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欢迎使用高等数学电子教案第一章 函 数第一节 函数及其性质第二节 初等函数第三节 数学模型方法简述一,函数的概念二,函数的几种特性三,反函数第一节 函数及其性质第一节 函数及其性质
1．函数的定义定义 1 设有两个变量 x 和 y,若当变量 x 在实数的某一范围 D 内，任意取定一个数值时，变 量 y 按照一定的规律 f,有惟一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数,记作 y = )( xf,x? D,其中变量 x 称为自变量，变量 y 称为函数（或因变量）．自变量的取值范围 D 称为函数的定义域,
一,函数的概念若对于确定的 Dx?0,通过对应规律 f,函数 y 有 惟一确定的值 0y 相对应，则称 0y 为 )( xfy? 在 0x 处的函数值，记作 )( 00
0
xfyy
xx
,函数值的集合，称为函数的值域，记作 M,
2.函数的两个要素函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素,
（ １）对应规律例 1 )( xf =2 x
2
+3 1x? 就是一个特定的函数，
f 确定的对应规律为,
f （ ） =2( )
2
+3( ) － 1,
例 2 设 y = )( xf = x1 sin x1,求 f ( π2 ),解,
2
π)
2
πs i n(
2
π)
π
2(
π
2 fy x
例 3 设 f ( x +1)= x 2 - 3 x,求 )( xf,
解 令 tx 1,则,1 tx
所以,45)1(3)1()( 22 tttttf
所以 )( xf =,452 xx
（ ２ ） 定义域例 4 求函数 y = 6
2 xx + arcsin
7
12?x 定义域,
解 这是两个函数之和的定义域,先分别求出每个函数的定义域,然后求其公共部分即可,
使 6
2 xx 有定义,必须满足 2x － x － 6 ≥ 0,即 0)2)(3( xx,
解得 x ≥ 3 或 x ≤－ 2,即 62 xx 的定义域为
(,2] [ 3,) ; 而使 a r c s i n
7
12?x 有 定义,必须 满足 ∣
7
12?x ∣≤ 1,即于是，所求函数的定义域是
［－ 3,－ 2 ］ [ 3,4 ］,
－ 7 ≤ 2 x － 1 ≤ 7,解得 － 3 ≤ x ≤ 4,
即 21a r c sin
7
x? 的定义域为 [ 3,4 ]?,
例 5 下列函数是否相同,为什么?
(1) y = 2ln x 与 y = 2 ln x ;
(2)? = u 与 y = x,
3,函数的表示法：表格法、图像法及公式法．
函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图像法和公式法．
解 (1) y = 2ln x 与 y = 2 ln x 不是相同的函数,因为定义域不同,(2)? = u 与 y = x 是相同的函数,因为对应规律与定义域均相同,
例 6 中央电视台每天都播放天气预报，经统计，某地 1 9 9 9 年 9 月 19 日 — 29 日每天的最高气温如下表所示,
这个表格确实表达了温度是日期的函数，这里不存在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了），但是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期
t,都有惟一个与 t 相应的惟一最高气温 N,
日期 (9月 ) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
最高气温 /℃ 28 28 27 25 24 26 27 25 23 22 21
例 7 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久，
他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数用图形描述出来,解 王先生离家的距离关于时间的函数图形 见 左 下图,
离家距离时间
O
时间 O
离家距离
3
1 2 3 4 5
6
9
如果给 上 页 左 图 标明具体的数值如 上页 右 图,则可由解析表达式表示为
5.3,63
,31,3
,10,3
xx
x
xx
)(xf
该函数 f ( x ) 的定义域为 D = ［ 0,5 ］，但它在定义域内不同的区间上是用不同解析式来表示的，这样的函数称为分段函数．分段函数是定义域上的一个函数,不要理解为多个函数，分段函数 需要分段求值，分段作图,
例 8 作出下面分段函数的图形,
,3
,
,0
)( 2
x
xxf
.21
,10
,01
x
x
x
解 该分段函数的图形如上图所示,
- 1 1 2
1
2
f ( x )
x O
D M
f
定义 2 设 D 与 M 分别是两个数集，存在对应律 f,若对 D 中的每一个数 x,通过对应规律 f,集合 M 中都有 惟一 确定的数 y 与之对应,则称 y 为从 D 到 M 的函数（也称为映射）,记作 MDf?:,其中 D 称为函数 f 的定义域,
D
中的每一个 x 根据对应规律
f
对应于一个
y
,记作
y
=
)( xf
,称为函数
f
在 x 的函数值，全体函数值的集合
MDxxfyyw ),(
称为函数 f 的值域,x 称为
f
的自变量,y 称为因变量,
如右图所示,
有界性设函数 )( xf 在某区间 I 上有定义，若存在正数 M,
使得 Mxf?)(,则称 )( xf 在 I 上有界,
单调性设函数 )( xf 在某区间 I 上有定义，对于区间 I 内任意两点 x 1,x 2,当 21 xx? 时，有 )()( 21 xfxf?,则称 )( xf 在 I 上单调增加，区间 I 称为单调增区间；
若 )()( 21 xfxf? 则称 )( xf 在 I 上单调减少，区间
I 称为单调减区间,
奇偶性设函数 )( xf 在某区间 I 上有定义,I 为关于原点对称的区间，若对于任意 Ix?,都有 )( xf? = )( xf,
则称 f ( x ) 为偶函数；若 f ( - x ) = - )( xf,则称 )( xf
为奇函数,
二,函数的几种特性周期性设函数 )( xf 在某区间 I 上有定义，若存在不为零的数
