§5-3 具有滑动摩擦的平衡问题考虑滑动摩擦的平衡问题与前几章所述大致相同，但有如下特点：
1．受力分析时必需考虑接触面的摩擦力；
2．除平衡方程外，还必须列写补充方程,F ≤ fN，补充方程数等于摩擦力的个数；
3．平衡问题的解是一个范围，称为平衡范围。
例 1,物块重 P=1500N，放于倾角为
30
o
的斜面上，它与斜面间的静摩擦系数为 f=0.2，动摩擦系数 f
′
=0.18。物块受水平力 G=400N，如图所示。问物块是否静止，
并求此时摩擦力的大小与方向。
解：取物块为研究对象，假设物体静止,摩擦力沿斜面向下，
受力如图。由平衡方程
030cos30sin0 =?+?=∑ FGPX
D D
030sin30cos0 =+=∑ NGPY
D D
N6.403?=F N1499=N
F为负值，说明平衡时摩擦力方向与所设的相反，即沿斜面向上。
最大摩擦力为
N8.299
max
== fNF
解得结果表明,|F|>F
max
，这是不可能的，说明物块将向下滑动。动滑动摩擦力的方向沿斜面向上，大小为
N8.269=
′
=
′
NfF
例 2,水平面上迭放着物块 A和 B，分别重 P
A
=100N
和 P
B
=80N。物块 B用拉紧的水平绳子系在固定点，如图 a。
已知物块 A和支承面间、两物块间的摩擦系数分别是
f
1
=0.8和 f
2
=0.6。求自左向右推动物块 A所需的最小水平力 P。
解：取物块 B，受力如图 (b)。得
B
PN =
′
2
取物块 A，受力如图 (c)。有
'
22
NN =
00
21
==∑ FFPX
00
21
==∑
A
PNNY
111
NfF =
,
222
NfF =
解得
BAA
PPNPN +=+=
21
221121
NfNfFFP +=+=
BA
PffPf )(
211
++=
N19280)6.08.0(1008.0 =×++×=P
如自右向左推，则绳子将放松，物块
A和 B将作为整体一起被推动。这时所需的最小水平推力为
N144)(
1
=+=
BA
PPfP
B
P=
代入数据，求得自左向右推动物块的最小水平力由平衡方程设物块处于临界平衡状态，有补充方程例 3,凸轮机构如图 a
所示。已知推杆与滑道间的摩擦系数为 f，滑道宽度为 b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问 a为多大，推杆才不致被卡住。
解：取推杆为研究对象。受力如图 (b)所示，由于推杆有向上滑动趋势，摩擦力的方向向下。由平衡方程
NNNX
BA
===∑ 0
00 =+=∑ FFFY
BA
①
②
0
22
0)( =+=∑
d
F
d
FbNFaM
ABBD
F
③
考虑平衡的临界情况，有
AAA
fNFF ==
max
BBB
fNFF ==
max
④
⑤
代入式①；由式②得
max
2FF =
最后代入式③，解得
f
b
a
2
max
=
下面讨论解的范围。当 a 增大时，相当在推杆上增加一个逆时针向转动的力偶，从而增加了 A,B两处的正压力，加大最大摩擦力，系统仍将保持平衡。反之，如力 F左移，将减小最大摩擦力，系统不能平衡，推杆向上滑动。可知推杆不致卡住的条件应是
f
b
a
2
<
如将式④和⑤改为 F
A
≤ fN
A
和 F
B
≤ fN
B
，解不等式，仍可得出此条件。
再用摩擦角概念即几何法求解。当推杆在临界平衡时，全反力 R
A
和 R
B
与水平线的夹角等于摩擦角。由三力平衡条件可知,R
A
,R
B
和 F必交于 C点，
如图 (c)所示。得到
bbcos?
f
a
2sin2
max
==
推杆平衡时，全反力与法线间的夹角必满足条件,α≤?
