第三节 简化结果的分析 合力矩定理
1.平面力系的简化结果
将平面力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶和平衡。
力系向任一点 O简化
主矢 主矩 简化结果
说明
0=
O
M
平衡 平衡力系
0
'
=
R
F
0≠
O
M
合力偶 主矩与简化中心位置无关
0=
O
M
合力作用线通过简化中心
0
'
≠
R
F
0≠
O
M
合力
合力作用线离简化中心距离
'
R
O
F
M
d =
'
F
M
d =
2、合力矩定理
()
OR R O
M FFdM= =
)(F
OO
MM ∑=
() ()
OR O
MM=∑F F
合力对某一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。
在长方形平板的 O,A,B,C点上分别作用着有四个力：
F
1
=1 kN,F
2
=2 kN,F
3
=F
4
=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对 O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。
F
1
O
A
B
C
x
y
2 2
m m
3m
30°°
60°°
F
2
F
3
F
4
∑
=
′
xx
FF
R
°++°?= 30 cos60 cos
432
FFF
kN 598.0=
建立如图坐标系建立如图坐标系
Oxy。
。
F
1
F
2
F
3
F
4
O
A
B
C
x
y
2 2
m m
3m
30°°
60°°
1.求主矢求主矢
。
。
R
F
′
解：
解：
求向 O点简化结果
∑
=
′
yy
F
R
F
′
°+°?= 30 sin60 sin
421
FFF
kN 768.0=
kN 794.0
2
R
2
RR
=
′
+
′
=
′
yx
FFF
所以，主矢的大小所以，主矢的大小
() 614.0cos
R
R
R
=
′
′
=
′
F
F
x
i,F
.
′
′
′
x
,
() 789.0,cos
R
R
R
=
′
′
=
′
F
F
y
jF
.,
′
′
′
y
主矢的方向：
主矢的方向：
( ) °=′∠ 1.52
R
i,F
′
.,
( ) °=
′
∠ 9.37j,F
R
′
.,
F
1
F
2
F
3
F
4
O
A
B
C
x
y
2 2
m m
3m
30°°
60°°
2,求主矩求主矩
M
O
( )
∑
= F
OO
MM
°+?°= 30sin3260cos2
432
FF F
mkN?= 5.0
F
R
d
O
A
B
C
x
y
M
O
R
F
′
最后合成结果最后合成结果由于主矢和主矩都不为零，所以由于主矢和主矩都不为零，所以最后合最后合成结果是一个合力成结果是一个合力
F
R
。
。
如右图所示。
如右图所示。
RR
FF
′
=
m 51.0
R
=
′
=
F
M
d
O
合力合力
F
R
到到
O点的点的距离距离第四节 平面力系的平衡条件与平衡方程
1．平面力系的平衡条件平面 力系 平衡 的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零
=
=
0M
O
R
0F
'
2．平面力系的平衡方程
=∑
=∑
=∑
0
0
0
(F)M
F
F
O
y
x
3．平衡方程的其它形式
（ 1）二力矩式
=∑
=∑
=∑
0
0
0
x
B
A
F
(F)M
(F)M
式中 A,B连线不能与 x轴垂直。
（ 2）三力矩式
=∑
=∑
=∑
0)(M
0)(M
0)(M
C
B
A
F
F
F
式中 A,B,C三点不能共线。
4．平面平行力系的平衡方程
=∑
=∑
0
0
(F)M
F
A
y
式中轴与各力平行,A为平面上任一点。
=∑
=∑
0)(M
0)(M
B
A
F
F
式中 A、B 连线不能与各力平行。
例1,起重机重 P
1
=10kN，可绕铅直轴转动，起吊 P
2
=40kN的重物，如图所示。
尺寸如图所示。求止推轴承 A和轴承 B处的约束力。
解：取起重机为研究对象，作受力图如图示。建立图示坐标系，由平衡方程
0)( =∑ F
A
M
kNPPF
B
317.03.0
21
==
05.35.15
21
= PPF
B
00 =+=∑
BAxx
FFF
kNFF
BAx
31=?=
00
21
==∑ PPFF
Ayy
kNPPF
Ay
50
21
=+=
F
B
为负值，说明它的方向与假设的相反。
例 2、外伸梁的尺寸及载荷如图所示，试求铰支座 A及辊轴支座
B的约束力。
解：取 AB梁为研究对象，受力如图所示。建立图示坐标系，
由平衡方程
0=∑
x
F
060cos5.1 =°×?
