第四章 不确定下的均值 -方差分析证券组合选择问题
投资过程的两个重要任务：
– 证券分析和市场分析：评估所有可能的投资工具的风险和期望回报率特性
– 给定证券市场，投资者确定最优的证券组合：
从可行的投资组合中确定最优的风险 -回报机会，然后决定最优的证券组合
选择的目标：使得均值 -标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大
选择的对象：均值 -标准差平面上的可行集
证券组合在均值 -标准差平面上的显示
通过分析资本市场,一个中心的事实是,
风险资产的回报平均来说高于无风险资产的回报,而且回报越高,风险越大 。
Markowitz notes that this would generally be an
unwise decision because the typical investor,
although wanting ―returns to be high‖,also wants
―returns to be as certain as possible.‖ This means
that the investor,in seeking to both maximize
expected return and minimize uncertainty,has two
conflicting objectives that must be balanced
against each other when making the purchasing
decision at t=0.
One interesting consequence of having these two
conflicting objectives is that the investor should
diversify by purchasing not just one security but
several.
一期投资模型：投资者在期初投资,在期末获得回报 。
– 一期模型是对现实的一种近似,如对零息债券,欧式期权的投资 。 虽然许多问题不是一期模型,但作为一种简化,对一期模型的分析是分析多期模型的基础 。
在经济学中,通常有三种方法用来处理不确定性问题,（ 1） 效用函数分析；
（ 2） 均值 -方差分析； （ 3） 套利分析 。
均衡定价：供给等于需求
均值 -方差分析
套利定价
– 虽然建立在期望效用最大化基础之上的资产定价和消费选择是一种非常广泛和完美的方法,但是,在实际中,完全刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎是不可能的,所以这种方法缺乏实际的可操作性 。
– Markowitz(1952)提出的资产选择的均值 -方差模型 。 尽管均值 -方差不能用来完全刻画个体的偏好,但由于它的灵活性以及经验上的可检验性,均值 -方差分析得到了广泛的应用 。
1,一些基本概念
回报率
以回报率而不是价格作为研究对象。
由于期末的收益是不确定的,所以回报率为随机变量 。
价格与回报率之间是一一决定的关系,
给定价格,就可算出回报率,反过来,
给出了回报率,就可决定价格 。
在以下的章节里,通常以回报率为研究对象,并假设,字母 （ 或者字母上加一波浪线 ） 表示随机变量,字母上加一横线表示期望值 。
由于违约和通货膨胀等不确定因素,证券市场并不存在绝对无风险的证券 。 我们只是把那些风险相对小的证券视为无风险的,而我们能够进行投资的绝大多数证券是有风险的 。
风险
– 利用回报率的方差或者标准差来度量
期望回报率
– 利用回报率的期望值来刻画收益率
证券组合的回报率
假设有 种可得的不同资产,我们把初始财富分成 份,投资到这 种资产上,设 为投资在第
i 种资产上的财富,；如果以比例表示,
则为,为投资在第 i种资产上的财富的份额,,以 表示第 i种资产的回报率,
则到期末,由 i产生的收益为 或者,从而该证券组 合的总收益为
,该证券组合的回报率为
n 0W
nn 0iW
ni iWW 1 00
00 WW ii i?
1
1
n
i i
ir
ir?1
i? 0W
0iW
n
i
ii Wr
1
01?