T,使得对于任意 Ix?,都有 )()( xfTxf,则称
)( xf 为周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期,
定义 3 设给定 y 是 x 的函数 y = )( xf,如果把 y 当作自变量,x 当作函数，则由关系式 y = )( xf 所确定的函数 )( yx
称为函数 y = )( xf 的反函数．而 y = )( xf 称为直接函数,
习惯上总是用 x 表示自变量，而用 y 表示函数，因此，
往往把 x =? ( y ) 改写成 y =? ( x ),称为 y = )( xf 的矫形反函数，记作 )(
1
xfy
,称函数 )( xfy? 的反函数 )( yx 为直接反函数,
三、反函数思考题
1.确定一个函数需要哪几个因素?
2.思考函数的几种特性的几何意义?
3,直接函数 y = )( xf,其直接反函数为 )( yx,其矫形反函数为 )()(1 xxfy,
⑴ x =? ( y ) 与 y =? ( x ) 是否为同一函数？
⑵ y = )( xf,x =? ( y ),y = f - 1 ( x ) 在同一坐标系中的几何表现是什么？
一,基本初等函数二,复合函数三,初等函数第二节 初等函数第二节 初等函数函数表达式反三角函数三角函数对数函数指数函数幂函数常数函数函数名称
y = C ( C 为常数 )
xy? (? 为实数 )
xay? ( a ＞ 0,a ≠ 1,a 为常数 )
y = xal o g ( a ＞ 0,a ≠ 1,a 为常数 ) y = xs i n,y = co s x,y =t an x,y =c o t x
y = s e c x,y = cs c x
y = a r c s i n x,xy a r c c os?,xy a r c ta n? xy a r c c ot?
一、基本初等函数这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、
图形必须熟悉,设 )( ufy?,其中 )( xu,且 )( x? 的值全部或部分落在 )( uf 的定义域内，则称)( xfy 为 x 的复合函数，而 u
称为中间变量,
例 1 （ 1 ）函数 xy 2s i n? 是由 2uy?,xu s i n? 复合而成的复合函数，其定义域为 ),(,它也是 xu s i n? 的定义域,
（ 2 ）函数
21 xy
,是由 uy?,21 xu 复合而成的，其定义域为［ - 1,1 ］，它是
21 xu
的定义域的一部分,（ 3 ） y = ua r c s i n,u =2+ x 2 是不能复合成一个函数的,
二、复合函数例 2 分析下列复合函数的结构,
⑴ y = 2c ot x ; ⑵,e 1s i n 2 xy
解 ⑴ y = u,vu co t?,2xv?,
⑵ y = ue,vu s in?,tv?,12 xt,例 3 设 2)( xxf?,xxg 2)(?,求,)( xgf)( xfg,
解 f [ g ( x )] = [g ( x )] 2 = ( x2 ) 2 = x4,g [f ( x )] = )(2 xf = 22 x,由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，且用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，
否则就是非初等函数,
三、初等函数思考题
1,任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？
你是否可以用例子说明？
2,设 )( xf 的定义域为（ 0,1 ），求 )( t an xf 的定义域,3,设
xxf 1
1)(,求 )]([ xff,) ] }([{ xfff,
一,数学模型的含义二,数学模型的建立过程三,函数模型的建立第三节 数学模型方法简述
* 第三节 数学模型方法简述函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型．数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法．掌握数学模型方法是非常必要的．在此，
对数学模型方法作一简述,
数学模型方法（ M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g ) 称为 MM 方法．它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法,
数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实，
不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机,
一、数学模型的含义建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化．全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环．可用流程图表示如下,
数学模型的解答数学模型表达
（归纳）
验证 （检验）
解释
（实际解答）
（演绎） 求解现实对象现实对象的信息二、数学模型的建立过程表述 根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来,
这是一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系．如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型,
求 解 选择适当的方法，求得数学模型的解答,
解释 数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答,
验证 检验解答的正确性,
例如 哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如下页左图所示,18 世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点．可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于 1736 年，建立了一个数学模型解决了这个问题．他把 A,B,C,D 这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如下页右图所示,
