第八章 常微分方程第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程第三节 二阶常系数线性微分方程一,微分方程的基本概念二,分离变量法第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法微分方程的阶,微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数．
微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这时的微分方程就称为常微分方程,
线性微分方程,当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为 常系数线性微分方程,
一、微分方程的基本概念如果将函数 y )( xy? 代入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解,
初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件,
一阶常微方程的初始条件为 00 )( yxy?,其中 0x,
0y 是两个已知数,
二阶微分方程的初始条件为 00
00
( ),
( ),
y x y
y x y
微分方程的解,
微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为 常微分方程的通解,不含有任意常数的解，称为 微分方程的特解,
例 1 验证函数
xx
CCy
2
21 ee ( 12,CC 为任意常数 )
为二阶微分方程 023 yyy 的通解，并求 该 方程满足初始条件 1)0(,0)0( yy 的特解,
所以，函数 y? 1Ce x + 2C x2e 是所给微分方程的解．又因为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是所给微分方程的通解,
xx CCy 221 ee,2
12e 2 e,xxy C C
212e 4 e,xxy C C将 yyy,,代入方程 023 yyy 左端，得解
)ee(2)e2e(3e4e 221221221 xxxxxx CCCCCC
0e)264(e)23( 2222111 xx CCCCCC
,
由初始条件 0)0(?y,我们得 0
21 CC
，由初始条件
1)0(y,得,12
21 CC 所以 12?C,11C,于是，满足所给初始条件的特解为
xx
y
2
ee,
设函数 )(),(
21
xyxy
是定义在区间 (,)ab 内的函数，若存在两个不全为零的数
21
,kk,使得对于 (,)ab 内的任一 x 恒有成立，则称函数 21,yy 在 (,)ab 内线性相关，否则称为线性无关,
0
2211
ykyk
定义 1 （ 线性相关，线性无关 ）
21
,yy 线性相关的充分必要条件是
2
1
y
y
在 (,)ab 区间内恒为常数．若
2
1
y
y
不恒为常数，则 21,yy 线性无关．当 1y
与 2y 线性无关，函数 2211 yCyCy 中含有两个独立的任意常数 1C 和 2C,
定义 2 形如 )()(
d
d ygxf
x
y? 的方程，称为可分离变量 的方程,可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之积,其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数,
二、分离变量法可分离变量方程的解法,
（ 1 ）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y,
而另一边只含变量 x 的形式，即
xxf
yg
y
d)(
)(
d
其中 0)(?yg
（ 2 ）两边积分,xxf
yg
y d)(
)(
d
（ 3 ） 计算上述 不定积分,得通解,
例 2 求 0' xyy 的通解,解 方程变形为 xy
x
y
d
d,
分离变量得 xxyy dd 0?y,
两边积分得 xx
y
y
d
d
,
求积分得 1
2
2
1
||ln Cxy,所以
2
1
1
2
2
1
2
1
eee||
x
C
Cx
y
,
即
22
11
11
22e e e ( e )
xx
CCy C C
,
方程通解为 22
1
e xCy （ C 为任意常数）,
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶 )0(?t 时的速度为零．求降落伞下落速度与时间 t 的函数关系,
解 设降落伞下落速度为 )( tv 时伞所受空气阻力为
kv? （负号表示阻力与运动方向相反,k 为常数）．另外，
伞在下降过程中还受重力 mgP? 作用，故由牛顿第二定律得 kvmg
t
v
m
d
d
且有初始条件,0|
0
t
v 于是，所给问题归结为求解初值问题
0
d,
d
| 0,t
vm m g k v
t
v?
kv R?
mg P?
对上述方程分离变量得 m
t
kvmg
v dd?
,
两边积分 得 m
t
kvmg
v dd,
可得 1||ln
1 C
m
tkvmg
k,
整理得?