ir?1
n
i
ii rr
1
例子：表 4-1：计算证券组合的期望回报率
– （ 1）证券和证券组合的值
证券 在证券组合 每股的初始 在证券组合初始
名称 中的股数 市场价格 总投资 市场价值中的份额
A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325
B 200 35元 7,000元 7,000/17,200=0.4070
C 100 62元 6,200元 6,200/17,200=0.3605
证券组合的初始市场价值 =17,200元 总的份额 =1.0000
– 在表 4-1（ 1） 中,假设投资者投资的期间为一期,投资的初始财富为 17200元,投资者选择 A,B,C三种股票进行投资 。 投资者估计它们的期望回报率分别为 16.2%,24.6%，
22.8%。 这等价于,投资者估计三种股票的期末价格分别为 46.48 元 [ 因为 (46.48-
40)/40=16.2%],43.61 元 [ 因为 43.61-
35/35=24.6%],76.14 元 [ 因为 76.14-
62/62=22.8%]。 证券组合期望回报率有几种计算方式,每种方式得到相同的结果 。
– （ 2） 利用期末价格计算证券组合的期望回报率
证券 在证券组合 每股的期末
名称 中的股数 预期价值 总的期末预期价值
A 100 46.48元 46.48元? 100=4,648元
B 200 43.61元 43.61元? 200=8,722元
C 100 76.14元 76.14元? 100=7,614元
证券组合的期末预期价值 =20,984元
证券组合的期望回报率 =(20,984元 -17,200元 )/17,200元 =22.00%
– 在表 4-1（ 2） 中,先计算证券组合的期末期望价值,再利用计算回报率的公式计算回报率,即,从证券组合的期末期望价值中减去投资的初始财富,然后用去除这个差 。 尽管这个例子里只有三种证券,但这种方法可以推广到多种证券 。
– （ 3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率
证券 在证券组合初 证券的 在证券组合的期望
名称 始价值中份额 期望收益率 回报率所起的作用
A 0.2325 16.2% 0.2325? 16.2%=3.77%
B 0.4070 24.6% 0.4070? 24.6%=10.01%
C 0.3605 22.85 0.3605? 22.8%=8.22%
证券组合的期望回报率 ==22.00%
– 在表 4-1（ 3） 中,把证券组合期望回报率表示成各个股票期望回报率的加权和,这里的权是各种股票在证券组合中的相对价值 。
– 正如我们在上表中看到的,我们既可以用证券组合中各种证券的数量来表示证券组合,
也可以用证券组合中各种证券所占证券组合初始价值的份额来表示证券组合 。 在上表中,
我们既可用 （ 100,200,100） 来表示该证券组合,也可用 （ 0.2325,0.4070,0.3605）
来表示 。
证券组合回报率的方差和标准差
– 方差
– 标准差
2222 2)(
BBABBAAAprV a r
2222 2
BBBABAAA
例子：对于前面的 A,B,C三种证券
– 这里 表示证券 和 之间的协方差。
3
1
3
1i j
ijjiP
ij? i j
– 假设 A,B,C三种证券的方差 -协方差矩阵为
– 则证券组合 的方差为
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3 6 0 5.04 0 7 0.02 3 2 5.0
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3 6 0 5.04 0 7 0.02 3 2 5.0
3605.0
4070.0
2325.0
证券形成地组合的回报率标准差不大于单个证券回报率标准差的加权平均。
分散化 (Diversification)
– 只要,则两个证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。
– 只要证券相互之间地相关系数小于 1，则证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。
– 两个证券组合回报率之间的协方差
证券组合 1：
证券组合 2：
1
321,,
321,,
证券组合 1,2之间的协方差为
321,,
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3
2
1
2.两个假设
– 假设 1：所有投资者都是风险厌恶者，且都是非满足者；投资者投资时只关心证券组合收益率的期望值和标准差，即，投资者首先估计每个证券组合回报率的期望值和标准差，
再以这两个参数为参照物选择最优的证券组合，即，投资者的效用函数具有如下形式：
PPrV?,
2r
1r
2
21 rr?
1? 2?
2 21
11,r?
22,r?
2,2 2121 rr
r
– 图 4-1：风险回避者的无差异曲线
– 假设 2：所有风险厌恶者的无差异曲线如图 1
所示，在均值 -标准差平面上，为严格增的凸函数，并且，越在西北方向的无差异曲线，
其效用越高。
3,不具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择
– 假设在无摩擦市场上存在 N 种可交易风险证券,所有资产回报率的期望和方差均有限且期望互不相等 。 这 N 种可交易风险证券的回报率以向量 表示,表示期望值向量 。 而这 N 种可交易风险证券回报率的协方差矩阵以 表示
Nrrr ~,,~~ 1Nrrr,,1
V
221
2212
1211
~~,~~,~
~,~~~,~
~,~~,~~
rV a rrrC o vrrC o v
rrC o vrV a rrrC o v
rrC o vrrC o vrV a r
V
NN
N
N
– 证券组合的期望收益率和方差
给定证券组合
– 期望回报率
– 方差
– 当证券的种类越来越多时,证券组合回报率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差 。
TN,,,21
3.1 可行集
– 可行集
由 N 种可交易风险证券中的任意 K 种形成的证券组合构成的集合称为可行集。
– 在均值 -标准差平面上来刻画可行集。
例子：两种证券形成的可行集
– 假设证券 1的期望回报率,标准差为
– ；证券 2的的期望回报率,
标准差为 。设由证券 1,2形成的证券组合 分别有
%51?r
%402
%152?r
21,
A B C D E F G
1
1,00 0,83 0,67 0,50 0,33 0,17 0,00
2
0,00 0,17 0,33 0,50 0,67 0,83 1,00
%201
证券组合的期望回报率
2211 rrr p
假设证券 1,2收益率的相关系数为,则证券组合回报率的标准差为
每个证券组合回报率的标准差的上、下界
– 证券组合 D：
– 上界在 =1时达到，下界在 =-1时达到
– 例子； =0.5,0.1
212221 1 6 0 01 6 0 04 0 0P
214 0 05 0 0D
证券组合收益率的标准差的上下界
P ort fol i o L ow e r Bou nd U ppe r Bou nd
A 20% 20%
B 10% 23.33%
C 0 26.67%
D 10% 30%
E 20% 33.33%
F 30% 36.67%
G 40% 40%
证券组合收益率的标准差的上下界
P?