小岛 A
陆地 D
陆地 C
半岛 B
C
A
B
D
人们步行七桥问题，就相当于上图的一笔画问题，即能否将上图所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质,
哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型．经过理想化抽象所得到的如 上 图 所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型．在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其 他一切属性则全部抛弃了．所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理,得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的,
数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、
各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型．从狭义上讲，
只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才叫做数学模型．在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释．而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题,
研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立函数模型的步骤可分为,
三、函数模型的建立
( 1 ) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；
( 2 ) 根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；
(3) 具体写出解析式 ()y f x?,并指明定义域,
例 1 重力为 P 的物体置于地平面上，设有一与水平方向成? 角的拉力 F,使物体由静止开始移动，求物体开始移动时拉力 F 与角? 之间的函数模型（如下图）,
F
P
c o s ( s i n )F P F,
即
c o s s i n
P
F
（ 0 ° <? <90° ）,
建立函数模型是一个比较灵活的问题，无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握,
解 由物理知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力 s i nPF 成正比的（设摩擦系数为? ），故有例 2 在金融业务中有一种利息叫做单利．设 p 是本金,r 是计息的利率,c 是计息期满应付的利息,n 是计息期数,I 是 n 个计息期（即借期或存期）应付的单利,A 是本利和．求本利和 A 与计息期数 n 的函数模型,
解? 计息期满的利息计息期的利率 本金,即 cr p?,
由此得 c p r?,
单利与计息数成正比，即 n 个计息期应付的单利 I 为
I c n?,
因为 c p r?,
所以 I p r n?,
本利和为 A p I,
即 A p p rn,
可得本利和与计息期数的函数关系，即单利模型
( 1 )A p rn,
思考题
1,结合本节关于数学模型的建立过程,试述建立函数模型的方法和步骤,
2,试述建立函数模型的结构,
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欢迎使用高等数学电子教案第一章 函 数第一节 函数及其性质第二节 初等函数第三节 数学模型方法简述一,函数的概念二,函数的几种特性三,反函数第一节 函数及其性质第一节 函数及其性质
1．函数的定义定义 1 设有两个变量 x 和 y,若当变量 x 在实数的某一范围 D 内，任意取定一个数值时，变 量 y 按照一定的规律 f,有惟一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数,记作 y = )( xf,x? D,其中变量 x 称为自变量，变量 y 称为函数（或因变量）．自变量的取值范围 D 称为函数的定义域,
一,函数的概念若对于确定的 Dx?0,通过对应规律 f,函数 y 有 惟一确定的值 0y 相对应，则称 0y 为 )( xfy? 在 0x 处的函数值，记作 )( 00
0
xfyy
xx
,函数值的集合，称为函数的值域，记作 M,
2.函数的两个要素函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素,
（ １）对应规律例 1 )( xf =2 x
2
+3 1x? 就是一个特定的函数，
f 确定的对应规律为,
f （ ） =2( )
2
+3( ) － 1,
例 2 设 y = )( xf = x1 sin x1,求 f ( π2 ),解,
2
π)
2
πs i n(
2
π)
π
2(
π
2 fy x
例 3 设 f ( x +1)= x 2 - 3 x,求 )( xf,
解 令 tx 1,则,1 tx
所以,45)1(3)1()( 22 tttttf
所以 )( xf =,452 xx
（ ２ ） 定义域例 4 求函数 y = 6
2 xx + arcsin
7
12?x 定义域,
解 这是两个函数之和的定义域,先分别求出每个函数的定义域,然后求其公共部分即可,
使 6
2 xx 有定义,必须满足 2x － x － 6 ≥ 0,即 0)2)(3( xx,
解得 x ≥ 3 或 x ≤－ 2,即 62 xx 的定义域为
(,2] [ 3,) ; 而使 a r c s i n
7
12?x 有 定义,必须 满足 ∣
7
12?x ∣≤ 1,即于是，所求函数的定义域是
［－ 3,－ 2 ］ [ 3,4 ］,
－ 7 ≤ 2 x － 1 ≤ 7,解得 － 3 ≤ x ≤ 4,
即 21a r c sin
7
x? 的定义域为 [ 3,4 ]?,
例 5 下列函数是否相同,为什么?
