第三章 利率期限结构
Interest rates and forecasts of their future
values are among the most important inputs
into an investment decision.
投资者关注所投资的证券的风险和期望收益，无风险利率作为评价投资机会的基准。
– 利率作为投资的比较标准,投资决策的第一原则 (the first principle of investment)
货币政策，调节经济的工具
– 降息
– 增加货币供应量
1,利率的基本理论
利率 通常又称为货币的 时间价值
名义利率 (nominal interest rate)
实际利率 (real interest rate)
例如,假设在某一年,名义利率是 7%,消费价格指标从 121增加为 124。 这意味着,在基准年值 100元的商品和服务簇,在这一年初的价格为 121元,而到了这一年年末,价格为
124元 。 这个商品和服务簇的所有者能够在年初以价格 121元卖掉它,并以 7%的利率投资,
在 年 末,得到 129.47(=1211.07) 元,用这
129.47元马上可以买 1.0441(=129.47/124)个商品 和 服 务 簇 。 所以,实 际 利 率 为
4.41%(=1.0441-1)。
消费价格指标 (consumer price index) （或者生活成本指标）
=年初的消费价格指标
=年末的消费价格指标
NIR=名义利率
RIR=实际利率
0C
R I RC N I RC 1)1(
1
0
1C
这里 CCL表示通货膨胀率
R I RC C LN I R 111
C C LN IRR IR
两种计算利率的方式,简单利率计算
(simple interest) 和 复利的计算
(compound interest)。
– 简单利率计算
在简单利率计算的规则下,总值随时间的增加而线性增加 。
– 复利的计算
在复利计算的规则下,总值随时间的增加而以指数增加 。
– 连续复利计算 (continuous compounding)
2,利率的确定
Forecasting interest rate is one of the most
notoriously difficult parts of applied
macroeconomics.
三个基本因素确定实际利率
– 储户的供给
– 商业的需求
– 政府行为
财政政策
货币政策
尽管存在许多种利率（和证券的种类一样多），经济学家所说的利率是一种有代表性的利率，我们利用这种抽象的概念来说明市场如何确定均衡利率。
利率的确定
Interest rate
Supply
equilibrium
real rate of
interest
Demand
Equilibrium funds lent Funds
E
'E
尽管决定实利率的基本因素是个人的储蓄倾向和投资的预期生产，政府的货币政策和财政政策也影响实利率。
交易是无成本的,市场是可以自由进出的
信息是对称的和可以无偿获得地
存在很多交易者,没有哪一个交易者的行为对证券的价格产生影响
无税收,无买,卖空限制
证券无限可分,借贷利率相等
3,完全竞争的金融市场（完善市场）
均衡利息率的唯一性
折现值：折现值和利息是在时间上相对的两个概念 。
如果年利率为,每年平均分成期，则在 期末的现金流的折现因子为
0r m
k
kk
m
r
d
1
1
4,固定收入证券的定价公式
现金流的折现值公式：给定现金流和利率,这个现金流的折现值为
n
n
r
x
r
x
r
xxPV
111 2
21
0?
nxxx,,,10?
r
永久性现金流
– 每期的市场无风险利率为,从第一期期末开始,每期末支付的数量为,则永久性年金的价格为,
r
A
r
A
r
A
P
k
k
1 1
有限期限的现金流
– 一共有 期,从第一期期末开始,每一期支付的金额为,在第期期末结束 。 假设每期的市场无风险利率为,则有限期限的现金流的价格为：
A
r
n
n
n
k
k rr
A
r
A
P
1
1
1
11
到期收益
现货利率
远期利率
5,几种利率的定义及性质
5.1 到期收益
债券的到期收益 (yield to maturity)指的是,
由银行支付给投资者的,使得投资者在将来能够获得该债券承诺的所有支付的唯一利率 （ 在某个特定的时间区间以此利率计算复利 ） 。 我们也可以这样定义：
如果用其作为折现率,所有现金支付
（ 包括利息和本金 ） 的现值正好等于其价格 。
– 假设债券的面值为,每年支付 m次利息,每次支付的利息为,债券的价格为 P,则到期收益是使得下式成立的 的值
F
mC
n
k
kn
m
m
C
m
F
P
1
11
– 上式中的第一项是面值的现值,第 k项是第 k次利息的现值 。 以名义利率 为基础,所有支付的现值和为债券的价格 。 如果按这种定义方式,到期收益类似于投资决策里的内部收益率 (internal rate of return)。 每一种债券的到期收益是由债券自己的结构决定的,具有独有的特性 。
– 三种国库券分别称为 A,B,C。 债券 A一年到期,在到期日,投资者获得 1000元 。 同样地,债券 B两年到期,
在到期日,投资者获得 1000元 。 债券 C是带息债券
(coupon bond),从现在开始,这种债券每年支付 50元的利息,两年到期,在到期日,支付给投资者 1050元 。
市场上三种债券的价格分别为：
债券 A（ 一年到期的纯折现债券 ）,934.58元
债券 B（ 两年到期的纯折现债券 ）,857.34元
债券 C（ 两年到期的带息债券 ）,946.93元 。
债券 A：到期收益是满足下面方程 (2.3)的 的值
债券 B：到期收益是满足下面方程 (2.4)的 的值
债券 C：到期收益是满足下面方程 (2.5)的 的值
Ar
1 0 0 058.9 3 4)1( Ar
%7?Ar
Br
1 0 0 034.8 5 7)1()1( BB rr
%8?Br
Cr
1 0 5 05093.9 4 6)1()1( CC rr
%975.7?Cr
我们在上面是用计算利息的方式来定义到期收益 。
由于折现值和利息是在时间上相对的两个概念,
所以我们下面利用计算折现值的方式来定义到期收益 。
– 对债券 A而言,方程 (2.3)等价于
– 对债券 B而言,方程 (2.4)等价于
– 对债券 C而言,方程 (2.5)等价于
Ar?