Pr
A
G
下界 上界下界
%5
%3.8
分散化导致风险缩小 。
实际的可行集 ——一维双曲线
A
GPr
P?
=-1
=1?
=0
=-0.1?
可行集的方程
假设 =0,由 1,2两种证券形成的可行集在均值
-标准差平面上的表示。
– 证券组合 的期望回报率
– 标准差为
– 通过找出 与 之间的关系
21, 2211 rrr P
222221212P
Pr P?
22
22
21
2
12
12
21
2
2
P
PP
rr
rr
rr
rr
可行集的方程
得到
为一双曲线
1
002.0
04.0
08.0
22
PP r?
Pr
P?
最小方差证券组合 MVP(minimum-
variance portfolio)
212221 1 6 0 01 6 0 04 0 0P
三种以上证券形成的可行集
– 可行集的两个重要性质
（ 1）只要 N 不小于 3，可行集对应 于均值 -标方差平面上的区域为二维的。
（ 2）可行集的左边向左凸。
Pr
P?
A
B
C
D
三种证券形成可行集的例子
三点形成地区域
P?
Pr
3.2 有效集定理
– 有效集定理
投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的最优证券组合：
（ 1）对给定的回报，风险水平最小
（ 2）对给定的风险水平，回报最大；
满足上面两个条件的证券组合集称为有效集。
下面分两步把有效集定理应用到可行集上，得到投资者最优的可投资集。
3.3 把有效集定理第一条应用到可行集
给定期望回报率，找方差最小的证券组合
Pr
P?
证券组合前沿
P?
Pr
定义：一个证券组合称为前沿证券组合，
如果它在所有具有相同期望回报率的证券组合中具有最小方差。
定义：所有前沿证券组合构成的集合称为证券组合前沿。
证券组合前沿的性质
– 性质 1：整个证券组合前沿可以由任何两个前沿证券组合生成。
– 性质 2：前沿证券组合的任何凸组合仍然在证券组合前沿上。
1
~
1
~
2
2
2
C
D
C
ArE
C
r pp?
证券组合前沿的方程
– 任意前沿证券组合的回报率的期望和标准差满足如下方程：
在期望 -标准差平面上的证券组合前沿
CA
C1
单个证券与证券组合在均值 -标准差平面上的位置
3.4 把有效集定理的第二条应用到证券组合前沿
在证券组合前沿上，给定风险，找期望回报率最高的证券组合。
P?
Pr
有效集和非有效集
最小方差证券组合
定义：比最小方差证券组合回报高的前沿证券组合称为有效证券组合，既不是最小方差证券组合又不是有效证券组合的前沿证券组合称为非有效证券组合。
问题：先利用第二条，再利用第一条，
得到的有效集是否一样？
3.5 只有两种证券时的特例
假设市场上只存在两种证券 A和 B。 A具有较高的期望回报率和较高的标准差。
相关系数 1
A
B
3.5 只有两种证券时的特例
可行集、证券组合前沿和有效集期望回报率
A
MVP
B
标准差
不同相关系数时的证券组合前沿
12.0 0 5.0
1
– 相关系数越小，曲线弯曲越厉害。
– 极限状况
– 每对证券只有一个相关系数。
当只有两种证券时，可行集与证券组合前沿一致
问题：如果证券 A 的期望回报率高于证券 B 的期望回报率，而标准差小于 B 的标准差，这时的可行集、证券组合前沿和有效集是什么？
1
4,具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择
买卖债券只不过是手段，而实质是存在无风险借贷的市场。
是否存在真正意义上的无风险借贷的市场
– index bond
假设在无摩擦市场上存在 N 种可交易风险证券和一种无风险证券。以 表示无风险利率。 f
r
步骤
首先利用例子分三步讨论：
– 只允许购买无风险债券
– 只允许卖出无风险债券
– 可以自由交易
其次，推广到一般情形
4.1 只允许购买无风险债券
例子：前面的 A,B,C三种证券
– 期望回报率向量为
– 把无风险债券当作第 4种证券，无风险利率为
2 2 8.0
2 4 6.0
1 6 2.0
r
%44?r
– 方差 -协方差矩阵为
0 2 8 9.00 1 0 4.00 1 4 5.0
0 1 0 4.00 8 5 4.00 1 8 7.0
0 1 4 5.00 1 8 7.00 1 4 6.0
– 首先考虑证券 A和证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
5种证券组合
P po rt fo l i a b c d e
1
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
4
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00
证券组合的期望回报率和标准差
期望回报率
标准差
441 rrr AP
AP 1?
