第十三章 动量矩定理质系动量矩定理建立了质系动量矩的变化率与作用于质系上外力系的主矩之间的关系。
§13-1 质点系的动量矩定理
■质点及质点系的动量矩质点的动量 mv对固定点 O之矩称为质点的 动量矩 或 角动量,记为
L
O
= M
O
(mv) = r× mv
式中 r是质点 m相对于矩心 O的矢径。 质 点相对固定点的动量矩 L
O
通常看成是位于矩心 O处的定位矢量。
单位：千克?米
2
/秒(kg?m
2
/s)
r
O
h
Plane determined
by O and mv
mv
m
L
O
=M
O
(mv)=r× mv
质点相对固定点的动量矩质点相对固定点的动量矩
L
O
= M
O
(mv) = r× mv
kjir zyx ++=
kjiv
zyx
mvmvmvm ++=
vrvM m)(m
O
×=
zyx
mvmvmv
zyx
kji
=
kji )yvm(xv)xvm(zv)zvm(yv
xyzxyz
+?+?=
式中所以因此,动量矩在坐标轴上的投影，即对坐标轴之矩 为
=?=
=?=
=?=
)
dt
dx
y
dt
dy
m(x)yvm(xv)(mM
)
dt
dz
x
dt
dx
m(z)xvm(zv)(mM
)
dt
dy
z
dt
dz
m(y)zvm(yv)(mM
xyz
zxy
yzx
v
v
v
质点系内所有质点对 O点的动量矩的矢量和称为 质点系对 O点的动量矩,即
L
O
= ∑ L
Oi
= ∑ r
i
× m
i
v
i
质点系对某固定点的动量矩即是质点系的动量系对该点的主矩。 质点系的动量矩也是量度质点系整体运动的基本特征量之一。
质系动量矩在坐标轴上的投影，即对坐标轴之矩 为
∑
∑
∑
=
=
=
(mv)ML
(mv)ML
(mv)ML
zz
yy
xx
■质点系的动量矩定理考虑由 n个质点组成的质点系,其中第 i个质点对固定点 O的动量矩为
L
Oi
= r
i
× m
i
v
i
式中 F
i
e
是作用于第 i个质点的外力 的合力,F
i
i
是作用于该质点的内力的合力。
dd d
dd d
()
Oi i
ii i
mm
tt t
Lr
vr v=× +×
ei
d
d
()
iii i
m
t
vFF= +
ei
d
d
Oi
ii ii
t
L
rF rF=× +×
ei
() ()
Oi Oi
MF MF=+
上式两边对时间求导数得
ei
d
d
() ()
Oi
Oi Oi
t
L
MF MF=+
∑∑ ∑
ei
d
d
Oi
ii ii
t
L
rF rF=× +×
ei
() ()
Oi Oi
M FMF=+
上式对 i求和得
e
d
d
()
O
Oi
t
L
M F=
∑
即 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数,
等于作用于质点系的所有外力对同一点的矩的矢量和。 这就是 质点系 (对固定点 )的动量矩定理 。
e
d
d
()
O
Oi
t
L
M F=
∑
动量矩定理的投影形式,
e
e
e
d
d
d
d
d
d
()
()
()
x
x
y
y
z
i
i
iz
L
M
t
L
M
t
L
M
t
F
F
F
=
=
=
∑
∑
∑
即 质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的所有外力对同一轴的矩的代数和。
e
d
d
()
O
Oi
t
L
MF=
∑
■质点系的动量矩守恒
(1) ∑ M
O
(F
i
e
)≡ 0 L
O
= 常矢量
(2) ∑ M
z
(F
i
e
)≡ 0 L
z
= 常数若作用于质点系的外力对某一固定点若作用于质点系的外力对某一固定点
(固定轴固定轴
)
的矩的矢量和的矩的矢量和
(代数和代数和
)恒等于零恒等于零
,则该质点系对同则该质点系对同一点一点
(同一轴同一轴
)的动量矩保持不变的动量矩保持不变
——质点系的动质点系的动量矩守恒量矩守恒
。
。
质点系动量矩的变化仅仅决定于外力系的主矩,而与内力无关。
例1,水平杆 AB长为 2a，可绕铅垂轴 z转动，其两端各用铰链与长为 l的杆 AC及 BD相连，杆端各联结重为 P的小球 C和 D。起初两小球用细线相连，使杆 AC与
