第一节 二重积分的概念与计算第二节 二重积分应用举例
*第三节 三重积分的概念与计算
*第四节 对坐标的曲线积分
*第五节 格林（ Green）公式及其应用
*第六节 对坐标的曲面积分及其应用第十一章 多元函数积分学一,二重积分的概念与性质二,在直角坐标系中计算二重积分三,在极坐标系中计算二重积分第一节 二重积分的概念与计算第一节 二重积分的概念与计算曲边梯形面积计算回顾第一步,将 ],[ ba 无限细分,在微小区间 ],[ dxxx? 上“以直代曲”,求得面积微元为 xxfA d)(d?
这一步即局部线性化,
第二步,将微元 Ad 在 [ a,b ] 上无限累积，即得面积为
a
b
xxfA d)(,O
y
x x x d? x a b
) ( x f y?
A d
一、二重积分的概念与性质下面我们把这种思想推广到平面区域 D 上的二元函数 ),( yxf,
1,引例,曲顶柱体的体积曲顶柱体,若立体的底为 x O y 平面上的有界闭区域 D,其侧面为以 D 的边界线为准线，而母线平行
z 轴的柱面，其顶是二元函数 ),( yxfz? 所表示的曲面,
这样的几何体称为曲顶柱体,
第一步：将区域 D 无限细分，在微小区域?d 上取一点 ),( yx,用以 ),( yxf 为高,?d 为底的平顶柱体体积
),( yxf?d 近似代替?d 上的小曲顶柱体体积，即得体积微元
d),(d yxfV?,
第二步,将体积微元?d),(d yxfV?
在区域 D 上无限累加 ( 这一步记为
,
D
” ),则得所求曲顶柱体体积为
D
yxfV?d),(,
曲顶柱体的体积设 ),( yxf ≥ 0,求曲顶柱体 ( 如下图 ) 的体积,
x
z
O
y
),( y x f z?
D? d
2,二重积分的概念设 ),( yxfz? 为定义在有界闭区域 D 上的连续函数，则上述两步后所得的表达式
D
yxf?d),(,即为函数
),( yxf 在区域 D 上的二重积分,其中 ),( yxf 称为被积函数,D 为积分区域,?d),( yxf 称为被积式,?d 为面积元素,x 与 y 称为积分变量,二重积分的几何意义：当 ),( yxf ≥ 0 时二重积分代表曲顶柱体的体积；特别地,当 ),( yxf =1 时,
D
d 表示区域
D 的面积,
3,二重积分的性质性质 1 常数因子可提到积分号外面，即
d),(d),(
DD
yxfkyxkf,
性质 2 函数和与差的积分等于各函数积分的和与差,即
d)],(),([
D
yxgyxf =
D
yxf?d),(
D
yxg?d),(,
性质 3 若积分区域 D 分割为
1
D 与
2
D 两部分,
则有
d),(
D
yxf =?d),(
1
D
yxfd),(
2
D
yxf,
性质 4 ( 中值定理 ) 设 ),( yxf 在有界闭域 D
上连续,? 是区域 D 的面积，则在 D 上至少有一点
),( 使得下式成立 ),(d),( fyxf
D
,
在直角坐标系中我们采用平行于 x 轴和 y 轴的直线把区域 D 分成许多小矩形,于是面积元素 yx ddd,
二重积分可以写成
D
yxyxf dd),(,
设 D 可表示为不等式 ( 如下页图 (a))
)(1 xy ≤ y ≤ )(2 xy,a ≤ x ≤ b,
二、在直角坐标系中计算二重积分下面我们用定积分的“切片法”来求这个曲顶柱体体积,
y
x O x a b
) (
2
x y y?
) (
1
x y y?
D
O
y
x x a
) (
2 x y y?
) (
1
x y y?
b
z
),( y x f z?
(a) (b)
在 [ a,b ] 上任意固定一点
0
x,过
0
x 作垂直于 x
轴的平面与柱体相交,截出的面积设为 )(
0
xS,由定积分可知 )(
0
xS =?
)(
)(
0
02
01
d),(
xy
xy
yyxf,
一般地,过 [ a,b ] 上任意一点 x,且垂直于 x 轴的平面与柱体相交得到的截面面积为 )( xS =
2
1
()
()
(,) d
yx
yx
f x y y?,
见上页图 (b),由定积分的“平行截面面积为已知,
求立体体积”的方法可知,所求曲顶柱体体积为
a
b
xxSV d)( xyyxf
a
b
xy
xy
d]d),([
)(
)(
2
1
,
所以
D
yxyxf dd),( xyyxf
a
b
xy
xy
d]d),([
)(
)(
2
1
,
上式也可简记为
D
yxyxf dd),(a
b
xy
xy
yyxfx )(
)(
2
1
d),(d ①
公式①就是二重积分化为定积分的计算方法，该方法也称为累次积分法,计算第一次积分时,视 x 为常量，对变量 y 由下限 )(1 xy 积到上限 )(2 xy,这时计算结果是一个关于 x 的函数，计算第二次积分时,x 是积分变量，积分限是常数,计算结果是一个定值,
设积分区域 D 可表示为不等式 ( 见下图 )
)(
1
yx ≤ x ≤ )(
2
yx,c ≤ y ≤ d,
完全类似地可得
②
D
yxyxf dd),(
2
1
()
()d (,) d
d x y
c x yy f x y x O
y
x
) (
2
y x x?
x
) (
1
y x
c
d
D
（ 2 ）用公式①或②时,要求 D 分别满足,平行于 y 轴或 x 轴的直线与 D 的边界相交不多于两点,如果
D 不满足这个条件，则需把 D 分割成几块 ( 见右图 ),然后分块计算 ;
O
y
x
D
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
( 3 ) 一个重积分常常是既可以先对 y 积分 ( 公式 ① ),
又可以先对 x 积分 ( 公式 ② ),而这两种不同的积分次序，
往往导致计算的繁简程度差别很大,那么，该如何恰当地选择积分次序呢? 我们结合下述各例加以说明,
化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：
（ 1）累次积分的下限必须小于上限 ;
例 1 计算
D
yxxy dd,其中 D,
22
yx? ≤ 1
x ≥ 0,y ≥ 0,
解 作 D 的图形 ( 见下图 ),先对 y 积分 ( 固定
x ),y 的变化范围由 0 到
2
1 x?,然后再在 x 的最大变化范围 [0,1] 内对 x 积分，于是得到
O
y
x
D
1
1 x
D
yxxy dd 21 1 1 2
0 0 0
1d d ( )
2
xx x y y x y
241 1
2
0 0
1 1 1( 1 ) d ( ),
2 2 2 4 8
xxx x x
本题若先对 x 积分，解法类似,
例 2 计算
D
yxxy dd2 2,其中 D 由抛物线 xy?2 及直线 2 xy 所围成,
解 画 D 的图形 ( 见下图 ),选择先对 x 积分,这时 D 的表示式为
21
2
2
y
yxy
,
从而
D
yxxy dd2
2
=
2
1
2
2
2
d2d
y
y
xxyy
yyyyy
yxy
y
y
d)44(
d|)(
2
1
6234
22
1
22
2
=
35
6
15
73
4
5 1
2
7
34
5
y
yy
y
,
O
y
x
D
2
y x?
2 y x
1?
2
) 1,1 (? A
) 2,4 ( B
例 2 求椭圆抛物面
4
4
2
2 yxz 与平面 0?z 所围成的立体体积,
解 画出所围立体的示意图 ( 见图 a),考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可,其中 D 如图 (b) 所示,
故 yx
y
xV
D
dd
4
44
2
2
= y
y
xx
x
d
4
4d4
2
0
416
0
2
2
2
= xyyxy
x
d
12
1
44
2
416
0
2
0
32?
= π16d)4(
3
16 2
0
2
3
2
xx,
O
y
x 2
4
2 4 16 x y
D
(a)
z
O
y
x
2
4
4
4
2
2 y
x z
(b)
1,极坐标系下的面积元素设函数的积分区域为 D,用 r 取一系列常数
( 得到一族中心在极点的同心圆 ) 和? 取一系列常数 ( 得到一族过极点的射线 ) 的两组曲线，将 D 分成许多小区域 ( 见下图 ),于是得到了极坐标系下的面积元素为
ddd rr?,
再分别用 s in,c os yrx 代换被积函数 ),( yxf 中的,,yx 这样二重积分在极坐标系下表达形式为
D
yxf?d),(
D
rrrrf dd)s in,c os(,
O
x
d
d r
r d
d
三、在坐标系中计算二重积分
O
x
) ( 1? r r?
) ( 2? r r?
(a)
2.极坐标系下化二重积分为累次积分设 D ( 图 a ) 位于两条射线 和 之间,D 的两段边界线极坐标方程为 )(),(
21
rrrr
则二重积分就可化为如下的累次积分
D
yxf?d),(
)(
)(
2
1
d)s in,c os(
r
r
rrrrfd,
如果极点 O 在 D 内部 ( 图 b),则有
D
yxf?d),(
)(
0
π2
0
d)s in,c os(d
r
rrrrf,
O
x
) (? r r?
(b)
例 5 将二重积分
D
yxf?d),( 化为极坐标系下的累次积分，其中 D,22 yx? ≤ yRx,2 ≥ 0,
解 画出 D 的图形 ( 见下图 ),D 可表示为
0 ≤? ≤ 2π,0 ≤ r ≤?c os2 R,
y
x O
D
c o s 2 R r?
R 2
于是得到
D
yxf?d),(
c o s2
0
2
π
0
d)s in,c o s(d
R
rrrrf,
例 6 计算
D
yx yx dde )( 22,D,22 yx? ≤ 2a,
解 选用极坐标系计算,D 表示为,
0 ≤ r ≤ a,0 ≤? ≤ π2,故有
D
yx
yx dde
)(
22
=
D
a
rr
rrrr
π2
0 0
deddde
22
= )e1(πde
2
1
-
22
a
0
π2
0
ar
,
例 7 计算
D
yxx dd2,其中 D 是两圆 122 yx 和
422 yx 之间的环形区域,
解 作 D 的图形 ( 见下图 ),选用极坐标，它可表示为 1 ≤ r ≤ 2,0 ≤? ≤ π2 于是
D
yxx dd
2
2
1
3
π2
0
22
2
1
2
π2
0
ddc o sdc o sd rrrrr
=
π2
0
2
1
3
π
4
15
dd
2
2c os1
rr?