由证券 A和证券 4构成的 5种证券组合的期望回报率和标准差
Po r t f o l i o E x p ec t e d Re t u rn St a n d ar d
D ev i at i o n
a 4,0 0 % 0,00%
b 7,0 5 3,0 2
c 1 0,1 0 6,0 4
d 1 3,1 5 9,0 6
e 1 6,2 0 1 2,0 8
由证券 A和证券 4构成的 5种证券组合在均值 -标准差平面上的图示
%4 a
e
– 其次，考虑一个证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。
证券组合 5由证券 A,C构成
证券组合 5的期望回报率、标准差为
20.0,80.0,?CA
CCAA rrr5
ACCACCAA 2225
证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、
有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券组合 5从 A变到 C
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集证券 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
– 最后考虑由 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
B
C
fr
投资者最优证券组合选择
– 部分投资在无风险债券上
– 全部投资在风险证券上
4.2 只允许出售无风险债券
– 首先考虑证券 A和证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
4种证券组合
or t fl F G H I
1.25 1.50 1.75 2.00
-0.25 -0.50 -0.75 -1.00
由证券 A和证券 4构成的 4种证券组合的期望回报率和标准差
Po r t f o l i o E x p ec t e d Re t u rn St a n d ar d
D ev i at i o n
F 1 9,2 5 % 1 5,1 0 %
G 2 2,3 0 1 8,1 2
H 2 5,3 5 2 1,1 4
I 2 8,4 0 2 4,1 6
由证券 A和证券 4构成的 9种证券组合在均值 -标准差平面上的图示
%4 a
e
I
– 其次，考虑一个证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。
证券组合 5由证券 A,C构成
证券组合 5的期望回报率、标准差为
20.0,80.0,?CA
CCAA rrr5
ACCACCAA 2225
证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、
有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券组合 5从 A变到 C
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
– 最后考虑由 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
B
C
fr
投资者最优证券组合选择
– 卖出无风险债券
– 全部投资在风险证券上
4.3 无限制的借贷
如何求这个切点
4.4 推广到一般情形
N种风险资产形成的证券组合前沿方程
1
~
1
~
2
2
2
C
D
C
ArE
C
r pp?
N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿
N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿方程
Passive strategies
Active strategies
Two mutual funds
5,风险厌恶者的最优投资策略
– 风险厌恶者的无差异曲线
p?
pr
– 不存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略
p?
pr
– 不同风险厌恶程度的投资者的最优投资策略
p?
pr
– 存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略：分离性质
p?
pr
6,Markowitz portfolio selection model
决定仅由风险证券构成的证券组合前沿
决定由无风险证券和风险证券构成的证券组合前沿
确定最优投资组合
7,市场模型与风险的分散化
– 市场模型
这里
=在给定的时间区间，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
=截矩项
=斜率项
=随机误差项，
iIIiIiIi rr
ir
Ir
iI?
iI?
iI?
0?iIE?
Beta 值
攻击型股票
防御型股票
2
I
iI
iI?
– 风险的分散化
市场风险
唯一风险
分散化导致市场风险的平均化
分散化能够显著地缩减唯一风险。
唯一风险
总风险 市场风险
When we hold diversified portfolios,the
contribution to portfolio risk of a particular
security will depend on the covariance of
that security’s return with those other
securities,and not on the security’s variance,
this implies that fair risk premium also
should depend on covariance rather than
total variability of returns.
