第九章 点的合成运动
§ 9-1 点的合成运动的概念
M
E
x'
y'
Ox
y
M
x'
y'
O′
M
一、动点 ——研究对象动点是指相对于定系和动系均有运动的点。
二、两个坐标系
1,定坐标系建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。一般将定系固结在地面上。
2．动坐标系动坐标系指建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，
简称动系。有时可称为载体系。
三、三种运动 ——绝对运动、相对运动和牵连运动
1,绝对运动：动点相对于定系的运动。
2,相对运动：动点相对于动系的运动。
3,牵连运动：动系相对于定系的运动。
四、三种速度和三种加速度
1、动点的绝对速度和绝对加速度
（ 1）绝对运动：动点相对于定系的运动。
（ 2）绝对速度：动点绝对运动的速度，用 v
a
表示。
（ 3）绝对加速度：动点绝对运动的加速度，用 a
a
表示。
2．动点的相对速度和相对加速度
（ 1）相对运动：动点相对于动系的运动。
(t)fz,(t)fy,(t)fx
3
'
2
'
1
'
===
——相对运动方程
（ 2）相对速度：动点相对运动的速度，用 v
r
表示。
（ 3）相对加速度：动点相对运动的加速度，用 a
r
表示。
dt
zd
v,
dt
yd
v,
dt
xd
v
zryrxr
′
=
′
=
′
=
′′′
kjiv
′
+
′
+
′
=
′′′ zryrxrr
vvv
2
2
2
2
2
2
dt
zd
a,
dt
yd
a,
dt
xd
a
zryrxr
′
=
′
=
′
=
′′′
kjia
′
+
′
+
′
=
′′′ zryrxrr
aaa
3．动点的牵连速度和牵连加速度
（ 1）牵连运动：动系相对于定系的运动。
（ 2）牵连点的概念
uv =
r
vv =
e
定义：任一瞬时，动系上与动点重合的点即为此瞬时动点的牵连点。
（ 3）牵连速度定义：某瞬时牵连点的速度称为动点的牵连速度。用 v
e
表示。
（ 4）牵连加速度定义：某瞬时牵连点的加速度称为动点的牵连加速度，用 a
e
表示。
§ 9-2 点的速度合成定理定理,某瞬时动点的绝对速度等于该瞬时动点的相对速度和牵连速度之矢量和。
即
rea
vvv +=
证明：
MMMMMM
′′
+
′
=
′
111
t
MM
t
MM
t
MM
′′
+
′
=
′
111
v
a
v
e
v
r
O
x
y
x'
y'
O'
O'
x'
y'
t
MM
t
MM
t
MM
ttt
′′
+
′
=
′
→?→?→?
1
0
11
00
limlimlim
rea
vvv +=
v
a
v
e
v
r
例 1、刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA
的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 ω绕固定 O轴转动时，滑块在摇杆
O
1
B上滑动，并带动摇杆 O
1
B绕固定轴 O
1
摆动。设曲柄长 OA=r，两轴间的距离 OO
1
=l。
求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度 ω
1
。
解：取曲柄端点 A为动点，动系 o
1
x'y'
固定在摇杆 O
1
B上。
作速度矢图，如图所示。由其中的三角关系可求得
sin
ae
vv =
又
2
2
sin
rl
r
+
=?