11 00 058.9 34
21
100034.857
Br?
21
1 0 5 0
1
5093.9 4 6
CC rr?
价格
500
400
300
200
100
0 5 10 15 到期收益
15%
10%5%
0%
在图 1中,价格表示为面值的百分比；价格作为纵轴,到期收益作为横轴,价格是到期收益的函数；所有债券的期限为 30年；每条曲线上的数字表示息率 。 从图 1可以看出的第一个明显的特征是它具有负的斜率,即价格与到期收益之间有相反的变化关系 。 如果到期收益上升,价格就会下降 。 原因在于,对于固定的收入流,要使得投资者的到期收益较高,投资者愿意支付的价格就越低 。
价格 —收益曲线的第二个特征是,当到期收益为
0时,即没有利率时,债券的价格正好等于它的所有支付的和 。 比如利息率为 10%的曲线,每年为 10点,一共 30年,得到 300点,再加上 100%的面值,得到的价格为 400点 。
第三个特征是当到期收益和利息率相等时,债券的价格正好等于其面值 。 例如利息率为 10%的曲线,当到期收益为 10%时,其中的价格正好等于
100点 。 这两者相等的原因在于,每年的利息支付正好等于 10%的收益,从而每年的价格保持不变,均为 100点 。 这相当于一种贷款,本金的利息每年支付,使得本金保持不变 。
第四个特征是,当到期收益越来越大时,债券的价格趋于零 。
价格
400
300
200
100
10 到期收益
30年
10年
3年
在图 2中,价格仍然为纵轴,到期收益仍为横轴,
三种债券的利息率均为 10%,但三种债券的期限分别为 30年,10年,3年 。 当到期收益为 10%时,
由上面的分析,我们知道它们的价格均等于其面值,所以它们通过共同的一点 。 但是,当到期收益偏离 10%时,各自价格变化的程度却不一样 。
可以看到,当期限增加时,收益曲线越来越陡 。
这说明,期限越长的债券,其价格对收益的敏感度就越大 。
对投资者而言,价格 —收益曲线是非常重要的 。
因为它描述了债券所具有的利率风险 。 债券持有者所面临的风险为：如果到期收益变化,债券价格也将变化 。 这是一种即时风险,只影响债券的近期价格 。 当然,如果债券持有者继续持有这种债券,直到到期日,在到期日,他得到本金和利息,这个现金流不会受到到期收益的影响,从而没有什么风险 。 但是,如果债券持有者提前卖掉债券,就会有风险 。
现货利率 (spot rate)是零息债券的到期收益 。
它是定义利率期限结构的基本利率 。
5.2 现货利率
– 如果我们存一笔钱在银行,一直到时间 t以前,银行不支付利息,而在时刻 t,利息和本金一次性支付 。 这个投资过程所获得的利率即为现货利率 。 一般来说,如果以年为计算单位,从现在 (t=0)到时间 t,投资者所持有的货币的利率即为 0到 t的现货利率,我们以 表示 。 因此,表示一年的现货利率,即,
持有货币一年的利率 。 同样,表示持有货币两年的利率,但它是以年为单位来表示的 。
这意味着,如果你存一笔钱 A在银行,银行以利率 计算复利,两年后,连本带息你可以得到 。
tS 1S
2S
AS 221?
2S
每年一期：如果每年只计算一次,则 t 年的利率为：
每年期：如果每年分为 m 期,则 t 年的利率为：
连续复利：如果连续计算复利,则 t 年 的利率为：
ttS?1
mt
t
m
S
1
tS te
– 由于现货利率与到期收益之间的关系,即零息债券的到期收益即为现货利率,理论上,
现货利率可以通过零息债券的到期收益来度量 。 因为零息债券在规定的时间支付规定数量的货币,因此,支付的数量与零息债券价格的比即为现货利率 。 由这个过程,我们也可以得到一条类似于收益曲线的现货利率曲线 。 如图 3
– 现货利率
6
5
年
图 3 现货利率曲线
确定现货利率曲线的方法 。
– 确定现货利率曲线最明显的方式是通过不同到期日的零息债券的价格来决定 。 但是,由于能够得到的零息债券的种类太少 （ 事实上,没有真正严格意义上的长期限的零息债券 ）,所以,这种方法并不切实可行 。
– 第二种方式是通过附息债券的价格来决定现货利率曲线 。 这种方式从短期限的附息债券开始,逐步向长期限的附息债券递推 。 首先,可以通过直接观察 1年的利率来确定 。 接着,考虑两年到期的债券 。 假设这种债券的价格为 P,每年支付的利息为 C,面值为 F，
则 P,F 和 C之间满足如下关系：
– 通过这个式子可以得到 。利用这种方法，依次可以求出 。
– 第三种方法,我们也可以通过利用不同的附息债券构造零息债券来确定现货利率 。
1S
221 11 S
FC
S
CP
2S
43,SS
远期利率 (forward rate)是现在确定的在将来两个时间之间的货币的利率 。
5.3 远期利率
– 考虑从现在开始到两年之后的这段时间 。 假设现货利率,已经知道 。 如果我们在银行把一块钱存两年,两年后,这块钱将变成
– 我们也可以分两步进行投资,先将这一块钱存一年,同时决定将一年后得到的本息再存一年,从第一年末到第二年末之间的利率现在就规定好,设为 。 两年后,这块钱将变成 元 。 由无套利原理,这两种投资方法的回报应该相等,即
