第一节 不定积分的概念及性质第二节 不定积分的积分方法第五章 不定积分一,不定积分的概念二,基本积分公式三,不定积分的性质第一节 不定积分的概念及性质
1,原函数的概念例 因为 1(l n )x x,故 ln x 是 1x 的一个原函数；
因为 2( ) 2xx,所以 2x 是 2 x 的一个原函数，但
2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 )x x x 2 x?,所以 2 x 的原函数不是惟一的,
原函数说明：
第一，原函数的存在问题：如果 ()fx 在某区间连续，
那么它的原函数一定存在 ( 将在下章加以说明 ),
定义 1 设 ()fx 是定义在某区间的已知函数，若存在函数 ()Fx,使得
( ) ( )F x f x 或 d ( ) ( ) dF x f x x?,
则称 ()Fx 为 ()fx 的一个原函数,
一、不定积分的概念第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若 ()fx
存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论,
定理 若 ()Fx 是 ()fx 的一个原函数，则 ()F x C? 是
()fx 的全部原函数，其中 C 为任意常数,
证 由于 ( ) ( )F x f x,又 [ ( ) ] ( ) ( )F x C F x f x,
所以函数族 ()F x C? 中的每一个都是 ()fx 的原函数,
另一方面,设 ()Gx 是 ()fx 的任一个原函数,
即 ( ) ( )G x f x,则可证 ()Fx 与 ()Gx 之间只相差一个常数,
这样就证明了 ()fx 的全体原函数刚好组成函数族
()F x C?,
所以 ( ) ( )F x G x C,或者 ( ) ( )G x F x C,这就是说
()fx 的任一个原函数 ()Gx 均可表示成 ()F x C? 的形式,
事实上,因为
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x F x G x f x f x,
2,不定积分的概念 定义 2 函数 ()fx 的全体原函数 ()F x C? 叫做 ()fx 的不定积分，定积分，记为
( ) d ( )f x x F x C,其中 ( ) ( )F x f x,上式中的 x 叫做积分变量,()fx 叫做被积函数,( ) df x x 叫做被积表达式,C 叫做积分常数，,?,叫做积分号,
例 1 求下列不定积分,（ 1 ） 2 dxx? ； （ 2 ） s i n dxx? ； （ 3 ） 1 d x
x?
,
解 （ 1 ）因为 2331 xx?
,所以 Cxxx 32 31d,
（ 2 ）因为 xx s in)c o s(,所以 Cxxx c o sds in,
（ 3 ）因为 0?x 时,xx 1)( ln,又 0?x 时,
xxx
11])[ ln (?
,所以 Cxx
x ||lnd
1,
例 2 设曲线过点（ 1,2 ）且斜率为 x2,求曲线方程,
解 设所求曲线方程为 )( xyy?,按 xx
y 2
d
d?,故 Cxxxy 2d2,
又因为曲线过点（ 1,2 ），故代入上式 C 12,得 1?C,
于是所求方程为 12 xy,例 3 设某物体运动速度为 23 t?v,且当 0?t 时,2?s,
求运动规律 )( tss?,
解 按题意有 23)( tts,即 Ctttts 32 d3)(,再将 条件 0?t 时 2?s 代入得 2?C,故所求运动规律为,2
3 ts
积分运算与微分运算之间的互逆关系：
（ 1 ） )(d)( xfxxf 或 ；xxfxxf d)(d)(d
(2) CxFxxF )(d)(' 或,CxFxF )()(d
由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式,(1) Ckxxk d ( k 为常数 ),
(2) Cxxx?
1
1
1d
（ 1 ）,
(3) Cxxx lnd1,
(4) e d exxxC,
(5) Caaxa
x
x
lnd,(6) Cxxx s indc o s,
(7) Cxxx c o sds in,
二,基本积分公式
(8) Cxxxxx ta nds e cdc o s1 22,
(9) Cxxxxx c o tdc s cds in 1 22,
(10) Cxxxx s e cdta ns e c,
(11) Cxxxx c s cdc o tc s c,
(12) Cxxx a r c ta nd1 1 2,
（ 13 ） Cxxx a r c s ind1 1 2,
性质 1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即 xxfkxxkf d)(d)( （ 0?k ）,
性质 2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和,即
xxgxxfxxgxf d)(d)(d)()(,
例 4 求下列不定积分：
（ 1 ）? ；x
x
d
1
2 (2)? xxx d ； (3)? gx
x
2
d
,
解 （１）
C
xC
xxxx
x
1
12dd
1 122
2,
（２） Cxxxxxx 2
5
2
3
5
2dd,
三,不定积分的性质
（３）
x
x
ggx
x d
2
1
2
d
g
gx
Cx
g
2
1
2
1
1
2
1 1
2
1
C,
例 5 求下列不定积分,
（１） xxxx d11 ； （２） xxx d1122,
解 （ 1 ）
x
x
xxxx
x
xx d
1
1d
1
1
xxxxxxxx d1d1dd
.22152 2
1
22
5
Cxxxx
（２）
x
x
x
x
xx
x
x d
1
21d
1
21d
1
1
22
2
2
2
.a r c ta n21d2d 2 Cxxx xx
例 6 求下列不定积分,(1)? xx dt a n
2 ； (2)? xx d
2
s i n 2,
解 (1) xx dta n 2 xx d)1( s e c 2
=,ta ndds e c 2 Cxxxxx
2 1 c ossin d d
22
11
sin,
22
xx
xx
x x C
(2)
例 7 设,c o ss i n 22 xxf 求xf,
解 由于 xxxf 222 s in1c o ss in,
所以
xxf 1,故知 )( xf 是 x?1 的原函数,
Cxxxxxf 2d)1()( 2,
得思考题 1,在不定积分的性质 xxfkxxkf d)(d
中,为 何 要求 0?k？
2,思考下列问题：(1) 若,s i n2d Cxxxf x 则xf 为何？
(2) 若 )( xf 的一个原函数为,c o s x 则 xxf d
为何？
一,换元积分法二,分部积分法三,简单有理数的积分第二节 不定积分的积分方法
1,第一换元积分法 (凑微分法 )
直接验证得知,计算方法正确．
例 1 求 xx de 3?,解 被积函数 x3e 是复合函数，不能直接套用公式
，我们可以把原积分作下列变形后计算： Cx xx ede
xuxx xx 3)d ( 3e31de 33 令 Cu uu e31de31回代
3