BD均为铅垂，系统绕 z轴的角速度为 ω。如某瞬时此细线拉断后，杆 AC与 BD各与铅垂线成 α角，如图所示。
不计各杆重量，求这时系统的角速度。
解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些力对 z轴之矩都等于零。所以系统对 z轴的动量矩守恒。
0)(
)(
=∑
e
z
M F
即常数=
z
G
0
2
0z1
ωa
g
P
2aaω
g
P
2G =
=开始时系统的动量矩为
()ωα
2
sinla
g
P
2G
z2
+=
细线拉断后的动量矩为
ωαω
2
0
2
)sin(22 la
g
P
a
g
P
+=
0
2
2
)sin(
ω
α
ω
la
a
+
=
由 G
z1
=G
z2
，有由此求出细线拉断后的角速度两人 A,B同时爬绳，设两人质量相同，不计绳重及摩擦。试讨论下面几种情形：
（ 1） A以绝对速度 u爬绳,B不爬，问 B的绝对速度为多少？
（ 2）开 始时 两人 静止在同一高度，而后两人分别以相对于绳子的速度 u
A
,u
B
同时爬绳，问谁先到达顶点？
（ 3） *（ 2）中绳子移动的速度为多少？
（ 4）象这样的爬绳比赛能比出谁的力气大吗?
§13-2 刚体的定轴转动微分方程
■定轴转动刚体对转轴的动量矩
r
i
m
i
v
i
ω
z
L
zi
= m
i
v
i
r
i
= m
i
r
i
2
ω
L
z
= ω∑ m
i
r
i
2
令 J
z
= ∑ m
i
r
i
2
称为 刚体对轴的转动惯量 。
L
z
= J
z
ω
L
z
= J
z
ω
上式表明,定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与转动角速度之积 。 L
z
与 ω同符号。
■刚体定轴转动微分方程
e
d
d
()
z
z i
L
M
t
F=
∑
L
z
= J
z
ω
J
z
α = J
z
φ =∑ M
z
(F
i
e
)
上式称为 刚体定轴转动微分方程 。
J
z
α = J
z
φ =∑ M
z
(F
i
e
)
1．由于约束力对 z轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。
2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
Fa ∑=m)F(
zz
MJ ∑=α
与形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。
转动惯量的物理意义,当外力矩不变时,J
z
越大,则
α越小,即刚体的转动惯量越大,其保持原有运动状态的惯性也越大。因此,就像质量是质点运动的惯性量度一样,
刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的量度刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的量度
。
。
在工程中，常将转动惯量表示为
2
ρMJ
z
=
式中 M为刚体的质量,ρ称为 回转半径,单位为 m
或 cm。
回转半径的 物理意义 为：若将物体的质量集中在以 ρ为半径,Oz为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。或者说，设刚体的质量都集中于与转轴 Oz
相距为 ρ的点上，则此集中的质量对于 Oz轴的转动惯量与原有刚体的转动惯量相同。
例 2,如图示,半径为 R、质量为 m、对转轴 O的回转半径为 ρ
O
的飞轮以角速度 ω
O
绕水平轴转动。
闸块在正压力 F
N
作用下使飞轮制动,闸块与轮之间的摩擦系数为 f,试问飞轮要转过多大的角度才能停止下来?
O F
N
ω
O
解,以飞轮为研究对象,由定轴转动微分方程有
J
O
(dω/dt) = –FR mρ
O
2
(dω/dt) = –F
N
fR
O
ω
O
F
N
F
ddd d
ddddtt
==∵
φωω ω
ω
φφ
N
d= dmFfR
2
O
ρ ωω φ?