投资过程的两个重要任务：
– 证券分析和市场分析：评估所有可能的投资工具的风险和期望回报率特性
– 给定证券市场，投资者确定最优的证券组合：
从可行的投资组合中确定最优的风险 -回报机会，然后决定最优的证券组合
选择的目标：使得均值 -标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大
选择的对象：均值 -标准差平面上的可行集
证券组合在均值 -标准差平面上的显示
通过分析资本市场,一个中心的事实是,
风险资产的回报平均来说高于无风险资产的回报,而且回报越高,风险越大 。
Markowitz notes that this would generally be an
unwise decision because the typical investor,
although wanting ―returns to be high‖,also wants
―returns to be as certain as possible.‖ This means
that the investor,in seeking to both maximize
expected return and minimize uncertainty,has two
conflicting objectives that must be balanced
against each other when making the purchasing
decision at t=0.
One interesting consequence of having these two
conflicting objectives is that the investor should
diversify by purchasing not just one security but
several.
一期投资模型：投资者在期初投资,在期末获得回报 。
– 一期模型是对现实的一种近似,如对零息债券,欧式期权的投资 。 虽然许多问题不是一期模型,但作为一种简化,对一期模型的分析是分析多期模型的基础 。
在经济学中,通常有三种方法用来处理不确定性问题,（ 1） 效用函数分析；
（ 2） 均值 -方差分析； （ 3） 套利分析 。
均衡定价：供给等于需求
均值 -方差分析
套利定价
– 虽然建立在期望效用最大化基础之上的资产定价和消费选择是一种非常广泛和完美的方法,但是,在实际中,完全刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎是不可能的,所以这种方法缺乏实际的可操作性 。
– Markowitz(1952)提出的资产选择的均值 -方差模型 。 尽管均值 -方差不能用来完全刻画个体的偏好,但由于它的灵活性以及经验上的可检验性,均值 -方差分析得到了广泛的应用 。
1,一些基本概念
回报率
以回报率而不是价格作为研究对象。
由于期末的收益是不确定的,所以回报率为随机变量 。
价格与回报率之间是一一决定的关系,
给定价格,就可算出回报率,反过来,
给出了回报率,就可决定价格 。
在以下的章节里,通常以回报率为研究对象,并假设,字母 （ 或者字母上加一波浪线 ） 表示随机变量,字母上加一横线表示期望值 。
由于违约和通货膨胀等不确定因素,证券市场并不存在绝对无风险的证券 。 我们只是把那些风险相对小的证券视为无风险的,而我们能够进行投资的绝大多数证券是有风险的 。
风险
– 利用回报率的方差或者标准差来度量
期望回报率
– 利用回报率的期望值来刻画收益率
证券组合的回报率
假设有 种可得的不同资产,我们把初始财富分成 份,投资到这 种资产上,设 为投资在第
i 种资产上的财富,；如果以比例表示,
则为,为投资在第 i种资产上的财富的份额,,以 表示第 i种资产的回报率,
则到期末,由 i产生的收益为 或者,从而该证券组 合的总收益为
,该证券组合的回报率为
n 0W
nn 0iW
ni iWW 1 00
00 WW ii i?
1
1
n
i i
ir
ir?1
i? 0W
0iW
n
i
ii Wr
1
01?