1 Cx?3e,
例 2 求 xx x de2 2?,解 注意到被积式中含有 2e x 项,而余下的部分恰有微分关系,22 d d ( )x x x?,于是类似 于例 1,可作如下变 换和计算：
一、换元积分法
.eede)(dede2 222
2
2 CCuxuxxx xuuxx 回代令上述解法的特点是引入新变量 )( xu,从而把原积分化为关于 u 的一个简单的积分,再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式 Cx xx ede 中，将 x 换成了 )( xu,对应得到的公式 Cu
uu ede 是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：
定理 如果 CxFxxf )(d)(,则
.)(d)( CuFuuf
其中 )( xu 是 x 的任一个可微函数,
证 由于 CxFxxf )(d)(,所以
xxfxF d)()(d?,根据微分 形式不变性,则有,
uufuF d)()(d?,其中 )( xu 是 x 的可微函数，由此得
,)()(dd)( CuFuFuuf
这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中,自变量 x 换成任一可微函数 )( xu 后公式仍成立,
这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一结论,上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程序,)(
)(d)]([d)()]([ xuxxfxxxf 令凑微分
,)]([)(d)( CxFCuFuuf
回代这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法,
例 3 求? xxx ds inc o s 2,
解 设,c o s xu? 得 xxu ds ind,.c o s
3
1
3
1dds inc o s 3322 CxCuuuxxx
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微分成积分公式的形式,
例 4 求 xx x 2ln1 d,
解
2 2 2
d 1 d 1
d l n
1 l n 1 l n 1 l n
a r c s i n l n,
xx
x
xx x x x
xC
例 5 求? xx x ds in,
解 Cxxxx
x
x
c os2ds in2d
s in
,
凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成 )(d x?,这需要解题经验,如果记熟下列一些微分式,解题中则会给我们以启示．,)(d
1
d bax
a
x,)(d
2
1
d 2xxx?,)(d2
d
x
x
x
，)e(dde xx x?,|)|( lndd
1
xx
x
,)( c osdds in xxx
，)( s inddc os xxx?,)( ta ndds e c 2 xxx?,)( c o tddc s c 2 xxx,)( a r c s ind
1
d
2
x
x
x
)( a r c ta nd
1
d
2
x
x
x
,
下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧,
例 6 求下列积分：
(1) ；)0(
d
22
a
xa
x
(2) ；?
22
d
xa
x
(3) ；? xx dt a n
(4) ；xx dc o t? (5)? ；xx ds e c (6)?,dc s c xx
a
x
a
x
x
a
x
a
xa
x
d
1
1
d
1
1d
2
222
解 （ 1）
=,a r c s in Cax?
类似得 (2),a r c ta n1d 22 Caxaxa x
(3),|c os|ln
c os
)( c osd
d
c os
s in
dta n Cx
x
x
x
x
x
xx
类似得 (4),|s in|lndc o t Cxxx (5) x
xx
xxxx
xx
xxxxx d
s e cta n
ta ns e cs e cd
s e cta n
)ta n( s e cs e cds e c 2
.|ta ns e c|ln)s e c( ta nd)s e c( ta n 1 Cxxxxxx
类似得 (6) Cxxxx |c o tc s c|lndc s c,
本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．
例 7 求下列积分：
(1)?；x
ax
d
1
22 (2)；x
x
x
d
4
3
2
(3)
1
d
1e x
x
；
(4)? ；xx ds in 2 (5)?；x
x
d
c o s1
1
(6)? xxx d3c os5s i n,
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形,
xaxaxaxax d112 1d11 22
]dd[
2
1
ax
ax
ax
ax
a Caxax
a ]ln[ ln2
1
.ln21 Cax axa
（ ２） x
x
x
x
xx
x
x d
44
d3d
4
3
222
22 4d
4
2
1
2
a r c s in3 x
x
x?
.42a r c s in3 2 Cxx （３） xxx
x
x
x
xx
x de1
e1d
e1
ee1d
e1
1
xxx e1de1 1d
,e1ln Cx x
（４） xxxxxxx d2c o s21d21d2 2c o s1ds in 2
xxx 2d2c o s4121
.2s in4121 Cxx
（５）
2
d
2
c o s
1
2
c o s2
d
d
c o s1
1
22
x
xx
x
x
x
.2ta n Cx
（６） xxxxxx d2s in8s in
2
1
d3c os5s in
（积化和差）
xxxx 2d2s in218d8s in8121
.2c o s418c o s161 Cxx
例 8 计算积分,2d xx x
解一
222
121
d2
2
1
4
1
dd
x
x
x
x
xx
x
,12a r c s in121
12d
2
Cx
x
x
解二 因为,d2d xxx? 所以
,a r c s in2)(1
d2
1
dd
22 Cxx
x
xx
x
xx
x
本题说明,选用不同的积分方法,可能得出不同形式的积分结果,
２,第二换元积分法第一换元积分方法是选择新的积分变量,xu 但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令,tx
把 t 作为新积分变量，才能积出结果，即
d
xt
f x x
换元
1
1d,txf t t t F t C F x C
积分回代这种方法叫第二换元法,
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数,tx
对于,tx 要求其单调可导,,0 t? 且其反函数
xt 1 存在,下面通过一些例子来说明,
例 ９ 求 xxx d1,
解 为了消去根式，可令,02 ttx 则,d2d ttx?