(1) y = 2ln x 与 y = 2 ln x ;
(2)? = u 与 y = x,
3,函数的表示法：表格法、图像法及公式法．
函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图像法和公式法．
解 (1) y = 2ln x 与 y = 2 ln x 不是相同的函数,因为定义域不同,(2)? = u 与 y = x 是相同的函数,因为对应规律与定义域均相同,
例 6 中央电视台每天都播放天气预报，经统计，某地 1 9 9 9 年 9 月 19 日 — 29 日每天的最高气温如下表所示,
这个表格确实表达了温度是日期的函数，这里不存在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了），但是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期
t,都有惟一个与 t 相应的惟一最高气温 N,
日期 (9月 ) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
最高气温 /℃ 28 28 27 25 24 26 27 25 23 22 21
例 7 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久，
他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数用图形描述出来,解 王先生离家的距离关于时间的函数图形 见 左 下图,
离家距离时间
O
时间 O
离家距离
3
1 2 3 4 5
6
9
如果给 上 页 左 图 标明具体的数值如 上页 右 图,则可由解析表达式表示为
5.3,63
,31,3
,10,3
xx
x
xx
)(xf
该函数 f ( x ) 的定义域为 D = ［ 0,5 ］，但它在定义域内不同的区间上是用不同解析式来表示的，这样的函数称为分段函数．分段函数是定义域上的一个函数,不要理解为多个函数，分段函数 需要分段求值，分段作图,
例 8 作出下面分段函数的图形,
,3
,
,0
)( 2
x
xxf
.21
,10
,01
x
x
x
解 该分段函数的图形如上图所示,
- 1 1 2
1
2
f ( x )
x O
D M
f
定义 2 设 D 与 M 分别是两个数集，存在对应律 f,若对 D 中的每一个数 x,通过对应规律 f,集合 M 中都有 惟一 确定的数 y 与之对应,则称 y 为从 D 到 M 的函数（也称为映射）,记作 MDf?:,其中 D 称为函数 f 的定义域,
D
中的每一个 x 根据对应规律
f
对应于一个
y
,记作
y
=
)( xf
,称为函数
f
在 x 的函数值，全体函数值的集合
MDxxfyyw ),(
称为函数 f 的值域,x 称为
f
的自变量,y 称为因变量,
如右图所示,
有界性设函数 )( xf 在某区间 I 上有定义，若存在正数 M,
使得 Mxf?)(,则称 )( xf 在 I 上有界,
单调性设函数 )( xf 在某区间 I 上有定义，对于区间 I 内任意两点 x 1,x 2,当 21 xx? 时，有 )()( 21 xfxf?,则称 )( xf 在 I 上单调增加，区间 I 称为单调增区间；
若 )()( 21 xfxf? 则称 )( xf 在 I 上单调减少，区间
I 称为单调减区间,
奇偶性设函数 )( xf 在某区间 I 上有定义,I 为关于原点对称的区间，若对于任意 Ix?,都有 )( xf? = )( xf,
则称 f ( x ) 为偶函数；若 f ( - x ) = - )( xf,则称 )( xf
为奇函数,
二,函数的几种特性周期性设函数 )( xf 在某区间 I 上有定义，若存在不为零的数
T,使得对于任意 Ix?,都有 )()( xfTxf,则称
)( xf 为周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期,
定义 3 设给定 y 是 x 的函数 y = )( xf,如果把 y 当作自变量,x 当作函数，则由关系式 y = )( xf 所确定的函数 )( yx
称为函数 y = )( xf 的反函数．而 y = )( xf 称为直接函数,
习惯上总是用 x 表示自变量，而用 y 表示函数，因此，
往往把 x =? ( y ) 改写成 y =? ( x ),称为 y = )( xf 的矫形反函数，记作 )(
1
xfy
,称函数 )( xfy? 的反函数 )( yx 为直接反函数,
三、反函数思考题
1.确定一个函数需要哪几个因素?
2.思考函数的几种特性的几何意义?
3,直接函数 y = )( xf,其直接反函数为 )( yx,其矫形反函数为 )()(1 xxfy,
⑴ x =? ( y ) 与 y =? ( x ) 是否为同一函数？
⑵ y = )( xf,x =? ( y ),y = f - 1 ( x ) 在同一坐标系中的几何表现是什么？
一,基本初等函数二,复合函数三,初等函数第二节 初等函数第二节 初等函数函数表达式反三角函数三角函数对数函数指数函数幂函数常数函数函数名称
y = C ( C 为常数 )
xy? (? 为实数 )
xay? ( a ＞ 0,a ≠ 1,a 为常数 )
y = xal o g ( a ＞ 0,a ≠ 1,a 为常数 ) y = xs i n,y = co s x,y =t an x,y =c o t x
y = s e c x,y = cs c x
y = a r c s i n x,xy a r c c os?,xy a r c ta n? xy a r c c ot?