ir?1
n
i
ii rr
1
例子：表 4-1：计算证券组合的期望回报率
– （ 1）证券和证券组合的值
证券 在证券组合 每股的初始 在证券组合初始
名称 中的股数 市场价格 总投资 市场价值中的份额
A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325
B 200 35元 7,000元 7,000/17,200=0.4070
C 100 62元 6,200元 6,200/17,200=0.3605
证券组合的初始市场价值 =17,200元 总的份额 =1.0000
– 在表 4-1（ 1） 中,假设投资者投资的期间为一期,投资的初始财富为 17200元,投资者选择 A,B,C三种股票进行投资 。 投资者估计它们的期望回报率分别为 16.2%,24.6%，
22.8%。 这等价于,投资者估计三种股票的期末价格分别为 46.48 元 [ 因为 (46.48-
40)/40=16.2%],43.61 元 [ 因为 43.61-
35/35=24.6%],76.14 元 [ 因为 76.14-
62/62=22.8%]。 证券组合期望回报率有几种计算方式,每种方式得到相同的结果 。
– （ 2） 利用期末价格计算证券组合的期望回报率
证券 在证券组合 每股的期末
名称 中的股数 预期价值 总的期末预期价值
A 100 46.48元 46.48元? 100=4,648元
B 200 43.61元 43.61元? 200=8,722元
C 100 76.14元 76.14元? 100=7,614元
证券组合的期末预期价值 =20,984元
证券组合的期望回报率 =(20,984元 -17,200元 )/17,200元 =22.00%
– 在表 4-1（ 2） 中,先计算证券组合的期末期望价值,再利用计算回报率的公式计算回报率,即,从证券组合的期末期望价值中减去投资的初始财富,然后用去除这个差 。 尽管这个例子里只有三种证券,但这种方法可以推广到多种证券 。
– （ 3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率
证券 在证券组合初 证券的 在证券组合的期望
名称 始价值中份额 期望收益率 回报率所起的作用
A 0.2325 16.2% 0.2325? 16.2%=3.77%
B 0.4070 24.6% 0.4070? 24.6%=10.01%
C 0.3605 22.85 0.3605? 22.8%=8.22%
证券组合的期望回报率 ==22.00%
– 在表 4-1（ 3） 中,把证券组合期望回报率表示成各个股票期望回报率的加权和,这里的权是各种股票在证券组合中的相对价值 。
– 正如我们在上表中看到的,我们既可以用证券组合中各种证券的数量来表示证券组合,
也可以用证券组合中各种证券所占证券组合初始价值的份额来表示证券组合 。 在上表中,
我们既可用 （ 100,200,100） 来表示该证券组合,也可用 （ 0.2325,0.4070,0.3605）
来表示 。
证券组合回报率的方差和标准差
– 方差
– 标准差
2222 2)(
BBABBAAAprV a r
2222 2
BBBABAAA
例子：对于前面的 A,B,C三种证券
– 这里 表示证券 和 之间的协方差。
3
1
3
1i j
ijjiP
ij? i j
– 假设 A,B,C三种证券的方差 -协方差矩阵为
– 则证券组合 的方差为
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3 6 0 5.04 0 7 0.02 3 2 5.0
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3 6 0 5.04 0 7 0.02 3 2 5.0
3605.0
4070.0
2325.0
证券形成地组合的回报率标准差不大于单个证券回报率标准差的加权平均。
分散化 (Diversification)
– 只要,则两个证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。
– 只要证券相互之间地相关系数小于 1，则证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。
– 两个证券组合回报率之间的协方差
证券组合 1：
证券组合 2：
1
321,,
321,,
证券组合 1,2之间的协方差为
321,,
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3
2
1
2.两个假设
– 假设 1：所有投资者都是风险厌恶者，且都是非满足者；投资者投资时只关心证券组合收益率的期望值和标准差，即，投资者首先估计每个证券组合回报率的期望值和标准差，
再以这两个参数为参照物选择最优的证券组合，即，投资者的效用函数具有如下形式：
PPrV?,
2r
1r
2
21 rr?
1? 2?
2 21
11,r?
22,r?
2,2 2121 rr
r
– 图 4-1：风险回避者的无差异曲线
– 假设 2：所有风险厌恶者的无差异曲线如图 1
所示，在均值 -标准差平面上，为严格增的凸函数，并且，越在西北方向的无差异曲线，
其效用越高。
3,不具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择
– 假设在无摩擦市场上存在 N 种可交易风险证券,所有资产回报率的期望和方差均有限且期望互不相等 。 这 N 种可交易风险证券的回报率以向量 表示,表示期望值向量 。 而这 N 种可交易风险证券回报率的协方差矩阵以 表示
Nrrr ~,,~~ 1Nrrr,,1
V
221
2212
1211
~~,~~,~
~,~~~,~
~,~~,~~
rV a rrrC o vrrC o v
rrC o vrV a rrrC o v
rrC o vrrC o vrV a r
V
NN
N
N
– 证券组合的期望收益率和方差
给定证券组合
– 期望回报率
– 方差
– 当证券的种类越来越多时,证券组合回报率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差 。
TN,,,21
3.1 可行集
– 可行集
由 N 种可交易风险证券中的任意 K 种形成的证券组合构成的集合称为可行集。
– 在均值 -标准差平面上来刻画可行集。
例子：两种证券形成的可行集
– 假设证券 1的期望回报率,标准差为
– ；证券 2的的期望回报率,
标准差为 。设由证券 1,2形成的证券组合 分别有
%51?r
%402
%152?r
21,
A B C D E F G
1
1,00 0,83 0,67 0,50 0,33 0,17 0,00
2
0,00 0,17 0,33 0,50 0,67 0,83 1,00
%201
证券组合的期望回报率
2211 rrr p
假设证券 1,2收益率的相关系数为,则证券组合回报率的标准差为
每个证券组合回报率的标准差的上、下界
– 证券组合 D：
– 上界在 =1时达到，下界在 =-1时达到
– 例子； =0.5,0.1
212221 1 6 0 01 6 0 04 0 0P
214 0 05 0 0D
证券组合收益率的标准差的上下界
P ort fol i o L ow e r Bou nd U ppe r Bou nd
A 20% 20%
B 10% 23.33%
C 0 26.67%
D 10% 30%
E 20% 33.33%
F 30% 36.67%
G 40% 40%
证券组合收益率的标准差的上下界
P?
