第三节 平面汇交力系的合成与平衡
——解析法一,合成问题
1、合成的依据
a
1
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2
d
1
d
2
e
1
e
2
F1x+F2x+F3x+F4x=a1b1+b1c1+c1d1+d1e1=a1e1=FRx
F1y+F2y+F3y+F4y=a2b2+b2c2+c2d2-d2e2=a2e2=FRy
a
b
c
d
e
F1
F2
F3
F4
F
R
O
x
y
合力投影定理,合力在任一轴上的投影，
等于它的各分力在同一轴上投影的代数和，即
F
Rx
=F
1x
+F
2x
+······+F
nx
=ΣF
x
F
Ry
=F
1y
+F
2y
+······+F
ny
=ΣF
y
2、力合成的解析法
x
y
Rx
Ry
ΣF
ΣF
arctg
F
F
arctgθ ==
2
y
2
x
2
Ry
2
Rx
)F()F(FFF
∑∑
+=+=
R
二、平衡问题平衡的充分与必要条件：合力为零，即
0
22
=+=
∑∑
)F()F(F
yxR
亦即：
Σ F
x
=0 Σ F
y
=0
——平衡方程平衡的充分与必要条件,力系中所有各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例1、如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力 F
1
,F
2
,F
3
和 F
4
构成平面汇交力系。已知各力的大小和方向为 F
1
=360N,α
1
=60o,
F
2
=550N,α
2
=0o,F
3
=380N，
α
3
=30o,F
4
=300N,α
4
=70o。试用解析法求合力的大小和方向。
解：选取图示坐标系，合力在坐标轴上的投影为
F
Rx
=ΣF
x
=F
1
cosα
1
+F
2
cosα
2
+F
3
cosα
3
+F
4
cosα
4
=360cos60o+550cos0o+380cos30o+300cos70o=1162N
F
Ry
=ΣF
y
=F
1
sinα
1
+F
2
sinα
2
-F
3
sinα
3
-F
4
sinα
4
=360sin60o+550sin0o-380sin30o-300sin70o
=-160N
合力的大小及其与 x轴正向间的夹角为
1173N160)((1162)FFF
22
=?+=+=
22
RyRxR
0570.1377)arctg()
1162
160
arctg(-
F
F
arctgα
Ry
Rx
′
°?=?===
例2,曲 柄冲 压机如图a所示，冲压工件时冲头 B受到工件的阻力 F=30kN，试求当 α=12o
时连杆 AB所受的力及导轨的约束力。
解：取冲头 B 为研究对象，其受力如图 b所示。按图示坐标列出平衡方程
ΣF
y
=0,F-S
AB
cosα=0
得,S
AB
=F/cosα=30/cos12o=30.7kN
ΣF
x
=0,N
B
-S
AB
sinα=0
得,N
B
= S
AB
sinα=30.7*sin12o=6.38kN
所以，连杆 AB受压力，其大小为 30.7 kN。
? 例 3、如图 a所示，重物
P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车 D上。杆
AB与 BC铰接，并以铰链 A、
C与墙连接。不计两杆和滑轮的自重，忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆 AB与 BC所受的力。
解：取滑轮为研究对象，作如图所示受力图,其中 T
1
=T
2
=P。
建立图示坐标系 Bxy,列平衡方程
ΣF
x
=0,-S
BA
+T
2
cos60o-T
1
cos30o=0
S
BA
=-0.366P=-7.32kN
ΣF
y
=0,S
BC
-T
2
cos30o-T
1
cos60o=0
S
BC
=1.366P=27.32kN
S
BA
为负值，表明图设方向与实际方向相反，即 AB杆为压杆。
例 4、重为 50kN的圆柱搁置在倾角
α=30o的光滑斜面上，并用撑架支承（图
a）。设撑架的 A,B,C处均为光滑铰链，
接触点 D刚好在构件 AB的中央，不计构件自重及接触处的摩擦。试求撑杆 AC的受力及铰链 B的约束力。
解：（ 1）取圆柱为研究对象。
受力如图 (b)。建立图示坐标系 Bxy，由平衡条件
∑
= 0F
x
0PsinαN
D
=?
