第六章 套利定价理论（ APT）
建立在均值 —方差分析基础上的 CAPM
是一种理论上相当完美的模型，它解释了为什么不同的证券会有不同的回报率。除 CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由 Stephen Ross在 70年代中期建立的套利定价理论 (APT)。在某种意义上来说，它是一种比 CAPM简单的理论。
CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括 Harry
Markowitz建立均值 -方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组合回报率的期望和标准差之上。
相反,APT所作的假设少得多。 APT的基本假设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个机会，即，
个体是非满足的。另外一个重要的假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此之间独立。我们将看到，由于回报率生成过程的引入，使得估计
Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。
1,因子模型
实际中，所有的投资者都会明显或者不明显地应用因子模型。
例子：市场模型
这里
=在给定的时间区间，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
=截矩项
=斜率项
=随机误差项，
iIIiIiIi rr
ir
Ir
iI?
iI?
iI?
0?iIE?
例子,Flyer公司股票的下一个月回报率
– 这里
– 表示实际月回报率
– 表示期望回报率
– 表示回报率的非期望部分
期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。
URR
R
R
U
回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导致，例如
– News about Flyers’research
– Government figures released on the gross national product (GNP)
– Results of the latest arms-control talks
– Discovery that a rival’s product has been tampered with
– News that Fleyers’sales figures are higher than expected
– A sudden drop in interest rates
– The unexpected retirement of Flyers’founder and president
Announcement = Expected part + Surprise
– The expected part of any announcement is part of the
information the market uses to form the expectation of
the return on the stock.
– The surprise is the news that influences the
unanticipated return on the stock.
When we speak of news,then,we refer to the
surprise part of any announcement and not the
portion that the market has expected and therefore
has already discounted,
The unanticipated part of return---that portion
resulting from surprise---is the true risk of any
investment.
– 这里
– systematic factor
– firm factor
mRURR
m
定义 1：因子模型 （或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。
市场模型是一种单因子模型 ——以市场指标的回报率作为因子 。 由于在实际中,
证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响,所以,在估计证券的期望回报率,方差以及协方差的准确度方面,多因子模型比市场模型更有效 。
作为一种回报率产生过程,因子模型具有以下几个特点 。
– 第一,因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素 。
– 第二,在构造因子模型中,我们假设两个证券的回报率相关 ——一起运动 ——仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的 。
– 第三,证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的,从而与别的证券回报率的特有部分无关,也与因子的运动无关 。
因子模型在证券组合管理中的应用
– 在证券组合选择过程中,减少估计量和计算量
– 刻画证券组合对因子的敏感度
如果假设证券回报率满足因子模型,那么证券分析的基本目标就是,辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度 。
2.单因子模型
一些投资者认为，证券的回报率生成过程只包括唯一的因子。
– 例如，国内生产总值 GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。
– 表 6-1 因子模型数据
年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率
1 5.7% 1.1% 14.3%
2 6.4 4.4 19.2
3 7.9 4.4 23.4
4 7.0 4.6 15.6
5 5.1 6.1 9.2
6 2.9 3.1 13.0
4%
tr
tGDP
%0.136?r
%2.36?e
%9.26?G D P
– 图 6-1中,横轴表示 GDP的预期增长率,纵轴表示证券 A的回报率 。 图上的每一点表示表 6-1中,在给定的年份,A的回报率与 GDP
增长率的关系 。 通过线性回归分析,我们得到一条符合这些点的直线 。 这条直线的斜率为 2%,说明 A的回报率与 GDP增长率有正的关系 。 GDP增长率越大,A的回报率越高 。
– 写成方程的形式,A的回报率与 GDP预期增长率之间的关系可以表示如下
(6.1)
这里
=A在 t 时的回报率,
=GDP在 t 时的预期增长率,
=A在 t 时的回报率的特有部分,
=A对 GDP的预期增长率的敏感度,
=有关 GDP的零因子 。
ttt eb G D Par
tr
tGDP
te
b
a
– 在图 6-1中,零因子是 4%,这是 GDP的预期增长率为零时,A的回报率 。 A的回报率对
GDP增长率的敏感度为 2,这是图中直线的斜率 。 这个值表明,高的 GDP的预期增长率一定伴随着高的 A的回报率 。 如果 GDP的预期增长率是 5%,则 A的回报率为 14%。 如果
GDP的预期增长率增加 1%——为 6%时,则
A的回报率增加 2%,或者为 16%。
– 在这个例子里,第六年的 GDP的预期增长率为 2.9%,A的实际回报率是 13%。 因此,A
的回报率的特有部分 （ 由 给出 ） 为
3.2%。 给定 GNP的预期增长率为 2.9%,从 A
的实际回报率 13%中减去 A的期望回报率
9.8%,就得到 A的回报率的特有部分 3.2%。
te
– 从这个例子可以看出,A在任何一期的回报率包含了三种成份：
1,在任何一期都相同的部分 （ ）
2,依赖于 GDP的预期增长率,每一期都不相同的部分
（ ）
3,属于特定一期的特殊部分 （ ） 。
– 与 Flyer公司股票回报率例子比较
a
tbGDP
te
mRURR
通过分析上面这个例子,可归纳出单因子模型的最一般形式：对时间 t 的任何证券 i 有
(6.2)
ittiiit eFbar
– 这里,是因子在时间 t 的可预期值,对在时间 t 的所有的证券而言,它是相同的 。
是证券 i 对因子 的敏感度,对证券 i
而言,不随时间的变化而变化 。 是证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分 。 这是一个均值为 0,标准差为,且与因子无关的随机变量,我们以后简称为 随机项 。
tF
ib tF
ib ite
ei?