Pr
A
G
下界 上界下界
%5
%3.8
分散化导致风险缩小 。
实际的可行集 ——一维双曲线
A
GPr
P?
=-1
=1?
=0
=-0.1?
可行集的方程
假设 =0,由 1,2两种证券形成的可行集在均值
-标准差平面上的表示。
– 证券组合 的期望回报率
– 标准差为
– 通过找出 与 之间的关系
21, 2211 rrr P
222221212P
Pr P?
22
22
21
2
12
12
21
2
2
P
PP
rr
rr
rr
rr
可行集的方程
得到
为一双曲线
1
002.0
04.0
08.0
22
PP r?
Pr
P?
最小方差证券组合 MVP(minimum-
variance portfolio)
212221 1 6 0 01 6 0 04 0 0P
三种以上证券形成的可行集
– 可行集的两个重要性质
（ 1）只要 N 不小于 3，可行集对应 于均值 -标方差平面上的区域为二维的。
（ 2）可行集的左边向左凸。
Pr
P?
A
B
C
D
三种证券形成可行集的例子
三点形成地区域
P?
Pr
3.2 有效集定理
– 有效集定理
投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的最优证券组合：
（ 1）对给定的回报，风险水平最小
（ 2）对给定的风险水平，回报最大；
满足上面两个条件的证券组合集称为有效集。
下面分两步把有效集定理应用到可行集上，得到投资者最优的可投资集。
3.3 把有效集定理第一条应用到可行集
给定期望回报率，找方差最小的证券组合
Pr
P?
证券组合前沿
P?
Pr
定义：一个证券组合称为前沿证券组合，
如果它在所有具有相同期望回报率的证券组合中具有最小方差。
定义：所有前沿证券组合构成的集合称为证券组合前沿。
证券组合前沿的性质
– 性质 1：整个证券组合前沿可以由任何两个前沿证券组合生成。
– 性质 2：前沿证券组合的任何凸组合仍然在证券组合前沿上。
1
~
1
~
2
2
2
C
D
C
ArE
C
r pp?
证券组合前沿的方程
– 任意前沿证券组合的回报率的期望和标准差满足如下方程：
在期望 -标准差平面上的证券组合前沿
CA
C1
单个证券与证券组合在均值 -标准差平面上的位置
3.4 把有效集定理的第二条应用到证券组合前沿
在证券组合前沿上，给定风险，找期望回报率最高的证券组合。
P?
Pr
有效集和非有效集
最小方差证券组合
定义：比最小方差证券组合回报高的前沿证券组合称为有效证券组合，既不是最小方差证券组合又不是有效证券组合的前沿证券组合称为非有效证券组合。
问题：先利用第二条，再利用第一条，
得到的有效集是否一样？
3.5 只有两种证券时的特例
假设市场上只存在两种证券 A和 B。 A具有较高的期望回报率和较高的标准差。
相关系数 1
A
B
3.5 只有两种证券时的特例
可行集、证券组合前沿和有效集期望回报率
A
MVP
B
标准差
不同相关系数时的证券组合前沿
12.0 0 5.0
1
– 相关系数越小，曲线弯曲越厉害。
– 极限状况
– 每对证券只有一个相关系数。
当只有两种证券时，可行集与证券组合前沿一致
问题：如果证券 A 的期望回报率高于证券 B 的期望回报率，而标准差小于 B 的标准差，这时的可行集、证券组合前沿和有效集是什么？
1
4,具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择
买卖债券只不过是手段，而实质是存在无风险借贷的市场。
是否存在真正意义上的无风险借贷的市场
– index bond
假设在无摩擦市场上存在 N 种可交易风险证券和一种无风险证券。以 表示无风险利率。 f
r
步骤
首先利用例子分三步讨论：
– 只允许购买无风险债券
– 只允许卖出无风险债券
– 可以自由交易
其次，推广到一般情形
4.1 只允许购买无风险债券
例子：前面的 A,B,C三种证券
– 期望回报率向量为
– 把无风险债券当作第 4种证券，无风险利率为
2 2 8.0
2 4 6.0
1 6 2.0
r
%44?r
– 方差 -协方差矩阵为
0 2 8 9.00 1 0 4.00 1 4 5.0
0 1 0 4.00 8 5 4.00 1 8 7.0
0 1 4 5.00 1 8 7.00 1 4 6.0
– 首先考虑证券 A和证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
5种证券组合
P po rt fo l i a b c d e
1
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
4
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00
证券组合的期望回报率和标准差
期望回报率
标准差
441 rrr AP
AP 1?