0
，由图可知，三力交点必在图示阴影区内，在点C左侧不 可能相交。因此，推杆不被卡住的条件应是
f
b
a
2
<
而当 时，无论推力 F多大也不能推动杆，推杆将被卡住，即发生摩擦自锁。
f
b
a
2
≥
课后作业：
5-2,5-7
1．受力分析时必需考虑接触面的摩擦力；
2．除平衡方程外，还必须列写补充方程,F ≤ fN，补充方程数等于摩擦力的个数；
3．平衡问题的解是一个范围，称为平衡范围。
例 1,物块重 P=1500N，放于倾角为
30
o
的斜面上，它与斜面间的静摩擦系数为 f=0.2，动摩擦系数 f
′
=0.18。物块受水平力 G=400N，如图所示。问物块是否静止，
并求此时摩擦力的大小与方向。
解：取物块为研究对象，假设物体静止,摩擦力沿斜面向下，
受力如图。由平衡方程
030cos30sin0 =?+?=∑ FGPX
D D
030sin30cos0 =+=∑ NGPY
D D
N6.403?=F N1499=N
F为负值，说明平衡时摩擦力方向与所设的相反，即沿斜面向上。
最大摩擦力为
N8.299
max
== fNF
解得结果表明,|F|>F
max
，这是不可能的，说明物块将向下滑动。动滑动摩擦力的方向沿斜面向上，大小为
N8.269=
′
=
′
NfF
例 2,水平面上迭放着物块 A和 B，分别重 P
A
=100N
和 P
B
=80N。物块 B用拉紧的水平绳子系在固定点，如图 a。
已知物块 A和支承面间、两物块间的摩擦系数分别是
f
1
=0.8和 f
2
=0.6。求自左向右推动物块 A所需的最小水平力 P。
解：取物块 B，受力如图 (b)。得
B
PN =
′
2
取物块 A，受力如图 (c)。有
'
22
NN =
00
21
==∑ FFPX
00
21
==∑
A
PNNY
111
NfF =
,
222
NfF =
解得
BAA
PPNPN +=+=
21
221121
NfNfFFP +=+=
BA
PffPf )(
211
++=
N19280)6.08.0(1008.0 =×++×=P
如自右向左推，则绳子将放松，物块
A和 B将作为整体一起被推动。这时所需的最小水平推力为
N144)(
1
=+=
BA
PPfP
B
P=
代入数据，求得自左向右推动物块的最小水平力由平衡方程设物块处于临界平衡状态，有补充方程例 3,凸轮机构如图 a
所示。已知推杆与滑道间的摩擦系数为 f，滑道宽度为 b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问 a为多大，推杆才不致被卡住。
解：取推杆为研究对象。受力如图 (b)所示，由于推杆有向上滑动趋势，摩擦力的方向向下。由平衡方程
NNNX
BA
===∑ 0
00 =+=∑ FFFY
BA
①
②
0
22
0)( =+=∑
d
F
d
FbNFaM
ABBD
F
③
考虑平衡的临界情况，有
AAA
fNFF ==
max
BBB
fNFF ==
max
④
⑤
代入式①；由式②得
max
2FF =
最后代入式③，解得
f
b
a
2
max
=
下面讨论解的范围。当 a 增大时，相当在推杆上增加一个逆时针向转动的力偶，从而增加了 A,B两处的正压力，加大最大摩擦力，系统仍将保持平衡。反之，如力 F左移，将减小最大摩擦力，系统不能平衡，推杆向上滑动。可知推杆不致卡住的条件应是
f
b
a
2
<
如将式④和⑤改为 F
A
≤ fN
A
和 F
B
≤ fN
B
，解不等式，仍可得出此条件。
再用摩擦角概念即几何法求解。当推杆在临界平衡时，全反力 R
A
和 R
B
与水平线的夹角等于摩擦角。由三力平衡条件可知,R
A
,R
B
和 F必交于 C点，
如图 (c)所示。得到
bbcos?
f
a
2sin2
max
==
推杆平衡时，全反力与法线间的夹角必满足条件,α≤?
0
，由图可知，三力交点必在图示阴影区内，在点C左侧不 可能相交。因此，推杆不被卡住的条件应是
f
b
a
2
<
而当 时，无论推力 F多大也不能推动杆，推杆将被卡住，即发生摩擦自锁。
f
b
a
2
≥
课后作业：
5-2,5-7
