第九章 向量与空间解析几何第一节 空间直角坐标系与向量的概念第二节 向量的点积与叉积第三节 平面与直线第四节 曲面与空间曲线
*第五节 矢量函数的微积分第一节 空间直角坐标系与向量的概念一,空间直角坐标系二,向量的基本概念及线性运算三,向量的坐标表示空间直角坐标系,过空间一个定点 O,作三条相互垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度,这三条数轴分别叫做 x 轴（横轴）,y 轴（纵轴）和 z 轴（竖轴）,一般是将 x 轴和 y 轴放置在水平面上,那么 z 轴就垂直于水平面；
它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,
让四指与大拇指垂直,并使四指先指向 x 轴,然后让四指沿握拳方向旋转
90 指 向 y 轴,此时大拇指的方向即为 z 轴方向,这样就构成了空间直角坐标系,O 称为坐标原点,
一、空间直角坐标系坐标面：在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面,即 x O y 坐标面,y O z 坐标面和 z Ox 坐标面,
O
z
x
y
z O x 平面
y O z 平面
x O y 平面卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个部分,每一个部分称为一个卦限,在 x O y 坐标面上方有四个卦限,下方有四个卦限,含 x 轴,y 轴和 z 轴正向的卦限称为第Ⅰ卦限,然后逆着 轴 z 正向看时,按逆时针顺序依次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限下面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ 卦限,
O
x
y
Ⅰ Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅱ
Ⅲ
z
点的坐标：设 P 为空间的任意一点,过点 P 作垂直于坐标面 x O y 的直线得垂足 P?,过 P? 分别与 x 轴,y 轴垂直且相交的直线,过 P 作与 z 轴垂直且相交的直线,依次得,,x y z 轴 上 的三个 垂足,,,RNM 设,,x y z 分别是
RNM,,点在数轴上的坐标,这样空间内任一点 P 就确定了惟一的一组有序的数组
,,x y z
,用
(,,)x y z
表示,
反之,任给出一组有序数组,xy 和 z,也能确定了空间内惟一的一个点 P,而
,xy 和 z 恰恰是点 P 的坐标,
z
x
O
y
N
M
),,( z y x P
' P
y
R
z
x
根据上面的法则,建立了空间一点与一组有序数
（ x,y,z ）之间的一一对应关系,有序数组 (,,)x y z 称为点
P 的坐标,x,y,z 分别称为 x 坐标,y 坐标和 z 坐标,
1,向量的基本 概念向量：既有大小 又有方向的量称为向量（或矢量）,
向量一般用黑体小写字母表示,如 a,b,c 等,有时也用,,a b c 等表示向量,几何上,也常用有向线段来表示向量,起点为 M,终点为
N 的向量记为 MN,
N
M
二、向量的基本概念及线性运算向量的模：向量的大小 称为向量的模,用 || a,
|| b,|| c,或 AB 表示向量的模,
单位向量：模为 1 的向量称为单位向量,零向量：模为 0 的向量称为零向量,记为 0,规定零向量的方向为任意方向,定义 1 如果向量 a 和 b 的大小相等且方向相同,
则称向量 a 与 b 相等，记为?ab,2,向量的线性运算
( 1 ) 加法（平行四边形法则） 将向量 a 与 b 的起点放在一起,并以 a 和 b 为邻边作平行四边形,则从起点到对角顶点的向量称为向量 a 和 b 的和向量,记为 a + b,
向量加法的三角形法则：把 b 的起点放到向量 a
的终点上,把自 a 的起点的到向量 b 的终点的向量为
ab,
向量加法运算规律,
交换律,abba ；
结合律,)()( cbacba,
（ 2 ）向量与数的乘法定义 2 设? 为一实数,向量 a 与数? 的乘积是一个向量,记为 a?,并且规定,(1) |||||| aa ； (2) 当 0
时,a? 与 a 同向；当 0 时,a? 与 a 反向； (3) 当? =0
时,0 a （零向量）,
a
b a + b
a
b a + b
向量与数的乘法运算规律,
结合律,)()()( aaa ;
分配律, a)( babaaa )(,;
交换律, aa,
同向的单位向量：设 a 是一个非零向量,则向量
||
a
a
a
为与向量 a 同向的单位向量,定义 3? = - 1 时,记 aa )1(,则 a? 与 a 的方向相反,模相等,称? a 为 a 的负向量（也称其为 a 的逆向量）,向量的减法,
向量 a 的 b 的差规定为 )( baba,
向量减法的三角形法则,
把 a 与 b 的起点放在一起,即?ab 是以 b 的终点为起点,以 a 的终点为终点的方向向量,
1,向径及其坐标表示向径：起点在坐标原点 O,终点为 M 的向量
OM 称为点 M 的向径,记为 )( Mr 或 OM,
a b
a+ ( - b )
a - b
- b
三、向量的坐标表示基本单位向量,
在坐标轴上分别取与 x 轴,y 轴和 z 轴方向相同的单位向量称为基本单位向量,分别用 i,j,k,
表示,
向径的坐标,
若点 M 的坐标为 (,,)x y z,则 向 量
,OA x? i OB y? j,OC z? k 由向量的加法法则得
OM = OM? + MM? =( OA + OB )+ OC = x y zi j k,称其为点
M (,,)x y z
的向径 OM 的坐标表达式，简记为
OM
=
zyx,,
,
2,向量 12MM 的坐标表达式设
1 1 1 1
(,,)M x y z,
2 2 2 2
(,,)M x y z 为坐标系中两点，向径
1
OM,
2
OM 的坐标表达式为
1 1 1 1
OM x y zi j k,
2 2 2 2
OM x y zi j k,则以
1
M 为起点,以
2
M 为终点的向量
12
MM =
21
O M O M?
2 2 2
()x y zi j k
1 1 1
()x y zi j k
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z zi j k,
即以
1 1 1 1
(,,)M x y z 为起点,以
2 2 2 2
(,,)M x y z 为终点的向量
12
MM 的坐标表达式为
1 2 2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )M M x x y y z zi j k
3,向量 1 2 3a a aa i j k 的模任给一向量
1 2 3
a a aa i j k,都可将其视为以点
M (
1
a,
2
a,
3
a ) 为 终 点 的 向 径 OM,
2
||OM =
2
||OA
+
2
||OB +
2
||OC,即
2
|| a =
2
3
2
2
2
1
aaa,所 以 向 量
1 2 3
a a aa i j k 的模为 a =
2
3
2
2
2
1
aaa,
z
A
B
C
' M
M
i
k
O
x
y j
z
O
x
y
1
M
2
M
4,空间两点间的距离公式设点 1M ( 1x,1y,1z ) 与点 2M ( 2x,2y,2z ),且两点间的距离记作 )( 21 MMd,则
)( 21 MMd =
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1
| | ( ) ( ) ( )M M x x y y z z,
例 1 ( 1 ) 写出点 )1,2,1(A 的向径；
( 2 ) 写出起点为 )1,2,1(A,终点为 )0,3,3(B 的向量的 坐标表达式；
(3) 计算 BA,两点间的距离,
解 (1) 2OAi j k ；
(2) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 0 1 )ABi j k
2i j k ；
5,坐标表示下的向量运算设
1 2 3
a a aa i j k,
1 2 3
b b bb i j k,则有
(1)
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )a b a b a ba b i j k ;
(2)
1 2 3
a a aa i j k ;
(3) 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )a b a b a ba b i j k ;
(4)?ab 332211,,bababa ;
(5) //ab
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
,
(3) 2 2 2( ) | | 2 1 ( 1 ) 6d AB AB,
思考题
1,点 ),,( zyxM 与 x 轴,x O y 平面及原点的对称点坐标 为 何？
2,下列向量哪个是单位向量？
(1) kjir ;
(2)1,0,1
2
1
a ;
(3)
3
1
,
3
1
,
3
1
b,
第二节 向量的点积与叉积二,向量的叉积一,向量的点积
1,引例 已知力 F 与 x 轴正向夹角为? 其大小为
F,在力 F 的作用下,一质点 M 沿轴 x 由 ax? 移动到 bx? 处,求力 F 所做的功？
解 力 F 在水平方向的分力大小为 c o s
x
FF 所以,力 F 使质点
M 沿 x 轴方向（从 A 到 B ）所做的功
co s | |W F b a = | | c osAB?F,即力 F 使质点 M 沿 x 轴由点 A 移动到 B 点所做的功等于力 F 的模与位移矢量的模及其夹角余弦的积,
A B
b a
F
x O
一、向量的点积
2,点积的定义定义 1 设向量 a 与 b 之间夹角为 ( π),则称数量 | | | | co s?ab 为 a 与 b 的点积（或数量积）,并用 ba?