Ax
F
75.0=
Ax
F
0)( =∑ F
A
M
0)5.15.2(60sin5.15.122.15.2 =+×°×?××
B
F
75.3)460sin5.132.1(
5.2
1
=×°×++=
B
F
0=∑
y
F
060sin5.12 =°×+
BAy
FF
得
kN
kN
得
45.075.360sin5.12?=?°×+=
Ay
F kN得
F
Ay
的方向与假设的相反。
例 3,高炉上料小车如图 a所示。
料车连同所装的料共重 P=24kN，
重心在点 C。已知,a=100cm，
b=140cm,d=140cm,e=100cm，
α=55°。求料车匀速上升时钢索的拉力 F及轨道对车轮 A和 B
的约束力（摩擦不计）。
解：取小车为研究对象。受力如图 b所示。建立图示坐标系，
由平衡方程
0=∑
x
F
0sin =? αPF
0=∑
y
F 0cos =?+ αPFF
NBNA
0)( =∑ FM
A
0sincos)( =?+++? ePaPbaFFd
NB
αα
6.196sin == αPF kN
kN2.90)/()sincos( =++= baePaPFdF
NB
αα
6.4755cos2402.90cos =°+?=+?= aPFF
NBNA
kN
得得得为避免解联立方程，常常希望写出只包含一 个未知力的方程。例如，在本例中如只需求解 F
NB
，可取 F
NA
和
F两个力作用线的交点 D为矩心，力矩平衡方程
0)F( =∑
D
M
0)(sincos)( =+ edPaPbaF
NB
αα
)/(]sin)(cos[ baedaPF
NB
+?+= αα
得
4.2/)819.04.0574.01(240 ×+×=
kN2.90=
例 4,塔式起重机如图所示。机架重
P
1
=700kN，作用线通过塔架的中心。
最大起重量 P
2
=200kN，最大悬臂长为
12m，轨道 AB的间距为 4m。平衡重 P
3
到机身中心线距离为 6m。
（ 1）保证起重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重 P
3
应为多少？
（ 2）当平衡重 P
3
=180kN时，求满载时轨道 A,B的约束力。
解：（ 1）起重机受力如图。满载时，在起重机即将绕 B点翻倒的临界情况，有 F
A
=0。由此可求出平衡重 P
3
的最小值。
0)F( =∑
B
M
0)212(2)26(
21min3
=++ PPP
75)210(
8
1
12min3
=?= PPP
kN
空载时，载荷 P
2
=0。在起重机即将绕 A点翻倒的临界情况，有
F
B
=0。由此可求出 P
3
的最大值。
0)F( =∑
A
M
02)26(
1max3
= PP
350
4
2
1
max3
==
P
P
kN
实际工作时，起重机不致翻到的平衡重取值范围为
kN350PkN75
3
<<
（ 2）当 P
3
=180kN时，由平面平行力系的平衡方程
0)F( =∑
A
M
04)212(2)26(
213
=?++
B
FPPP
870
4
4214
312
=
+
=
PPP
F
B
kN
得
0=∑Y
0
213
=++
BA
FFPPP
kN210=
A
F
得结果校核：由多余的方程
0)F( =∑
B
M 04)212(2)26(
213
=++
A
FPPP
210
4
1028
213
=
+
=
PPP
F
A
kN得 结果相同，计算无误。
现将解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下,
1．根据问题条件和要求，选取研究对象。
2．分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对象所受的全部主动力和约束力。
3．根据受力类型列写平衡方程。平面一般力系只有三个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少。
4．求未知量。校核和讨论计算结果。
课后作业,P
75-76
4-1
4-3,(c),(d)
4-4,(b),(c)
4-6
4-13
1.平面力系的简化结果
将平面力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶和平衡。
力系向任一点 O简化
主矢 主矩 简化结果
说明
0=
O
M
平衡 平衡力系