25PsinαN
D
== kN
（ 2）再取 AB。受力如图 (c)。
在坐标系 Bxy中，由平衡方程
∑
= 0F
y
0sin45Rsin45S
BA
=°?°
BA
RS =
∑
= 0F
x
0Ncos45Rcos45S
DBA
=
′
°+°
17.682NRS
DBA
=
′
==
45o
得
kN
得
（ 3）由作用反作用关系，知撑杆 AC受压力 17.68kN。
8
课后作业,P
36-39
2-3,2-4,2-5,2-7(b)、
2-8,2-9,2-10(b)
——解析法一,合成问题
1、合成的依据
a
1
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2
d
1
d
2
e
1
e
2
F1x+F2x+F3x+F4x=a1b1+b1c1+c1d1+d1e1=a1e1=FRx
F1y+F2y+F3y+F4y=a2b2+b2c2+c2d2-d2e2=a2e2=FRy
a
b
c
d
e
F1
F2
F3
F4
F
R
O
x
y
合力投影定理,合力在任一轴上的投影，
等于它的各分力在同一轴上投影的代数和，即
F
Rx
=F
1x
+F
2x
+······+F
nx
=ΣF
x
F
Ry
=F
1y
+F
2y
+······+F
ny
=ΣF
y
2、力合成的解析法
x
y
Rx
Ry
ΣF
ΣF
arctg
F
F
arctgθ ==
2
y
2
x
2
Ry
2
Rx
)F()F(FFF
∑∑
+=+=
R
二、平衡问题平衡的充分与必要条件：合力为零，即
0
22
=+=
∑∑
)F()F(F
yxR
亦即：
Σ F
x
=0 Σ F
y
=0
——平衡方程平衡的充分与必要条件,力系中所有各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例1、如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力 F
1
,F
2
,F
3
和 F
4
构成平面汇交力系。已知各力的大小和方向为 F
1
=360N,α
1
=60o,
F
2
=550N,α
2
=0o,F
3
=380N，
α
3
=30o,F
4
=300N,α
4
=70o。试用解析法求合力的大小和方向。
解：选取图示坐标系，合力在坐标轴上的投影为
F
Rx
=ΣF
x
=F
1
cosα
1
+F
2
cosα
2
+F
3
cosα
3
+F
4
cosα
4
=360cos60o+550cos0o+380cos30o+300cos70o=1162N
F
Ry
=ΣF
y
=F
1
sinα
1
+F
2
sinα
2
-F
3
sinα
3
-F
4
sinα
4
=360sin60o+550sin0o-380sin30o-300sin70o
=-160N
合力的大小及其与 x轴正向间的夹角为
1173N160)((1162)FFF
22
=?+=+=
22
RyRxR
0570.1377)arctg()
1162
160
arctg(-
F
F
arctgα
Ry
Rx
′
°?=?===
例2,曲 柄冲 压机如图a所示，冲压工件时冲头 B受到工件的阻力 F=30kN，试求当 α=12o
时连杆 AB所受的力及导轨的约束力。
解：取冲头 B 为研究对象，其受力如图 b所示。按图示坐标列出平衡方程
ΣF
y
=0,F-S
AB
cosα=0
得,S
AB
=F/cosα=30/cos12o=30.7kN
ΣF
x
=0,N
B
-S
AB
sinα=0
得,N
B
= S
AB
sinα=30.7*sin12o=6.38kN
所以，连杆 AB受压力，其大小为 30.7 kN。
? 例 3、如图 a所示，重物
P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车 D上。杆
AB与 BC铰接，并以铰链 A、
C与墙连接。不计两杆和滑轮的自重，忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆 AB与 BC所受的力。
解：取滑轮为研究对象，作如图所示受力图,其中 T
1
=T
2
=P。
建立图示坐标系 Bxy,列平衡方程
ΣF
x
=0,-S
BA
+T
2
cos60o-T
1
cos30o=0
S
BA
=-0.366P=-7.32kN
ΣF
y
=0,S
BC
-T
2
cos30o-T
1
cos60o=0
S
BC
=1.366P=27.32kN
S
BA
为负值，表明图设方向与实际方向相反，即 AB杆为压杆。
例 4、重为 50kN的圆柱搁置在倾角
α=30o的光滑斜面上，并用撑架支承（图
a）。设撑架的 A,B,C处均为光滑铰链，
接触点 D刚好在构件 AB的中央，不计构件自重及接触处的摩擦。试求撑杆 AC的受力及铰链 B的约束力。
解：（ 1）取圆柱为研究对象。
受力如图 (b)。建立图示坐标系 Bxy，由平衡条件
∑
= 0F
x
0PsinαN
D
=?
25PsinαN
D
== kN
（ 2）再取 AB。受力如图 (c)。
在坐标系 Bxy中，由平衡方程
∑
= 0F
y
0sin45Rsin45S
BA
=°?°
BA
RS =
∑
= 0F
x
0Ncos45Rcos45S
DBA
=
′
°+°
17.682NRS
DBA
=
′
==
45o
得
kN
得
（ 3）由作用反作用关系，知撑杆 AC受压力 17.68kN。
8
课后作业,P
36-39
2-3,2-4,2-5,2-7(b)、
2-8,2-9,2-10(b)