表示,即 ba? = | | c o s?a || b,
例 1 已知基本单位向量 kji,,是三个相互垂直的单位向量,求证,1 kkjjii ; 0 ikkjji,
证 因为 1 kji,所以 1c o s|||| iiii
)0(,同理可知,1 kkjj ； 又因为 kji,,之间的夹角皆为
2
,故有
0011
2
cos||||
jiji,同理可知 0 ikkj,
点积的运算规律,
交换律,abba ；
分配律,cabacba )( ；
结合律,)()( bababa,
3,点积的坐标表示设 1 2 3a a aa i j k,1 2 3b b bb i j k,则
1 2 3 1 2 3( ) ( )a a a b b ba b i j k i j k,
故向量 a321,,aaa? 与 b321,,bbb? 的点积等于其相应坐标积的和,
1a? 1b + 2a 2b + 3a 3b,
则由向量点积知向量 a 与 b 夹角余弦公式为
c o s
|||| ba
ba?
2
3
2
2
2
1
3
3
2
2
2
1
332211
bbbaaa
bababa
（ 0 ≤? ≤ π ）,
向量垂直的条件：向量 a 与 b 正交的充分必要条件是 a · b =0 或 332211 bababa =0,
例 2 试证向量 a3,2,1? 与 b3,3,3 是正交的,证 因为 a · b 0)3(33231,所以 a 与 b
正交,
两向量的夹角：设 a = 1a i + 2a j + 3a k,b = 1b i + 2b j + 3b k,
c o s
2
3
2
2
2
1
1
aaa
a
,
co s
2
3
2
2
2
1
2
aaa
a
,
c o s
2
3
2
2
2
1
3
aaa
a
,
并且 1c o sc o sc o s
222
,
例 3 设向量 1 2 3a a aa i j k 与 x 轴,y 轴,z 轴正向的夹角分别为,, 称其为向量 a 的三个方向角,并称
c o s,?co s,?c o s 为向量 a 的方向余弦,
且 222 c osc osc os 1
)( 232221
2
3
2
2
2
1?
aaa
aaa
,
co s
|||| ja
ja?
2
3
2
2
2
1
2
aaa
a
,
c o s
|||| ka
ka?
2
3
2
2
2
1
3
aaa
a
,
证 向 量 i,j,k 的坐标表达式分别为
1,0,0,0,1,0,0,0,1 kji,
于是有?c o s =
|||| ia
ia?
2
3
2
2
2
1
1
aaa
a
,
1,引例 设 O 点为一杠杆的支点,力 F 作用于杠杆上点 P 处,求力 F 对支点 O 的力矩,
解 根据物理学知识,力 F 对点 O 的力矩是向量 M,
其大小为
| | | | | | si nM d OP FF | | | || | sinF d F O P,
其中 d 为支点 O 到力 F 的作用线距离,? 为矢量 F 与 OP 的夹角,力矩
M 的方向规定为,OP,F,M 依次符合右手螺旋法则,
O
F
d
P
二、向量的叉积因此,力矩 M 是一个与向量 OP 和向量 F 有关的向量,其大小为 | | si nOP F?,其方向满足：（ 1 ）同时垂直于向量 OP 和 F ；（ 2 ）向量 OP,F,M 依次符合右手螺旋法则,
2,叉积的定义定义 2 两个向量 a 和 b 的叉积（也称为向量积）是一个向量,记作?ab,并由下述规则确定,
（ 1 ） ),s i n ( bababa
（ 2 ） a? b 的方向规定为,
注,a? b 既垂直于 a 又垂直于 b,并且按顺序,,?a b a b 符合右手螺旋法则,
b a
c= a b
若把 a,b 的起点放在一起,并以 a,b 为邻边作平行四边形,则向量 a 与 b 叉积的模
|| ba? =?s i n|||| ba
即为该平行四边形的面积,
（ 1 ） abba （反交换律） ;
（ 2 ） acabcba )( （ 左分配律 ） ;
（ 3 ） acabacb )( （ 右分配律 ） ;
（ 4 ） bababa )()(
叉积的运算规律,
a
b
a b ︳ ︳
例 5 试证,0 aakkjjii,
证 只证 0 aa,因为 a 与 a? 平行（即共线）,
所以其夹角 0 或 π,从而 0s i n,因此
0s i n|||||| aaaa,
而模为 0 的向量为零向量,所以 0 aa,定理 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉积为 零向量,
3,叉积的坐标表示设 1 2 3a a aa i j k,1 2 3b b bb i j k 注 意 到
0 aakkjjii,及 kji,ikj,jik
应用叉积的运算规律可得
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a ba b i j k,
为了便于记忆,可将 ba? 表示成一个三阶行列式,计算时,只需将其按第一行展开即可,
即 ba
311
321
bbb
aaa
kji
,
例 6 设 kjia 2,kjb 32,求 ba?,
解 ab
320
121?
kji
20
21
)1(
30
11
)1(
32
12
)1(
312111
kji
kji 238,
例 7 求同时垂直于向量 3 6 8a i j k 及 x 轴的单位向量,
解 因为 kjia 863,kjii 001,所以,同时垂直于 a 和 x 轴的单位向量
||
)863(
|| ia
ikji
ia
ia
c
kjkj
5
3
5
4)68(
10
1
即为所求的两个单位向量,
解 因为 kjiF 32 从支点 B 到作用点 A 的向量
( 3 1 ) ( 1 ( 2) ) ( 1 3 ) 2 3 4B A i j k i j k
所以,力 F 关于点 B 的力矩
2 3 4
2 1 3
BA
i j k
MF
= kji )62()86()49( = kji 8145,
例 8 已知力 kjiF 32 作用于点 )1,1,3(?A 处,求此力关于杠杆上另一点 )3,2,1(?B 的力矩,
思考题
1,若 a 与 b 为单位向量,则 ba? 是单位向量吗？
2,验证,
（ 1 ） cbacba )()( ;
（ 2 ） cbabcacba )()()( ;
（ 3 ） cacaa
2
||)(
,
第三节 平面与直线一,平面的方程二,直线的方程三,两平面间、两直线间的位置关系四,直线与平面的位置关系第三节 平面与直线
1,平面的点法式方程平面的法向量,设非零的向量 n 垂直于平面 π,则称
n 为平面 π 的法向量,问题：设平面 π 过点
0M ),,( 000 zyx,n =CBA,,为其一法向量,求平面 π 的方程,
设点 M ),,( zyx 是平面 π 上任意一点,则
0
MM 在平面 π 上,由于 n π?,所以
0
0MM?n,而,,A B C?n,
0 0 0 0,,M M x x y y z z,
故 0)()()( 000 zzCyyBxxA ( 1)
一、平面的方程
M
0
M
n
z
O
x
y
z
O
x
y
A
B
C
由于平面 π 上任意一点 M 的坐标都满足方程 ( 1),而不在平面 π 上的点 M 的坐标都不满足方程 ( 1 ),因此,方程
( 1) 即是所求的平面 π 的方程,此方程称为平面的点法式方程,
例 1 求由点 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( CBA 所确定的平面方程,
解 向量 1 1 0
1 0 1
AB
AC
i j k
n i j k 与平面垂直,是它的一个法向量,
过点 )0,0,1(A,且以 kjin 为法向量的平面方程为
0)0(1)0(1)1(1 zyx,
整理得 1 zyx,
2,平面的一般式方程过点 ),,(
0000
zyxM,且以 n }{ A,B,C? 为法向量的点法式平面方程
0)()()(
00
zzCyyBxxA
整理得 0 DCzByAx (2)
即平面 π 的方程 ( 1 ) 可以写出形如式 ( 2 ) 的三元一次方程,
反过来,设给定三元一次方程 0 DCzByAx,点
),,( 000 zyx 的坐标为方程 ( 2 ) 的一组解,代表一平面方程,称方程 ( 2 ) 为平面的一般式方程,
例 2 求过点 )1,1,0(),1,0,0(),0,0,0( 21 BBO 的平面方程,解 点 )1,1,0(),1,0,0(),0,0,0( 21 BBO 不在一直线上,所以,
这三点惟一确定一平面,令所求平面方程为
0 DCzByAx
将三点坐标分别代入上式得
0110
0100
0000
DCBA
DCBA
DCBA
( 1 ),
( 2),
( 3 ),
由方程 (1) 得 0?D,再由 (2) 的 0?C 再将 0,0 DC
代入方程 )3( 知 0?B,于是得 0?Ax )0(?A 即 0?x 为所求平面方程，且 y O z 面的方程即为 0?x,
例 3 试写出与 y O z 面平行,且过 x 轴上的点 )0,0,1(
的平面方程,解 因为 x 轴垂直于 y O z 面,所以,x 轴上的单位向量 i 可作为与 y O z 面平行的平面的法向量 n,即
}0,0,1{ in,所以，过点 )0,0,1(,且以 )0,0,1( 为法向量的平面方程为
0)0(0)0(0)1(1 yxx,
整理得 1?x,
即 1?x 表示过点 )0,0,1( 且与 y O z 面平行的平面方程,
（ 1 ） ;2?x （ 2 ） ;1?z
（ 3 ） ;1 yx （ 4 ） 1
c
z
b
y
a
x
（ cba,,均不为 )0
z
O
x
y
2
z
O
x
y
1
z
O
x
y 1
1
A
B
C c
a
b
z
O
x
y
例 4 描绘出下列平面方程所代表的平面,
1,直线的点向式方程 直线的方向向量：设非零向量 s 平行于直线 L,
则称 s 为直线 L 的方向向量,
问题：设直线 L 过点 ),,,( 0000 zyxM 并且 {}m,n,p?s
为其一方向向量,求直线 L 的方程,
设点 ),,( zyxM 为直线 L 上任一点,由于
0
MM 在直线 L 上,所以 0 //MM s,即
0M M t? s ( t 为实数 ),
而 0 0 0 0{,,}M M x x y y z z,
二、直线的方程因此,有
0
0
0
,
,
,
x x t m
y y t n
z z t p
即
0
0
0
,
,
,
x x m t
y y nt
z z pt
( 3 )
因为直线 L 上任一点的坐标都满足式 ( 3 ),而不在直线
L
上的点的坐标都不满足式 ( 3 ),所以式 ( 3 ) 是直线
L
的方程,并称式 ( 3 ) 为直线的参数方程,其中 t 为参数,
在式 ( 3 ) 中,消去参数 t,即有
p
zz
n
yy
m
xx
000
,( 4 )
式 ( 4 ) 中 ),,( 000 zyx 是直线 L 上已知点,},,{ pnm 是 L
的方向向量,因此,式 ( 4 ) 称为直线 L 的点向式方程,
说明,因为 0?s,所以 pnm,,不全为零,但当有一个为零,例如 0?m 时,式 ( 4 ) 应理解为
0
00
0,
,
xx
y y z z
np
当有两个为零时,例如 0 nm,式 ( 4 ) 应理解为
0
0
0,
0.