，且 ωrv
a
=
v
a
v
r
v
e
摇杆的角速度为,
22
2
rl
r
v
e
+
=
ω
所以
22
2
2222
2
1
1
1
rl
r
rlrl
r
AO
v
e
+
=
+
+
==
ωω
ω
例 2、如图所示，半径为 R、偏心距为
e的凸轮，以匀角速度 ω绕 O轴转动，杆 AB
能在滑槽中上下平动，杆的端点 A始终与凸轮接触，且 OAB成一直线。求在图示位置时，杆的速度。
解：取杆 AB的端点 A作为动点，动系随凸轮一起绕 O轴转动。
根据速度合成定理，作出速度矢图，
如图所示，由三角关系求得杆的绝对速度为
e
OA
e
OAvv
ea
ωωθ =?== ctg
例 3、矿砂从传送带 A落到另一传送带 B上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度为 v
1
=4m/s，方向与铅直线成 30
°
角。
已知传送带 B水平传动速度 v
2
=3m/s。求矿砂相对于传送带 B的速度。
解：以矿砂 M为动点，动系固定在传送带 B上。
由速度合成定理作速度矢图如右图 (b)所示。根据几何关系求得
6.360cos2
22
=°?+=
aeaer
vvvvv m/s
v
r
与 v
a
间的夹角为
214660sinarcsin
′
°=
°=
r
e
v
v
β
应用点的合成运动理论解决实际问题时，其关键是正确地选择动点和动系。选择原则因具体情况不同而略有区别。常见的问题有三种题型。
1．两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。
动点和动系的选择 原则：动点和动系分别属于两个物体。
例、汽车 A沿半径为 R的圆形轨道行驶，汽车 B沿直线行驶，
如图 (a)所示。已知图示位置之 L,v
A
和 v
B
。试分析 A车相对于 B车上观察者的相对速度 v
AB
和 B车相对于 A车上观察者的相对速度 v
BA
。
2．运动物体（载体）上有一动点作相对运动。
动点和动系选择 原则：动系固结于载体上，动点即取有相对运动的点。
例、管 BOA以等角速度绕 O轴转动，起始瞬时管与 Ox轴重合，
如图所示。管内的 M点以
x
1
=bcosωt(mm)的规律相对于管运动，求 t=π/6ω（ s）瞬时 M点的速度。
3．机构传动
（ 1）主动件与从动件的连接处存在持续连接点动点和动系的选择 原则：
①动点和动系应分别属于两个物体，以保证有相对运动；
②动点的相对运动轨迹应易于根据约束条件直观判断其形状；
③为实现②，通常取持续连接点为动点。
例、在滑道连杆机构中，长为
r的曲柄 OA以等角速度 ω绕 O轴转动。滑块 A可在滑道内滑动，滑道倾角为 θ，如图所示。求任一瞬时滑道连杆的速度。
（ 2）主动件与从动件的连接点是时变点（即随时间改变）
动点和动系选择 原则：
①动点和动系分别属于两个物体；
②动点不必是连接点，但应根 据约束条件确定其相对运动轨迹。
例、半径为 r的圆轮以等角速度 ω绕 O轴转动，从而带动靠在轮上的杆 O
1
A绕 O
1
轴摆动，如图所示。
已知 O
1
O=3r，试求图示位置 O
1
A杆的角速度。
课后作业：
9-3,9-6,9-9
§ 9-1 点的合成运动的概念
M
E
x'
y'
Ox
y
M
x'
y'
O′
M
一、动点 ——研究对象动点是指相对于定系和动系均有运动的点。
二、两个坐标系
1,定坐标系建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。一般将定系固结在地面上。
2．动坐标系动坐标系指建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，
简称动系。有时可称为载体系。
三、三种运动 ——绝对运动、相对运动和牵连运动
1,绝对运动：动点相对于定系的运动。
2,相对运动：动点相对于动系的运动。
3,牵连运动：动系相对于定系的运动。
四、三种速度和三种加速度
1、动点的绝对速度和绝对加速度
（ 1）绝对运动：动点相对于定系的运动。
（ 2）绝对速度：动点绝对运动的速度，用 v
a
表示。
（ 3）绝对加速度：动点绝对运动的加速度，用 a
a
表示。
2．动点的相对速度和相对加速度
（ 1）相对运动：动点相对于动系的运动。
(t)fz,(t)fy,(t)fx
3
'
2
'
1
'
===
——相对运动方程
（ 2）相对速度：动点相对运动的速度，用 v
r
表示。
（ 3）相对加速度：动点相对运动的加速度，用 a
r
表示。
dt
zd
v,
dt
yd
v,
dt
xd
v
zryrxr
′
=
′
=
′
=
′′′
kjiv
′
+
′
+
′
=
′′′ zryrxrr
vvv
2
2
2
2
2
2
dt
zd
a,
dt
yd
a,
dt
xd
a
zryrxr
′
=
′
=
′
=
′′′
kjia
′
+
′
+
′
=
′′′ zryrxrr
aaa
3．动点的牵连速度和牵连加速度
（ 1）牵连运动：动系相对于定系的运动。
（ 2）牵连点的概念
uv =
r
vv =
e
定义：任一瞬时，动系上与动点重合的点即为此瞬时动点的牵连点。
（ 3）牵连速度定义：某瞬时牵连点的速度称为动点的牵连速度。用 v
e
表示。
（ 4）牵连加速度定义：某瞬时牵连点的加速度称为动点的牵连加速度，用 a
e
表示。
§ 9-2 点的速度合成定理定理,某瞬时动点的绝对速度等于该瞬时动点的相对速度和牵连速度之矢量和。
即
rea
vvv +=
证明：
MMMMMM
′′
+
′
=
′
111
t
MM
t
MM
t
MM
′′
+
′
=
′
111
v
a
v
e
v
r
O
x
y
x'
y'
O'
O'
x'
y'
t
MM
t
MM
t
MM
ttt
′′
+
′
=
′
→?→?→?