一、基本初等函数这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、
图形必须熟悉,设 )( ufy?,其中 )( xu,且 )( x? 的值全部或部分落在 )( uf 的定义域内，则称)( xfy 为 x 的复合函数，而 u
称为中间变量,
例 1 （ 1 ）函数 xy 2s i n? 是由 2uy?,xu s i n? 复合而成的复合函数，其定义域为 ),(,它也是 xu s i n? 的定义域,
（ 2 ）函数
21 xy
,是由 uy?,21 xu 复合而成的，其定义域为［ - 1,1 ］，它是
21 xu
的定义域的一部分,（ 3 ） y = ua r c s i n,u =2+ x 2 是不能复合成一个函数的,
二、复合函数例 2 分析下列复合函数的结构,
⑴ y = 2c ot x ; ⑵,e 1s i n 2 xy
解 ⑴ y = u,vu co t?,2xv?,
⑵ y = ue,vu s in?,tv?,12 xt,例 3 设 2)( xxf?,xxg 2)(?,求,)( xgf)( xfg,
解 f [ g ( x )] = [g ( x )] 2 = ( x2 ) 2 = x4,g [f ( x )] = )(2 xf = 22 x,由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，且用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，
否则就是非初等函数,
三、初等函数思考题
1,任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？
你是否可以用例子说明？
2,设 )( xf 的定义域为（ 0,1 ），求 )( t an xf 的定义域,3,设
xxf 1
1)(,求 )]([ xff,) ] }([{ xfff,
一,数学模型的含义二,数学模型的建立过程三,函数模型的建立第三节 数学模型方法简述
* 第三节 数学模型方法简述函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型．数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法．掌握数学模型方法是非常必要的．在此，
对数学模型方法作一简述,
数学模型方法（ M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g ) 称为 MM 方法．它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法,
数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实，
不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机,
一、数学模型的含义建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化．全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环．可用流程图表示如下,
数学模型的解答数学模型表达
（归纳）
验证 （检验）
解释
（实际解答）
（演绎） 求解现实对象现实对象的信息二、数学模型的建立过程表述 根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来,
这是一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系．如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型,
求 解 选择适当的方法，求得数学模型的解答,
解释 数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答,
验证 检验解答的正确性,
例如 哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如下页左图所示,18 世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点．可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于 1736 年，建立了一个数学模型解决了这个问题．他把 A,B,C,D 这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如下页右图所示,
小岛 A
陆地 D
陆地 C
半岛 B
C
A
B
D
人们步行七桥问题，就相当于上图的一笔画问题，即能否将上图所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质,
哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型．经过理想化抽象所得到的如 上 图 所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型．在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其 他一切属性则全部抛弃了．所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理,得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的,
数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、
各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型．从狭义上讲，
只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才叫做数学模型．在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释．而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题,
研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立函数模型的步骤可分为,
三、函数模型的建立
( 1 ) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；
( 2 ) 根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；
(3) 具体写出解析式 ()y f x?,并指明定义域,
例 1 重力为 P 的物体置于地平面上，设有一与水平方向成? 角的拉力 F,使物体由静止开始移动，求物体开始移动时拉力 F 与角? 之间的函数模型（如下图）,
F
P
c o s ( s i n )F P F,
即
c o s s i n
P
F
（ 0 ° <? <90° ）,
建立函数模型是一个比较灵活的问题，无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握,
解 由物理知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力 s i nPF 成正比的（设摩擦系数为? ），故有例 2 在金融业务中有一种利息叫做单利．设 p 是本金,r 是计息的利率,c 是计息期满应付的利息,n 是计息期数,I 是 n 个计息期（即借期或存期）应付的单利,A 是本利和．求本利和 A 与计息期数 n 的函数模型,
解? 计息期满的利息计息期的利率 本金,即 cr p?,
由此得 c p r?,
单利与计息数成正比，即 n 个计息期应付的单利 I 为
I c n?,
因为 c p r?,
所以 I p r n?,
本利和为 A p I,
即 A p p rn,
可得本利和与计息期数的函数关系，即单利模型
( 1 )A p rn,
思考题
1,结合本节关于数学模型的建立过程,试述建立函数模型的方法和步骤,
2,试述建立函数模型的结构,