1S 2S
221 S?
2,1f
2,11 11 fS
2,1122 111 fSS
– 例 1：远期利率的计算
N 年投资的 N 年的年 现货利率 远期利率
1 10.0
2 1 0,5
3 1 0,8
4 1 1,0
5 1 1,1
假设采用连续复利的计算方式
第 2年的远期利率由 1年和 2年的现货利率决定
2105.011.01.0 100100 eee
3108.0114.02105.0 1 0 01 0 0 eee
411.0116.03108.0 100100 eee
一般的，设 是 年的现货利率（以年利率表示），设 是 年的现货利率（以年利率表示）,则 和 之间的远期利率 为
r T
*r *T
*TT? T *T r?
TT
rTTrr
*
**
N 年投资的 N 年的年 现货利率 远期利率
1 10.0
2 1 0,5 1 1,0
3 1 0,8 1 1,4
4 1 1,0 1 1,6
5 1 1,1 1 1,5
– 零息收益曲线
利率
10
8
6
1 2 3 4 年
远期收益率与到期日之间的关系
当 时，有
当 时，从时间 开始的极短时间的远期利率为
TT Trrrr ***?
rr?*
rrr *?
TT?* T
T
rTr
当零息收益曲线单调上升时，零息收益曲线总在带息债券的收益曲线之上，而远期率曲线又在零息收益曲线之上。如下图
– 利率
– 到期日远期利率 零息收益带息债券收益
– 当零息收益曲线单调下降时，零息收益曲线总在带息债券的收益曲线之下，而远期率曲线又在零息收益曲线之下。如下图
– 利率
– 到期日远期利率零息收益带息债券收益
– 例 2：零息收益曲线的确定
如何从带息债券的价格得到零息收益曲线债券本金
（元）
到期日
（年）
年息 （元）
（每年两次）
债券价格
（元）
100
100
100
100
100
100
0,25
0,50
1,00
1.5 0
2,00
2.7 5
0
0
0
8
12
10
97,5
94,9
90,0
96,0
10 1.6
99,8
假设 是连续复利的利率,是每年复利次的等价的利率（均以年利率表示），则
由第一种证券，得到 3个月连续复利利率（以年利率表示）
cr mr m
m
rmr m
c 1ln
1013.05.97 5.21ln4
由第二种证券，得到 6个月连续复利利率（以年利率表示）
1年的利率为
1 0 4 7.09.94 1.51ln2
1 0 5 4.00.90101ln
假设 1.5年的现货利率为,则
从而
这仅仅只是与 6个月,1年的现货利率一致的现货利率
r
9610444 5.10.11054.05.01047.0 reee
1068.0?r
类似地,2年的现货利率为
6.101106
666
2
5.11068.00.11054.05.01047.0
re
eee
到目前为此，我们得到 5个不同到期日对应的现货利率，其余的可以通过线性插值方法来得到
第 6种债券前 4次红利的现值为
018.185
555
75.11 0 7 4 5.0
25.11 0 6 1.075.01 0 5 0 5.025.01 0 1 3.0
e
eee
最后两次现金流的现值为
99.8-18.018=81.782
假设 2.75年的现货利率为,则 2.25年的现货利率为
从而
得到
r
33
21 08 1.0 r
7 8 2.811 0 55 75.20 7 2 1.025.2 3 ree r
1087.0?r
5.4 远期利率与将来现货利率之间的关系
确定性市场：投资者确定地知道将来的利率值。
例子：
未来几年中每年的利率
ye a r inte re st
0 8%
1 10%
2 1 1%
3 1 1%
零息债券的价格和到期收益
T im e to m aturi t y
price
Y iel d to m atur ity
1 92 5.9 3 8.0 00 %
2 84 1.7 5 8.9 95
3 75 8.3 3 9.6 60
4 68 3.1 8 9.9 93
在确定性市场中，将来的现货利率与远期利率相等,
不管采用什么投资策略，只要投资的期限相等，所得到的收益就相等。
不确定性市场：投资者不知道将来的现货利率
假如投资者仅仅知道到期收益如下表所示，投资者关心第三年的现货利率
T im e to m aturi t y
price
Y iel d to m atur ity
1 92 5.9 3 8.0 00 %
2 84 1.7 5 8.9 95
3 75 8.3 3 9.6 60
4 68 3.1 8 9.9 93
仅仅可以知道第三年的远期利率，而第三年的远期利率不一定就等于第三年的现货利率，甚至也不等于第三年的期望现货利率。
只有当而第三年的远期利率等于第三年的现货利率时，采用一次性到期策略和滚动策略所得到的收益才相等。
远期利率是否等于现货利率依赖于投资者愿意承担风险的程度，以及愿意投资在与投资时间不相匹配的债券上的程度。
– 短期投资者
– 长期投资者
6,利率期限结构描述
把利率表示为到期日的函数,用以体现不同到期日利率的方式称为利率的期限结构
第一个问题：为什么不同期限的现货利率不同？
第二个问题：为什么这种不同会随着时间的变化而变化,为什么有时长期现货利率比短期现货利率高,而有时又正好相反？
Upward Sloping
Maturity
Flat
Maturity
Downward
Maturity
7,期限结构理论
– 7.1 无偏期望理论
无偏期望理论 (the unbiased expectations theory)又称纯期望理论 。 该理论认为,远期利率反映了广大投资者对将来现货利率的某种预期 。 因此,随着期限的增加而增加的现货利率,说明了大部分投资者预期将来的现货利率将上涨 。 相反,随着时间的增加而递减的现货利率,说明了大部分投资者预期将来的现货利率将下跌 。
上涨的收益曲线
– 例：一年的现货利率为 7%,两年的现货利率为 8%，
为什么这两个现货利率不同？ 等价地,为什么收益曲线是上涨的？
– 现在投资 1块钱,有两种投资策略
一次性到期策略
1 6 6 4.108.108.11
滚动投资策略：先投资一年,得到
再投资一年,预期现货利率 为
1） 10%：
所以 10%不能代表大众的预期
2） 6%：
同样,6%也不能代表大众的预期
3） 9.01%
07.107.11
2,1eS
177.110.107.11
1 3 4 2.106.107.11
无偏期望理论认为将来现货利率的预期值正好等于远期利率,用式子表示为：
2,12,1 feS?