xx
yy
例 5 求过两点 )3,2,3(),1,1,1( 21 MM 的直线 L 的方程,
解 直线 L 的方向向量
12 { 3 1,2 1,3 1 }MMs }2,1,2{?,
因此,过点 )1,1,1(1M,且以 }2,1,2{?s 为方向向量的直线 L 的方程为
2
1
1
1
2
1?
zyx
,
2,直线的一般式方程空间直线也可看作两平面的交线,所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线方程,即
1 1 1 1
2 2 2 2
0,
0,
A x B y C z D
A x B y C z D
( 5 )
由于两平面相交,故式 ( 5 ) 中的
111
,,CBA 与
222
,,CBA 不成比例 ( 即法向量
1 1 1 1
{,,}A B C?n 与
2
n
2 2 2
{}A,B,C? 不平行 ),称式 ( 5 ) 是直线 L 的一般式方程,
例 6 写出直线 L,
2 3 3 0,
3 2 5 0
x y z
x y z
的点向式方程,
解 先在直线 L,
2 3 3 0,
3 2 5 0
x y z
x y z
上选取一点,为此,令 0?z,得
2 3,
3 5,
xy
xy
解之得 2,1 yx,即点
)0,2,1(
0
M 为直线 L 上的一个点,
直线 L 的方向向量
}2,1,3{}3,2,1{s =
213
321
kji
= kji 711,
则 直线 L 的点向式方程为
7
0
11
2
1
1?
zyx
,
例 7 设平面 1π 的方程为 0122 zyx,平面 2π
的方程为 05 yx,求 1π 与 2π 的夹角,解 两平面的夹角即为其法向量的夹角,设 1π 的法向量为 1n,2π 的法向量为 2n,则 }0,1,1{},2,1,2{ 21 nn,
22222
21
21
0)1(12)1(2
02)1()1(12
c os
nn
nn
2
2
23
3
,
即
2 π
a r c c os
24
为两平面 12π,π 的夹角,
两平面间的位置完全由其法向量决定,因此两平面平行（垂直）的充要条件是法向量互相平行（垂直）；同样两直线间的位置关系完全由其方向向量决定,因此,两直线平行（垂直）的充要条件是其方向向量互相平行（垂直）,
例 9 试证直线
3
3
2
2
1
1
:1
zyx
L 与直线
2
3
5
3
4
2
:2
zyx
L 垂直,
证 因为
1
L 的方向向量为 }3,2,1{
1
s,
2
L 的方向向量为 }2,5,4{2s,而
)2(352)4(1
21
ss 4 10 6 0,
所以 21 ss?,21 LL?,证毕,
三、两平面间、两直线间的位置关系例 10 试 证 平 面 1π,2 5 4 6 0x y z 与
2
π,2 4 4 1 1 0x y z 垂 直 ； 而
2
π 与平面
3
11
π,2 2 0
2
x y z 平行,
证 因为
1
π 的法向量 }4,5,2{
1
n,
2
π 的法向量 }4,4,2{
2
n,
3
π 的法向量 }2,2,1{
3
n,
由于 044)4(522
21
nn,所以
21
nn?,即
12
ππ?,
又由于
3
2 nn? 所以
32
// nn,即
3
π
2
// π,
直线与它在平面上的投影线间的夹角?
(0 ≤? ≤
2
π
),称为直线与平面的夹角 ( 如右下图 ),设直线 L 的方向向量为 s,平面 π 的法向量为 n,向量
s 与 n 间的夹角为?,则
π
2
( 或
π
2
),所以
||||
|||c os|s i n
ns
ns,
n z
O
x
y
s
L
四、直线与平面的位置关系例 11 讨论直线 L,
3
6
5
5
2
zyx
和平面
π,?x15 1259 zy 的位置关系,
解 由于直线 L 的方向向量 }3,5,2{?s,平面 π
的法向量 }5,9,15{n,所以,直线 L 与平面 π 的夹角? 的正弦
si n
| | | |
sn
sn
=
2 2 2 2 2 2
2 15 5 ( 9 ) 3 5
0
2 5 3 15 9 5
,
所以,0,即直线 L 与平面 π 平行或直线 L 在平面 π 内,容易验证直线 L 上 (0,2,6) 在平面 π 上,
所以直线 L 在平面 π 上,
思考题
1,写出下列平面方程,
（ 1 ） x O y 平面；（ 2 ）过轴 z 的平面；
（ 3 ）平行与 z O x 的平面；（ 4 ）与
zyx,,
轴正向截距相等的平面,
2,用一般式
1 1 1 1
2 2 2 2
0,
0
A x B y C z D
A x B y C z D
表示空间直线的表达式是否惟一,直线
0,
23
xy
xy
与
0,
2 3 0
xy
xy
有何关系？
第四节 曲面与空间曲线一,曲面方程的概念二,母线平行于坐标轴的柱面三,旋转曲面四,二次曲面五,空间曲线及其在坐标面上的投影第四节 曲面与空间曲线定义 如果 曲面 Σ 上每一点 的坐标 都满足方程
0),,(?zyxF ；而不在曲面 Σ 上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程 0),,(?zyxF 为曲面 Σ 的方程,而称曲面 Σ 为此方程的图形,
例 1 求与两定点 1 ( 1,1,0 )M,2 ( 2,2,1 )M 等距离的点的轨迹方程,
解 设 ),,( zyxM 为轨迹上的点,按 题 意 有,
12
MM MM? 写成坐标形式,即
2 2 2 2 2 2
( 1 ) ( 1 ) ( 0) ( 2) ( 2) ( 1 )x y z x y z
化简,得 2 2 2 7x y z 一、曲面方程的概念例 2 求球心在 ),,( 000 zyx,半径为 R 的球面方程,
解 设定点
0
M 的坐标为 ),,(
000
zyx,则点 ),,( zyxM 在以
0
M 为球心,以 R 为球半径的球面上的充要条件为
RMM?
