§13-3 刚体对轴的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为
2
iiz
rmJ ∑=
如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式
∫
=
m
z
dmrJ
2
转动惯量为一恒正标量，其值决定于轴的位置、刚体的质量及其分布而与运动状态无关。
1．简单形状的均质刚体转动惯量的计算
（1）长为l，质量为m的均质细长杆，如上图a所示，对于过质心C且与杆的轴线相垂直的z轴的转动惯量为
∫
==
2
2
22
12
1
l
l
z
mldxx
l
m
J
dx
l
m
2
xdx
l
m
如上图b所示，对于过杆端A且与z轴平行的z
1
轴的转动惯量为
∫
==
l
z
mldxx
l
m
J
0
22
1
3
1
（2）均质矩形薄板的边长为a与b，质量为M（如下图所示），
对于y轴的转动惯量
222
3
1
3
1
3
1
MamamaJ
z
=∑=?∑=
b
O
x
y
同理可得矩形薄板对x轴的转动惯量
2
3
1
MbJ
z
=
a
（3）均质细圆环的半径为R，质量为M（如下图所示），对于垂直于圆环平面过中心O的z轴的转动惯量
222
MRmRmRJ
z
=?∑=?∑=
R
x
y
O(z)
（4）半径为R，质量为m的均质薄圆盘，如下图所示，对于过中心O与圆盘平面相垂直的z轴的转动惯量。
图中所示圆环的质量为
rdr
R
m
dm π
π
2
2
= rdr
R
m
2
2
=
此圆环对于z轴的转动惯量为
drr
R
m
dmr
3
2
2
2
=
于是整个圆盘对于z轴的转动惯量为
∫
==
R
z
mRdrr
R
m
J
0
23
2
2
12
2．转动惯量的平行轴定理定理：刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即
2
mdJJ
zCz
+=
′
证明：如图所示，设C为刚体的质心，刚体对于过质心的轴z的转动惯量为
)(
222
iiiiizC
yxmrmJ +∑=∑=
对于与z轴平行的另一轴的转动惯量为
)'(
222
iiiiiz
yxmrmJ
′
+∑=
′
∑=
′
由于
dyyxx
iiii
+=
′
=
′
,
于是上式变为
[ ] [ ]
mdymdyxm
ddyyxmdyxmJ
iiiiii
iiiiiiiz
∑+∑++∑=
+++∑=++∑=
′
222
22222
2)(
2)(
[ ] [ ]
iiiiii
iiiiiiiz
mdymdyxm
ddyyxmdyxmJ
∑+∑++∑=
+++∑=++∑=
′
222
22222
2)(
2)(
式中
0==∑
Cii
myym
于是得
2
mdJJ
zCz
+=
′
在应用时注意以下几点：
（1）两轴互相平行；
（2）其中一轴过质心；
（3）过质心的轴的转动惯量最小。
例1、均质杆AB长l，质量为
M，B端焊接圆盘。圆盘质量为m，
半径为r，视为均质。计算系统对轴A、轴D的转动惯量J
A
、J
D
。
解：
+++=
222
)(
2
1
3
1
rlmmrMlJ
A
++
++=
2222
2
1
)2
2
(
12
1
mrmrr
l
MMlJ
D
A
s
d
s
2
)sin)(( αρ sdsdJ
z
=
dssJ
l
z
∫
=
0
22
sin αρ
αα
2223
sin
3
1
sin
3
1
Mll
l
M
=?=
例2、均质杆AB长l，质量为M，
与轴z的夹角为α，计算其对轴z的转动惯量J
z
。
解：设杆的线密度为ρ，微段ds
对轴z的转动惯量为
α
杆AB对轴z的转动惯量为B
z
例3、角钢每肢长b，质量为M。计算角钢对轴O的转动惯量J
O
。
解：
+++= )
4
(
12
1
3
1
2
222
b
bMMbMbJ
O
2
3
5
Mb=