于是
tttttttxxx d12d21d1 2
tttttt d1 112d1 112 2
2 2 2 l n 1t t t C
2 2 l n 1,tx x x x C回 代例１０ 求 xxx d13 13,解 令,133 tx 即,1
3
1 3 tx 则 ttx dd 2? 代入后，得
3 4 5 21 1 1 1d 2 d3 1 5 331x x t t t t t Cx
,21351 3 2 Cxx
由以上二例可以看出,被积函数中含有被开方因式为一次式的根式
n bax?
时,令 tbax
n
可以消去根号,
从而求得积分,下面重点讨论被积函数含有被开方因式为二次式的根式的情况,
例 １１ 求,d22 xxa 解 作三角变换，令 ππsin,
22
x a t t
那么
,dc o sdc o s22 ttaxtaxa 且于是 ttattaxxa d2 2c o s1dc o sd 22222 22
sin 2,24aat t C
为把 t 回代成 x 的函数，可根据
a
x
t?s in,
作辅助直角三角形（如右图）,
得
a
xa
t
22
c o s
,
所以
Cxax
a
xa
xxa 22
2
22
2
1
a r c s in
2
d,
x a
a 2 x
2
-
例１２ 求
0
d
2
3
22
a
xa
x
,
解 令 2ππta n d se c d22x a t t x a t t
，则,所以
Ct
a
tt
a
t
ta
ta
xa
x
s i n
1
dc os
1
d
s e c
s e cd
2333
2
2
3
22
,
由 右图所示的直角三角形，得
,s in 22 xa xt
故
.d 222
2
3
22
C
xaa
x
xa
x?
x
a
a
2 x
2
+
t
一般地说,当被积函数含有
(1)
22
xa?,可作代换 tax s i n? ；
(2) 22 xa?,可作代换 tax t a n? ；
(3) 22 ax?,可作代换 tax s e c?,
通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重要组成部分，但在具体解题时,还要具体分析,例如,
xaxx d
22
就不必用三角代换，而用凑微分法更为方便,
设函数 )( xuu?,)( xvv? 具有连续导数，根据乘积微分公式有
,ddd uvvuuv
移项得,d)(dd uvuvvu
两边积分得,dd uvuvvu
该公式称为分部积分公式，它可以将求? vu d 的积分问题转化为求? uv d 的积分，当后面这个积分较容易求时，分 部 积分公式就起到了化难为易的作用,
二、分部积分法例 13 求?,dc o s xxx
解 设 ),( s inddc osd,xxxvxu
于是,s in,dd xvxu 代入公式有
xxx dc o s = xx s ind = xxxx ds ins in,c o ss i n Cxxx 注,本题若设,dd,c o s xxvxu 则有 xxu ds i nd 及
2
2
1 xv?,代入公式后，得到? xxx dc os = 2
2
1 x?xc os
2
1 xxx ds i n2?,
新得到积分? xxx ds in2 反而比原积分更难，说明这样设
vu d,是不合适的，由此可见，运用好分 部 积分关键是恰
vu d,当地选择好 u 和 vd,一般要考虑如下两点,
（ 1 ） v 要容易求得（可用凑微分法求出）；
（ 2 ）? uv d 要比? vu d 容易积出,
例 14 求? xxx dln,解? xxx dln =?
2
dln
2x
x =xxxx lnd
2
ln
2
1 22
.41ln2d21ln2 222 Cxxxxxxx
当熟悉分部积分法后,vu d,及 uv d,可心算完成，不必具体写出,例 15 求 xx
x de2?,
解 xx x de2? =222 deeed xxx xxx
22e 2 e d e 2 d ex x x xx x x x x
Cxxxxx xxxxxx e2e2edee2e 22
,e222 Cxx x
例 16 求 xxx ds ine?,
解 xxxxxx xxxx dc o ses ineeds inds ine
将再次出现的 xxx ds ine? 移至左端，合并后除以 2 得所求积分为
,c o ss ine21ds ine Cxxxx xx
.ds inec oses ine
edc oss ine
xxxx
xx
xxx
xx
小结,下述几种类型积分，均可用分 部 积分公式求解,
且 vu d,的设法有规律可循,
(1)? xx
axn de
,? xaxx
n ds i n
,? xaxx
n dc os
，可设
nxu?；
( 2) xxx
n
dln?,? xxx
n
da r c s i n,? xxx
n
da r c t a n,
可设 xu ln?,xa r c s i n,xa r c ta n ；
(3)? xbxax ds ine,? xbxax dc ose,可设 bxu s i n?,bxc os,
说明,（ 1 ）常数也视为幂函数,
（ 2 ）上述情况 nx 换成多项式时仍成立,
例 17 求 xx da r c ta n?,
解 先换元，令
2
tx0?t,则 ttx d2d?,
原式 = 2da r c t a nd2a r c t a n ttttt = tt a r c ta n2 - tt a r c t a nd2 tt a r c ta n2 - t
t
t
d
1
2
2
= tt a r c ta n2 - tt d1 11 2
= tt a r c ta n2 Ctt a r c ta n
C xxx -a r c ta n)1(,
例 18 求
x
x
x
d
1
a r c s in
32?