0
,
即 Rzzyyxx
2
0
2
0
2
0
)()()(,
两边平方,得
22
0
2
0
2
0
)()()( Rzzyyxx
经验证,上式就是以
),,(
0000
zyxM
为球心,以
R
为球半径的球面方程,
当
0
000
zyx
时,则得球心在坐标原点的球面方程为
2222
Rzyx
,
柱面：直线 L 沿定曲线 C 平行移动所形成的曲面称为柱面．定曲线 C 称为柱面的准线,动直线 L 称为柱面的母线,
L
C
L
二、母线平行于坐标轴的柱面
1,圆柱面方程设一个圆柱面的母线平行于 z 轴,准 C 线是 x O y 平面上以原点为圆心,R 为半径的圆,在平面直角坐标系中,
准线 C 的方程为
222
Ryx,求该圆柱面的方程,
在圆柱面上任取一点 ),,( zyxM,
过点 M 的母线与 x O y 平面的交点
)0,,(
0
yxM 一定在准线 C 上,必定满足方程
222
Ryx ；反之,不在圆柱面上的点,它的坐标不满足这个方程,于是所求圆柱面方程为
222
Ryx
,
z
O
x
y
M
0 M
2,准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方 程一般来说,如果柱面的准线是 x O y 面上的曲线 C,
它在平面直角坐标系中的方程为 0),(?yxf,那么,以 C
为准线,母线平行于 z 轴的柱面方程就是 0),(?yxf,
类似地,方程 0),(?zyg 表示母线 平行于 x 轴的柱面,
方程 0),(?zxh 表示母线平行于
y
轴的柱面,
在空间直角坐标系 O x y z 下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴,
例 3 方程 1
2
2
2
2
b
y
a
x
,1
2
2
2
2
b
y
a
x
,02,2 pyx 分别表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面,如下图所示,由于这些方程都是二次的,因此称为二次柱面,
x
y O
z
y
O x
z
y
O
x
z
旋转曲面：一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面,曲线 C 称为旋转曲面的母线,直线 L 称为旋转曲面的轴,
坐标面上曲线绕坐标轴旋转所 成的旋转曲面方程设在 y O z 平面上有一条已知曲线 C,它在平面直角坐标系中的方程是 0),(?zyf,求此曲线 C 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程,
在旋转曲面上任取一点 ),,( zyxM,
设这点是由母线上 点 ),,0( 111 zyM
绕 z 轴旋转一定角度而得到,于是
0),(
22
zyxf
反之,不在 曲面 上 的 点 不 满足 上面 方程,此 方程 为 旋转 曲面 方程,
O
1 O
M
),,0 ( 1 1 1 z y M
x
y
z
三、旋转曲面同理,曲线 C 绕 y 轴 旋转 的旋转曲面方程为
0),( 22 zxyf,,
例 4 求由 y O z 平面上的直线 )0( kkyz 绕 z
轴旋转所形成的旋转曲面方程,
解 在方程中,把 y 换成
22
yx 得所求方程为
22
yxkz,
即 )(
2222
yxkz,
此曲面为顶点在原点,对 称轴为 z 轴的圆锥面 ( 如 右图 ),
z
x
y
O
1,椭球面方程 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
)0,0,0( cba,
所表示的曲面称为椭球面,
cba,,称为椭球面的半轴,
二次曲面：在空间直角坐标系中,若 0),,(?zyxF 是二次方程,则它的图形称为二次曲面,
截痕法：用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析,从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为截痕法,
z
x
y O
四、二次曲面当 ba? 时原方程化为 1
2
2
2
22
c
z
a
yx
,它是一个椭圆绕 z 轴旋转而成的旋转椭球面,当 cba 时,原方程化为
2222
azyx,它是一个球心在坐标原点,球半径为
a 的球面,
2,椭圆抛物面方程
22
( 0,0)
22
xy
z p q
pq
所表示的曲面称为椭圆抛物面,
由方程 z
q
y
p
x
22
22
知,z ≥ 0,
故曲面在 x O y 平面的下方 无图形,
z
x
y O
3,双曲面方程 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
)0,0,0( cba 所表示的曲面称为单叶双曲面,方程 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
)0,0,0( cba 所表示的曲面称为双叶双曲面,
O y
x
z
z
O
x
y
1,空间曲线方程设曲面 ∑ 1 的方程是 0),,(
1
zyxF,曲面 ∑ 2 的方程是
0),,(
2
zyxF,则交线 C 上的点必定同时满足 ∑ 1,∑ 2 的方程,不在 C 上的点一定不能同时满足这两个方程,因此,
联立方程组
1
2
(,,) 0,
(,,) 0,
F x y z
F x y z
即为空间曲线 C 的方程,它称为空间曲线的一般式方程,
空间曲线的参数方程
( ),
( ),
( ),
x x t
y y t
z z t
( ≤ t ≤ )?
或其向量形式?)t(r ( ) ( ) ( )x t y t z ti j k 来表示,
五、空间曲线及其在坐标面上的投影设空间曲线 C 的方程为
1
2
(,,) 0,
(,,) 0,
F x y z
F x y z
过曲线 C 上的每一点作 x O y 坐标面的垂线,形成了一个母线平行于
z 轴且过 C 的柱面,称为曲线 C 关于 x O y 面的投影柱面,
这个柱面与 x O y 面的交线称为曲线 C 在 x O y 面上的投影曲线,简称投影,
2,空间曲线及其在坐标面上的投影
3,坐标面上的投影曲线的确定在 方 程组
1
2
(,,) 0,
(,,) 0
F x y z
F x y z
中 消 去 变量 z 得方程
0),(?yxF,上述方程缺变量 z,所以它是一个母线平行于 z 轴的柱面,
又因为 C 上的点的坐标满足方程组
1
2
(,,) 0,
(,,) 0,
F x y z
F x y z
当然也满足方程 0),(?yxF,所以 C 上的点都在此柱面上,方程 0),(?yxF 就是曲线 C 关于 x O y 面的投影柱面方程,它与
x O y
面的交线
(,) 0,
0,
F x y
z
就是 C 在
x O y
面上的投影方程,同理,曲线 C 在 y O z 面与 z Ox 面的投影方程分别为
(,) 0,
0
G y z
x
与
(,) 0,
0.
H x z
y
例 5 求曲线
22
2 2 2
,:
1
z x yC
x y z
在 x O y 面的投影方程,问 它在 x O y 面上是怎样一条曲线？
解 消去变量 z 得
2
1
22
yx,
这是曲线 C 关于 x O y 坐标面的投影柱面方程,所以曲线 C 在 x O y
坐标面上的投影方程为
22
1
,
2
0,
xy
z
它是 x O y 坐标面上的一个圆,y
x
z
思考题
1,方程
222
yxz 代表何曲面,分 别 与 平 面
1,0 yx 和 2?z 的交线为何？
2,曲线
0
5
2
y
xz
绕 x 轴旋转所得旋转曲面方程及名称为何？
*第五节 矢量函数的微积分一,矢量函数二,矢函数的导数与微分三,矢量积分
* 第五节 矢量函数的微积分定义 １ 设有一矢量 a 和一数性变量 t,如果对于
t 在一定范围内的每一个数值，变矢量 a 都有确定的量
（大小和方向都确定的一个矢量）和它对应，则变矢量
a 称为变量 t 的矢量函数（也称向量函数，矢函数）,
记作 )t(aa?,
当 t 取定后,)( ta 是一个常矢，因此，矢函数可用坐标表示为 ( ) ( ) ( ) ( )
x y z
t a t a t a ta i j k,其中,)( ta x,
)( ta
y
,)( ta z 都是 t 的标量函数,
一、矢量函数定义 ２ 若把矢函数表示成动点 M 的矢径形式
r r? )( t 则变量 t 变动时，点 M 在空间描出一条曲线，
称该曲线为矢函数的矢端曲线,它的三个坐标由三个标量函数给定 )(),(),( tzztyytxx ；则
x y zr i j k,
定义 4 设函数 )t(a 在 t 处连续,并且极限
t
ttt
t?