课后作业：
13-1、13-3、13-7、13-9、13-11
2
iiz
rmJ ∑=
如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式
∫
=
m
z
dmrJ
2
转动惯量为一恒正标量，其值决定于轴的位置、刚体的质量及其分布而与运动状态无关。
1．简单形状的均质刚体转动惯量的计算
（1）长为l，质量为m的均质细长杆，如上图a所示，对于过质心C且与杆的轴线相垂直的z轴的转动惯量为
∫
==
2
2
22
12
1
l
l
z
mldxx
l
m
J
dx
l
m
2
xdx
l
m
如上图b所示，对于过杆端A且与z轴平行的z
1
轴的转动惯量为
∫
==
l
z
mldxx
l
m
J
0
22
1
3
1
（2）均质矩形薄板的边长为a与b，质量为M（如下图所示），
对于y轴的转动惯量
222
3
1
3
1
3
1
MamamaJ
z
=∑=?∑=
b
O
x
y
同理可得矩形薄板对x轴的转动惯量
2
3
1
MbJ
z
=
a
（3）均质细圆环的半径为R，质量为M（如下图所示），对于垂直于圆环平面过中心O的z轴的转动惯量
222
MRmRmRJ
z
=?∑=?∑=
R
x
y
O(z)
（4）半径为R，质量为m的均质薄圆盘，如下图所示，对于过中心O与圆盘平面相垂直的z轴的转动惯量。
图中所示圆环的质量为
rdr
R
m
dm π
π
2
2
= rdr
R
m
2
2
=
此圆环对于z轴的转动惯量为
drr
R
m
dmr
3
2
2
2
=
于是整个圆盘对于z轴的转动惯量为
∫
==
R
z
mRdrr
R
m
J
0
23
2
2
12
2．转动惯量的平行轴定理定理：刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即
2
mdJJ
zCz
+=
′
证明：如图所示，设C为刚体的质心，刚体对于过质心的轴z的转动惯量为
)(
222
iiiiizC
yxmrmJ +∑=∑=
对于与z轴平行的另一轴的转动惯量为
)'(
222
iiiiiz
yxmrmJ
′
+∑=
′
∑=
′
由于
dyyxx
iiii
+=
′
=
′
,
于是上式变为
[ ] [ ]
mdymdyxm
ddyyxmdyxmJ
iiiiii
iiiiiiiz
∑+∑++∑=
+++∑=++∑=
′
222
22222
2)(
2)(
[ ] [ ]
iiiiii
iiiiiiiz
mdymdyxm
ddyyxmdyxmJ
∑+∑++∑=
+++∑=++∑=
′
222
22222
2)(
2)(
式中
0==∑
Cii
myym
于是得
2
mdJJ
zCz
+=
′
在应用时注意以下几点：
（1）两轴互相平行；
（2）其中一轴过质心；
（3）过质心的轴的转动惯量最小。
例1、均质杆AB长l，质量为
M，B端焊接圆盘。圆盘质量为m，
半径为r，视为均质。计算系统对轴A、轴D的转动惯量J
A
、J
D
。
解：
+++=
222
)(
2
1
3
1
rlmmrMlJ
A
++
++=
2222
2
1
)2
2
(
12
1
mrmrr
l
MMlJ
D
A
s
d
s
2
)sin)(( αρ sdsdJ
z
=
dssJ
l
z
∫
=
0
22
sin αρ
αα
2223
sin
3
1
sin
3
1
Mll
l
M
=?=
例2、均质杆AB长l，质量为M，
与轴z的夹角为α，计算其对轴z的转动惯量J
z
。
解：设杆的线密度为ρ，微段ds
对轴z的转动惯量为
α
杆AB对轴z的转动惯量为B
z
例3、角钢每肢长b，质量为M。计算角钢对轴O的转动惯量J
O
。
解：
+++= )
4
(
12
1
3
1
2
222
b
bMMbMbJ
O
2
3
5
Mb=
课后作业：
13-1、13-3、13-7、13-9、13-11