,
解 换元，令 tx s i n?,则 ttx dcosd? 及 xt a r c s i n?,
原式32 dc o s d d ta nc o s c o stt t t t t ttt
Cttttttt c o slnta ndta nta n
Cxxxx 22 1ln1a r c s in,
例 19 用多种方法求 xxx d1,
解一 分项,凑微分,x
x
x d
1 =
x
xxxx
x
x
1
dd1d
1
11,
解二 令 ux1,则,dd ux?
xxx d1 = uuuuuuu ddd1,解三 令 x?1 = 2u,则,d2d uux?
xxx d1 =,d12d21 2
2
uuuuuu
解四 令 tx
2
t a n?,ds e ct a n2d
2
tttx?，则
x
x
x d
1
=? ttt
t
t ds e cta n2
s e c
ta n 22
tt s e cd1s e c2 2,
解五 分部积分
xxx d1 =xx 12d = xxxx d1212,
有理分式是指两个多项式之比，即
xQ
xP
xR?,
这里 )( xP 与 )( xQ 不可约．当 )( xQ 的次数高于 )( xP 的次数时,)( xR 是真分式，否则 )( xR 为假分式,
利用多项式除法,总可把假分式化为一多项式与真分式之和,例如
,12 2125212 3 222 4 xx xxxxx x
多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法．
一般真分式的积分方法：（ 1 ）将分母 )( xQ 分解为一次因式（可能有重因式）和二次质因式的乘积,
（ 2 ）把该真 分 式按分母的因式，分解成若干简单分式
（称为部分分式）之和．（ 3 ）简单分式的积分,
三、简单有理式的积分化真分式为部分分式之和举例说明：
（ 1 ） 分母 )( xQ 含有单因式 ax? 时，这时分解式中对应有一项
ax
A
，其中 A 为待定系数,
例如 )( xR =
2121
32
2
32
23
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
,
为确定系数 CBA,,,我们用 )2)(1( xxx 乘等式两边,
得 )1()2()2)(1(32 xCxxBxxxAx,
因为这是一个恒等式，将任何 x 值带入都相等,故可令
0?x,得 A23,即
3
2
A,类似地，令 1?x,得 B35?,
即 B =
3
5； 令 2x,得 C61,即
1
6
C,
于是得到 )( xR =
21
32
xxx
x
=
2
6
1
1
3
5
2
3
xxx
,
(2) 当分母 )( xQ 含有重因式 nax )(? 时，这时部分分式中相应有 n 个项,
ax Aax Aax A nnnn 111,,,,.,
例如
111
1
2
1
22
2
23
2
x
C
x
B
x
A
xx
x
xxx
x
,
为确定系数 A,B,C,将上式两边同乘以 21?xx 得
111 22 xCxBxxAx,令 0?x,得 1?A ；再令 1?x,得 2?B ；令 2?x,得
CBA 225 代入已求得的 A,B 值,得 0C?,所以
223
2
1
21
2
1
xxxxx
x,
（ 3 ）当分母 )( xQ 中含有质因式 qpxx
2
，这时部分分式中相应有一项
qpxx
BAx
2
,
例如
32 2
44
2 3 1 313
x x A Bx C
x x x x xx x x
,
为确定待定系数，等式两边同乘以31 2 xxx,
得 Ax 432 xx )1)(( xCBx,令 1?x 得,A55?,即 1?A ；再令 0?x,得 CA 34,即
1C ；令 2?x,得 CBA 296,即 1B,所以
3
1
1
1
32
4
23
xx
x
xxx
x,
（ 4 ）当分母 )( xQ 含有 nqpxx )( 2 因式时，这种情况积分过于繁复，我们略去不讨论了,
有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式,
2
2
1d
2d
3 d 4 0,
n
A
x
xa
A
x
xa
Ax B
x p q
x px q
；
前两种积分,简单凑微分法即可获解,下面举例说明 （ 3） 式的积分方法,
例 20 求积分 x
xx
x
d
42
23
2?
,
解 改 写 被 积 分 函 数 分 子 为
23 x
2
3
5)22(x,( 注意,括号内 22?x 正好是分母的导数,22?x =
42
2
xx ) 于是
xxx x d42 232
=
42
d
5d
42
22
2
3
22 xx
x
x
xx
x
= 312 d542 42d23 22
2
xx
x
xx
xx
=
2
3 42ln 2 xx -
22 31
d5
x
x
= 23 42ln 2 xx - Cx3 1a r c ta n35,
例 21 求
2
32
1 d
2
x x
x x x
,解 由前面的情况（ 2 ）知,
223
2
1
21
2
1
xxxxx
x,
所以 x
xxx
x
d
2
1
23
2
=
x
x
x
x
d
1
1
2d
1
2
= Cxx 12ln,
例 22 求 xxx x d)1)(21( 2
2
,
解 被积函数是真分式，分母中
2
1 x? 为二次质因式,
所以
,121121 22
2
x
CBx
x
A
xx
x
将等式两边同乘以2121 xx,得
,211 22 xCBxxAx
分别令?x -
2
1
，得 A =
5
1； 0?x 得 CA0,即
5
1
AC ;
1?x,得 A21 )(3 CB?,求得
5
2
B,
所以
22
2
1
5
1
5
2
21
5
1
121 x
x
xxx
x
,
于是
x
xx
x
d
121
2
2
= x
x
x
x
x
d
1
12
5
1
21
d
5
1
2
=
22
2
1
d
5
1
1
1d
5
1
21
21d
2
1
5
1
x
x
x
x
x
x
= Cxxx a r c ta n
5
1
1ln
5
1
21ln
10
1 2
,
说明,（ 1 ）有些不定积分，如
2 ed
e d,d,,
ln
x
x x
xx
xx
4
d
1
x
x?