tF
– 为简单计,只考虑在某个特定的时间的因子模型,从而省掉角标,从而 (6.2)式变为
(6.3)
– 并且假设：
1,任意证券 i 的随机项 与因子不相关 ;
2,任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关 。
iiii eFbar
ie
ie je
– 假设 1说明,因子具体取什么值对随机项没有影响 。 而假设 2说明,一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响,换言之,
两种证券之所以相关,是由于因子对它们的共同影响导致的 。
对于证券 i 而言,其回报率的均值,方差分别为
(6.4)
(6.5)
例子
iiii Fbar
2222 eiFii b
– 定义 2,我们称 (6.5)式中的 为 因子风险 ； 为 非因子风险 。
– 对于证券 i 和 j 而言,它们之间的协方差为
(6.6)
22 Fib?
2ei?
2Fjiij bb
单因子模型具有两个重要的性质 。
– 第一个性质,单因子模型能够大大简化我们在均值 -
方差分析中的计算量 。
– 第二个性质与风险的分散化有关 。
分散化导致因子风险的平均化 。
分散化缩小非因子风险 。
3 多因子模型
经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景,因此,对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响 。
但是,经济并不是一个简单的单一体,
用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的 。
一般来说,下面的四种因素基本上可以描述整个经济的前景 。
1,GDP的增长率
2,利率水平
3,通货膨胀率
4,石油价格水平 。
两因子模型,即,回报率生成过程包括两个因子 。
在 t 时的两因子模型方程为：
(6.10)
这里 和 是影响证券回报率的主要因素,和是证券 i 对两因子的敏感度 。 是随机项,而 是零因子回报率 。
ittitiii eFbFbar 2211
tF1 tF2 1ib 2ib
ite ia
例子
tr
tGDP
tINF
%9.2?tG D P
%1.3?tINF
%8.5?a
%136?r
%0.36?e
– 证券 B的回报率受 GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响 。 图中的每一点描述了在特定的一年,证券 B的回报率,GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系 。 通过线性回归,可以确定一个平面,使得图中的点符合这个平面 。 这个平面的方程为
tttt eI N FbGD Pbar 21
平面在 GDP增长率方向的斜率 （ =2.2） 表示证券 B的回报率对 GDP增长率变化的敏感度 。
平面在通货膨胀率方向的斜率 （ =?0.7） 表示证券 B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度 。
敏感度符号说明,当预期 GDP增长率或者通货膨胀率增加时,证券 B的回报率相应地增加或者减少 。
平面的截距表示 B的零因子回报率为 5.8%。
B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分 。 例如,B在第六年的随机项为 3%。
和单因子模型一样,我们只考虑一期的模型,所以省掉时间的角标 。 两因子模型方程如下：
(6.12)
– 并且假设：
1,证券的随机项与因子不相关,
2,证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关 。
iiiii eFbFbar 2211
ie je
期望回报率
方差
协方差
多因子模型具有单因子模型的重要性质 。
– 1,有关证券组合前沿的计算量大大减少 。
– 2,分散化导致因子风险的平均化 。
– 3,分散化缩小非因子风险 。
4 套利机会
何谓套利机会？ 最简单的说法是,不花钱就能挣到钱 。 具体地说,有两种类型的套利机会 。
– 如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付 （ 不管是正的还是负的 ）,我们称这种投资为 第一类的套利机会 。
– 如果一种投资有非正的成本,但在将来,获得正的收益的概率为正,而获得负的收益
（ 或者说正的支出 ） 的概率为零,我们称这种投资为 第二类的套利机会 。
任何一个均衡的市场,都不会存在这两种套利机会 。 如果存在这样的套利机会,
人人都会利用,从而与市场均衡矛盾 。
所以我们 假设市场上不存在任何套利机会 。
性质
– 首先，证券的定价满足线性性质。
– 其次,有零的终端支付的证券组合,其价格一定为零 。
– 最后,证券的定价满足占优性质 。
例子：
– 假设经济环境由四个状态和两种证券构成,证券组合甲由 11
份证券 1构成 。 相关的信息特征如下表所示 。
状态 证券组合甲
1 5 3 55
2 5 6 55
