§7-3 自然法
1．弧坐标形式的运动方程
( ) ( )tstfs ==
2．自然轴系
(+)
（ 1）曲线的曲率
M
M′
s τ
τ′
τ′
s
s
k
=
——平均曲率
s
k
lim
0?s
→
=
——曲率
s
k
1
ρ
lim
0?s→
==
O′
——曲率半径
（ 2）自然轴系
nτb ×=
3,点的速度
t
r
limv
0?t→
=
（ 1）速度的绝对值
dt
ds
t
s
lim
t
r
limv
0?t0?t
===
→→
（ 2）速度的方向
v 沿切线方向
ττv v
dt
ds
==
当时，v 与 τ 同向，点沿轨迹正向运动。
0>
dt
ds
当时，v 与 τ反向，点沿轨迹负向运动。0<
dt
ds
4．点的加速度
()
dt
d
v
dt
dv
v
dt
d
dt
d τ
ττ
v
a +===
τa
τ
dt
dv
=
dt
dv
a =
τ
——切向加速度：反映速度大小随时间的变化率，沿切线方向。
n
τ
a
n
ρ
2
v
dt
d
v ==
ρ
2
v
a
n
=
——法向加速度：反映速度方向随时间的变化率，沿法线方向，恒指向曲线凹侧。
nτ
aaa +=
2
n
2
aaa +=
τ
n
a
a
arctg
τ
=
结论：
加速度方向,α加速度大小：
几种特殊情况：
1、直线运动
τa
dt
dv
=
∞=ρ
0
2
==
ρ
v
a
n
2、匀速曲线运动
C
dt
ds
v ==
0==
dt
dv
a
τ
na
ρ
2
v
=
vtss +=
0
由 ds=vdt，积分得运动方程,
C
dt
dv
a ==
τ
3、匀变速曲线运动由
dv dta
τ
=
积分得
tavv
τ
+=
0
2
00
2
1
tatvss
τ
++=
又由 ds=vdt，积分得由前两式消去时间 t，则得
)(2
0
2
0
2
ssavv?=?
5．小结自然法适用于描述点沿已知轨迹的运动。
（ 1）运动方程式
( ) ( )tstfs ==
（ 2）点的速度
τττv s
dt
ds
v
===
（ 3）点的加速度
nτnτaaa
nτ
ρ
v
dt
sd
ρ
v
dt
dv
2
2
22
+=+=+=
讨论,
（ 1） aτ ·v>0,点作加速运动,aτ与 v 同向。
（ 2） aτ ·v<0,点作减速运动,aτ与 v 反向。
例 1,半径为 r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚），
设轮子转角? =ωt（ ω为常值），
如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点 M的运动方程，并求该点的速度、
切向加速度及法向加速度。
解：取? =0 时点 M与直线轨道的接触点 O为原点，建立直角坐标系 Oxy（如图所示）。当轮子转过? 时，轮子与直线轨道的接触点为 C。由于是纯滚动，有
︵
rMCOC ==
则，用直角坐标表示的 M点的运动方程为：
=?=
=?=
) ωt cos1 ( rMcosOCOy
) ωt sinωt ( rMsinOOCx
11
1
上式对时间求导，即得
==
==
ωt sin rωyv
) ωt cos1 ( rωxv
y
x
①
②
M点的速度为
)20(
2
sin2cos22
22
πω
ω
ωωω ≤≤=?=+= t
t
rtrvvv
yx
③
取 M的起始点 O为弧坐标原点，将上式积分，即得用弧坐标表示的运动方程：
)20(
2
cos14
2
sin2
0
πω
ωω
ω ≤≤
==
∫
t
t
rdt
t
rs
t
将式（ 2）再对时间求导，即得加速度在直角坐标系上的投影：
tryatrxa
yx
ωωωω cossin
22
====
④
由此得到全加速度
2
y
raaa ω=+=
22
x
将式（ 3）对时间求导即得点 M的切向加速度
2
cos
2
t
rva
==
ω
ω
τ
法向加速度
2
sin
222
t
raaa
n
=?=
ω
ω
τ ⑤
z 运动方程式 ① 实际上也是点 M运动轨迹的参数方程
（以 t为参变量）。这是一个摆线（或称旋轮线）方程，
这表明 M点的运动轨迹是摆线，如图所示。
z 当 t=2π/ω时,?=2π，这时点 M运动到与地面相接触的位置。由式 ③ 知，此时点 M的速度为零，这表明沿地面作纯滚动的轮子与地面接触点的速度为零。另一方面，由于点 M全加速度的大小恒为 rω2，因此纯滚动的轮子与地面接触点的速度虽然为零，但加速度却不为零。将 t=2π/ω代入式 ④,得
2
yx
raa ω==,0
即接触点得加速度方向向上。
例 2,列车沿半径为 R=800m 的圆弧轨道作匀加速运动。（见右图）如初速度为零，经过 2min 后，速度达到
54km/h。求起点和末点的加速度。
解：由于列车沿圆弧轨道作匀加速运动，切向加速度 a
τ
等于恒量。于是有
tavv
τ
+=
0
因 v
0
=0,当 t = 2min =120 s时,v =54 km/h =15m/s，代入上式，求得
2
m/s125.0
120
15
==
τ
a
2
m/s125.0=
τ
a
0
2
==
ρ
v
a
n
2
m/s125.0=
τ
a
2
22
m/s281.0
800
15
===
R
v
a
n
2
22
m/s308.0=+=
nτ
aaa
在起点,
在末点,
443.0tg ==
n
τ
a
a
θ
4523
′
=
D
θ
课后作业,P
154 -155
7-3,7-5,7-7,7-9