由远期利率的定义有：
因此,大众预期一年期现货利率将上涨是期限结构上扬的原因；而大众预期一年期现货利率将下降是期限结构下降的原因 。
为什么大众预期预期现货利率将变化？
222,11 111 SeSS
7.2 易变性偏好理论
– 易变性偏好理论 (the liquidity preference
theory)认为投资者主要对购买短期债券有兴趣 。 即使有些投资者长时间的持有债券,但他们仍然偏好于持有较短期债券 。 原因在于,
如果他们持有较短期债券,那么,一旦他们提前需要资金时,他们所遇到的价格风险会更小 。
– 例如,一个将进行两年投资的投资者会采取滚动投资策略,即,先投资一年,在第二年初连本带息再投资一年 。 这样,一旦提前需要资金时,他在第一年末会有一定数量的现金 。 但是,如果他采用的是一步到位的到期投资策略,即购买两年期的债券,
那么,在第一年末提前需要现金时,他不得不去市场上卖掉债券 。 如果这时的价格很低,他就会遭受大的损失 。 因此,到期投资策略具有滚动投资策略没有的额外风险 。 所以,作为投资者而言,会偏好于短期债券 。 能够让投资者去购买长期债券的唯一方式就是使他相信长期债券的回报会更高,即,贷款者为了吸引投资者去购买长期债券,不得不以较高期望回报的形式支付给投资者一种风险酬金 。
– 作为贷款者,他们是愿意支付这种风险酬金的 。 首先,频繁的进行融资需要宣传,管理等大量的费用,而通过发行长期债券能够大量减少这种成本 。 其次,贷款者不愿意在将来以更高的利率进行再融资,所以,他认为长期债券比短期债券更具风险性 。
– 远期利率与将来的期望现货利率之间的差称为易变性酬金 (liquidity premium)。 这种酬金是用来补偿投资者购买更长期限债券的一种额外回报率 。 例如,以 表示从现在开始一年以后到从现在开始两年以后这一年之间的易变性酬金,则
2,1L
2,12,12,1 LeSf
– 例子：一年的现货利率为 7%，两年的现货利率为 8%，只有当一次性到期策略的期望回报率高于滚动策略的期望回报率时，投资者才选择一次性到期策略，这说明，期望现货率低于远期利率，假设为 8.6%，则易变性酬金为 9.01%-8.6%=0.41%
1)下降的收益曲线
– 只有当期望现货利率 远远低于一年期现货利率时,不等式才成立 。
– 例：当,时,
– 如果
– 则
2,11222,11 11111 fSSeSS
21 SS?
2,1eS 1S
%71?S %62?S
%01.52,1?f
%41.02,1?L
%7%6.4 12,1 SeS
2)水平收益曲线
– 只有当期望现货利率 低于一年期现货利率 时，
不等式才成立。
– 例：当,时，
– 如果
– 则
21 SS?
2,1eS 1S
%71?S %72?S
%72,1?f
%41.02,1?L
%7%59.6 12,1 SeS
3)上升的收益曲线
– 当上升的幅度不大时，
– 例：当,时，
– 如果
– 则
21 SS?
%71?S %1.72?S
%2.72,1?f
%41.02,1?L
%7%79.6 12,1 SeS
– 当上升的幅度很大时，
– 例：当,时，
– 如果
– 则
%71?S %3.72?S
%6.72,1?f
%41.02,1?L
%7%19.7 12,1 SeS
– 易变性偏好理论认为,利率期限结构单调下降表明市场预期现货利率将下降；而利率期限结构单调上升表明市场预期现货利率既可能上升也可能下降,是否上升或者下降依赖于收益曲线的斜率 。 一般来说,曲线越陡,
市场预期现货利率上涨的可能性越大 。 如果我们粗略地认为,市场估计现货利率上升与市场估计现货利率下降的可能性是一半对一半,则易变性偏好理论认为利率期限结构单调上升的频率更大 。
7.3 市场分割理论
Interest rates and forecasts of their future
values are among the most important inputs
into an investment decision.