3 10 3 110
4 10 3 110
– 假设事件的概率为 P({1})=0.2,P({2})=0.3，
P({34})=0.5。两种证券的价格为 P1=4,P2=2，证券组合甲的价格为 P甲 =40。
1x2x
在这个经济中是否存在套利机会。
– 第一,P甲 =40?11 P1=44，这属于第一类套利机会。
– 第二，我们把证券组合甲当作第三种证券。构造新的证券组合乙：卖空 11份证券 1，买入 1份证券 3。
则证券组合乙的价格为
11（ 4） +1（ 40）?0
证券组合乙在期末的支付为
状态 证券组合乙 概率
1 0 0.2
2 0 0.3
3,4 0 0.5
因此,P(证券组合乙的支付 =0)=1,这是第一类的套利机会 。
– 第三,定义证券组合丙：卖空 10份证券 1,买入一份证券 3。 则证券组合丙的价格为?10（ 4） +1（ 40）
=0。 证券组合丙在期末的支付为
状态 证券组合 概率
1 5 0.2
2 5 0.3
3,4 10 0.5
因此,P(证券组合丙的支付?0)=1且 P(证券组合丙的支付
0)=1?0。 这是第二类套利机会 。
5 套利定价理论 (APT)
– 假设 1,市场是完全竞争的,无摩擦的 。
– 假设 2,投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时,他们会构造套利证券组合来增加自己的财富 。
– 假设 3,所有投资者有相同的预期：任何证券 i 的回报率满足因子模型：
(6.18)
这里,
=证券 i 的随机回报率,
=证券 i 对第 j 个因子的敏感度,
=均值为零的第 j 个因子,
=证券 i 的随机项 。
ikikiiii eFbFbFbrEr ~~~~~ 2211?
ir~
ijb
jF
~
ie
– 假设 4：,与所有因子不相关且
– 假设 5,市场上的证券的种类远远大于因子的数目 k 。
0?ieE ie
0,?ji eeC o v
– 因子模型说明,所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合,除非因子风险外,其行为是一致的 。 因此,所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合的期望回报率 （ 或者说价格 ） 是一样的 。 否则,就存在第二类套利机会,投资者就会利用它们,直到消除这些套利机会 。 这就是 APT的实质 。
定义 6.3,如果一个证券组合满足下列三个条件：
– 1,初始价格为零；
– 2,对因子的敏感度为零：
– 3,期望回报率为正 。
– 我们称这种证券组合为 套利证券组合 。
注,严格的说,套利证券组合应该具有零的非因子风险 。 但是,APT假设这种风险非常小,以至可以忽略 。
例子：假如市场上存在三种股票,每个投资者都认为它们满足因子模型,且具有以下的期望回报率和敏感度：
– i
– 股票 1 15% 0.9
– 股票 2 21% 3.0
– 股票 3 12% 1.8
ir ib
– 首先,我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合 。 显然,一个套利证券组合 是下面三个方程的解：
初始价格为零,
(6.19)
对因子的敏感度为零,
(6.20)
期望回报率为正,
321,,
0321
08.10.39.0 321
012.021.015.0 321
满 足 这 三 个 条 件 的 解 有 无 穷 多 个 。 例如,
=(0.1,0.075,?0.175)就是一个套利证券组合 。
– 总之,对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言,这种套利证券组合是相当具有吸引力的 。 它不需要成本,没有因子风险,却具有正的期望回报率 。
– 在上面的例子,因为 =(0.1,0.075,?0.175)
是一个套利证券组合,所以,每个投资者都会利用它 。 从而,每个投资者都会购买证券 1和 2,而卖空证券 3。 由于每个投资者都采用这样的策略,必将影响证券的价格,相应地,也将影响证券的回报率 。 特别地,由于购买压力的增加,证券 1和 2的价格将上升,而这又导致证券 1和 2的回报率下降 。 相反,由于销售压力的增加,证券 3的价格将下降,这又使得证券 3的回报率上升 。
– 这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止 。 此时,证券市场处于一个均衡状态 。 在这时的证券市场里,不需要成本,没有因子风险的证券组合,其期望回报率必为零 。
– 无套利时,三种证券的期望回报率 和因子敏感度 满足,对任意组合,如果
0321
0332211 bbb
ir
ib
321,,
– 则必有
(6.21)
– 根据 Farkas引理,必存在常数 和,使得下面的式子成立
0332211 rrr
0? 1?
ii br 10
– 刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%，
=4%。 这将导致证券 1,2,3的均衡回报率为 11.6%,20.0%,15.2%.