)()Δ(
l i m
0
aa
存在,则称矢函数在 t 处可导,且称此极限值为矢函数 a )( t 的导数,记作
td
d a
或 a? )( t,
二、矢函数的导数与微分
2,矢函数的导数仍为矢函数,若它仍可导,则其导数称为矢函数?a a )( t 的二阶导数,记为
2
2
td
d a
,a )( t,称
dt
dt
d
d
a
a? 为矢函数 ()t?aa 的微分,
若 r )}(),(),({)( tztytxt? 可导，则其导数
td
d r
t
tz
t
ty
t
tx
d
)(d
,
d
)(d
,
d
)(d
或
d
( ) ( ) ( )
d
x t y t z t
t
r
i j k,
矢函数与数性函数有类似的求导公式,
0
d
d
t
c
（ c 为常矢量）；
dd
()
dd
kk
tt
a
a （ k 为常数）；
tttt d
d
d
d
d
d
)(
d
d γβα
γβa ；
d d d
()
d d dt t t
α
αα （
ψ
是
t
的标量函数）；
ttt d
d
d
d
)(
d
d β
αβ
α
βα；
ttt d
d
d
d
)(
d
d β
αβ
α
βα
（顺序不可以交换）；
d d d
[ ( ) ]
d d d
t
tt
α
α,
例１ 已知圆锥螺线 ( ) c o s sint t t t t a tr i j k,求
r? )( t 及 r )( t,
解 ( ) ( c os ) ( s i n) ( )t t t t t atr i j k
( c o s s i n ) ( s i n c o s )t t t t t t ai j k,
( ) [ ( c os s i n ) ( s i n c os ) ]t t t t t t t ar i j k
( c os s i n ) ( s i n c os )t t t t t t ai j k
( 2 s i n c o s ) ( 2 c o s s i n )t t t t t tij,
2,定积分设 )( ta 和 )( tb 为矢函数,若 ( t )
dt
( t )d
a
b
,则
)()(d)(
12
2
1
tttt
t
t
bba
称为矢函数 )( ta 的定积分,21,tt 分别称为积分下、上限,
1,不定积分设 )( ta 和 )( tb 为矢函数，若 )(
d
)(d
t
t
t
a
b
,则
( ) d ( )t t t a b c ( 为任意常矢）c,称为矢函数 )( ta 的不定积分,
三、矢量积分关于矢量积分有如下规律,
ttzttytx d)(d)(d( t )dt( t ) kjir ;
tttt) d)(d( rr ;
tt)tt)t(tt) d(d(d)]([
2121
rrrr ;
tttt d)(d)( rara ;
tt)tt d(d)( rara,
*第五节 矢量函数的微积分第一节 空间直角坐标系与向量的概念一,空间直角坐标系二,向量的基本概念及线性运算三,向量的坐标表示空间直角坐标系,过空间一个定点 O,作三条相互垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度,这三条数轴分别叫做 x 轴（横轴）,y 轴（纵轴）和 z 轴（竖轴）,一般是将 x 轴和 y 轴放置在水平面上,那么 z 轴就垂直于水平面；
它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,
让四指与大拇指垂直,并使四指先指向 x 轴,然后让四指沿握拳方向旋转
90 指 向 y 轴,此时大拇指的方向即为 z 轴方向,这样就构成了空间直角坐标系,O 称为坐标原点,
一、空间直角坐标系坐标面：在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面,即 x O y 坐标面,y O z 坐标面和 z Ox 坐标面,
O
z
x
y
z O x 平面
y O z 平面
x O y 平面卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个部分,每一个部分称为一个卦限,在 x O y 坐标面上方有四个卦限,下方有四个卦限,含 x 轴,y 轴和 z 轴正向的卦限称为第Ⅰ卦限,然后逆着 轴 z 正向看时,按逆时针顺序依次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限下面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ 卦限,
O
x
y
Ⅰ Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅱ
Ⅲ
z
点的坐标：设 P 为空间的任意一点,过点 P 作垂直于坐标面 x O y 的直线得垂足 P?,过 P? 分别与 x 轴,y 轴垂直且相交的直线,过 P 作与 z 轴垂直且相交的直线,依次得,,x y z 轴 上 的三个 垂足,,,RNM 设,,x y z 分别是
RNM,,点在数轴上的坐标,这样空间内任一点 P 就确定了惟一的一组有序的数组
,,x y z
,用
(,,)x y z
表示,
反之,任给出一组有序数组,xy 和 z,也能确定了空间内惟一的一个点 P,而
,xy 和 z 恰恰是点 P 的坐标,
z
x
O
y
N
M
),,( z y x P
' P
y
R
z
x
根据上面的法则,建立了空间一点与一组有序数
（ x,y,z ）之间的一一对应关系,有序数组 (,,)x y z 称为点
P 的坐标,x,y,z 分别称为 x 坐标,y 坐标和 z 坐标,
1,向量的基本 概念向量：既有大小 又有方向的量称为向量（或矢量）,
向量一般用黑体小写字母表示,如 a,b,c 等,有时也用,,a b c 等表示向量,几何上,也常用有向线段来表示向量,起点为 M,终点为
N 的向量记为 MN,
N
M
二、向量的基本概念及线性运算向量的模：向量的大小 称为向量的模,用 || a,
|| b,|| c,或 AB 表示向量的模,
单位向量：模为 1 的向量称为单位向量,零向量：模为 0 的向量称为零向量,记为 0,规定零向量的方向为任意方向,定义 1 如果向量 a 和 b 的大小相等且方向相同,
则称向量 a 与 b 相等，记为?ab,2,向量的线性运算
( 1 ) 加法（平行四边形法则） 将向量 a 与 b 的起点放在一起,并以 a 和 b 为邻边作平行四边形,则从起点到对角顶点的向量称为向量 a 和 b 的和向量,记为 a + b,
向量加法的三角形法则：把 b 的起点放到向量 a
的终点上,把自 a 的起点的到向量 b 的终点的向量为
ab,
向量加法运算规律,
交换律,abba ；
结合律,)()( cbacba,
（ 2 ）向量与数的乘法定义 2 设? 为一实数,向量 a 与数? 的乘积是一个向量,记为 a?,并且规定,(1) |||||| aa ； (2) 当 0
时,a? 与 a 同向；当 0 时,a? 与 a 反向； (3) 当? =0
时,0 a （零向量）,
a
b a + b
a
b a + b
向量与数的乘法运算规律,
结合律,)()()( aaa ;
分配律, a)( babaaa )(,;
交换律, aa,
同向的单位向量：设 a 是一个非零向量,则向量
||
a
a
a
为与向量 a 同向的单位向量,定义 3? = - 1 时,记 aa )1(,则 a? 与 a 的方向相反,模相等,称? a 为 a 的负向量（也称其为 a 的逆向量）,向量的减法,
向量 a 的 b 的差规定为 )( baba,
向量减法的三角形法则,
把 a 与 b 的起点放在一起,即?ab 是以 b 的终点为起点,以 a 的终点为终点的方向向量,
1,向径及其坐标表示向径：起点在坐标原点 O,终点为 M 的向量
OM 称为点 M 的向径,记为 )( Mr 或 OM,
a b
a+ ( - b )
a - b
- b
三、向量的坐标表示基本单位向量,
在坐标轴上分别取与 x 轴,y 轴和 z 轴方向相同的单位向量称为基本单位向量,分别用 i,j,k,
表示,
向径的坐标,
若点 M 的坐标为 (,,)x y z,则 向 量
,OA x? i OB y? j,OC z? k 由向量的加法法则得
OM = OM? + MM? =( OA + OB )+ OC = x y zi j k,称其为点
M (,,)x y z
的向径 OM 的坐标表达式，简记为
OM
=
zyx,,
,
2,向量 12MM 的坐标表达式设
1 1 1 1
(,,)M x y z,
2 2 2 2
(,,)M x y z 为坐标系中两点，向径
1
OM,
2
OM 的坐标表达式为
1 1 1 1
OM x y zi j k,
2 2 2 2
OM x y zi j k,则以
1
M 为起点,以
2
M 为终点的向量
12
MM =
21
O M O M?
2 2 2
()x y zi j k
1 1 1
()x y zi j k
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z zi j k,
即以
1 1 1 1
(,,)M x y z 为起点,以
2 2 2 2
(,,)M x y z 为终点的向量
12
MM 的坐标表达式为
1 2 2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )M M x x y y z zi j k
3,向量 1 2 3a a aa i j k 的模任给一向量
1 2 3
a a aa i j k,都可将其视为以点
M (
1
a,
2
a,
3
a ) 为 终 点 的 向 径 OM,
2
||OM =
2
||OA
+
2
||OB +
2
||OC,即
2
|| a =
2
3
2
2
2
1
aaa,所 以 向 量
1 2 3
a a aa i j k 的模为 a =
2
3
2
2
2
1
aaa,
z
A
B
C
' M
M
i
k
O
x
y j
z
O
x
y
1
M
2
M
4,空间两点间的距离公式设点 1M ( 1x,1y,1z ) 与点 2M ( 2x,2y,2z ),且两点间的距离记作 )( 21 MMd,则
)( 21 MMd =
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1
| | ( ) ( ) ( )M M x x y y z z,
例 1 ( 1 ) 写出点 )1,2,1(A 的向径；
( 2 ) 写出起点为 )1,2,1(A,终点为 )0,3,3(B 的向量的 坐标表达式；
(3) 计算 BA,两点间的距离,
解 (1) 2OAi j k ；
(2) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 0 1 )ABi j k
2i j k ；
5,坐标表示下的向量运算设
1 2 3
a a aa i j k,
1 2 3
b b bb i j k,则有
(1)
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )a b a b a ba b i j k ;
(2)
1 2 3
a a aa i j k ;
(3) 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )a b a b a ba b i j k ;
(4)?ab 332211,,bababa ;
(5) //ab
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
,
(3) 2 2 2( ) | | 2 1 ( 1 ) 6d AB AB,
思考题
1,点 ),,( zyxM 与 x 轴,x O y 平面及原点的对称点坐标 为 何？
2,下列向量哪个是单位向量？
(1) kjir ;
(2)1,0,1
2
1
a ;
(3)
3
1
,
3
1
,
3
1
b,
第二节 向量的点积与叉积二,向量的叉积一,向量的点积
1,引例 已知力 F 与 x 轴正向夹角为? 其大小为
F,在力 F 的作用下,一质点 M 沿轴 x 由 ax? 移动到 bx? 处,求力 F 所做的功？
解 力 F 在水平方向的分力大小为 c o s
x
FF 所以,力 F 使质点
M 沿 x 轴方向（从 A 到 B ）所做的功
co s | |W F b a = | | c osAB?F,即力 F 使质点 M 沿 x 轴由点 A 移动到 B 点所做的功等于力 F 的模与位移矢量的模及其夹角余弦的积,
A B
b a
F
x O
一、向量的点积
2,点积的定义定义 1 设向量 a 与 b 之间夹角为 ( π),则称数量 | | | | co s?ab 为 a 与 b 的点积（或数量积）,并用 ba?