1e1e kCtmk
k
CC
k
mgv
,
由初始条件得
0
0e
mg
C
k
,即
k
mg
C?,故所求特解为
)e1(
t
m
k
k
mg
v
,
由此可见，随着 t 的增大，速度 v 逐渐变大且趋于常数
k
mg
，但不会超过
k
mg
，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动,
1,微分方程通解中的任意常数 C 最终可表示为
2
s i n,e
1
C
C
(
12
,CC 为任意实数 ),
3
ln C
3
( C 为实数,0
3
C )
等形式吗？
2,微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），
通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否相互平行 ( 注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率 相同 ),
思考题第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程一,一阶线性微分方程二,可降阶的高阶微分方程第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程定义 形如 )()(
d
d
xQyxP
x
y
的方程,称为一阶线性方程,其中 )(),( xQxP 为已知函数,
当 0)(?xQ 时,有 0)(
d
d
yxP
x
y
称其为齐次线性方程；
当 0)(?xQ 时,称 )()(
d
d
xQyxP
x
y
为非齐次线性方程,
一、一阶线性微分方程
（ 1 ） 先求齐次线性方程的解 分离变量得 d ( ) dy P x x
y,
两边积分得 1l n | | ( ) dy P x x C,即
xxPCy de )(,
（ 2 ）常数变易法求非齐次线性方程的通解令
( ) d
( ) e
P x x
y C x
为非齐次线性方程的解,
代入得
)(e)(
d)( xQxC xxP,即 xxPxQxC d)(e)()(,
两边积分得 CxxQxC
xx de)()( d)p(,
一阶线性微分方程的解法
p ( ) d _ p ( ) d ( ) e d e,x x x xy Q x x C
上式称为一阶线性非齐次程的通解公式,上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤为,
（ 1 ）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解,
（ 2 ）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解 ( 将所求出的齐次方程的通解中的任意常数 C 改为待定函数 )( xC 即可 ),
（ 3 ）将所设解代入非齐次线性方程,解出 )( xC,并写出非齐次线性方程的通解,
将 )( xC 代入 xxxCy de )p()( 得通解为例 1 求方程 x xxyy ln 的通解,
解 原方程变形为 xyxy ln1 ( 1)
此方程为一阶线性非齐次方程,首先对 (1) 式所对应的齐次方程求解
01 y
x
y (2)
方程 (2) 分离变量得 x
x
y
y dd?
两边积分得 Cxy lnlnln,即 Cxy lnln?
所以,齐次方程（ 2 ）的通解为 Cxy? (3)
将通解中的任意常数 C 换成待定函数 )( xC,即令
xxCy )(? 为方程（ 1 ）的通解,将其代入方程 ( 1 ) 得
'( ) l nxC x x?,于是
xxxC ln
1)(,
所以 Cxxxxx xxC 2)( ln21lndlndln)(,将所求的 )( xC 的代入式 (3),得原方程的通解为
2(l n )
2
x
y x C x,
1,)()( xfy n? 型的微分方程方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解,
例 3 求方程 xy c os)3(? 的通解,
解 因为 xy c os)3(?,所以 1s i ndco s Cxxxy,
211 c osd)( s i n CxCxxCxy,
2
1 2 1 2 3
1
( co s ) d s i n,
2
y x C x C x x C x C x C
二、可降阶的高阶微分方程
2,),( yxfy 型的微分方程,
方程的特点：方程右端不显含未知函数 y,
方程的解法：令 )( xpy,则 )( xpy 代入方程得
))(,()( xpxfxp,
这是一个关于自变量 x 和未知函数 )( xp 的一阶微分方程,若可以求出其通解 ),( 1Cx,则 ),( 1Cxy
再积分一次就能得原方程的通解,
例 4 求方程 2)(12 yyyx 的通解,
解 因为方程 2)(12 yyyx 不显含未知函数 y,所以令 )( xpy,则 )()( xpxy,将其代入所给方程,得
212 pppx,分离变量得 xxp pp dd 212,
两边积分 12 lnln)1l n ( Cxp,得 xCp 121,
即 11 xCp,也即 11 xCy,所以
13
22
1 1 2
1
2
( 1 ) d ( 1 )
3
y C x x C x C
C
为所求方程的通解,
方程的解法：求解这类方程可令 )( ypy 则
p
y
p
x
y
y
yp
x
y
y
d
d
d
d
d
d
d
d
)(
,
于是,方程 ),( yyfy 可化为 ),( pyf
y
p
p?
d
d
,
这是关于 y 和 p 的一阶微分方程,如能求出其解
),(
1
Cyp,则可由 ),(
1
Cy
x
y
d
d
求出原方程的解,
3,),( yyfy 型的微分方程方程的特点：右端不显含自变量 x,
思考题
1,是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的任意常 数指定一个适当的值而得到该方程的任一解？