0?
1?
– 图 6-3说明了套利定价关系 (6.21)。 在均衡时,
所有的证券都落在套利定价线上 。 常数 的一个自然解释是,它表示均衡时因子的风险酬金 。 而 表示无风险利率 。
1?
0?
0?
1?
ir
ib
Br
Sr
B
S
一般情形
– 选择证券组合,使其成本为 0
– 回报率为
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kiki
i
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i
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~~~
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0
1
n
i
i?
n
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Tn,,1?
– 为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：
1） 所选的每个权充分小；
2）所包括的证券种类尽量多；
3）对每个因子而言，证券组合的因子敏感度为零。
– 用数学式子表示,这些条件是
是一个很大的数
对每个因子而言,
ni 1
n
0
i
iki b?
– 因为随机项是独立的,由大数定律,当越来越大时,随机项的加权和趋向于零 。 换言之,通过分散化,不需要花任何成本就能消去非因子风险 。 因此,我们得到
–
n
i
kiki
i
ii
i
iip FbFbrr
~~~
11
– 在形式上看起来,这是一个随机量 。 但是,
由 (6.26)式,证券组合的每个因子敏感度为零,所以,所有的因子风险为零 。 由于我们选择的权消除了所有的风险,最后,证券组合的回报率变成了一个常数 。 (6.27)式变成了
(6.28)
i
iip rr?~
– 在我们构造的证券组合的过程中,投资者既不需要成本,也不承担风险,如果构造的证券组合的回报率不为零,它就是一个套利证券组合,当市场达到均衡时,这是不可能的 。
因此,满足条件 (6.24)-(6.26)的证券组合,其回报率一定为零,即,
(6.29)0~
i
iip rr?
证券市场无套利时,证券的期望回报率和因子敏感度满足下列性质：
– 对任何向量,
如果它既垂直于单位常向量,
又垂直于每个因子敏感度向量,
则它一定垂直于期望回报率向量,
由 Farkas引理,期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合,即,存在个 k+1
常数,使得
(6.30)
Tn,,1?
ikkii bbr110
6 APT在投资组合策略中的应用
投资组合构建的决策
– 套利定价理论对系统风险进行了细分，使得投资者容易接受，而且又能够测量每项资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确，对实际的组合策略更具有指导意义。
– 投资组合的构建策略，首要的是选择一个自己最愿意接受的风险水平，其次是通过恰当的交易，使得组合达到预定的位置。
例子
假设影响证券收益的系统因素是通货膨胀的意外发生和工业生产率的意外发生。
I?
P?
A
U
B
1
1
投资组合的策略分析
– 投资基金是一种典型的投资组合。对投资基金管理者而言，选择最佳的风险模式，就是选择最佳的因素敏感系数的组合。为此，我们必须了解基金发起者和收益者的经济状况和特征，而这又取决于他们所处的市场环境。
7 APT与 CAPM的区别和联系
假设
利用的经济学原理
结论
应用
8 因子的识别
要利用 APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。经验证明，这些因子具有以下特征：
– （ 1）它们应该包含表明总的经济行为的指标；
– （ 2）它们应该包含通货膨胀；
– （ 3）它们应该包含某种利率。
– 直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利的折现值，而将来的红利与总的经济行为有关，折现率与通货膨胀率和利率有关，所以，重要的因子应该包含这几个要素。
3到 5个因子
例子：
– 工业生产的增长率
– 通货膨胀率
– 长短期利率差
– 优劣债券回报率之差
例子
– GNP增长率
– 利率
– 石油价格变化率
– 国防开支增长率
宏观经济学，微观经济学，产业组织，
基础分析
9 因子模型的估计
时间序列方法 (Times-series approaches)
– 最直观的方法
– 假设投资者事先知道影响证券回报率的因子
– 准确度量因子值是关键
– 因子体现的是没有预测到的变化
交叉面方法 (Cross-sectional approaches)
– 先估计敏感度，再估计因子的值
– 与时间序列方法的区别
– 经验因子、基本因子
因子分析方法 (Factor-analytic approaches)
– 既不知道因子的值，也不知道对因子的敏感度
10 对套利模型的实证研究
验证影响证券收益的因素是否只有一个；
到底是哪些因素影响证券的收益。
– 公司规模，股票帐面价值于市场价值之比，
市场超额收益
Empirical Models
– The world empirical refers to the fact that these
approaches are based less on some theory of how
financial markets work and more on simply looking for
regularities and relations in the past history of market
data,In these approaches the researcher specifies some
parameters or attributes associated with the securities in
question and then examines the data directly for a
relation between these attributes and expected returns.