,
2
y
x 1 O
例 8 求由锥面 224 yxz 与旋转抛物面
222 yxz 所围立体的体积 ( 见下图 ),
解 选用极坐标计算,
yxyxyxV
D
dd)](
2
1
)4[(
2222
=
D
rr
r
r?dd
2
4
2
,
求立体在 x O y 面上的投影区域 D,由,
2
4
22
22
yxz
yxz
消去 yx,得
22
( 4 ) 2 1 0 1 6 0z z z z即亦即 0)8)(2( zz 得 8,2 zz ( 舍去 )
因此，
D
由 24
22
ryx 即 围成,
x
y
O
D
4
z
故得
2
0 0
2
43
2
3
2
π2
0
π
3
20
83
2π2d
2
4d
rr
rr
r
rrV?,
说明：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的坐标系对计算二重积分是至关重要的,一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有
22
yx?
的项时,采用极坐标计算往往比较简便,
思考题
1,把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可到一个式子
n
i
iii
D
fyxf
1
0
),(limd),(
,
你对这个式子要说些什么吗？回顾一元定积分的定义，
可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，
被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试,
2,试述二重积分的几何意义,
一,平面薄板的质量二,平面薄板的重心三,平面薄板的转动惯量第二节 二重积分应用举例例 1 设一薄板的占有区域为中心在原点，半径为
R 的圆域，面密度为 22 yx,求薄板的质量,解 应用微元法，在圆域 D 上任取一个微小区域
d,视面密度不变，则得质量微元
,d)(d),(d 22 yxyxm
将上述微元在区域 D 上积分，即得
Dyxm
D
,d)( 22,22 yx? ≤ 2R,
用极坐标计算，有 4
π2
0 0
2 π
2
1
dd Rrrrm
R
,
一般地，面密度为 ),( yxu 的平面薄板 D 的质量是
D
yxm d),(,
第二节 二重积分应用举例一、平面薄板的质量设有薄板，占有区域 D,在点 ),( yx 的密度为 ),( yx?,
求薄板重心的坐标,
在区域 D 上任期一微小区域?d, d),(d yxm?,设想这部分质量集中在 点 ),( yx 处，于是得薄板对坐标轴的静力矩微元（见右图）为
d),(d yxxm
y
d),(d yxym
x
,
O
y
x
d y
x
将上述微元在 D 上积分，得
d),(
D
y yxxm,
D
x yxym d),(,
二、平面薄板的重心于是，薄板重心坐标为
D
D
yx
yxx
x
d),(
d),(
,
D
D
yx
yxy
y
d),(
d),(
,
若薄板是均匀的,? 是常数，则重心坐标为
D
x
A
x?d
1
,
D
x
A
y?d
1
其中 A 为区域 D 的面积,
例 2 设半径为 1 的半圆形薄板上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求此半圆的重心,
解 取坐标系如见下图,
22
),( yxyx,薄板形状及密度函数关于 x 轴都是对称的，所以重心必在
y 轴上，即 0?x,只须求 y 即可
D
yxm?d
22
3
π
dd
1
0
π
0
rrr?
D
x
yxym?d
22
rrrr d)( s ind
1
0
π
0
2
1
dds i n
π
0
1
0
3
rr,
故得
π2
3
m
m
y
x
,
重心坐标为?
π2
3
,0,
D
1? 1 x
y
O
三,平面薄板的转动惯量例 3 求内半径为 1R,外半径为 2R,密度均匀的圆环形薄板关于圆心的转动惯量,
解 建坐标系 ( 见下图 ),先求转动惯量微元
d)(d
22
0
yxI (? 为密度 ) 将微元在圆环域内积分，
则得
D
yxI d)(
22
0
用极坐标计算,D 表示为
1
R ≤ r ≤
2
R,0 ≤? ≤ π2,于是
).(π
2
1
dd
4
1
4
2
π2
0
2
0
2
1
RR
rrrI
R
R
D
x
y
1
R O
2 R
一,三重积分的概念二,在直角坐标系中计算三重积分三,在 柱面坐标系中计算三重积分四,在球面坐标系中计算三重积分
*第三节 三重积分的概念与计算引例 设有一质量非均匀分布的物体，占有空间区域?,在? 的每一点 ),,( zyx 处的体密度为
),,( zyx,求该物体质量,
将区域? 无限细分,在微小区域 Vd 上任取一点
),,( zyx,并把该点密度 ),,( zyx? 视为这一小块物体的密度
( 局部以常代变 ),这样得到质量微元为
Vzyxm d),,(d,
然后将质量微元 Vzyxm d),,(d 在区域? 上无限累加 ( 这一步记为,
” ),于是得物体质量为
Vzyxm d),,(,
*第三节 三重积分的概念与计算设 ),,( zyxf 是定义在空间有界闭区 域? 上的连续函数，则经上述“取微元”及“无限累加”两步,所得的表达式
Vzyxf d),,( 称为函数 ),,( zyxf 在区域? 上的三重积分，其中 ),,( zyxf 称为被积函数,? 称为积分区域，
Vd 称为体积元素,利用三重积分，可以得到 空间区域? 的体积为
VV d,
二、在直角坐标系中计算三重积分
1,三重积分在直角坐标系的表达式若对区域? 用平行于三个坐标面的平面去分割，则
Vd 为小长方体,于是体积元素 zyxV dddd?,从而
Vzyxf d),,(
D
zyxzyxf ddd),,(,
一、三重积分的概念
2.三重积分的计算设? 由上、下两个曲面 ),(
2
yxzz? 和 ),(
1
yxzz? 所围成
（
1
z ≤
2
z ），又? 在 x O y 坐标面上的投影区域为 D ( 见 下图 ),则计算公式为在作第一个积分时,视 yx,为常数，将 ),,( zyxf 对 z 积分（由
),,(
1
zyxz 积到 ),,(
2
zyxz ）,积分的结果是 ( yx,) 的一个函数，然后再将这个函数在 D 上作二重积分计算,
D
x O
) ( 2 x y y?
) ( 1 x y y?
2 z
1 z
a b
y
z
如 D 可表示为,)(
1
xy bxaxyy ),(
2
( 见上图 ),
则三重积分就化为了三个定积分的累次积分
zyxzyxf ddd),,( 2
1
(,)
(,)
D
[ (,,) ] d d d,z x y
z x y
f x y z z x y
),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
d),,(ddddd),,(
yxz
yxz
xy
xy
b
a
zzyxfyxzyxzyxf
,
例 1 计算三重积分
zyxxI ddd,其中? 为三坐标平面及平面 12 zyx 所围成的区域 ( 见下图 ),
解? 在面 x O y 上投影区域 D 为
O A B?,其 中 直 线 AB 是平面
12 zyx 与平面 0?z 的交线,其在
x O y 面上的方程为 12 yx,先对 z
积分,z 的变化范围从 0 到 yx 221 ;
再对 y 积分,y 由 0 变到 )1(
2
1
x? ；最后对 x 积分,x 由 0 变到 1,于是
O
x
y
z
1
1
A
C
B
2
1
yx
D
zxyxI
21
0
ddd
1
1 ( 1 ) 1 2
2
0 0 0
d d d
x x y
x y x z
)1(
2
1
0
1
0
d)21(d
x
yyxxx =
1
0
32
48
1
d)2(
4
1
xxxx,
例 2 一个物体由旋转抛物面 22 yxz 及平面
1?z 所围成（见右图）,已 知其任一点处的密度? 与到 z
轴距离成正比，求其质量 m,
解 据题意,密度
22
yxk,于是物体的质量为 zyxyxkm ddd
22
其中? 为由曲面
22
yxz 及平面 1?z 所围成的区域,
在坐标面 xO y 上的投影区域 D 为圆
22
yx? ≤ 1,过 D 内的任意点 M 引平行与 z 轴的直线，其与? 表面相交两点的竖坐标 z 分别是
22
yxz 与 1?z,于是
x
y
z
1
O )
,( y x M
zyxyxkm ddd
22
zyxyxk
yx
D
ddd
1
22
22
= yxyxyxk
D
dd)](1[
2222
= rrrk d)1(d
1
0
22
π2
0
= π
15
4
k,
1,柱面坐标：对于直角坐标系中的点 P ),,( zyx,
其中 yx,就是 P 在 x O y 面上的投影点 M 在 x O y 面上的直角坐标,如果用极坐标 ),(?r 来表示点 M,则空间一点
P 与数组 ),,( zr? 也是一一对应的 ( 限定 r0,
0 ≤? ≤ π2, z ),这样所确定的坐标系称为柱面坐标系，称 ),,( zr? 为点 P 的柱面坐标，记作
),,( zrP? ( 见下页图（ a ） ),
三、在柱面坐标系中计算三重积分
2,柱面坐标和直角坐标的关系为,
c o s,s in,x r y r z z
3,柱面坐标系中的三族坐标面为,
r 常数，表示以 z 轴为中心轴的圆柱面族 ;
= 常数，表示过 z 轴的半平面族 ;
z 常数，表示平行于 x O y 面的平面族,
x
y
z
O
M
x
y
z
r
),,( z y x P
),,( z r?
O
z
r
r?
z?
r
z z
z
x
y
（ b ） (a)
再将坐标变换关系式代入被积函数 ),,( zyxf 中，便得到三重积分在柱面坐标系中的表达式
zrrzrrfVzyxf ddd),s i n,co s(d),,( ①
在计算时,再进一步将①式化为累次积分,
考虑积分区域? 被柱面坐标的三族坐标面分割后的小区域 V? 的体积，由上页图 ( b ) 可看出，小直柱体 V? 可以近似地被看作为小长方体，其三边分别为,,,zrr 因此
zrrV 于是，在柱面坐标系中的体积元素为
zrrV dddd,
4,柱面坐标系中的三重积分计算例 3 计算三重积分
Vyx d)( 22,其中? 是以 z 轴为对称轴,a 为半径的圆柱体位于 0 ≤ z ≤ h 间的部分 ( h >0) ( 见下图 ),
解 采用柱面坐标，则所给的积分区域? 可用不等式组
0 ≤ r ≤ a,0 ≤? ≤ π2,0 ≤ z ≤ h
表示，因此
zrrrVyx dddd)(
222
=
a h
hazrr
0 0
43
π2
0
π
2
1
ddd?,
x
y
z
h
O a
1,球面坐标：设 P 为空间中的一点,M 为在 x O y
面上的投影,? 表示 P 到原点 O 的距离,? 为从 Ox
轴正向转到 OM 的夹角,? 为从 Oz 轴正向转到 OP
的夹角,并规定,0 0 ≤? ≤ π2,0 ≤? ≤ π
于是空间任一点 P（原点除外）就与有序数组 ),,(
成一一对应，这样所确定的坐标系称为球面坐标系，
称 ),,( 为点 P 的球面坐标（见下页图（ a ））,
2,球面坐标和直角坐标的关系为：
.c o s
,s ins in
,c o ss in
z
y
x
3,球面坐标系中的三族坐标面为,
= 常数，表示以原点为中心的球面族 ;
= 常数，表示通过 z 轴的半平面族 ;
= 常数，表示顶点在原点、以 z 轴为轴的圆锥面族,
四、在球面坐标系中计算三重积分
4,柱面坐标系中的三重积分计算为了应用球面坐标来计算 ),,( zyxf 在? 上的三重积分，我们来考虑积分区域? 被球面坐标的三族坐标面分割后的小区域 V? 的体积,由见上图 (b ) 可看出 V? 可以近似地看作为以,,s in 为棱长的小长方体,因此
.s i n2 V
M
y
x
x
y
z
z
),,( z y x P
),,(
(a)
x
y
s i n
z
(b)
于是,在球面坐标系中的体积元素为
ddds ind 2?V,再将 坐标 变换 关系式 代入被积函数 ),,( zyxf 中，便得到三重积分在球面坐标系中的表达式
Vzyxf d),,(
ddds i n)co s,s i ns i n,co ss i n(
2
f ②
在计算时,再进一步将 ② 式化为累次积分,
例 4 将三重积分
Vzyxf d),,( 化为球面坐标系中的累次积分，其中? 是
222
zyx ≤ Rz2 （见下图）,
解 采用球面坐标，将 坐标 变换式 代入，则区域
边界的球面方程为 c o s2 R?