2,可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？各自的求解方法怎样？
第三节 二阶常系数线性微分方程一,二阶常系数线性微分方程解的性质二,二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法三,二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法第三节 二阶常系数线性微分方程定义 1 形如
0 qyypy ①
的方程（其中 qp,为常数）,称为二阶常系数齐次线性微分方程,
定理 1 （齐次线性方程解的叠加原理） 若
21
,yy 是齐次线性方程①的两个解,则
2211
yCyCy 也是①的解,
且当
1
y 与
2
y 线性无关时,
2211
yCyCy 就是方程①的通解,
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
)()()(
221122112211
yCyCqyCyCpyCyC
)()(
22221111
qyypyCqyypyC
000
21
CC
所以 2211 yCyCy 是方程 0 qyypy 的解,
由于
1
y 与
2
y 线性无关,所以,任意常数
1
C 和
2
C 是两个独立的任意常数,即解
2211
yCyCy 中所含独立的任意常数的个数与方程①的阶数相同,则它是方程①的通解,
证毕,
证 将 2211 yCyCy 直接代入方程 ① 的左端,得称 0 qyypy ③
为方程②所对应的齐次方程,
定理 2 （非齐次线性方程解的结构）若 py 为非齐次线性方程②的某个特解,cy 为齐次线性方程③的通解,则
pc
yyy 为非齐次线性方程②之通解,
定义 2 形如 )( xfqyypy ②
的方程 （其中 q,p 为常数）,称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
又因为 cy 中含有两个独立的任意常数,所以
pc yyy 中也含有两个独立的任意常数,故
pc yyy 为方程的通解,
这就是说,pc yyy 确为方程 ② 的解,
)()()(
cpcpcp
yyqyypyy
)()
cccppp
qyypyqyypy（
)(0)( xfxf
证 将 pc yyy 代入方程②的左端有由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性方程 ① 的通解,只须求出它的两个线性无关的特解即可,令 y =
rxe 为方程的解,并代入方程 ① 得
0eee2 rxrxrx qprr
因为 e
rx
0?,所以有
0
2
qprr ④
该方程称为微分方程①的特征方程,称方程④的根为特征根,
二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法
(1) 当特征方程 ④ 有两个不同的实根
1
r 和
2
r 时,
则方程 ① 有两个线性无关的解
1
1
=e
rx
yx,2
2
=e
rx
yx 此时,方程有通解
12
12
ee
r x r x
y C C,
(2) 当特征方程④有两个相同的实根时,即
rrr
21
,方程 ① 只有一个解
1
=e
rx
yx,这时直接验证可知
2
=e
rx
yx 是方程 ① 的另一个解,且
1
y 与
2
y 线性无关,所以,此时有通解
rxrxrx
xCCxCCy eee )(
2121
,
（ 3 ）当特征方程④有一 对共轭复根时,即
ir （其中,均为实常数且 0 ）,此时方程
①有两个线性无关的解
( i )
1
=e
x
y
和
( i )
2
=e
x
yx
,故方程①的通解为 )i()i( ee xxxx BAy
)ee(e i-i xxx BA
θθ
θ
s i nic o se
i
,还可得到实数形式的通解 )s i nco s(e 21 βxCβxCy
xα
,其中
)(,
21
BACBAC （读者自证）,通常情况下,要求写出实数形式的解,
利用 欧拉 公式根据如上讨论,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为,
第一步,写出微分方程的特征方程 0
2
qprr ；
第二步,求出特征根 ；
第三步,根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解,
特征方程的解 通解形式两个不等实根
21
rr?
12
12
ee
r x r x
y C C
两个相等实根
rrr
21
12
e
rx
y C C x
一对共轭复根
ir
xCxCy
x
si nc o se
21
例 1 求方程 065 yyy 的通解,解 方程 065 yyy 的特征方程为
0652 rr,其特征根为 3,2
21 rr,所以
21
3
2
2
1 ( CCCCy
xx, ee 为任意常数）为所给微分方程的通解,
例 2 求方程 02 yyy 的通解,
解 方程的 02 yyy 的 特征方程为 0122 rr,
其特征根 121 rrr （二重特征根）,故所求通解为
xxCCy e)( 21,
例 3 求方程 032 yyy 满足初始条件
1)0(,1)0( yy 的特解,
解 032 yyy 的特征方程为 0322 rr,所以,
特征根 2i1,2i1 21 rr,所以,所给微分方程的通解为 )2s i n2c o s( 21 xCxCy xe,
由初始条件 1)0(?y,得 1
1
C,又因为
''
2
e c os 2 e sin 2
e ( c os 2 2 sin 2 )
xx
x
y x C x
xx
2
e ( s i n 2 2 cos 2 )
x
C x x
,
由 1)0(y 得
2
211 C,从而得 2
2
C,
于是 )2s i n22( c o s xxy xe 为所求,
由非齐次线性方程解的结构定理可知,求非齐次方程
②的通解,可先求出其对应的齐次方程③的通解,再设法求出非齐次线性方程②的某个特解,二者之和就是方程②