– Size
– the ratio of the price of a stock to the accounting
earnings(P/E)
– the ratio of the market value of the stock to the book
value of the company(M/B)
Ps i z e
ii
fi s iz ekB
Mk
E
Pkrr
BMEP
建立在均值 —方差分析基础上的 CAPM
是一种理论上相当完美的模型，它解释了为什么不同的证券会有不同的回报率。除 CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由 Stephen Ross在 70年代中期建立的套利定价理论 (APT)。在某种意义上来说，它是一种比 CAPM简单的理论。
CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括 Harry
Markowitz建立均值 -方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组合回报率的期望和标准差之上。
相反,APT所作的假设少得多。 APT的基本假设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个机会，即，
个体是非满足的。另外一个重要的假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此之间独立。我们将看到，由于回报率生成过程的引入，使得估计
Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。
1,因子模型
实际中，所有的投资者都会明显或者不明显地应用因子模型。
例子：市场模型
这里
=在给定的时间区间，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
=截矩项
=斜率项
=随机误差项，
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例子,Flyer公司股票的下一个月回报率
– 这里
– 表示实际月回报率
– 表示期望回报率
– 表示回报率的非期望部分
期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。
URR
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回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导致，例如
– News about Flyers’research
– Government figures released on the gross national product (GNP)
– Results of the latest arms-control talks
– Discovery that a rival’s product has been tampered with
– News that Fleyers’sales figures are higher than expected
– A sudden drop in interest rates
– The unexpected retirement of Flyers’founder and president
Announcement = Expected part + Surprise
– The expected part of any announcement is part of the
information the market uses to form the expectation of
the return on the stock.
– The surprise is the news that influences the
unanticipated return on the stock.
When we speak of news,then,we refer to the
surprise part of any announcement and not the
portion that the market has expected and therefore
has already discounted,
The unanticipated part of return---that portion
resulting from surprise---is the true risk of any
investment.
– 这里
– systematic factor
– firm factor
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定义 1：因子模型 （或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。
市场模型是一种单因子模型 ——以市场指标的回报率作为因子 。 由于在实际中,
证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响,所以,在估计证券的期望回报率,方差以及协方差的准确度方面,多因子模型比市场模型更有效 。
作为一种回报率产生过程,因子模型具有以下几个特点 。
– 第一,因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素 。
– 第二,在构造因子模型中,我们假设两个证券的回报率相关 ——一起运动 ——仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的 。
– 第三,证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的,从而与别的证券回报率的特有部分无关,也与因子的运动无关 。
因子模型在证券组合管理中的应用
– 在证券组合选择过程中,减少估计量和计算量
– 刻画证券组合对因子的敏感度
如果假设证券回报率满足因子模型,那么证券分析的基本目标就是,辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度 。
2.单因子模型
一些投资者认为，证券的回报率生成过程只包括唯一的因子。
– 例如，国内生产总值 GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。
– 表 6-1 因子模型数据
年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率
1 5.7% 1.1% 14.3%
2 6.4 4.4 19.2
3 7.9 4.4 23.4
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– 图 6-1中,横轴表示 GDP的预期增长率,纵轴表示证券 A的回报率 。 图上的每一点表示表 6-1中,在给定的年份,A的回报率与 GDP
增长率的关系 。 通过线性回归分析,我们得到一条符合这些点的直线 。 这条直线的斜率为 2%,说明 A的回报率与 GDP增长率有正的关系 。 GDP增长率越大,A的回报率越高 。
– 写成方程的形式,A的回报率与 GDP预期增长率之间的关系可以表示如下
(6.1)
这里
=A在 t 时的回报率,
=GDP在 t 时的预期增长率,
=A在 t 时的回报率的特有部分,
=A对 GDP的预期增长率的敏感度,
=有关 GDP的零因子 。
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– 在图 6-1中,零因子是 4%,这是 GDP的预期增长率为零时,A的回报率 。 A的回报率对
GDP增长率的敏感度为 2,这是图中直线的斜率 。 这个值表明,高的 GDP的预期增长率一定伴随着高的 A的回报率 。 如果 GDP的预期增长率是 5%,则 A的回报率为 14%。 如果
GDP的预期增长率增加 1%——为 6%时,则
A的回报率增加 2%,或者为 16%。
– 在这个例子里,第六年的 GDP的预期增长率为 2.9%,A的实际回报率是 13%。 因此,A
的回报率的特有部分 （ 由 给出 ） 为
3.2%。 给定 GNP的预期增长率为 2.9%,从 A
的实际回报率 13%中减去 A的期望回报率
9.8%,就得到 A的回报率的特有部分 3.2%。
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– 从这个例子可以看出,A在任何一期的回报率包含了三种成份：
1,在任何一期都相同的部分 （ ）
2,依赖于 GDP的预期增长率,每一期都不相同的部分
（ ）
3,属于特定一期的特殊部分 （ ） 。
– 与 Flyer公司股票回报率例子比较
a
tbGDP
te
mRURR
通过分析上面这个例子,可归纳出单因子模型的最一般形式：对时间 t 的任何证券 i 有
(6.2)
ittiiit eFbar
– 这里,是因子在时间 t 的可预期值,对在时间 t 的所有的证券而言,它是相同的 。
是证券 i 对因子 的敏感度,对证券 i
而言,不随时间的变化而变化 。 是证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分 。 这是一个均值为 0,标准差为,且与因子无关的随机变量,我们以后简称为 随机项 。
tF
ib tF
ib ite
ei?