表示,即 ba? = | | c o s?a || b,
例 1 已知基本单位向量 kji,,是三个相互垂直的单位向量,求证,1 kkjjii ; 0 ikkjji,
证 因为 1 kji,所以 1c o s|||| iiii
)0(,同理可知,1 kkjj ； 又因为 kji,,之间的夹角皆为
2
,故有
0011
2
cos||||
jiji,同理可知 0 ikkj,
点积的运算规律,
交换律,abba ；
分配律,cabacba )( ；
结合律,)()( bababa,
3,点积的坐标表示设 1 2 3a a aa i j k,1 2 3b b bb i j k,则
1 2 3 1 2 3( ) ( )a a a b b ba b i j k i j k,
故向量 a321,,aaa? 与 b321,,bbb? 的点积等于其相应坐标积的和,
1a? 1b + 2a 2b + 3a 3b,
则由向量点积知向量 a 与 b 夹角余弦公式为
c o s
|||| ba
ba?
2
3
2
2
2
1
3
3
2
2
2
1
332211
bbbaaa
bababa
（ 0 ≤? ≤ π ）,
向量垂直的条件：向量 a 与 b 正交的充分必要条件是 a · b =0 或 332211 bababa =0,
例 2 试证向量 a3,2,1? 与 b3,3,3 是正交的,证 因为 a · b 0)3(33231,所以 a 与 b
正交,
两向量的夹角：设 a = 1a i + 2a j + 3a k,b = 1b i + 2b j + 3b k,
c o s
2
3
2
2
2
1
1
aaa
a
,
co s
2
3
2
2
2
1
2
aaa
a
,
c o s
2
3
2
2
2
1
3
aaa
a
,
并且 1c o sc o sc o s
222
,
例 3 设向量 1 2 3a a aa i j k 与 x 轴,y 轴,z 轴正向的夹角分别为,, 称其为向量 a 的三个方向角,并称
c o s,?co s,?c o s 为向量 a 的方向余弦,
且 222 c osc osc os 1
)( 232221
2
3
2
2
2
1?
aaa
aaa
,
co s
|||| ja
ja?
2
3
2
2
2
1
2
aaa
a
,
c o s
|||| ka
ka?
2
3
2
2
2
1
3
aaa
a
,
证 向 量 i,j,k 的坐标表达式分别为
1,0,0,0,1,0,0,0,1 kji,
于是有?c o s =
|||| ia
ia?
2
3
2
2
2
1
1
aaa
a
,
1,引例 设 O 点为一杠杆的支点,力 F 作用于杠杆上点 P 处,求力 F 对支点 O 的力矩,
解 根据物理学知识,力 F 对点 O 的力矩是向量 M,
其大小为
| | | | | | si nM d OP FF | | | || | sinF d F O P,
其中 d 为支点 O 到力 F 的作用线距离,? 为矢量 F 与 OP 的夹角,力矩
M 的方向规定为,OP,F,M 依次符合右手螺旋法则,
O
F
d
P
二、向量的叉积因此,力矩 M 是一个与向量 OP 和向量 F 有关的向量,其大小为 | | si nOP F?,其方向满足：（ 1 ）同时垂直于向量 OP 和 F ；（ 2 ）向量 OP,F,M 依次符合右手螺旋法则,
2,叉积的定义定义 2 两个向量 a 和 b 的叉积（也称为向量积）是一个向量,记作?ab,并由下述规则确定,
（ 1 ） ),s i n ( bababa
（ 2 ） a? b 的方向规定为,
注,a? b 既垂直于 a 又垂直于 b,并且按顺序,,?a b a b 符合右手螺旋法则,
b a
c= a b
若把 a,b 的起点放在一起,并以 a,b 为邻边作平行四边形,则向量 a 与 b 叉积的模
|| ba? =?s i n|||| ba
即为该平行四边形的面积,
（ 1 ） abba （反交换律） ;
（ 2 ） acabcba )( （ 左分配律 ） ;
（ 3 ） acabacb )( （ 右分配律 ） ;
（ 4 ） bababa )()(
叉积的运算规律,
a
b
a b ︳ ︳
例 5 试证,0 aakkjjii,
证 只证 0 aa,因为 a 与 a? 平行（即共线）,
所以其夹角 0 或 π,从而 0s i n,因此
0s i n|||||| aaaa,
而模为 0 的向量为零向量,所以 0 aa,定理 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉积为 零向量,
3,叉积的坐标表示设 1 2 3a a aa i j k,1 2 3b b bb i j k 注 意 到
0 aakkjjii,及 kji,ikj,jik
应用叉积的运算规律可得
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a ba b i j k,
为了便于记忆,可将 ba? 表示成一个三阶行列式,计算时,只需将其按第一行展开即可,
即 ba
311
321
bbb
aaa
kji
,
例 6 设 kjia 2,kjb 32,求 ba?,
解 ab
320
121?
kji
20
21
)1(
30
11
)1(
32
12
)1(
312111
kji
kji 238,
例 7 求同时垂直于向量 3 6 8a i j k 及 x 轴的单位向量,
解 因为 kjia 863,kjii 001,所以,同时垂直于 a 和 x 轴的单位向量
||
)863(
|| ia
ikji
ia
ia
c
kjkj
5
3
5
4)68(
10
1
即为所求的两个单位向量,
解 因为 kjiF 32 从支点 B 到作用点 A 的向量
( 3 1 ) ( 1 ( 2) ) ( 1 3 ) 2 3 4B A i j k i j k
所以,力 F 关于点 B 的力矩
2 3 4
2 1 3
BA
i j k
MF
= kji )62()86()49( = kji 8145,
例 8 已知力 kjiF 32 作用于点 )1,1,3(?A 处,求此力关于杠杆上另一点 )3,2,1(?B 的力矩,
思考题
1,若 a 与 b 为单位向量,则 ba? 是单位向量吗？
2,验证,
（ 1 ） cbacba )()( ;
（ 2 ） cbabcacba )()()( ;
（ 3 ） cacaa
2
||)(
,
第三节 平面与直线一,平面的方程二,直线的方程三,两平面间、两直线间的位置关系四,直线与平面的位置关系第三节 平面与直线
1,平面的点法式方程平面的法向量,设非零的向量 n 垂直于平面 π,则称
n 为平面 π 的法向量,问题：设平面 π 过点
0M ),,( 000 zyx,n =CBA,,为其一法向量,求平面 π 的方程,
设点 M ),,( zyx 是平面 π 上任意一点,则
0
MM 在平面 π 上,由于 n π?,所以
0
0MM?n,而,,A B C?n,
0 0 0 0,,M M x x y y z z,
故 0)()()( 000 zzCyyBxxA ( 1)
一、平面的方程
M
0
M
n
z
O
x
y
z
O
x
y
A
B
C
由于平面 π 上任意一点 M 的坐标都满足方程 ( 1),而不在平面 π 上的点 M 的坐标都不满足方程 ( 1 ),因此,方程
( 1) 即是所求的平面 π 的方程,此方程称为平面的点法式方程,
例 1 求由点 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( CBA 所确定的平面方程,
解 向量 1 1 0
1 0 1
AB
AC
i j k
n i j k 与平面垂直,是它的一个法向量,
过点 )0,0,1(A,且以 kjin 为法向量的平面方程为
0)0(1)0(1)1(1 zyx,
整理得 1 zyx,
2,平面的一般式方程过点 ),,(
0000
zyxM,且以 n }{ A,B,C? 为法向量的点法式平面方程
0)()()(
00
zzCyyBxxA
整理得 0 DCzByAx (2)
即平面 π 的方程 ( 1 ) 可以写出形如式 ( 2 ) 的三元一次方程,
反过来,设给定三元一次方程 0 DCzByAx,点
),,( 000 zyx 的坐标为方程 ( 2 ) 的一组解,代表一平面方程,称方程 ( 2 ) 为平面的一般式方程,
例 2 求过点 )1,1,0(),1,0,0(),0,0,0( 21 BBO 的平面方程,解 点 )1,1,0(),1,0,0(),0,0,0( 21 BBO 不在一直线上,所以,
这三点惟一确定一平面,令所求平面方程为
0 DCzByAx
将三点坐标分别代入上式得
0110
0100
0000
DCBA
DCBA
DCBA
( 1 ),
( 2),
( 3 ),
由方程 (1) 得 0?D,再由 (2) 的 0?C 再将 0,0 DC
代入方程 )3( 知 0?B,于是得 0?Ax )0(?A 即 0?x 为所求平面方程，且 y O z 面的方程即为 0?x,
例 3 试写出与 y O z 面平行,且过 x 轴上的点 )0,0,1(
的平面方程,解 因为 x 轴垂直于 y O z 面,所以,x 轴上的单位向量 i 可作为与 y O z 面平行的平面的法向量 n,即
}0,0,1{ in,所以，过点 )0,0,1(,且以 )0,0,1( 为法向量的平面方程为
0)0(0)0(0)1(1 yxx,
整理得 1?x,
即 1?x 表示过点 )0,0,1( 且与 y O z 面平行的平面方程,
（ 1 ） ;2?x （ 2 ） ;1?z
（ 3 ） ;1 yx （ 4 ） 1
c
z
b
y
a
x
（ cba,,均不为 )0
z
O
x
y
2
z
O
x
y
1
z
O
x
y 1
1
A
B
C c
a
b
z
O
x
y
例 4 描绘出下列平面方程所代表的平面,
1,直线的点向式方程 直线的方向向量：设非零向量 s 平行于直线 L,
则称 s 为直线 L 的方向向量,
问题：设直线 L 过点 ),,,( 0000 zyxM 并且 {}m,n,p?s
为其一方向向量,求直线 L 的方程,
设点 ),,( zyxM 为直线 L 上任一点,由于
0
MM 在直线 L 上,所以 0 //MM s,即
0M M t? s ( t 为实数 ),
而 0 0 0 0{,,}M M x x y y z z,
二、直线的方程因此,有
0
0
0
,
,
,
x x t m
y y t n
z z t p
即
0
0
0
,
,
,
x x m t
y y nt
z z pt
( 3 )
因为直线 L 上任一点的坐标都满足式 ( 3 ),而不在直线
L
上的点的坐标都不满足式 ( 3 ),所以式 ( 3 ) 是直线
L
的方程,并称式 ( 3 ) 为直线的参数方程,其中 t 为参数,
在式 ( 3 ) 中,消去参数 t,即有
p
zz
n
yy
m
xx
000
,( 4 )
式 ( 4 ) 中 ),,( 000 zyx 是直线 L 上已知点,},,{ pnm 是 L
的方向向量,因此,式 ( 4 ) 称为直线 L 的点向式方程,
说明,因为 0?s,所以 pnm,,不全为零,但当有一个为零,例如 0?m 时,式 ( 4 ) 应理解为
0
00
0,
,
xx
y y z z
np
当有两个为零时,例如 0 nm,式 ( 4 ) 应理解为
0
0
0,
0.