Vzyxf d),,(
ddds in)c os,s ins in,c oss in(
2
f
.d)c o s,s ins in,c o ss in(ds ind
c o s2
0
22
π
0
π2
0
R
f
于是,? 可用不等式组
0 ≤? ≤ c os2 R 0,≤? ≤
2
π
,
0 ≤? ≤ π2 给出,故
z
x
y O
c o s 2 R?
思考题
1.试述计算三重积分的步骤,
2,总结出在不同的坐标系下，区域? 的表达式和相应的积分表达式,
*第四节 对坐标的曲线积分一,对坐标的曲线积分的概念及性质二,对坐标的曲线积分的计算用微元法思想解决这个问题,
第一步：求功的微元，在 L 上任取一微小弧段
1ii
MM
，在这小弧段上，我们设想力 F 保持不变,
并用有向线段 d d dl x y ij,
来代替弧
1ii
MM
，于是得功的微元为
yyxQxyxPlFW d),(d),(dd,1,设质点在 x O y 平面内，受变力 (,) (,) (,)F x y P x y Q x y ij
的作用，沿有向曲线 L （如右下图）从点 A
运动到点 B,求力 F 所做的功,
O
d x
d y
i M
A
B
1 - i M
l d
x
y *第四节 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质设有矢量函数 (,) (,) (,)F x y P x y Q x y ij,L 为有向光滑曲线弧，且 ),(),,( yxQyxP 在 L 上连续，则上述两步所得的表达式 yyxQxyxPlF
L
L
d),(d),(d
称为函数 ),( yxF
在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,
等式左边是曲线积分的矢量形式（物理意义明显），等式右边是曲线积分的坐标形式（便于计算）,
第二步：将上述微元沿曲线弧 L 无限累加（这一运算记为,?
L
”），则得所求功为
yyxQxyxPlFW
LL
d),(d),(d,
2.对坐标的曲线积分的概念有时我们会遇到 ),(),,( yxQyxP 中一个是零的情况，
这时曲线积分的坐标形式为
L
xyxP d),( 或?
L
yyxQ d),(,
曲线 L 也可以是封闭曲线，该积分称为沿闭回路的曲线积分，记为 dd
L
P x Q y,
(1) 改变积分路径 L 的方向，则积分改变符号,
即 yQxPyQP d x
LL
ddd
,
(2) 若 21 LLL,
则 yQxPyQxPyQxP
LLL
dddddd
21
,3.性质设曲线 L 由参数方程给出 L,
( ),
( ),
xt
yt
at? 对应 L
的起点,t 对应 L 的终点 ( 这里 a 不一定要小于? ),
当参数 t 由 a 变到? 时，点 ),( yxM 就描出有向弧段 L,
又函数 ),,( yxP ),( yxQ 在 L 上连续,
则有
yyxQxyxP
L
d)(d),(
=
''
{ [ ( ),( ) ] ( ) [ ( ),( ) ] ( ) } dP t t t Q t t t t
,
即曲线积分仍是化为定积分计算，这里有三个“替换”：
被积函数中的 x,y 用积分路径 L 的方程替换； d x,d y 用 L
的方程求微分后替换；积分路径 L 被 L 的起点和终点的参数值来替换,
二、对坐标的曲线积分的计算设曲线 L 的方程由 )( xfy? 给出，它可视为参数方程的特殊情况，此时有
yyxQxyxP
L
d),(d),(?
=
b
a
xxfxfxQxfxP d)}(')](,[)](,[{,
下限 a 对应 L 的起点，上限 b 对应 L 的终点,
完全类似，若曲线 L 由方程 ()xy 给出时，则将化为对
y 的定积分,
例 1 计算 xyyx
L
dd,其中 L 为
(1) 从点 )0,( aA 到点 ),0( bB 的一段椭圆 1
2
2
2
2
b
y
a
x
弧；
(2) 直线段 AB （如下页图）,
解 （ 1 ）椭圆参数方程为
,s i n
,co s
tby
tax
起点 A 对应于 t=0,
终点 B 对应于 t =
2
π
,
化为定积分为
2
0
d)]s i n(s i n)c o s(c o s[dd ttatbtbtaxyyx
L
= abtab π
2
1
d
2
π
0
,O x
y
A(a,0)
B(0,b)
(2) 直线段 AB 的方程为 bx
a
b
y,起点
ax?,终点 0?x,化为对 x 的定积分为
.d
ddd
0
0
abxb
xbx
a
b
a
b
xxyyx
a
a
L
该例说明，曲线积分的值是与积分路径有关的，虽然两个被积函数相同，起点与终点也相同，
但是沿不同的路径积分，积分值却不同,
解 ( 1 ) 化为对 x 的定积分,L,
2
xy? 从 0 变到 1,所以
1
2 2 2
0
2 d d ( 2 2 ) d
L
xy x x y xx x x x
1
3
0
4 d 1.xx
( 2 ) 化为对 y 的定积分,L,
2
yx? 从 0 变到 1,所以
1
2 2 4
0
2 d d ( 2 2 ) d
L
x y x x y y y y y y
1
4
0
5 d 1,yy
例 2 计算 yxxxy
L
dd2
2
,其中 L 为
(1) 抛物线
2
xy? 上从点 )0,0(O
到点 )1,1(B ;
(2) 抛物线
2
yx? 上从点 O 到点 B ;
(3) 有向折线 O A B ( 如右图 ),O x
y
A
(1,0)
B
(1,1)
(3)
2
2 d d
OAB
x y x x y?
22
2 d d 2 d d
OA AB
x y x x y x y x x y
,
在 OA 上,xyy,0d,0 从 0 变到 1,所以
1
22
0
2 d d ( 2 0 0 ) d 0,
OA
xy x x y x x x
在
AB
上,yxx,0d,1 从 0 变到 1,所以
1
2
0
2 d d ( 2 0 1 ) d 1,
AB
xy x x y y y
从而 110dd2
2
yxxxy
O A B
,
该例说明,对有些函数 ),(),,( yxQyxP,它们的曲线积分值只与积分路径的起点和终点有关，而与连接起点与终点的路径本身无关,
下面讨论空间曲线的情况,设空间有向曲线弧? 的参 数 方 程 为 ( ),( ),( )x t y t z t,函数
),,,(),,,( zyxQzyxP ),,( zyxR 在? 上是连续的,则有
zzyxRyzyxQxzyxP d),,(d),,(d),,(
= { [ ( ),( ),( ) ] '( ) [ ( ),( ),( ) ]P t t t t Q t t t
'( ) [ ( ),( ),( ) ] '( ) }t R t t t t dt,③
其中下限? 和上限? 分别对应于? 起点和终点,
例 3 设力场 ()y x x y zF i j k,
求 (1) 质点由点 A ( a,0,0 ) 沿着螺旋线
t
c
ztaytax
π2
,s i n,co s, 到点
B ( a,0,c ),力 F 所做的功 ;
O
A( a,0,0 )
B( a,0,c )
C ( 0,0,c)
x
y
z
解 (1) 由公式③,得
zzyxyxxysFW d)(ddd
,
而螺旋线
的方程为 t
c
ztaytax
π2
,s i n,co s,且起点
A 对应于 t = 0,终点 B 对应于 π2?t,所以
t
c
t
c
tatatatatataW d
π2π2
s i nco s)co s(co s)s i n(s i n
π2
0
tt
c
tt
ac
ta d
4
)s i n(co s
2
2co s
2
0
2
2
2
2
c
,
( 2 ) 由空间解析几何知道，直线段 AB 的方程为
c
zyax
00
,化为参数方程为 tctzyax,,0, 从 0 变到
1,
(2) 质点由点 A ( 0,0,a ) 沿着直线段 AB 到点 B ( ca,0,),
力 F 所做的功 ( 如上页图 ),
1,对坐标的曲线积分 yQxP
L
dd 如何化为一元定积分来计算?
2,为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时,下限对应起点,上限对应终点?
思考题
zzyxyxxysFW ABAB d)(ddd
1
0
2
2
d)(
c
actccta,
*第五节 格林（ Green）公式及其应用一,格林公式二,平面上曲线积分与路径无关的条件区域 D的边界曲线 L的正方向：当观察者沿 L的某个方向行走时,区域 D总在其左侧,则该方向即为 L的正向,
定理 1 设平面区域是由分段光滑曲线 L 所围成，
函数 ),( yxP,),( yxQ 在 D 上具有一阶连续偏导数,则有
yx
y
P
x
Q
yQxP
L
D
dd)(dd
成立，这里曲线积分是按正向取的，称 上式 为格林公式,*第五节 格林（ Green）公式及其应用一,格林 公式解 闭回路曲线积分，可用格林公式化为二重积分计算设 yxP
2
,
3
yQ?,
则
2
x
y
P
x
Q
,
又
D
:
,
,10
3
2
xyx
x
所以，由格林公式得
yyxyx
L
dd
32
=
2
( )d d
D
x x y?