0
'
=
R
F
0≠
O
M
合力偶 主矩与简化中心位置无关
0=
O
M
合力作用线通过简化中心
0
'
≠
R
F
0≠
O
M
合力
合力作用线离简化中心距离
'
R
O
F
M
d =
'
F
M
d =
2、合力矩定理
()
OR R O
M FFdM= =
)(F
OO
MM ∑=
() ()
OR O
MM=∑F F
合力对某一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。
在长方形平板的 O,A,B,C点上分别作用着有四个力：
F
1
=1 kN,F
2
=2 kN,F
3
=F
4
=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对 O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。
F
1
O
A
B
C
x
y
2 2
m m
3m
30°°
60°°
F
2
F
3
F
4
∑
=
′
xx
FF
R
°++°?= 30 cos60 cos
432
FFF
kN 598.0=
建立如图坐标系建立如图坐标系
Oxy。
。
F
1
F
2
F
3
F
4
O
A
B
C
x
y
2 2
m m
3m
30°°
60°°
1.求主矢求主矢
。
。
R
F
′
解：
解：
求向 O点简化结果
∑
=
′
yy
F
R
F
′
°+°?= 30 sin60 sin
421
FFF
kN 768.0=
kN 794.0
2
R
2
RR
=
′
+
′
=
′
yx
FFF
所以，主矢的大小所以，主矢的大小
() 614.0cos
R
R
R
=
′
′
=
′
F
F
x
i,F
.
′
′
′
x
,
() 789.0,cos
R
R
R
=
′
′
=
′
F
F
y
jF
.,
′
′
′
y
主矢的方向：
主矢的方向：
( ) °=′∠ 1.52
R
i,F
′
.,
( ) °=
′
∠ 9.37j,F
R
′
.,
F
1
F
2
F
3
F
4
O
A
B
C
x
y
2 2
m m
3m
30°°
60°°
2,求主矩求主矩
M
O
( )
∑
= F
OO
MM
°+?°= 30sin3260cos2
432
FF F
mkN?= 5.0
F
R
d
O
A
B
C
x
y
M
O
R
F
′
最后合成结果最后合成结果由于主矢和主矩都不为零，所以由于主矢和主矩都不为零，所以最后合最后合成结果是一个合力成结果是一个合力
F
R
。
。
如右图所示。
如右图所示。
RR
FF
′
=
m 51.0
R
=
′
=
F
M
d
O
合力合力
F
R
到到
O点的点的距离距离第四节 平面力系的平衡条件与平衡方程
1．平面力系的平衡条件平面 力系 平衡 的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零
=
=
0M
O
R
0F
'
2．平面力系的平衡方程
=∑
=∑
=∑
0
0
0
(F)M
F
F
O
y
x
3．平衡方程的其它形式
（ 1）二力矩式
=∑
=∑
=∑
0
0
0
x
B
A
F
(F)M
(F)M
式中 A,B连线不能与 x轴垂直。
（ 2）三力矩式
=∑
=∑
=∑
0)(M
0)(M
0)(M
C
B
A
F
F
F
式中 A,B,C三点不能共线。
4．平面平行力系的平衡方程
=∑
=∑
0
0
(F)M
F
A
y
式中轴与各力平行,A为平面上任一点。
=∑
=∑
0)(M
0)(M
B
A
F
F
式中 A、B 连线不能与各力平行。
例1,起重机重 P
1
=10kN，可绕铅直轴转动，起吊 P
2
=40kN的重物，如图所示。
尺寸如图所示。求止推轴承 A和轴承 B处的约束力。
解：取起重机为研究对象，作受力图如图示。建立图示坐标系，由平衡方程
0)( =∑ F
A
M
kNPPF
B
317.03.0
21
==
05.35.15
21
= PPF
B
00 =+=∑
BAxx
FFF
kNFF
BAx
31=?=
00
21
==∑ PPFF
Ayy
kNPPF
Ay
50
21
=+=
F
B
为负值，说明它的方向与假设的相反。
例 2、外伸梁的尺寸及载荷如图所示，试求铰支座 A及辊轴支座
B的约束力。
解：取 AB梁为研究对象，受力如图所示。建立图示坐标系，
由平衡方程
0=∑
x
F
060cos5.1 =°×?