tF
– 为简单计,只考虑在某个特定的时间的因子模型,从而省掉角标,从而 (6.2)式变为
(6.3)
– 并且假设：
1,任意证券 i 的随机项 与因子不相关 ;
2,任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关 。
iiii eFbar
ie
ie je
– 假设 1说明,因子具体取什么值对随机项没有影响 。 而假设 2说明,一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响,换言之,
两种证券之所以相关,是由于因子对它们的共同影响导致的 。
对于证券 i 而言,其回报率的均值,方差分别为
(6.4)
(6.5)
例子
iiii Fbar
2222 eiFii b
– 定义 2,我们称 (6.5)式中的 为 因子风险 ； 为 非因子风险 。
– 对于证券 i 和 j 而言,它们之间的协方差为
(6.6)
22 Fib?
2ei?
2Fjiij bb
单因子模型具有两个重要的性质 。
– 第一个性质,单因子模型能够大大简化我们在均值 -
方差分析中的计算量 。
– 第二个性质与风险的分散化有关 。
分散化导致因子风险的平均化 。
分散化缩小非因子风险 。
3 多因子模型
经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景,因此,对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响 。
但是,经济并不是一个简单的单一体,
用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的 。
一般来说,下面的四种因素基本上可以描述整个经济的前景 。
1,GDP的增长率
2,利率水平
3,通货膨胀率
4,石油价格水平 。
两因子模型,即,回报率生成过程包括两个因子 。
在 t 时的两因子模型方程为：
(6.10)
这里 和 是影响证券回报率的主要因素,和是证券 i 对两因子的敏感度 。 是随机项,而 是零因子回报率 。
ittitiii eFbFbar 2211
tF1 tF2 1ib 2ib
ite ia
例子
tr
tGDP
tINF
%9.2?tG D P
%1.3?tINF
%8.5?a
%136?r
%0.36?e
– 证券 B的回报率受 GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响 。 图中的每一点描述了在特定的一年,证券 B的回报率,GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系 。 通过线性回归,可以确定一个平面,使得图中的点符合这个平面 。 这个平面的方程为
tttt eI N FbGD Pbar 21
平面在 GDP增长率方向的斜率 （ =2.2） 表示证券 B的回报率对 GDP增长率变化的敏感度 。
平面在通货膨胀率方向的斜率 （ =?0.7） 表示证券 B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度 。
敏感度符号说明,当预期 GDP增长率或者通货膨胀率增加时,证券 B的回报率相应地增加或者减少 。
平面的截距表示 B的零因子回报率为 5.8%。
B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分 。 例如,B在第六年的随机项为 3%。
和单因子模型一样,我们只考虑一期的模型,所以省掉时间的角标 。 两因子模型方程如下：
(6.12)
– 并且假设：
1,证券的随机项与因子不相关,
2,证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关 。
iiiii eFbFbar 2211
ie je
期望回报率
方差
协方差
多因子模型具有单因子模型的重要性质 。
– 1,有关证券组合前沿的计算量大大减少 。
– 2,分散化导致因子风险的平均化 。
– 3,分散化缩小非因子风险 。
4 套利机会
何谓套利机会？ 最简单的说法是,不花钱就能挣到钱 。 具体地说,有两种类型的套利机会 。
– 如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付 （ 不管是正的还是负的 ）,我们称这种投资为 第一类的套利机会 。
– 如果一种投资有非正的成本,但在将来,获得正的收益的概率为正,而获得负的收益
（ 或者说正的支出 ） 的概率为零,我们称这种投资为 第二类的套利机会 。
任何一个均衡的市场,都不会存在这两种套利机会 。 如果存在这样的套利机会,
人人都会利用,从而与市场均衡矛盾 。
所以我们 假设市场上不存在任何套利机会 。
性质
– 首先，证券的定价满足线性性质。
– 其次,有零的终端支付的证券组合,其价格一定为零 。
– 最后,证券的定价满足占优性质 。
例子：
– 假设经济环境由四个状态和两种证券构成,证券组合甲由 11
份证券 1构成 。 相关的信息特征如下表所示 。
状态 证券组合甲
1 5 3 55
2 5 6 55
3 10 3 110
4 10 3 110
– 假设事件的概率为 P({1})=0.2,P({2})=0.3，