=
1
0
2
3
2
44
1
d)(d
x
x
yxx,
例 1 设 L 是由曲线 23 xy? 与直线 xy? 连接起来的正向闭曲线 ( 如下图 ),计算 yyxyx
L
dd
32
,
2 3
x y?
y = x
O x
y
解 直接化为定积分计算较繁,
这里仍可以用格林公式，但需补充线段 BA,使得 BAL? 为闭曲线（负向）,
这时,所求
L BAL BA
yQxPyQxPyQxP dddddd,
其中
yyP
x
s i ne
，
xyQ
x
co se
,
由于 1c ose
y
x
Q
x
,1cose
y
y
P
x
,
得
2
y
P
x
Q
,
所以
BAL
D D
yxyx π4dd2dd)2(,
例 2 计算 yxyxyy
L
xx
d)co se(d)s i ne(,( 如下图 ) L 为下半圆周
2
4 xy 由 A (2,0) 到 B ( - 2,0),
x
y
L
D
O A B
再计算 yxyxyy
BA
xx
d)co se(d)s i ne(,
BA 方程为 y = 0,所以 0d?y,
故
2
2
0d0d)cose(d)s i ne( xyxyxyy
BA
xx
,
因此所求 π40π4d)co se(d)s i ne( yxyxyy
L
xx
,
单连通域的概念,如果区域 D 内任意一条闭曲线所围成的部分完全属于 D,就说 D 是单连通域,直观的说，单连通域就是不含有“洞”的域,
二、平面上曲线积分与路径无关的条件定义 （曲线积分与路径无关）
设 D 是一单连通域，
1
C,
2
C 是
D 内的有相同起点和终点的任意两条曲线（如右图），如果
1 2
dddd
C C
yQxPyQxP,
则称曲线积分
L
yQxP dd 在 D 内与路径无关,
定理 2 在单连通域 D 内曲线积分与路径无关,
等价于在 D 内沿任一闭曲线的积分为零,
定理 3 设函数 P ( x,y ),Q ( x,y ) 在单连通域 D 上有一阶连续偏导数，则在 D 内曲线积分
L
Q dyP dx 与路径无关 ( 或沿着 D 内任一闭曲线的曲线积分为零 ) 的充分必要条件是等式
y
P
x
Q
在 D 内恒成立,
x O
y
A
B
D
1 C
2 C D
证 先证充分性,设
QP
xy
成立，对于 D 内的任意一条曲线 L,应用格林公式（ L 围成区域为
1
D ）
1
d d ( ) d d 0
L
D
QP
P x Q y x y
xy
,
于是得到曲线积分与路径无关,
再证必要性，用反证法,
设对 D 内任一闭曲线 L,有 0dd
L
yQxP,而在 D 内至少有一点 0M,使得 0?
y
P
x
Q
（不妨设 0? ），则由
y
P
x
Q
,的连续性，在 D 内必有一个以
0
M 为中心的小邻域 K,
使得 0?
y
P
x
Q
,
从而有 0dd)(dd?
yx
y
P
x
Q
yQxP
L
D
（ C
为 小邻域 K 的正向边界曲线 ),
这与 0dd)(dd?
yx
y
P
x
Q
yQxP
L
D
相矛盾,
所以在 D 内必有 0?
y
P
x
Q
,
例 3 计算曲线积分
yyxxxI
yy
L
d)2e(d)e(,其中 L 为通过三点 )1,0(),0,0( 和 )2,1( 的圆周弧段,
解 设,2e,e yxQxP
yy
则
y
P
x
Q
y
e,
故积分与路径无关,为计算简便，可取折线 OA B
为积分路径，于是
yQxPyQxPI
ABOA
dddd
,
在 OA 上
0d,0 yy
,在 AB 上
0d,1 xx
,
故有 yyxxxI
yy
d)2e(d)e(
)2,1(
)0,0(
2
0
1
0
d)2e(d)1( yyxx
y
2
7
e
2
,
1,yQxP
L
dd 与路径无关的条件是什么?
若与路径无关,则
),(
),( 00
dd
yx
yx
yQxP 如何积分为好?
2,yQxPL dd 能否化为二重积分来求?
思考题
*第六节 对坐标的曲面积分及其应用一,对坐标的曲面积分的概念与性质二,对坐标的曲面积分的计算三,高斯 (Gauss)公式
1,设稳定流动（在各点的流速只与该点的位置有关而与时间无关）的不可压缩流体 ( 密度为常数,为简单起见设密度为 1),
若以速度
(,,) (,,) (,,)P x y z Q x y z R x y zv i j k,
流过曲面?,求流体在单位时间内流过曲面? 一侧的流量,
若? 为平面,其面积为 S,如上图所示,
v 为常向量,),( vn,则沿平面? 法向量方向一侧的流量 c o sq S Svv,
v
n
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
*第六节 对坐标的曲面积分及其应用由微元法，取? 的面积微元 Sd,
在 Sd 上任一点 ),,( zyx 处,? 的单位法向量 { co s,co s,co s }n,
且 v 视为常向量,则流量微元
d co s d ( ) d dq S S Sv v n v,
于是流体在单位时间内流过曲面
的流量
ddq q S
v,
其中
}dc o s,dc o s,d{c o sd SSSS
,故
co s d co s d co s dq P S Q S R S
,
n
v
dS
若? 为曲面，（如下图）,此时 (,,)x y z?vv 是变向量,
且? 上各点法向量的方向不一样,
于是流体在单位时间内流过曲面? 的流量
ddq q S
v,
其中 }dc o s,dc o s,d{c o sd SSSS,故
co s d co s d co s dq P S Q S R S
,
而 Sdco s? 是 Sd 在
y O z
坐标面上的投影，记 为
Szy dc o s;dd?
是 Sd 在 z O x 坐 标面上的投影,记为
Sxz dco s;dd?
是 Sd 在
x O y
坐标面上的投影，记为 d x d y,
即
}dd,dd,dd{d yxxzzyS?
,因此，所求流量的数学模型为
d d d d d dq P y z Q z x R x y
,
光滑曲面：是指曲面在每一点都有切平面，并且切平面随着曲面上点的连续移动而连续转动；曲面是分片光滑的，是指曲面是由有限光滑曲面合成的,
定义 设函数 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 是定义在分片光滑曲面? 上的连续函数,分别称
d d,d d,d dP y z Q z x R x y
为
RQP,,在曲面? 上对坐标的曲面积分,
一般地,d d d d d dP y z Q z x R x y
= d d d d d dP y z Q z x R x y
,
2.对坐标的曲面积分的概念曲面的侧：如果我们规定了曲面上一点的法线正方向，当此点沿曲面上任一条不越过曲面边界的闭曲线连续移动，而回到原位置时,法线正方向保持不变,
就说此曲面是双侧曲面,当认定其一侧是正向时,则另一侧就为负向,
通常用 -? 表示与曲面
的正向相反的同一曲面，由于? 与 -? 的法线方向相反，它们的方向余弦也都差一个符号，因而有
d d d d d dP y z Q z x R x y
=
d d d d d dP y z Q z x R x y
,
也可记为
d d d d d dP y z Q z x R x y
=
d d d d d dP y z Q z x R x y
,
设光滑曲面? 的方程是单值函数 ),( yxfz?,也就是光滑曲面? 与平行于 z 轴的直线的交点只有一个，
以
xy
D 表示? 在 x O y 坐标面上的投影区域，被积函数虽然是三元函数，但是动点 ),,( zyxM 是限制在曲面
,),( yxfz? 上变动的,所以 ),,( zyxR 实质上仅依赖于变量
yx,
，这就提供了曲面积分可化为二重积分来计算的可能性,
分两种情况考虑,
( 1 ) 当指定
沿上侧积分 ( 即法向量 n 与 z 轴夹角为锐角 ),此时微元 Sd 在 x O y 坐标面的投影 0dd?yx,即
(,,) d d [,,(,) ] d d
xy
D
R x y z x y R x y f x y x y
,
二、对坐标的曲面积分的计算
（ 2 ）当指定? 沿下侧积分 ( 即法向量 n 与 z 轴夹角为钝角 ),此时微元 Sd 在 x O y 坐标面的投影 0dd?yx,
即
(,,) d dR x y z x y
[,,(,) ] d d,
xy
D
R x y f x y x y
对于积分 (,,) d dP x y z y z
,(,,) dz dQ x y z x
的情况类似,,
解 把? 分成
1
与
2
,见右图,
1
的方程是
22
1 yxz,
2
的方程是
22
1 yxz,于是
ddx yz x y
12
d d d dx y z x y x y z x y
yxyxxy
xy
D
dd1
22
yxyxxy
xy
D
dd)1(
22
yxyxxy
xy
D
dd12
22
rrr ds i ncos1d2
33
1
0
2
0
15
2
,
x
y
z
O
1 n
2 n
1
2
例 1 计算 ddx y z x y
,其中? 是球面 1
222 zyx
在 x ≥ y,0 ≥ 0 部分的外侧,
定理 设空间区域? 是由分片光滑的闭曲面?
所围成的,函数 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在? 上具有一阶连续偏导数，则有公式
d d d d d d d
P Q R
V P y z Q z x R x y
x y z
,
其中曲面积分取在闭曲面
的外侧,
由高斯公式很容易推出
1
d d d d d d d d d
3
V x y z x y z y z x z x y
,
三,高斯 (Gauss)公式解 d d d d d dx y z y z x z x y
3 d d dxyz
,
其中
为球体
222
zyx ≤
2
R,
由于
3
4
ddd π
3
x y z R
,
故
3
d d d d d d 4 πx y z y z x z x y R
,
例 3 计算 d d d d d dx y z y z x z x y
,? 为球面
2222 Rzyx
的外侧,
解 作辅助平面 hz?,它与锥 面
222
zyx 围成一个锥体
( 如右图 ),? 的边界面由锥面
及锥面底面
1
,hz? 所组成,
设
222
,,zRyQxP,
则
)(2 zyx
z
R
y
Q
x
P
,
例 4 计算曲面积分 yxzxzyzyx dddddd 222
,
是锥面 0(222 zyx ≤ z ≤ h ) 的外侧,O
x
y
z
由高斯公式得
1
2
22
d d d d d dx y z y z x z x y
2 ( ) dx y z V
4
00
2
0
2
d])s i n( co s[dd2 hzzrrr
hh
,
而
1
22
2 2 4
d d d d d d d d π
xy
D
x y z y z x z x y h x y h
,
从而
2
22
d d d d d dx y z y z x z x y
1
2
4 2 2
π
d d d d d d
2
h x y z y z x z x y
4
2
h
4
h?
4
2
h
,
1,双侧曲面有正向有负向,方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积就带有不同的符号，所以在对坐标的曲面积分中，就要考虑曲面的侧,既然只考虑双侧曲面，
说明存在单侧曲面，你可以将长方形的纸条的一端扭转
180,再与另一端粘起来，你一定能说明你所做的曲面是单侧曲面，这就是著名的默比乌斯带,
2,曲面微元?d 在 x O y 坐标平面上投影的面积微元是 yx dd,它在什么 情况下为正的？在什么情况下为负的?