之通解,
二阶 常 系数非齐次线性微分方程 )( xfqyypy
特解确定
1,若
x
m
xPxf
e)()(,其中? 为常数,
m
P 为 x 的 m 次多项式,即
0
1
1
)( axaxaxP
m
m
m
mm
,则方程为
x
m
xPqyypy
e)( ⑤
设方程⑤有形如 xp xQy e)( 的解,其中 )( xQ 是一个待定多项式,
三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法为使 xp xQy e)( 满足方程⑤,将 xp xQy e)( 代入方程⑤,整理得 )())()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m' (" ⑥ 上式右端是一个 m 次多项式,所以,左端也应该是
m 次多项式,由于多项式每求一次导数,就要降低一次次数,故有三种情形,
( 1 ) 当时 0
2
qp,即? 不是特征方程
0
2
qp 的根时,式⑥左边 )( xQ 与 m 次多项式
)( xP
m 的次数相同,所以,Q )( x 为一个 m 次待定多项式,可设
1
10)(
mm xbxbxQ
… )(1 xQbxb mmm ⑦
其中
m
bbb,,,
10
为 1?m 个待定系数,将式⑦代入式⑥,比较等式两边同次幂的系数,就可得到
m
bbb,,,
10
为未知数的 1?m 个线性方程的联立方 程组,从而求出
m
bbb,,,
10
,即确定 )( xQ 于是可得方程⑤的一个特解为
p
y =
x
xQ
e)(,
(2) 当 0
2
qp,但 02 p? 时,即? 为特征方程
0
2
qp 的单根,那么式⑥成为 )(2( xPQp)Q
m
",
由此可见,Q? 与 )( xP
m
同次幂,故应设 ( ) ( )
m
Q x x Q x?,
(3) 当 0
2
qp 且 02 p? 时,即? 是特征方程 0
2
qprr 的特征重根时,式 ⑥ 变为
)()( xPxQ
m
",此时应设
)()(
2
xQxxQ
m
,
将它代入方程 ⑥,便可确定 )( xQ m 的系数,即可得方程 ⑤ 的一个特解为
x
mp xQxy
e)(2
,
其中 )( xQ m 为 m 次待定多项式,同样将它代入式 ⑥ 即可求得 )( xQ m 的 1?m 个系数,从而得到方程⑤的一个特解,
综上所述,我们有如下结论,
二阶常系数非齐次线性微分方程
x
m
xPqyypy
e)(
具有特解形如
x
m
k
p
xQxy
e)( ⑧
其中 )( xQ
m
为 m 次多项式,它的 1?m 个系数可由式 ⑧ 中的 )( xQxQ ( x )
m
k
代入式 ⑥ 而得,式 ⑧ 中的 k 确定如下,
0,
1,
2
不是特征根,
是特征单根,
,是特征重根.
k
2,xxPxf axm?c o s)()( e? 或 xxPxf axm?s in)()( e?,
其中,为实数,)( xP m 为 m 次多项式,
此时方程 ⑤ 变为
xxPqyypy axm?c os)( e ⑨
或 xxPqyypy axm?s in)( e ⑨ ’
此时,我们可先令 i 仍用 1 中所述方法确定方程
x
m
xPpyyqy
e)(
的解,则式⑤的解可写成
21
i yyy 的形式,且可证,y
的实部
1
y 即为方程⑨的解 ; y 的虚部
2
y 即为方程
⑨’ 的解,
例 1 求方程 xxyyy 2332 e 的一个特解,
解 由于方程
x
xyyy
2
332 e 的非齐次项（也叫自由项）
x
xxf
2
3)( e? 中的 2 不是特征方程 0322 rr 的根,
故可令
x
p BAxy
2)( e
将 BAxx)(Q 代入式 (6) （不是将 py 直接代入原方程）
xBAxA 3))(344()24(,
即有 xBAAx 3323,
比较系数得
032
33
BA
A,解之得
3
2,1 BA,
因此,xp xy 232 e 为所求特解,
例 2 求方程 xyy 的一个特解,
解 因为方程 xyy 的自由项
xxxf 0)( e?
中的
0 恰是特征方程 02 rr 的一个根,故可设一个特解为 BxAxxBAxy xp 20)( e,
直接将 py 代入所给方程,得 xBAxA )2(2,
即 xBAAx 22,
比较系数得
2 1,
2 0,
A
AB
解之得 1,
2
1
BA,
因此,xxy p 221 为所求方程的特解,
例 3 求方程 xyyy 396 e 的通解,
解 方 程
x
yyy
3
96 e (1)
所对应的齐次方程为
096 yyy (2)
特征方程为 0962 rr,特征根为 3
21 rrr,故齐次方程（ 2 ）的通解为 xc xCCy 321 e)(,
又因为非齐次方程（ 1 ）的自由项
x
xf
3
)( e? 中的 3 恰是二重特征根,故可令
x
p
Axy
32
e? 为方程
（ 1 ）的一个特解,将
2
)( AxxQ? 代入式⑥,得
12?A,即
2
1
A,
于是
x
p
xy
32
2
1
e? 为方程（ 1 ）的一个特解,因此,
xx
pc
xxCCyyy
323
21
2
1
)( ee 为所给方程之通解,
例 4 求方程 xyyy x c o s23 e 的一个特解,
解 由于方程
xyyy
x
c o s23
e (1)
的自由项 xxf
x
c o s)(
e 为
x)1( i
e
的实部,所以先解如下辅助方程的
x
yyy
)1(
23
i
e
(2)
因为 i 1? 不是特征方程 0232 rr 的根,所以可设 xAy )1( ie 为式（ 2 ）的一个解,将 AxQ?)( 代入式 ⑥ 得
1]2)1(3)1[( 2 Aii,即 1)1( Ai,
也即
1 1 i 1 i
i 1 2 2 2A
,
所以方程（ 2 ）的特解
x
y
)1(*
2
1
2
1
i
ei
)si n(c os
2
1
2
1
xx
x
iei
xxxx
xx
si n
2
1
cos
2
1
si n
2
1
cos
2
1
iee
因此,它的实部?