P({34})=0.5。两种证券的价格为 P1=4,P2=2，证券组合甲的价格为 P甲 =40。
1x2x
在这个经济中是否存在套利机会。
– 第一,P甲 =40?11 P1=44，这属于第一类套利机会。
– 第二，我们把证券组合甲当作第三种证券。构造新的证券组合乙：卖空 11份证券 1，买入 1份证券 3。
则证券组合乙的价格为
11（ 4） +1（ 40）?0
证券组合乙在期末的支付为
状态 证券组合乙 概率
1 0 0.2
2 0 0.3
3,4 0 0.5
因此,P(证券组合乙的支付 =0)=1,这是第一类的套利机会 。
– 第三,定义证券组合丙：卖空 10份证券 1,买入一份证券 3。 则证券组合丙的价格为?10（ 4） +1（ 40）
=0。 证券组合丙在期末的支付为
状态 证券组合 概率
1 5 0.2
2 5 0.3
3,4 10 0.5
因此,P(证券组合丙的支付?0)=1且 P(证券组合丙的支付
0)=1?0。 这是第二类套利机会 。
5 套利定价理论 (APT)
– 假设 1,市场是完全竞争的,无摩擦的 。
– 假设 2,投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时,他们会构造套利证券组合来增加自己的财富 。
– 假设 3,所有投资者有相同的预期：任何证券 i 的回报率满足因子模型：
(6.18)
这里,
=证券 i 的随机回报率,
=证券 i 对第 j 个因子的敏感度,
=均值为零的第 j 个因子,
=证券 i 的随机项 。
ikikiiii eFbFbFbrEr ~~~~~ 2211?
ir~
ijb
jF
~
ie
– 假设 4：,与所有因子不相关且
– 假设 5,市场上的证券的种类远远大于因子的数目 k 。
0?ieE ie
0,?ji eeC o v
– 因子模型说明,所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合,除非因子风险外,其行为是一致的 。 因此,所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合的期望回报率 （ 或者说价格 ） 是一样的 。 否则,就存在第二类套利机会,投资者就会利用它们,直到消除这些套利机会 。 这就是 APT的实质 。
定义 6.3,如果一个证券组合满足下列三个条件：
– 1,初始价格为零；
– 2,对因子的敏感度为零：
– 3,期望回报率为正 。
– 我们称这种证券组合为 套利证券组合 。
注,严格的说,套利证券组合应该具有零的非因子风险 。 但是,APT假设这种风险非常小,以至可以忽略 。
例子：假如市场上存在三种股票,每个投资者都认为它们满足因子模型,且具有以下的期望回报率和敏感度：
– i
– 股票 1 15% 0.9
– 股票 2 21% 3.0
– 股票 3 12% 1.8
ir ib
– 首先,我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合 。 显然,一个套利证券组合 是下面三个方程的解：
初始价格为零,
(6.19)
对因子的敏感度为零,
(6.20)
期望回报率为正,
321,,
0321
08.10.39.0 321
012.021.015.0 321
满 足 这 三 个 条 件 的 解 有 无 穷 多 个 。 例如,
=(0.1,0.075,?0.175)就是一个套利证券组合 。
– 总之,对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言,这种套利证券组合是相当具有吸引力的 。 它不需要成本,没有因子风险,却具有正的期望回报率 。
– 在上面的例子,因为 =(0.1,0.075,?0.175)
是一个套利证券组合,所以,每个投资者都会利用它 。 从而,每个投资者都会购买证券 1和 2,而卖空证券 3。 由于每个投资者都采用这样的策略,必将影响证券的价格,相应地,也将影响证券的回报率 。 特别地,由于购买压力的增加,证券 1和 2的价格将上升,而这又导致证券 1和 2的回报率下降 。 相反,由于销售压力的增加,证券 3的价格将下降,这又使得证券 3的回报率上升 。
– 这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止 。 此时,证券市场处于一个均衡状态 。 在这时的证券市场里,不需要成本,没有因子风险的证券组合,其期望回报率必为零 。
– 无套利时,三种证券的期望回报率 和因子敏感度 满足,对任意组合,如果
0321
0332211 bbb
ir
ib
321,,
– 则必有
(6.21)
– 根据 Farkas引理,必存在常数 和,使得下面的式子成立
0332211 rrr
0? 1?
ii br 10
– 刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%，
=4%。 这将导致证券 1,2,3的均衡回报率为 11.6%,20.0%,15.2%.
0?
1?
– 图 6-3说明了套利定价关系 (6.21)。 在均衡时,
所有的证券都落在套利定价线上 。 常数 的一个自然解释是,它表示均衡时因子的风险酬金 。 而 表示无风险利率 。
1?