等，虽然这些不定积分都存在，却不能用初等函数表达所求的原函数，这时称,积不出”,
（ 2 ）在工程技术问题中，我们还可以借助查积分表来求一些较复杂的不定积分，也可以利用数学软件包在计算机上求原函数,
思考题
1,第一换元法 （ 即凑微分法 ） 与第二换元法的区别是什么？
2,应用分部积分公式 uvuvvu dd 的关键是什么？
对于积分?,d)()( xxgxf 一般应按什么样的规律去设 u 和
vd？
1,原函数的概念例 因为 1(l n )x x,故 ln x 是 1x 的一个原函数；
因为 2( ) 2xx,所以 2x 是 2 x 的一个原函数，但
2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 )x x x 2 x?,所以 2 x 的原函数不是惟一的,
原函数说明：
第一，原函数的存在问题：如果 ()fx 在某区间连续，
那么它的原函数一定存在 ( 将在下章加以说明 ),
定义 1 设 ()fx 是定义在某区间的已知函数，若存在函数 ()Fx,使得
( ) ( )F x f x 或 d ( ) ( ) dF x f x x?,
则称 ()Fx 为 ()fx 的一个原函数,
一、不定积分的概念第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若 ()fx
存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论,
定理 若 ()Fx 是 ()fx 的一个原函数，则 ()F x C? 是
()fx 的全部原函数，其中 C 为任意常数,
证 由于 ( ) ( )F x f x,又 [ ( ) ] ( ) ( )F x C F x f x,
所以函数族 ()F x C? 中的每一个都是 ()fx 的原函数,
另一方面,设 ()Gx 是 ()fx 的任一个原函数,
即 ( ) ( )G x f x,则可证 ()Fx 与 ()Gx 之间只相差一个常数,
这样就证明了 ()fx 的全体原函数刚好组成函数族
()F x C?,
所以 ( ) ( )F x G x C,或者 ( ) ( )G x F x C,这就是说
()fx 的任一个原函数 ()Gx 均可表示成 ()F x C? 的形式,
事实上,因为
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x F x G x f x f x,
2,不定积分的概念 定义 2 函数 ()fx 的全体原函数 ()F x C? 叫做 ()fx 的不定积分，定积分，记为
( ) d ( )f x x F x C,其中 ( ) ( )F x f x,上式中的 x 叫做积分变量,()fx 叫做被积函数,( ) df x x 叫做被积表达式,C 叫做积分常数，,?,叫做积分号,
例 1 求下列不定积分,（ 1 ） 2 dxx? ； （ 2 ） s i n dxx? ； （ 3 ） 1 d x
x?
,
解 （ 1 ）因为 2331 xx?
,所以 Cxxx 32 31d,
（ 2 ）因为 xx s in)c o s(,所以 Cxxx c o sds in,
（ 3 ）因为 0?x 时,xx 1)( ln,又 0?x 时,
xxx
11])[ ln (?
,所以 Cxx
x ||lnd
1,
例 2 设曲线过点（ 1,2 ）且斜率为 x2,求曲线方程,
解 设所求曲线方程为 )( xyy?,按 xx
y 2
d
d?,故 Cxxxy 2d2,
又因为曲线过点（ 1,2 ），故代入上式 C 12,得 1?C,
于是所求方程为 12 xy,例 3 设某物体运动速度为 23 t?v,且当 0?t 时,2?s,
求运动规律 )( tss?,
解 按题意有 23)( tts,即 Ctttts 32 d3)(,再将 条件 0?t 时 2?s 代入得 2?C,故所求运动规律为,2
3 ts
积分运算与微分运算之间的互逆关系：
（ 1 ） )(d)( xfxxf 或 ；xxfxxf d)(d)(d
(2) CxFxxF )(d)(' 或,CxFxF )()(d
由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式,(1) Ckxxk d ( k 为常数 ),
(2) Cxxx?
1
1
1d
（ 1 ）,
(3) Cxxx lnd1,
(4) e d exxxC,
(5) Caaxa
x
x
lnd,(6) Cxxx s indc o s,
(7) Cxxx c o sds in,
二,基本积分公式
(8) Cxxxxx ta nds e cdc o s1 22,
(9) Cxxxxx c o tdc s cds in 1 22,
(10) Cxxxx s e cdta ns e c,
(11) Cxxxx c s cdc o tc s c,
(12) Cxxx a r c ta nd1 1 2,
（ 13 ） Cxxx a r c s ind1 1 2,
性质 1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即 xxfkxxkf d)(d)( （ 0?k ）,
性质 2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和,即
xxgxxfxxgxf d)(d)(d)()(,
例 4 求下列不定积分：
（ 1 ）? ；x
x
d
1
2 (2)? xxx d ； (3)? gx
x
2
d
,
解 （１）
C
xC
xxxx
x
1
12dd
1 122
2,
（２） Cxxxxxx 2
5
2
3
5
2dd,
三,不定积分的性质
（３）
x
x
ggx
x d
2
1
2
d
g
gx
Cx
g
2
1
2
1
1
2
1 1
2
1
C,
例 5 求下列不定积分,
（１） xxxx d11 ； （２） xxx d1122,
解 （ 1 ）
x
x
xxxx
x
xx d
1
1d
1
1
xxxxxxxx d1d1dd
.22152 2
1
22
5
Cxxxx
（２）
x
x
x
x
xx
x
x d
1
21d
1
21d
1
1
22
2
2
2
.a r c ta n21d2d 2 Cxxx xx
例 6 求下列不定积分,(1)? xx dt a n
2 ； (2)? xx d
2
s i n 2,
解 (1) xx dta n 2 xx d)1( s e c 2
=,ta ndds e c 2 Cxxxxx
2 1 c ossin d d
22
11
sin,
22
xx
xx
x x C
(2)
例 7 设,c o ss i n 22 xxf 求xf,
解 由于 xxxf 222 s in1c o ss in,
所以
xxf 1,故知 )( xf 是 x?1 的原函数,
Cxxxxxf 2d)1()( 2,
得思考题 1,在不定积分的性质 xxfkxxkf d)(d
中,为 何 要求 0?k？
2,思考下列问题：(1) 若,s i n2d Cxxxf x 则xf 为何？
(2) 若 )( xf 的一个原函数为,c o s x 则 xxf d
为何？
一,换元积分法二,分部积分法三,简单有理数的积分第二节 不定积分的积分方法
1,第一换元积分法 (凑微分法 )
直接验证得知,计算方法正确．
例 1 求 xx de 3?,解 被积函数 x3e 是复合函数，不能直接套用公式