xxy x s i n
2
1c os
2
1*
1 e 就是所给方程的一个特解,
思考题
1,齐次线性常微分方程有何共性？
2,写出以 0526
235
rrrr 为特征方程的常微分方程,
微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这时的微分方程就称为常微分方程,
线性微分方程,当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为 常系数线性微分方程,
一、微分方程的基本概念如果将函数 y )( xy? 代入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解,
初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件,
一阶常微方程的初始条件为 00 )( yxy?,其中 0x,
0y 是两个已知数,
二阶微分方程的初始条件为 00
00
( ),
( ),
y x y
y x y
微分方程的解,
微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为 常微分方程的通解,不含有任意常数的解，称为 微分方程的特解,
例 1 验证函数
xx
CCy
2
21 ee ( 12,CC 为任意常数 )
为二阶微分方程 023 yyy 的通解，并求 该 方程满足初始条件 1)0(,0)0( yy 的特解,
所以，函数 y? 1Ce x + 2C x2e 是所给微分方程的解．又因为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是所给微分方程的通解,
xx CCy 221 ee,2
12e 2 e,xxy C C
212e 4 e,xxy C C将 yyy,,代入方程 023 yyy 左端，得解
)ee(2)e2e(3e4e 221221221 xxxxxx CCCCCC
0e)264(e)23( 2222111 xx CCCCCC
,
由初始条件 0)0(?y,我们得 0
21 CC
，由初始条件
1)0(y,得,12
21 CC 所以 12?C,11C,于是，满足所给初始条件的特解为
xx
y
2
ee,
设函数 )(),(
21
xyxy
是定义在区间 (,)ab 内的函数，若存在两个不全为零的数
21
,kk,使得对于 (,)ab 内的任一 x 恒有成立，则称函数 21,yy 在 (,)ab 内线性相关，否则称为线性无关,
0
2211
ykyk
定义 1 （ 线性相关，线性无关 ）
21
,yy 线性相关的充分必要条件是
2
1
y
y
在 (,)ab 区间内恒为常数．若
2
1
y
y
不恒为常数，则 21,yy 线性无关．当 1y
与 2y 线性无关，函数 2211 yCyCy 中含有两个独立的任意常数 1C 和 2C,
定义 2 形如 )()(
d
d ygxf
x
y? 的方程，称为可分离变量 的方程,可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之积,其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数,
二、分离变量法可分离变量方程的解法,
（ 1 ）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y,
而另一边只含变量 x 的形式，即
xxf
yg
y
d)(
)(
d
其中 0)(?yg
（ 2 ）两边积分,xxf
yg
y d)(
)(
d
（ 3 ） 计算上述 不定积分,得通解,
例 2 求 0' xyy 的通解,解 方程变形为 xy
x
y
d
d,
分离变量得 xxyy dd 0?y,
两边积分得 xx
y
y
d
d
,
求积分得 1
2
2
1
||ln Cxy,所以
2
1
1
2
2
1
2
1
eee||
x
C
Cx
y
,
即
22
11
11
22e e e ( e )
xx
CCy C C
,
方程通解为 22
1
e xCy （ C 为任意常数）,
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶 )0(?t 时的速度为零．求降落伞下落速度与时间 t 的函数关系,
解 设降落伞下落速度为 )( tv 时伞所受空气阻力为
kv? （负号表示阻力与运动方向相反,k 为常数）．另外，
伞在下降过程中还受重力 mgP? 作用，故由牛顿第二定律得 kvmg
t
v
m
d
d
且有初始条件,0|
0
t
v 于是，所给问题归结为求解初值问题
0
d,
d
| 0,t
vm m g k v
t
v?
kv R?
mg P?
对上述方程分离变量得 m
t
kvmg
v dd?
,
两边积分 得 m
t
kvmg
v dd,
可得 1||ln
1 C
m
tkvmg
k,
整理得?
1e1e kCtmk
k
CC
k
mgv
,
由初始条件得
0
0e
mg
C
k
,即
k
mg
C?,故所求特解为
)e1(
t
m
k
k
mg
v
,
由此可见，随着 t 的增大，速度 v 逐渐变大且趋于常数
k
mg
，但不会超过
k
mg
，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动,
1,微分方程通解中的任意常数 C 最终可表示为
2
s i n,e
1
C
C
(
12
,CC 为任意实数 ),
3
ln C
3
( C 为实数,0
3
C )
等形式吗？
2,微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），
通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否相互平行 ( 注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率 相同 ),
思考题第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程一,一阶线性微分方程二,可降阶的高阶微分方程第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程定义 形如 )()(
d
d
xQyxP
x
y
的方程,称为一阶线性方程,其中 )(),( xQxP 为已知函数,
当 0)(?xQ 时,有 0)(
d
d
yxP
x
y
称其为齐次线性方程；
当 0)(?xQ 时,称 )()(
d
d
xQyxP
x
y
为非齐次线性方程,
一、一阶线性微分方程
（ 1 ） 先求齐次线性方程的解 分离变量得 d ( ) dy P x x
y,
两边积分得 1l n | | ( ) dy P x x C,即
xxPCy de )(,
（ 2 ）常数变易法求非齐次线性方程的通解令
( ) d
( ) e
P x x
y C x
为非齐次线性方程的解,
代入得
)(e)(
d)( xQxC xxP,即 xxPxQxC d)(e)()(,
两边积分得 CxxQxC
xx de)()( d)p(,
一阶线性微分方程的解法
p ( ) d _ p ( ) d ( ) e d e,x x x xy Q x x C
上式称为一阶线性非齐次程的通解公式,上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤为,
（ 1 ）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解,
（ 2 ）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解 ( 将所求出的齐次方程的通解中的任意常数 C 改为待定函数 )( xC 即可 ),
（ 3 ）将所设解代入非齐次线性方程,解出 )( xC,并写出非齐次线性方程的通解,
将 )( xC 代入 xxxCy de )p()( 得通解为例 1 求方程 x xxyy ln 的通解,
解 原方程变形为 xyxy ln1 ( 1)
此方程为一阶线性非齐次方程,首先对 (1) 式所对应的齐次方程求解
01 y
x
y (2)
方程 (2) 分离变量得 x
x
y
y dd?