1．弧坐标形式的运动方程
( ) ( )tstfs ==
2．自然轴系
(+)
（ 1）曲线的曲率
M
M′
s τ
τ′
τ′
s
s
k
=
——平均曲率
s
k
lim
0?s
→
=
——曲率
s
k
1
ρ
lim
0?s→
==
O′
——曲率半径
（ 2）自然轴系
nτb ×=
3,点的速度
t
r
limv
0?t→
=
（ 1）速度的绝对值
dt
ds
t
s
lim
t
r
limv
0?t0?t
===
→→
（ 2）速度的方向
v 沿切线方向
ττv v
dt
ds
==
当时，v 与 τ 同向，点沿轨迹正向运动。
0>
dt
ds
当时，v 与 τ反向，点沿轨迹负向运动。0<
dt
ds
4．点的加速度
()
dt
d
v
dt
dv
v
dt
d
dt
d τ
ττ
v
a +===
τa
τ
dt
dv
=
dt
dv
a =
τ
——切向加速度：反映速度大小随时间的变化率，沿切线方向。
n
τ
a
n
ρ
2
v
dt
d
v ==
ρ
2
v
a
n
=
——法向加速度：反映速度方向随时间的变化率，沿法线方向，恒指向曲线凹侧。
nτ
aaa +=
2
n
2
aaa +=
τ
n
a
a
arctg
τ
=
结论：
加速度方向,α加速度大小：
几种特殊情况：
1、直线运动
τa
dt
dv
=
∞=ρ
0
2
==
ρ
v
a
n
2、匀速曲线运动
C
dt
ds
v ==
0==
dt
dv
a
τ
na
ρ
2
v
=
vtss +=
0
由 ds=vdt，积分得运动方程,
C
dt
dv
a ==
τ
3、匀变速曲线运动由
dv dta
τ
=
积分得
tavv
τ
+=
0
2
00
2
1
tatvss
τ
++=
又由 ds=vdt，积分得由前两式消去时间 t，则得
)(2
0
2
0
2
ssavv?=?
5．小结自然法适用于描述点沿已知轨迹的运动。
（ 1）运动方程式
( ) ( )tstfs ==
（ 2）点的速度
τττv s
dt
ds
v
===
（ 3）点的加速度
nτnτaaa
nτ
ρ
v
dt
sd
ρ
v
dt
dv
2
2
22
+=+=+=
讨论,
（ 1） aτ ·v>0,点作加速运动,aτ与 v 同向。
（ 2） aτ ·v<0,点作减速运动,aτ与 v 反向。
例 1,半径为 r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚），
设轮子转角? =ωt（ ω为常值），
如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点 M的运动方程，并求该点的速度、
切向加速度及法向加速度。
解：取? =0 时点 M与直线轨道的接触点 O为原点，建立直角坐标系 Oxy（如图所示）。当轮子转过? 时，轮子与直线轨道的接触点为 C。由于是纯滚动，有
︵
rMCOC ==
则，用直角坐标表示的 M点的运动方程为：
=?=
=?=
) ωt cos1 ( rMcosOCOy
) ωt sinωt ( rMsinOOCx
11
1
上式对时间求导，即得
==
==
ωt sin rωyv
) ωt cos1 ( rωxv
y
x
①
②
M点的速度为
)20(
2
sin2cos22
22
πω
ω
ωωω ≤≤=?=+= t
t
rtrvvv
yx
③
取 M的起始点 O为弧坐标原点，将上式积分，即得用弧坐标表示的运动方程：
)20(
2
cos14
2
sin2
0
πω
ωω
ω ≤≤
==
∫
t
t
rdt
t
rs
t
将式（ 2）再对时间求导，即得加速度在直角坐标系上的投影：
tryatrxa
yx
ωωωω cossin
22
====
④
由此得到全加速度
2
y
raaa ω=+=
22
x
将式（ 3）对时间求导即得点 M的切向加速度
2
cos
2
t
rva
==
ω
ω
τ
法向加速度
2
sin
222
t
raaa
n
=?=
ω
ω
τ ⑤
z 运动方程式 ① 实际上也是点 M运动轨迹的参数方程
（以 t为参变量）。这是一个摆线（或称旋轮线）方程，
这表明 M点的运动轨迹是摆线，如图所示。
z 当 t=2π/ω时,?=2π，这时点 M运动到与地面相接触的位置。由式 ③ 知，此时点 M的速度为零，这表明沿地面作纯滚动的轮子与地面接触点的速度为零。另一方面，由于点 M全加速度的大小恒为 rω2，因此纯滚动的轮子与地面接触点的速度虽然为零，但加速度却不为零。将 t=2π/ω代入式 ④,得
2
yx
raa ω==,0
即接触点得加速度方向向上。
例 2,列车沿半径为 R=800m 的圆弧轨道作匀加速运动。（见右图）如初速度为零，经过 2min 后，速度达到
54km/h。求起点和末点的加速度。
解：由于列车沿圆弧轨道作匀加速运动，切向加速度 a
τ
等于恒量。于是有
tavv
τ
+=
0
因 v
0
=0,当 t = 2min =120 s时,v =54 km/h =15m/s，代入上式，求得
2
m/s125.0
120
15
==
τ
a
2
m/s125.0=
τ
a
0
2
==
ρ
v
a
n
2
m/s125.0=
τ
a
2
22
m/s281.0
800
15
===
R
v
a
n
2
22
m/s308.0=+=
nτ
aaa
在起点,
在末点,
443.0tg ==
n
τ
a
a
θ
4523
′
=
D
θ
课后作业,P
154 -155
7-3,7-5,7-7,7-9