，我们可以把原积分作下列变形后计算： Cx xx ede
xuxx xx 3)d ( 3e31de 33 令 Cu uu e31de31回代
3
1 Cx?3e,
例 2 求 xx x de2 2?,解 注意到被积式中含有 2e x 项,而余下的部分恰有微分关系,22 d d ( )x x x?,于是类似 于例 1,可作如下变 换和计算：
一、换元积分法
.eede)(dede2 222
2
2 CCuxuxxx xuuxx 回代令上述解法的特点是引入新变量 )( xu,从而把原积分化为关于 u 的一个简单的积分,再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式 Cx xx ede 中，将 x 换成了 )( xu,对应得到的公式 Cu
uu ede 是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：
定理 如果 CxFxxf )(d)(,则
.)(d)( CuFuuf
其中 )( xu 是 x 的任一个可微函数,
证 由于 CxFxxf )(d)(,所以
xxfxF d)()(d?,根据微分 形式不变性,则有,
uufuF d)()(d?,其中 )( xu 是 x 的可微函数，由此得
,)()(dd)( CuFuFuuf
这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中,自变量 x 换成任一可微函数 )( xu 后公式仍成立,
这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一结论,上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程序,)(
)(d)]([d)()]([ xuxxfxxxf 令凑微分
,)]([)(d)( CxFCuFuuf
回代这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法,
例 3 求? xxx ds inc o s 2,
解 设,c o s xu? 得 xxu ds ind,.c o s
3
1
3
1dds inc o s 3322 CxCuuuxxx
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微分成积分公式的形式,
例 4 求 xx x 2ln1 d,
解
2 2 2
d 1 d 1
d l n
1 l n 1 l n 1 l n
a r c s i n l n,
xx
x
xx x x x
xC
例 5 求? xx x ds in,
解 Cxxxx
x
x
c os2ds in2d
s in
,
凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成 )(d x?,这需要解题经验,如果记熟下列一些微分式,解题中则会给我们以启示．,)(d
1
d bax
a
x,)(d
2
1
d 2xxx?,)(d2
d
x
x
x
，)e(dde xx x?,|)|( lndd
1
xx
x
,)( c osdds in xxx
，)( s inddc os xxx?,)( ta ndds e c 2 xxx?,)( c o tddc s c 2 xxx,)( a r c s ind
1
d
2
x
x
x
)( a r c ta nd
1
d
2
x
x
x
,
下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧,
例 6 求下列积分：
(1) ；)0(
d
22
a
xa
x
(2) ；?
22
d
xa
x
(3) ；? xx dt a n
(4) ；xx dc o t? (5)? ；xx ds e c (6)?,dc s c xx
a
x
a
x
x
a
x
a
xa
x
d
1
1
d
1
1d
2
222
解 （ 1）
=,a r c s in Cax?
类似得 (2),a r c ta n1d 22 Caxaxa x
(3),|c os|ln
c os
)( c osd
d
c os
s in
dta n Cx
x
x
x
x
x
xx
类似得 (4),|s in|lndc o t Cxxx (5) x
xx
xxxx
xx
xxxxx d
s e cta n
ta ns e cs e cd
s e cta n
)ta n( s e cs e cds e c 2
.|ta ns e c|ln)s e c( ta nd)s e c( ta n 1 Cxxxxxx
类似得 (6) Cxxxx |c o tc s c|lndc s c,
本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．
例 7 求下列积分：
(1)?；x
ax
d
1
22 (2)；x
x
x
d
4
3
2
(3)
1
d
1e x
x
；
(4)? ；xx ds in 2 (5)?；x
x
d
c o s1
1
(6)? xxx d3c os5s i n,
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形,
xaxaxaxax d112 1d11 22
]dd[
2
1
ax
ax
ax
ax
a Caxax
a ]ln[ ln2
1
.ln21 Cax axa
（ ２） x
x
x
x
xx
x
x d
44
d3d
4
3
222
22 4d
4
2
1
2
a r c s in3 x
x
x?
.42a r c s in3 2 Cxx （３） xxx
x
x
x
xx
x de1
e1d
e1
ee1d
e1
1
xxx e1de1 1d
,e1ln Cx x
（４） xxxxxxx d2c o s21d21d2 2c o s1ds in 2
xxx 2d2c o s4121
.2s in4121 Cxx
（５）
2
d
2
c o s
1
2
c o s2
d
d
c o s1
1
22
x
xx
x
x
x
.2ta n Cx
（６） xxxxxx d2s in8s in
2
1
d3c os5s in
（积化和差）
xxxx 2d2s in218d8s in8121
.2c o s418c o s161 Cxx
例 8 计算积分,2d xx x
解一
222
121
d2
2
1
4
1
dd
x
x
x
x
xx
x
,12a r c s in121
12d
2
Cx
x
x
解二 因为,d2d xxx? 所以
,a r c s in2)(1
d2
1
dd
22 Cxx
x
xx
x
xx
x
本题说明,选用不同的积分方法,可能得出不同形式的积分结果,
２,第二换元积分法第一换元积分方法是选择新的积分变量,xu 但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令,tx
把 t 作为新积分变量，才能积出结果，即
d
xt
f x x
换元
1
1d,txf t t t F t C F x C
积分回代这种方法叫第二换元法,
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数,tx
对于,tx 要求其单调可导,,0 t? 且其反函数
xt 1 存在,下面通过一些例子来说明,
例 ９ 求 xxx d1,
解 为了消去根式，可令,02 ttx 则,d2d ttx?