投资者关注所投资的证券的风险和期望收益，无风险利率作为评价投资机会的基准。
– 利率作为投资的比较标准,投资决策的第一原则 (the first principle of investment)
货币政策，调节经济的工具
– 降息
– 增加货币供应量
1,利率的基本理论
利率 通常又称为货币的 时间价值
名义利率 (nominal interest rate)
实际利率 (real interest rate)
例如,假设在某一年,名义利率是 7%,消费价格指标从 121增加为 124。 这意味着,在基准年值 100元的商品和服务簇,在这一年初的价格为 121元,而到了这一年年末,价格为
124元 。 这个商品和服务簇的所有者能够在年初以价格 121元卖掉它,并以 7%的利率投资,
在 年 末,得到 129.47(=1211.07) 元,用这
129.47元马上可以买 1.0441(=129.47/124)个商品 和 服 务 簇 。 所以,实 际 利 率 为
4.41%(=1.0441-1)。
消费价格指标 (consumer price index) （或者生活成本指标）
=年初的消费价格指标
=年末的消费价格指标
NIR=名义利率
RIR=实际利率
0C
R I RC N I RC 1)1(
1
0
1C
这里 CCL表示通货膨胀率
R I RC C LN I R 111
C C LN IRR IR
两种计算利率的方式,简单利率计算
(simple interest) 和 复利的计算
(compound interest)。
– 简单利率计算
在简单利率计算的规则下,总值随时间的增加而线性增加 。
– 复利的计算
在复利计算的规则下,总值随时间的增加而以指数增加 。
– 连续复利计算 (continuous compounding)
2,利率的确定
Forecasting interest rate is one of the most
notoriously difficult parts of applied
macroeconomics.
三个基本因素确定实际利率
– 储户的供给
– 商业的需求
– 政府行为
财政政策
货币政策
尽管存在许多种利率（和证券的种类一样多），经济学家所说的利率是一种有代表性的利率，我们利用这种抽象的概念来说明市场如何确定均衡利率。
利率的确定
Interest rate
Supply
equilibrium
real rate of
interest
Demand
Equilibrium funds lent Funds
E
'E
尽管决定实利率的基本因素是个人的储蓄倾向和投资的预期生产，政府的货币政策和财政政策也影响实利率。
交易是无成本的,市场是可以自由进出的
信息是对称的和可以无偿获得地
存在很多交易者,没有哪一个交易者的行为对证券的价格产生影响
无税收,无买,卖空限制
证券无限可分,借贷利率相等
3,完全竞争的金融市场（完善市场）
均衡利息率的唯一性
折现值：折现值和利息是在时间上相对的两个概念 。
如果年利率为,每年平均分成期，则在 期末的现金流的折现因子为
0r m
k
kk
m
r
d
1
1
4,固定收入证券的定价公式
现金流的折现值公式：给定现金流和利率,这个现金流的折现值为
n
n
r
x
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x
r
xxPV
111 2
21
0?
nxxx,,,10?
r
永久性现金流
– 每期的市场无风险利率为,从第一期期末开始,每期末支付的数量为,则永久性年金的价格为,
r
A
r
A
r
A
P
k
k
1 1
有限期限的现金流
– 一共有 期,从第一期期末开始,每一期支付的金额为,在第期期末结束 。 假设每期的市场无风险利率为,则有限期限的现金流的价格为：
A
r
n
n
n
k
k rr
A
r
A
P
1
1
1
11
到期收益
现货利率
远期利率
5,几种利率的定义及性质
5.1 到期收益
债券的到期收益 (yield to maturity)指的是,
由银行支付给投资者的,使得投资者在将来能够获得该债券承诺的所有支付的唯一利率 （ 在某个特定的时间区间以此利率计算复利 ） 。 我们也可以这样定义：
如果用其作为折现率,所有现金支付
（ 包括利息和本金 ） 的现值正好等于其价格 。
– 假设债券的面值为,每年支付 m次利息,每次支付的利息为,债券的价格为 P,则到期收益是使得下式成立的 的值
F
mC
n
k
kn
m
m
C
m
F
P
1
11
– 上式中的第一项是面值的现值,第 k项是第 k次利息的现值 。 以名义利率 为基础,所有支付的现值和为债券的价格 。 如果按这种定义方式,到期收益类似于投资决策里的内部收益率 (internal rate of return)。 每一种债券的到期收益是由债券自己的结构决定的,具有独有的特性 。
– 三种国库券分别称为 A,B,C。 债券 A一年到期,在到期日,投资者获得 1000元 。 同样地,债券 B两年到期,
在到期日,投资者获得 1000元 。 债券 C是带息债券
(coupon bond),从现在开始,这种债券每年支付 50元的利息,两年到期,在到期日,支付给投资者 1050元 。
市场上三种债券的价格分别为：
债券 A（ 一年到期的纯折现债券 ）,934.58元
债券 B（ 两年到期的纯折现债券 ）,857.34元
债券 C（ 两年到期的带息债券 ）,946.93元 。
债券 A：到期收益是满足下面方程 (2.3)的 的值
债券 B：到期收益是满足下面方程 (2.4)的 的值
债券 C：到期收益是满足下面方程 (2.5)的 的值
Ar
1 0 0 058.9 3 4)1( Ar
%7?Ar
Br
1 0 0 034.8 5 7)1()1( BB rr
%8?Br
Cr
1 0 5 05093.9 4 6)1()1( CC rr
%975.7?Cr
我们在上面是用计算利息的方式来定义到期收益 。
由于折现值和利息是在时间上相对的两个概念,
所以我们下面利用计算折现值的方式来定义到期收益 。
– 对债券 A而言,方程 (2.3)等价于
– 对债券 B而言,方程 (2.4)等价于
– 对债券 C而言,方程 (2.5)等价于
Ar?
