第五节 物体系统的平衡静定与静不定问题的概念
1．物体系统的平衡物体系统是指由几个物体通过约束组成的系统。其特点有：
（ 1）整体系统平衡，每个物体也平衡。可取整体或部分系统或单个物体为研究对象。
（ 2）分清内力和外力。在受力图上不考虑内力。
（ 3）灵活选取平衡对象和列写平衡方程。尽量减少方程中的未知量，简捷求解。
（ 4）如系统由 n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡，则有 3n个独立的平衡方程，可解 3n个未知量。
可用不独立的方程校核计算结果。
N
B
N
D
R
A
CB
P
N
B
E
R
C
CA
R
C
′
D
N
D
F
R
A
整体平衡局部必然平衡物系平衡
AB
C
D
E
q
2
q
1
F
E
F
Ax
F
Ay
F
Bx
F
By
F
Dx
F
Dy
D
A
F
Ay
q
2
F
Cx
F
Cy
F'
Dx
F'
Dy
B
q
2
F'
Cx
F'
Cy
C
2
F
Cx
F
Cy
F
Ay
F'
Dx
F'
Dy
刚体系统平衡问题的特点是：仅刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，无法求得全仅考察系统整体平衡，无法求得全部未知力。
部未知力。
A
B
C
M
q
D
F
Ax
F
Ay
F
D
F
C
求求解物系解物系平衡问题平衡问题
,可选取单个刚体可选取单个刚体
,某某个局部个局部
(系统内几个相互连接的刚体系统内几个相互连接的刚体
)或整个或整个系统作为研究对象系统作为研究对象
,列出平衡方程求解。
列出平衡方程求解。
A
B
C
M
q
D
A
B
C
M
q
D
对于由对于由
n个刚体组成的受平面力系作用的个刚体组成的受平面力系作用的系统系统
,其独立平衡方程数其独立平衡方程数
≤3n。
。
2、静定与静不定问题的概念静定问题,未知量的数目不多余独立平衡方程的数目，全部未知量均可由平衡方程求出。
静不定问题,未知量的数目多余平衡方程的数目，由平衡方程解不出全部未知量。
例 1、已知梁 AB和 BC在 B
端铰接,C为固定端。若
M=20kN·m,q=15kN/m，试求 A,B,C三处的约束力。
解：由整体受力图 (a)可知：
F
Cx
=0。
取梁 AB为研究对象，受力如图 (b),F=2q。由平衡方程 02 =++′
CB
MMF0)F( =∑
C
M
0)F( =∑
A
M 023 =? FF
B
20
3
2
== FF
B
kN
0)F( =∑
B
M
03 =+? FF
A
10
3
==
F
F
A
解得解得
mKNMFM
BC
.602?=?
′
=
02 =++
CCy
MMF
0)( =∑ FM
B
kN
解得
20
2
=

=
MM
F
C
Cy
kN
解得再取梁 BC，受力如图 (c)。由平衡方程此题也可在求得 F
A
和 F
B
后，再取整体为研究对象，
求 F
Cy
和 M
C
。
如图所示组合梁由如图所示组合梁由
AC和和
CD在在
C处铰 接而成。梁的处铰 接而成。梁的
A端插入端插入墙内，
墙内，
B处铰接一二力杆。已知：
处铰接一二力杆。已知：
F=20 kN，
，
均布载荷均布载荷
q=10
kN/m，
，
M=20 kN?m，
，
l=1 m。
。
试求插入端试求插入端
A及及
B处的约束力。
处的约束力。
A
BC
D
q
l l l l
F
30
D
M
60
D
M
A
F
Ay
F
B
F
Ax
解：
解：
1,以整体为研究对以整体为研究对象，受力分析如图所示。
象，受力分析如图所示。
0=
∑ x
F
x
030sin60cos =
DD
F FF
BAx
DD
0=
∑ y
F
y
030cos260sin =+
DD
Fql FF
BAy
DD
Ay
()0=
∑
FM
A
0430cos360sin22 =×?×+× l Fl FlqlMM
BA
DD
l l l
DD
C
B
D
q
F
30
D
60
D
F
B
2,取梁取梁
CD，
，
受力分析如图所示受力分析如图所示
( ) 0=
∑
FM
C
0230cos
2
60sin =×?×?× l F
l
qll F
B
DD
DD
F
Cy
F
Cx
联立求解方程可得联立求解方程可得
mkN 37.10kN,32.2
kN 89.32kN,77.45
=?=
==
AAy
AxB
MF
FF
,,
,,
例 2、图 a所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此用铰链 A联结，再用铰链 C和 B固结在两岸桥墩上。每一部分的重量 P
1
=40kN，其重心分别在点 D和点 E。桥上载荷 P=20kN。
求 A,B,C三处的约束力。
解：取整体为研究对象，受力如图 (b)。由平衡方程
0)F( =∑
B
M
0)31()110(10
11
=?+ PPPF
Cy
0=∑
y
F
02
1
=+
CyBy
FPPF
得
48=
Cy
F
52=
By
F
kN
kN
0)F( =∑
A
M
04)14(4
1
=?++? PFF
CyCx
0=∑
x
F
0=?