两边积分得 Cxy lnlnln,即 Cxy lnln?
所以,齐次方程（ 2 ）的通解为 Cxy? (3)
将通解中的任意常数 C 换成待定函数 )( xC,即令
xxCy )(? 为方程（ 1 ）的通解,将其代入方程 ( 1 ) 得
'( ) l nxC x x?,于是
xxxC ln
1)(,
所以 Cxxxxx xxC 2)( ln21lndlndln)(,将所求的 )( xC 的代入式 (3),得原方程的通解为
2(l n )
2
x
y x C x,
1,)()( xfy n? 型的微分方程方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解,
例 3 求方程 xy c os)3(? 的通解,
解 因为 xy c os)3(?,所以 1s i ndco s Cxxxy,
211 c osd)( s i n CxCxxCxy,
2
1 2 1 2 3
1
( co s ) d s i n,
2
y x C x C x x C x C x C
二、可降阶的高阶微分方程
2,),( yxfy 型的微分方程,
方程的特点：方程右端不显含未知函数 y,
方程的解法：令 )( xpy,则 )( xpy 代入方程得
))(,()( xpxfxp,
这是一个关于自变量 x 和未知函数 )( xp 的一阶微分方程,若可以求出其通解 ),( 1Cx,则 ),( 1Cxy
再积分一次就能得原方程的通解,
例 4 求方程 2)(12 yyyx 的通解,
解 因为方程 2)(12 yyyx 不显含未知函数 y,所以令 )( xpy,则 )()( xpxy,将其代入所给方程,得
212 pppx,分离变量得 xxp pp dd 212,
两边积分 12 lnln)1l n ( Cxp,得 xCp 121,
即 11 xCp,也即 11 xCy,所以
13
22
1 1 2
1
2
( 1 ) d ( 1 )
3
y C x x C x C
C
为所求方程的通解,
方程的解法：求解这类方程可令 )( ypy 则
p
y
p
x
y
y
yp
x
y
y
d
d
d
d
d
d
d
d
)(
,
于是,方程 ),( yyfy 可化为 ),( pyf
y
p
p?
d
d
,
这是关于 y 和 p 的一阶微分方程,如能求出其解
),(
1
Cyp,则可由 ),(
1
Cy
x
y
d
d
求出原方程的解,
3,),( yyfy 型的微分方程方程的特点：右端不显含自变量 x,
思考题
1,是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的任意常 数指定一个适当的值而得到该方程的任一解？
2,可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？各自的求解方法怎样？
第三节 二阶常系数线性微分方程一,二阶常系数线性微分方程解的性质二,二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法三,二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法第三节 二阶常系数线性微分方程定义 1 形如
0 qyypy ①
的方程（其中 qp,为常数）,称为二阶常系数齐次线性微分方程,
定理 1 （齐次线性方程解的叠加原理） 若
21
,yy 是齐次线性方程①的两个解,则
2211
yCyCy 也是①的解,
且当
1
y 与
2
y 线性无关时,
2211
yCyCy 就是方程①的通解,
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
)()()(
221122112211
yCyCqyCyCpyCyC
)()(
22221111
qyypyCqyypyC
000
21
CC
所以 2211 yCyCy 是方程 0 qyypy 的解,
由于
1
y 与
2
y 线性无关,所以,任意常数
1
C 和
2
C 是两个独立的任意常数,即解
2211
yCyCy 中所含独立的任意常数的个数与方程①的阶数相同,则它是方程①的通解,
证毕,
证 将 2211 yCyCy 直接代入方程 ① 的左端,得称 0 qyypy ③
为方程②所对应的齐次方程,
定理 2 （非齐次线性方程解的结构）若 py 为非齐次线性方程②的某个特解,cy 为齐次线性方程③的通解,则
pc
yyy 为非齐次线性方程②之通解,
定义 2 形如 )( xfqyypy ②
的方程 （其中 q,p 为常数）,称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
又因为 cy 中含有两个独立的任意常数,所以
pc yyy 中也含有两个独立的任意常数,故
pc yyy 为方程的通解,
这就是说,pc yyy 确为方程 ② 的解,
)()()(
cpcpcp
yyqyypyy
)()
cccppp
qyypyqyypy（
)(0)( xfxf
证 将 pc yyy 代入方程②的左端有由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性方程 ① 的通解,只须求出它的两个线性无关的特解即可,令 y =
rxe 为方程的解,并代入方程 ① 得
0eee2 rxrxrx qprr
因为 e
rx
0?,所以有
0
2
qprr ④
该方程称为微分方程①的特征方程,称方程④的根为特征根,
二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法
(1) 当特征方程 ④ 有两个不同的实根
1
r 和
2
r 时,
则方程 ① 有两个线性无关的解
1
1
=e
rx
yx,2