2
N
=
2
m
FfR
2
OO
ρ ω
φ
O
G
φ
C
φ
例 3,如图示,重 G的物理摆对转轴 O的回转半径为 ρ
O
,OC=b,试求摆的运动微分方程。
解,由定轴转动微分方程有
J
O
φ = － Gb sin φ
因为
J
O
= Gρ
O
2
/g
故
φ + (gb sin φ)/ρ
O
2
= 0
作微振动时,sin φ ≈ φ,则有
φ + gbφ/ρ
O
2
= 0
例 4、两个质量为 m
1
,m
2
的重物分别系在绳子的两端，如图所示。两绳分别绕在半径为 r
1
,r
2
并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对 O轴的转动惯量为 J
O
，重为 W，求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。
解：以整个系统为研究对象，系统受力如图。系统的动量矩为
ω)(
2
22
2
11
rmrmJ
O
++=
+= ω
OO
JG
+ω
2
11
rm ω
2
22
rm
由动量矩定理
(F)M
dt
dG
O
O
∑=
2211
2
22
2
11
)( grmgrmrmrmJ
O
=++ α有
2211
2
22
2
11
)( grmgrmrmrmJ
O
=++ α
所以鼓轮的角加速度为
g
rmrmJ
rmrm
O
2
22
2
11
2211
++
=α
应用质心运动定理
Xxm ∑=∑
0=
O
X由得
Yym ∑=∑
由
WgmgmYrmrm
O
=+?
212211
αα
g
rmrmJ
rmrm
WgmmY
O
O
2
22
2
11
2
2211
21
)(
)(
++
++=
得例5,转动惯量分别为 J
1
=100Kg?m
2
和 J
2
=80Kg?m
2
的两个飞轮分别装在轴Ⅰ和轴Ⅱ上，齿数比为 i
12
=1.5的两齿轮将转动从轴Ⅰ
传到轴Ⅱ，如图 (a)所示。轴Ⅰ由静止开始以匀加速度转动，10秒后其角速度达到1500r/min。求需加在轴Ⅰ上的转动力矩及两轮间的切向压力 P。已知 r
1
=10cm，不计各齿轮和轴的转动惯量。
解：分别取轴Ⅰ和轴Ⅱ 为研究对象，受力如图 b,c所示。
分别建立两轴的转动微分方程
111
rPMJ=α
222
rPJ?
′
=α
PP =
′
12
2
1
2
1
1
2
,i
z
z
r
r
===
α
α
1
2
2
1
21
α
+=
z
z
JJM
1
2
2
1
1
2
α
=
z
z
r
J
P
2
1
1
rad/s7.15==
t
ω
α
kN3.28m,kN4.4 =?= PM
因又将已知数据代入后，得于是得
§13-1 质点系的动量矩定理
■质点及质点系的动量矩质点的动量 mv对固定点 O之矩称为质点的 动量矩 或 角动量,记为
L
O
= M
O
(mv) = r× mv
式中 r是质点 m相对于矩心 O的矢径。 质 点相对固定点的动量矩 L
O
通常看成是位于矩心 O处的定位矢量。
单位：千克?米
2
/秒(kg?m
2
/s)
r
O
h
Plane determined
by O and mv
mv
m
L
O
=M
O
(mv)=r× mv
质点相对固定点的动量矩质点相对固定点的动量矩
L
O
= M
O
(mv) = r× mv
kjir zyx ++=
kjiv
zyx
mvmvmvm ++=
vrvM m)(m
O
×=
zyx
mvmvmv
zyx
kji
=
kji )yvm(xv)xvm(zv)zvm(yv
xyzxyz
+?+?=
式中所以因此,动量矩在坐标轴上的投影，即对坐标轴之矩 为
=?=
=?=
=?=
)
dt
dx
y
dt
dy
m(x)yvm(xv)(mM
)
dt
dz
x
dt
dx
m(z)xvm(zv)(mM
)
dt
dy
z
dt
dz
m(y)zvm(yv)(mM
xyz
zxy
yzx
v
v
v
质点系内所有质点对 O点的动量矩的矢量和称为 质点系对 O点的动量矩,即