xx
yy
例 5 求过两点 )3,2,3(),1,1,1( 21 MM 的直线 L 的方程,
解 直线 L 的方向向量
12 { 3 1,2 1,3 1 }MMs }2,1,2{?,
因此,过点 )1,1,1(1M,且以 }2,1,2{?s 为方向向量的直线 L 的方程为
2
1
1
1
2
1?
zyx
,
2,直线的一般式方程空间直线也可看作两平面的交线,所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线方程,即
1 1 1 1
2 2 2 2
0,
0,
A x B y C z D
A x B y C z D
( 5 )
由于两平面相交,故式 ( 5 ) 中的
111
,,CBA 与
222
,,CBA 不成比例 ( 即法向量
1 1 1 1
{,,}A B C?n 与
2
n
2 2 2
{}A,B,C? 不平行 ),称式 ( 5 ) 是直线 L 的一般式方程,
例 6 写出直线 L,
2 3 3 0,
3 2 5 0
x y z
x y z
的点向式方程,
解 先在直线 L,
2 3 3 0,
3 2 5 0
x y z
x y z
上选取一点,为此,令 0?z,得
2 3,
3 5,
xy
xy
解之得 2,1 yx,即点
)0,2,1(
0
M 为直线 L 上的一个点,
直线 L 的方向向量
}2,1,3{}3,2,1{s =
213
321
kji
= kji 711,
则 直线 L 的点向式方程为
7
0
11
2
1
1?
zyx
,
例 7 设平面 1π 的方程为 0122 zyx,平面 2π
的方程为 05 yx,求 1π 与 2π 的夹角,解 两平面的夹角即为其法向量的夹角,设 1π 的法向量为 1n,2π 的法向量为 2n,则 }0,1,1{},2,1,2{ 21 nn,
22222
21
21
0)1(12)1(2
02)1()1(12
c os
nn
nn
2
2
23
3
,
即
2 π
a r c c os
24
为两平面 12π,π 的夹角,
两平面间的位置完全由其法向量决定,因此两平面平行（垂直）的充要条件是法向量互相平行（垂直）；同样两直线间的位置关系完全由其方向向量决定,因此,两直线平行（垂直）的充要条件是其方向向量互相平行（垂直）,
例 9 试证直线
3
3
2
2
1
1
:1
zyx
L 与直线
2
3
5
3
4
2
:2
zyx
L 垂直,
证 因为
1
L 的方向向量为 }3,2,1{
1
s,
2
L 的方向向量为 }2,5,4{2s,而
)2(352)4(1
21
ss 4 10 6 0,
所以 21 ss?,21 LL?,证毕,
三、两平面间、两直线间的位置关系例 10 试 证 平 面 1π,2 5 4 6 0x y z 与
2
π,2 4 4 1 1 0x y z 垂 直 ； 而
2
π 与平面
3
11
π,2 2 0
2
x y z 平行,
证 因为
1
π 的法向量 }4,5,2{
1
n,
2
π 的法向量 }4,4,2{
2
n,
3
π 的法向量 }2,2,1{
3
n,
由于 044)4(522
21
nn,所以
21
nn?,即
12
ππ?,
又由于
3
2 nn? 所以
32
// nn,即
3
π
2
// π,
直线与它在平面上的投影线间的夹角?
(0 ≤? ≤
2
π
),称为直线与平面的夹角 ( 如右下图 ),设直线 L 的方向向量为 s,平面 π 的法向量为 n,向量
s 与 n 间的夹角为?,则
π
2
( 或
π
2
),所以
||||
|||c os|s i n
ns
ns,
n z
O
x
y
s
L
四、直线与平面的位置关系例 11 讨论直线 L,
3
6
5
5
2
zyx
和平面
π,?x15 1259 zy 的位置关系,
解 由于直线 L 的方向向量 }3,5,2{?s,平面 π
的法向量 }5,9,15{n,所以,直线 L 与平面 π 的夹角? 的正弦
si n
| | | |
sn
sn
=
2 2 2 2 2 2
2 15 5 ( 9 ) 3 5
0
2 5 3 15 9 5
,
所以,0,即直线 L 与平面 π 平行或直线 L 在平面 π 内,容易验证直线 L 上 (0,2,6) 在平面 π 上,
所以直线 L 在平面 π 上,
思考题
1,写出下列平面方程,
（ 1 ） x O y 平面；（ 2 ）过轴 z 的平面；
（ 3 ）平行与 z O x 的平面；（ 4 ）与
zyx,,
轴正向截距相等的平面,
2,用一般式
1 1 1 1
2 2 2 2
0,
0
A x B y C z D
A x B y C z D
表示空间直线的表达式是否惟一,直线
0,
23
xy
xy
与
0,
2 3 0
xy
xy
有何关系？
第四节 曲面与空间曲线一,曲面方程的概念二,母线平行于坐标轴的柱面三,旋转曲面四,二次曲面五,空间曲线及其在坐标面上的投影第四节 曲面与空间曲线定义 如果 曲面 Σ 上每一点 的坐标 都满足方程
0),,(?zyxF ；而不在曲面 Σ 上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程 0),,(?zyxF 为曲面 Σ 的方程,而称曲面 Σ 为此方程的图形,
例 1 求与两定点 1 ( 1,1,0 )M,2 ( 2,2,1 )M 等距离的点的轨迹方程,
解 设 ),,( zyxM 为轨迹上的点,按 题 意 有,
12
MM MM? 写成坐标形式,即
2 2 2 2 2 2
( 1 ) ( 1 ) ( 0) ( 2) ( 2) ( 1 )x y z x y z
化简,得 2 2 2 7x y z 一、曲面方程的概念例 2 求球心在 ),,( 000 zyx,半径为 R 的球面方程,
解 设定点
0
M 的坐标为 ),,(
000
zyx,则点 ),,( zyxM 在以
0
M 为球心,以 R 为球半径的球面上的充要条件为
RMM?