Ax
F
75.0=
Ax
F
0)( =∑ F
A
M
0)5.15.2(60sin5.15.122.15.2 =+×°×?××
B
F
75.3)460sin5.132.1(
5.2
1
=×°×++=
B
F
0=∑
y
F
060sin5.12 =°×+
BAy
FF
得
kN
kN
得
45.075.360sin5.12?=?°×+=
Ay
F kN得
F
Ay
的方向与假设的相反。
例 3,高炉上料小车如图 a所示。
料车连同所装的料共重 P=24kN，
重心在点 C。已知,a=100cm，
b=140cm,d=140cm,e=100cm，
α=55°。求料车匀速上升时钢索的拉力 F及轨道对车轮 A和 B
的约束力（摩擦不计）。
解：取小车为研究对象。受力如图 b所示。建立图示坐标系，
由平衡方程
0=∑
x
F
0sin =? αPF
0=∑
y
F 0cos =?+ αPFF
NBNA
0)( =∑ FM
A
0sincos)( =?+++? ePaPbaFFd
NB
αα
6.196sin == αPF kN
kN2.90)/()sincos( =++= baePaPFdF
NB
αα
6.4755cos2402.90cos =°+?=+?= aPFF
NBNA
kN
得得得为避免解联立方程，常常希望写出只包含一 个未知力的方程。例如，在本例中如只需求解 F
NB
，可取 F
NA
和
F两个力作用线的交点 D为矩心，力矩平衡方程
0)F( =∑
D
M
0)(sincos)( =+ edPaPbaF
NB
αα
)/(]sin)(cos[ baedaPF
NB
+?+= αα
得
4.2/)819.04.0574.01(240 ×+×=
kN2.90=
例 4,塔式起重机如图所示。机架重
P
1
=700kN，作用线通过塔架的中心。
最大起重量 P
2
=200kN，最大悬臂长为
12m，轨道 AB的间距为 4m。平衡重 P
3
到机身中心线距离为 6m。
（ 1）保证起重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重 P
3
应为多少？
（ 2）当平衡重 P
3
=180kN时，求满载时轨道 A,B的约束力。
解：（ 1）起重机受力如图。满载时，在起重机即将绕 B点翻倒的临界情况，有 F
A
=0。由此可求出平衡重 P
3
的最小值。
0)F( =∑
B
M
0)212(2)26(
21min3
=++ PPP
75)210(
8
1
12min3
=?= PPP
kN
空载时，载荷 P
2
=0。在起重机即将绕 A点翻倒的临界情况，有
F
B
=0。由此可求出 P
3
的最大值。
0)F( =∑
A
M
02)26(
1max3
= PP
350
4
2
1
max3
==
P
P
kN
实际工作时，起重机不致翻到的平衡重取值范围为
kN350PkN75
3
<<
（ 2）当 P
3
=180kN时，由平面平行力系的平衡方程
0)F( =∑
A
M
04)212(2)26(
213
=?++
B
FPPP
870
4
4214
312
=
+
=
PPP
F
B
kN
得
0=∑Y
0
213
=++
BA
FFPPP
kN210=
A
F
得结果校核：由多余的方程
0)F( =∑
B
M 04)212(2)26(
213
=++
A
FPPP
210
4
1028
213
=
+
=
PPP
F
A
kN得 结果相同，计算无误。
现将解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下,
1．根据问题条件和要求，选取研究对象。
2．分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对象所受的全部主动力和约束力。
3．根据受力类型列写平衡方程。平面一般力系只有三个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少。
4．求未知量。校核和讨论计算结果。
课后作业,P
75-76
4-1
4-3,(c),(d)
4-4,(b),(c)
4-6
4-13