思考题
*第三节 三重积分的概念与计算
*第四节 对坐标的曲线积分
*第五节 格林（ Green）公式及其应用
*第六节 对坐标的曲面积分及其应用第十一章 多元函数积分学一,二重积分的概念与性质二,在直角坐标系中计算二重积分三,在极坐标系中计算二重积分第一节 二重积分的概念与计算第一节 二重积分的概念与计算曲边梯形面积计算回顾第一步,将 ],[ ba 无限细分,在微小区间 ],[ dxxx? 上“以直代曲”,求得面积微元为 xxfA d)(d?
这一步即局部线性化,
第二步,将微元 Ad 在 [ a,b ] 上无限累积，即得面积为
a
b
xxfA d)(,O
y
x x x d? x a b
) ( x f y?
A d
一、二重积分的概念与性质下面我们把这种思想推广到平面区域 D 上的二元函数 ),( yxf,
1,引例,曲顶柱体的体积曲顶柱体,若立体的底为 x O y 平面上的有界闭区域 D,其侧面为以 D 的边界线为准线，而母线平行
z 轴的柱面，其顶是二元函数 ),( yxfz? 所表示的曲面,
这样的几何体称为曲顶柱体,
第一步：将区域 D 无限细分，在微小区域?d 上取一点 ),( yx,用以 ),( yxf 为高,?d 为底的平顶柱体体积
),( yxf?d 近似代替?d 上的小曲顶柱体体积，即得体积微元
d),(d yxfV?,
第二步,将体积微元?d),(d yxfV?
在区域 D 上无限累加 ( 这一步记为
,
D
” ),则得所求曲顶柱体体积为
D
yxfV?d),(,
曲顶柱体的体积设 ),( yxf ≥ 0,求曲顶柱体 ( 如下图 ) 的体积,
x
z
O
y
),( y x f z?
D? d
2,二重积分的概念设 ),( yxfz? 为定义在有界闭区域 D 上的连续函数，则上述两步后所得的表达式
D
yxf?d),(,即为函数
),( yxf 在区域 D 上的二重积分,其中 ),( yxf 称为被积函数,D 为积分区域,?d),( yxf 称为被积式,?d 为面积元素,x 与 y 称为积分变量,二重积分的几何意义：当 ),( yxf ≥ 0 时二重积分代表曲顶柱体的体积；特别地,当 ),( yxf =1 时,
D
d 表示区域
D 的面积,
3,二重积分的性质性质 1 常数因子可提到积分号外面，即
d),(d),(
DD
yxfkyxkf,
性质 2 函数和与差的积分等于各函数积分的和与差,即
d)],(),([
D
yxgyxf =
D
yxf?d),(
D
yxg?d),(,
性质 3 若积分区域 D 分割为
1
D 与
2
D 两部分,
则有
d),(
D
yxf =?d),(
1
D
yxfd),(
2
D
yxf,
性质 4 ( 中值定理 ) 设 ),( yxf 在有界闭域 D
上连续,? 是区域 D 的面积，则在 D 上至少有一点
),( 使得下式成立 ),(d),( fyxf
D
,
在直角坐标系中我们采用平行于 x 轴和 y 轴的直线把区域 D 分成许多小矩形,于是面积元素 yx ddd,
二重积分可以写成
D
yxyxf dd),(,
设 D 可表示为不等式 ( 如下页图 (a))
)(1 xy ≤ y ≤ )(2 xy,a ≤ x ≤ b,
二、在直角坐标系中计算二重积分下面我们用定积分的“切片法”来求这个曲顶柱体体积,
y
x O x a b
) (
2
x y y?
) (
1
x y y?
D
O
y
x x a
) (
2 x y y?
) (
1
x y y?
b
z
),( y x f z?
(a) (b)
在 [ a,b ] 上任意固定一点
0
x,过
0
x 作垂直于 x
轴的平面与柱体相交,截出的面积设为 )(
0
xS,由定积分可知 )(
0
xS =?
)(
)(
0
02
01
d),(
xy
xy
yyxf,
一般地,过 [ a,b ] 上任意一点 x,且垂直于 x 轴的平面与柱体相交得到的截面面积为 )( xS =
2
1
()
()
(,) d
yx
yx
f x y y?,
见上页图 (b),由定积分的“平行截面面积为已知,
求立体体积”的方法可知,所求曲顶柱体体积为
a
b
xxSV d)( xyyxf
a
b
xy
xy
d]d),([
)(
)(
2
1
,
所以
D
yxyxf dd),( xyyxf
a
b
xy
xy
d]d),([
)(
)(
2
1
,
上式也可简记为
D
yxyxf dd),(a
b
xy
xy
yyxfx )(
)(
2
1
d),(d ①
公式①就是二重积分化为定积分的计算方法，该方法也称为累次积分法,计算第一次积分时,视 x 为常量，对变量 y 由下限 )(1 xy 积到上限 )(2 xy,这时计算结果是一个关于 x 的函数，计算第二次积分时,x 是积分变量，积分限是常数,计算结果是一个定值,
设积分区域 D 可表示为不等式 ( 见下图 )
)(
1
yx ≤ x ≤ )(
2
yx,c ≤ y ≤ d,
完全类似地可得
②
D
yxyxf dd),(
2
1
()
()d (,) d
d x y
c x yy f x y x O
y
x
) (
2
y x x?
x
) (
1
y x
c
d
D
（ 2 ）用公式①或②时,要求 D 分别满足,平行于 y 轴或 x 轴的直线与 D 的边界相交不多于两点,如果
D 不满足这个条件，则需把 D 分割成几块 ( 见右图 ),然后分块计算 ;
O
y
x
D
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
( 3 ) 一个重积分常常是既可以先对 y 积分 ( 公式 ① ),
又可以先对 x 积分 ( 公式 ② ),而这两种不同的积分次序，
往往导致计算的繁简程度差别很大,那么，该如何恰当地选择积分次序呢? 我们结合下述各例加以说明,
化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：
（ 1）累次积分的下限必须小于上限 ;
例 1 计算
D
yxxy dd,其中 D,
22
yx? ≤ 1
x ≥ 0,y ≥ 0,
解 作 D 的图形 ( 见下图 ),先对 y 积分 ( 固定
x ),y 的变化范围由 0 到
2
1 x?,然后再在 x 的最大变化范围 [0,1] 内对 x 积分，于是得到
O
y
x
D
1
1 x
D
yxxy dd 21 1 1 2
0 0 0
1d d ( )
2
xx x y y x y
241 1
2
0 0
1 1 1( 1 ) d ( ),
2 2 2 4 8
xxx x x
本题若先对 x 积分，解法类似,
例 2 计算
D
yxxy dd2 2,其中 D 由抛物线 xy?2 及直线 2 xy 所围成,
解 画 D 的图形 ( 见下图 ),选择先对 x 积分,这时 D 的表示式为
21
2
2
y
yxy
,
从而
D
yxxy dd2
2
=
2
1
2
2
2
d2d
y
y
xxyy
yyyyy
yxy
y
y
d)44(
d|)(
2
1
6234
22
1
22
2
=
35
6
15
73
4
5 1
2
7
34
5
y
yy
y
,
O
y
x
D
2
y x?
2 y x
1?
2
) 1,1 (? A
) 2,4 ( B
例 2 求椭圆抛物面
4
4
2
2 yxz 与平面 0?z 所围成的立体体积,
解 画出所围立体的示意图 ( 见图 a),考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可,其中 D 如图 (b) 所示,
故 yx
y
xV
D
dd
4
44
2
2
= y
y
xx
x
d
4
4d4
2
0
416
0
2
2
2
= xyyxy
x
d
12
1
44
2
416
0
2
0
32?
= π16d)4(
3
16 2
0
2
3
2
xx,
O
y
x 2
4
2 4 16 x y
D
(a)
z
O
y
x
2
4
4
4
2
2 y
x z
(b)
1,极坐标系下的面积元素设函数的积分区域为 D,用 r 取一系列常数
( 得到一族中心在极点的同心圆 ) 和? 取一系列常数 ( 得到一族过极点的射线 ) 的两组曲线，将 D 分成许多小区域 ( 见下图 ),于是得到了极坐标系下的面积元素为
ddd rr?,
再分别用 s in,c os yrx 代换被积函数 ),( yxf 中的,,yx 这样二重积分在极坐标系下表达形式为
D
yxf?d),(
D
rrrrf dd)s in,c os(,
O
x
d
d r
r d
d
三、在坐标系中计算二重积分
O
x
) ( 1? r r?
) ( 2? r r?
(a)
2.极坐标系下化二重积分为累次积分设 D ( 图 a ) 位于两条射线 和 之间,D 的两段边界线极坐标方程为 )(),(
21
rrrr
则二重积分就可化为如下的累次积分
D
yxf?d),(
)(
)(
2
1
d)s in,c os(
r
r
rrrrfd,
如果极点 O 在 D 内部 ( 图 b),则有
D
yxf?d),(
)(
0
π2
0
d)s in,c os(d
r
rrrrf,
O
x
) (? r r?
(b)
例 5 将二重积分
D
yxf?d),( 化为极坐标系下的累次积分，其中 D,22 yx? ≤ yRx,2 ≥ 0,
解 画出 D 的图形 ( 见下图 ),D 可表示为
0 ≤? ≤ 2π,0 ≤ r ≤?c os2 R,
y
x O
D
c o s 2 R r?
R 2
于是得到
D
yxf?d),(
c o s2
0
2
π
0
d)s in,c o s(d
R
rrrrf,
例 6 计算
D
yx yx dde )( 22,D,22 yx? ≤ 2a,
解 选用极坐标系计算,D 表示为,
0 ≤ r ≤ a,0 ≤? ≤ π2,故有
D
yx
yx dde
)(
22
=
D
a
rr
rrrr
π2
0 0
deddde
22
= )e1(πde
2
1
-
22
a
0
π2
0
ar
,
例 7 计算
D
yxx dd2,其中 D 是两圆 122 yx 和
422 yx 之间的环形区域,
解 作 D 的图形 ( 见下图 ),选用极坐标，它可表示为 1 ≤ r ≤ 2,0 ≤? ≤ π2 于是
D
yxx dd
2
2
1
3
π2
0
22
2
1
2
π2
0
ddc o sdc o sd rrrrr
=
π2
0
2
1
3
π
4
15
dd
2
2c os1
rr?