CxAx
FF
0=∑
y
F
0
1
=+?
CyAy
FPF
得
20=
Cx
F kN
20==
CxAx
FF
kN
8?=
Ay
F kN
再由整体平衡，有
0=∑
x
F
0=?
CxBx
FF
20=
Bx
F
kN
得得得再取右半桥为研究对象，受力如图 (c)所示。由平衡方程解得例 3、曲柄冲压机由冲头、连杆、曲柄和飞轮所组成（图 a）。设曲柄 OB在水平位置时系统平衡，冲头 A所受的工件阻力为 P。求作用于曲柄上的力偶的矩 M和轴承的约束力。已知飞轮重为 P
1
，连杆长为 l，曲柄 OB长为 r。不计各构件的自重。
解：取 A为研究对象，受力如图 (b)。
0=∑
y
F
0cos =? αFP
αcos
P
F =
由直角三角形 OAB得：
l
r
=αsin
l
rl
l
r
22
2
2
1cos
=?=α
22
cos
rl
lPP
F
==
α
求得
0=∑
y
F
0cos
1
=
′
+? αFPF
Oy
22
sin
rl
rP
aFxF
O
=
′
=
PPFPF
Oy
=
′
=
11
cosα
代入上式得再取飞轮、曲柄系统为研究对象。
受力如图 (c)。由平衡方程
0)F( =∑
O
M
0cos =?
′
rFM α
rPrFM?=?
′
= αcos
0=∑
x
F
0sin =
′
αFF
Ox
例 4,平面构架由杆 AB,DE及 DB铰接而成（图 a）。已知重力 P，
DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为 R，动滑轮半径为 r，且 R=2r=l,θ=45°。
求 A,E支座的约束力及 BD杆所受的力。
解：取整体为研究对象，
受力如图 (a)。由平衡方程
0)F( =∑
E
M
0
2
5
22 = lPlF
A
0=∑
x
F
045cos =+°
ExA
FF
0=∑
y
F
045sin =?+° PFF
EyA
为方便求解二力杆 BD的受力，取图（ b）
所示系统为研究对象。有
0)F( =∑
B
M
0=?+ RFrP
K
2
P
F
K
=
0)F( =∑
C
M
02'245cos =?+° lFlFlF
ExKDB
PF
DB
8
23
=
（杆 BD受拉）
PF
A
8
25
=
PF
Ex
8
5
=
PF
Ey
8
13
=
得得得再取 DE杆为研究对象，受力如图
（ c），由平衡方程解得得例 5,已知,P,a，各构件重量及摩擦不计；
求,A,B处的约束反力。
P
F
Ax F
Bx
F
Ay
F
By
(a)
解：先取整体为研究对象，其受力如图 (a)示。
020 == aPaFM
AyB
Σ
2
P
F
Ay
=
00 =?+= PFFF
ByAyy
Σ
PF
By
2
3
=
由得得
F
Dx
F
Dy
F
E
(b)
(c)
F
Ax
F
Ay
F
E
'
F
Cx
P
F
Cy
(b)
F
Ax
F
Ay
F
Dx
F
Dy
F
E
(c)
F
E
'
P
F
Cx
F
Cy
取 EC杆，其受力如图（ c）所示，由
PFaPaFM
EEC
2'045sin'0
0
=== 得Σ
取 AED杆，其受力如图（ b）所示，由
2
02220
P
FaFaFaFM
AxAxAyED
==?+= 得Σ
再取整体，其受力如图（ a）所示，由
2
00
P
FFFF
BxBxAxx
==+= 得Σ
例6,图中小球的半径为 r,重 P,圆筒的半径为 R。
求,圆筒不致翻倒的最小重量 Q
min
。
AB
Q
P
P
2R
解,(1) 研究整体,临界状态受力如图。
N N
B
QR + Pr +(P –N)(2R –r) = 0
Σ M
B
(F) = 0,
P
P
N
(2) 研究两小球,受力如图。
min
2(1 )
r
QP
R
=?
Σ F
y
= 0,
N – 2P = 0
课后作业,P
78 -79
4-13
4-15,(b),(d)
4-16,(b)