11 00 058.9 34
21
100034.857
Br?
21
1 0 5 0
1
5093.9 4 6
CC rr?
价格
500
400
300
200
100
0 5 10 15 到期收益
15%
10%5%
0%
在图 1中,价格表示为面值的百分比；价格作为纵轴,到期收益作为横轴,价格是到期收益的函数；所有债券的期限为 30年；每条曲线上的数字表示息率 。 从图 1可以看出的第一个明显的特征是它具有负的斜率,即价格与到期收益之间有相反的变化关系 。 如果到期收益上升,价格就会下降 。 原因在于,对于固定的收入流,要使得投资者的到期收益较高,投资者愿意支付的价格就越低 。
价格 —收益曲线的第二个特征是,当到期收益为
0时,即没有利率时,债券的价格正好等于它的所有支付的和 。 比如利息率为 10%的曲线,每年为 10点,一共 30年,得到 300点,再加上 100%的面值,得到的价格为 400点 。
第三个特征是当到期收益和利息率相等时,债券的价格正好等于其面值 。 例如利息率为 10%的曲线,当到期收益为 10%时,其中的价格正好等于
100点 。 这两者相等的原因在于,每年的利息支付正好等于 10%的收益,从而每年的价格保持不变,均为 100点 。 这相当于一种贷款,本金的利息每年支付,使得本金保持不变 。
第四个特征是,当到期收益越来越大时,债券的价格趋于零 。
价格
400
300
200
100
10 到期收益
30年
10年
3年
在图 2中,价格仍然为纵轴,到期收益仍为横轴,
三种债券的利息率均为 10%,但三种债券的期限分别为 30年,10年,3年 。 当到期收益为 10%时,
由上面的分析,我们知道它们的价格均等于其面值,所以它们通过共同的一点 。 但是,当到期收益偏离 10%时,各自价格变化的程度却不一样 。
可以看到,当期限增加时,收益曲线越来越陡 。
这说明,期限越长的债券,其价格对收益的敏感度就越大 。
对投资者而言,价格 —收益曲线是非常重要的 。
因为它描述了债券所具有的利率风险 。 债券持有者所面临的风险为：如果到期收益变化,债券价格也将变化 。 这是一种即时风险,只影响债券的近期价格 。 当然,如果债券持有者继续持有这种债券,直到到期日,在到期日,他得到本金和利息,这个现金流不会受到到期收益的影响,从而没有什么风险 。 但是,如果债券持有者提前卖掉债券,就会有风险 。
现货利率 (spot rate)是零息债券的到期收益 。
它是定义利率期限结构的基本利率 。
5.2 现货利率
– 如果我们存一笔钱在银行,一直到时间 t以前,银行不支付利息,而在时刻 t,利息和本金一次性支付 。 这个投资过程所获得的利率即为现货利率 。 一般来说,如果以年为计算单位,从现在 (t=0)到时间 t,投资者所持有的货币的利率即为 0到 t的现货利率,我们以 表示 。 因此,表示一年的现货利率,即,
持有货币一年的利率 。 同样,表示持有货币两年的利率,但它是以年为单位来表示的 。
这意味着,如果你存一笔钱 A在银行,银行以利率 计算复利,两年后,连本带息你可以得到 。
tS 1S
2S
AS 221?
2S
每年一期：如果每年只计算一次,则 t 年的利率为：
每年期：如果每年分为 m 期,则 t 年的利率为：
连续复利：如果连续计算复利,则 t 年 的利率为：
ttS?1
mt
t
m
S
1
tS te
– 由于现货利率与到期收益之间的关系,即零息债券的到期收益即为现货利率,理论上,
现货利率可以通过零息债券的到期收益来度量 。 因为零息债券在规定的时间支付规定数量的货币,因此,支付的数量与零息债券价格的比即为现货利率 。 由这个过程,我们也可以得到一条类似于收益曲线的现货利率曲线 。 如图 3
– 现货利率
6
5
年
图 3 现货利率曲线
确定现货利率曲线的方法 。
– 确定现货利率曲线最明显的方式是通过不同到期日的零息债券的价格来决定 。 但是,由于能够得到的零息债券的种类太少 （ 事实上,没有真正严格意义上的长期限的零息债券 ）,所以,这种方法并不切实可行 。
– 第二种方式是通过附息债券的价格来决定现货利率曲线 。 这种方式从短期限的附息债券开始,逐步向长期限的附息债券递推 。 首先,可以通过直接观察 1年的利率来确定 。 接着,考虑两年到期的债券 。 假设这种债券的价格为 P,每年支付的利息为 C,面值为 F，
则 P,F 和 C之间满足如下关系：
– 通过这个式子可以得到 。利用这种方法，依次可以求出 。
– 第三种方法,我们也可以通过利用不同的附息债券构造零息债券来确定现货利率 。
1S
221 11 S
FC
S
CP
2S
43,SS
远期利率 (forward rate)是现在确定的在将来两个时间之间的货币的利率 。
5.3 远期利率
– 考虑从现在开始到两年之后的这段时间 。 假设现货利率,已经知道 。 如果我们在银行把一块钱存两年,两年后,这块钱将变成
– 我们也可以分两步进行投资,先将这一块钱存一年,同时决定将一年后得到的本息再存一年,从第一年末到第二年末之间的利率现在就规定好,设为 。 两年后,这块钱将变成 元 。 由无套利原理,这两种投资方法的回报应该相等,即