于是
tttttttxxx d12d21d1 2
tttttt d1 112d1 112 2
2 2 2 l n 1t t t C
2 2 l n 1,tx x x x C回 代例１０ 求 xxx d13 13,解 令,133 tx 即,1
3
1 3 tx 则 ttx dd 2? 代入后，得
3 4 5 21 1 1 1d 2 d3 1 5 331x x t t t t t Cx
,21351 3 2 Cxx
由以上二例可以看出,被积函数中含有被开方因式为一次式的根式
n bax?
时,令 tbax
n
可以消去根号,
从而求得积分,下面重点讨论被积函数含有被开方因式为二次式的根式的情况,
例 １１ 求,d22 xxa 解 作三角变换，令 ππsin,
22
x a t t
那么
,dc o sdc o s22 ttaxtaxa 且于是 ttattaxxa d2 2c o s1dc o sd 22222 22
sin 2,24aat t C
为把 t 回代成 x 的函数，可根据
a
x
t?s in,
作辅助直角三角形（如右图）,
得
a
xa
t
22
c o s
,
所以
Cxax
a
xa
xxa 22
2
22
2
1
a r c s in
2
d,
x a
a 2 x
2
-
例１２ 求
0
d
2
3
22
a
xa
x
,
解 令 2ππta n d se c d22x a t t x a t t
，则,所以
Ct
a
tt
a
t
ta
ta
xa
x
s i n
1
dc os
1
d
s e c
s e cd
2333
2
2
3
22
,
由 右图所示的直角三角形，得
,s in 22 xa xt
故
.d 222
2
3
22
C
xaa
x
xa
x?
x
a
a
2 x
2
+
t
一般地说,当被积函数含有
(1)
22
xa?,可作代换 tax s i n? ；
(2) 22 xa?,可作代换 tax t a n? ；
(3) 22 ax?,可作代换 tax s e c?,
通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重要组成部分，但在具体解题时,还要具体分析,例如,
xaxx d
22
就不必用三角代换，而用凑微分法更为方便,
设函数 )( xuu?,)( xvv? 具有连续导数，根据乘积微分公式有
,ddd uvvuuv
移项得,d)(dd uvuvvu
两边积分得,dd uvuvvu
该公式称为分部积分公式，它可以将求? vu d 的积分问题转化为求? uv d 的积分，当后面这个积分较容易求时，分 部 积分公式就起到了化难为易的作用,
二、分部积分法例 13 求?,dc o s xxx
解 设 ),( s inddc osd,xxxvxu
于是,s in,dd xvxu 代入公式有
xxx dc o s = xx s ind = xxxx ds ins in,c o ss i n Cxxx 注,本题若设,dd,c o s xxvxu 则有 xxu ds i nd 及
2
2
1 xv?,代入公式后，得到? xxx dc os = 2
2
1 x?xc os
2
1 xxx ds i n2?,
新得到积分? xxx ds in2 反而比原积分更难，说明这样设
vu d,是不合适的，由此可见，运用好分 部 积分关键是恰
vu d,当地选择好 u 和 vd,一般要考虑如下两点,
（ 1 ） v 要容易求得（可用凑微分法求出）；
（ 2 ）? uv d 要比? vu d 容易积出,
例 14 求? xxx dln,解? xxx dln =?
2
dln
2x
x =xxxx lnd
2
ln
2
1 22
.41ln2d21ln2 222 Cxxxxxxx
当熟悉分部积分法后,vu d,及 uv d,可心算完成，不必具体写出,例 15 求 xx
x de2?,
解 xx x de2? =222 deeed xxx xxx
22e 2 e d e 2 d ex x x xx x x x x
Cxxxxx xxxxxx e2e2edee2e 22
,e222 Cxx x
例 16 求 xxx ds ine?,
解 xxxxxx xxxx dc o ses ineeds inds ine
将再次出现的 xxx ds ine? 移至左端，合并后除以 2 得所求积分为
,c o ss ine21ds ine Cxxxx xx
.ds inec oses ine
edc oss ine
xxxx
xx
xxx
xx
小结,下述几种类型积分，均可用分 部 积分公式求解,
且 vu d,的设法有规律可循,
(1)? xx
axn de
,? xaxx
n ds i n
,? xaxx
n dc os
，可设
nxu?；
( 2) xxx
n
dln?,? xxx
n
da r c s i n,? xxx
n
da r c t a n,
可设 xu ln?,xa r c s i n,xa r c ta n ；
(3)? xbxax ds ine,? xbxax dc ose,可设 bxu s i n?,bxc os,
说明,（ 1 ）常数也视为幂函数,
（ 2 ）上述情况 nx 换成多项式时仍成立,
例 17 求 xx da r c ta n?,
解 先换元，令
2
tx0?t,则 ttx d2d?,
原式 = 2da r c t a nd2a r c t a n ttttt = tt a r c ta n2 - tt a r c t a nd2 tt a r c ta n2 - t
t
t
d
1
2
2
= tt a r c ta n2 - tt d1 11 2
= tt a r c ta n2 Ctt a r c ta n
C xxx -a r c ta n)1(,
例 18 求
x
x
x
d
1
a r c s in
32?
