§ 6-4 力对点之矩和力对轴之矩
1、
、
力对点之矩力对点之矩在空间力系中，力对点之矩可用一个矢量表示，记为 M
O
(F)。如图所示。
FrFM
O
×=)(
力 F对 O点之矩可表示为由上式及右图可知
（ 1）力对点之矩依赖于矩心的位置，
是定位矢量。
（ 2）力矩的大小
OABhF?=?= 2(F)M
O
（ 3）力对点之矩的解析式为
=×= FrFM )(
O
zyx
FFF
zyx
kji
kji )()()(
xyzxyz
yFxFxFzFzFyF?+?+?=
2、
、
力对轴之矩力对轴之矩力对轴之矩是力使物体绕某轴转动效果的度量。
（ 1）定义力对轴之矩力对轴之矩等于该力在与轴垂直的平面上的投影对轴与平面交点之矩。如图所示。
)()(
xyOz
MM FF =
OAbhF
xy
±=?±= 2
力对轴之矩是代数量，表示力矩的大小和转向，并按右手规则确定其正负号，拇指指向与轴一致为正，反之为负。
力与轴平行或相交时，力对该轴之矩等于零。
（
（
2）力对轴之矩的解析式
）力对轴之矩的解析式如图所示 F
x
,F
y
,F
z
和 x,y,z 分别为力在坐标轴上投影和力作用点的坐标。由合力矩定理得到
=
=
=
xyz
zxy
yzx
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
)(
)(
)(
式中各量均为代数量。
3、力对点之矩与力对轴之矩的关系
、力对点之矩与力对轴之矩的关系
kji(F)M
O
)()()(
xyzxyz
yFxFxFzFzFyF?+?+?=
=
=
=
xyz
zxy
yzx
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
)(
)(
)(
将上式投影到三个坐标轴上，得
=
=
=
xyz
zxy
yzx
yFxF
xFzF
zFyF
][
][
][
(F)M
(F)M
(F)M
O
O
O
力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩。上式可表为
kFjFiFFM )()()()(
zyxO
MMM ++=
例手 柄 ABCE在平面 Axy内，在 D处作用一个力 F，如图所示，它在垂直于 y轴的平面内，偏离铅直线的角度为 α。如 CD=a，
杆 BC平行于 x轴，杆 CD平行于 y轴,AB和 BC的长度都等于 l。试求力 F 对 x,y和 z轴之矩。
解：将力 F 沿坐标轴分解为 F
x
和
F
z
两个分力，其中 F
x
=Fsinα，
F
z
=Fcosα。由合力矩定理,有
)()()( CDABFMM
zxx
+?==
z
FF
αα cos)( +?= lF
αcos)()( FlBCFMM
zyy
=?==
z
FF
)()()( CDABFFMFM
xxzz
+?==
下面再用力对轴之矩的解析式计算。力在 x,y,z 轴上的投影为
αα cos,0,sin FFFFF
zyx
===
力作用点的坐标为
0,,=+=?= zalylx
由公式得
αα cos)(0)cos)(()( alFFalzFyFM
yzx
+?=+=?=F
αα cos)cos)((0)( FlFlxFzFM
zxy
==?=F
αα sin)()sin)((0)( alFFalyFxFM
xyz
+?=+?=?=F
αsin)( alF +?=