第十四章动能定理质系动能定理建立了质系动能的变化率与作用于质系上的力所作的功之间的关系，从而揭示了机械运动和其它形式运动能量传递和转化的规律。
§14-1 力的功
1．力的功的概念力的功表示力在一段路程上对物体作用的累积效应,它包含力和路程两个因素。
在一无限小位移中力所做的功称为元功，
以δW表示。
dsFds Fcosθ
dW
τ
==
= rFδ
kjidr zdydxd ++=
x y z
FF F=++F i j k
因
δ W可写成直角坐标形式
xyz
W F dx F dy F dzδ = ++
力在有限路程上的功：力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。
dsFdsFW
s
s
s
s
M
M
∫∫∫
==?=
2
1
2
1
2
1
cosd
12 τ
θrF
2
1
12
()
M
xyz
M
WFdxFdyFdz=++
∫
功的单位为焦耳(J),1J=1N·m=1kg · m2/s2。
合力的功：设作用于质点的合力F
R
= ∑F
i
,则合力的功
MM
或
∑∑
∫
∫
∑
∫
=?=
=?=
i
M
M
i
M
i
M
W
W
2
1
2
1
2
1
d
d)(d
R
rF
rFrF
即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于各分力在同一段路程上所作功的代数和。
2．常见力的功
（1）重力的功重力在直角坐标轴上的投影为
0,0,
xyz
FFFmg===?
重力的功为
)(
21
2
1
zzmgmgdz
z
z
=?=
∫
mgh±=
2
1
12
()
M
xyz
M
WFdxFdyFd=++
∫
重力的功仅与质点运动起止位置的高度差有关，
而与运动轨迹无关。
对于质系，所有质点重力做功之和为
( )gzmzmzzgmW
iiiiiii ∑∑∑∑
=?=
212112
)(
由质心坐标公式，有
iiC
zmmz
∑
=
由此可得
)()(
212112 CCCC
zzmggmzmzW?=?=
∑
即质系重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。
重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。
（2）弹性力的功设弹簧刚性系数为c，弹簧变形为λ,则弹力为
λcF =
弹性力的功为
∫
=
2
1
λ
λ
λλdc
)(
2
2
2
2
1
λλ?=
c
∫
=
2
1
λ
λ
λFdW
弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。
（3）定轴转动刚体上作用力的功作用于定轴转动刚体上的力系的元功为
∑
= rF dWδ
而
zz
MFmRF ==
∑∑
)(
τ
于是
δ dMW
z
=
∑
= dsF
τ ∑
=?RdF
τ
力系在有限转动中的功为
∫
=
2
1
12
dMW
z
CM
z
=
)(
1212
=
z
MW
（4）平面运动刚体上力系的功
δ dMdrW
CC
+?= R
其中R为力系的主矢量，M
C
为力系对质心C的主矩。
3．质系内力的功
BA
FF?=
BBAA
rFrF dd?+?=Wδ
BAAA
rFrF dd=
BA
BABA
==? rrr
)r(rF
BAA
= d
)(BAdFW
A
=δ
因所以上式说明，当质系内质点间的距离可变化时，内力的元功之和不为零。
如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆联结的两点，则内力的元功之和为零，因此刚体内力的功之和恒等于零。
4．理想约束约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束，
即ΣδW=0。常见的理想约束有:
（1）光滑固定面和辊轴约束其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。
（2）光滑铰链或轴承约束由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。
（3）刚性连接的约束这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。如图c示。
（4）联结两个刚体的铰如图a所示，两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即F? =? F，两力在点的微小位移上的元功之和等于零，即
0rFrF =?
′
+?=∑ ddWδ
（5）柔性而不可伸长的绳索约束如图b示，绳索两端的约束力大小相等，即
21
FF =
2211
coscos?=? drdr又因因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，即
0coscos
222111
== drFdrF
rFrF ddW
21
+?=∑δ
质系内力的功之和一般不为零，因此在计算力的功时，将作用力分为外力和内力并不方便，在理想约束的情形下，若将作用力分为主动力与约束力，
可使功的计算得到简化。若约束是非理想的，如需考虑摩擦力的功，在此情形下可将摩擦力当作主动力看待。
例1 用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg的滑块A沿倾角为30°
的光滑槽运动。设绳子拉力F =20N。计算滑块由位置A至位置B
时，重力与拉力F所作的总功。
解：滑块由位置A至位置B所上升的高度为
0
00
30sin
60
6
45
6
=
tgtg
h
力F作用点移动的距离为
00
60sin
6
45sin
6
=s
所以，重力与拉力F所作的总功
6.29J
tg60
6
tg45
6
9.82
sin60
6
sin45
6
20
mghFsW
0000
=
××?