,
解 换元，令 tx s i n?,则 ttx dcosd? 及 xt a r c s i n?,
原式32 dc o s d d ta nc o s c o stt t t t t ttt
Cttttttt c o slnta ndta nta n
Cxxxx 22 1ln1a r c s in,
例 19 用多种方法求 xxx d1,
解一 分项,凑微分,x
x
x d
1 =
x
xxxx
x
x
1
dd1d
1
11,
解二 令 ux1,则,dd ux?
xxx d1 = uuuuuuu ddd1,解三 令 x?1 = 2u,则,d2d uux?
xxx d1 =,d12d21 2
2
uuuuuu
解四 令 tx
2
t a n?,ds e ct a n2d
2
tttx?，则
x
x
x d
1
=? ttt
t
t ds e cta n2
s e c
ta n 22
tt s e cd1s e c2 2,
解五 分部积分
xxx d1 =xx 12d = xxxx d1212,
有理分式是指两个多项式之比，即
xQ
xP
xR?,
这里 )( xP 与 )( xQ 不可约．当 )( xQ 的次数高于 )( xP 的次数时,)( xR 是真分式，否则 )( xR 为假分式,
利用多项式除法,总可把假分式化为一多项式与真分式之和,例如
,12 2125212 3 222 4 xx xxxxx x
多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法．
一般真分式的积分方法：（ 1 ）将分母 )( xQ 分解为一次因式（可能有重因式）和二次质因式的乘积,
（ 2 ）把该真 分 式按分母的因式，分解成若干简单分式
（称为部分分式）之和．（ 3 ）简单分式的积分,
三、简单有理式的积分化真分式为部分分式之和举例说明：
（ 1 ） 分母 )( xQ 含有单因式 ax? 时，这时分解式中对应有一项
ax
A
，其中 A 为待定系数,
例如 )( xR =
2121
32
2
32
23
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
,
为确定系数 CBA,,,我们用 )2)(1( xxx 乘等式两边,
得 )1()2()2)(1(32 xCxxBxxxAx,
因为这是一个恒等式，将任何 x 值带入都相等,故可令
0?x,得 A23,即
3
2
A,类似地，令 1?x,得 B35?,
即 B =
3
5； 令 2x,得 C61,即
1
6
C,
于是得到 )( xR =
21
32
xxx
x
=
2
6
1
1
3
5
2
3
xxx
,
(2) 当分母 )( xQ 含有重因式 nax )(? 时，这时部分分式中相应有 n 个项,
ax Aax Aax A nnnn 111,,,,.,
例如
111
1
2
1
22
2
23
2
x
C
x
B
x
A
xx
x
xxx
x
,
为确定系数 A,B,C,将上式两边同乘以 21?xx 得
111 22 xCxBxxAx,令 0?x,得 1?A ；再令 1?x,得 2?B ；令 2?x,得
CBA 225 代入已求得的 A,B 值,得 0C?,所以
223
2
1
21
2
1
xxxxx
x,
（ 3 ）当分母 )( xQ 中含有质因式 qpxx
2
，这时部分分式中相应有一项
qpxx
BAx
2
,
例如
32 2
44
2 3 1 313
x x A Bx C
x x x x xx x x
,
为确定待定系数，等式两边同乘以31 2 xxx,
得 Ax 432 xx )1)(( xCBx,令 1?x 得,A55?,即 1?A ；再令 0?x,得 CA 34,即
1C ；令 2?x,得 CBA 296,即 1B,所以
3
1
1
1
32
4
23
xx
x
xxx
x,
（ 4 ）当分母 )( xQ 含有 nqpxx )( 2 因式时，这种情况积分过于繁复，我们略去不讨论了,
有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式,
2
2
1d
2d
3 d 4 0,
n
A
x
xa
A
x
xa
Ax B
x p q
x px q
；
前两种积分,简单凑微分法即可获解,下面举例说明 （ 3） 式的积分方法,
例 20 求积分 x
xx
x
d
42
23
2?
,
解 改 写 被 积 分 函 数 分 子 为
23 x
2
3
5)22(x,( 注意,括号内 22?x 正好是分母的导数,22?x =
42
2
xx ) 于是
xxx x d42 232
=
42
d
5d
42
22
2
3
22 xx
x
x
xx
x
= 312 d542 42d23 22
2
xx
x
xx
xx
=
2
3 42ln 2 xx -
22 31
d5
x
x
= 23 42ln 2 xx - Cx3 1a r c ta n35,
例 21 求
2
32
1 d
2
x x
x x x
,解 由前面的情况（ 2 ）知,
223
2
1
21
2
1
xxxxx
x,
所以 x
xxx
x
d
2
1
23
2
=
x
x
x
x
d
1
1
2d
1
2
= Cxx 12ln,
例 22 求 xxx x d)1)(21( 2
2
,
解 被积函数是真分式，分母中
2
1 x? 为二次质因式,
所以
,121121 22
2
x
CBx
x
A
xx
x
将等式两边同乘以2121 xx,得
,211 22 xCBxxAx
分别令?x -
2
1
，得 A =
5
1； 0?x 得 CA0,即
5
1
AC ;
1?x,得 A21 )(3 CB?,求得
5
2
B,
所以
22
2
1
5
1
5
2
21
5
1
121 x
x
xxx
x
,
于是
x
xx
x
d
121
2
2
= x
x
x
x
x
d
1
12
5
1
21
d
5
1
2
=
22
2
1
d
5
1
1
1d
5
1
21
21d
2
1
5
1
x
x
x
x
x
x
= Cxxx a r c ta n
5
1
1ln
5
1
21ln
10
1 2
,
说明,（ 1 ）有些不定积分，如
2 ed
e d,d,,
ln
x
x x
xx
xx
4
d
1
x
x?
等，虽然这些不定积分都存在，却不能用初等函数表达所求的原函数，这时称,积不出”,
（ 2 ）在工程技术问题中，我们还可以借助查积分表来求一些较复杂的不定积分，也可以利用数学软件包在计算机上求原函数,
思考题
1,第一换元法 （ 即凑微分法 ） 与第二换元法的区别是什么？
2,应用分部积分公式 uvuvvu dd 的关键是什么？
对于积分?,d)()( xxgxf 一般应按什么样的规律去设 u 和
vd？