1S 2S
221 S?
2,1f
2,11 11 fS
2,1122 111 fSS
– 例 1：远期利率的计算
N 年投资的 N 年的年 现货利率 远期利率
1 10.0
2 1 0,5
3 1 0,8
4 1 1,0
5 1 1,1
假设采用连续复利的计算方式
第 2年的远期利率由 1年和 2年的现货利率决定
2105.011.01.0 100100 eee
3108.0114.02105.0 1 0 01 0 0 eee
411.0116.03108.0 100100 eee
一般的，设 是 年的现货利率（以年利率表示），设 是 年的现货利率（以年利率表示）,则 和 之间的远期利率 为
r T
*r *T
*TT? T *T r?
TT
rTTrr
*
**
N 年投资的 N 年的年 现货利率 远期利率
1 10.0
2 1 0,5 1 1,0
3 1 0,8 1 1,4
4 1 1,0 1 1,6
5 1 1,1 1 1,5
– 零息收益曲线
利率
10
8
6
1 2 3 4 年
远期收益率与到期日之间的关系
当 时，有
当 时，从时间 开始的极短时间的远期利率为
TT Trrrr ***?
rr?*
rrr *?
TT?* T
T
rTr
当零息收益曲线单调上升时，零息收益曲线总在带息债券的收益曲线之上，而远期率曲线又在零息收益曲线之上。如下图
– 利率
– 到期日远期利率 零息收益带息债券收益
– 当零息收益曲线单调下降时，零息收益曲线总在带息债券的收益曲线之下，而远期率曲线又在零息收益曲线之下。如下图
– 利率
– 到期日远期利率零息收益带息债券收益
– 例 2：零息收益曲线的确定
如何从带息债券的价格得到零息收益曲线债券本金
（元）
到期日
（年）
年息 （元）
（每年两次）
债券价格
（元）
100
100
100
100
100
100
0,25
0,50
1,00
1.5 0
2,00
2.7 5
0
0
0
8
12
10
97,5
94,9
90,0
96,0
10 1.6
99,8
假设 是连续复利的利率,是每年复利次的等价的利率（均以年利率表示），则
由第一种证券，得到 3个月连续复利利率（以年利率表示）
cr mr m
m
rmr m
c 1ln
1013.05.97 5.21ln4
由第二种证券，得到 6个月连续复利利率（以年利率表示）
1年的利率为
1 0 4 7.09.94 1.51ln2
1 0 5 4.00.90101ln
假设 1.5年的现货利率为,则
从而
这仅仅只是与 6个月,1年的现货利率一致的现货利率
r
9610444 5.10.11054.05.01047.0 reee
1068.0?r
类似地,2年的现货利率为
6.101106
666
2
5.11068.00.11054.05.01047.0
re
eee
到目前为此，我们得到 5个不同到期日对应的现货利率，其余的可以通过线性插值方法来得到
第 6种债券前 4次红利的现值为
018.185
555
75.11 0 7 4 5.0
25.11 0 6 1.075.01 0 5 0 5.025.01 0 1 3.0
e
eee
最后两次现金流的现值为
99.8-18.018=81.782
假设 2.75年的现货利率为,则 2.25年的现货利率为
从而
得到
r
33
21 08 1.0 r
7 8 2.811 0 55 75.20 7 2 1.025.2 3 ree r
1087.0?r
5.4 远期利率与将来现货利率之间的关系
确定性市场：投资者确定地知道将来的利率值。
例子：
未来几年中每年的利率
ye a r inte re st
0 8%
1 10%
2 1 1%
3 1 1%
零息债券的价格和到期收益
T im e to m aturi t y
price
Y iel d to m atur ity
1 92 5.9 3 8.0 00 %
2 84 1.7 5 8.9 95
3 75 8.3 3 9.6 60
4 68 3.1 8 9.9 93
在确定性市场中，将来的现货利率与远期利率相等,
不管采用什么投资策略，只要投资的期限相等，所得到的收益就相等。
不确定性市场：投资者不知道将来的现货利率
假如投资者仅仅知道到期收益如下表所示，投资者关心第三年的现货利率
T im e to m aturi t y
price
Y iel d to m atur ity
1 92 5.9 3 8.0 00 %
2 84 1.7 5 8.9 95
3 75 8.3 3 9.6 60
4 68 3.1 8 9.9 93
仅仅可以知道第三年的远期利率，而第三年的远期利率不一定就等于第三年的现货利率，甚至也不等于第三年的期望现货利率。
只有当而第三年的远期利率等于第三年的现货利率时，采用一次性到期策略和滚动策略所得到的收益才相等。
远期利率是否等于现货利率依赖于投资者愿意承担风险的程度，以及愿意投资在与投资时间不相匹配的债券上的程度。
– 短期投资者
– 长期投资者
6,利率期限结构描述
把利率表示为到期日的函数,用以体现不同到期日利率的方式称为利率的期限结构
第一个问题：为什么不同期限的现货利率不同？
第二个问题：为什么这种不同会随着时间的变化而变化,为什么有时长期现货利率比短期现货利率高,而有时又正好相反？
Upward Sloping
Maturity
Flat
Maturity
Downward
Maturity
7,期限结构理论
– 7.1 无偏期望理论
无偏期望理论 (the unbiased expectations theory)又称纯期望理论 。 该理论认为,远期利率反映了广大投资者对将来现货利率的某种预期 。 因此,随着期限的增加而增加的现货利率,说明了大部分投资者预期将来的现货利率将上涨 。 相反,随着时间的增加而递减的现货利率,说明了大部分投资者预期将来的现货利率将下跌 。
上涨的收益曲线
– 例：一年的现货利率为 7%,两年的现货利率为 8%，
为什么这两个现货利率不同？ 等价地,为什么收益曲线是上涨的？
– 现在投资 1块钱,有两种投资策略
一次性到期策略
1 6 6 4.108.108.11
滚动投资策略：先投资一年,得到
再投资一年,预期现货利率 为
1） 10%：
所以 10%不能代表大众的预期
2） 6%：
同样,6%也不能代表大众的预期
3） 9.01%
07.107.11
2,1eS
177.110.107.11
1 3 4 2.106.107.11
无偏期望理论认为将来现货利率的预期值正好等于远期利率,用式子表示为：
2,12,1 feS?