L
O
= ∑ L
Oi
= ∑ r
i
× m
i
v
i
质点系对某固定点的动量矩即是质点系的动量系对该点的主矩。 质点系的动量矩也是量度质点系整体运动的基本特征量之一。
质系动量矩在坐标轴上的投影，即对坐标轴之矩 为
∑
∑
∑
=
=
=
(mv)ML
(mv)ML
(mv)ML
zz
yy
xx
■质点系的动量矩定理考虑由 n个质点组成的质点系,其中第 i个质点对固定点 O的动量矩为
L
Oi
= r
i
× m
i
v
i
式中 F
i
e
是作用于第 i个质点的外力 的合力,F
i
i
是作用于该质点的内力的合力。
dd d
dd d
()
Oi i
ii i
mm
tt t
Lr
vr v=× +×
ei
d
d
()
iii i
m
t
vFF= +
ei
d
d
Oi
ii ii
t
L
rF rF=× +×
ei
() ()
Oi Oi
MF MF=+
上式两边对时间求导数得
ei
d
d
() ()
Oi
Oi Oi
t
L
MF MF=+
∑∑ ∑
ei
d
d
Oi
ii ii
t
L
rF rF=× +×
ei
() ()
Oi Oi
M FMF=+
上式对 i求和得
e
d
d
()
O
Oi
t
L
M F=
∑
即 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数,
等于作用于质点系的所有外力对同一点的矩的矢量和。 这就是 质点系 (对固定点 )的动量矩定理 。
e
d
d
()
O
Oi
t
L
M F=
∑
动量矩定理的投影形式,
e
e
e
d
d
d
d
d
d
()
()
()
x
x
y
y
z
i
i
iz
L
M
t
L
M
t
L
M
t
F
F
F
=
=
=
∑
∑
∑
即 质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的所有外力对同一轴的矩的代数和。
e
d
d
()
O
Oi
t
L
MF=
∑
■质点系的动量矩守恒
(1) ∑ M
O
(F
i
e
)≡ 0 L
O
= 常矢量
(2) ∑ M
z
(F
i
e
)≡ 0 L
z
= 常数若作用于质点系的外力对某一固定点若作用于质点系的外力对某一固定点
(固定轴固定轴
)
的矩的矢量和的矩的矢量和
(代数和代数和
)恒等于零恒等于零
,则该质点系对同则该质点系对同一点一点
(同一轴同一轴
)的动量矩保持不变的动量矩保持不变
——质点系的动质点系的动量矩守恒量矩守恒
。
。
质点系动量矩的变化仅仅决定于外力系的主矩,而与内力无关。
例1,水平杆 AB长为 2a，可绕铅垂轴 z转动，其两端各用铰链与长为 l的杆 AC及 BD相连，杆端各联结重为 P的小球 C和 D。起初两小球用细线相连，使杆 AC与
BD均为铅垂，系统绕 z轴的角速度为 ω。如某瞬时此细线拉断后，杆 AC与 BD各与铅垂线成 α角，如图所示。
不计各杆重量，求这时系统的角速度。
解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些力对 z轴之矩都等于零。所以系统对 z轴的动量矩守恒。
0)(
)(
=∑
e
z
M F
即常数=
z
G
0
2
0z1
ωa
g
P
2aaω
g
P
2G =
=开始时系统的动量矩为
()ωα
2
sinla
g
P
2G
z2
+=
细线拉断后的动量矩为
ωαω
2
0
2
)sin(22 la
g
P
a
g
P
+=
0
2
2
)sin(
ω
α
ω
la
a
+
=
由 G
z1
=G
z2
，有由此求出细线拉断后的角速度两人 A,B同时爬绳，设两人质量相同，不计绳重及摩擦。试讨论下面几种情形：
（ 1） A以绝对速度 u爬绳,B不爬，问 B的绝对速度为多少？
（ 2）开 始时 两人 静止在同一高度，而后两人分别以相对于绳子的速度 u
A
,u
B
同时爬绳，问谁先到达顶点？
（ 3） *（ 2）中绳子移动的速度为多少？
（ 4）象这样的爬绳比赛能比出谁的力气大吗?