2
=e
rx
yx 此时,方程有通解
12
12
ee
r x r x
y C C,
(2) 当特征方程④有两个相同的实根时,即
rrr
21
,方程 ① 只有一个解
1
=e
rx
yx,这时直接验证可知
2
=e
rx
yx 是方程 ① 的另一个解,且
1
y 与
2
y 线性无关,所以,此时有通解
rxrxrx
xCCxCCy eee )(
2121
,
（ 3 ）当特征方程④有一 对共轭复根时,即
ir （其中,均为实常数且 0 ）,此时方程
①有两个线性无关的解
( i )
1
=e
x
y
和
( i )
2
=e
x
yx
,故方程①的通解为 )i()i( ee xxxx BAy
)ee(e i-i xxx BA
θθ
θ
s i nic o se
i
,还可得到实数形式的通解 )s i nco s(e 21 βxCβxCy
xα
,其中
)(,
21
BACBAC （读者自证）,通常情况下,要求写出实数形式的解,
利用 欧拉 公式根据如上讨论,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为,
第一步,写出微分方程的特征方程 0
2
qprr ；
第二步,求出特征根 ；
第三步,根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解,
特征方程的解 通解形式两个不等实根
21
rr?
12
12
ee
r x r x
y C C
两个相等实根
rrr
21
12
e
rx
y C C x
一对共轭复根
ir
xCxCy
x
si nc o se
21
例 1 求方程 065 yyy 的通解,解 方程 065 yyy 的特征方程为
0652 rr,其特征根为 3,2
21 rr,所以
21
3
2
2
1 ( CCCCy
xx, ee 为任意常数）为所给微分方程的通解,
例 2 求方程 02 yyy 的通解,
解 方程的 02 yyy 的 特征方程为 0122 rr,
其特征根 121 rrr （二重特征根）,故所求通解为
xxCCy e)( 21,
例 3 求方程 032 yyy 满足初始条件
1)0(,1)0( yy 的特解,
解 032 yyy 的特征方程为 0322 rr,所以,
特征根 2i1,2i1 21 rr,所以,所给微分方程的通解为 )2s i n2c o s( 21 xCxCy xe,
由初始条件 1)0(?y,得 1
1
C,又因为
''
2
e c os 2 e sin 2
e ( c os 2 2 sin 2 )
xx
x
y x C x
xx
2
e ( s i n 2 2 cos 2 )
x
C x x
,
由 1)0(y 得
2
211 C,从而得 2
2
C,
于是 )2s i n22( c o s xxy xe 为所求,
由非齐次线性方程解的结构定理可知,求非齐次方程
②的通解,可先求出其对应的齐次方程③的通解,再设法求出非齐次线性方程②的某个特解,二者之和就是方程②
之通解,
二阶 常 系数非齐次线性微分方程 )( xfqyypy
特解确定
1,若
x
m
xPxf
e)()(,其中? 为常数,
m
P 为 x 的 m 次多项式,即
0
1
1
)( axaxaxP
m
m
m
mm
,则方程为
x
m
xPqyypy
e)( ⑤
设方程⑤有形如 xp xQy e)( 的解,其中 )( xQ 是一个待定多项式,
三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法为使 xp xQy e)( 满足方程⑤,将 xp xQy e)( 代入方程⑤,整理得 )())()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m' (" ⑥ 上式右端是一个 m 次多项式,所以,左端也应该是
m 次多项式,由于多项式每求一次导数,就要降低一次次数,故有三种情形,
( 1 ) 当时 0
2
qp,即? 不是特征方程
0
2
qp 的根时,式⑥左边 )( xQ 与 m 次多项式
)( xP
m 的次数相同,所以,Q )( x 为一个 m 次待定多项式,可设
1
10)(
mm xbxbxQ
… )(1 xQbxb mmm ⑦
其中
m
bbb,,,
10
为 1?m 个待定系数,将式⑦代入式⑥,比较等式两边同次幂的系数,就可得到
m
bbb,,,
10
为未知数的 1?m 个线性方程的联立方 程组,从而求出
m
bbb,,,
10
,即确定 )( xQ 于是可得方程⑤的一个特解为
p
y =
x
xQ
e)(,
(2) 当 0
2
qp,但 02 p? 时,即? 为特征方程
0
2
qp 的单根,那么式⑥成为 )(2( xPQp)Q
m
",
由此可见,Q? 与 )( xP
m
同次幂,故应设 ( ) ( )
m
Q x x Q x?,
(3) 当 0
2
qp 且 02 p? 时,即? 是特征方程 0
2
qprr 的特征重根时,式 ⑥ 变为
)()( xPxQ
m
",此时应设
)()(
2
xQxxQ
m
,
将它代入方程 ⑥,便可确定 )( xQ m 的系数,即可得方程 ⑤ 的一个特解为
x
mp xQxy
e)(2
,
其中 )( xQ m 为 m 次待定多项式,同样将它代入式 ⑥ 即可求得 )( xQ m 的 1?m 个系数,从而得到方程⑤的一个特解,
综上所述,我们有如下结论,
二阶常系数非齐次线性微分方程
x
m
xPqyypy
e)(
具有特解形如
x
m
k
p
xQxy
e)( ⑧
其中 )( xQ
m
为 m 次多项式,它的 1?m 个系数可由式 ⑧ 中的 )( xQxQ ( x )
m
k
代入式 ⑥ 而得,式 ⑧ 中的 k 确定如下,
0,
1,
2
不是特征根,
是特征单根,
,是特征重根.