,
2
y
x 1 O
例 8 求由锥面 224 yxz 与旋转抛物面
222 yxz 所围立体的体积 ( 见下图 ),
解 选用极坐标计算,
yxyxyxV
D
dd)](
2
1
)4[(
2222
=
D
rr
r
r?dd
2
4
2
,
求立体在 x O y 面上的投影区域 D,由,
2
4
22
22
yxz
yxz
消去 yx,得
22
( 4 ) 2 1 0 1 6 0z z z z即亦即 0)8)(2( zz 得 8,2 zz ( 舍去 )
因此，
D
由 24
22
ryx 即 围成,
x
y
O
D
4
z
故得
2
0 0
2
43
2
3
2
π2
0
π
3
20
83
2π2d
2
4d
rr
rr
r
rrV?,
说明：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的坐标系对计算二重积分是至关重要的,一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有
22
yx?
的项时,采用极坐标计算往往比较简便,
思考题
1,把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可到一个式子
n
i
iii
D
fyxf
1
0
),(limd),(
,
你对这个式子要说些什么吗？回顾一元定积分的定义，
可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，
被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试,
2,试述二重积分的几何意义,
一,平面薄板的质量二,平面薄板的重心三,平面薄板的转动惯量第二节 二重积分应用举例例 1 设一薄板的占有区域为中心在原点，半径为
R 的圆域，面密度为 22 yx,求薄板的质量,解 应用微元法，在圆域 D 上任取一个微小区域
d,视面密度不变，则得质量微元
,d)(d),(d 22 yxyxm
将上述微元在区域 D 上积分，即得
Dyxm
D
,d)( 22,22 yx? ≤ 2R,
用极坐标计算，有 4
π2
0 0
2 π
2
1
dd Rrrrm
R
,
一般地，面密度为 ),( yxu 的平面薄板 D 的质量是
D
yxm d),(,
第二节 二重积分应用举例一、平面薄板的质量设有薄板，占有区域 D,在点 ),( yx 的密度为 ),( yx?,
求薄板重心的坐标,
在区域 D 上任期一微小区域?d, d),(d yxm?,设想这部分质量集中在 点 ),( yx 处，于是得薄板对坐标轴的静力矩微元（见右图）为
d),(d yxxm
y
d),(d yxym
x
,
O
y
x
d y
x
将上述微元在 D 上积分，得
d),(
D
y yxxm,
D
x yxym d),(,
二、平面薄板的重心于是，薄板重心坐标为
D
D
yx
yxx
x
d),(
d),(
,
D
D
yx
yxy
y
d),(
d),(
,
若薄板是均匀的,? 是常数，则重心坐标为
D
x
A
x?d
1
,
D
x
A
y?d
1
其中 A 为区域 D 的面积,
例 2 设半径为 1 的半圆形薄板上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求此半圆的重心,
解 取坐标系如见下图,
22
),( yxyx,薄板形状及密度函数关于 x 轴都是对称的，所以重心必在
y 轴上，即 0?x,只须求 y 即可
D
yxm?d
22
3
π
dd
1
0
π
0
rrr?
D
x
yxym?d
22
rrrr d)( s ind
1
0
π
0
2
1
dds i n
π
0
1
0
3
rr,
故得
π2
3
m
m
y
x
,
重心坐标为?
π2
3
,0,
D
1? 1 x
y
O
三,平面薄板的转动惯量例 3 求内半径为 1R,外半径为 2R,密度均匀的圆环形薄板关于圆心的转动惯量,
解 建坐标系 ( 见下图 ),先求转动惯量微元
d)(d
22
0
yxI (? 为密度 ) 将微元在圆环域内积分，
则得
D
yxI d)(
22
0
用极坐标计算,D 表示为
1
R ≤ r ≤
2
R,0 ≤? ≤ π2,于是
).(π
2
1
dd
4
1
4
2
π2
0
2
0
2
1
RR
rrrI
R
R
D
x
y
1
R O
2 R
一,三重积分的概念二,在直角坐标系中计算三重积分三,在 柱面坐标系中计算三重积分四,在球面坐标系中计算三重积分
*第三节 三重积分的概念与计算引例 设有一质量非均匀分布的物体，占有空间区域?,在? 的每一点 ),,( zyx 处的体密度为
),,( zyx,求该物体质量,
将区域? 无限细分,在微小区域 Vd 上任取一点
),,( zyx,并把该点密度 ),,( zyx? 视为这一小块物体的密度
( 局部以常代变 ),这样得到质量微元为
Vzyxm d),,(d,
然后将质量微元 Vzyxm d),,(d 在区域? 上无限累加 ( 这一步记为,
” ),于是得物体质量为
Vzyxm d),,(,
*第三节 三重积分的概念与计算设 ),,( zyxf 是定义在空间有界闭区 域? 上的连续函数，则经上述“取微元”及“无限累加”两步,所得的表达式
Vzyxf d),,( 称为函数 ),,( zyxf 在区域? 上的三重积分，其中 ),,( zyxf 称为被积函数,? 称为积分区域，
Vd 称为体积元素,利用三重积分，可以得到 空间区域? 的体积为
VV d,
二、在直角坐标系中计算三重积分
1,三重积分在直角坐标系的表达式若对区域? 用平行于三个坐标面的平面去分割，则
Vd 为小长方体,于是体积元素 zyxV dddd?,从而
Vzyxf d),,(
D
zyxzyxf ddd),,(,
一、三重积分的概念
2.三重积分的计算设? 由上、下两个曲面 ),(
2
yxzz? 和 ),(
1
yxzz? 所围成
（
1
z ≤
2
z ），又? 在 x O y 坐标面上的投影区域为 D ( 见 下图 ),则计算公式为在作第一个积分时,视 yx,为常数，将 ),,( zyxf 对 z 积分（由
),,(
1
zyxz 积到 ),,(
2
zyxz ）,积分的结果是 ( yx,) 的一个函数，然后再将这个函数在 D 上作二重积分计算,
D
x O
) ( 2 x y y?
) ( 1 x y y?
2 z
1 z
a b
y
z
如 D 可表示为,)(
1
xy bxaxyy ),(
2
( 见上图 ),
则三重积分就化为了三个定积分的累次积分
zyxzyxf ddd),,( 2
1
(,)
(,)
D
[ (,,) ] d d d,z x y
z x y
f x y z z x y
),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
d),,(ddddd),,(
yxz
yxz
xy
xy
b
a
zzyxfyxzyxzyxf
,
例 1 计算三重积分
zyxxI ddd,其中? 为三坐标平面及平面 12 zyx 所围成的区域 ( 见下图 ),
解? 在面 x O y 上投影区域 D 为
O A B?,其 中 直 线 AB 是平面
12 zyx 与平面 0?z 的交线,其在
x O y 面上的方程为 12 yx,先对 z
积分,z 的变化范围从 0 到 yx 221 ;
再对 y 积分,y 由 0 变到 )1(
2
1
x? ；最后对 x 积分,x 由 0 变到 1,于是
O
x
y
z
1
1
A
C
B
2
1
yx
D
zxyxI
21
0
ddd
1
1 ( 1 ) 1 2
2
0 0 0
d d d
x x y
x y x z
)1(
2
1
0
1
0
d)21(d
x
yyxxx =
1
0
32
48
1
d)2(
4
1
xxxx,
例 2 一个物体由旋转抛物面 22 yxz 及平面
1?z 所围成（见右图）,已 知其任一点处的密度? 与到 z
轴距离成正比，求其质量 m,
解 据题意,密度
22
yxk,于是物体的质量为 zyxyxkm ddd
22
其中? 为由曲面
22
yxz 及平面 1?z 所围成的区域,
在坐标面 xO y 上的投影区域 D 为圆
22
yx? ≤ 1,过 D 内的任意点 M 引平行与 z 轴的直线，其与? 表面相交两点的竖坐标 z 分别是
22
yxz 与 1?z,于是
x
y
z
1
O )
,( y x M
zyxyxkm ddd
22
zyxyxk
yx
D
ddd
1
22
22
= yxyxyxk
D
dd)](1[
2222
= rrrk d)1(d
1
0
22
π2
0
= π
15
4
k,
1,柱面坐标：对于直角坐标系中的点 P ),,( zyx,
其中 yx,就是 P 在 x O y 面上的投影点 M 在 x O y 面上的直角坐标,如果用极坐标 ),(?r 来表示点 M,则空间一点
P 与数组 ),,( zr? 也是一一对应的 ( 限定 r0,
0 ≤? ≤ π2, z ),这样所确定的坐标系称为柱面坐标系，称 ),,( zr? 为点 P 的柱面坐标，记作
),,( zrP? ( 见下页图（ a ） ),
三、在柱面坐标系中计算三重积分
2,柱面坐标和直角坐标的关系为,
c o s,s in,x r y r z z
3,柱面坐标系中的三族坐标面为,
r 常数，表示以 z 轴为中心轴的圆柱面族 ;
= 常数，表示过 z 轴的半平面族 ;
z 常数，表示平行于 x O y 面的平面族,
x
y
z
O
M
x
y
z
r
),,( z y x P
),,( z r?
O
z
r
r?
z?
r
z z
z
x
y
（ b ） (a)
再将坐标变换关系式代入被积函数 ),,( zyxf 中，便得到三重积分在柱面坐标系中的表达式
zrrzrrfVzyxf ddd),s i n,co s(d),,( ①
在计算时,再进一步将①式化为累次积分,
考虑积分区域? 被柱面坐标的三族坐标面分割后的小区域 V? 的体积，由上页图 ( b ) 可看出，小直柱体 V? 可以近似地被看作为小长方体，其三边分别为,,,zrr 因此
zrrV 于是，在柱面坐标系中的体积元素为
zrrV dddd,
4,柱面坐标系中的三重积分计算例 3 计算三重积分
Vyx d)( 22,其中? 是以 z 轴为对称轴,a 为半径的圆柱体位于 0 ≤ z ≤ h 间的部分 ( h >0) ( 见下图 ),
解 采用柱面坐标，则所给的积分区域? 可用不等式组
0 ≤ r ≤ a,0 ≤? ≤ π2,0 ≤ z ≤ h
表示，因此
zrrrVyx dddd)(
222
=
a h
hazrr
0 0
43
π2
0
π
2
1
ddd?,
x
y
z
h
O a
1,球面坐标：设 P 为空间中的一点,M 为在 x O y
面上的投影,? 表示 P 到原点 O 的距离,? 为从 Ox
轴正向转到 OM 的夹角,? 为从 Oz 轴正向转到 OP
的夹角,并规定,0 0 ≤? ≤ π2,0 ≤? ≤ π
于是空间任一点 P（原点除外）就与有序数组 ),,(
成一一对应，这样所确定的坐标系称为球面坐标系，
称 ),,( 为点 P 的球面坐标（见下页图（ a ））,
2,球面坐标和直角坐标的关系为：
.c o s
,s ins in
,c o ss in
z
y
x
3,球面坐标系中的三族坐标面为,
= 常数，表示以原点为中心的球面族 ;
= 常数，表示通过 z 轴的半平面族 ;
= 常数，表示顶点在原点、以 z 轴为轴的圆锥面族,
四、在球面坐标系中计算三重积分
4,柱面坐标系中的三重积分计算为了应用球面坐标来计算 ),,( zyxf 在? 上的三重积分，我们来考虑积分区域? 被球面坐标的三族坐标面分割后的小区域 V? 的体积,由见上图 (b ) 可看出 V? 可以近似地看作为以,,s in 为棱长的小长方体,因此
.s i n2 V
M
y
x
x
y
z
z
),,( z y x P
),,(
(a)
x
y
s i n
z
(b)
于是,在球面坐标系中的体积元素为
ddds ind 2?V,再将 坐标 变换 关系式 代入被积函数 ),,( zyxf 中，便得到三重积分在球面坐标系中的表达式
Vzyxf d),,(
ddds i n)co s,s i ns i n,co ss i n(
2
f ②
在计算时,再进一步将 ② 式化为累次积分,
例 4 将三重积分
Vzyxf d),,( 化为球面坐标系中的累次积分，其中? 是
222
zyx ≤ Rz2 （见下图）,
解 采用球面坐标，将 坐标 变换式 代入，则区域
边界的球面方程为 c o s2 R?
