFxxf,
其中 )( xF 为 )( xf 的原函数，记号 )(F 应理解为极限运算,)(lim)( xFF
x
,
例 2 讨论2 lnd xx x 的敛散性,解
22 2
lnln
ln
)( lnd
ln
d x
x
x
xx
x,所以
2 ln
d
xx
x
发散,例 3 计算下列积分,
（ 1 ）?
21
d
x
x ; （ 2 ）
0
ed ttt
,
解 （ 1 ）
π)2
π(
2
πa r c ta n
1
d
2 xx
x,
解 (2)
0 0
)e(dde
tt
ttt
0
0
dee tt
tt
1ede
0
0
tt
t,
注意,在
0
e
t
t 中 t 用 代替，实际是计算极限
0
e
1
lim
e
limelim
t
t
t
t
t
t
t
t,
例 4 讨论a p xx d1 的敛散性（ a >0 ）,
解
（ 1 ）当 1?p 时，
1
1
d1
1 ( 1 )
p
ppa
a
xx
x p p a
( 收敛 );
（ 2 ）当 1?p 时,?
a
p
x
xd
=?
a a
x
x
x
ln
d
( 发散 );
（ 3 ）当 1?p 时,?
a a
p
p
x
px
x 1
1
1d
（发散）,
综上,?
a
p
p
p
p
apx
x,)(1,
),(1,
)1(
1
d1 1
发散收敛定义 2 设 )( xf 在（ ],ba 上连续,且
)(l i m xf
ax
,取
0,称极限?
b
a
xxf
d)(l i m
0
为 )( xf 在 ( ],ba 上的广义积分，
记为
b
a
b
a
xxfxxf
d)(l i md)(
0
,
若该极限存在，则称广义积分?
b
a
xxf d)( 收 敛；若极限不存在，则称?
b
a
xxf d)( 发散,
二、被积函数有无穷间断点的广义积分类似地，当 bx? 为 )( xf 的无穷间断点时，即
)(lim xf
bx
,)( xf 在 [ ),ba 上的广义积分定义为,取
,0
b
a
b
a
xxfxxf d)(limd)(
0
,
当无穷间断点 cx? 位于区间 [,]ab 内部时,则定义广义积分?
b
a
xxf d)( 为,
b
c
c
a
b
a
xxfxxfxxf d)(d)(d)(,
注意,上式右端两个积分均为广义积分，仅当这两个广义积分都收敛时，才称?
b
a
xxf d)( 是收敛的，否则，称
b
a
xxf d)( 是发散的,
上述无界函数的广义积分也称为瑕积分,
例 5 求积分（ 1 ）a axa x0 22 )0(d ; （ 2 ） xx dln10?,
解 （ 1 ） ax? 为被积函数的无穷间断点（又叫瑕点），
于是
2 2 2 200 00 0
dd
l i m l i m a rc s i n
aa ax x x
aa x a x
0
π
l i m a r c si n
2
a
a?
,
（ 2 ）?
1
0
dln xx 这里下限 0?x 是被积函数的瑕点，于是
1 1 11
0 00
l n d l i m l n d l i m ( l n d )x x x x x x x
0
l i m ( l n 1 ) 1
,
注：
0 0 0
2
1
ln
l im l n l im l im 0
11
( 洛必达法则 ),
例 6 讨论20 2)1( dx x 的收敛性,
解 在 [0,2] 内部有被积函数的瑕点 1?x,所以有
2
0
1
0
2
1
222
)1(
d
)1(
d
)1(
d
x
x
x
x
x
x
（让瑕点在小区间端点处）
1
2
2
12
12
2
01
00
dd
l i m l i m
( 1 ) ( 1 )
xx
x x
1
12
2
21
00 10
11
l i m ( ) l i m ( )
11xx
12
00
12
11
l im ( 1 ) l im ( 1 )
( 不存在 ),
所以?
2
0
2
)1(
d
x
x
发散,
例 7 讨论? 10 d qx x 的敛散性,
解 0?x 是被积函数的瑕点,
(1) 当 q <1 时,
1 1
11
0
00
d 1 1 1
l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )
1 1 1
q
x
x
x q q q
收敛 ;
(2) 当 q >1 时,
1
1
1
0
0
1
0
d
l i m
1
1
l i m ( 1 )
1
()
q
q
q
xx
xq
q
发散;
(3) 当 q =1 时,
11 1
0 0 0 0
dd
l i m l i m ( l n ) l i m ( l n ) ( )
xx
x
xx
发散 ;
故?
1
0
d
q
x
x
当 q <1 时收敛于
q?1
1
，当 q ≥ 1 时发散,
思考题 1,下列解法是否正确？为什么？
2
1 1
2
2ln1ln2lnlnd1 xx
x
,
2,指出下面广义积分的 错误,
0 0
0
elimdelimde
b
b
x
b
x
b
x xx
101)e1(l i m
b
b
,