§13-2 刚体的定轴转动微分方程
■定轴转动刚体对转轴的动量矩
r
i
m
i
v
i
ω
z
L
zi
= m
i
v
i
r
i
= m
i
r
i
2
ω
L
z
= ω∑ m
i
r
i
2
令 J
z
= ∑ m
i
r
i
2
称为 刚体对轴的转动惯量 。
L
z
= J
z
ω
L
z
= J
z
ω
上式表明,定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与转动角速度之积 。 L
z
与 ω同符号。
■刚体定轴转动微分方程
e
d
d
()
z
z i
L
M
t
F=
∑
L
z
= J
z
ω
J
z
α = J
z
φ =∑ M
z
(F
i
e
)
上式称为 刚体定轴转动微分方程 。
J
z
α = J
z
φ =∑ M
z
(F
i
e
)
1．由于约束力对 z轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。
2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
Fa ∑=m)F(
zz
MJ ∑=α
与形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。
转动惯量的物理意义,当外力矩不变时,J
z
越大,则
α越小,即刚体的转动惯量越大,其保持原有运动状态的惯性也越大。因此,就像质量是质点运动的惯性量度一样,
刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的量度刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的量度
。
。
在工程中，常将转动惯量表示为
2
ρMJ
z
=
式中 M为刚体的质量,ρ称为 回转半径,单位为 m
或 cm。
回转半径的 物理意义 为：若将物体的质量集中在以 ρ为半径,Oz为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。或者说，设刚体的质量都集中于与转轴 Oz
相距为 ρ的点上，则此集中的质量对于 Oz轴的转动惯量与原有刚体的转动惯量相同。
例 2,如图示,半径为 R、质量为 m、对转轴 O的回转半径为 ρ
O
的飞轮以角速度 ω
O
绕水平轴转动。
闸块在正压力 F
N
作用下使飞轮制动,闸块与轮之间的摩擦系数为 f,试问飞轮要转过多大的角度才能停止下来?
O F
N
ω
O
解,以飞轮为研究对象,由定轴转动微分方程有
J
O
(dω/dt) = –FR mρ
O
2
(dω/dt) = –F
N
fR
O
ω
O
F
N
F
ddd d
ddddtt
==∵
φωω ω
ω
φφ
N
d= dmFfR
2
O
ρ ωω φ?
2
N
=
2
m
FfR
2
OO
ρ ω
φ
O
G
φ
C
φ
例 3,如图示,重 G的物理摆对转轴 O的回转半径为 ρ
O
,OC=b,试求摆的运动微分方程。
解,由定轴转动微分方程有
J
O
φ = － Gb sin φ
因为
J
O
= Gρ
O
2
/g
故
φ + (gb sin φ)/ρ
O
2
= 0
作微振动时,sin φ ≈ φ,则有
φ + gbφ/ρ
O
2
= 0
例 4、两个质量为 m
1
,m
2
的重物分别系在绳子的两端，如图所示。两绳分别绕在半径为 r
1
,r
2
并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对 O轴的转动惯量为 J
O
，重为 W，求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。
解：以整个系统为研究对象，系统受力如图。系统的动量矩为
ω)(
2
22
2
11
rmrmJ
O
++=
+= ω
OO
JG
+ω
2
11
rm ω
2
22
rm
由动量矩定理
(F)M
dt
dG
O
O
∑=
2211
2
22
2
11
)( grmgrmrmrmJ
O
=++ α有
2211
2
22
2
11
)( grmgrmrmrmJ
O
=++ α
所以鼓轮的角加速度为
g
rmrmJ
rmrm
O
2
22
2
11
2211
++
=α
应用质心运动定理
Xxm ∑=∑
0=
O
X由得
Yym ∑=∑
由
WgmgmYrmrm
O
=+?
212211
αα
g
rmrmJ
rmrm
WgmmY
O
O
2
22
2
11
2
2211
21
)(
)(
++
++=
得例5,转动惯量分别为 J
1
=100Kg?m
2
和 J
2
=80Kg?m
2
的两个飞轮分别装在轴Ⅰ和轴Ⅱ上，齿数比为 i
12
=1.5的两齿轮将转动从轴Ⅰ
传到轴Ⅱ，如图 (a)所示。轴Ⅰ由静止开始以匀加速度转动，10秒后其角速度达到1500r/min。求需加在轴Ⅰ上的转动力矩及两轮间的切向压力 P。已知 r
1
=10cm，不计各齿轮和轴的转动惯量。
解：分别取轴Ⅰ和轴Ⅱ 为研究对象，受力如图 b,c所示。
分别建立两轴的转动微分方程
111
rPMJ=α
222
rPJ?
′
=α
PP =
′
12
2
1
2
1
1
2
,i
z
z
r
r
===
α
α
1
2
2
1
21
α
+=
z
z
JJM
1
2
2
1
1
2
α
=
z
z
r
J
P
2
1
1
rad/s7.15==
t
ω
α
kN3.28m,kN4.4 =?= PM
因又将已知数据代入后，得于是得