Vzyxf d),,(
ddds in)c os,s ins in,c oss in(
2
f
.d)c o s,s ins in,c o ss in(ds ind
c o s2
0
22
π
0
π2
0
R
f
于是,? 可用不等式组
0 ≤? ≤ c os2 R 0,≤? ≤
2
π
,
0 ≤? ≤ π2 给出,故
z
x
y O
c o s 2 R?
思考题
1.试述计算三重积分的步骤,
2,总结出在不同的坐标系下，区域? 的表达式和相应的积分表达式,
*第四节 对坐标的曲线积分一,对坐标的曲线积分的概念及性质二,对坐标的曲线积分的计算用微元法思想解决这个问题,
第一步：求功的微元，在 L 上任取一微小弧段
1ii
MM
，在这小弧段上，我们设想力 F 保持不变,
并用有向线段 d d dl x y ij,
来代替弧
1ii
MM
，于是得功的微元为
yyxQxyxPlFW d),(d),(dd,1,设质点在 x O y 平面内，受变力 (,) (,) (,)F x y P x y Q x y ij
的作用，沿有向曲线 L （如右下图）从点 A
运动到点 B,求力 F 所做的功,
O
d x
d y
i M
A
B
1 - i M
l d
x
y *第四节 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质设有矢量函数 (,) (,) (,)F x y P x y Q x y ij,L 为有向光滑曲线弧，且 ),(),,( yxQyxP 在 L 上连续，则上述两步所得的表达式 yyxQxyxPlF
L
L
d),(d),(d
称为函数 ),( yxF
在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,
等式左边是曲线积分的矢量形式（物理意义明显），等式右边是曲线积分的坐标形式（便于计算）,
第二步：将上述微元沿曲线弧 L 无限累加（这一运算记为,?
L
”），则得所求功为
yyxQxyxPlFW
LL
d),(d),(d,
2.对坐标的曲线积分的概念有时我们会遇到 ),(),,( yxQyxP 中一个是零的情况，
这时曲线积分的坐标形式为
L
xyxP d),( 或?
L
yyxQ d),(,
曲线 L 也可以是封闭曲线，该积分称为沿闭回路的曲线积分，记为 dd
L
P x Q y,
(1) 改变积分路径 L 的方向，则积分改变符号,
即 yQxPyQP d x
LL
ddd
,
(2) 若 21 LLL,
则 yQxPyQxPyQxP
LLL
dddddd
21
,3.性质设曲线 L 由参数方程给出 L,
( ),
( ),
xt
yt
at? 对应 L
的起点,t 对应 L 的终点 ( 这里 a 不一定要小于? ),
当参数 t 由 a 变到? 时，点 ),( yxM 就描出有向弧段 L,
又函数 ),,( yxP ),( yxQ 在 L 上连续,
则有
yyxQxyxP
L
d)(d),(
=
''
{ [ ( ),( ) ] ( ) [ ( ),( ) ] ( ) } dP t t t Q t t t t
,
即曲线积分仍是化为定积分计算，这里有三个“替换”：
被积函数中的 x,y 用积分路径 L 的方程替换； d x,d y 用 L
的方程求微分后替换；积分路径 L 被 L 的起点和终点的参数值来替换,
二、对坐标的曲线积分的计算设曲线 L 的方程由 )( xfy? 给出，它可视为参数方程的特殊情况，此时有
yyxQxyxP
L
d),(d),(?
=
b
a
xxfxfxQxfxP d)}(')](,[)](,[{,
下限 a 对应 L 的起点，上限 b 对应 L 的终点,
完全类似，若曲线 L 由方程 ()xy 给出时，则将化为对
y 的定积分,
例 1 计算 xyyx
L
dd,其中 L 为
(1) 从点 )0,( aA 到点 ),0( bB 的一段椭圆 1
2
2
2
2
b
y
a
x
弧；
(2) 直线段 AB （如下页图）,
解 （ 1 ）椭圆参数方程为
,s i n
,co s
tby
tax
起点 A 对应于 t=0,
终点 B 对应于 t =
2
π
,
化为定积分为
2
0
d)]s i n(s i n)c o s(c o s[dd ttatbtbtaxyyx
L
= abtab π
2
1
d
2
π
0
,O x
y
A(a,0)
B(0,b)
(2) 直线段 AB 的方程为 bx
a
b
y,起点
ax?,终点 0?x,化为对 x 的定积分为
.d
ddd
0
0
abxb
xbx
a
b
a
b
xxyyx
a
a
L
该例说明，曲线积分的值是与积分路径有关的，虽然两个被积函数相同，起点与终点也相同，
但是沿不同的路径积分，积分值却不同,
解 ( 1 ) 化为对 x 的定积分,L,
2
xy? 从 0 变到 1,所以
1
2 2 2
0
2 d d ( 2 2 ) d
L
xy x x y xx x x x
1
3
0
4 d 1.xx
( 2 ) 化为对 y 的定积分,L,
2
yx? 从 0 变到 1,所以
1
2 2 4
0
2 d d ( 2 2 ) d
L
x y x x y y y y y y
1
4
0
5 d 1,yy
例 2 计算 yxxxy
L
dd2
2
,其中 L 为
(1) 抛物线
2
xy? 上从点 )0,0(O
到点 )1,1(B ;
(2) 抛物线
2
yx? 上从点 O 到点 B ;
(3) 有向折线 O A B ( 如右图 ),O x
y
A
(1,0)
B
(1,1)
(3)
2
2 d d
OAB
x y x x y?
22
2 d d 2 d d
OA AB
x y x x y x y x x y
,
在 OA 上,xyy,0d,0 从 0 变到 1,所以
1
22
0
2 d d ( 2 0 0 ) d 0,
OA
xy x x y x x x
在
AB
上,yxx,0d,1 从 0 变到 1,所以
1
2
0
2 d d ( 2 0 1 ) d 1,
AB
xy x x y y y
从而 110dd2
2
yxxxy
O A B
,
该例说明,对有些函数 ),(),,( yxQyxP,它们的曲线积分值只与积分路径的起点和终点有关，而与连接起点与终点的路径本身无关,
下面讨论空间曲线的情况,设空间有向曲线弧? 的参 数 方 程 为 ( ),( ),( )x t y t z t,函数
),,,(),,,( zyxQzyxP ),,( zyxR 在? 上是连续的,则有
zzyxRyzyxQxzyxP d),,(d),,(d),,(
= { [ ( ),( ),( ) ] '( ) [ ( ),( ),( ) ]P t t t t Q t t t
'( ) [ ( ),( ),( ) ] '( ) }t R t t t t dt,③
其中下限? 和上限? 分别对应于? 起点和终点,
例 3 设力场 ()y x x y zF i j k,
求 (1) 质点由点 A ( a,0,0 ) 沿着螺旋线
t
c
ztaytax
π2
,s i n,co s, 到点
B ( a,0,c ),力 F 所做的功 ;
O
A( a,0,0 )
B( a,0,c )
C ( 0,0,c)
x
y
z
解 (1) 由公式③,得
zzyxyxxysFW d)(ddd
,
而螺旋线
的方程为 t
c
ztaytax
π2
,s i n,co s,且起点
A 对应于 t = 0,终点 B 对应于 π2?t,所以
t
c
t
c
tatatatatataW d
π2π2
s i nco s)co s(co s)s i n(s i n
π2
0
tt
c
tt
ac
ta d
4
)s i n(co s
2
2co s
2
0
2
2
2
2
c
,
( 2 ) 由空间解析几何知道，直线段 AB 的方程为
c
zyax
00
,化为参数方程为 tctzyax,,0, 从 0 变到
1,
(2) 质点由点 A ( 0,0,a ) 沿着直线段 AB 到点 B ( ca,0,),
力 F 所做的功 ( 如上页图 ),
1,对坐标的曲线积分 yQxP
L
dd 如何化为一元定积分来计算?
2,为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时,下限对应起点,上限对应终点?
思考题
zzyxyxxysFW ABAB d)(ddd
1
0
2
2
d)(
c
actccta,
*第五节 格林（ Green）公式及其应用一,格林公式二,平面上曲线积分与路径无关的条件区域 D的边界曲线 L的正方向：当观察者沿 L的某个方向行走时,区域 D总在其左侧,则该方向即为 L的正向,
定理 1 设平面区域是由分段光滑曲线 L 所围成，
函数 ),( yxP,),( yxQ 在 D 上具有一阶连续偏导数,则有
yx
y
P
x
Q
yQxP
L
D
dd)(dd
成立，这里曲线积分是按正向取的，称 上式 为格林公式,*第五节 格林（ Green）公式及其应用一,格林 公式解 闭回路曲线积分，可用格林公式化为二重积分计算设 yxP
2
,
3
yQ?,
则
2
x
y
P
x
Q
,
又
D
:
,
,10
3
2
xyx
x
所以，由格林公式得
yyxyx
L
dd
32
=
2
( )d d
D
x x y?