k
2,xxPxf axm?c o s)()( e? 或 xxPxf axm?s in)()( e?,
其中,为实数,)( xP m 为 m 次多项式,
此时方程 ⑤ 变为
xxPqyypy axm?c os)( e ⑨
或 xxPqyypy axm?s in)( e ⑨ ’
此时,我们可先令 i 仍用 1 中所述方法确定方程
x
m
xPpyyqy
e)(
的解,则式⑤的解可写成
21
i yyy 的形式,且可证,y
的实部
1
y 即为方程⑨的解 ; y 的虚部
2
y 即为方程
⑨’ 的解,
例 1 求方程 xxyyy 2332 e 的一个特解,
解 由于方程
x
xyyy
2
332 e 的非齐次项（也叫自由项）
x
xxf
2
3)( e? 中的 2 不是特征方程 0322 rr 的根,
故可令
x
p BAxy
2)( e
将 BAxx)(Q 代入式 (6) （不是将 py 直接代入原方程）
xBAxA 3))(344()24(,
即有 xBAAx 3323,
比较系数得
032
33
BA
A,解之得
3
2,1 BA,
因此,xp xy 232 e 为所求特解,
例 2 求方程 xyy 的一个特解,
解 因为方程 xyy 的自由项
xxxf 0)( e?
中的
0 恰是特征方程 02 rr 的一个根,故可设一个特解为 BxAxxBAxy xp 20)( e,
直接将 py 代入所给方程,得 xBAxA )2(2,
即 xBAAx 22,
比较系数得
2 1,
2 0,
A
AB
解之得 1,
2
1
BA,
因此,xxy p 221 为所求方程的特解,
例 3 求方程 xyyy 396 e 的通解,
解 方 程
x
yyy
3
96 e (1)
所对应的齐次方程为
096 yyy (2)
特征方程为 0962 rr,特征根为 3
21 rrr,故齐次方程（ 2 ）的通解为 xc xCCy 321 e)(,
又因为非齐次方程（ 1 ）的自由项
x
xf
3
)( e? 中的 3 恰是二重特征根,故可令
x
p
Axy
32
e? 为方程
（ 1 ）的一个特解,将
2
)( AxxQ? 代入式⑥,得
12?A,即
2
1
A,
于是
x
p
xy
32
2
1
e? 为方程（ 1 ）的一个特解,因此,
xx
pc
xxCCyyy
323
21
2
1
)( ee 为所给方程之通解,
例 4 求方程 xyyy x c o s23 e 的一个特解,
解 由于方程
xyyy
x
c o s23
e (1)
的自由项 xxf
x
c o s)(
e 为
x)1( i
e
的实部,所以先解如下辅助方程的
x
yyy
)1(
23
i
e
(2)
因为 i 1? 不是特征方程 0232 rr 的根,所以可设 xAy )1( ie 为式（ 2 ）的一个解,将 AxQ?)( 代入式 ⑥ 得
1]2)1(3)1[( 2 Aii,即 1)1( Ai,
也即
1 1 i 1 i
i 1 2 2 2A
,
所以方程（ 2 ）的特解
x
y
)1(*
2
1
2
1
i
ei
)si n(c os
2
1
2
1
xx
x
iei
xxxx
xx
si n
2
1
cos
2
1
si n
2
1
cos
2
1
iee
因此,它的实部?
xxy x s i n
2
1c os
2
1*
1 e 就是所给方程的一个特解,
思考题
1,齐次线性常微分方程有何共性？
2,写出以 0526
235
rrrr 为特征方程的常微分方程,