0?
0?
1?
ir
ib
Br
Sr
B
S
一般情形
– 选择证券组合,使其成本为 0
– 回报率为
i
kiki
i
ii
i
iip FbFbrr
~~~
11
0
1
n
i
i?
n
i
ii e
1
Tn,,1?
– 为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：
1） 所选的每个权充分小；
2）所包括的证券种类尽量多；
3）对每个因子而言，证券组合的因子敏感度为零。
– 用数学式子表示,这些条件是
是一个很大的数
对每个因子而言,
ni 1
n
0
i
iki b?
– 因为随机项是独立的,由大数定律,当越来越大时,随机项的加权和趋向于零 。 换言之,通过分散化,不需要花任何成本就能消去非因子风险 。 因此,我们得到
–
n
i
kiki
i
ii
i
iip FbFbrr
~~~
11
– 在形式上看起来,这是一个随机量 。 但是,
由 (6.26)式,证券组合的每个因子敏感度为零,所以,所有的因子风险为零 。 由于我们选择的权消除了所有的风险,最后,证券组合的回报率变成了一个常数 。 (6.27)式变成了
(6.28)
i
iip rr?~
– 在我们构造的证券组合的过程中,投资者既不需要成本,也不承担风险,如果构造的证券组合的回报率不为零,它就是一个套利证券组合,当市场达到均衡时,这是不可能的 。
因此,满足条件 (6.24)-(6.26)的证券组合,其回报率一定为零,即,
(6.29)0~
i
iip rr?
证券市场无套利时,证券的期望回报率和因子敏感度满足下列性质：
– 对任何向量,
如果它既垂直于单位常向量,
又垂直于每个因子敏感度向量,
则它一定垂直于期望回报率向量,
由 Farkas引理,期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合,即,存在个 k+1
常数,使得
(6.30)
Tn,,1?
ikkii bbr110
6 APT在投资组合策略中的应用
投资组合构建的决策
– 套利定价理论对系统风险进行了细分，使得投资者容易接受，而且又能够测量每项资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确，对实际的组合策略更具有指导意义。
– 投资组合的构建策略，首要的是选择一个自己最愿意接受的风险水平，其次是通过恰当的交易，使得组合达到预定的位置。
例子
假设影响证券收益的系统因素是通货膨胀的意外发生和工业生产率的意外发生。
I?
P?
A
U
B
1
1
投资组合的策略分析
– 投资基金是一种典型的投资组合。对投资基金管理者而言，选择最佳的风险模式，就是选择最佳的因素敏感系数的组合。为此，我们必须了解基金发起者和收益者的经济状况和特征，而这又取决于他们所处的市场环境。
7 APT与 CAPM的区别和联系
假设
利用的经济学原理
结论
应用
8 因子的识别
要利用 APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。经验证明，这些因子具有以下特征：
– （ 1）它们应该包含表明总的经济行为的指标；
– （ 2）它们应该包含通货膨胀；
– （ 3）它们应该包含某种利率。
– 直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利的折现值，而将来的红利与总的经济行为有关，折现率与通货膨胀率和利率有关，所以，重要的因子应该包含这几个要素。
3到 5个因子
例子：
– 工业生产的增长率
– 通货膨胀率
– 长短期利率差
– 优劣债券回报率之差
例子
– GNP增长率
– 利率
– 石油价格变化率
– 国防开支增长率
宏观经济学，微观经济学，产业组织，
基础分析
9 因子模型的估计
时间序列方法 (Times-series approaches)
– 最直观的方法
– 假设投资者事先知道影响证券回报率的因子
– 准确度量因子值是关键
– 因子体现的是没有预测到的变化
交叉面方法 (Cross-sectional approaches)
– 先估计敏感度，再估计因子的值
– 与时间序列方法的区别
– 经验因子、基本因子
因子分析方法 (Factor-analytic approaches)
– 既不知道因子的值，也不知道对因子的敏感度
10 对套利模型的实证研究
验证影响证券收益的因素是否只有一个；
到底是哪些因素影响证券的收益。
– 公司规模，股票帐面价值于市场价值之比，
市场超额收益
Empirical Models
– The world empirical refers to the fact that these
approaches are based less on some theory of how
financial markets work and more on simply looking for
regularities and relations in the past history of market
data,In these approaches the researcher specifies some
parameters or attributes associated with the securities in
question and then examines the data directly for a
relation between these attributes and expected returns.
– Size
– the ratio of the price of a stock to the accounting
earnings(P/E)
– the ratio of the market value of the stock to the book
value of the company(M/B)
Ps i z e
ii
fi s iz ekB
Mk
E
Pkrr
BMEP