=
1
0
2
3
2
44
1
d)(d
x
x
yxx,
例 1 设 L 是由曲线 23 xy? 与直线 xy? 连接起来的正向闭曲线 ( 如下图 ),计算 yyxyx
L
dd
32
,
2 3
x y?
y = x
O x
y
解 直接化为定积分计算较繁,
这里仍可以用格林公式，但需补充线段 BA,使得 BAL? 为闭曲线（负向）,
这时,所求
L BAL BA
yQxPyQxPyQxP dddddd,
其中
yyP
x
s i ne
，
xyQ
x
co se
,
由于 1c ose
y
x
Q
x
,1cose
y
y
P
x
,
得
2
y
P
x
Q
,
所以
BAL
D D
yxyx π4dd2dd)2(,
例 2 计算 yxyxyy
L
xx
d)co se(d)s i ne(,( 如下图 ) L 为下半圆周
2
4 xy 由 A (2,0) 到 B ( - 2,0),
x
y
L
D
O A B
再计算 yxyxyy
BA
xx
d)co se(d)s i ne(,
BA 方程为 y = 0,所以 0d?y,
故
2
2
0d0d)cose(d)s i ne( xyxyxyy
BA
xx
,
因此所求 π40π4d)co se(d)s i ne( yxyxyy
L
xx
,
单连通域的概念,如果区域 D 内任意一条闭曲线所围成的部分完全属于 D,就说 D 是单连通域,直观的说，单连通域就是不含有“洞”的域,
二、平面上曲线积分与路径无关的条件定义 （曲线积分与路径无关）
设 D 是一单连通域，
1
C,
2
C 是
D 内的有相同起点和终点的任意两条曲线（如右图），如果
1 2
dddd
C C
yQxPyQxP,
则称曲线积分
L
yQxP dd 在 D 内与路径无关,
定理 2 在单连通域 D 内曲线积分与路径无关,
等价于在 D 内沿任一闭曲线的积分为零,
定理 3 设函数 P ( x,y ),Q ( x,y ) 在单连通域 D 上有一阶连续偏导数，则在 D 内曲线积分
L
Q dyP dx 与路径无关 ( 或沿着 D 内任一闭曲线的曲线积分为零 ) 的充分必要条件是等式
y
P
x
Q
在 D 内恒成立,
x O
y
A
B
D
1 C
2 C D
证 先证充分性,设
QP
xy
成立，对于 D 内的任意一条曲线 L,应用格林公式（ L 围成区域为
1
D ）
1
d d ( ) d d 0
L
D
QP
P x Q y x y
xy
,
于是得到曲线积分与路径无关,
再证必要性，用反证法,
设对 D 内任一闭曲线 L,有 0dd
L
yQxP,而在 D 内至少有一点 0M,使得 0?
y
P
x
Q
（不妨设 0? ），则由
y
P
x
Q
,的连续性，在 D 内必有一个以
0
M 为中心的小邻域 K,
使得 0?
y
P
x
Q
,
从而有 0dd)(dd?
yx
y
P
x
Q
yQxP
L
D
（ C
为 小邻域 K 的正向边界曲线 ),
这与 0dd)(dd?
yx
y
P
x
Q
yQxP
L
D
相矛盾,
所以在 D 内必有 0?
y
P
x
Q
,
例 3 计算曲线积分
yyxxxI
yy
L
d)2e(d)e(,其中 L 为通过三点 )1,0(),0,0( 和 )2,1( 的圆周弧段,
解 设,2e,e yxQxP
yy
则
y
P
x
Q
y
e,
故积分与路径无关,为计算简便，可取折线 OA B
为积分路径，于是
yQxPyQxPI
ABOA
dddd
,
在 OA 上
0d,0 yy
,在 AB 上
0d,1 xx
,
故有 yyxxxI
yy
d)2e(d)e(
)2,1(
)0,0(
2
0
1
0
d)2e(d)1( yyxx
y
2
7
e
2
,
1,yQxP
L
dd 与路径无关的条件是什么?
若与路径无关,则
),(
),( 00
dd
yx
yx
yQxP 如何积分为好?
2,yQxPL dd 能否化为二重积分来求?
思考题
*第六节 对坐标的曲面积分及其应用一,对坐标的曲面积分的概念与性质二,对坐标的曲面积分的计算三,高斯 (Gauss)公式
1,设稳定流动（在各点的流速只与该点的位置有关而与时间无关）的不可压缩流体 ( 密度为常数,为简单起见设密度为 1),
若以速度
(,,) (,,) (,,)P x y z Q x y z R x y zv i j k,
流过曲面?,求流体在单位时间内流过曲面? 一侧的流量,
若? 为平面,其面积为 S,如上图所示,
v 为常向量,),( vn,则沿平面? 法向量方向一侧的流量 c o sq S Svv,
v
n
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
*第六节 对坐标的曲面积分及其应用由微元法，取? 的面积微元 Sd,
在 Sd 上任一点 ),,( zyx 处,? 的单位法向量 { co s,co s,co s }n,
且 v 视为常向量,则流量微元
d co s d ( ) d dq S S Sv v n v,
于是流体在单位时间内流过曲面
的流量
ddq q S
v,
其中
}dc o s,dc o s,d{c o sd SSSS
,故
co s d co s d co s dq P S Q S R S
,
n
v
dS
若? 为曲面，（如下图）,此时 (,,)x y z?vv 是变向量,
且? 上各点法向量的方向不一样,
于是流体在单位时间内流过曲面? 的流量
ddq q S
v,
其中 }dc o s,dc o s,d{c o sd SSSS,故
co s d co s d co s dq P S Q S R S
,
而 Sdco s? 是 Sd 在
y O z
坐标面上的投影，记 为
Szy dc o s;dd?
是 Sd 在 z O x 坐 标面上的投影,记为
Sxz dco s;dd?
是 Sd 在
x O y
坐标面上的投影，记为 d x d y,
即
}dd,dd,dd{d yxxzzyS?
,因此，所求流量的数学模型为
d d d d d dq P y z Q z x R x y
,
光滑曲面：是指曲面在每一点都有切平面，并且切平面随着曲面上点的连续移动而连续转动；曲面是分片光滑的，是指曲面是由有限光滑曲面合成的,
定义 设函数 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 是定义在分片光滑曲面? 上的连续函数,分别称
d d,d d,d dP y z Q z x R x y
为
RQP,,在曲面? 上对坐标的曲面积分,
一般地,d d d d d dP y z Q z x R x y
= d d d d d dP y z Q z x R x y
,
2.对坐标的曲面积分的概念曲面的侧：如果我们规定了曲面上一点的法线正方向，当此点沿曲面上任一条不越过曲面边界的闭曲线连续移动，而回到原位置时,法线正方向保持不变,
就说此曲面是双侧曲面,当认定其一侧是正向时,则另一侧就为负向,
通常用 -? 表示与曲面
的正向相反的同一曲面，由于? 与 -? 的法线方向相反，它们的方向余弦也都差一个符号，因而有
d d d d d dP y z Q z x R x y
=
d d d d d dP y z Q z x R x y
,
也可记为
d d d d d dP y z Q z x R x y
=
d d d d d dP y z Q z x R x y
,
设光滑曲面? 的方程是单值函数 ),( yxfz?,也就是光滑曲面? 与平行于 z 轴的直线的交点只有一个，
以
xy
D 表示? 在 x O y 坐标面上的投影区域，被积函数虽然是三元函数，但是动点 ),,( zyxM 是限制在曲面
,),( yxfz? 上变动的,所以 ),,( zyxR 实质上仅依赖于变量
yx,
，这就提供了曲面积分可化为二重积分来计算的可能性,
分两种情况考虑,
( 1 ) 当指定
沿上侧积分 ( 即法向量 n 与 z 轴夹角为锐角 ),此时微元 Sd 在 x O y 坐标面的投影 0dd?yx,即
(,,) d d [,,(,) ] d d
xy
D
R x y z x y R x y f x y x y
,
二、对坐标的曲面积分的计算
（ 2 ）当指定? 沿下侧积分 ( 即法向量 n 与 z 轴夹角为钝角 ),此时微元 Sd 在 x O y 坐标面的投影 0dd?yx,
即
(,,) d dR x y z x y
[,,(,) ] d d,
xy
D
R x y f x y x y
对于积分 (,,) d dP x y z y z
,(,,) dz dQ x y z x
的情况类似,,
解 把? 分成
1
与
2
,见右图,
1
的方程是
22
1 yxz,
2
的方程是
22
1 yxz,于是
ddx yz x y
12
d d d dx y z x y x y z x y
yxyxxy
xy
D
dd1
22
yxyxxy
xy
D
dd)1(
22
yxyxxy
xy
D
dd12
22
rrr ds i ncos1d2
33
1
0
2
0
15
2
,
x
y
z
O
1 n
2 n
1
2
例 1 计算 ddx y z x y
,其中? 是球面 1
222 zyx
在 x ≥ y,0 ≥ 0 部分的外侧,
定理 设空间区域? 是由分片光滑的闭曲面?
所围成的,函数 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在? 上具有一阶连续偏导数，则有公式
d d d d d d d
P Q R
V P y z Q z x R x y
x y z
,
其中曲面积分取在闭曲面
的外侧,
由高斯公式很容易推出
1
d d d d d d d d d
3
V x y z x y z y z x z x y
,
三,高斯 (Gauss)公式解 d d d d d dx y z y z x z x y
3 d d dxyz
,
其中
为球体
222
zyx ≤
2
R,
由于
3
4
ddd π
3
x y z R
,
故
3
d d d d d d 4 πx y z y z x z x y R
,
例 3 计算 d d d d d dx y z y z x z x y
,? 为球面
2222 Rzyx
的外侧,
解 作辅助平面 hz?,它与锥 面
222
zyx 围成一个锥体
( 如右图 ),? 的边界面由锥面
及锥面底面
1
,hz? 所组成,
设
222
,,zRyQxP,
则
)(2 zyx
z
R
y
Q
x
P
,
例 4 计算曲面积分 yxzxzyzyx dddddd 222
,
是锥面 0(222 zyx ≤ z ≤ h ) 的外侧,O
x
y
z
由高斯公式得
1
2
22
d d d d d dx y z y z x z x y
2 ( ) dx y z V
4
00
2
0
2
d])s i n( co s[dd2 hzzrrr
hh
,
而
1
22
2 2 4
d d d d d d d d π
xy
D
x y z y z x z x y h x y h
,
从而
2
22
d d d d d dx y z y z x z x y
1
2
4 2 2
π
d d d d d d
2
h x y z y z x z x y
4
2
h
4
h?
4
2
h
,
1,双侧曲面有正向有负向,方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积就带有不同的符号，所以在对坐标的曲面积分中，就要考虑曲面的侧,既然只考虑双侧曲面，
说明存在单侧曲面，你可以将长方形的纸条的一端扭转
180,再与另一端粘起来，你一定能说明你所做的曲面是单侧曲面，这就是著名的默比乌斯带,
2,曲面微元?d 在 x O y 坐标平面上投影的面积微元是 yx dd,它在什么 情况下为正的？在什么情况下为负的?
思考题
