§14-2 质系和刚体的动能
1,质系的动能设质系由n个质点组成，任一质点M
i
在某瞬时的动能为
2
2
1
iii
vmT =
质系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质系的动能，即
2
2
1
mvT
∑
=
动能是描述质系运动强度的一个物理量。动能的单位与功的单位相同。
2．平动刚体的动能当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平动刚体的动能为
2
2
1
mvT
∑
=
∑
= mv
2
2
1
2
2
1
C
mv=
3．定轴转动刚体的动能当刚体绕固定轴转动时，
如图示，其上任一点的速度为
ω
ii
rv =
于是绕定轴转动刚体的动能为
2
2
1
ii
vmT
∑
=
zii
Jrm =
∑
2
为刚体对z轴的转动惯量，所以得
2
2
1
ω
z
JT =
2
2
1
C
mvT =
∑
=
22
2
1
ω
ii
rm
22
2
1
ii
rm
∑
= ω
4．平面运动刚体的动能
2
2
1
ω
C
JT
′
=
根据转动惯量的平行轴定理有
2
mdJJ
CC
+=
′
代入上式得
222
)(
2
1
2
1
ωω mdJJT
CC
+==
′
C
vd =ω
22
2
1
2
1
ω
CC
JmvT +=
，因此
222
2
1
2
1
ωω mdJ
C
+=
而上式表明，平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。
R
C
ω
(b)
O
R
C
ω
(a)
C
R
v
(c)
O
2
2
1
ω
C
JT =
22
2
1
2
1
ω= mR
22
4
1
ωmR=
(a):
2
2
1
ω
O
JT =
222
2
1
2
1
ω
+= mRmR
22
4
3
ωmR=
(b):
2
2
1
ω
O
JT =
2
22
2
1
2
1
+=
R
v
mRmR
2
4
3
mv=(c):
O
α
O
ω
ω
A A
(d)
(e)
2
2
1
ω
O
JT =
2
2
1
ω
O
JT =
()
2
2
sin
3
1
2
1
ωα= lm
22
3
1
2
1
ω= ml
αω
222
sin
6
1
ml=
22
6
1
ωml=
例2 均质杆AB靠在光滑墙面上，已知杆的质量为m，杆长l。图示瞬时B点的速度为v
B
，? =60°。设地面光滑。求此时杆的动能。
解：杆AB作平面运动，点D是速度瞬心，质心速度
ω?= CDv
C
sin2 l
vl
B
=
sin2
B
v
=
v
A
v
C
C
A
D
22
2
1
2
1
ω
CC
JmvT +=
2
0
2
2
0
60sin122
1
60sin22
1
+
=
l
vmlv
m
BB
B
v
B
2
9
2
B
mv=
动能也可用下法求得
( )
222
2
1
2
1
ωω CDmJJT
CD
+==
2
2
0
2
2
9
2
60sin212
1
2
1
B
B
mv
l
vl
mml =
+=
O
C
ω
例3,质量为m的均质杆与相同质量的均质小球固结,以角速度ω绕轴O转动,如图示。已知杆长为l,小球半径为r,求组合体的动能(小球对直径轴的转动惯量为2mr
2
/5 )。
()lrrl
m
rlmmrmlJ
O
302120
15
)(
5
2
3
1
22
222
++=
+++=
( )
2222
302120
302
1
ωω lrrl
m
JT
O
++==
例4,己知长l的杆和半径为r的均质圆盘质量均为m,
均质圆盘沿水平面纯滚,质心速度为u，试求图示位置时系统的动能。
A
B
C
u
O
2u
22
2)2(
2
1
muumT
AB
==
2
2
22
4
3
2
1
2
1
2
1
mu
r
u
mrmuT
C
=
+=
2
4
11
muTTT
ABC
=+=
例5.己知m、u,α = 45°,杆重不计,均质圆盘沿斜面纯滚,试求系统的动能。
m
m
u
α
O
u
u
C
2
2
3
muT =