由证券 A和证券 4构成的 5种证券组合的期望回报率和标准差
Po r t f o l i o E x p ec t e d Re t u rn St a n d ar d
D ev i at i o n
a 4,0 0 % 0,00%
b 7,0 5 3,0 2
c 1 0,1 0 6,0 4
d 1 3,1 5 9,0 6
e 1 6,2 0 1 2,0 8
由证券 A和证券 4构成的 5种证券组合在均值 -标准差平面上的图示
%4 a
e
– 其次，考虑一个证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。
证券组合 5由证券 A,C构成
证券组合 5的期望回报率、标准差为
20.0,80.0,?CA
CCAA rrr5
ACCACCAA 2225
证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、
有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券组合 5从 A变到 C
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集证券 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
– 最后考虑由 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
B
C
fr
投资者最优证券组合选择
– 部分投资在无风险债券上
– 全部投资在风险证券上
4.2 只允许出售无风险债券
– 首先考虑证券 A和证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
4种证券组合
or t fl F G H I
1.25 1.50 1.75 2.00
-0.25 -0.50 -0.75 -1.00
由证券 A和证券 4构成的 4种证券组合的期望回报率和标准差
Po r t f o l i o E x p ec t e d Re t u rn St a n d ar d
D ev i at i o n
F 1 9,2 5 % 1 5,1 0 %
G 2 2,3 0 1 8,1 2
H 2 5,3 5 2 1,1 4
I 2 8,4 0 2 4,1 6
由证券 A和证券 4构成的 9种证券组合在均值 -标准差平面上的图示
%4 a
e
I
– 其次，考虑一个证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。
证券组合 5由证券 A,C构成
证券组合 5的期望回报率、标准差为
20.0,80.0,?CA
CCAA rrr5
ACCACCAA 2225
证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、
有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券组合 5从 A变到 C
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
– 最后考虑由 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
B
C
fr
投资者最优证券组合选择
– 卖出无风险债券
– 全部投资在风险证券上
4.3 无限制的借贷
如何求这个切点
4.4 推广到一般情形
N种风险资产形成的证券组合前沿方程
1
~
1
~
2
2
2
C
D
C
ArE
C
r pp?
N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿
N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿方程
Passive strategies
Active strategies
Two mutual funds
5,风险厌恶者的最优投资策略
– 风险厌恶者的无差异曲线
p?
pr
– 不存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略
p?
pr
– 不同风险厌恶程度的投资者的最优投资策略
p?
pr
– 存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略：分离性质
p?
pr
6,Markowitz portfolio selection model
决定仅由风险证券构成的证券组合前沿
决定由无风险证券和风险证券构成的证券组合前沿
确定最优投资组合
7,市场模型与风险的分散化
– 市场模型
这里
=在给定的时间区间，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
=截矩项
=斜率项
=随机误差项，
iIIiIiIi rr
ir
Ir
iI?
iI?
iI?
0?iIE?
Beta 值
攻击型股票
防御型股票
2
I
iI
iI?
– 风险的分散化
市场风险
唯一风险
分散化导致市场风险的平均化
分散化能够显著地缩减唯一风险。
唯一风险
总风险 市场风险
When we hold diversified portfolios,the
contribution to portfolio risk of a particular
security will depend on the covariance of
that security’s return with those other
securities,and not on the security’s variance,
this implies that fair risk premium also
should depend on covariance rather than
total variability of returns.