0
,
即 Rzzyyxx
2
0
2
0
2
0
)()()(,
两边平方,得
22
0
2
0
2
0
)()()( Rzzyyxx
经验证,上式就是以
),,(
0000
zyxM
为球心,以
R
为球半径的球面方程,
当
0
000
zyx
时,则得球心在坐标原点的球面方程为
2222
Rzyx
,
柱面：直线 L 沿定曲线 C 平行移动所形成的曲面称为柱面．定曲线 C 称为柱面的准线,动直线 L 称为柱面的母线,
L
C
L
二、母线平行于坐标轴的柱面
1,圆柱面方程设一个圆柱面的母线平行于 z 轴,准 C 线是 x O y 平面上以原点为圆心,R 为半径的圆,在平面直角坐标系中,
准线 C 的方程为
222
Ryx,求该圆柱面的方程,
在圆柱面上任取一点 ),,( zyxM,
过点 M 的母线与 x O y 平面的交点
)0,,(
0
yxM 一定在准线 C 上,必定满足方程
222
Ryx ；反之,不在圆柱面上的点,它的坐标不满足这个方程,于是所求圆柱面方程为
222
Ryx
,
z
O
x
y
M
0 M
2,准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方 程一般来说,如果柱面的准线是 x O y 面上的曲线 C,
它在平面直角坐标系中的方程为 0),(?yxf,那么,以 C
为准线,母线平行于 z 轴的柱面方程就是 0),(?yxf,
类似地,方程 0),(?zyg 表示母线 平行于 x 轴的柱面,
方程 0),(?zxh 表示母线平行于
y
轴的柱面,
在空间直角坐标系 O x y z 下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴,
例 3 方程 1
2
2
2
2
b
y
a
x
,1
2
2
2
2
b
y
a
x
,02,2 pyx 分别表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面,如下图所示,由于这些方程都是二次的,因此称为二次柱面,
x
y O
z
y
O x
z
y
O
x
z
旋转曲面：一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面,曲线 C 称为旋转曲面的母线,直线 L 称为旋转曲面的轴,
坐标面上曲线绕坐标轴旋转所 成的旋转曲面方程设在 y O z 平面上有一条已知曲线 C,它在平面直角坐标系中的方程是 0),(?zyf,求此曲线 C 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程,
在旋转曲面上任取一点 ),,( zyxM,
设这点是由母线上 点 ),,0( 111 zyM
绕 z 轴旋转一定角度而得到,于是
0),(
22
zyxf
反之,不在 曲面 上 的 点 不 满足 上面 方程,此 方程 为 旋转 曲面 方程,
O
1 O
M
),,0 ( 1 1 1 z y M
x
y
z
三、旋转曲面同理,曲线 C 绕 y 轴 旋转 的旋转曲面方程为
0),( 22 zxyf,,
例 4 求由 y O z 平面上的直线 )0( kkyz 绕 z
轴旋转所形成的旋转曲面方程,
解 在方程中,把 y 换成
22
yx 得所求方程为
22
yxkz,
即 )(
2222
yxkz,
此曲面为顶点在原点,对 称轴为 z 轴的圆锥面 ( 如 右图 ),
z
x
y
O
1,椭球面方程 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
)0,0,0( cba,
所表示的曲面称为椭球面,
cba,,称为椭球面的半轴,
二次曲面：在空间直角坐标系中,若 0),,(?zyxF 是二次方程,则它的图形称为二次曲面,
截痕法：用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析,从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为截痕法,
z
x
y O
四、二次曲面当 ba? 时原方程化为 1
2
2
2
22
c
z
a
yx
,它是一个椭圆绕 z 轴旋转而成的旋转椭球面,当 cba 时,原方程化为
2222
azyx,它是一个球心在坐标原点,球半径为
a 的球面,
2,椭圆抛物面方程
22
( 0,0)
22
xy
z p q
pq
所表示的曲面称为椭圆抛物面,
由方程 z
q
y
p
x
22
22
知,z ≥ 0,
故曲面在 x O y 平面的下方 无图形,
z
x
y O
3,双曲面方程 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
)0,0,0( cba 所表示的曲面称为单叶双曲面,方程 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
)0,0,0( cba 所表示的曲面称为双叶双曲面,
O y
x
z
z
O
x
y
1,空间曲线方程设曲面 ∑ 1 的方程是 0),,(
1
zyxF,曲面 ∑ 2 的方程是
0),,(
2
zyxF,则交线 C 上的点必定同时满足 ∑ 1,∑ 2 的方程,不在 C 上的点一定不能同时满足这两个方程,因此,
联立方程组
1
2
(,,) 0,
(,,) 0,
F x y z
F x y z
即为空间曲线 C 的方程,它称为空间曲线的一般式方程,
空间曲线的参数方程
( ),
( ),
( ),
x x t
y y t
z z t
( ≤ t ≤ )?
或其向量形式?)t(r ( ) ( ) ( )x t y t z ti j k 来表示,
五、空间曲线及其在坐标面上的投影设空间曲线 C 的方程为
1
2
(,,) 0,
(,,) 0,
F x y z
F x y z
过曲线 C 上的每一点作 x O y 坐标面的垂线,形成了一个母线平行于
z 轴且过 C 的柱面,称为曲线 C 关于 x O y 面的投影柱面,
这个柱面与 x O y 面的交线称为曲线 C 在 x O y 面上的投影曲线,简称投影,
2,空间曲线及其在坐标面上的投影
3,坐标面上的投影曲线的确定在 方 程组
1
2
(,,) 0,
(,,) 0
F x y z
F x y z
中 消 去 变量 z 得方程
0),(?yxF,上述方程缺变量 z,所以它是一个母线平行于 z 轴的柱面,
又因为 C 上的点的坐标满足方程组
1
2
(,,) 0,
(,,) 0,
F x y z
F x y z
当然也满足方程 0),(?yxF,所以 C 上的点都在此柱面上,方程 0),(?yxF 就是曲线 C 关于 x O y 面的投影柱面方程,它与
x O y
面的交线
(,) 0,
0,
F x y
z
就是 C 在
x O y
面上的投影方程,同理,曲线 C 在 y O z 面与 z Ox 面的投影方程分别为
(,) 0,
0
G y z
x
与
(,) 0,
0.
H x z
y
例 5 求曲线
22
2 2 2
,:
1
z x yC
x y z
在 x O y 面的投影方程,问 它在 x O y 面上是怎样一条曲线？
解 消去变量 z 得
2
1
22
yx,
这是曲线 C 关于 x O y 坐标面的投影柱面方程,所以曲线 C 在 x O y
坐标面上的投影方程为
22
1
,
2
0,
xy
z
它是 x O y 坐标面上的一个圆,y
x
z
思考题
1,方程
222
yxz 代表何曲面,分 别 与 平 面
1,0 yx 和 2?z 的交线为何？
2,曲线
0
5
2
y
xz
绕 x 轴旋转所得旋转曲面方程及名称为何？
*第五节 矢量函数的微积分一,矢量函数二,矢函数的导数与微分三,矢量积分
* 第五节 矢量函数的微积分定义 １ 设有一矢量 a 和一数性变量 t,如果对于
t 在一定范围内的每一个数值，变矢量 a 都有确定的量
（大小和方向都确定的一个矢量）和它对应，则变矢量
a 称为变量 t 的矢量函数（也称向量函数，矢函数）,
记作 )t(aa?,
当 t 取定后,)( ta 是一个常矢，因此，矢函数可用坐标表示为 ( ) ( ) ( ) ( )
x y z
t a t a t a ta i j k,其中,)( ta x,
)( ta
y
,)( ta z 都是 t 的标量函数,
一、矢量函数定义 ２ 若把矢函数表示成动点 M 的矢径形式
r r? )( t 则变量 t 变动时，点 M 在空间描出一条曲线，
称该曲线为矢函数的矢端曲线,它的三个坐标由三个标量函数给定 )(),(),( tzztyytxx ；则
x y zr i j k,
定义 4 设函数 )t(a 在 t 处连续,并且极限
t
ttt
t?
)()Δ(
l i m
0
aa
存在,则称矢函数在 t 处可导,且称此极限值为矢函数 a )( t 的导数,记作
td
d a
或 a? )( t,
二、矢函数的导数与微分
2,矢函数的导数仍为矢函数,若它仍可导,则其导数称为矢函数?a a )( t 的二阶导数,记为
2
2
td
d a
,a )( t,称
dt
dt
d
d
a
a? 为矢函数 ()t?aa 的微分,
若 r )}(),(),({)( tztytxt? 可导，则其导数
td
d r
t
tz
t
ty
t
tx
d
)(d
,
d
)(d
,
d
)(d
或
d
( ) ( ) ( )
d
x t y t z t
t
r
i j k,
矢函数与数性函数有类似的求导公式,
0
d
d
t
c
（ c 为常矢量）；
dd
()
dd
kk
tt
a
a （ k 为常数）；
tttt d
d
d
d
d
d
)(
d
d γβα
γβa ；
d d d
()
d d dt t t
α
αα （
ψ
是
t
的标量函数）；
ttt d
d
d
d
)(
d
d β
αβ
α
βα；
ttt d
d
d
d
)(
d
d β
αβ
α
βα
（顺序不可以交换）；
d d d
[ ( ) ]
d d d
t
tt
α
α,
例１ 已知圆锥螺线 ( ) c o s sint t t t t a tr i j k,求
r? )( t 及 r )( t,
解 ( ) ( c os ) ( s i n) ( )t t t t t atr i j k
( c o s s i n ) ( s i n c o s )t t t t t t ai j k,
( ) [ ( c os s i n ) ( s i n c os ) ]t t t t t t t ar i j k
( c os s i n ) ( s i n c os )t t t t t t ai j k
( 2 s i n c o s ) ( 2 c o s s i n )t t t t t tij,
2,定积分设 )( ta 和 )( tb 为矢函数,若 ( t )
dt
( t )d
a
b
,则
)()(d)(
12
2
1
tttt
t
t
bba
称为矢函数 )( ta 的定积分,21,tt 分别称为积分下、上限,
1,不定积分设 )( ta 和 )( tb 为矢函数，若 )(
d
)(d
t
t
t
a
b
,则
( ) d ( )t t t a b c ( 为任意常矢）c,称为矢函数 )( ta 的不定积分,
三、矢量积分关于矢量积分有如下规律,
ttzttytx d)(d)(d( t )dt( t ) kjir ;
tttt) d)(d( rr ;
tt)tt)t(tt) d(d(d)]([
2121
rrrr ;
tttt d)(d)( rara ;
tt)tt d(d)( rara,