1
0
11
00
limlimlim
rea
vvv +=
v
a
v
e
v
r
例 1、刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA
的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 ω绕固定 O轴转动时，滑块在摇杆
O
1
B上滑动，并带动摇杆 O
1
B绕固定轴 O
1
摆动。设曲柄长 OA=r，两轴间的距离 OO
1
=l。
求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度 ω
1
。
解：取曲柄端点 A为动点，动系 o
1
x'y'
固定在摇杆 O
1
B上。
作速度矢图，如图所示。由其中的三角关系可求得
sin
ae
vv =
又
2
2
sin
rl
r
+
=?
，且 ωrv
a
=
v
a
v
r
v
e
摇杆的角速度为,
22
2
rl
r
v
e
+
=
ω
所以
22
2
2222
2
1
1
1
rl
r
rlrl
r
AO
v
e
+
=
+
+
==
ωω
ω
例 2、如图所示，半径为 R、偏心距为
e的凸轮，以匀角速度 ω绕 O轴转动，杆 AB
能在滑槽中上下平动，杆的端点 A始终与凸轮接触，且 OAB成一直线。求在图示位置时，杆的速度。
解：取杆 AB的端点 A作为动点，动系随凸轮一起绕 O轴转动。
根据速度合成定理，作出速度矢图，
如图所示，由三角关系求得杆的绝对速度为
e
OA
e
OAvv
ea
ωωθ =?== ctg
例 3、矿砂从传送带 A落到另一传送带 B上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度为 v
1
=4m/s，方向与铅直线成 30
°
角。
已知传送带 B水平传动速度 v
2
=3m/s。求矿砂相对于传送带 B的速度。
解：以矿砂 M为动点，动系固定在传送带 B上。
由速度合成定理作速度矢图如右图 (b)所示。根据几何关系求得
6.360cos2
22
=°?+=
aeaer
vvvvv m/s
v
r
与 v
a
间的夹角为
214660sinarcsin
′
°=
°=
r
e
v
v
β
应用点的合成运动理论解决实际问题时，其关键是正确地选择动点和动系。选择原则因具体情况不同而略有区别。常见的问题有三种题型。
1．两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。
动点和动系的选择 原则：动点和动系分别属于两个物体。
例、汽车 A沿半径为 R的圆形轨道行驶，汽车 B沿直线行驶，
如图 (a)所示。已知图示位置之 L,v
A
和 v
B
。试分析 A车相对于 B车上观察者的相对速度 v
AB
和 B车相对于 A车上观察者的相对速度 v
BA
。
2．运动物体（载体）上有一动点作相对运动。
动点和动系选择 原则：动系固结于载体上，动点即取有相对运动的点。
例、管 BOA以等角速度绕 O轴转动，起始瞬时管与 Ox轴重合，
如图所示。管内的 M点以
x
1
=bcosωt(mm)的规律相对于管运动，求 t=π/6ω（ s）瞬时 M点的速度。
3．机构传动
（ 1）主动件与从动件的连接处存在持续连接点动点和动系的选择 原则：
①动点和动系应分别属于两个物体，以保证有相对运动；
②动点的相对运动轨迹应易于根据约束条件直观判断其形状；
③为实现②，通常取持续连接点为动点。
例、在滑道连杆机构中，长为
r的曲柄 OA以等角速度 ω绕 O轴转动。滑块 A可在滑道内滑动，滑道倾角为 θ，如图所示。求任一瞬时滑道连杆的速度。
（ 2）主动件与从动件的连接点是时变点（即随时间改变）
动点和动系选择 原则：
①动点和动系分别属于两个物体；
②动点不必是连接点，但应根 据约束条件确定其相对运动轨迹。
例、半径为 r的圆轮以等角速度 ω绕 O轴转动，从而带动靠在轮上的杆 O
1
A绕 O
1
轴摆动，如图所示。
已知 O
1
O=3r，试求图示位置 O
1
A杆的角速度。
课后作业：
9-3,9-6,9-9