×=
=
C
§14-1 力的功
1．力的功的概念力的功表示力在一段路程上对物体作用的累积效应,它包含力和路程两个因素。
在一无限小位移中力所做的功称为元功，
以δW表示。
dsFds Fcosθ
dW
τ
==
= rFδ
kjidr zdydxd ++=
x y z
FF F=++F i j k
因
δ W可写成直角坐标形式
xyz
W F dx F dy F dzδ = ++
力在有限路程上的功：力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。
dsFdsFW
s
s
s
s
M
M
∫∫∫
==?=
2
1
2
1
2
1
cosd
12 τ
θrF
2
1
12
()
M
xyz
M
WFdxFdyFdz=++
∫
功的单位为焦耳(J),1J=1N·m=1kg · m2/s2。
合力的功：设作用于质点的合力F
R
= ∑F
i
,则合力的功
MM
或
∑∑
∫
∫
∑
∫
=?=
=?=
i
M
M
i
M
i
M
W
W
2
1
2
1
2
1
d
d)(d
R
rF
rFrF
即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于各分力在同一段路程上所作功的代数和。
2．常见力的功
（1）重力的功重力在直角坐标轴上的投影为
0,0,
xyz
FFFmg===?
重力的功为
)(
21
2
1
zzmgmgdz
z
z
=?=
∫
mgh±=
2
1
12
()
M
xyz
M
WFdxFdyFd=++
∫
重力的功仅与质点运动起止位置的高度差有关，
而与运动轨迹无关。
对于质系，所有质点重力做功之和为
( )gzmzmzzgmW
iiiiiii ∑∑∑∑
=?=
212112
)(
由质心坐标公式，有
iiC
zmmz
∑
=
由此可得
)()(
212112 CCCC
zzmggmzmzW?=?=
∑
即质系重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。
重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。
（2）弹性力的功设弹簧刚性系数为c，弹簧变形为λ,则弹力为
λcF =
弹性力的功为
∫
=
2
1
λ
λ
λλdc
)(
2
2
2
2
1
λλ?=
c
∫
=
2
1
λ
λ
λFdW
弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。
（3）定轴转动刚体上作用力的功作用于定轴转动刚体上的力系的元功为
∑
= rF dWδ
而
zz
MFmRF ==
∑∑
)(
τ
于是
δ dMW
z
=
∑
= dsF
τ ∑
=?RdF
τ
力系在有限转动中的功为
∫
=
2
1
12
dMW
z
CM
z
=
)(
1212
=
z
MW
（4）平面运动刚体上力系的功
δ dMdrW
CC
+?= R
其中R为力系的主矢量，M
C
为力系对质心C的主矩。
3．质系内力的功
BA
FF?=
BBAA
rFrF dd?+?=Wδ
BAAA
rFrF dd=
BA
BABA
==? rrr
)r(rF
BAA
= d
)(BAdFW
A
=δ
因所以上式说明，当质系内质点间的距离可变化时，内力的元功之和不为零。
如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆联结的两点，则内力的元功之和为零，因此刚体内力的功之和恒等于零。
4．理想约束约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束，
即ΣδW=0。常见的理想约束有:
（1）光滑固定面和辊轴约束其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。
（2）光滑铰链或轴承约束由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。
（3）刚性连接的约束这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。如图c示。
（4）联结两个刚体的铰如图a所示，两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即F? =? F，两力在点的微小位移上的元功之和等于零，即
0rFrF =?
′
+?=∑ ddWδ
（5）柔性而不可伸长的绳索约束如图b示，绳索两端的约束力大小相等，即
21
FF =
2211
coscos?=? drdr又因因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，即
0coscos
222111
== drFdrF
rFrF ddW
21
+?=∑δ
质系内力的功之和一般不为零，因此在计算力的功时，将作用力分为外力和内力并不方便，在理想约束的情形下，若将作用力分为主动力与约束力，
可使功的计算得到简化。若约束是非理想的，如需考虑摩擦力的功，在此情形下可将摩擦力当作主动力看待。
例1 用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg的滑块A沿倾角为30°
的光滑槽运动。设绳子拉力F =20N。计算滑块由位置A至位置B
时，重力与拉力F所作的总功。
解：滑块由位置A至位置B所上升的高度为
0
00
30sin
60
6
45
6
=
tgtg
h
力F作用点移动的距离为
00
60sin
6
45sin
6
=s
所以，重力与拉力F所作的总功
6.29J
tg60
6
tg45
6
9.82
sin60
6
sin45
6
20
mghFsW
0000
=
××?
×=
=
C