由远期利率的定义有：
因此,大众预期一年期现货利率将上涨是期限结构上扬的原因；而大众预期一年期现货利率将下降是期限结构下降的原因 。
为什么大众预期预期现货利率将变化？
222,11 111 SeSS
7.2 易变性偏好理论
– 易变性偏好理论 (the liquidity preference
theory)认为投资者主要对购买短期债券有兴趣 。 即使有些投资者长时间的持有债券,但他们仍然偏好于持有较短期债券 。 原因在于,
如果他们持有较短期债券,那么,一旦他们提前需要资金时,他们所遇到的价格风险会更小 。
– 例如,一个将进行两年投资的投资者会采取滚动投资策略,即,先投资一年,在第二年初连本带息再投资一年 。 这样,一旦提前需要资金时,他在第一年末会有一定数量的现金 。 但是,如果他采用的是一步到位的到期投资策略,即购买两年期的债券,
那么,在第一年末提前需要现金时,他不得不去市场上卖掉债券 。 如果这时的价格很低,他就会遭受大的损失 。 因此,到期投资策略具有滚动投资策略没有的额外风险 。 所以,作为投资者而言,会偏好于短期债券 。 能够让投资者去购买长期债券的唯一方式就是使他相信长期债券的回报会更高,即,贷款者为了吸引投资者去购买长期债券,不得不以较高期望回报的形式支付给投资者一种风险酬金 。
– 作为贷款者,他们是愿意支付这种风险酬金的 。 首先,频繁的进行融资需要宣传,管理等大量的费用,而通过发行长期债券能够大量减少这种成本 。 其次,贷款者不愿意在将来以更高的利率进行再融资,所以,他认为长期债券比短期债券更具风险性 。
– 远期利率与将来的期望现货利率之间的差称为易变性酬金 (liquidity premium)。 这种酬金是用来补偿投资者购买更长期限债券的一种额外回报率 。 例如,以 表示从现在开始一年以后到从现在开始两年以后这一年之间的易变性酬金,则
2,1L
2,12,12,1 LeSf
– 例子：一年的现货利率为 7%，两年的现货利率为 8%，只有当一次性到期策略的期望回报率高于滚动策略的期望回报率时，投资者才选择一次性到期策略，这说明，期望现货率低于远期利率，假设为 8.6%，则易变性酬金为 9.01%-8.6%=0.41%
1)下降的收益曲线
– 只有当期望现货利率 远远低于一年期现货利率时,不等式才成立 。
– 例：当,时,
– 如果
– 则
2,11222,11 11111 fSSeSS
21 SS?
2,1eS 1S
%71?S %62?S
%01.52,1?f
%41.02,1?L
%7%6.4 12,1 SeS
2)水平收益曲线
– 只有当期望现货利率 低于一年期现货利率 时，
不等式才成立。
– 例：当,时，
– 如果
– 则
21 SS?
2,1eS 1S
%71?S %72?S
%72,1?f
%41.02,1?L
%7%59.6 12,1 SeS
3)上升的收益曲线
– 当上升的幅度不大时，
– 例：当,时，
– 如果
– 则
21 SS?
%71?S %1.72?S
%2.72,1?f
%41.02,1?L
%7%79.6 12,1 SeS
– 当上升的幅度很大时，
– 例：当,时，
– 如果
– 则
%71?S %3.72?S
%6.72,1?f
%41.02,1?L
%7%19.7 12,1 SeS
– 易变性偏好理论认为,利率期限结构单调下降表明市场预期现货利率将下降；而利率期限结构单调上升表明市场预期现货利率既可能上升也可能下降,是否上升或者下降依赖于收益曲线的斜率 。 一般来说,曲线越陡,
市场预期现货利率上涨的可能性越大 。 如果我们粗略地认为,市场估计现货利率上升与市场估计现货利率下降的可能性是一半对一半,则易变性偏好理论认为利率期限结构单调上升的频率更大 。
7.3 市场分割理论
